माना R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{10} x (1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x)$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln f(x) = 10 \ln(\sin x) + \ln(1

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$S = R$

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(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{10} x (1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x)$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln f(x) = 10 \ln(\sin x) + \ln(1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{f'(x)}{f(x)} = 10 \cot x + \frac{-2 \cos x \sin x - 4 \cos^3 x \sin x - 8 \cos^7 x \sin x}{1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x}$।$\frac{f'(x)}{f(x)} = 10 \cot x - \sin 2x \left[ \frac{1 + 2 \cos^2 x + 4 \cos^6 x}{1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x} \right]$।माना $g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$ है। $x \in (0, \pi)$ के लिए,$10 \cot x$ पद $(-\infty, \infty)$ के सभी मान ग्रहण करता है।$\sin 2x$ वाला पद $x \in (0, \pi)$ के लिए एक परिबद्ध फलन है।चूंकि $(-\infty, \infty)$ परिसर वाले फलन और एक परिबद्ध फलन का योग $(-\infty, \infty)$ परिसर वाला फलन होता है,इसलिए $\frac{f'(x)}{f(x)}$ का मान $(0, \pi)$ में $x$ के बदलने पर सभी वास्तविक मान $\lambda \in R$ ग्रहण करता है।अतः,$S = R$।

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