KVPY 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दी गई राशियों के लिए विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$T = [T^1]$
$P = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$
$D = [M^1 L^{-3} T^0]$
$S = [M^1 L^0 T^{-2}]$
समीकरण $T = P^a D^b S^c$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M^0 L^0 T^1] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]^a [M^1 L^{-3}]^b [M^1 T^{-2}]^c$
$[M^0 L^0 T^1] = M^{a+b+c} L^{-a-3b} T^{-2a-2c}$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$a + b + c = 0$ $(1)$
$-a - 3b = 0 \implies a = -3b$ $(2)$
$-2a - 2c = 1 \implies a + c = -1/2$ $(3)$
समीकरण $(2)$ से $a = -3b$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$-3b + b + c = 0 \implies c = 2b$
अब $a = -3b$ और $c = 2b$ का मान $(3)$ में रखने पर:
$-3b + 2b = -1/2 \implies -b = -1/2 \implies b = 1/2$
अतः $a = -3(1/2) = -3/2$ और $c = 2(1/2) = 1$.
इस प्रकार,$a = -3/2, b = 1/2, c = 1$ प्राप्त होता है।

(A) सापेक्ष त्रुटि को निरपेक्ष त्रुटि (अल्पतमांक) और मापे गए मान के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
छात्र $A$ के लिए:
मापी गई लंबाई $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$.
अल्पतमांक $\Delta L_A = 0.5 \,cm$.
सापेक्ष त्रुटि $RE_A = \frac{\Delta L_A}{L} = \frac{0.5}{950} \approx 0.000526$.
छात्र $B$ के लिए:
मापी गई लंबाई $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$. चूंकि मीटर स्केल $(100 \,cm)$ का उपयोग किया जाता है,इसलिए माप $9.5$ बार (लगभग $10$ रीडिंग) दोहराया जाता है।
कुल निरपेक्ष त्रुटि $\Delta L_B = 10 \times 0.1 \,cm = 1.0 \,cm$.
सापेक्ष त्रुटि $RE_B = \frac{1.0}{950} \approx 0.00105$.
छात्र $C$ के लिए:
मापी गई लंबाई $L = 9.5 \,m = 950 \,cm$. फुट स्केल लगभग $30.48 \,cm$ का होता है। रीडिंग की संख्या $n = \frac{950}{30.48} \approx 31.17 \approx 32$ रीडिंग।
कुल निरपेक्ष त्रुटि $\Delta L_C = 32 \times 0.05 \,cm = 1.6 \,cm$.
सापेक्ष त्रुटि $RE_C = \frac{1.6}{950} \approx 0.00168$.
सापेक्ष त्रुटियों की तुलना करने पर,$RE_A < RE_B < RE_C$ प्राप्त होता है। अतः,छात्र $A$ सबसे कम सापेक्ष त्रुटि दर्ज करता है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
जब मीना ब्रेक लगाती है,तो ब्रेक पैड पहिये के रिम के खिलाफ दबते हैं,जिससे पहिया घूमना बंद कर देता है। हालाँकि,जड़त्व के कारण साइकिल आगे बढ़ना जारी रखती है। इसके कारण टायर सड़क की सतह पर रगड़ खाता है। सड़क साइकिल की गति की विपरीत दिशा में टायर पर घर्षण बल लगाती है। यह बाहरी घर्षण बल ही साइकिल को धीमा करने के लिए जिम्मेदार है।

(B) प्रत्यानयन बल $F = -kx^3$ द्वारा दिया गया है। स्थितिज ऊर्जा $U = \int kx^3 dx = \frac{1}{4} kx^4$ है।
$m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए जो $A$ आयाम के साथ दोलन करता है,कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{4} kA^4$ है।
किसी भी स्थिति $x$ पर वेग $v$ के लिए: $\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} kx^4 = \frac{1}{4} kA^4$.
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}$.
आवर्तकाल $T$,$x=0$ से $x=A$ तक जाने में लगे समय का $4$ गुना है:
$T = 4 \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{\frac{k}{2m}} \sqrt{A^4 - x^4}} = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^A \frac{dx}{\sqrt{A^4 - x^4}}$.
माना $x = Ay$,तो $dx = A dy$। जब $x=0, y=0$; जब $x=A, y=1$।
$T = 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{A dy}{\sqrt{A^4 - A^4 y^4}} = \frac{4}{A} \sqrt{\frac{2m}{k}} \int_0^1 \frac{dy}{\sqrt{1 - y^4}}$.
अतः,$T \propto \frac{1}{A}$।
यदि आयाम $A$ से बदलकर $2A$ हो जाता है,तो नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $\frac{T'}{T} = \frac{A}{2A} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$T' = T/2$।

(B) परिवर्ती तापमान स्रोत $T$ और नियत तापमान सिंक $T_0 = 200 \,K$ के बीच कार्य करने वाले हीट इंजन के लिए,अधिकतम कार्य तब प्राप्त होता है जब इंजन हर क्षण एक कार्नो इंजन के रूप में कार्य करता है।
कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_0}{T}$ द्वारा दी जाती है।
गर्म पिंड से ली गई सूक्ष्म ऊष्मा $dQ_{in} = -C dT$ के लिए किया गया सूक्ष्म कार्य $dW = \eta dQ_{in} = (1 - \frac{T_0}{T})(-C dT)$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 600 \,K$ से अंतिम तापमान $T_f = 400 \,K$ तक समाकलन करने पर:
$W = \int_{600}^{400} -(1 - \frac{200}{T}) C dT = C \int_{400}^{600} (1 - \frac{200}{T}) dT$.
यहाँ $C = 1 \,J/K$ दिया गया है:
$W = [T - 200 \ln T]_{400}^{600} = (600 - 400) - 200(\ln 600 - \ln 400)$.
$W = 200 - 200 \ln(600/400) = 200 - 200 \ln(3/2) = 200(1 - \ln(3/2)) \,J$.

(B) दिया गया है: दूरी $r_{1} = 8 \,km = 8000 \,m$, तीव्रता स्तर $L_{1} = 30 \,dB$.
आधार पर दूरी $r_{2} = 80 \,m$, तीव्रता स्तर $L_{2} = ?$.
तीव्रता स्तर $L$ को $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_{0}} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ध्वनि स्रोत एक बिंदु स्रोत के रूप में कार्य करता है, तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^{2}}$, जिसका अर्थ है $I \propto \frac{1}{r^{2}}$.
तीव्रता स्तरों में अंतर इस प्रकार है:
$L_{2} - L_{1} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{2}}{I_{1}} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right)^{2} = 20 \log_{10} \left( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right)$.
मान रखने पर:
$L_{2} - 30 = 20 \log_{10} \left( \frac{8000}{80} \right)$
$L_{2} - 30 = 20 \log_{10} (100)$
$L_{2} - 30 = 20 \times 2 = 40$
$L_{2} = 40 + 30 = 70 \,dB$.
अतः, टॉवर के आधार पर तीव्रता $70 \,dB$ है।

(B) माना चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ है।
$A \rightarrow B$ समदाबी (isobaric),$B \rightarrow C$ रुद्धोष्म (adiabatic) और $C \rightarrow A$ समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है।
माना $T_A = T_{min}$ और $T_B = T_{max}$ है। अनुपात $x = T_B / T_A$ है।
समदाबी प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए: $Q_{AB} = n C_p (T_B - T_A) = n \left( \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \right) (T_B - T_A)$.
समतापीय प्रक्रिया $C \rightarrow A$ के लिए: $Q_{CA} = n R T_A \ln(V_A / V_C)$.
चूंकि $B \rightarrow C$ रुद्धोष्म है,$T_B V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1}$। चूंकि $T_C = T_A$,इसलिए $T_B V_B^{\gamma-1} = T_A V_C^{\gamma-1}$।
अतः,$(V_C / V_B)^{\gamma-1} = T_B / T_A = x$,जिससे $V_C / V_B = x^{1/(\gamma-1)}$।
साथ ही,समदाबी प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए,$V_B / V_A = T_B / T_A = x$।
इसलिए,$V_C / V_A = (V_C / V_B) \cdot (V_B / V_A) = x^{1/(\gamma-1)} \cdot x = x^{\gamma/(\gamma-1)}$।
दक्षता $\eta = 1 - |Q_{CA}| / Q_{AB} = 1 - [n R T_A \ln(V_C / V_A)] / [n R \frac{\gamma}{\gamma-1} (T_B - T_A)]$।
मान रखने पर: $\eta = 1 - [T_A \cdot \frac{\gamma}{\gamma-1} \ln x] / [\frac{\gamma}{\gamma-1} T_A (x - 1)] = 1 - \frac{\ln x}{x - 1}$।
दिया गया है $\eta = 0.5$,इसलिए $0.5 = 1 - \frac{\ln x}{x - 1} \Rightarrow \frac{\ln x}{x - 1} = 0.5 \Rightarrow \ln x = 0.5(x - 1) \Rightarrow \ln x = \ln(e^{0.5(x-1)})$।
अतः,$x = e^{0.5(x-1)} \Rightarrow x^2 = e^{x-1}$।

(B) बोतल के अंदर (बिंदु $1$) और नोजल पर (बिंदु $2$) बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर:
$p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
यहाँ,$p_{1} = p_{\text{atm}} + \frac{F}{A}$ और $p_{2} = p_{\text{atm}}$. चूंकि दबाना धीमा है,हम $v_{1} \approx 0$ मानते हैं।
इसलिए,$p_{\text{atm}} + \frac{F}{A} = p_{\text{atm}} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{2F}{\rho A}$ .......... $(i)$
$h$ ऊँचाई से क्षैतिज प्रक्षेप्य गति के लिए,परास $R$ को $R = v_{2} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$R^{2} = v_{2}^{2} \left(\frac{2h}{g}\right) \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{R^{2}g}{2h}$ .......... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2F}{\rho A} = \frac{R^{2}g}{2h} \Rightarrow F = \frac{R^{2}g \rho A}{4h}$
दिया गया है $R = 2 \,m$,$g = 10 \,m/s^{2}$,$\rho = 1000 \,kg/m^{3}$,$A = 10 \,cm^{2} = 10^{-3} \,m^{2}$,और $h = 1 \,m$:
$F = \frac{(2)^{2} \times 10 \times 1000 \times 10^{-3}}{4 \times 1} = 10 \,N$.

(B) दिया गया है: पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 7 \times 10^{-2} \,m^{2}$,द्रव्यमान $m = 300 \,g$,कैलोरी मान $CV = 30 \,kJ/g$,दक्षता $\eta = 10\% = 0.1$,$T_{surface} = 60^{\circ}C = 333 \,K$,$T_{room} = 0^{\circ}C = 273 \,K$,स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \,W/m^{2}K^{4}$.
विकिरण द्वारा ऊष्मा हानि की दर (स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम) $P = e A \sigma (T_{surface}^{4} - T_{room}^{4})$ द्वारा दी जाती है।
ब्लैक बॉडी के लिए $e = 1$ मानते हुए:
$P = 1 \times (7 \times 10^{-2}) \times (5.67 \times 10^{-8}) \times (333^{4} - 273^{4})$.
$P = 3.969 \times 10^{-9} \times (1.230 \times 10^{10} - 0.556 \times 10^{10}) \approx 26.75 \,W$.
कुल उपलब्ध ऊष्मीय ऊर्जा $H = \eta \times m \times CV = 0.1 \times 300 \,g \times 30 \,kJ/g = 900 \,kJ = 9 \times 10^{5} \,J$.
अवधि $t$ का मान $t = H / P$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = (9 \times 10^{5} \,J) / (26.75 \,W) \approx 33645 \,s$.
घंटों में बदलने पर: $t = 33645 / 3600 \approx 9.35 \,h$.
निकटतम उचित अनुमान के अनुसार,$t \approx 10 \,h$.

(D) दिया गया है,इमारत से गिरने की दूरी,$s = 12 \, m$.
प्रत्येक मंजिल की ऊंचाई,$h = 3 \, m$.
इमारत की कुल ऊंचाई,$H = 15 \times 3 = 45 \, m$.
गुरुत्वाकर्षण के तहत ऊर्ध्वाधर गति के लिए गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए (प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ लेते हुए):
$H = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$
$45 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$45 = 5 t^2$
$t^2 = 9 \Rightarrow t = 3 \, s$.
अब,स्थिर गति $v$ के साथ क्षैतिज गति के लिए:
$s = v \times t$
$12 = v \times 3$
$v = 4 \, m/s$.
$m/s$ को $km/h$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$v = 4 \times \frac{18}{5} = \frac{72}{5} = 14.4 \, km/h$.
निकटतम पूर्णांक में,गति $15 \, km/h$ है।

(A) माना कि दो तारों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,तो $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$ (दिया गया है)।
हम जानते हैं कि प्रतिबल (Stress) = $\frac{F}{A}$,जहाँ $F$ बल है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि दोनों तारों पर लगाया गया बल $F$ समान है,इसलिए प्रतिबल क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\text{Stress} \propto \frac{1}{A}$।
वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
अतः,दोनों तारों में उत्पन्न प्रतिबल का अनुपात होगा:
$\frac{\text{Stress}_1}{\text{Stress}_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$।
दिया गया है कि $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$।
इस मान को रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Stress}_1}{\text{Stress}_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।

(A) खिड़की पर दबाव का अंतर उसके ऊपर पानी के स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव के कारण होता है।
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 30 \times 30 \,cm^2 = 900 \times 10^{-4} \,m^2 = 0.09 \,m^2$.
गहराई $h = 100 \,m$.
घनत्व $\rho = 1.03 \times 10^3 \,kg/m^3$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$.
दबाव का अंतर $\Delta P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
खिड़की पर कार्य करने वाला बल $F = \Delta P \times A = \rho ghA$ है।
मान रखने पर:
$F = (1.03 \times 10^3) \times 10 \times 100 \times 0.09$
$F = 1.03 \times 10^3 \times 10^3 \times 0.09$
$F = 1.03 \times 10^6 \times 0.09 = 0.0927 \times 10^6 = 9.27 \times 10^4 \,N$.
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$F \approx 9.3 \times 10^4 \,N = 0.93 \times 10^5 \,N$.

(D) प्रारंभ में,पृथ्वी के सापेक्ष अंतरिक्ष यान का वेग $\vec{v}_{SE, i} = u \hat{i}$ है।
पृथ्वी के सापेक्ष ग्रह का वेग $\vec{v}_{PE} = -3u \hat{i}$ है।
इसलिए,ग्रह के सापेक्ष अंतरिक्ष यान का प्रारंभिक वेग $\vec{v}_{SP, i} = \vec{v}_{SE, i} - \vec{v}_{PE} = u \hat{i} - (-3u \hat{i}) = 4u \hat{i}$ होगा।
चूंकि ग्रह बहुत अधिक विशाल है,इसलिए अंतरिक्ष यान ग्रह के संदर्भ फ्रेम में एक प्रत्यास्थ टक्कर का अनुभव करता है। वेग का परिमाण समान रहता है,लेकिन दिशा उलट जाती है। इस प्रकार,ग्रह के सापेक्ष अंतरिक्ष यान का अंतिम वेग $\vec{v}_{SP, f} = -4u \hat{i}$ होगा।
अंत में,पृथ्वी के सापेक्ष अंतरिक्ष यान का वेग $\vec{v}_{SE, f} = \vec{v}_{SP, f} + \vec{v}_{PE} = -4u \hat{i} + (-3u \hat{i}) = -7u \hat{i}$ होगा।
पृथ्वी के सापेक्ष अंतरिक्ष यान की गति $|\vec{v}_{SE, f}| = |-7u| = 7u$ होगी।

(B) मान लीजिए $A_1$ क्षेत्र $I$ का क्षेत्रफल है और $v_1$ इस क्षेत्र में रक्त का वेग है।
इसी प्रकार,$A_2$ और $v_2$ क्षेत्र $II$ में क्षेत्रफल और वेग हैं।
सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$A_1 v_1 = A_2 v_2$।
चूंकि $A_1 > A_2$,इसलिए $v_2 > v_1$।
अब,बर्नौली के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{स्थिरांक}$।
चूंकि $v_2 > v_1$,इसलिए $p_2 < p_1$।
अतः,जब प्लेटलेट्स संकुचन में प्रवेश करते हैं तो क्षेत्र $II$ में दबाव कम होता है।

(B) चूँकि समान प्रक्षेपण वेग के लिए परास समान है,इसलिए प्रक्षेपण कोण पूरक होने चाहिए।
मान लीजिए कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं। अतः $\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ}$।
दिया गया है $\theta_1 = 30^{\circ}$,इसलिए $\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
पहली गेंद के लिए,$h = \frac{u^2 \sin^2(30^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{u^2}{8g}$।
दूसरी गेंद के लिए,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(60^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{u^2}{2g} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3u^2}{8g}$।
दोनों की तुलना करने पर,$H_2 = 3 \left(\frac{u^2}{8g}\right) = 3h$।

(D) बोतल की स्थिरता उसके द्रव्यमान केंद्र की स्थिति पर निर्भर करती है। बोतल तब पलट जाती है जब द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा बोतल के आधार से बाहर गिरती है।
मान लीजिए $h_b$ बोतल की ऊंचाई है और $R$ इसकी त्रिज्या है। मान लीजिए $h_s$ बोतल के अंदर शैम्पू की ऊंचाई है। सिस्टम (बोतल + शैम्पू) का द्रव्यमान केंद्र आधार से $h_{cm}$ ऊंचाई पर है.
खाली बोतल के द्रव्यमान को शैम्पू की तुलना में नगण्य मानते हुए,शैम्पू का द्रव्यमान केंद्र $h_s/2$ पर है। बोतल के पलटने की शर्त $\tan \theta = \frac{R}{h_{cm}}$ है।
चूंकि $h_{cm} = h_s/2$ और $f = h_s/h_b$,हमारे पास $h_s = f h_b$ है। अतः,$h_{cm} = \frac{f h_b}{2}$.
इसे शर्त में प्रतिस्थापित करने पर: $\tan \theta = \frac{R}{f h_b / 2} = \frac{2R}{f h_b}$.
हालाँकि,यदि हम बोतल के द्रव्यमान $(M_b)$ और शैम्पू के द्रव्यमान $(M_s = \rho \pi R^2 h_s)$ पर विचार करें,तो द्रव्यमान केंद्र $h_{cm} = \frac{M_b (h_b/2) + M_s (h_s/2)}{M_b + M_s}$ होता है।
जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,द्रव्यमान केंद्र शुरू में नीचे जाता है (स्थिरता और $\theta$ बढ़ता है) और फिर ऊपर जाता है (स्थिरता और $\theta$ घटता है)। यह व्यवहार एक वक्र द्वारा दर्शाया गया है जो अधिकतम तक बढ़ता है और फिर घटता है,जो ग्राफ $D$ से मेल खाता है।

(D) सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$g_h = g_d$ है।
इसलिए,$g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $\frac{2h}{R} = \frac{d}{R}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = 2h$।
चूँकि $h = 10 \,km$ दिया गया है,इसलिए $d = 2 \times 10 \,km = 20 \,km$ होगा।

(B) मान लीजिए कि प्रक्षेपण बिंदु $A$ है और हूप की प्रारंभिक स्थिति $C$ है। क्षैतिज दूरी $AB = 25 \, m$ है और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $BC = 45 \, m$ है।
दूरी $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{25^2 + 45^2} = \sqrt{625 + 2025} = \sqrt{2650} \, m$ है।
सेब को $C$ की ओर $v = 24 \, m/s$ की गति से फेंका जाता है। सेब को हूप की प्रारंभिक स्थिति $C$ तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{AC}{v} = \frac{\sqrt{2650}}{24} \, s$ है।
इस समय $t$ के दौरान,हूप $h = \frac{1}{2} g t^2$ की दूरी से नीचे गिरता है।
$g = 10 \, m/s^2$ लेने पर,हमें मिलता है $h = \frac{1}{2} \times 10 \times \left(\frac{\sqrt{2650}}{24}\right)^2 = 5 \times \frac{2650}{576} = \frac{13250}{576} \approx 23 \, m$।
जब सेब हूप से होकर गुजरता है तो जमीन से हूप की ऊँचाई $H = 45 - h = 45 - 23 = 22 \, m$ है।

(B) गेंद $A$ के लिए,इसे $X$ के क्षैतिज स्तर से $h$ ऊँचाई से छोड़ा जाता है। गिरने के लिए ऊर्ध्वाधर दूरी $h$ है। प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $0$ है। अतः,$t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
गेंद $B$ के लिए,इसे जमीन के स्तर से छोड़ा जाता है,लेकिन यह $X$ तक पहुँचने के लिए क्षैतिज रूप से चलती है। हालाँकि,प्रश्न बताता है कि यह $X$ तक पहुँचती है (जो संरचना के अंत के समान क्षैतिज स्तर पर है)। यदि $B$ जमीन पर है और $X$ जमीन पर है,तो यह केवल क्षैतिज रूप से चलती है। लेकिन चित्र के आधार पर,$A$ और $B$ समान संरचनाओं से छोड़ी जाती हैं। यदि $B$ जमीन पर है,तो उसे $X$ तक पहुँचने के लिए कोई ऊर्ध्वाधर दूरी तय नहीं करनी है। प्रश्न का तात्पर्य है कि $t_A = t_B = t_C$,जो प्रक्षेप्य गति के ऐसे प्रश्नों की मानक व्याख्या पर आधारित है जहाँ ऊर्ध्वाधर विस्थापन उड़ान का समय निर्धारित करता है।
गेंद $C$ के लिए,इसे $X$ से $h$ ऊँचाई से नीचे गिराया जाता है। लिया गया समय $t_C = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
चूँकि $t_A = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ और $t_C = \sqrt{\frac{2h}{g}}$,इसलिए $t_A = t_C$ है। संरचनाओं की समरूपता को देखते हुए,$t_A = t_B = t_C$ होता है।

(B) मान लीजिए प्रत्येक सिक्के का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभ में $40$ सिक्कों के लिए डूबी हुई गहराई $h_0 = 3 \, cm$ है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,कंटेनर का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है: $(40m)g = A \cdot h_0 \cdot \rho_w \cdot g$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
अतः,$A \rho_w = \frac{40m}{3}$।
जब $N$ अतिरिक्त सिक्के जोड़े जाते हैं,तो कुल द्रव्यमान $(40+N)m$ हो जाता है। नई डूबी हुई गहराई $h'$ इस प्रकार है: $(40+N)m = A \cdot h' \cdot \rho_w$,इसलिए $h' = \frac{(40+N)m}{A \rho_w} = \frac{(40+N)m}{40m/3} = \frac{3(40+N)}{40} \, cm$।
निकाय का द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ (आधार से मापा गया) $CM = \frac{40m(0) + Nm(9)}{(40+N)m} = \frac{9N}{40+N} \, cm$ है।
डूबे हुए भाग का ज्यामितीय केंद्र $(GC)$ आधार से $h'/2$ की दूरी पर है: $GC = \frac{h'}{2} = \frac{3(40+N)}{80} \, cm$।
स्थिर संतुलन से अस्थिर संतुलन में परिवर्तन के लिए,$CM$ को $GC$ के साथ संपाती होना चाहिए $(CM = GC)$:
$\frac{9N}{40+N} = \frac{3(40+N)}{80}$
$720N = 3(40+N)^2$
$240N = 1600 + 80N + N^2$
$N^2 - 160N + 1600 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $N = \frac{160 \pm \sqrt{160^2 - 4(1600)}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{25600 - 6400}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{19200}}{2} = 80 \pm 40\sqrt{3} \approx 80 \pm 69.28$।
चूंकि $N < 40$ (कंटेनर की ऊँचाई $9 \, cm$ है),हम $N = 80 - 69.28 = 10.72$ लेते हैं।
$N$ का मान $10$ के निकटतम है।

(A) इस स्थिति में एक प्रोटॉन और एक एंटी-प्रोटॉन एक-दूसरे के करीब आते हैं। चूंकि उनके पास विपरीत आवेश हैं,वे एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।
मान लीजिए कि $r = 10 \, cm = 0.1 \, m$ की दूरी पर प्रत्येक कण का वेग $v$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अनंत पर कुल ऊर्जा (जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य है और यह मानते हुए कि वे स्थिर अवस्था से शुरू होते हैं) $r$ दूरी पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$(PE)_{i} + (KE)_{i} = (PE)_{f} + (KE)_{f}$
$0 + 0 = -\frac{K e^2}{r} + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2$
नोट: स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक है क्योंकि आवेश विपरीत हैं।
$\frac{K e^2}{r} = m v^2$
$v = \sqrt{\frac{K e^2}{m r}}$
मान रखने पर: $K = 9 \times 10^9 \, N m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$r = 0.1 \, m$.
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{1.67 \times 10^{-27} \times 0.1}} = 1.17 \, m/s$.

(B) अनुनाद परिपथ की बैंडविड्थ को उन दो आवृत्तियों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ शक्ति या आउटपुट वोल्टेज अपने चरम मान के एक विशिष्ट अंश तक गिर जाता है।
एक $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,प्रतिरोधक के सिरों पर आउटपुट वोल्टेज $V_{out} = I_{rms} R = \frac{V_0 R}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ होता है।
अनुनाद पर,$V_{out}$ अधिकतम $(V_0)$ होता है।
वे आवृत्तियाँ जिन पर आउटपुट वोल्टेज अपने चरम मान के आधे तक गिर जाता है,वे $f_1 = 200 \,Hz$ और $f_2 = 800 \,Hz$ हैं।
बैंडविड्थ को इन दो हाफ-पावर आवृत्तियों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\text{Bandwidth} = f_2 - f_1$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Bandwidth} = 800 \,Hz - 200 \,Hz = 600 \,Hz$।

(C) संयुक्त विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण पर लगने वाला लोरेंत्ज़ बल $F = q(E + v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई आकृति में,विद्युत क्षेत्र $E$ नीचे की ओर निर्देशित है। दाईं ओर गति करने वाले धनावेशित कण के लिए,विद्युत बल $F_e = qE$ नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ तल के बाहर की ओर है। चुंबकीय बल $F_m = q(v \times B)$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,जहां $v$ दाईं ओर है और $B$ तल के बाहर है,चुंबकीय बल $F_m$ नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि धनावेशित कण के लिए विद्युत बल और चुंबकीय बल दोनों एक ही नीचे की दिशा में कार्य करते हैं,इसलिए यह नीचे की ओर विक्षेपित हो जाएगा और $P$ छेद से नहीं गुजरेगा।
ऋणावेशित कण के लिए,विद्युत बल $F_e = qE$ ऊपर की ओर कार्य करता है,जबकि चुंबकीय बल $F_m = q(v \times B)$ भी ऊपर की ओर कार्य करता है। इस प्रकार,यह ऊपर की ओर विक्षेपित हो जाएगा और $P$ छेद से नहीं गुजरेगा।
उदासीन कणों पर विद्युत या चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा कोई बल नहीं लगता है $(F = 0)$ और वे सीधी रेखा में गति करते हुए $P$ छेद से गुजर जाएंगे।
अतः,केवल उदासीन कण ही $P$ से गुजरेंगे।

(C) श्रेणी $R-C$ परिपथ के लिए, समय $t$ पर संधारित्र के सिरों पर विभव $V(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
जब संधारित्र $E/2$ तक आवेशित होता है, तो $E/2 = E(1 - e^{-t/RC})$, जिसका अर्थ है $e^{-t/RC} = 1/2$।
इस क्षण पर संधारित्र पर आवेश $Q = C(E/2) = CE/2$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = Q \cdot E = (CE/2) \cdot E = CE^2/2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = Q^2 / (2C) = (CE/2)^2 / (2C) = CE^2/8$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, बैटरी द्वारा किया गया कार्य संधारित्र में संचित ऊर्जा और प्रतिरोधक द्वारा व्यय की गई ऊष्मा के योग के बराबर होता है: $W = U + H$।
अतः, व्यय की गई ऊष्मा $H = W - U = CE^2/2 - CE^2/8 = 3CE^2/8$ है।
बैटरी द्वारा किए गए कार्य और व्यय की गई ऊष्मा का अनुपात $W/H = (CE^2/2) / (3CE^2/8) = (1/2) / (3/8) = 4/3$ है।

(B) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले समान रूप से आवेशित गोले के अंदर इलेक्ट्रोस्टैटिक विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V(r) = \frac{kQ}{2R^3} (3R^2 - r^2)$
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \left( \frac{3R^2 - r^2}{2} \right)$
$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{r}{R} \right)^2 \right)$
इस व्यंजक की तुलना दिए गए रूप $V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} (a + b(r/R)^c)$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{3}{2}$
$b = -\frac{1}{2}$
$c = 2$
अतः,$(a, b, c)$ के मान $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 2)$ हैं।

(A) दिया गया है,$n_{L}=C_{A} n_{A}+(1-C_{A}) n_{B}$.
यहाँ,$n_{A}=1.5$ और $n_{B}=1.3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n_{L} = C_{A}(1.5) + (1-C_{A})(1.3) = 1.3 + 0.2 C_{A}$.
क्रांतिक कोण $\theta_{C}$ के लिए प्रिज्म-तरल इंटरफ़ेस पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$n_{p} \sin \theta_{C} = n_{L} \sin 90^{\circ}$.
चूंकि $n_{p} = 1.5$,हमारे पास है:
$\sin \theta_{C} = \frac{n_{L}}{1.5} = \frac{1.3 + 0.2 C_{A}}{1.5}$.
$\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.3 + 0.2 C_{A}}{1.5} \right)$.
जब $C_{A} = 0$ है,तो $\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.3}{1.5} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{13}{15} \right) \approx 60^{\circ}$.
जब $C_{A} = 1$ है,तो $\theta_{C} = \sin^{-1} \left( \frac{1.5}{1.5} \right) = \sin^{-1}(1) = 90^{\circ}$.
जैसे-जैसे $C_{A}$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ता है,$\theta_{C}$ का मान $60^{\circ}$ से $90^{\circ}$ तक बढ़ता है। फलन $\theta_{C} = \sin^{-1}(f(C_{A}))$ एक अरेखीय वर्धमान फलन है। ग्राफ $(A)$ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) एक वृत्ताकार कक्षा में,स्थिर-वैद्युत बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{m v^{2}}{r} = \frac{K Z e^{2}}{r^{2}}$
यह इंगित करता है कि गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{K Z e^{2}}{2 r}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $PE = -\frac{K Z e^{2}}{r}$ है।
अतः,कुल ऊर्जा $E = KE + PE = \frac{K Z e^{2}}{2 r} - \frac{K Z e^{2}}{r} = -\frac{K Z e^{2}}{2 r}$ है।
दिया गया है $E = \frac{-E_{0}}{n}$,इसे $E = -\frac{K Z e^{2}}{2 r}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $r \propto n$ प्राप्त होता है।
चूंकि $KE = \frac{1}{2} m v^{2} \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{n}$,इसलिए $v^{2} \propto \frac{1}{n}$,जिसका अर्थ है $v \propto \frac{1}{\sqrt{n}}$।
कोणीय संवेग $L = m v r$ है।
आनुपातिकता $v \propto n^{-1/2}$ और $r \propto n$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L \propto n^{-1/2} \cdot n = n^{1/2} = \sqrt{n}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$L \propto \sqrt{n}$।

(D) स्नेल के नियम के अनुसार,$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2}$।
जब $\theta_{1} = \theta_{C}$ होता है,तो अपवर्तन कोण $\theta_{2} = 90^{\circ}$ होता है,इसलिए $\sin \theta_{2} = 1$ और $\cos \theta_{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta_{2}} = 0$। अतः,विकल्प $(c)$ सत्य है।
जब $\theta_{1} > \theta_{C}$ होता है,तो $\sin \theta_{2} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sin \theta_{1} > 1$ होता है। चूंकि $\sin \theta_{2} > 1$ है,इसलिए $\cos \theta_{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta_{2}}$ काल्पनिक हो जाता है। अतः,विकल्प $(b)$ सत्य है।
आपतन कोण $\theta_{1}$ के किसी भी मान के लिए,परावर्तित किरण परावर्तन के नियम का पालन करती है,इसलिए $\theta_{1} = \theta_{3}$। अतः,विकल्प $(a)$ सत्य है।
विकल्प $(d)$ के संबंध में,$\theta_{3}$ परावर्तन कोण है,जो हमेशा वास्तविक होता है और $\theta_{1}$ के बराबर होता है। इसलिए,$\cos \theta_{3}$ हमेशा वास्तविक होता है,जिससे यह स्पष्ट होता है कि विकल्प $(d)$ में दिया गया कथन असत्य है।

(B) दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 638 \,nm$
मॉड्युलेशन आवृत्ति $f = 1 \,GHz = 1 \times 10^{9} \,Hz$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \,m/s$
पल्स की लंबाई (या एक पल्स का स्थानिक विस्तार) मॉड्युलेशन आवृत्ति के एक आवर्तकाल में प्रकाश द्वारा तय की गई दूरी से निर्धारित होती है।
दो डिटेक्टरों के बीच की दूरी $D$ ताकि वे एक ही पल्स को एक साथ देख सकें,मॉड्युलेशन की तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है,जो इस प्रकार है:
$D = \frac{c}{f}$
मान रखने पर:
$D = \frac{3 \times 10^{8} \,m/s}{1 \times 10^{9} \,Hz} = 0.3 \,m$
$D = 30 \,cm$
अतः,दो डिटेक्टरों को एक-दूसरे से अधिकतम $30 \,cm$ की दूरी पर रखा जा सकता है।

(D) छड़ में प्रेरित गतिकीय $Emf$ $e = B l v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ छड़ की लंबाई है।
प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ है।
प्रतिरोध $R$ में ऊष्मा क्षय की दर (शक्ति) $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$I$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \left( \frac{B l v}{R} \right)^2 R = \frac{B^2 l^2 v^2}{R}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि ऊष्मा क्षय की दर गति के वर्ग के समानुपाती है: $P \propto v^2$।
यदि गति दोगुनी कर दी जाए $(v' = 2v)$,तो ऊष्मा क्षय की नई दर $P'$ का मान $P' \propto (2v)^2 = 4v^2$ होगा।
अतः,ऊष्मा क्षय की नई दर और प्रारंभिक दर का अनुपात $\frac{P'}{P} = \frac{4v^2}{v^2} = 4$ है।
इस प्रकार,ऊष्मा क्षय की दर $4$ के कारक से बढ़ जाती है।

(C) कथन $I$ सही है: वास्तविक प्रतिबिंब प्रकाश किरणों के वास्तविक प्रतिच्छेदन द्वारा बनता है और इसे स्क्रीन पर प्राप्त किया जा सकता है।
कथन $II$ सही है: अभिसारी लेंस के लिए,वास्तविक प्रतिबिंब वस्तु के विपरीत दिशा में बनता है,लेकिन प्रकाश किरणें प्रतिबिंब बिंदु से फैलती हैं,जिससे प्रतिबिंब की ओर स्थित प्रेक्षक इसे देख सकता है,या यदि इसे स्क्रीन पर प्रक्षेपित किया जाए,तो यह वस्तु की ओर से दिखाई देता है।
कथन $III$ सही है: अभिसारी लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब वस्तु के सापेक्ष पार्श्व (laterally) और अनुदैर्ध्य (longitudinally) दोनों रूप से उल्टे होते हैं।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए कोई भी कथन गलत नहीं है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $R = 1 \,cm$,प्रारंभिक विभव $V_{i} = -0.5 \,V$,आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 290 \,nm$,और थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_{0} = 332 \,nm$ है।
जिंक का कार्य-फलन $\phi = \frac{hc}{\lambda_{0}} = \frac{1242 \,eV \cdot nm}{332 \,nm} \approx 3.74 \,eV$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1242 \,eV \cdot nm}{290 \,nm} \approx 4.28 \,eV$ है।
फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi = 4.28 \,eV - 3.74 \,eV = 0.54 \,eV$ है।
जैसे ही बॉल से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं,बॉल का विभव बढ़ता है। उत्सर्जन तब तक जारी रहता है जब तक कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा शून्य न हो जाए।
अतः,अंतिम विभव $V_{f} = 0.54 \,V$ होगा।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता व्यक्तिगत तरंगदैर्ध्य के कारण तीव्रता का योग होती है क्योंकि वे एक-दूसरे के सापेक्ष असंगत (incoherent) होते हैं।
$I_{0}$ स्लिट तीव्रता वाली एक तरंगदैर्ध्य के लिए,अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_{0}} + \sqrt{I_{0}})^2 = 4I_{0}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्रोत $400 \,nm$ और $800 \,nm$ दो तरंगदैर्ध्य उत्सर्जित करता है,जिनमें से प्रत्येक की स्लिट तीव्रता $I_{0}$ है,इसलिए प्रत्येक तरंगदैर्ध्य के लिए अधिकतम तीव्रता $4I_{0}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maxima) पर,दोनों तरंगदैर्ध्य एक साथ अपनी संबंधित अधिकतम तीव्रता उत्पन्न करते हैं।
इसलिए,कुल अधिकतम तीव्रता $I_{\text{total}} = 4I_{0} + 4I_{0} = 8I_{0}$ है।

(B) परावर्तित प्रकाश की तीव्रता तब सबसे कम देखी जाती है जब वह पूरी तरह से ध्रुवीकृत (polarized) होता है। यह ब्रूस्टर के कोण $(i_p)$ पर होता है,जो निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan i_p = \mu = 1.33 = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow i_p = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) = 53^{\circ}$
दी गई ज्यामिति में,सूर्य क्षितिज ($A$,$6.00 \, AM$) से उस स्थिति $P$ तक जाता है जहाँ आपतन कोण $53^{\circ}$ है। सूर्योदय से सूर्यास्त तक का कुल समय $12$ घंटे है,जो सूर्य की स्थिति में $180^{\circ}$ के परिवर्तन के अनुरूप है।
सूर्य को क्षितिज $(A)$ से स्थिति $P$ (जहाँ अभिलंब के साथ आपतन कोण $53^{\circ}$ है) तक जाने में लगा समय इस प्रकार है:
$t = \frac{12 \, h}{180^{\circ}} \times (90^{\circ} + 53^{\circ})$
$t = \frac{12}{180} \times 143^{\circ} = \frac{143}{15} \, h = 9 \, h + \frac{8}{15} \, h = 9 \, h + 32 \, min$
$6.00 \, AM$ से शुरू करते हुए,समय $6.00 + 9 \, h \, 32 \, min = 15:32$ होगा,जो $3:32 \, PM$ के बराबर है।

(B) परिपथ को एक प्रेरक $L$ और एक गतिज विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = B l v$ के श्रेणी संयोजन के रूप में मॉडल किया जा सकता है,जहाँ $l$ चुंबकीय क्षेत्र में भुजा की लंबाई है। चूंकि लूप आयताकार है और स्थिर वेग $v$ से गति कर रहा है,क्षेत्र में भुजा की लंबाई $l$ स्थिर रहती है।
लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$e - L \frac{dI}{dt} = 0$
$v B l - L \frac{dI}{dt} = 0$
$\frac{dI}{dt} = \frac{v B l}{L}$ ..... $(i)$
यह दिया गया है कि मूल बिंदु से बाएं हाथ की दूरी $x = vt$ है,इसलिए:
$\frac{dx}{dt} = v$ ..... $(ii)$
चेन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dI}{dx} = \frac{dI}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dI}{dt} \cdot \frac{1}{v}$।
$(i)$ से मान रखने पर:
$\frac{dI}{dx} = \left( \frac{v B l}{L} \right) \cdot \frac{1}{v} = \frac{B l}{L}$।
चूंकि $B, l,$ और $L$ स्थिर हैं,ढाल $\frac{dI}{dx}$ एक धनात्मक स्थिरांक है। इसलिए,धारा $I$ दूरी $x$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है। सही ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(C-D) चुंबकीय आवेशों वाली दुनिया के लिए संशोधित मैक्सवेल-एम्पियर नियम के अनुसार,चुंबकीय $emf$ $\oint B \cdot dl = \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{d\phi_{E}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
सर्किट के माध्यम से विद्युत फ्लक्स $\phi_{E} = E \cdot A = E \cdot (l \cdot x)$ है,जहाँ $x$ छड़ की स्थिति है।
विद्युत फ्लक्स के परिवर्तन की दर $\frac{d\phi_{E}}{dt} = E \cdot l \cdot \frac{dx}{dt} = E \cdot l \cdot v$ है।
इस मान को $emf$ समीकरण में रखने पर,हमें $emf = \mu_{0} \epsilon_{0} E l v$ प्राप्त होता है।
चूँकि $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \epsilon_{0}}$,इसलिए $emf = \frac{E v l}{c^{2}}$ होता है।
प्रेरित चुंबकीय करंट की दिशा विद्युत क्षेत्र $E$ की दिशा पर निर्भर करती है। यदि $E$ बाहर की ओर निर्देशित है,तो करंट दक्षिणावर्त होगा; यदि $E$ अंदर की ओर निर्देशित है,तो करंट वामावर्त होगा। अतः,$E$ के अभिविन्यास के आधार पर विकल्प $(c)$ और $(d)$ दोनों संभव हैं।

(A) दिए गए कंपरेटर सर्किट में,आउटपुट $V_{o}$ इनपुट $V_{+}$ और $V_{-}$ द्वारा निर्धारित किया जाता है।
$V_{o} = \begin{cases} +10 \, V & \text{यदि } V_{+} > V_{-} \\ -10 \, V & \text{यदि } V_{+} < V_{-} \end{cases}$
सर्किट से,नॉन-इनवर्टिंग इनपुट $V_{+}$ दो श्रेणीबद्ध प्रतिरोधों $R$ द्वारा बने वोल्टेज डिवाइडर से जुड़ा है जो $V_{o}$ से जुड़े हैं,इसलिए $V_{+} = V_{o} \left( \frac{R}{R+R} \right) = \frac{V_{o}}{2}$।
इनवर्टिंग इनपुट $V_{-}$ कैपेसिटर $C$ से जुड़ा है,इसलिए $V_{-} = V_{C}$।
जब $V_{o} = +10 \, V$ होता है,तो $V_{+} = +5 \, V$ होता है। कैपेसिटर प्रतिरोध $R$ के माध्यम से $+10 \, V$ की ओर चार्ज होता है। जैसे ही $V_{C}$,$+5 \, V$ से अधिक हो जाता है,$V_{-} > V_{+}$ हो जाता है,जिससे आउटपुट $-10 \, V$ पर स्विच हो जाता है।
जब $V_{o} = -10 \, V$ होता है,तो $V_{+} = -5 \, V$ होता है। कैपेसिटर $-10 \, V$ की ओर डिस्चार्ज होता है। जैसे ही $V_{C}$,$-5 \, V$ से नीचे गिरता है,$V_{-} < V_{+}$ हो जाता है,जिससे आउटपुट वापस $+10 \, V$ पर स्विच हो जाता है।
यह निरंतर स्विचिंग $+10 \, V$ और $-10 \, V$ के बीच दोलन करने वाली एक स्क्वायर वेव आउटपुट प्रदान करती है।

(B) यह दिया गया है कि चुंबकीय फ्लक्स पेज से बाहर की ओर बढ़ रहा है,लेंज के नियम के अनुसार,दक्षिणावर्त दिशा में एक प्रेरित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है। लूप के चारों ओर emf $\oint E \cdot ds = \varepsilon_{0}$ है।
पथ $1$ के लिए,जो सोलेनोइड को घेरता है,$a$ से $b$ तक विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल $\int_{a}^{b} E \cdot ds = \varepsilon_{0}$ है। इसलिए,$V_{b}-V_{a} = -\int_{a}^{b} E \cdot ds = -\varepsilon_{0}$ प्राप्त होता है।
पथ $2$ के लिए,जो सोलेनोइड को नहीं घेरता है,घिरा हुआ चुंबकीय फ्लक्स शून्य है। अतः,इस पथ पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र का रेखा समाकल शून्य है,जिसका अर्थ है $\int_{a}^{b} E \cdot ds = 0$। इसलिए,$V_{a}-V_{b} = -\int_{b}^{a} E \cdot ds = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 1 \, m$,असमानता $\Delta r = 0.01 \, m$,गति $v = 54 \, m/s$,चुंबकीय आघूर्ण $M = 9.67 \times 10^{-27} \, J/T$,और द्रव्यमान $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$ है।
असमान चुंबकीय क्षेत्र में न्यूट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया चुंबकीय बल $F = M \frac{\Delta B}{\Delta r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि न्यूट्रॉन वृत्ताकार गति कर रहा है,यह चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $F = \frac{m v^2}{r}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $M \frac{\Delta B}{\Delta r} = \frac{m v^2}{r}$।
चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन $\Delta B$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta B = \frac{m v^2 \Delta r}{M r}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta B = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times (54)^2 \times 0.01}{9.67 \times 10^{-27} \times 1}$।
$\Delta B = \frac{1.67 \times 2916 \times 0.01}{9.67} \approx \frac{48.6972}{9.67} \approx 5.04 \, T$।

(A) दिया गया है: छात्र की गति $v = 5.4 \,km/h = 5.4 \times \frac{5}{18} \,m/s = 1.5 \,m/s$.
रास्ते से पाइप के मुख की दूरी $D = 8 \,m$.
पाइप का व्यास $d = 0.45 \,m$.
ध्वनि की आवृत्ति $f = 1280 \,Hz$.
ध्वनि की गति $v_s = 320 \,m/s$.
सबसे पहले,ध्वनि की तरंग दैर्ध्य ज्ञात करें: $\lambda = \frac{v_s}{f} = \frac{320}{1280} = 0.25 \,m$.
पाइप के गोलाकार मुख पर ध्वनि तरंगों का विवर्तन प्रथम निम्निष्ठ (minima) के लिए शर्त का पालन करता है: $\sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}$.
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,जहाँ $y$ केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maxima) के केंद्र से प्रथम निम्निष्ठ तक की दूरी है।
$y = 1.22 \frac{\lambda}{d} D = 1.22 \times \frac{0.25}{0.45} \times 8 = 1.22 \times \frac{1}{1.8} \times 8 \approx 5.42 \,m$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $2y = 2 \times 5.42 = 10.84 \,m$ है।
वह समय $T$ जिसके लिए ध्वनि सुनाई देती है,वह इस चौड़ाई को पार करने में लगा समय है: $T = \frac{2y}{v} = \frac{10.84}{1.5} \approx 7.23 \,s$.
यह मान $6-12$ सेकंड की सीमा में आता है।

(A) सौर सेल के लिए,पदार्थ $A$ को सौर स्पेक्ट्रम के एक महत्वपूर्ण हिस्से को अवशोषित करने में सक्षम होना चाहिए। सौर विकिरण को विद्युत ऊर्जा (emf) में कुशलतापूर्वक परिवर्तित करने के लिए $A$ की बैंड गैप ऊर्जा लगभग $1.5 \, eV$ होनी चाहिए।
पदार्थ $B$ का उपयोग सुरक्षात्मक कोटिंग के रूप में किया जाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि सौर विकिरण बिना अवशोषित हुए इस कोटिंग से गुजर सके,पदार्थ $B$ की बैंड गैप ऊर्जा $E_{B}$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा से काफी अधिक होनी चाहिए। इसलिए,पदार्थ $B$ के लिए $E_{B} = 5 \, eV$ जैसा बड़ा बैंड गैप आदर्श है ताकि यह सौर स्पेक्ट्रम के लिए पारदर्शी बना रहे।
अतः,इष्टतम विकल्प $E_{A} = 1.5 \, eV$ और $E_{B} = 5 \, eV$ है।

(B) अभिविन्यास में कुल परिवर्तन $180^{\circ}$ है।
यह दिया गया है कि परिवर्तन की अवधि $10^5$ वर्ष है।
डिग्री में प्रति वर्ष औसत परिवर्तन $\frac{180^{\circ}}{10^5} = 1.8 \times 10^{-3} \, ^{\circ}/\text{वर्ष}$ है।
हम जानते हैं कि $1^{\circ} = 60 \, \text{मिनट}$ और $1 \, \text{मिनट} = 60 \, \text{सेकंड}$, इसलिए $1^{\circ} = 3600 \, \text{सेकंड}$।
अतः, सेकंड में प्रति वर्ष औसत परिवर्तन $1.8 \times 10^{-3} \times 3600 \, \text{s/वर्ष} = 6.48 \, \text{s/वर्ष}$ है।
इस मान की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, यह $5 \, \text{s}$ के सबसे निकट है।

(C)
दिए गए पैटर्न में से,कॉम्पैक्ट डिस्क पर दिखाई देने वाले रंग प्रकाश के विवर्तन के कारण होते हैं।
अन्य पैटर्न के कारण इस प्रकार हैं:
$(a)$ इंद्रधनुष प्रकाश के अपवर्तन,पूर्ण आंतरिक परावर्तन और विक्षेपण के कारण बनता है।
$(b)$ जब सफेद प्रकाश एक प्रिज्म से गुजरता है,तो बनने वाला रंगीन पैटर्न प्रकाश के विक्षेपण के कारण होता है।
$(d)$ आकाश का नीला रंग प्रकाश के प्रकीर्णन के कारण होता है।

(B) लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$u$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{u}{v} - 1 = \frac{u}{f}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ है,इसलिए $\frac{1}{m} - 1 = \frac{u}{f}$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{m} = \frac{u}{f} + 1$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ग्राफ का ढलान $\frac{1}{f}$ है।
ग्राफ से,ढलान की गणना $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-250)}{0 - (-1)} = \frac{250}{1} = 250$ के रूप में की जाती है।
इसलिए,$\frac{1}{f} = 250$,जिससे $f = \frac{1}{250} = 0.004 \, m$ प्राप्त होता है।

(A) सर्किट $(a)$ के लिए,$100 \, \Omega$ और $200 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणी में हैं,और यह संयोजन $300 \, \Omega$ और $R$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी में है। चित्र $(a)$ को देखने पर,$100 \, \Omega$ और $200 \, \Omega$ श्रेणी में हैं,और $300 \, \Omega$ और $R$ एक-दूसरे के समानांतर हैं। समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (100 + 200) + \frac{300R}{300+R} = 300 + \frac{300R}{300+R} = \frac{90000 + 600R}{300+R}$ है।
कुल धारा $I = \frac{10}{R_{eq}} = \frac{10(300+R)}{90000 + 600R}$ है।
$R$ के पार वोल्टेज $V_a = I \times \frac{300R}{300+R} = \frac{10(300+R)}{90000 + 600R} \times \frac{300R}{300+R} = \frac{3000R}{600R + 90000} = \frac{5R}{R + 150}$ है।
सर्किट $(b)$ के लिए,$200 \, \Omega$ और $R$ श्रेणी में हैं,और यह $300 \, \Omega$ के साथ समानांतर में है। इस समानांतर भाग का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{300(200+R)}{300+200+R} = \frac{60000 + 300R}{500+R}$ है।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 100 + R_p = 100 + \frac{60000 + 300R}{500+R} = \frac{50000 + 100R + 60000 + 300R}{500+R} = \frac{110000 + 400R}{500+R}$ है।
कुल धारा $I = \frac{10}{R_{eq}} = \frac{10(500+R)}{110000 + 400R}$ है।
समानांतर संयोजन के पार वोल्टेज $V_p = I \times R_p = \frac{10(500+R)}{110000 + 400R} \times \frac{60000 + 300R}{500+R} = \frac{600000 + 3000R}{110000 + 400R} = \frac{6000 + 30R}{1100 + 4R}$ है।
$R$ के पार वोल्टेज $V_b = V_p \times \frac{R}{200+R} = \frac{30(200+R)}{1100+4R} \times \frac{R}{200+R} = \frac{30R}{1100+4R}$ है।
$V_a = V_b$ की तुलना करने पर: $\frac{5R}{R+150} = \frac{30R}{1100+4R} \Rightarrow \frac{1}{R+150} = \frac{6}{1100+4R} \Rightarrow 1100 + 4R = 6R + 900 \Rightarrow 2R = 200 \Rightarrow R = 100 \, \Omega$.

(C) दिया गया है:
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G = 6.7 \times 10^{-11} \, Nm^2/kg^2$
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
कूलम्ब नियतांक $k = 9 \times 10^9 \, Nm^2/C^2$
$r$ दूरी पर स्थित दो इलेक्ट्रॉनों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल:
$F_G = \frac{G m_e^2}{r^2} = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{r^2}$
दो इलेक्ट्रॉनों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल:
$F_E = \frac{k e^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r^2}$
गुरुत्वाकर्षण बल और स्थिर-वैद्युत बल का अनुपात:
$\frac{F_G}{F_E} = \frac{G m_e^2}{k e^2} = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$
गणना करने पर:
$\frac{F_G}{F_E} \approx \frac{6.7 \times 82.81 \times 10^{-73}}{9 \times 2.56 \times 10^{-29}} \approx 24 \times 10^{-44}$
अतः,अनुपात लगभग $24 \times 10^{-44}$ है।

(C) प्रकाश किरण के हर दूसरी दीवार से ठीक एक बार परावर्तित होने के बाद उसी छेद से बाहर निकलने के लिए,पथ को वर्ग के विकर्ण के सापेक्ष सममित होना चाहिए।
मान लीजिए कि आपतन कोण $\theta_i$ है। पहली दीवार पर परावर्तन कोण भी $\theta_i$ होगा।
वर्ग के माध्यम से पथ का अनुसरण करने पर,ज्यामिति यह मांग करती है कि बाद की दीवारों पर आपतन कोण ऐसा हो जो बाहर निकलने वाले कोण $e = \theta_i$ के साथ छेद पर वापस आ जाए।
किरण के अन्य तीनों दीवारों से टकराने के बाद उसी छेद से बाहर निकलने के लिए,कुल विचलन ऐसा होना चाहिए कि किरण अपने मूल पथ के समानांतर हो लेकिन विपरीत दिशा में हो,या एक सममित पथ का अनुसरण करे।
एक वर्गाकार बाड़े में,प्रकाश के तीनों दीवारों से टकराकर छेद पर वापस आने के लिए,ज्यामिति यह निर्धारित करती है कि $\theta_i$ को $2\theta_i = 90^{\circ}$ की शर्त को पूरा करना होगा,जो $\theta_i = 45^{\circ}$ देता है।
अतः,किरण केवल $\theta_i = 45^{\circ}$ पर ही बाहर आएगी।

(C) एक ग्राउंडेड चालक कोने के लिए प्रतिबिंब विधि (method of images) का उपयोग करते हुए,हम सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए तीन प्रतिबिंब आवेश रखते हैं: $(-d, 0)$ पर $-q$,$(0, -d)$ पर $-q$,और $(-d, -d)$ पर $+q$।
प्रतिबिंब आवेशों के कारण $(d, d)$ पर स्थित $+q$ आवेश पर बल है:
$1$. $(-d, 0)$ पर $-q$ के कारण बल: $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(2d)^2 + 0^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$ ($x$-अक्ष की ओर आकर्षित)।
$2$. $(0, -d)$ पर $-q$ के कारण बल: $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{0^2 + (2d)^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$ ($y$-अक्ष की ओर आकर्षित)।
$3$. $(-d, -d)$ पर $+q$ के कारण बल: $F_3 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(2d)^2 + (2d)^2} = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2}$ (मूल बिंदु से दूर प्रतिकर्षित)।
दो $-q$ आवेशों के कारण परिणामी आकर्षण बल $F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_1 = \frac{\sqrt{2} q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$,जो मूल बिंदु $O$ की ओर निर्देशित है।
कुल बल $F_{\text{net}} = F_{12} - F_3 = \frac{\sqrt{2} q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2} - \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2} = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2} (2\sqrt{2} - 1)$,जो $O$ की ओर निर्देशित है।

(A) एक अभिसारी लेंस अपने सामने रखी वस्तुओं के वास्तविक और उल्टे प्रतिबिंब बनाता है।
$1$. व्युत्क्रमण: यदि कोई वस्तु ऑप्टिकल सेंटर के सापेक्ष $(x, y)$ स्थिति पर है,तो उसका प्रतिबिंब ऑप्टिकल सेंटर के सापेक्ष $(-x, -y)$ पर होगा (यह मानते हुए कि लेंस मूल बिंदु पर है और मुख्य अक्ष $x$-अक्ष है)।
$2$. ऊर्ध्वाधर व्युत्क्रमण: बल्ब $R$ और $G$ मुख्य अक्ष के ऊपर $(y > 0)$ हैं,इसलिए उनके प्रतिबिंब मुख्य अक्ष के नीचे $(y < 0)$ होंगे। बल्ब $W$ और $B$ मुख्य अक्ष के नीचे $(y < 0)$ हैं,इसलिए उनके प्रतिबिंब मुख्य अक्ष के ऊपर $(y > 0)$ होंगे।
$3$. क्षैतिज व्युत्क्रमण: बल्ब $G$ और $B$ मुख्य अक्ष के बाईं ओर हैं और $R$ और $W$ दाईं ओर हैं। लेंस के व्युत्क्रमण गुण के कारण,पार्श्व स्थितियाँ आपस में बदल जाती हैं।
$4$. फोकसिंग: बल्ब $W$ और $B$,$R$ और $G$ की तुलना में लेंस के करीब हैं। एक अभिसारी लेंस के लिए,लेंस के करीब की वस्तुएं दूर प्रतिबिंब बनाती हैं। इस प्रकार,$W$ और $B$ के प्रतिबिंब स्क्रीन $S_2$ पर (लेंस से दूर) बनेंगे,और $R$ और $G$ के प्रतिबिंब स्क्रीन $S_1$ पर (लेंस के करीब) बनेंगे।
इन सबको मिलाकर,सही प्रतिनिधित्व विकल्प $(a)$ में दिखाया गया है।

(C) मान लीजिए कि जब सिक्का पहली बार दिखाई देता है तो पानी का स्तर $h$ है। सिक्के से आने वाली प्रकाश किरण पानी की सतह पर जाती है और प्रेक्षक $O$ की ओर अपवर्तित होती है।
ज्यामिति से,अपवर्तन कोण $r$ के लिए $\tan r = \frac{L-R}{H-d} = \frac{1.5-1}{5.75-4} = \frac{0.5}{1.75} = \frac{2}{7}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि सिक्के से उस बिंदु तक की क्षैतिज दूरी $x$ है जहाँ किरण पानी की सतह से टकराती है। तब $\tan r = \frac{x}{d-h} \Rightarrow x = (d-h) \tan r$.
साथ ही,$\tan i = \frac{R-x}{h}$ है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$n \sin i = \sin r$. यहाँ $n = 4/3$ है,इसलिए $\sin r = \frac{4}{3} \sin i$.
$\tan r = 2/7$ का उपयोग करने पर,$\sin r = \frac{2}{\sqrt{2^2+7^2}} = \frac{2}{\sqrt{53}}$.
अतः,$\sin i = \frac{3}{4} \sin r = \frac{3}{4} \times \frac{2}{\sqrt{53}} = \frac{3}{2\sqrt{53}}$.
अब $\tan i = \frac{\sin i}{\sqrt{1-\sin^2 i}} = \frac{3/2\sqrt{53}}{\sqrt{1-9/(4 \times 53)}} = \frac{3/2\sqrt{53}}{\sqrt{203}/(2\sqrt{53})} = \frac{3}{\sqrt{203}}$.
$x = R - h \tan i = (d-h) \tan r$ को बराबर करने पर,$h = \frac{d \tan r - R}{\tan r - \tan i} = \frac{4(2/7) - 1}{2/7 - 3/\sqrt{203}} \approx 1.92 \,m$ प्राप्त होता है।
पानी का आयतन $V = \pi R^2 h = \pi (1)^2 (1.92) = 1.92 \pi \approx 6.03 \,m^3$.
चूंकि $V = Qt$,इसलिए $t = V/Q = 6.03 / 0.1 = 60.3 \,s$. निकटतम विकल्प $63 \,s$ है।