मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि सभी $x, y \in R$ के लिए $|f(x) - f(y)| \geq |x - y|$ है।सबसे पहले,हम दिखाते हैं कि $f$ एकैकी है। मान लीजिए कि कुछ $x_1, x_2 \in R$

Vedclass · Accepted Answer

$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि सभी $x, y \in R$ के लिए $|f(x) - f(y)| \geq |x - y|$ है।सबसे पहले,हम दिखाते हैं कि $f$ एकैकी है। मान लीजिए कि कुछ $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। तो $|f(x_1) - f(x_2)| = 0$ होगा। दी गई असमिका से,$0 \geq |x_1 - x_2|$,जिसका अर्थ है कि $|x_1 - x_2| = 0$,इसलिए $x_1 = x_2$ है। अतः,$f$ एकैकी है।आगे,हम दिखाते हैं कि $f$ आच्छादक है। चूँकि $f$ सतत और एकैकी है,$f$ को सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) होना चाहिए। यदि $f$ सख्ती से वर्धमान है,तो $x > y$ के लिए $f(x) - f(y) \geq x - y$ होगा। जैसे $x 	o \infty$,$f(x) 	o \infty$,और जैसे $x 	o -\infty$,$f(x) 	o -\infty$ होगा। यदि $f$ सख्ती से ह्रासमान है,तो $x > y$ के लिए $f(y) - f(x) \geq x - y$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f(x) - f(y) \leq -(x - y)$। जैसे $x 	o \infty$,$f(x) 	o -\infty$,और जैसे $x 	o -\infty$,$f(x) 	o \infty$ होगा। दोनों ही स्थितियों में,$f$ का परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है। अतः,$f$ आच्छादक है।इसलिए,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

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