int_0^{pi / 2} sqrt{sin theta} cos ^3 theta d | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\sin 	heta} \cos^3 	heta d 	heta$.प्रतिस्थापन: $\sin 	heta = t$,तब $\cos 	heta d 	heta = dt$.जब $	heta = 0

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$\frac{8}{21}$

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(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\sin 	heta} \cos^3 	heta d 	heta$.प्रतिस्थापन: $\sin 	heta = t$,तब $\cos 	heta d 	heta = dt$.जब $	heta = 0$,तब $t = 0$. जब $	heta = \frac{\pi}{2}$,तब $t = 1$.यहाँ $\cos^3 	heta d 	heta = \cos^2 	heta (\cos 	heta d 	heta) = (1 - \sin^2 	heta) \cos 	heta d 	heta = (1 - t^2) dt$.अतः,$I = \int_0^1 \sqrt{t} (1 - t^2) dt = \int_0^1 (t^{1/2} - t^{5/2}) dt$.समाकलन करने पर: $I = \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} - \frac{t^{7/2}}{7/2} ight]_0^1$.$I = \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} - \frac{2}{7} t^{7/2} ight]_0^1$.$I = \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{7} ight) - 0 = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21}$.

$\int_0^{\pi / 2} \sqrt{\sin \theta} \cos ^3 \theta d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \sqrt{1 - x} & 0 \le x \le 1 \\ (7x - 6)^{-1/3} & 1 < x \le 2 \end{cases}$ है,तो $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-2}^3 |1-x^2| dx =$

$\int_0^1 x(1-x)^n dx = $ . . . . . . .

समाकल $\int_{0}^{0.9} [x - 2[x]] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

निश्चित समाकल $\int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} \,(1 + \sqrt {1 - {x^2}} )}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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