यदि A = begin{bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end{bmatr | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$। ध्यान दें कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0

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$a^n I + n a^{n-1} b A$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$। ध्यान दें कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$।हम आव्यूहों के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हैं। चूँकि $I$ और $A$ क्रमविनिमेय हैं $(IA = AI = A)$,हमारे पास है:$(aI + bA)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (aI)^{n-k} (bA)^k$।चूँकि सभी $k \ge 2$ के लिए $A^k = O$ है,केवल $k=0$ और $k=1$ वाले पद ही अशून्य होंगे:$(aI + bA)^n = \binom{n}{0} (aI)^n (bA)^0 + \binom{n}{1} (aI)^{n-1} (bA)^1$।$(aI + bA)^n = 1 \cdot a^n I \cdot I + n \cdot a^{n-1} I \cdot bA$।$(aI + bA)^n = a^n I + n a^{n-1} b A$।

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ है,तो $(aI + bA)^n$ क्या होगा? (जहाँ $I$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है)

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