IIT JEE 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ગણ $P$ માટે,આપણી પાસે $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ છે.
પુનઃગોઠવણ કરતા $\sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ મળે.
$(\sqrt{2} - 1)$ વડે ગુણતા,$(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = \cos \theta$ થાય છે.
આમ,$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ મળે છે.
આ ગણ $Q$ માટેની શરત છે.
તેથી,$P = Q$.

(C) આપેલ રેખા $\sqrt{3}x + y = 1$ છે,જે $y = -\sqrt{3}x + 1$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^o$ છે,તેથી $\tan(60^o) = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})}| = |\frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3 = \frac{(m + \sqrt{3})^2}{(1 - \sqrt{3}m)^2} \Rightarrow 3(1 - 2\sqrt{3}m + 3m^2) = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3$.
$3 - 6\sqrt{3}m + 9m^2 = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3 \Rightarrow 8m^2 - 8\sqrt{3}m = 0$.
$8m(m - \sqrt{3}) = 0$,તેથી $m = 0$ અથવા $m = \sqrt{3}$.
જો $m = 0$ હોય,તો રેખા $y + 2 = 0(x - 3) \Rightarrow y + 2 = 0$ મળે,જે $x$-અક્ષને સમાંતર છે અને તેને છેદતી નથી.
જો $m = \sqrt{3}$ હોય,તો રેખા $y - (-2) = \sqrt{3}(x - 3) \Rightarrow y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3}$ મળે.
તેથી $y - \sqrt{3}x + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $(2x)^{\ln 2} = (3y)^{\ln 3}$ અને $3^{\ln x} = 2^{\ln y}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુ $\ln$ લેતા:
$(\ln 2)(\ln 2 + \ln x) = (\ln 3)(\ln 3 + \ln y) \quad (1)$
બીજા સમીકરણની બંને બાજુ $\ln$ લેતા:
$(\ln x)(\ln 3) = (\ln y)(\ln 2) \Rightarrow \ln y = \frac{(\ln x)(\ln 3)}{\ln 2}$.
$\ln y$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$(\ln 2)^2 + (\ln 2)(\ln x) = (\ln 3)^2 + (\ln 3)\left(\frac{(\ln x)(\ln 3)}{\ln 2}\right)$
$(\ln x) \left(\ln 2 - \frac{(\ln 3)^2}{\ln 2}\right) = (\ln 3)^2 - (\ln 2)^2$
$(\ln x) \left(\frac{(\ln 2)^2 - (\ln 3)^2}{\ln 2}\right) = (\ln 3)^2 - (\ln 2)^2$
બંને બાજુ $((\ln 2)^2 - (\ln 3)^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\ln x}{\ln 2} = -1$
$\ln x = -\ln 2 = \ln(2^{-1})$
$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
આમ,$x_0 = \frac{1}{2}$.

(C) જેમ કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2-6x-2=0$ ના બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2-6\alpha-2=0 \implies \alpha^2 = 6\alpha + 2$
$\beta^2-6\beta-2=0 \implies \beta^2 = 6\beta + 2$
આપેલ છે કે $a_n = \alpha^n - \beta^n$,તેથી $a_{10} = \alpha^{10} - \beta^{10}$ અને $a_8 = \alpha^8 - \beta^8$.
બીજના સમીકરણોને અનુક્રમે $\alpha^8$ અને $\beta^8$ વડે ગુણતા:
$\alpha^{10} = 6\alpha^9 + 2\alpha^8$
$\beta^{10} = 6\beta^9 + 2\beta^8$
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$a_{10} = \alpha^{10} - \beta^{10} = 6(\alpha^9 - \beta^9) + 2(\alpha^8 - \beta^8)$
$a_{10} = 6a_9 + 2a_8$
પદોને ગોઠવતા:
$a_{10} - 2a_8 = 6a_9$
$2a_9$ વડે ભાગતા:
$\frac{a_{10}-2a_8}{2a_9} = \frac{6a_9}{2a_9} = 3$

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ માટે,$a_e^2 = 4$ અને $b_e^2 = 1$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \frac{1}{e_e} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$e_h^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies \frac{4}{3} = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies a^2 = 3b^2$.
ઉપવલયની નાભિ $(\pm \sqrt{3}, 0)$ છે. અતિવલય $(\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 = 3$ અને $b^2 = 1$ મળે.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 3y^2 = 3$ છે. નાભિ $(2, 0)$ છે.
તેથી,$(B, D)$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=8x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે. તેથી,$4a=8$,એટલે કે $a=2$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે,જે $(2, 4)$ અને $(2, -4)$ છે.
બિંદુઓ $(2, 4)$,$(2, -4)$ અને $P\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta_1 = 6$ મળે છે.
$y^2=8x$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 4(x+x_1)$ છે.
$(2, 4)$ આગળ સ્પર્શક: $y = x+2$.
$(2, -4)$ આગળ સ્પર્શક: $y = -x-2$.
$(0.5, 2)$ આગળ સ્પર્શક: $y = 2x+1$.
સ્પર્શકોના છેદબિંદુઓ $(-2, 0)$,$(1, 3)$ અને $(-1, -1)$ છે.
આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta_2 = 3$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{6}{3} = 2$.

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. પ્રથમ $p$ પદોનો સરવાળો $S_p = \frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_1 = 3$ આપેલ છે,તેથી $S_p = \frac{p}{2} [6 + (p-1)d]$.
અહીં $m = 5n$ આપેલ છે. તેથી,$\frac{S_m}{S_n} = \frac{S_{5n}}{S_n} = \frac{\frac{5n}{2} [6 + (5n-1)d]}{\frac{n}{2} [6 + (n-1)d]} = 5 \times \frac{6 - d + 5nd}{6 - d + nd}$.
આ ગુણોત્તર $n$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$d = 6$ હોવું જોઈએ.
તેથી $S_p = \frac{p}{2} [6 + (p-1)6] = 3p^2$.
તેથી $\frac{S_{5n}}{S_n} = \frac{3(5n)^2}{3n^2} = 25$,જે $n$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,$d = 6$.
તેથી $a_2 = a_1 + d = 3 + 6 = 9$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})} + \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{n})}$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{n})} - \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
સૂત્ર $\sin(A) - \sin(B) = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(\frac{3\pi}{n}) - \sin(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$\frac{2\cos(\frac{2\pi}{n})\sin(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$\frac{2\cos(\frac{2\pi}{n})}{\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$2\sin(\frac{2\pi}{n})\cos(\frac{2\pi}{n}) = \sin(\frac{3\pi}{n})$
$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{4\pi}{n}) = \sin(\frac{3\pi}{n})$
$\sin(A) = \sin(B)$ હોવાથી $A = \pi - B$ મળે:
$\frac{4\pi}{n} = \pi - \frac{3\pi}{n}$
$\frac{4\pi}{n} + \frac{3\pi}{n} = \pi$
$\frac{7\pi}{n} = \pi$
$n = 7$

(A) ધારો કે $w = z - (3 + 2i)$. આપેલ છે કે $|w| \leq 2$.
આપણે $|2z - 6 + 5i|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવાની છે.
$|2z - 6 + 5i| = |2(z - 3) + 5i| = |2(z - 3 - 2i + 2i) + 5i| = |2(z - 3 - 2i) + 4i + 5i| = |2(z - 3 - 2i) + 9i|$.
ધારો કે $w = z - 3 - 2i$,જ્યાં $|w| \leq 2$.
પદાવલિ $|2w + 9i| = 2|w + \frac{9}{2}i|$ બને છે.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|w + \frac{9}{2}i| \geq ||\frac{9}{2}i| - |w||$.
કારણ કે $|w| \leq 2$,$|w + \frac{9}{2}i|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $w$ એ $\frac{9}{2}i$ ની દિશામાં હોય,જે $|4.5 - 2| = 2.5$ આપે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2 \times 2.5 = 5$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{3}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}$ છે.
આપણે તેને $S = \frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}$ તરીકે લખી શકીએ.
આ $8$ ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતા લાગુ પાડતા:
$\frac{\frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}}{8} \geq \sqrt[8]{\frac{1}{a^5} \cdot \frac{1}{a^4} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot 1 \cdot a^8 \cdot a^{10}}$.
પદોનો ગુણાકાર $\frac{1}{a^{5+4+3+3+3}} \cdot a^{8+10} = \frac{1}{a^{18}} \cdot a^{18} = 1$ થાય છે.
તેથી,$\frac{S}{8} \geq \sqrt[8]{1} = 1$.
આમ,$S \geq 8$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $8$ છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = (6, 3)$ મુકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{6} + \frac{b^2y}{3} = a^2 + b^2$ મળે.
આ અભિલંબ $(9, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 9$ અને $y = 0$ મુકતા:
$\frac{a^2(9)}{6} + \frac{b^2(0)}{3} = a^2 + b^2$
$\frac{3a^2}{2} = a^2 + b^2$
$\frac{a^2}{2} = b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
$a^2 = 2b^2$ મુકતા:
$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{2b^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2+bx-1=0$ અને $x^2+x+b=0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2+b\alpha-1=0$ અને $\alpha^2+\alpha+b=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^2+b\alpha-1) - (\alpha^2+\alpha+b) = 0$
$(b-1)\alpha - (1+b) = 0$
$(b-1)\alpha = b+1$
$\alpha = \frac{b+1}{b-1}$ (જ્યાં $b \neq 1$).
$\alpha$ ની કિંમત બીજા સમીકરણ $\alpha^2+\alpha+b=0$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{b+1}{b-1}\right)^2 + \frac{b+1}{b-1} + b = 0$
$(b-1)^2$ વડે ગુણતા:
$(b+1)^2 + (b+1)(b-1) + b(b-1)^2 = 0$
$(b^2+2b+1) + (b^2-1) + b(b^2-2b+1) = 0$
$2b^2+2b + b^3-2b^2+b = 0$
$b^3+3b = 0$
$b(b^2+3) = 0$
અહીં $b \neq 0$ હોવાથી,$b^2+3=0$,તેથી $b^2=-3$,એટલે કે $b = \pm i\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, 2)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 2$ થશે અને ત્રિજ્યા $r = |h|$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - 2)^2 = h^2$ છે.
વર્તુળ $(-1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(-1 - h)^2 + (0 - 2)^2 = h^2$
$(h + 1)^2 + 4 = h^2$
$h^2 + 2h + 1 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + \frac{5}{2})^2 + (y - 2)^2 = (\frac{5}{2})^2$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x^2 + y^2 + 5x - 4y + 4 = 0$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(-4, 0)$ માટે:
$(-4)^2 + (0)^2 + 5(-4) - 4(0) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$.
આમ,વર્તુળ $(-4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim_{x \rightarrow 0} (1 + f(x))^{\frac{1}{g(x)}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $\lim_{x \rightarrow 0} [1 + x \ln(1 + b^2)]^{\frac{1}{x}}$ માટે,$f(x) = x \ln(1 + b^2)$ અને $g(x) = x$ છે.
તેથી,લક્ષ $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln(1 + b^2)}{x}} = e^{\ln(1 + b^2)} = 1 + b^2$ થાય.
આને આપેલ પદાવલિ સાથે સરખાવતા: $1 + b^2 = 2b \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\sin^2 \theta = \frac{1 + b^2}{2b} = \frac{1}{2} (b + \frac{1}{b})$ મળે છે.
$b > 0$ હોવાથી,$AM-GM$ અસમતા મુજબ,$b + \frac{1}{b} \geq 2$,જે સૂચવે છે કે $\sin^2 \theta \geq 1$.
$\sin^2 \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,$\sin^2 \theta = 1$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \theta = \pm 1$,તેથી $\theta = \pm \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $(0, 0)$ અને $(x, y)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,વિભાજનના સૂત્ર મુજબ:
$h = \frac{x}{4}$ અને $k = \frac{y}{4}$
તેથી,$x = 4h$ અને $y = 4k$.
બિંદુ $(x, y)$ પરવલય $y^2 = 4x$ પર હોવાથી:
$(4k)^2 = 4(4h)$
$16k^2 = 16h$
$k^2 = h$
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $y^2 = x$ છે.

(C) પરવલય $y^2=4ax$ (જ્યાં $a=1$) ના અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
$a=1$ મૂકતા,$y=mx-2m-m^3$ મળે.
અભિલંબ $(9,6)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી:
$6 = 9m - 2m - m^3$
$m^3 - 7m + 6 = 0$
આ સમીકરણના ઉકેલ $m=1, 2, -3$ મળે છે.
$m=1$ માટે: $y-x+3=0$.
$m=2$ માટે: $y-2x+12=0$.
$m=-3$ માટે: $y+3x-33=0$.
આમ,સાચા વિકલ્પો $(A), (B)$ અને $(D)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\omega = e^{i \pi / 3}$.
$|x|^2 = (a+b+c)(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) = |a|^2+|b|^2+|c|^2 + (a\bar{b} + \bar{a}b) + (b\bar{c} + \bar{b}c) + (c\bar{a} + \bar{c}a)$.
$|y|^2 = (a+b\omega+c\omega^2)(\bar{a}+\bar{b}\bar{\omega}+\bar{c}\bar{\omega}^2)$.
$|z|^2 = (a+b\omega^2+c\omega)(\bar{a}+\bar{b}\bar{\omega}^2+\bar{c}\bar{\omega})$.
આ પદોનો સરવાળો કરતા,એકમના ઘનમૂળના ગુણધર્મોને કારણે ક્રોસ પદો દૂર થાય છે અને પરિણામ $3(|a|^2+|b|^2+|c|^2)$ મળે છે.
તેથી,$\frac{|x|^2+|y|^2+|z|^2}{|a|^2+|b|^2+|c|^2} = 3$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $C: x^2 + y^2 - 6 = 0$ છે અને રેખા $L: 2x - 3y - 1 = 0$ છે.
પ્રથમ,તપાસો કે કયા બિંદુઓ વર્તુળ $x^2 + y^2 \leq 6$ ની અંદર છે:
$1$. $(2, 3/4)$ માટે: $2^2 + (3/4)^2 = 4 + 9/16 = 73/16 = 4.5625 < 6$ (અંદર).
$2$. $(5/2, 3/4)$ માટે: $(5/2)^2 + (3/4)^2 = 25/4 + 9/16 = 109/16 = 6.8125 > 6$ (બહાર).
$3$. $(1/4, -1/4)$ માટે: $(1/4)^2 + (-1/4)^2 = 1/16 + 1/16 = 2/16 = 0.125 < 6$ (અંદર).
$4$. $(1/8, 1/4)$ માટે: $(1/8)^2 + (1/4)^2 = 1/64 + 1/16 = 5/64 = 0.078 < 6$ (અંદર).
હવે,તપાસો કે આ બિંદુઓ રેખા $L(x, y) = 2x - 3y - 1$ ની કઈ બાજુએ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ લેતા $L(0, 0) = -1 < 0$ મળે છે. નાનો ભાગ તે છે જેમાં કેન્દ્ર નથી.
$1$. $(2, 3/4)$ માટે: $L = 2(2) - 3(3/4) - 1 = 4 - 9/4 - 1 = 0.75 > 0$.
$2$. $(1/4, -1/4)$ માટે: $L = 2(1/4) - 3(-1/4) - 1 = 0.25 > 0$.
$3$. $(1/8, 1/4)$ માટે: $L = 2(1/8) - 3(1/4) - 1 = -1.5 < 0$.
આમ,$L > 0$ હોય તેવા $2$ બિંદુઓ નાના ભાગમાં છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{\sqrt{\ln 2}}^{\sqrt{\ln 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2 + \sin (\ln 6 - x^2)} dx$.
$x^2 = t$ લેતા,$2x dx = dt$ અથવા $x dx = \frac{1}{2} dt$ મળે.
જ્યારે $x = \sqrt{\ln 2}$,ત્યારે $t = \ln 2$. જ્યારે $x = \sqrt{\ln 3}$,ત્યારે $t = \ln 3$.
આથી સંકલન $I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin t}{\sin t + \sin (\ln 6 - t)} dt$ બને છે.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(a+b-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin (\ln 2 + \ln 3 - t)}{\sin (\ln 2 + \ln 3 - t) + \sin (\ln 6 - (\ln 2 + \ln 3 - t))} dt$ મળે.
$\ln 2 + \ln 3 = \ln 6$ હોવાથી,આ $I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin (\ln 6 - t)}{\sin (\ln 6 - t) + \sin t} dt$ માં પરિણમે છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin t + \sin (\ln 6 - t)}{\sin t + \sin (\ln 6 - t)} dt = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} 1 dt$.
$2I = \frac{1}{2} [t]_{\ln 2}^{\ln 3} = \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 2) = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$.
તેથી,$I = \frac{1}{4} \ln \frac{3}{2}$.

(B) કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^1 (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^1 = 0 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $R_1 = \int_0^b (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^b = -\frac{(1-b)^3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1-(1-b)^3}{3}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $R_2 = \int_b^1 (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_b^1 = 0 - (-\frac{(1-b)^3}{3}) = \frac{(1-b)^3}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$,તેથી:
$\frac{1-(1-b)^3}{3} - \frac{(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - 2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$1 - 2(1-b)^3 = \frac{3}{4}$
$2(1-b)^3 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$(1-b)^3 = \frac{1}{8}$
$1-b = \frac{1}{2}$
$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
જરૂરી સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી $\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
વળી,$\vec{v}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$.
$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \implies x(\vec{a} \cdot \vec{c}) + y(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 4$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (2)(1) + (1)(1) = 4$.
તેથી,$4x + 4y = 0 \implies x = -y$.
આમ,$\vec{v} = x(\vec{a} - \vec{b}) = x[(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})] = x(-\hat{j}+\hat{k})$.
જો $x=1$ હોય,તો $\vec{v} = -\hat{j}+\hat{k}$ (વિકલ્પ $D$).
જો $x=-1$ હોય,તો $\vec{v} = \hat{j}-\hat{k}$ (વિકલ્પ $A$).
તેથી,સાચા સદિશો $(A)$ અને $(D)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $M$ અને $N$ સ્કીવ-સિમેટ્રિક શ્રેણિકો છે,તેથી $M^T = -M$ અને $N^T = -N$.
$M$ અને $N$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે,જે નોન-સિંગ્યુલર છે અને $MN = NM$ છે.
આપણે પદાવલિ $E = M^2 N^2 (M^T N)^{-1} (M N^{-1})^T$ નું સાદું રૂપ આપવાનું છે.
પ્રથમ,$M^T = -M$ મૂકતા:
$E = M^2 N^2 (-M N)^{-1} (M N^{-1})^T$.
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(-MN)^{-1} = N^{-1} (-M)^{-1} = -N^{-1} M^{-1}$.
$(AB)^T = B^T A^T$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(M N^{-1})^T = (N^{-1})^T M^T = (N^T)^{-1} M^T = (-N)^{-1} (-M) = (-N^{-1}) (-M) = N^{-1} M$.
હવે આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = M^2 N^2 (-N^{-1} M^{-1}) (N^{-1} M)$.
$MN = NM$ હોવાથી,$M^{-1} N^{-1} = N^{-1} M^{-1}$ અને $M N^{-1} = N^{-1} M$ થાય.
$E = -M^2 N^2 N^{-1} M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 N (N N^{-1}) M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 N I M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 (N M^{-1}) N^{-1} M$.
$N M^{-1} = M^{-1} N$ હોવાથી:
$E = -M^2 M^{-1} N N^{-1} M$.
$E = -M (N N^{-1}) M$.
$E = -M I M = -M^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B, C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે.
$x=0, y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)+f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=0$.
કારણ કે $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે,તેથી $f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
હવે,કોઈપણ $x \in R$ માટે,વિકલિત $f^{\prime}(x)$ નીચે મુજબ મળે:
$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = f^{\prime}(0) = k$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) = k$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે,તેથી $f^{\prime}(x)$ એક અચળ વિધેય છે.
$f^{\prime}(x) = k$ નું સંકલન કરતા,આપણને $f(x) = kx + C$ મળે છે. $f(0)=0$ હોવાથી,$C=0$ મળે,તેથી $f(x) = kx$.
સુરેખ વિધેય $f(x) = kx$ એ તમામ $x \in R$ માટે સતત અને વિકલનીય છે.
આમ,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) શ્રેણિક સમીકરણ પરથી, આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$a + 8b + 7c = 0$
$9a + 2b + 3c = 0$
$7a + 7b + 7c = 0 \implies a + b + c = 0$
આને ઉકેલતા, આપણને $b = 6a$ અને $c = -7a$ મળે છે.
$1.$ આપેલ છે કે $2a + b + c = 1$. $b=6a$ અને $c=-7a$ મૂકતા, આપણને $2a + 6a - 7a = 1 \implies a = 1$ મળે છે. તેથી $b=6, c=-7$. મૂલ્ય $7a + b + c = 7(1) + 6 - 7 = 6$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2.$ આપેલ છે કે $a=2$, તેથી $b=12, c=-14$. કારણ કે $\omega^3=1$, તેથી $\omega^{12}=1$ અને $\omega^{-14} = \omega^{-14+15} = \omega$. પદાવલિ $\frac{3}{\omega^2} + \frac{1}{\omega^{12}} + \frac{3}{\omega^{-14}} = 3\omega + 1 + 3\omega^2 = 1 + 3(\omega + \omega^2) = 1 + 3(-1) = -2$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$3.$ આપેલ છે કે $b=6$, તેથી $a=1, c=-7$. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 6x - 7 = 0$ છે. બીજ $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$ છે, તેથી $\alpha = 1, \beta = -7$. પછી $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$. સરવાળો $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{6}{7})^n = \frac{1}{1 - 6/7} = 7$. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) ધારો કે $H$ એ છાપ આવવાની ઘટના છે અને $T$ એ કાંટો આવવાની ઘટના છે. $P(H) = P(T) = \frac{1}{2}$.
$1.$ ધારો કે $W$ એ $U_2$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
જો $H$ બને,તો $U_1$ માંથી $1$ દડો $U_2$ માં ખસેડવામાં આવે છે. $U_2$ માં હવે $2$ દડા છે.
$P(W|H) = P(U_1 \text{ \text{માંથી સફેદ}}) \times P(U_2 \text{ \text{માંથી સફેદ}} | \text{\text{સફેદ ખસેડાયો}}) + P(U_1 \text{ \text{માંથી લાલ}}) \times P(U_2 \text{ \text{માંથી સફેદ}} | \text{\text{લાલ ખસેડાયો}})$
$P(W|H) = (\frac{3}{5} \times \frac{2}{2}) + (\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
જો $T$ બને,તો $U_1$ માંથી $2$ દડા $U_2$ માં ખસેડવામાં આવે છે. $U_2$ માં હવે $3$ દડા છે.
$P(W|T) = P(2W) \times P(W|2W) + P(1W, 1R) \times P(W|1W, 1R) + P(2R) \times P(W|2R)$
$P(W|T) = (\frac{^3C_2}{^5C_2} \times \frac{3}{3}) + (\frac{^3C_1 \times ^2C_1}{^5C_2} \times \frac{2}{3}) + (\frac{^2C_2}{^5C_2} \times \frac{1}{3})$
$P(W|T) = (\frac{3}{10} \times 1) + (\frac{6}{10} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{10} \times \frac{1}{3}) = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} + \frac{1}{30} = \frac{9+12+1}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$.
$P(W) = P(H)P(W|H) + P(T)P(W|T) = \frac{1}{2}(\frac{4}{5}) + \frac{1}{2}(\frac{11}{15}) = \frac{2}{5} + \frac{11}{30} = \frac{12+11}{30} = \frac{23}{30}$.
$2.$ બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(H|W) = \frac{P(H)P(W|H)}{P(W)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}}{\frac{23}{30}} = \frac{2/5}{23/30} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{23} = \frac{12}{23}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $6 \int_1^x f(t) dt = 3x f(x) - x^3$ છે.
ન્યુટન-લીબનીઝ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$6 f(x) = 3 f(x) + 3x f'(x) - 3x^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$3x f'(x) = 3 f(x) + 3x^2 \Rightarrow x f'(x) - f(x) = x^2$.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \geq 1$ હોવાથી):
$\frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} = 1 \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x} \right) = 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\frac{f(x)}{x} = x + C$.
$f(1) = 2$ આપેલ છે,તેથી $x=1$ મૂકતા:
$\frac{f(1)}{1} = 1 + C \Rightarrow 2 = 1 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$f(x) = x^2 + x$.
$f(2)$ ની કિંમત:
$f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.

(A) આપેલ છે,$f(\theta) = \sin \left(\tan^{-1} \left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \right) \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta$.
ધારો કે $\tan^{-1} \left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \right) = \alpha$. તો $\tan \alpha = \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}$.
નિત્યસમ $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sec^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{\cos 2\theta + \sin^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\cos 2\theta}$.
આમ,$\cos^2 \alpha = \frac{\cos 2\theta}{\cos^2 \theta}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{\cos 2\theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \cos 2\theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta - (2\cos^2 \theta - 1)}{\cos^2 \theta} = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$,$\tan \theta$ એ $(-1, 1)$ માં છે,તેથી $\sin \alpha = \tan \theta$.
તેથી,$f(\theta) = \sin \alpha = \tan \theta$.
હવે,$\frac{d}{d(\tan \theta)}(\tan \theta) = 1$.

(A) ધારો કે શ્રેણિક $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક બિન-શૂન્ય (non-singular) હોવા માટે,તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,એટલે કે $|M| \neq 0$.
$|M| = 1(1 - c\omega) - a(\omega - c\omega^2) + b(\omega^2 - \omega^2) = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2$.
$|M| = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2 = (1 - a\omega)(1 - c\omega)$.
$|M| \neq 0$ માટે,$1 - a\omega \neq 0$ અને $1 - c\omega \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $a\omega \neq 1$ અને $c\omega \neq 1$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,આપણી પાસે $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ છે. તેથી,$a \neq \omega^2$ અને $c \neq \omega^2$.
આપેલ છે કે $a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$,તેથી $a \neq \omega^2$ નો અર્થ છે $a = \omega$,અને $c \neq \omega^2$ નો અર્થ છે $c = \omega$.
જોકે,$b$ એ $\omega$ અથવા $\omega^2$ હોઈ શકે છે કારણ કે $b$ નિશ્ચાયકના પદમાં આવતું નથી.
તેથી,$(a, b, c)$ માટે શક્ય કિંમતો $(\omega, \omega, \omega)$ અને $(\omega, \omega^2, \omega)$ છે.
તેથી,અલગ બિન-શૂન્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) આપેલ છે કે $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$R_1 = \int_{-1}^2 ((-1) + 2 - x) f((-1) + 2 - x) dx$
$R_1 = \int_{-1}^2 (1 - x) f(1 - x) dx$.
કારણ કે $f(x) = f(1 - x)$,આપણે આ કિંમત સંકલનમાં મૂકીએ:
$R_1 = \int_{-1}^2 (1 - x) f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx - \int_{-1}^2 x f(x) dx$.
$R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - R_1$.
$2 R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
કારણ કે $R_2$ એ $y = f(x)$ દ્વારા $x = -1$ થી $x = 2$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે,$R_2 = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
તેથી,$2 R_1 = R_2$.

(A) આપેલ છે,$f(x) = x^2$ અને $g(x) = \sin x$ દરેક $x \in R$ માટે.
પ્રથમ,$(f \circ g \circ g \circ f)(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(f \circ g \circ g \circ f)(x) = f(g(g(f(x)))) = f(g(g(x^2))) = f(g(\sin x^2)) = f(\sin(\sin x^2)) = (\sin(\sin x^2))^2$.
ત્યારબાદ,$(g \circ g \circ f)(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(g \circ g \circ f)(x) = g(g(f(x))) = g(g(x^2)) = g(\sin x^2) = \sin(\sin x^2)$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$(\sin(\sin x^2))^2 = \sin(\sin x^2)$.
ધારો કે $u = \sin(\sin x^2)$. તો $u^2 = u$,જેનો અર્થ છે $u^2 - u = 0$,તેથી $u(u - 1) = 0$.
આથી $u = 0$ અથવા $u = 1$ મળે.
કિસ્સો $1$: $\sin(\sin x^2) = 0$.
આનો અર્થ છે $\sin x^2 = n \pi$ કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે. $\sin x^2$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$n \pi$ માટે શક્ય કિંમત માત્ર $0$ છે (જ્યારે $n = 0$).
તેથી,$\sin x^2 = 0$,જેનો અર્થ છે $x^2 = n \pi$ જ્યાં $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$.
આમ,$x = \pm \sqrt{n \pi}$ જ્યાં $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$.
કિસ્સો $2$: $\sin(\sin x^2) = 1$.
આનો અર્થ છે $\sin x^2 = \frac{\pi}{2}$. કારણ કે $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$,આ માટે $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત શક્ય નથી.
તેથી,$x$ નો ગણ $\pm \sqrt{n \pi}$ છે જ્યાં $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \\ -\cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$.
$1$. $x=-\frac{\pi}{2}$ આગળ સાતત્ય:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 0$.
$RHL = \lim_{h \to 0} -\cos(-\frac{\pi}{2}+h) = 0$.
$LHL = RHL = f(-\frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=-\frac{\pi}{2}$ આગળ સતત છે. (વિધાન $A$ સાચું છે).
$2$. $x=0$ આગળ વિકલનીયતા:
$LHD = \frac{d}{dx}(-\cos x)|_{x=0} = \sin(0) = 0$.
$RHD = \frac{d}{dx}(x-1)|_{x=0} = 1$.
$LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી. (વિધાન $B$ સાચું છે).
$3$. $x=1$ આગળ વિકલનીયતા:
$LHD = \frac{d}{dx}(x-1)|_{x=1} = 1$.
$RHD = \frac{d}{dx}(\ln x)|_{x=1} = 1$.
$LHD = RHD$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે. (વિધાન $C$ સાચું છે).
$4$. $x=-\frac{3}{2}$ આગળ વિકલનીયતા:
$-\frac{3}{2} < -\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$f(x) = -x-\frac{\pi}{2}$,જે બહુપદી છે અને તેના પ્રદેશમાં દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે. (વિધાન $D$ સાચું છે).
આમ,બધા વિધાનો $A, B, C, D$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $P(E) = x$ અને $P(F) = y$. $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(E \cap F) = xy$.
બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(E)P(F') + P(F)P(E') = x(1-y) + y(1-x) = x + y - 2xy = \frac{11}{25} \quad \dots (1)$.
એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $P(E' \cap F') = P(E')P(F') = (1-x)(1-y) = 1 - x - y + xy = \frac{2}{25} \quad \dots (2)$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$1 - (x+y) + xy = \frac{2}{25} \Rightarrow x+y - xy = \frac{23}{25}$.
ધારો કે $S = x+y$ અને $P = xy$. તો $(1)$ મુજબ $S - 2P = \frac{11}{25}$ અને $(2)$ મુજબ $S - P = \frac{23}{25}$.
બાદબાકી કરતા: $(S - P) - (S - 2P) = \frac{23}{25} - \frac{11}{25} \Rightarrow P = \frac{12}{25}$.
$S - P = \frac{23}{25}$ માં $P$ ની કિંમત મૂકતા,$S = \frac{23}{25} + \frac{12}{25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$.
હવે,$x$ અને $y$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - St + P = 0$ ના બીજ છે,એટલે કે $t^2 - \frac{7}{5}t + \frac{12}{25} = 0$.
$25t^2 - 35t + 12 = 0 \Rightarrow (5t-4)(5t-3) = 0$,તેથી $t = \frac{4}{5}$ અથવા $t = \frac{3}{5}$.
આમ,${P(E), P(F)} = \{\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\}$. આ વિકલ્પ $(A)$ અને $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{b-x}{1-bx}$.
વ્યસ્ત શોધવા માટે,ધારો કે $y = f(x) = \frac{b-x}{1-bx}$.
$y(1-bx) = b-x \Rightarrow y - bxy = b - x \Rightarrow x(1-by) = b-y \Rightarrow x = \frac{b-y}{1-by}$.
આમ,$f^{-1}(y) = \frac{b-y}{1-by}$,જે સૂચવે છે કે $f(x) = f^{-1}(x)$,તેથી $f = f^{-1}$.
હવે,$f^{\prime}(x) = \frac{(1-bx)(-1) - (b-x)(-b)}{(1-bx)^2} = \frac{-1+bx+b^2-bx}{(1-bx)^2} = \frac{b^2-1}{(1-bx)^2}$.
$f^{\prime}(0) = \frac{b^2-1}{(1-0)^2} = b^2-1$.
$f^{\prime}(b) = \frac{b^2-1}{(1-b^2)^2} = \frac{b^2-1}{(b^2-1)^2} = \frac{1}{b^2-1}$.
તેથી,$f^{\prime}(b) = \frac{1}{f^{\prime}(0)}$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 + x - 1$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 24x + 1$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવો $f''(x) = 12x^2 - 24x + 24 = 12(x^2 - 2x + 2)$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x + 2$ નો વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ છે.
$D < 0$ હોવાથી,$f''(x)$ હંમેશા ધન છે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x)$ એ સતત વધતું વિધેય છે.
આમ,$f'(x) = 0$ ને માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ છે.
$f'(x)$ ને માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ હોવાથી,$f(x)$ ને વધુમાં વધુ બે વાસ્તવિક બીજ હોઈ શકે.
$f(x)$ ની કિંમતો તપાસતા: $f(0) = -1$ અને $f(1) = 9$.
$x=0$ અને $x=1$ વચ્ચે ચિહ્ન બદલાતું હોવાથી,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
તે જ રીતે,$f(-1) = 15 > 0$ હોવાથી,$(-1, 0)$ માં પણ એક બીજ છે.
તેથી,સમીકરણને બરાબર $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = g^{\prime}(x)$ અને $Q(x) = g(x)g^{\prime}(x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int g^{\prime}(x) dx} = e^{g(x)}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot e^{g(x)} = \int Q(x) e^{g(x)} dx + C = \int g(x) g^{\prime}(x) e^{g(x)} dx + C$ છે.
ધારો કે $u = g(x)$,તો $du = g^{\prime}(x) dx$. સંકલન $\int u e^u du = u e^u - e^u = e^{g(x)}(g(x) - 1)$ બને છે.
તેથી,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$.
આપેલ છે કે $y(0) = 0$ અને $g(0) = 0$,આ કિંમતો મૂકતા: $0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$.
આમ,ઉકેલ $y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + 1$ છે.
$y(2)$ શોધવા માટે,$x = 2$ અને $g(2) = 0$ મૂકતા: $y(2) e^0 = e^0(0 - 1) + 1 \implies y(2) = -1 + 1 = 0$.

(A) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$.
પ્રથમ શરત પરથી,$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b \\ e \\ h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$. તેથી,$b = -1, e = 2, h = 3$.
હવે,$M = \begin{bmatrix} a & -1 & c \\ d & 2 & f \\ g & 3 & i \end{bmatrix}$.
બીજી શરત પરથી,$\begin{bmatrix} a & -1 & c \\ d & 2 & f \\ g & 3 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+1 \\ d-2 \\ g-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$.
આને ઉકેલતા,આપણને $a+1 = 1 \Rightarrow a = 0$,$d-2 = 1 \Rightarrow d = 3$,અને $g-3 = -1 \Rightarrow g = 2$ મળે છે.
હવે,$M = \begin{bmatrix} 0 & -1 & c \\ 3 & 2 & f \\ 2 & 3 & i \end{bmatrix}$.
ત્રીજી શરત પરથી,$\begin{bmatrix} 0 & -1 & c \\ 3 & 2 & f \\ 2 & 3 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+c \\ 5+f \\ 5+i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{bmatrix}$.
ત્રીજી હાર પરથી,$5+i = 12 \Rightarrow i = 7$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $a + e + i = 0 + 2 + 7 = 9$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$,જેનો અર્થ છે કે $(\vec{r} - \vec{c}) \times \vec{b} = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $t$ માટે $\vec{r} - \vec{c} = t\vec{b}$,તેથી $\vec{r} = \vec{c} + t\vec{b}$.
$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j}) = (1-t)\hat{i} + (2+t)\hat{j} + 3\hat{k}$ મૂકતા.
આપેલ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$,જ્યાં $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{k}$.
$((1-t)\hat{i} + (2+t)\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{k}) = 0$.
$-(1-t) - 3 = 0 \Rightarrow -1 + t - 3 = 0 \Rightarrow t = 4$.
આમ,$\vec{r} = \vec{c} + 4\vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + 4(-\hat{i} + \hat{j}) = -3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
અંતે,$\vec{r} \cdot \vec{b} = (-3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j}) = 3 + 6 = 9$.

(A) આપેલ છે $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$.
$|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 2$,$|\vec{c}| = 2\sqrt{3}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2}{2|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{4+4-12}{8} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{2\pi}{3}$. એટલે કે $(A) \rightarrow q$.
$(B)$ આપેલ છે $\int_a^b(f(x)-3x) dx = a^2-b^2$.
વિકલન કરતા,$f(b) - 3b = -2b \Rightarrow f(b) = b$.
તેથી $f(x) = x$,અને $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$. એટલે કે $(B) \rightarrow p$.
$(C)$ સંકલનનું મૂલ્ય $\pi$ મળે છે. એટલે કે $(C) \rightarrow s$ (સુધારેલ).
$(D)$ $u = \frac{1}{1-z}$ લેતા,$|u-1| = |u|$ મળે છે,જે $u$ નો બિંદુપથ છે. મહત્તમ આર્ગ્યુમેન્ટ $\frac{\pi}{2}$ થાય છે. એટલે કે $(D) \rightarrow t$.

(A) ધારો કે $z = \cos \theta + i \sin \theta$. તો $\frac{2iz}{1-z^2} = \frac{2i(\cos \theta + i \sin \theta)}{1-(\cos 2\theta + i \sin 2\theta)} = \frac{2i \cos \theta - 2 \sin \theta}{2 \sin^2 \theta - i \sin 2\theta} = \frac{2i \cos \theta - 2 \sin \theta}{2 \sin \theta (\sin \theta - i \cos \theta)} = \frac{2i(\cos \theta + i \sin \theta)}{-2i \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)} = -\frac{1}{\sin \theta} = -\csc \theta$. કારણ કે $\sin \theta \in [-1, 1] \setminus \{0\}$,તેથી $-\csc \theta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. આમ,$(A)-(s)$.
$(B)$ $f(x) = \sin^{-1}(\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}})$ માટે,આપણે $-1 \leq \frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} \leq 1$ ની જરૂર છે. ધારો કે $u = 3^{x-1}$. તો $\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} = \frac{8 \cdot 3^{x-1} \cdot 3^{-1}}{1-(3^{x-1})^2} = \frac{8u/3}{1-u^2}$. $-1 \leq \frac{8u/3}{1-u^2} \leq 1$ ઉકેલતા $u \leq 1/3$ મળે છે,તેથી $3^{x-1} \leq 3^{-1} \Rightarrow x-1 \leq -1 \Rightarrow x \leq 0$. આમ,$(B)-(t)$.
$(C)$ $f(\theta) = 1(1 + \tan^2 \theta) - \tan \theta(-\tan \theta + \tan \theta) + 1(\tan^2 \theta + 1) = 2(1 + \tan^2 \theta) = 2 \sec^2 \theta$. $0 \leq \theta < \pi/2$ માટે,$\sec^2 \theta \in [1, \infty)$,તેથી $f(\theta) \in [2, \infty)$. આમ,$(C)-(r)$.
$(D)$ $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10) + x^{3/2}(3) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10+2x) = \frac{15}{2}x^{1/2}(x-2)$. $f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 2$. આમ,$(D)-(r)$.

(B) $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં રહેલા કોઈપણ સદિશ $\vec{V}$ ને આ રીતે લખી શકાય: $\vec{V} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$.
$\vec{V} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}$.
$\vec{V}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $\vec{c} = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ હોવાથી,$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \vec{V} \cdot \vec{c} = 1$.
$((1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = 1$.
$(1+\lambda) - (1-\lambda) - (1+\lambda) = 1$.
$1 + \lambda - 1 + \lambda - 1 - \lambda = 1$.
$\lambda - 1 = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ની કિંમત $\vec{V}$ માં મૂકતા:
$\vec{V} = (1+2)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1+2)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.