IIT JEE 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) समुच्चय $P$ के लिए,हमारे पास $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$(\sqrt{2} - 1)$ से गुणा करने पर,$(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = \cos \theta$ हो जाता है।
अतः,$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ प्राप्त होता है।
यह समुच्चय $Q$ के लिए निर्धारित शर्त है।
इसलिए,$P = Q$.

(C) दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ है,जिसे $y = -\sqrt{3}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = -\sqrt{3}$ है।
माना रेखा $L$ की ढाल $m$ है। रेखाओं के बीच का कोण $60^o$ है,इसलिए $\tan(60^o) = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})}| = |\frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3 = \frac{(m + \sqrt{3})^2}{(1 - \sqrt{3}m)^2} \Rightarrow 3(1 - 2\sqrt{3}m + 3m^2) = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3$.
$3 - 6\sqrt{3}m + 9m^2 = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3 \Rightarrow 8m^2 - 8\sqrt{3}m = 0$.
$8m(m - \sqrt{3}) = 0$,अतः $m = 0$ या $m = \sqrt{3}$.
यदि $m = 0$ है,तो रेखा $y + 2 = 0(x - 3) \Rightarrow y + 2 = 0$ है,जो $x$-अक्ष के समानांतर है और उसे प्रतिच्छेद नहीं करती है।
यदि $m = \sqrt{3}$ है,तो रेखा $y - (-2) = \sqrt{3}(x - 3) \Rightarrow y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3}$ है।
अतः $y - \sqrt{3}x + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण $(2x)^{\ln 2} = (3y)^{\ln 3}$ और $3^{\ln x} = 2^{\ln y}$ हैं।
पहले समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln$ लेने पर:
$(\ln 2)(\ln 2 + \ln x) = (\ln 3)(\ln 3 + \ln y) \quad (1)$
दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln$ लेने पर:
$(\ln x)(\ln 3) = (\ln y)(\ln 2) \Rightarrow \ln y = \frac{(\ln x)(\ln 3)}{\ln 2}$.
$\ln y$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$(\ln 2)^2 + (\ln 2)(\ln x) = (\ln 3)^2 + (\ln 3)\left(\frac{(\ln x)(\ln 3)}{\ln 2}\right)$
$(\ln x) \left(\ln 2 - \frac{(\ln 3)^2}{\ln 2}\right) = (\ln 3)^2 - (\ln 2)^2$
$(\ln x) \left(\frac{(\ln 2)^2 - (\ln 3)^2}{\ln 2}\right) = (\ln 3)^2 - (\ln 2)^2$
दोनों पक्षों को $((\ln 2)^2 - (\ln 3)^2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\ln x}{\ln 2} = -1$
$\ln x = -\ln 2 = \ln(2^{-1})$
$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
अतः,$x_0 = \frac{1}{2}$.

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2-6x-2=0$ के मूल हैं,इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2-6\alpha-2=0 \implies \alpha^2 = 6\alpha + 2$
$\beta^2-6\beta-2=0 \implies \beta^2 = 6\beta + 2$
दिया गया है $a_n = \alpha^n - \beta^n$,इसलिए $a_{10} = \alpha^{10} - \beta^{10}$ और $a_8 = \alpha^8 - \beta^8$ है।
मूल समीकरणों को क्रमशः $\alpha^8$ और $\beta^8$ से गुणा करने पर:
$\alpha^{10} = 6\alpha^9 + 2\alpha^8$
$\beta^{10} = 6\beta^9 + 2\beta^8$
इन समीकरणों को घटाने पर:
$a_{10} = \alpha^{10} - \beta^{10} = 6(\alpha^9 - \beta^9) + 2(\alpha^8 - \beta^8)$
$a_{10} = 6a_9 + 2a_8$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a_{10} - 2a_8 = 6a_9$
$2a_9$ से भाग देने पर:
$\frac{a_{10}-2a_8}{2a_9} = \frac{6a_9}{2a_9} = 3$

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ के लिए,$a_e^2 = 4$ और $b_e^2 = 1$ है। उत्केंद्रता $e_e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होती है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_h = \frac{1}{e_e} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$e_h^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies \frac{4}{3} = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies a^2 = 3b^2$।
दीर्घवृत्त की नाभि $(\pm \sqrt{3}, 0)$ है। अतिपरवलय $(\sqrt{3}, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a^2 = 3$ और $b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 3y^2 = 3$ है। नाभि $(2, 0)$ है।
अतः,$(B, D)$ सही विकल्प है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=8x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है। अतः,$4a=8$,जिससे $a=2$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं,जो $(2, 4)$ और $(2, -4)$ हैं।
बिंदुओं $(2, 4)$,$(2, -4)$ और $P\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta_1 = 6$ है।
$y^2=8x$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 4(x+x_1)$ है।
$(2, 4)$ पर स्पर्श रेखा: $y = x+2$.
$(2, -4)$ पर स्पर्श रेखा: $y = -x-2$.
$(0.5, 2)$ पर स्पर्श रेखा: $y = 2x+1$.
स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 0)$,$(1, 3)$ और $(-1, -1)$ हैं।
इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta_2 = 3$ है।
अतः,$\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{6}{3} = 2$.

(C) माना समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d$ है। प्रथम $p$ पदों का योग $S_p = \frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$a_1 = 3$ दिया गया है,इसलिए $S_p = \frac{p}{2} [6 + (p-1)d]$ है।
यहाँ $m = 5n$ दिया गया है। इसलिए,$\frac{S_m}{S_n} = \frac{S_{5n}}{S_n} = \frac{\frac{5n}{2} [6 + (5n-1)d]}{\frac{n}{2} [6 + (n-1)d]} = 5 \times \frac{6 - d + 5nd}{6 - d + nd}$ है।
इस अनुपात को $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,$d = 6$ होना चाहिए।
तब $S_p = \frac{p}{2} [6 + (p-1)6] = 3p^2$ होगा।
अतः $\frac{S_{5n}}{S_n} = \frac{3(5n)^2}{3n^2} = 25$,जो $n$ से स्वतंत्र है।
इस प्रकार,$d = 6$ है।
इसलिए $a_2 = a_1 + d = 3 + 6 = 9$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})} + \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{n})}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{n})} - \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
सूत्र $\sin(A) - \sin(B) = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(\frac{3\pi}{n}) - \sin(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$\frac{2\cos(\frac{2\pi}{n})\sin(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$\frac{2\cos(\frac{2\pi}{n})}{\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$2\sin(\frac{2\pi}{n})\cos(\frac{2\pi}{n}) = \sin(\frac{3\pi}{n})$
$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\frac{4\pi}{n}) = \sin(\frac{3\pi}{n})$
चूंकि $\sin(A) = \sin(B)$ का अर्थ है $A = \pi - B$:
$\frac{4\pi}{n} = \pi - \frac{3\pi}{n}$
$\frac{4\pi}{n} + \frac{3\pi}{n} = \pi$
$\frac{7\pi}{n} = \pi$
$n = 7$

(A) माना $w = z - (3 + 2i)$। दिया गया है $|w| \leq 2$।
हमें $|2z - 6 + 5i|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
$|2z - 6 + 5i| = |2(z - 3) + 5i| = |2(z - 3 - 2i + 2i) + 5i| = |2(z - 3 - 2i) + 4i + 5i| = |2(z - 3 - 2i) + 9i|$।
माना $w = z - 3 - 2i$,जहाँ $|w| \leq 2$।
व्यंजक $|2w + 9i| = 2|w + \frac{9}{2}i|$ बन जाता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|w + \frac{9}{2}i| \geq ||\frac{9}{2}i| - |w||$।
चूँकि $|w| \leq 2$,$|w + \frac{9}{2}i|$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $w$,$\frac{9}{2}i$ की दिशा में हो,जिससे $|4.5 - 2| = 2.5$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $2 \times 2.5 = 5$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{3}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}$ है।
हम इसे $S = \frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन $8$ धनात्मक पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका लागू करने पर:
$\frac{\frac{1}{a^5} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3} + 1 + a^8 + a^{10}}{8} \geq \sqrt[8]{\frac{1}{a^5} \cdot \frac{1}{a^4} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{a^3} \cdot 1 \cdot a^8 \cdot a^{10}}$.
पदों का गुणनफल $\frac{1}{a^{5+4+3+3+3}} \cdot a^{8+10} = \frac{1}{a^{18}} \cdot a^{18} = 1$ है।
अतः,$\frac{S}{8} \geq \sqrt[8]{1} = 1$.
इसलिए,$S \geq 8$.
न्यूनतम मान $8$ है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ होता है।
$(x_1, y_1) = (6, 3)$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{6} + \frac{b^2y}{3} = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह अभिलंब $(9, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 9$ और $y = 0$ रखने पर:
$\frac{a^2(9)}{6} + \frac{b^2(0)}{3} = a^2 + b^2$
$\frac{3a^2}{2} = a^2 + b^2$
$\frac{a^2}{2} = b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2$.
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होती है।
$a^2 = 2b^2$ रखने पर:
$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{2b^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2+bx-1=0$ और $x^2+x+b=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2+b\alpha-1=0$ और $\alpha^2+\alpha+b=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^2+b\alpha-1) - (\alpha^2+\alpha+b) = 0$
$(b-1)\alpha - (1+b) = 0$
$(b-1)\alpha = b+1$
$\alpha = \frac{b+1}{b-1}$ (जहाँ $b \neq 1$).
$\alpha$ का मान दूसरे समीकरण $\alpha^2+\alpha+b=0$ में रखने पर:
$\left(\frac{b+1}{b-1}\right)^2 + \frac{b+1}{b-1} + b = 0$
$(b-1)^2$ से गुणा करने पर:
$(b+1)^2 + (b+1)(b-1) + b(b-1)^2 = 0$
$(b^2+2b+1) + (b^2-1) + b(b^2-2b+1) = 0$
$2b^2+2b + b^3-2b^2+b = 0$
$b^3+3b = 0$
$b(b^2+3) = 0$
चूँकि $b \neq 0$,इसलिए $b^2+3=0$,जिससे $b^2=-3$,अर्थात $b = \pm i\sqrt{3}$।

(D) माना $(h, k)$ वृत्त का केंद्र है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, 2)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 2$ होगा और त्रिज्या $r = |h|$ होगी।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - 2)^2 = h^2$ है।
चूंकि वृत्त $(-1, 0)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में रखते हैं:
$(-1 - h)^2 + (0 - 2)^2 = h^2$
$(h + 1)^2 + 4 = h^2$
$h^2 + 2h + 1 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
वृत्त का समीकरण $(x + \frac{5}{2})^2 + (y - 2)^2 = (\frac{5}{2})^2$ है।
इसे सरल करने पर $x^2 + y^2 + 5x - 4y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(-4, 0)$ के लिए:
$(-4)^2 + (0)^2 + 5(-4) - 4(0) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$.
अतः,वृत्त $(-4, 0)$ से गुजरता है।

(D) हम मानक सीमा सूत्र $\lim_{x \rightarrow 0} (1 + f(x))^{\frac{1}{g(x)}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}}$ का उपयोग करते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{x \rightarrow 0} [1 + x \ln(1 + b^2)]^{\frac{1}{x}}$ के लिए,$f(x) = x \ln(1 + b^2)$ और $g(x) = x$ है।
अतः,सीमा $e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln(1 + b^2)}{x}} = e^{\ln(1 + b^2)} = 1 + b^2$ है।
इसे दी गई अभिव्यक्ति के बराबर रखने पर: $1 + b^2 = 2b \sin^2 \theta$।
$\sin^2 \theta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sin^2 \theta = \frac{1 + b^2}{2b} = \frac{1}{2} (b + \frac{1}{b})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b > 0$,$AM-GM$ असमिका के अनुसार,$b + \frac{1}{b} \geq 2$,जो यह दर्शाता है कि $\sin^2 \theta \geq 1$ है।
चूंकि $\sin^2 \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\sin^2 \theta = 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\sin \theta = \pm 1$,अतः $\theta = \pm \frac{\pi}{2}$।

(C) मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
चूंकि $P$ बिंदु $(0, 0)$ और $(x, y)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र के अनुसार:
$h = \frac{x}{4}$ और $k = \frac{y}{4}$
अतः,$x = 4h$ और $y = 4k$ है।
चूंकि बिंदु $(x, y)$ परवलय $y^2 = 4x$ पर स्थित है,इसलिए:
$(4k)^2 = 4(4h)$
$16k^2 = 16h$
$k^2 = h$
अतः,$P$ का बिंदु पथ $y^2 = x$ है।

(C) परवलय $y^2=4ax$ (जहाँ $a=1$) के अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
$a=1$ रखने पर,$y=mx-2m-m^3$ प्राप्त होता है।
चूँकि अभिलंब $(9,6)$ से गुजरता है,इसलिए:
$6 = 9m - 2m - m^3$
$m^3 - 7m + 6 = 0$
इस समीकरण के हल $m=1, 2, -3$ हैं।
$m=1$ के लिए: $y-x+3=0$.
$m=2$ के लिए: $y-2x+12=0$.
$m=-3$ के लिए: $y+3x-33=0$.
अतः,सही विकल्प $(A), (B)$ और $(D)$ हैं।

(A) दिया गया है $\omega = e^{i \pi / 3}$।
$|x|^2 = (a+b+c)(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) = |a|^2+|b|^2+|c|^2 + (a\bar{b} + \bar{a}b) + (b\bar{c} + \bar{b}c) + (c\bar{a} + \bar{c}a)$.
$|y|^2 = (a+b\omega+c\omega^2)(\bar{a}+\bar{b}\bar{\omega}+\bar{c}\bar{\omega}^2)$.
$|z|^2 = (a+b\omega^2+c\omega)(\bar{a}+\bar{b}\bar{\omega}^2+\bar{c}\bar{\omega})$.
इन पदों को जोड़ने पर,इकाई के घनमूल के गुणों के कारण क्रॉस पद कट जाते हैं और परिणाम $3(|a|^2+|b|^2+|c|^2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{|x|^2+|y|^2+|z|^2}{|a|^2+|b|^2+|c|^2} = 3$.

(B) माना वृत्त $C: x^2 + y^2 - 6 = 0$ है और रेखा $L: 2x - 3y - 1 = 0$ है।
सबसे पहले,जांचें कि कौन से बिंदु वृत्त $x^2 + y^2 \leq 6$ के अंदर हैं:
$1$. $(2, 3/4)$ के लिए: $2^2 + (3/4)^2 = 4 + 9/16 = 73/16 = 4.5625 < 6$ (अंदर)।
$2$. $(5/2, 3/4)$ के लिए: $(5/2)^2 + (3/4)^2 = 25/4 + 9/16 = 109/16 = 6.8125 > 6$ (बाहर)।
$3$. $(1/4, -1/4)$ के लिए: $(1/4)^2 + (-1/4)^2 = 1/16 + 1/16 = 2/16 = 0.125 < 6$ (अंदर)।
$4$. $(1/8, 1/4)$ के लिए: $(1/8)^2 + (1/4)^2 = 1/64 + 1/16 = 5/64 = 0.078 < 6$ (अंदर)।
अब,जांचें कि ये बिंदु रेखा $L(x, y) = 2x - 3y - 1$ के किस ओर स्थित हैं। वृत्त का केंद्र $(0, 0)$ लेने पर $L(0, 0) = -1 < 0$ प्राप्त होता है। छोटा भाग वह है जिसमें केंद्र नहीं है।
$1$. $(2, 3/4)$ के लिए: $L = 2(2) - 3(3/4) - 1 = 0.75 > 0$.
$2$. $(1/4, -1/4)$ के लिए: $L = 2(1/4) - 3(-1/4) - 1 = 0.25 > 0$.
$3$. $(1/8, 1/4)$ के लिए: $L = 2(1/8) - 3(1/4) - 1 = -1.5 < 0$.
अतः,$L > 0$ वाले $2$ बिंदु छोटे भाग में स्थित हैं।

(A) माना $I = \int_{\sqrt{\ln 2}}^{\sqrt{\ln 3}} \frac{x \sin x^2}{\sin x^2 + \sin (\ln 6 - x^2)} dx$ है।
$x^2 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = dt$ या $x dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = \sqrt{\ln 2}$,तब $t = \ln 2$। जब $x = \sqrt{\ln 3}$,तब $t = \ln 3$।
अतः समाकलन $I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin t}{\sin t + \sin (\ln 6 - t)} dt$ हो जाता है।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(a+b-t) dt$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin (\ln 2 + \ln 3 - t)}{\sin (\ln 2 + \ln 3 - t) + \sin (\ln 6 - (\ln 2 + \ln 3 - t))} dt$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\ln 2 + \ln 3 = \ln 6$,यह $I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin (\ln 6 - t)}{\sin (\ln 6 - t) + \sin t} dt$ में सरल हो जाता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{\sin t + \sin (\ln 6 - t)}{\sin t + \sin (\ln 6 - t)} dt = \frac{1}{2} \int_{\ln 2}^{\ln 3} 1 dt$।
$2I = \frac{1}{2} [t]_{\ln 2}^{\ln 3} = \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 2) = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$।
अतः,$I = \frac{1}{4} \ln \frac{3}{2}$।

(B) कुल क्षेत्रफल $A = \int_0^1 (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^1 = 0 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ है।
क्षेत्रफल $R_1 = \int_0^b (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_0^b = -\frac{(1-b)^3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1-(1-b)^3}{3}$ है।
क्षेत्रफल $R_2 = \int_b^1 (1-x)^2 dx = \left[ -\frac{(1-x)^3}{3} \right]_b^1 = 0 - (-\frac{(1-b)^3}{3}) = \frac{(1-b)^3}{3}$ है।
दिया गया है कि $R_1 - R_2 = \frac{1}{4}$,इसलिए:
$\frac{1-(1-b)^3}{3} - \frac{(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$\frac{1 - 2(1-b)^3}{3} = \frac{1}{4}$
$1 - 2(1-b)^3 = \frac{3}{4}$
$2(1-b)^3 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$(1-b)^3 = \frac{1}{8}$
$1-b = \frac{1}{2}$
$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
अभीष्ट सदिश $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है,इसलिए $\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$ होगा।
साथ ही,$\vec{v}$,$\vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$ होगा।
$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \implies x(\vec{a} \cdot \vec{c}) + y(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 4$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (2)(1) + (1)(1) = 4$.
अतः,$4x + 4y = 0 \implies x = -y$.
इस प्रकार,$\vec{v} = x(\vec{a} - \vec{b}) = x[(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})] = x(-\hat{j}+\hat{k})$ होगा।
यदि $x=1$ है,तो $\vec{v} = -\hat{j}+\hat{k}$ (विकल्प $D$)।
यदि $x=-1$ है,तो $\vec{v} = \hat{j}-\hat{k}$ (विकल्प $A$)।
अतः,सही सदिश $(A)$ और $(D)$ हैं।

(C) दिया गया है कि $M$ और $N$ विषम-सममित आव्यूह हैं,इसलिए $M^T = -M$ और $N^T = -N$ है।
चूंकि $M$ और $N$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं,वे नॉन-सिंगुलर हैं और $MN = NM$ है।
हमें व्यंजक $E = M^2 N^2 (M^T N)^{-1} (M N^{-1})^T$ को सरल करना है।
सबसे पहले,$M^T = -M$ को व्यंजक में रखने पर:
$E = M^2 N^2 (-M N)^{-1} (M N^{-1})^T$.
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ गुण का उपयोग करने पर,$(-MN)^{-1} = N^{-1} (-M)^{-1} = -N^{-1} M^{-1}$ प्राप्त होता है।
$(AB)^T = B^T A^T$ गुण का उपयोग करने पर,$(M N^{-1})^T = (N^{-1})^T M^T = (N^T)^{-1} M^T = (-N)^{-1} (-M) = (-N^{-1}) (-M) = N^{-1} M$ प्राप्त होता है।
अब इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = M^2 N^2 (-N^{-1} M^{-1}) (N^{-1} M)$.
चूंकि $MN = NM$ है,इसलिए $M^{-1} N^{-1} = N^{-1} M^{-1}$ और $M N^{-1} = N^{-1} M$ होता है।
$E = -M^2 N^2 N^{-1} M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 N (N N^{-1}) M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 N I M^{-1} N^{-1} M$.
$E = -M^2 (N M^{-1}) N^{-1} M$.
चूंकि $N M^{-1} = M^{-1} N$ है,इसलिए:
$E = -M^2 M^{-1} N N^{-1} M$.
$E = -M (N N^{-1}) M$.
$E = -M I M = -M^2$.
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(B, C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है।
$x=0, y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)+f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)=0$।
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है,इसलिए $f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = k$ (जहाँ $k$ एक अचर है)।
अब,किसी भी $x \in R$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x)$ इस प्रकार है:
$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = f^{\prime}(0) = k$।
चूंकि $f^{\prime}(x) = k$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है,इसलिए $f^{\prime}(x)$ एक अचर फलन है।
$f^{\prime}(x) = k$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = kx + C$ प्राप्त होता है। चूंकि $f(0)=0$,इसलिए $C=0$,अतः $f(x) = kx$।
एक रैखिक फलन $f(x) = kx$ सभी $x \in R$ के लिए सतत और अवकलनीय होता है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(C) मैट्रिक्स समीकरण से, हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$a + 8b + 7c = 0$
$9a + 2b + 3c = 0$
$7a + 7b + 7c = 0 \implies a + b + c = 0$
इन्हें हल करने पर, हमें $b = 6a$ और $c = -7a$ प्राप्त होता है।
$1.$ दिया गया है $2a + b + c = 1$। $b=6a$ और $c=-7a$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $2a + 6a - 7a = 1 \implies a = 1$ प्राप्त होता है। अतः $b=6, c=-7$। मान $7a + b + c = 7(1) + 6 - 7 = 6$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ दिया गया है $a=2$, अतः $b=12, c=-14$। चूँकि $\omega^3=1$, इसलिए $\omega^{12}=1$ और $\omega^{-14} = \omega^{-14+15} = \omega$। व्यंजक $\frac{3}{\omega^2} + \frac{1}{\omega^{12}} + \frac{3}{\omega^{-14}} = 3\omega + 1 + 3\omega^2 = 1 + 3(\omega + \omega^2) = 1 + 3(-1) = -2$ है। सही विकल्प $(A)$ है।
$3.$ दिया गया है $b=6$, अतः $a=1, c=-7$। द्विघात समीकरण $x^2 + 6x - 7 = 0$ है। मूल $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$ हैं, इसलिए $\alpha = 1, \beta = -7$। तब $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$। योग $\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{6}{7})^n = \frac{1}{1 - 6/7} = 7$ है। सही विकल्प $(B)$ है।

(A) मान लीजिए $H$ चित आने की घटना है और $T$ पट आने की घटना है। $P(H) = P(T) = \frac{1}{2}$।
$1.$ मान लीजिए $W$ वह घटना है कि $U_2$ से निकाली गई गेंद सफेद है।
यदि $H$ घटित होता है,तो $U_1$ से $1$ गेंद $U_2$ में स्थानांतरित की जाती है। $U_2$ में अब $2$ गेंदें हैं।
$P(W|H) = P(U_1 \text{ \text{से सफेद}}) \times P(U_2 \text{ \text{से सफेद}} | \text{\text{सफेद स्थानांतरित}}) + P(U_1 \text{ \text{से लाल}}) \times P(U_2 \text{ \text{से सफेद}} | \text{\text{लाल स्थानांतरित}})$
$P(W|H) = (\frac{3}{5} \times \frac{2}{2}) + (\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
यदि $T$ घटित होता है,तो $U_1$ से $2$ गेंदें $U_2$ में स्थानांतरित की जाती हैं। $U_2$ में अब $3$ गेंदें हैं।
$P(W|T) = P(2W) \times P(W|2W) + P(1W, 1R) \times P(W|1W, 1R) + P(2R) \times P(W|2R)$
$P(W|T) = (\frac{^3C_2}{^5C_2} \times \frac{3}{3}) + (\frac{^3C_1 \times ^2C_1}{^5C_2} \times \frac{2}{3}) + (\frac{^2C_2}{^5C_2} \times \frac{1}{3})$
$P(W|T) = (\frac{3}{10} \times 1) + (\frac{6}{10} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{10} \times \frac{1}{3}) = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} + \frac{1}{30} = \frac{9+12+1}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$।
$P(W) = P(H)P(W|H) + P(T)P(W|T) = \frac{1}{2}(\frac{4}{5}) + \frac{1}{2}(\frac{11}{15}) = \frac{2}{5} + \frac{11}{30} = \frac{12+11}{30} = \frac{23}{30}$।
$2.$ बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(H|W) = \frac{P(H)P(W|H)}{P(W)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}}{\frac{23}{30}} = \frac{2/5}{23/30} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{23} = \frac{12}{23}$।

(A) दिया गया समीकरण $6 \int_1^x f(t) dt = 3x f(x) - x^3$ है।
न्यूटन-लीबनिज प्रमेय का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$6 f(x) = 3 f(x) + 3x f'(x) - 3x^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x f'(x) = 3 f(x) + 3x^2 \Rightarrow x f'(x) - f(x) = x^2$.
$x^2$ से भाग देने पर ($x \geq 1$ के लिए):
$\frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} = 1 \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x} \right) = 1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\frac{f(x)}{x} = x + C$.
$f(1) = 2$ दिया गया है,इसलिए $x=1$ रखने पर:
$\frac{f(1)}{1} = 1 + C \Rightarrow 2 = 1 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$f(x) = x^2 + x$.
$f(2)$ का मान:
$f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.

(A) दिया गया है,$f(\theta) = \sin \left(\tan^{-1} \left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \right) \right)$.
हम जानते हैं कि $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta$.
मान लीजिए $\tan^{-1} \left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \right) = \alpha$. तो $\tan \alpha = \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}$.
सर्वसमिका $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$ का उपयोग करने पर,$\sec^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{\cos 2\theta + \sin^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos 2\theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\cos 2\theta}$.
अतः,$\cos^2 \alpha = \frac{\cos 2\theta}{\cos^2 \theta}$,जिसका अर्थ है कि $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{\cos 2\theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \cos 2\theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta - (2\cos^2 \theta - 1)}{\cos^2 \theta} = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$.
चूंकि $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$,$\tan \theta$ का मान $(-1, 1)$ के बीच है,इसलिए $\sin \alpha = \tan \theta$.
अतः,$f(\theta) = \sin \alpha = \tan \theta$.
अब,$\frac{d}{d(\tan \theta)}(\tan \theta) = 1$.

(A) मान लीजिए आव्यूह $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह के गैर-शून्य (non-singular) होने के लिए,इसका सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए,अर्थात $|M| \neq 0$ होना चाहिए।
$|M| = 1(1 - c\omega) - a(\omega - c\omega^2) + b(\omega^2 - \omega^2) = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2$.
$|M| = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2 = (1 - a\omega)(1 - c\omega)$.
$|M| \neq 0$ के लिए,हमारे पास $1 - a\omega \neq 0$ और $1 - c\omega \neq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $a\omega \neq 1$ और $c\omega \neq 1$।
चूँकि $\omega^3 = 1$,हमारे पास $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ है। अतः,$a \neq \omega^2$ और $c \neq \omega^2$।
यह दिया गया है कि $a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$,इसलिए $a \neq \omega^2$ का अर्थ है $a = \omega$,और $c \neq \omega^2$ का अर्थ है $c = \omega$।
हालाँकि,$b$ या तो $\omega$ या $\omega^2$ हो सकता है क्योंकि $b$ सारणिक के व्यंजक में नहीं आता है।
अतः,$(a, b, c)$ के लिए संभावित मान $(\omega, \omega, \omega)$ और $(\omega, \omega^2, \omega)$ हैं।
इसलिए,भिन्न गैर-शून्य आव्यूहों की संख्या $2$ है।

(C) दिया गया है $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$।
गुणधर्म $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$R_1 = \int_{-1}^2 ((-1) + 2 - x) f((-1) + 2 - x) dx$
$R_1 = \int_{-1}^2 (1 - x) f(1 - x) dx$।
चूंकि $f(x) = f(1 - x)$,हम इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं:
$R_1 = \int_{-1}^2 (1 - x) f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx - \int_{-1}^2 x f(x) dx$।
$R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx - R_1$।
$2 R_1 = \int_{-1}^2 f(x) dx$।
चूंकि $R_2$,$y = f(x)$ द्वारा $x = -1$ से $x = 2$ तक घिरा हुआ क्षेत्रफल है,$R_2 = \int_{-1}^2 f(x) dx$।
अतः,$2 R_1 = R_2$।

(A) दिया है,$f(x) = x^2$ और $g(x) = \sin x$ सभी $x \in R$ के लिए।
सबसे पहले,$(f \circ g \circ g \circ f)(x)$ की गणना करें:
$(f \circ g \circ g \circ f)(x) = f(g(g(f(x)))) = f(g(g(x^2))) = f(g(\sin x^2)) = f(\sin(\sin x^2)) = (\sin(\sin x^2))^2$.
इसके बाद,$(g \circ g \circ f)(x)$ की गणना करें:
$(g \circ g \circ f)(x) = g(g(f(x))) = g(g(x^2)) = g(\sin x^2) = \sin(\sin x^2)$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$(\sin(\sin x^2))^2 = \sin(\sin x^2)$.
मान लीजिए $u = \sin(\sin x^2)$. तब $u^2 = u$,जिसका अर्थ है $u^2 - u = 0$,इसलिए $u(u - 1) = 0$.
इससे $u = 0$ या $u = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\sin(\sin x^2) = 0$.
इसका अर्थ है $\sin x^2 = n \pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए। चूँकि $\sin x^2$ का परिसर $[-1, 1]$ है,$n \pi$ के लिए केवल $0$ ही संभव मान है (जब $n = 0$ हो)।
इसलिए,$\sin x^2 = 0$,जिसका अर्थ है $x^2 = n \pi$ जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$।
अतः,$x = \pm \sqrt{n \pi}$ जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$।
स्थिति $2$: $\sin(\sin x^2) = 1$.
इसका अर्थ है $\sin x^2 = \frac{\pi}{2}$. चूँकि $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$,इसके लिए $x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।
इसलिए,$x$ का समुच्चय $\pm \sqrt{n \pi}$ है जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -x-\frac{\pi}{2}, & x \leq-\frac{\pi}{2} \\ -\cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 1 \\ \ln x, & x > 1 \end{cases}$.
$1$. $x=-\frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 0$.
$RHL = \lim_{h \to 0} -\cos(-\frac{\pi}{2}+h) = 0$.
चूंकि $LHL = RHL = f(-\frac{\pi}{2})$,इसलिए $f(x)$,$x=-\frac{\pi}{2}$ पर सतत है। (कथन $A$ सत्य है)।
$2$. $x=0$ पर अवकलनीयता:
$LHD = \frac{d}{dx}(-\cos x)|_{x=0} = \sin(0) = 0$.
$RHD = \frac{d}{dx}(x-1)|_{x=0} = 1$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। (कथन $B$ सत्य है)।
$3$. $x=1$ पर अवकलनीयता:
$LHD = \frac{d}{dx}(x-1)|_{x=1} = 1$.
$RHD = \frac{d}{dx}(\ln x)|_{x=1} = 1$.
चूंकि $LHD = RHD$,इसलिए $f(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय है। (कथन $C$ सत्य है)।
$4$. $x=-\frac{3}{2}$ पर अवकलनीयता:
चूंकि $-\frac{3}{2} < -\frac{\pi}{2}$,इसलिए $f(x) = -x-\frac{\pi}{2}$,जो एक बहुपद है और अपने प्रांत में हर जगह अवकलनीय है। (कथन $D$ सत्य है)।
अतः,सभी कथन $A, B, C, D$ सत्य हैं।

(B) मान लीजिए $P(E) = x$ और $P(F) = y$ है। चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,$P(E \cap F) = xy$ है।
ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(E)P(F') + P(F)P(E') = x(1-y) + y(1-x) = x + y - 2xy = \frac{11}{25} \quad \dots (1)$ है।
किसी भी घटना के न घटित होने की प्रायिकता $P(E' \cap F') = P(E')P(F') = (1-x)(1-y) = 1 - x - y + xy = \frac{2}{25} \quad \dots (2)$ है।
समीकरण $(2)$ से,$1 - (x+y) + xy = \frac{2}{25} \Rightarrow x+y - xy = \frac{23}{25}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $S = x+y$ और $P = xy$ है। तब $(1)$ से $S - 2P = \frac{11}{25}$ और $(2)$ से $S - P = \frac{23}{25}$ प्राप्त होता है।
घटाने पर: $(S - P) - (S - 2P) = \frac{23}{25} - \frac{11}{25} \Rightarrow P = \frac{12}{25}$ प्राप्त होता है।
$S - P = \frac{23}{25}$ में $P$ का मान रखने पर,$S = \frac{23}{25} + \frac{12}{25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ और $y$ द्विघात समीकरण $t^2 - St + P = 0$ के मूल हैं,अर्थात $t^2 - \frac{7}{5}t + \frac{12}{25} = 0$ है।
$25t^2 - 35t + 12 = 0 \Rightarrow (5t-4)(5t-3) = 0$,अतः $t = \frac{4}{5}$ या $t = \frac{3}{5}$ है।
इस प्रकार,${P(E), P(F)} = \{\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\}$ है। यह विकल्प $(A)$ और $(D)$ के अनुरूप है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{b-x}{1-bx}$.
प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x) = \frac{b-x}{1-bx}$.
$y(1-bx) = b-x \Rightarrow y - bxy = b - x \Rightarrow x(1-by) = b-y \Rightarrow x = \frac{b-y}{1-by}$.
अतः,$f^{-1}(y) = \frac{b-y}{1-by}$,जिसका अर्थ है $f(x) = f^{-1}(x)$,इसलिए $f = f^{-1}$.
अब,$f^{\prime}(x) = \frac{(1-bx)(-1) - (b-x)(-b)}{(1-bx)^2} = \frac{-1+bx+b^2-bx}{(1-bx)^2} = \frac{b^2-1}{(1-bx)^2}$.
$f^{\prime}(0) = \frac{b^2-1}{(1-0)^2} = b^2-1$.
$f^{\prime}(b) = \frac{b^2-1}{(1-b^2)^2} = \frac{b^2-1}{(b^2-1)^2} = \frac{1}{b^2-1}$.
इसलिए,$f^{\prime}(b) = \frac{1}{f^{\prime}(0)}$.

(A) माना $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 + x - 1$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 24x + 1$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें $f''(x) = 12x^2 - 24x + 24 = 12(x^2 - 2x + 2)$.
द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 2$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ है।
चूंकि $D < 0$,$f''(x)$ हमेशा धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
अतः,$f'(x) = 0$ का केवल एक वास्तविक मूल है।
चूंकि $f'(x)$ का केवल एक वास्तविक मूल है,$f(x)$ के अधिकतम दो वास्तविक मूल हो सकते हैं।
$f(x)$ के मानों की जाँच करने पर: $f(0) = -1$ और $f(1) = 9$।
चूंकि $x=0$ और $x=1$ के बीच चिह्न बदलता है,इसलिए $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।
इसी प्रकार,$f(-1) = 15 > 0$ होने के कारण,$(-1, 0)$ में भी एक मूल है।
अतः,समीकरण के ठीक $2$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = g^{\prime}(x)$ और $Q(x) = g(x)g^{\prime}(x)$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int g^{\prime}(x) dx} = e^{g(x)}$ है।
व्यापक हल $y \cdot e^{g(x)} = \int Q(x) e^{g(x)} dx + C = \int g(x) g^{\prime}(x) e^{g(x)} dx + C$ है।
मान लीजिए $u = g(x)$,तो $du = g^{\prime}(x) dx$। समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u = e^{g(x)}(g(x) - 1)$ बन जाता है।
अतः,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$ है।
दिया गया है $y(0) = 0$ और $g(0) = 0$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$।
इस प्रकार,हल $y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + 1$ है।
$y(2)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 2$ और $g(2) = 0$ रखने पर: $y(2) e^0 = e^0(0 - 1) + 1 \implies y(2) = -1 + 1 = 0$।

(A) मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ है।
पहली शर्त से,$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b \\ e \\ h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$। अतः,$b = -1, e = 2, h = 3$ है।
अब,$M = \begin{bmatrix} a & -1 & c \\ d & 2 & f \\ g & 3 & i \end{bmatrix}$ है।
दूसरी शर्त से,$\begin{bmatrix} a & -1 & c \\ d & 2 & f \\ g & 3 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+1 \\ d-2 \\ g-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ है।
इन्हें हल करने पर,हमें $a+1 = 1 \Rightarrow a = 0$,$d-2 = 1 \Rightarrow d = 3$,और $g-3 = -1 \Rightarrow g = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$M = \begin{bmatrix} 0 & -1 & c \\ 3 & 2 & f \\ 2 & 3 & i \end{bmatrix}$ है।
तीसरी शर्त से,$\begin{bmatrix} 0 & -1 & c \\ 3 & 2 & f \\ 2 & 3 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+c \\ 5+f \\ 5+i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{bmatrix}$ है।
तीसरी पंक्ति से,$5+i = 12 \Rightarrow i = 7$ है।
विकर्ण अवयवों का योग $a + e + i = 0 + 2 + 7 = 9$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$,जिसका अर्थ है कि $(\vec{r} - \vec{c}) \times \vec{b} = \vec{0}$ है।
इसका अर्थ है कि किसी अदिश $t$ के लिए $\vec{r} - \vec{c} = t\vec{b}$,इसलिए $\vec{r} = \vec{c} + t\vec{b}$ है।
$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j}) = (1-t)\hat{i} + (2+t)\hat{j} + 3\hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर।
दिया गया है कि $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$,जहाँ $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{k}$ है।
$((1-t)\hat{i} + (2+t)\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{k}) = 0$ है।
$-(1-t) - 3 = 0 \Rightarrow -1 + t - 3 = 0 \Rightarrow t = 4$ है।
अतः,$\vec{r} = \vec{c} + 4\vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + 4(-\hat{i} + \hat{j}) = -3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अंत में,$\vec{r} \cdot \vec{b} = (-3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j}) = 3 + 6 = 9$ है।

(A) दिया है $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$.
$|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 2$,$|\vec{c}| = 2\sqrt{3}$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2}{2|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{4+4-12}{8} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{2\pi}{3}$. यानी $(A) \rightarrow q$.
$(B)$ दिया है $\int_a^b(f(x)-3x) dx = a^2-b^2$.
अवकलन करने पर,$f(b) - 3b = -2b \Rightarrow f(b) = b$.
अतः $f(x) = x$,और $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$. यानी $(B) \rightarrow p$.
$(C)$ समाकलन का मान $\pi$ प्राप्त होता है। यानी $(C) \rightarrow s$ (संशोधित)।
$(D)$ $u = \frac{1}{1-z}$ लेने पर,$|u-1| = |u|$ प्राप्त होता है,जो $u$ का बिंदु पथ है। अधिकतम कोणांक (argument) $\frac{\pi}{2}$ होता है। यानी $(D) \rightarrow t$.

(A) माना $z = \cos \theta + i \sin \theta$ है। तब $\frac{2iz}{1-z^2} = \frac{2i(\cos \theta + i \sin \theta)}{1-(\cos 2\theta + i \sin 2\theta)} = \frac{2i \cos \theta - 2 \sin \theta}{2 \sin^2 \theta - i \sin 2\theta} = \frac{2i \cos \theta - 2 \sin \theta}{2 \sin \theta (\sin \theta - i \cos \theta)} = \frac{2i(\cos \theta + i \sin \theta)}{-2i \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)} = -\frac{1}{\sin \theta} = -\csc \theta$ है। चूँकि $\sin \theta \in [-1, 1] \setminus \{0\}$,इसलिए $-\csc \theta \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है। अतः,$(A)-(s)$।
$(B)$ $f(x) = \sin^{-1}(\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}})$ के लिए,हमें $-1 \leq \frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} \leq 1$ की आवश्यकता है। माना $u = 3^{x-1}$ है। तब $\frac{8 \cdot 3^{x-2}}{1-3^{2x-2}} = \frac{8 \cdot 3^{x-1} \cdot 3^{-1}}{1-(3^{x-1})^2} = \frac{8u/3}{1-u^2}$ है। $-1 \leq \frac{8u/3}{1-u^2} \leq 1$ को हल करने पर $u \leq 1/3$ प्राप्त होता है,इसलिए $3^{x-1} \leq 3^{-1} \Rightarrow x-1 \leq -1 \Rightarrow x \leq 0$ है। अतः,$(B)-(t)$।
$(C)$ $f(\theta) = 1(1 + \tan^2 \theta) - \tan \theta(-\tan \theta + \tan \theta) + 1(\tan^2 \theta + 1) = 2(1 + \tan^2 \theta) = 2 \sec^2 \theta$ है। $0 \leq \theta < \pi/2$ के लिए,$\sec^2 \theta \in [1, \infty)$,इसलिए $f(\theta) \in [2, \infty)$ है। अतः,$(C)-(r)$।
$(D)$ $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10) + x^{3/2}(3) = \frac{3}{2}x^{1/2}(3x-10+2x) = \frac{15}{2}x^{1/2}(x-2)$ है। $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \geq 2$। अतः,$(D)-(r)$।

(B) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में किसी भी सदिश $\vec{V}$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\vec{V} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$.
$\vec{V} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}$.
$\vec{V}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि $\vec{c} = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,इसलिए $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \vec{V} \cdot \vec{c} = 1$.
$((1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = 1$.
$(1+\lambda) - (1-\lambda) - (1+\lambda) = 1$.
$1 + \lambda - 1 + \lambda - 1 - \lambda = 1$.
$\lambda - 1 = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ का मान $\vec{V}$ में रखने पर:
$\vec{V} = (1+2)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1+2)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.