$x^4-4x^3+12x^2+x-1=0$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા કેટલી છે?

જો વાસ્તવિક રેખા $R$ પર વ્યાખ્યાયિત સતત વિધેય $f$ એ $R$ માં ધન અને ઋણ કિંમતો ધારણ કરે,તો સમીકરણ $f(x)=0$ ને $R$ માં એક બીજ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો એવું જાણીતું હોય કે $R$ પરનું સતત વિધેય $f$ કોઈ બિંદુએ ધન છે અને તેની ન્યૂનતમ કિંમત ઋણ છે,તો સમીકરણ $f(x)=0$ ને $R$ માં એક બીજ હોય છે.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x)=k e^x-x$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k$ એ વાસ્તવિક અચળાંક છે.
$1.$ રેખા $y=x$ એ $k \leq 0$ માટે $y=k e^x$ ને ક્યાં મળે છે?
$(A)$ કોઈ બિંદુએ નહીં $(B)$ એક બિંદુએ $(C)$ બે બિંદુએ $(D)$ બે થી વધુ બિંદુએ
$2.$ $k$ ની ધન કિંમત જેના માટે $k e^x-x=0$ ને માત્ર એક જ બીજ હોય તે છે
$(A)$ $1/e$ $(B)$ $1$ $(C)$ $e$ $(D)$ $\log_e 2$
$3.$ $k>0$ માટે,$k$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ જેના માટે $k e^x-x=0$ ને બે ભિન્ન બીજ હોય તે છે
$(A)$ $(0, 1/e)$ $(B)$ $(1/e, 1)$ $(C)$ $(1/e, \infty)$ $(D)$ $(0, 1)$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

જો $5$ કર્ણ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય,તો તેની પરિમિતિ કેટલી થાય?

જો એક લંબચોરસને $2 \sqrt{2}$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણમાં આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અંતર્ગત કરવામાં આવે,તો આવા લંબચોરસના મહત્તમ ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $....$ છે.

અનંત ઘટતી ભૂમિતિ શ્રેણીના પદોનો સરવાળો અંતરાલ $[-2, 3]$ પર વિધેય $f(x) = x^3 + 3x - 9$ ની મહત્તમ કિંમત જેટલો છે. જો શ્રેણીના પ્રથમ અને બીજા પદ વચ્ચેનો તફાવત $f'(0)$ જેટલો હોય,તો $G.P.$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.

વક્ર $y = \frac{1}{2\sin^2 x + 3\cos^2 x}$ પરના તમામ બિંદુઓનો કોટિ (ordinate) જ્યાં સ્પર્શક સમક્ષિતિજ હોય,તે છે