PhysicsQ1–40 of 40 questions
Page 1 of 1 · Hindi
1
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
$8 \ kHz$ की आवृत्ति वाला सायरन बजाती एक पुलिस कार $36 \ km/h$ के एकसमान वेग से एक ऊंची इमारत की ओर बढ़ रही है,जो ध्वनि तरंगों को परावर्तित करती है। हवा में ध्वनि की गति $320 \ m/s$ है। कार चालक द्वारा सुनी गई सायरन की आवृत्ति क्या है ($kHz$ में)?
A
$8.50$
B
$8.25$
C
$7.75$
D
$7.50$
Solution
(A) इमारत द्वारा परावर्तित और चालक द्वारा सुनी गई ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $f_0 = 8 \ kHz = 8000 \ Hz$
स्रोत (कार) का वेग $v_s = 36 \ km/h = 10 \ m/s$
प्रेक्षक (चालक) का वेग $v_o = 10 \ m/s$
ध्वनि की गति $v = 320 \ m/s$
पहले,इमारत एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right)$
फिर,इमारत एक स्रोत के रूप में कार्य करती है और चालक प्रेक्षक है:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right) \left( \frac{330}{320} \right)$
$f'' = 8000 \times \frac{330}{310} \approx 8516 \ Hz = 8.516 \ kHz \approx 8.50 \ kHz$.
दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $f_0 = 8 \ kHz = 8000 \ Hz$
स्रोत (कार) का वेग $v_s = 36 \ km/h = 10 \ m/s$
प्रेक्षक (चालक) का वेग $v_o = 10 \ m/s$
ध्वनि की गति $v = 320 \ m/s$
पहले,इमारत एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right)$
फिर,इमारत एक स्रोत के रूप में कार्य करती है और चालक प्रेक्षक है:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right) \left( \frac{330}{320} \right)$
$f'' = 8000 \times \frac{330}{310} \approx 8516 \ Hz = 8.516 \ kHz \approx 8.50 \ kHz$.
0 likesView Solution
2
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
$STP$ पर $5.6 \text{ liter}$ हीलियम गैस को रुद्धोष्म (adiabatic) रूप से संपीड़ित करके $0.7 \text{ liter}$ कर दिया जाता है। यदि प्रारंभिक तापमान $T_1$ है,तो इस प्रक्रिया में किया गया कार्य क्या होगा?
A
$\frac{9}{8} R T_1$
B
$\frac{3}{2} R T_1$
C
$\frac{15}{8} R T_1$
D
$\frac{9}{2} R T_1$
Solution
(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 5.6 \text{ L}$,अंतिम आयतन $V_2 = 0.7 \text{ L}$।
हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए $\gamma = \frac{5}{3}$।
मोल की संख्या $n = \frac{5.6 \text{ L}}{22.4 \text{ L}} = \frac{1}{4} \text{ mol}$।
रुद्धोष्म संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = T_1 \left( \frac{5.6}{0.7} \right)^{\frac{5}{3}-1} = T_1 (8)^{2/3} = T_1 (2^3)^{2/3} = 4T_1$।
अब,किया गया कार्य $W$ ज्ञात करते हैं:
$W = \frac{\frac{1}{4} R (T_1 - 4T_1)}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{4} R (-3T_1)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} R (-3T_1) \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{8} R T_1$।
कार्य का परिमाण $\frac{9}{8} R T_1$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = 5.6 \text{ L}$,अंतिम आयतन $V_2 = 0.7 \text{ L}$।
हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए $\gamma = \frac{5}{3}$।
मोल की संख्या $n = \frac{5.6 \text{ L}}{22.4 \text{ L}} = \frac{1}{4} \text{ mol}$।
रुद्धोष्म संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1} = T_1 \left( \frac{5.6}{0.7} \right)^{\frac{5}{3}-1} = T_1 (8)^{2/3} = T_1 (2^3)^{2/3} = 4T_1$।
अब,किया गया कार्य $W$ ज्ञात करते हैं:
$W = \frac{\frac{1}{4} R (T_1 - 4T_1)}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{4} R (-3T_1)}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4} R (-3T_1) \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{8} R T_1$।
कार्य का परिमाण $\frac{9}{8} R T_1$ है।
0 likesView Solution
3
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
$m = 0.5 \ kg$ द्रव्यमान की एक गेंद $L = 0.5 \ m$ लंबाई की डोरी के सिरे से जुड़ी है। गेंद को एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः एक क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर घुमाया जाता है। डोरी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $324 \ N$ है। गेंद के कोणीय वेग का अधिकतम संभव मान ($rad/s$ में) है
A
$9$
B
$18$
C
$27$
D
$36$
Solution
(D) गेंद $r = L \sin \theta$ त्रिज्या के एक क्षैतिज वृत्त में गति करती है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल डोरी के अनुदिश तनाव $T$ और नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $mg$ हैं।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = mg$
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = m \omega^2 r = m \omega^2 (L \sin \theta)$
क्षैतिज घटक से,हमें $T = m \omega^2 L$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि अधिकतम तनाव $T_{max} = 324 \ N$,$m = 0.5 \ kg$,और $L = 0.5 \ m$ है,इसलिए:
$324 = 0.5 \times \omega^2 \times 0.5$
$324 = 0.25 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{324}{0.25} = 1296$
$\omega = \sqrt{1296} = 36 \ rad/s$.
गेंद पर कार्य करने वाले बल डोरी के अनुदिश तनाव $T$ और नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $mg$ हैं।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = mg$
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = m \omega^2 r = m \omega^2 (L \sin \theta)$
क्षैतिज घटक से,हमें $T = m \omega^2 L$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि अधिकतम तनाव $T_{max} = 324 \ N$,$m = 0.5 \ kg$,और $L = 0.5 \ m$ है,इसलिए:
$324 = 0.5 \times \omega^2 \times 0.5$
$324 = 0.25 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{324}{0.25} = 1296$
$\omega = \sqrt{1296} = 36 \ rad/s$.
0 likesView Solution
4
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2011
एक संयुक्त ब्लॉक $A, B, C, D$ और $E$ स्लैब से बना है,जिनकी ऊष्मीय चालकता (स्थिरांक $K$ के संदर्भ में) और आकार (लंबाई $L$ के संदर्भ में) चित्र में दिखाए गए हैं। सभी स्लैब समान चौड़ाई के हैं। ऊष्मा $Q$ केवल बाएं से दाएं ब्लॉकों के माध्यम से प्रवाहित होती है। तो स्थिर अवस्था में:
$(A)$ $A$ और $E$ स्लैब से होकर बहने वाली ऊष्मा समान है।
$(B)$ स्लैब $E$ से होकर बहने वाली ऊष्मा अधिकतम है।
$(C)$ स्लैब $E$ के आर-पार तापमान का अंतर सबसे कम है।
$(D)$ $C$ से होकर बहने वाली ऊष्मा $= B$ से होकर बहने वाली ऊष्मा $+ D$ से होकर बहने वाली ऊष्मा।
$(A)$ $A$ और $E$ स्लैब से होकर बहने वाली ऊष्मा समान है।
$(B)$ स्लैब $E$ से होकर बहने वाली ऊष्मा अधिकतम है।
$(C)$ स्लैब $E$ के आर-पार तापमान का अंतर सबसे कम है।
$(D)$ $C$ से होकर बहने वाली ऊष्मा $= B$ से होकर बहने वाली ऊष्मा $+ D$ से होकर बहने वाली ऊष्मा।
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(C) स्लैब का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लंबाई है,$k$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। मान लीजिए $b$ स्लैब की चौड़ाई है।
$R_A = \frac{L}{2K(4Lb)} = \frac{R_0}{8}$,$R_B = \frac{4R_0}{3}$,$R_C = \frac{R_0}{2}$,$R_D = \frac{4R_0}{5}$,$R_E = \frac{R_0}{24}$
$(i)$ चूंकि स्लैब $A$ और $E$,$B, C, D$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रृंखला में हैं,इसलिए कुल ऊष्मा प्रवाह $Q$,$A$ और $E$ दोनों से होकर गुजरता है। अतः,$A$ और $E$ से होकर बहने वाली ऊष्मा समान है। कथन $(A)$ सही है।
$(ii)$ स्लैब के आर-पार तापमान का अंतर $\Delta T = Q \cdot R$ है। चूंकि $R_E$ सबसे कम प्रतिरोध है,इसलिए $E$ के आर-पार तापमान का अंतर सबसे कम है। कथन $(C)$ सही है।
$(iii)$ समानांतर अनुभाग के लिए,ऊष्मा प्रवाह $Q$,$i_B, i_C, i_D$ में विभाजित हो जाता है। समानांतर होने के कारण,विभवांतर $\Delta T_{BCD}$ सभी के लिए समान है। इसलिए $i = \frac{\Delta T}{R}$।
$i_C = \frac{2\Delta T}{R_0}$,$i_B = \frac{3\Delta T}{4R_0}$,$i_D = \frac{5\Delta T}{4R_0}$।
$i_B + i_D = \frac{3\Delta T}{4R_0} + \frac{5\Delta T}{4R_0} = \frac{2\Delta T}{R_0} = i_C$। कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,$(A, C, D)$ सही हैं।
$R_A = \frac{L}{2K(4Lb)} = \frac{R_0}{8}$,$R_B = \frac{4R_0}{3}$,$R_C = \frac{R_0}{2}$,$R_D = \frac{4R_0}{5}$,$R_E = \frac{R_0}{24}$
$(i)$ चूंकि स्लैब $A$ और $E$,$B, C, D$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रृंखला में हैं,इसलिए कुल ऊष्मा प्रवाह $Q$,$A$ और $E$ दोनों से होकर गुजरता है। अतः,$A$ और $E$ से होकर बहने वाली ऊष्मा समान है। कथन $(A)$ सही है।
$(ii)$ स्लैब के आर-पार तापमान का अंतर $\Delta T = Q \cdot R$ है। चूंकि $R_E$ सबसे कम प्रतिरोध है,इसलिए $E$ के आर-पार तापमान का अंतर सबसे कम है। कथन $(C)$ सही है।
$(iii)$ समानांतर अनुभाग के लिए,ऊष्मा प्रवाह $Q$,$i_B, i_C, i_D$ में विभाजित हो जाता है। समानांतर होने के कारण,विभवांतर $\Delta T_{BCD}$ सभी के लिए समान है। इसलिए $i = \frac{\Delta T}{R}$।
$i_C = \frac{2\Delta T}{R_0}$,$i_B = \frac{3\Delta T}{4R_0}$,$i_D = \frac{5\Delta T}{4R_0}$।
$i_B + i_D = \frac{3\Delta T}{4R_0} + \frac{5\Delta T}{4R_0} = \frac{2\Delta T}{R_0} = i_C$। कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,$(A, C, D)$ सही हैं।
0 likesView Solution
5
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2011
$L$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान की एक धातु की छड़ एक सिरे पर धुरी पर टिकी है। $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या $(R < L)$ की एक पतली डिस्क को उसके केंद्र पर छड़ के मुक्त सिरे से जोड़ा गया है। डिस्क के जुड़े होने के दो तरीकों पर विचार करें: (स्थिति $A$) डिस्क अपने केंद्र के चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र नहीं है और (स्थिति $B$) डिस्क अपने केंद्र के चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र है। छड़-डिस्क प्रणाली समान विस्थापित स्थिति से छोड़े जाने के बाद ऊर्ध्वाधर तल में $SHM$ करती है। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
A
$(A)$ स्थिति $A$ में प्रत्यानयन बल आघूर्ण $=$ स्थिति $B$ में प्रत्यानयन बल आघूर्ण
B
$(B)$ स्थिति $A$ में प्रत्यानयन बल आघूर्ण $ < $ स्थिति $B$ में प्रत्यानयन बल आघूर्ण
C
$(C)$ स्थिति $A$ के लिए कोणीय आवृत्ति $>$ स्थिति $B$ के लिए कोणीय आवृत्ति
D
$(D)$ स्थिति $A$ के लिए कोणीय आवृत्ति $ < $ स्थिति $B$ के लिए कोणीय आवृत्ति
Solution
(A,D) छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tau = -(mg \cdot \frac{L}{2} + Mg \cdot L) \sin \theta \approx -(mg \cdot \frac{L}{2} + Mg \cdot L) \theta$. चूंकि प्रत्यानयन बल आघूर्ण केवल द्रव्यमानों और धुरी के सापेक्ष उनकी स्थिति पर निर्भर करता है,इसलिए यह स्थिति $A$ और $B$ दोनों में समान है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार दी जाती है: $\omega = \sqrt{\frac{|\tau|/\theta}{I_{pivot}}}$.
स्थिति $A$ में,डिस्क छड़ से जुड़ी हुई है,इसलिए यह छड़ के साथ घूमती है। जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_{rod} + I_{disc, pivot} = \frac{mL^2}{3} + (\frac{MR^2}{2} + ML^2) = \frac{mL^2}{3} + \frac{MR^2}{2} + ML^2$.
स्थिति $B$ में,डिस्क घूमने के लिए स्वतंत्र है,इसलिए यह अपने स्वयं के केंद्र के चारों ओर नहीं घूमती है। जड़त्व आघूर्ण $I_B = I_{rod} + I_{disc, CM} = \frac{mL^2}{3} + ML^2$.
चूंकि $I_A > I_B$ है,और प्रत्यानयन बल आघूर्ण समान है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega_A < \omega_B$ होगी। अतः,कथन $(D)$ सत्य है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार दी जाती है: $\omega = \sqrt{\frac{|\tau|/\theta}{I_{pivot}}}$.
स्थिति $A$ में,डिस्क छड़ से जुड़ी हुई है,इसलिए यह छड़ के साथ घूमती है। जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_{rod} + I_{disc, pivot} = \frac{mL^2}{3} + (\frac{MR^2}{2} + ML^2) = \frac{mL^2}{3} + \frac{MR^2}{2} + ML^2$.
स्थिति $B$ में,डिस्क घूमने के लिए स्वतंत्र है,इसलिए यह अपने स्वयं के केंद्र के चारों ओर नहीं घूमती है। जड़त्व आघूर्ण $I_B = I_{rod} + I_{disc, CM} = \frac{mL^2}{3} + ML^2$.
चूंकि $I_A > I_B$ है,और प्रत्यानयन बल आघूर्ण समान है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega_A < \omega_B$ होगी। अतः,कथन $(D)$ सत्य है।
0 likesView Solution
6
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2011
फेज स्पेस आरेख सभी प्रकार की गतिशील समस्याओं के विश्लेषण में उपयोगी उपकरण हैं। जब प्रारंभिक स्थिति और संवेग बदलते हैं तो गति में होने वाले परिवर्तनों का अध्ययन करने में ये विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। यहाँ हम एक आयाम में कुछ सरल गतिशील प्रणालियों पर विचार करते हैं। ऐसी प्रणालियों के लिए, फेज स्पेस एक तल है जिसमें स्थिति को क्षैतिज अक्ष पर और संवेग को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर आलेखित किया जाता है। फेज स्पेस आरेख इस तल में $x(t)$ बनाम $p(t)$ वक्र है। वक्र पर तीर समय के प्रवाह को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, स्थिर वेग से गति करने वाले कण के लिए फेज स्पेस आरेख चित्र में दिखाए अनुसार एक सीधी रेखा है। हम उस चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हैं जिसमें ऊपर की ओर (या दाईं ओर) स्थिति या संवेग धनात्मक है और नीचे की ओर (या बाईं ओर) ऋणात्मक है।
$1.$ जमीन से ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
$2.$ सरल आवर्त गति के लिए फेज स्पेस आरेख मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त है। चित्र में, दो वृत्त एक ही ऑसिलेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन अलग-अलग प्रारंभिक स्थितियों के लिए, और $E_1$ और $E_2$ क्रमशः कुल यांत्रिक ऊर्जाएं हैं। तो:
$(A) E_1 = \sqrt{2} E_2$
$(B) E_1 = 2 E_2$
$(C) E_1 = 4 E_2$
$(D) E_1 = 16 E_2$
$3.$ पानी में डूबे हुए द्रव्यमान के साथ स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली पर विचार करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस प्रणाली के एक चक्र के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ जमीन से ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
$2.$ सरल आवर्त गति के लिए फेज स्पेस आरेख मूल बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त है। चित्र में, दो वृत्त एक ही ऑसिलेटर का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन अलग-अलग प्रारंभिक स्थितियों के लिए, और $E_1$ और $E_2$ क्रमशः कुल यांत्रिक ऊर्जाएं हैं। तो:
$(A) E_1 = \sqrt{2} E_2$
$(B) E_1 = 2 E_2$
$(C) E_1 = 4 E_2$
$(D) E_1 = 16 E_2$
$3.$ पानी में डूबे हुए द्रव्यमान के साथ स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली पर विचार करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस प्रणाली के एक चक्र के लिए फेज स्पेस आरेख कौन सा है?
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$(D, C, B)$
B
$(A, B, C)$
C
$(B, B, D)$
D
$(D, A, D)$
Solution
(D) $1.$ ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए, स्थिति $x$ बढ़ती है और फिर घटती है, और संवेग $p$ धनात्मक से ऋणात्मक की ओर घटता है। यह फेज स्पेस में नीचे की ओर खुलने वाले परवलय के अनुरूप है, जो विकल्प $(D)$ है।
$2.$ सरल आवर्त ऑसिलेटर की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ है, जहाँ $A$ आयाम है। चित्र से, बाहरी वृत्त की त्रिज्या $2a$ है और आंतरिक वृत्त की $a$ है। अतः, $A_1 = 2a$ और $A_2 = a$। इसलिए, $E_1 = \frac{1}{2} k (2a)^2 = 4 (\frac{1}{2} k a^2) = 4 E_2$। यह विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।
$3.$ पानी में डूबी हुई स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली अवमंदित दोलनों से गुजरती है। दोलन का आयाम समय के साथ घटता है, इसलिए फेज स्पेस आरेख मूल बिंदु की ओर अंदर की तरफ सर्पिल होगा। यह विकल्प $(B)$ के अनुरूप है।
$2.$ सरल आवर्त ऑसिलेटर की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ है, जहाँ $A$ आयाम है। चित्र से, बाहरी वृत्त की त्रिज्या $2a$ है और आंतरिक वृत्त की $a$ है। अतः, $A_1 = 2a$ और $A_2 = a$। इसलिए, $E_1 = \frac{1}{2} k (2a)^2 = 4 (\frac{1}{2} k a^2) = 4 E_2$। यह विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।
$3.$ पानी में डूबी हुई स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली अवमंदित दोलनों से गुजरती है। दोलन का आयाम समय के साथ घटता है, इसलिए फेज स्पेस आरेख मूल बिंदु की ओर अंदर की तरफ सर्पिल होगा। यह विकल्प $(B)$ के अनुरूप है।
0 likesView Solution
7
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2011
समान संख्या में इलेक्ट्रॉनों और धनात्मक आयनों के घने संग्रह को उदासीन प्लाज्मा कहा जाता है। मुक्त इलेक्ट्रॉनों से घिरे निश्चित धनात्मक आयनों वाले कुछ ठोस पदार्थों को उदासीन प्लाज्मा के रूप में माना जा सकता है। मान लीजिए $N$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है, प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है। जब इलेक्ट्रॉनों पर एक विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है, तो वे भारी धनात्मक आयनों से अपेक्षाकृत दूर विस्थापित हो जाते हैं। यदि विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है, तो इलेक्ट्रॉन धनात्मक आयनों के चारों ओर एक प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega_p$ के साथ दोलन करना शुरू कर देते हैं, जिसे प्लाज्मा आवृत्ति कहा जाता है। दोलनों को बनाए रखने के लिए, एक समय-परिवर्ती विद्युत क्षेत्र को लागू करने की आवश्यकता होती है जिसकी कोणीय आवृत्ति $\omega$ हो, जहाँ ऊर्जा का एक हिस्सा अवशोषित हो जाता है और एक हिस्सा परावर्तित हो जाता है। जैसे ही $\omega$, $\omega_p$ के करीब पहुंचता है, सभी मुक्त इलेक्ट्रॉन एक साथ अनुनाद में आ जाते हैं और सारी ऊर्जा परावर्तित हो जाती है। यह धातुओं की उच्च परावर्तकता की व्याख्या है।
$1.$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश को $e$ और पारगम्यता (permittivity) को $\varepsilon_0$ मानते हुए, $\omega_p$ के लिए सही व्यंजक निर्धारित करने के लिए आयामी विश्लेषण का उपयोग करें।
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ उस तरंगदैर्ध्य का अनुमान लगाएं जिस पर $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ इलेक्ट्रॉन घनत्व वाली धातु के लिए प्लाज्मा परावर्तन होगा। $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ और $m \approx 10^{-30}$ लें, जहाँ ये राशियाँ उचित $SI$ इकाइयों में हैं।
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
$1.$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश को $e$ और पारगम्यता (permittivity) को $\varepsilon_0$ मानते हुए, $\omega_p$ के लिए सही व्यंजक निर्धारित करने के लिए आयामी विश्लेषण का उपयोग करें।
$(A) \sqrt{\frac{N e}{m \varepsilon_0}}$ $(B) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e}}$ $(C) \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ $(D) \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{N e^2}}$
$2.$ उस तरंगदैर्ध्य का अनुमान लगाएं जिस पर $N \approx 4 \times 10^{27} \ m^{-3}$ इलेक्ट्रॉन घनत्व वाली धातु के लिए प्लाज्मा परावर्तन होगा। $\varepsilon_0 \approx 10^{-11}$ और $m \approx 10^{-30}$ लें, जहाँ ये राशियाँ उचित $SI$ इकाइयों में हैं।
$(A) 800 \ nm$ $(B) 600 \ nm$ $(C) 300 \ nm$ $(D) 200 \ nm$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।
A
$(B, D)$
B
$(C, B)$
C
$(A, C)$
D
$(B, A)$
Solution
(B) $1.$ कोणीय आवृत्ति का आयाम $[\omega] = T^{-1}$ है।
पारगम्यता का आयाम $[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$ है। चूंकि $I = Q/T$, हम $[e] = Q = AT$ का उपयोग करते हैं।
$[m] = M$, $[N] = L^{-3}$, $[e^2] = Q^2$।
विकल्प $(C)$ की जाँच करने पर: $\left[ \frac{N e^2}{m \varepsilon_0} \right] = \frac{L^{-3} Q^2}{M (M^{-1} L^{-3} T^2 Q^{-2})} = T^{-2}$।
इस प्रकार, $\sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ में $T^{-1}$ के आयाम हैं, जो $\omega$ है।
$2.$ अनुनाद पर, $\omega = \omega_p = \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$।
दिया गया है $N = 4 \times 10^{27}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}$, $m = 10^{-30}$, $\varepsilon_0 = 10^{-11}$।
$\omega_p = \sqrt{\frac{4 \times 10^{27} \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{10^{-30} \times 10^{-11}}} = 3.2 \times 10^{15} \ rad/s$।
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3.2 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \approx 0.5 \times 10^{15} \ Hz$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{0.5 \times 10^{15}} = 6 \times 10^{-7} \ m = 600 \ nm$।
पारगम्यता का आयाम $[\varepsilon_0] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$ है। चूंकि $I = Q/T$, हम $[e] = Q = AT$ का उपयोग करते हैं।
$[m] = M$, $[N] = L^{-3}$, $[e^2] = Q^2$।
विकल्प $(C)$ की जाँच करने पर: $\left[ \frac{N e^2}{m \varepsilon_0} \right] = \frac{L^{-3} Q^2}{M (M^{-1} L^{-3} T^2 Q^{-2})} = T^{-2}$।
इस प्रकार, $\sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$ में $T^{-1}$ के आयाम हैं, जो $\omega$ है।
$2.$ अनुनाद पर, $\omega = \omega_p = \sqrt{\frac{N e^2}{m \varepsilon_0}}$।
दिया गया है $N = 4 \times 10^{27}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}$, $m = 10^{-30}$, $\varepsilon_0 = 10^{-11}$।
$\omega_p = \sqrt{\frac{4 \times 10^{27} \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{10^{-30} \times 10^{-11}}} = 3.2 \times 10^{15} \ rad/s$।
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3.2 \times 10^{15}}{2 \times 3.14} \approx 0.5 \times 10^{15} \ Hz$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{0.5 \times 10^{15}} = 6 \times 10^{-7} \ m = 600 \ nm$।
0 likesView Solution
8
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2011
$2 \ kg$ द्रव्यमान और $0.5 \ m$ त्रिज्या वाली एक रिंग को एक लड़का चित्र में दिखाए अनुसार एक छड़ी से धक्का दे रहा है। छड़ी रिंग पर $2 \ N$ का बल लगाती है और यह $0.3 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ बिना फिसले लुढ़कती है। जमीन और रिंग के बीच घर्षण गुणांक इतना अधिक है कि हमेशा लुढ़कना होता है और छड़ी तथा रिंग के बीच घर्षण गुणांक $(P/10)$ है। $P$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$8$
B
$6$
C
$4$
D
$2$
Solution
(C) माना $M = 2 \ kg$,$R = 0.5 \ m$,$a = 0.3 \ m/s^2$,और $N = 2 \ N$ (छड़ी द्वारा लगाया गया बल)।
रिंग के लिए,केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
चूंकि यह बिना फिसले लुढ़कती है,कोणीय त्वरण $\alpha = a/R$ है।
माना $f_s$ जमीन से घर्षण है और $f_a$ छड़ी से घर्षण है।
स्थानांतरित गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $N - f_s = Ma$।
$2 - f_s = 2 \times 0.3 = 0.6 \implies f_s = 1.4 \ N$।
रिंग के केंद्र के परितः टॉर्क समीकरण लिखने पर: $(f_s - f_a)R = I\alpha$।
$(1.4 - f_a)R = (MR^2)(a/R) = MaR$।
$1.4 - f_a = Ma = 2 \times 0.3 = 0.6$।
$f_a = 1.4 - 0.6 = 0.8 \ N$।
छड़ी से घर्षण $f_a = \mu N$ है,जहाँ $\mu = P/10$ है।
$0.8 = (P/10) \times 2$।
$0.8 = P/5 \implies P = 4$।
रिंग के लिए,केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
चूंकि यह बिना फिसले लुढ़कती है,कोणीय त्वरण $\alpha = a/R$ है।
माना $f_s$ जमीन से घर्षण है और $f_a$ छड़ी से घर्षण है।
स्थानांतरित गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $N - f_s = Ma$।
$2 - f_s = 2 \times 0.3 = 0.6 \implies f_s = 1.4 \ N$।
रिंग के केंद्र के परितः टॉर्क समीकरण लिखने पर: $(f_s - f_a)R = I\alpha$।
$(1.4 - f_a)R = (MR^2)(a/R) = MaR$।
$1.4 - f_a = Ma = 2 \times 0.3 = 0.6$।
$f_a = 1.4 - 0.6 = 0.8 \ N$।
छड़ी से घर्षण $f_a = \mu N$ है,जहाँ $\mu = P/10$ है।
$0.8 = (P/10) \times 2$।
$0.8 = P/5 \implies P = 4$।
0 likesView Solution
9
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2011
एक ब्लॉक क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने वाले एक नत समतल (inclined plane) पर गति कर रहा है और घर्षण गुणांक $\mu$ है। ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल,उसे नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल का $3$ गुना है। यदि हम $N=10 \mu$ परिभाषित करते हैं,तो $N$ का मान क्या है?
A
$9$
B
$6$
C
$2$
D
$5$
Solution
(D) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और $\theta = 45^{\circ}$ है।
ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल $F_1 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$ है।
ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_2 = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$ है।
दिया गया है कि $F_1 = 3 F_2$,इसलिए:
$mg(\sin 45^{\circ} + \mu \cos 45^{\circ}) = 3 mg(\sin 45^{\circ} - \mu \cos 45^{\circ})$.
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हम दोनों पक्षों से $mg$ और $\frac{1}{\sqrt{2}}$ को काट सकते हैं:
$1 + \mu = 3(1 - \mu)$.
समीकरण का विस्तार करने पर:
$1 + \mu = 3 - 3 \mu$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4 \mu = 2$.
$\mu = 0.5$.
चूंकि $N = 10 \mu$ दिया गया है,हम गणना करते हैं:
$N = 10 \times 0.5 = 5$.
ब्लॉक को नत समतल पर ऊपर की ओर धकेलने के लिए आवश्यक बल $F_1 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$ है।
ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक बल $F_2 = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$ है।
दिया गया है कि $F_1 = 3 F_2$,इसलिए:
$mg(\sin 45^{\circ} + \mu \cos 45^{\circ}) = 3 mg(\sin 45^{\circ} - \mu \cos 45^{\circ})$.
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हम दोनों पक्षों से $mg$ और $\frac{1}{\sqrt{2}}$ को काट सकते हैं:
$1 + \mu = 3(1 - \mu)$.
समीकरण का विस्तार करने पर:
$1 + \mu = 3 - 3 \mu$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4 \mu = 2$.
$\mu = 0.5$.
चूंकि $N = 10 \mu$ दिया गया है,हम गणना करते हैं:
$N = 10 \times 0.5 = 5$.
0 likesView Solution
10
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2011
$40^{\circ} C$ पर $L$ लंबाई का एक स्टील का तार छत से लटकाया गया है और इसके मुक्त सिरे से $m$ द्रव्यमान लटकाया गया है। तार को अपनी मूल लंबाई $L$ वापस पाने के लिए $40^{\circ} C$ से $30^{\circ} C$ तक ठंडा किया जाता है। स्टील का रैखिक प्रसार गुणांक $10^{-5} /^{\circ} C$ है,यंग मापांक $10^{11} N/m^2$ है और तार की त्रिज्या $1 \ mm$ है। मान लें कि $L \gg$ तार का व्यास। तो $kg$ में $m$ का मान लगभग कितना है?
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(A) $m$ द्रव्यमान द्वारा उत्पन्न विस्तार $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{mgL}{AY}$ है।
ठंडा होने के कारण संकुचन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है।
चूंकि तार अपनी मूल लंबाई वापस पा लेता है,इसलिए द्रव्यमान के कारण विस्तार ठंडा होने के कारण संकुचन के बराबर होना चाहिए:
$\frac{mgL}{AY} = L \alpha \Delta T \Rightarrow mg = AY \alpha \Delta T$.
यहाँ $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$.
दिया गया है $\Delta T = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10^{\circ} C$,$\alpha = 10^{-5} /^{\circ} C$,$Y = 10^{11} \ N/m^2$,और $g \approx 10 \ m/s^2$.
मान रखने पर:
$m = \frac{A Y \alpha \Delta T}{g} = \frac{(\pi \times 10^{-6}) \times 10^{11} \times 10^{-5} \times 10}{10} = \pi \approx 3.14 \ kg$.
निकटतम पूर्णांक में,$m \approx 3 \ kg$.
ठंडा होने के कारण संकुचन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ है।
चूंकि तार अपनी मूल लंबाई वापस पा लेता है,इसलिए द्रव्यमान के कारण विस्तार ठंडा होने के कारण संकुचन के बराबर होना चाहिए:
$\frac{mgL}{AY} = L \alpha \Delta T \Rightarrow mg = AY \alpha \Delta T$.
यहाँ $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$.
दिया गया है $\Delta T = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10^{\circ} C$,$\alpha = 10^{-5} /^{\circ} C$,$Y = 10^{11} \ N/m^2$,और $g \approx 10 \ m/s^2$.
मान रखने पर:
$m = \frac{A Y \alpha \Delta T}{g} = \frac{(\pi \times 10^{-6}) \times 10^{11} \times 10^{-5} \times 10}{10} = \pi \approx 3.14 \ kg$.
निकटतम पूर्णांक में,$m \approx 3 \ kg$.
0 likesView Solution
11
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
चार ठोस गोले,जिनमें से प्रत्येक का व्यास $\sqrt{5} \ cm$ और द्रव्यमान $0.5 \ kg$ है,को $4 \ cm$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर रखा गया है। वर्ग के विकर्ण के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $N \times 10^{-4} \ kg \cdot m^2$ है,तो $N$ ज्ञात कीजिए।
A
$9$
B
$8$
C
$7$
D
$6$
Solution
(A) माना वर्ग की भुजा $a = 4 \ cm = 0.04 \ m$ है। प्रत्येक गोले की त्रिज्या $R = \frac{\sqrt{5}}{2} \ cm = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 10^{-2} \ m$ है। प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m = 0.5 \ kg$ है।
वर्ग के विकर्ण को घूर्णन अक्ष मानिए। दो गोले इस विकर्ण पर स्थित हैं,और दो गोले विकर्ण से $d = \frac{a}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ cm = 2\sqrt{2} \times 10^{-2} \ m$ की लंबवत दूरी पर हैं।
विकर्ण पर स्थित दो गोलों के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_2 = \frac{2}{5}mR^2$ है।
विकर्ण से दूर स्थित दो गोलों के लिए,समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_3 = I_4 = \frac{2}{5}mR^2 + md^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 2(\frac{2}{5}mR^2) + 2(\frac{2}{5}mR^2 + md^2) = \frac{8}{5}mR^2 + 2md^2$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{8}{5}(0.5)(\frac{5}{4} \times 10^{-4}) + 2(0.5)(8 \times 10^{-4}) = 1.0 \times 10^{-4} + 8 \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-4} \ kg \cdot m^2$। अतः,$N = 9$।
वर्ग के विकर्ण को घूर्णन अक्ष मानिए। दो गोले इस विकर्ण पर स्थित हैं,और दो गोले विकर्ण से $d = \frac{a}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ cm = 2\sqrt{2} \times 10^{-2} \ m$ की लंबवत दूरी पर हैं।
विकर्ण पर स्थित दो गोलों के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_2 = \frac{2}{5}mR^2$ है।
विकर्ण से दूर स्थित दो गोलों के लिए,समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_3 = I_4 = \frac{2}{5}mR^2 + md^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 2(\frac{2}{5}mR^2) + 2(\frac{2}{5}mR^2 + md^2) = \frac{8}{5}mR^2 + 2md^2$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{8}{5}(0.5)(\frac{5}{4} \times 10^{-4}) + 2(0.5)(8 \times 10^{-4}) = 1.0 \times 10^{-4} + 8 \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-4} \ kg \cdot m^2$। अतः,$N = 9$।
0 likesView Solution
12
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में '$V$' की स्थिर गति से चल रहा है। '$m$' द्रव्यमान की एक वस्तु को उपग्रह से इस प्रकार बाहर निकाला जाता है कि वह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बस पलायन कर जाए। इसके निष्कासन के समय,वस्तु की गतिज ऊर्जा है
A
$1/2 m V^2$
B
$m V^2$
C
$3/2 m V^2$
D
$2 m V^2$
Solution
(B) मान लीजिए कि वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या $r$ है। उपग्रह की कक्षीय गति $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $V^2 = \frac{GM}{r}$।
किसी वस्तु के पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बस पलायन करने के लिए,निष्कासन के बिंदु पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा अनंत पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए,जो कि $0$ है।
मान लीजिए कि निष्कासन के समय '$m$' द्रव्यमान की वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ है।
पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $K + U = 0$।
$K - \frac{GMm}{r} = 0$।
$K = \frac{GMm}{r}$।
$\frac{GM}{r} = V^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = m V^2$ प्राप्त होता है।
किसी वस्तु के पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बस पलायन करने के लिए,निष्कासन के बिंदु पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा अनंत पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए,जो कि $0$ है।
मान लीजिए कि निष्कासन के समय '$m$' द्रव्यमान की वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ है।
पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $K + U = 0$।
$K - \frac{GMm}{r} = 0$।
$K = \frac{GMm}{r}$।
$\frac{GM}{r} = V^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = m V^2$ प्राप्त होता है।
0 likesView Solution
13
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक बिंदु द्रव्यमान $x$-दिशा में दो एक साथ होने वाले ज्यावक्रीय (sinusoidal) विस्थापनों $x_1(t) = A \sin \omega t$ और $x_2(t) = A \sin \left(\omega t + \frac{2 \pi}{3}\right)$ के अधीन है। एक तीसरा ज्यावक्रीय विस्थापन $x_3(t) = B \sin (\omega t + \phi)$ जोड़ने पर द्रव्यमान पूर्णतः विराम अवस्था में आ जाता है। $B$ और $\phi$ के मान हैं:
A
$\sqrt{2} A, \frac{3 \pi}{4}$
B
$A, \frac{4 \pi}{3}$
C
$\sqrt{3} A, \frac{5 \pi}{6}$
D
$A, \frac{\pi}{3}$
Solution
(B) पहले दो विस्थापनों का परिणामी विस्थापन $x_1 + x_2 = A \sin \omega t + A \sin \left(\omega t + \frac{2 \pi}{3}\right)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$x_1 + x_2 = 2A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
द्रव्यमान के पूर्णतः विराम में रहने के लिए,सभी विस्थापनों का योग शून्य होना चाहिए: $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
अतः,$x_3 = -(x_1 + x_2) = -A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
सर्वसमिका $-\sin \theta = \sin (\theta + \pi)$ का उपयोग करने पर:
$x_3 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3} + \pi\right) = A \sin \left(\omega t + \frac{4 \pi}{3}\right)$.
इसकी तुलना $x_3(t) = B \sin (\omega t + \phi)$ से करने पर,हमें $B = A$ और $\phi = \frac{4 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$x_1 + x_2 = 2A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
द्रव्यमान के पूर्णतः विराम में रहने के लिए,सभी विस्थापनों का योग शून्य होना चाहिए: $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
अतः,$x_3 = -(x_1 + x_2) = -A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
सर्वसमिका $-\sin \theta = \sin (\theta + \pi)$ का उपयोग करने पर:
$x_3 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3} + \pi\right) = A \sin \left(\omega t + \frac{4 \pi}{3}\right)$.
इसकी तुलना $x_3(t) = B \sin (\omega t + \phi)$ से करने पर,हमें $B = A$ और $\phi = \frac{4 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।
0 likesView Solution
14
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
$0.2 \ kg$ द्रव्यमान की एक गेंद $5 \ m$ ऊँचाई के एक ऊर्ध्वाधर खंभे पर स्थित है। $0.01 \ kg$ द्रव्यमान की एक गोली,जो $V \ m/s$ के वेग से क्षैतिज दिशा में यात्रा कर रही है,गेंद के केंद्र से टकराती है। टक्कर के बाद,गेंद और गोली स्वतंत्र रूप से यात्रा करती हैं। गेंद खंभे के आधार से $20 \ m$ की दूरी पर और गोली $100 \ m$ की दूरी पर जमीन से टकराती है। गोली का प्रारंभिक वेग $V$ है
A
$250 \ m/s$
B
$250 \sqrt{2} \ m/s$
C
$400 \ m/s$
D
$500 \ m/s$
Solution
(D) मान लीजिए कि गोली का द्रव्यमान $m = 0.01 \ kg$ और गेंद का द्रव्यमान $M = 0.2 \ kg$ है। गेंद शुरू में $h = 5 \ m$ की ऊँचाई पर स्थिर है।
चूँकि गति क्षैतिज प्रक्षेप्य गति है,जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$,$h = \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$5 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,जिससे $t = 1 \ s$ प्राप्त होता है।
टक्कर के बाद,गेंद का क्षैतिज वेग $v_b = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{20 \ m}{1 \ s} = 20 \ m/s$ है।
गोली का क्षैतिज वेग $v_u = \frac{100 \ m}{1 \ s} = 100 \ m/s$ है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$m V = m v_u + M v_b$
$0.01 \times V = (0.01 \times 100) + (0.2 \times 20)$
$0.01 \times V = 1 + 4 = 5$
$V = \frac{5}{0.01} = 500 \ m/s$.
चूँकि गति क्षैतिज प्रक्षेप्य गति है,जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$,$h = \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$5 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,जिससे $t = 1 \ s$ प्राप्त होता है।
टक्कर के बाद,गेंद का क्षैतिज वेग $v_b = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{20 \ m}{1 \ s} = 20 \ m/s$ है।
गोली का क्षैतिज वेग $v_u = \frac{100 \ m}{1 \ s} = 100 \ m/s$ है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$m V = m v_u + M v_b$
$0.01 \times V = (0.01 \times 100) + (0.2 \times 20)$
$0.01 \times V = 1 + 4 = 5$
$V = \frac{5}{0.01} = 500 \ m/s$.
0 likesView Solution
15
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक प्रयोग में एक ठोस गेंद का घनत्व निर्धारित किया जाना है। गेंद का व्यास एक स्क्रू गेज से मापा जाता है,जिसका पिच $0.5 \ mm$ है और वृत्ताकार पैमाने पर $50$ भाग हैं। मुख्य पैमाने पर रीडिंग $2.5 \ mm$ है और वृत्ताकार पैमाने पर रीडिंग $20$ भाग है। यदि गेंद के मापे गए द्रव्यमान में सापेक्ष त्रुटि $2 \%$ है,तो घनत्व में सापेक्ष प्रतिशत त्रुटि क्या है ($\%$ में)?
A
$0.9$
B
$2.4$
C
$3.1$
D
$4.2$
Solution
(C) दिया गया है:
पिच $= 0.5 \ mm$
वृत्ताकार पैमाने के भाग $= 50$
मुख्य पैमाने की रीडिंग $= 2.5 \ mm$
वृत्ताकार पैमाने की रीडिंग $= 20$
द्रव्यमान में सापेक्ष त्रुटि $(\Delta M/M) \times 100 = 2 \%$
अल्पतमांक $(LC) = \frac{\text{पिच}}{\text{वृत्ताकार पैमाने के भाग}} = \frac{0.5 \ mm}{50} = 0.01 \ mm$
गेंद का व्यास $(D) = \text{मुख्य पैमाने की रीडिंग} + (LC \times \text{वृत्ताकार पैमाने की रीडिंग})$
$D = 2.5 \ mm + (0.01 \ mm \times 20) = 2.5 \ mm + 0.2 \ mm = 2.7 \ mm$
घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi (D/2)^3} = \frac{6M}{\pi D^3}$
घनत्व में सापेक्ष प्रतिशत त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta D}{D} \right) \times 100$
यहाँ,$\Delta D = LC = 0.01 \ mm$ और $D = 2.7 \ mm$ है।
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 2 \% + 3 \times \left( \frac{0.01}{2.7} \right) \times 100$
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 2 \% + 3 \times 0.37 \% = 2 \% + 1.11 \% = 3.11 \% \approx 3.1 \%$
पिच $= 0.5 \ mm$
वृत्ताकार पैमाने के भाग $= 50$
मुख्य पैमाने की रीडिंग $= 2.5 \ mm$
वृत्ताकार पैमाने की रीडिंग $= 20$
द्रव्यमान में सापेक्ष त्रुटि $(\Delta M/M) \times 100 = 2 \%$
अल्पतमांक $(LC) = \frac{\text{पिच}}{\text{वृत्ताकार पैमाने के भाग}} = \frac{0.5 \ mm}{50} = 0.01 \ mm$
गेंद का व्यास $(D) = \text{मुख्य पैमाने की रीडिंग} + (LC \times \text{वृत्ताकार पैमाने की रीडिंग})$
$D = 2.5 \ mm + (0.01 \ mm \times 20) = 2.5 \ mm + 0.2 \ mm = 2.7 \ mm$
घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi (D/2)^3} = \frac{6M}{\pi D^3}$
घनत्व में सापेक्ष प्रतिशत त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta D}{D} \right) \times 100$
यहाँ,$\Delta D = LC = 0.01 \ mm$ और $D = 2.7 \ mm$ है।
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 2 \% + 3 \times \left( \frac{0.01}{2.7} \right) \times 100$
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 2 \% + 3 \times 0.37 \% = 2 \% + 1.11 \% = 3.11 \% \approx 3.1 \%$
0 likesView Solution
16
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक लकड़ी का ब्लॉक घर्षण रहित सतह पर $v_0$ आवृत्ति के साथ $SHM$ (सरल आवर्त गति) करता है। ब्लॉक की सतह पर $+Q$ आवेश है। यदि अब एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को चित्रानुसार चालू किया जाता है,तो ब्लॉक की $SHM$ कैसी होगी?
A
समान आवृत्ति और स्थानांतरित माध्य स्थिति के साथ।
B
समान आवृत्ति और समान माध्य स्थिति के साथ।
C
परिवर्तित आवृत्ति और स्थानांतरित माध्य स्थिति के साथ।
D
परिवर्तित आवृत्ति और समान माध्य स्थिति के साथ।
Solution
(A) ब्लॉक-स्प्रिंग प्रणाली के लिए दोलन की आवृत्ति $v_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
यह आवृत्ति केवल स्प्रिंग नियतांक $k$ और ब्लॉक के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करती है,और यह किसी भी स्थिर बाहरी बल से स्वतंत्र है।
जब एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ लागू किया जाता है,तो ब्लॉक पर एक स्थिर स्थिरवैद्युत बल $F_e = QE$ कार्य करता है।
यह बल ब्लॉक की संतुलन (माध्य) स्थिति को एक नई स्थिति में स्थानांतरित कर देता है जहाँ स्प्रिंग बल विद्युत बल को संतुलित करता है,अर्थात $kx' = QE$,जहाँ $x'$ मूल माध्य स्थिति से विस्थापन है।
चूंकि बल स्थिर है,यह प्रत्यानयन बल प्रवणता (स्प्रिंग नियतांक $k$) को प्रभावित नहीं करता है,और इसलिए दोलन की आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।
इस प्रकार,ब्लॉक समान आवृत्ति के साथ लेकिन एक नई,स्थानांतरित माध्य स्थिति के चारों ओर $SHM$ करता है।
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
यह आवृत्ति केवल स्प्रिंग नियतांक $k$ और ब्लॉक के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करती है,और यह किसी भी स्थिर बाहरी बल से स्वतंत्र है।
जब एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ लागू किया जाता है,तो ब्लॉक पर एक स्थिर स्थिरवैद्युत बल $F_e = QE$ कार्य करता है।
यह बल ब्लॉक की संतुलन (माध्य) स्थिति को एक नई स्थिति में स्थानांतरित कर देता है जहाँ स्प्रिंग बल विद्युत बल को संतुलित करता है,अर्थात $kx' = QE$,जहाँ $x'$ मूल माध्य स्थिति से विस्थापन है।
चूंकि बल स्थिर है,यह प्रत्यानयन बल प्रवणता (स्प्रिंग नियतांक $k$) को प्रभावित नहीं करता है,और इसलिए दोलन की आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।
इस प्रकार,ब्लॉक समान आवृत्ति के साथ लेकिन एक नई,स्थानांतरित माध्य स्थिति के चारों ओर $SHM$ करता है।
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
0 likesView Solution
17
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
समान आयतन लेकिन अलग-अलग घनत्व $d_A$ और $d_B$ वाले दो ठोस गोले $A$ और $B$ एक डोरी से जुड़े हुए हैं। वे $d_F$ घनत्व वाले द्रव में पूरी तरह से डूबे हुए हैं। वे चित्र में दिखाए अनुसार डोरी में तनाव के साथ संतुलन की स्थिति में व्यवस्थित हो जाते हैं। यह व्यवस्था तभी संभव है यदि:
$(A)$ $d_A < d_F$
$(B)$ $d_B > d_F$
$(C)$ $d_A + d_B = 2d_F$
$(D)$ $d_A > d_F$
$(A)$ $d_A < d_F$
$(B)$ $d_B > d_F$
$(C)$ $d_A + d_B = 2d_F$
$(D)$ $d_A > d_F$
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, D)$
C
$(A, C, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(A) मान लीजिए कि प्रत्येक गोले का आयतन $V$ है।
गोले $A$ के संतुलन के लिए:
$A$ पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $V d_F g$,नीचे की ओर भार $V d_A g$ और नीचे की ओर डोरी में तनाव $T$ हैं।
$V d_F g = V d_A g + T$
$T = V g (d_F - d_A)$
चूंकि डोरी में तनाव $T > 0$ होना चाहिए,इसलिए $d_F > d_A$ या $d_A < d_F$ होना चाहिए।
गोले $B$ के संतुलन के लिए:
$B$ पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $V d_F g$,नीचे की ओर भार $V d_B g$ और ऊपर की ओर डोरी में तनाव $T$ हैं।
$T + V d_F g = V d_B g$
$T = V g (d_B - d_F)$
चूंकि डोरी में तनाव $T > 0$ होना चाहिए,इसलिए $d_B > d_F$ होना चाहिए।
तनाव $T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$V g (d_F - d_A) = V g (d_B - d_F)$
$d_F - d_A = d_B - d_F$
$d_A + d_B = 2 d_F$
इस प्रकार,इस संतुलन के अस्तित्व के लिए शर्तें $(A)$,$(B)$ और $(C)$ तीनों का संतुष्ट होना आवश्यक है।
गोले $A$ के संतुलन के लिए:
$A$ पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $V d_F g$,नीचे की ओर भार $V d_A g$ और नीचे की ओर डोरी में तनाव $T$ हैं।
$V d_F g = V d_A g + T$
$T = V g (d_F - d_A)$
चूंकि डोरी में तनाव $T > 0$ होना चाहिए,इसलिए $d_F > d_A$ या $d_A < d_F$ होना चाहिए।
गोले $B$ के संतुलन के लिए:
$B$ पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $V d_F g$,नीचे की ओर भार $V d_B g$ और ऊपर की ओर डोरी में तनाव $T$ हैं।
$T + V d_F g = V d_B g$
$T = V g (d_B - d_F)$
चूंकि डोरी में तनाव $T > 0$ होना चाहिए,इसलिए $d_B > d_F$ होना चाहिए।
तनाव $T$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$V g (d_F - d_A) = V g (d_B - d_F)$
$d_F - d_A = d_B - d_F$
$d_A + d_B = 2 d_F$
इस प्रकार,इस संतुलन के अस्तित्व के लिए शर्तें $(A)$,$(B)$ और $(C)$ तीनों का संतुष्ट होना आवश्यक है।
0 likesView Solution
18
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
$2 \ kg$ द्रव्यमान और $1 \ m$ त्रिज्या वाली एक पतली रिंग $1 \ m/s$ के वेग से क्षैतिज तल पर बिना फिसले लुढ़क रही है। $1 \ kg$ द्रव्यमान की एक छोटी गेंद,जो विपरीत दिशा में $2 \ m/s$ के वेग से चल रही है,$1.8 \ m$ की ऊँचाई पर रिंग से टकराती है और $1 \ m/s$ के वेग से लंबवत ऊपर की ओर जाती है। टक्कर के तुरंत बाद:
$(A)$ रिंग अपने स्थिर $CM$ के परितः शुद्ध घूर्णन करती है।
$(B)$ रिंग पूरी तरह से रुक जाती है।
$(C)$ रिंग और जमीन के बीच घर्षण बाईं ओर है।
$(D)$ रिंग और जमीन के बीच कोई घर्षण नहीं है।
$(A)$ रिंग अपने स्थिर $CM$ के परितः शुद्ध घूर्णन करती है।
$(B)$ रिंग पूरी तरह से रुक जाती है।
$(C)$ रिंग और जमीन के बीच घर्षण बाईं ओर है।
$(D)$ रिंग और जमीन के बीच कोई घर्षण नहीं है।
A
$A$ और $C$
B
$B$ और $D$
C
$A$ और $D$
D
$B$ और $C$
Solution
(A) माना $M = 2 \ kg$ रिंग का द्रव्यमान है,$R = 1 \ m$ इसकी त्रिज्या है,और $m = 1 \ kg$ गेंद का द्रव्यमान है।
$1$. $x$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक संवेग $P_i = M(-v_{cm}) + m(v_{ball}) = 2(-1) + 1(2) = 0$.
अंतिम संवेग $P_f = M(v') + m(v'_{ball,x}) = 2(v') + 1(0) = 2v'$.
चूंकि टक्कर के दौरान कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,$P_i = P_f \Rightarrow 0 = 2v' \Rightarrow v' = 0$.
इस प्रकार,रिंग का द्रव्यमान केंद्र स्थिर हो जाता है।
$2$. संपर्क बिंदु $P$ के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_P \omega_i + m v_{ball} r_{\perp, i} = (2MR^2) \omega_i + m v_{ball} (R + h - R) = (2 \times 2 \times 1^2) (1) + 1(2)(1.8) = 4 + 3.6 = 7.6 \ kg \cdot m^2/s$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_P \omega_f + m v'_{ball,y} r_{\perp, f} = (2MR^2) \omega_f + m v'_{ball,y} (R - (1.8 - R)) = (2 \times 2 \times 1^2) \omega_f + 1(1)(0.2) = 4\omega_f + 0.2$.
$L_i = L_f \Rightarrow 7.6 = 4\omega_f + 0.2 \Rightarrow 4\omega_f = 7.4 \Rightarrow \omega_f = 1.85 \ rad/s$.
चूंकि $v_{cm} = 0$ और $\omega_f \neq 0$,रिंग अपने $CM$ के परितः शुद्ध घूर्णन में है। सबसे निचले बिंदु का वेग $v = \omega R$ दाईं ओर है,इसलिए इस गति का विरोध करने के लिए घर्षण बाईं ओर कार्य करता है। अतः,$(A)$ और $(C)$ सही हैं।
$1$. $x$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक संवेग $P_i = M(-v_{cm}) + m(v_{ball}) = 2(-1) + 1(2) = 0$.
अंतिम संवेग $P_f = M(v') + m(v'_{ball,x}) = 2(v') + 1(0) = 2v'$.
चूंकि टक्कर के दौरान कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है,$P_i = P_f \Rightarrow 0 = 2v' \Rightarrow v' = 0$.
इस प्रकार,रिंग का द्रव्यमान केंद्र स्थिर हो जाता है।
$2$. संपर्क बिंदु $P$ के परितः कोणीय संवेग का संरक्षण:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_P \omega_i + m v_{ball} r_{\perp, i} = (2MR^2) \omega_i + m v_{ball} (R + h - R) = (2 \times 2 \times 1^2) (1) + 1(2)(1.8) = 4 + 3.6 = 7.6 \ kg \cdot m^2/s$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_P \omega_f + m v'_{ball,y} r_{\perp, f} = (2MR^2) \omega_f + m v'_{ball,y} (R - (1.8 - R)) = (2 \times 2 \times 1^2) \omega_f + 1(1)(0.2) = 4\omega_f + 0.2$.
$L_i = L_f \Rightarrow 7.6 = 4\omega_f + 0.2 \Rightarrow 4\omega_f = 7.4 \Rightarrow \omega_f = 1.85 \ rad/s$.
चूंकि $v_{cm} = 0$ और $\omega_f \neq 0$,रिंग अपने $CM$ के परितः शुद्ध घूर्णन में है। सबसे निचले बिंदु का वेग $v = \omega R$ दाईं ओर है,इसलिए इस गति का विरोध करने के लिए घर्षण बाईं ओर कार्य करता है। अतः,$(A)$ और $(C)$ सही हैं।
0 likesView Solution
19
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक ट्रेन एक सीधी रेखा में अचर त्वरण '$a$' के साथ चल रही है। ट्रेन में खड़ा एक लड़का $10 \ m/s$ की गति से और क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर एक गेंद को आगे फेंकता है। गेंद को वापस प्रारंभिक ऊँचाई पर पकड़ने के लिए लड़के को ट्रेन के अंदर $1.15 \ m$ आगे बढ़ना पड़ता है। ट्रेन का त्वरण $m/s^2$ में है
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(A) मान लीजिए गेंद $t = 0$ पर फेंकी जाती है। गेंद की ऊर्ध्वाधर गति ट्रेन के त्वरण से स्वतंत्र है।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए,जब गेंद प्रारंभिक ऊँचाई पर वापस आती है तो विस्थापन $s_y = 0$ होता है।
$s_y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_y = 10 \sin 60^{\circ} = 5\sqrt{3} \ m/s$ और $g = 10 \ m/s^2$:
$0 = 5\sqrt{3} t - 5 t^2 \implies t = \sqrt{3} \ s$।
ट्रेन के फ्रेम में,गेंद का क्षैतिज त्वरण $-a$ है (ट्रेन के त्वरण की विपरीत दिशा में)।
लड़के के सापेक्ष गेंद का क्षैतिज विस्थापन $s_x = u_x t - \frac{1}{2} a t^2$ है,जहाँ $u_x = 10 \cos 60^{\circ} = 5 \ m/s$।
दिया गया है $s_x = 1.15 \ m$ और $t = \sqrt{3} \ s$:
$1.15 = 5(\sqrt{3}) - \frac{1}{2} a (\sqrt{3})^2$
$1.15 = 8.66 - 1.5 a$
$1.5 a = 7.51$
$a = 5 \ m/s^2$।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए,जब गेंद प्रारंभिक ऊँचाई पर वापस आती है तो विस्थापन $s_y = 0$ होता है।
$s_y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_y = 10 \sin 60^{\circ} = 5\sqrt{3} \ m/s$ और $g = 10 \ m/s^2$:
$0 = 5\sqrt{3} t - 5 t^2 \implies t = \sqrt{3} \ s$।
ट्रेन के फ्रेम में,गेंद का क्षैतिज त्वरण $-a$ है (ट्रेन के त्वरण की विपरीत दिशा में)।
लड़के के सापेक्ष गेंद का क्षैतिज विस्थापन $s_x = u_x t - \frac{1}{2} a t^2$ है,जहाँ $u_x = 10 \cos 60^{\circ} = 5 \ m/s$।
दिया गया है $s_x = 1.15 \ m$ और $t = \sqrt{3} \ s$:
$1.15 = 5(\sqrt{3}) - \frac{1}{2} a (\sqrt{3})^2$
$1.15 = 8.66 - 1.5 a$
$1.5 a = 7.51$
$a = 5 \ m/s^2$।
0 likesView Solution
20
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
$0.18 \ kg$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $2 \ N/m$ के बल-नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा है। ब्लॉक और फर्श के बीच घर्षण गुणांक $0.1$ है। प्रारंभ में,ब्लॉक स्थिर है और स्प्रिंग खिंची हुई नहीं है। चित्र में दिखाए अनुसार ब्लॉक को एक आवेग दिया जाता है। ब्लॉक $0.06 \ m$ की दूरी तय करता है और पहली बार स्थिर हो जाता है। यदि ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $v = N/10 \ m/s$ है,तो $N$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(B) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 0.18 \ kg$
स्प्रिंग नियतांक,$k = 2 \ N/m$
घर्षण गुणांक,$\mu = 0.1$
तय की गई दूरी,$x = 0.06 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m/s^2$
प्रारंभिक वेग,$v = N/10 \ m/s$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{spring}} + W_{\text{friction}} = \Delta K$
$-\frac{1}{2} kx^2 - \mu mgx = 0 - \frac{1}{2} mv^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2 + \mu mgx$
$v^2 = \frac{kx^2}{m} + 2\mu gx$
मान रखने पर:
$v^2 = \frac{2 \times (0.06)^2}{0.18} + 2 \times 0.1 \times 10 \times 0.06$
$v^2 = \frac{2 \times 0.0036}{0.18} + 0.12$
$v^2 = \frac{0.0072}{0.18} + 0.12$
$v^2 = 0.04 + 0.12 = 0.16$
$v = \sqrt{0.16} = 0.4 \ m/s$
दिया गया है कि $v = N/10$,इसलिए $0.4 = N/10$,जिसका अर्थ है कि $N = 4$.
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m = 0.18 \ kg$
स्प्रिंग नियतांक,$k = 2 \ N/m$
घर्षण गुणांक,$\mu = 0.1$
तय की गई दूरी,$x = 0.06 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m/s^2$
प्रारंभिक वेग,$v = N/10 \ m/s$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{spring}} + W_{\text{friction}} = \Delta K$
$-\frac{1}{2} kx^2 - \mu mgx = 0 - \frac{1}{2} mv^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2 + \mu mgx$
$v^2 = \frac{kx^2}{m} + 2\mu gx$
मान रखने पर:
$v^2 = \frac{2 \times (0.06)^2}{0.18} + 2 \times 0.1 \times 10 \times 0.06$
$v^2 = \frac{2 \times 0.0036}{0.18} + 0.12$
$v^2 = \frac{0.0072}{0.18} + 0.12$
$v^2 = 0.04 + 0.12 = 0.16$
$v = \sqrt{0.16} = 0.4 \ m/s$
दिया गया है कि $v = N/10$,इसलिए $0.4 = N/10$,जिसका अर्थ है कि $N = 4$.
0 likesView Solution
21
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक मोल एकपरमाणुक आदर्श गैस को $P-V$ आरेख में दिखाए अनुसार $ABCDA$ चक्र से गुजारा जाता है। कॉलम $II$ में चक्र में शामिल विशेषताएं दी गई हैं। उन्हें कॉलम $I$ में दी गई प्रत्येक प्रक्रिया के साथ मिलाएं।
| कॉलम $I$ | कॉलम $II$ |
| $(A)$ प्रक्रिया $A \rightarrow B$ | $(p)$ आंतरिक ऊर्जा घटती है। |
| $(B)$ प्रक्रिया $B \rightarrow C$ | $(q)$ आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है। |
| $(C)$ प्रक्रिया $C \rightarrow D$ | $(r)$ ऊष्मा का ह्रास होता है। |
| $(D)$ प्रक्रिया $D \rightarrow A$ | $(s)$ ऊष्मा प्राप्त होती है। |
| $(t)$ गैस पर कार्य किया जाता है। |
A
$(A) \rightarrow p, q, r \text{ and } s, (B) \rightarrow q, (C) \rightarrow p, q, r \text{ and } s, (D) \rightarrow p, q, r \text{ and } s$
B
$(A) \rightarrow p, r, \text{ and } t, (B) \rightarrow p \text{ and } r, (C) \rightarrow q, \text{ and } s, (D) \rightarrow r \text{ and } t$
C
$(A) \rightarrow p, q, \text{ and } t, (B) \rightarrow s \text{ and } q, (C) \rightarrow q, \text{ and } t, (D) \rightarrow s \text{ and } r$
D
$(A) \rightarrow q, r, \text{ and } t, (B) \rightarrow r \text{ and } t, (C) \rightarrow r, \text{ and } s, (D) \rightarrow p \text{ and } q$
Solution
(B) प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए: यह समदाबीय संपीड़न है ($P$ स्थिर है,$V$ घटता है)।
चूंकि $V$ घटता है,गैस पर कार्य किया जाता है $(t)$। चूंकि $T$ घटता है,आंतरिक ऊर्जा घटती है $(p)$। चूंकि $Q = \Delta U + W$,$\Delta U$ और $W$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए ऊष्मा का ह्रास होता है $(r)$। अतः,$(A) \rightarrow p, r, t$।
प्रक्रिया $B \rightarrow C$ के लिए: यह समआयतनिक प्रक्रिया है ($V$ स्थिर है,$P$ घटता है)।
चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$। चूंकि $P$ घटता है,$T$ घटता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा घटती है $(p)$। चूंकि $\Delta U < 0$ और $W = 0$,ऊष्मा का ह्रास होता है $(r)$। अतः,$(B) \rightarrow p, r$।
प्रक्रिया $C \rightarrow D$ के लिए: यह समदाबीय प्रसार है ($P$ स्थिर है,$V$ बढ़ता है)।
चूंकि $V$ बढ़ता है,गैस द्वारा कार्य किया जाता है। चूंकि $T$ बढ़ता है,आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है $(q)$। चूंकि $Q = \Delta U + W$,दोनों धनात्मक हैं,इसलिए ऊष्मा प्राप्त होती है $(s)$। अतः,$(C) \rightarrow q, s$।
प्रक्रिया $D \rightarrow A$ के लिए: यह समतापीय संपीड़न है ($T$ स्थिर है,$P$ बढ़ता है,$V$ घटता है)।
चूंकि $V$ घटता है,गैस पर कार्य किया जाता है $(t)$। चूंकि $T$ स्थिर है,$\Delta U = 0$। चूंकि $W < 0$,ऊष्मा का ह्रास होता है $(r)$। अतः,$(D) \rightarrow r, t$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(B)$ सही है।
चूंकि $V$ घटता है,गैस पर कार्य किया जाता है $(t)$। चूंकि $T$ घटता है,आंतरिक ऊर्जा घटती है $(p)$। चूंकि $Q = \Delta U + W$,$\Delta U$ और $W$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए ऊष्मा का ह्रास होता है $(r)$। अतः,$(A) \rightarrow p, r, t$।
प्रक्रिया $B \rightarrow C$ के लिए: यह समआयतनिक प्रक्रिया है ($V$ स्थिर है,$P$ घटता है)।
चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$। चूंकि $P$ घटता है,$T$ घटता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा घटती है $(p)$। चूंकि $\Delta U < 0$ और $W = 0$,ऊष्मा का ह्रास होता है $(r)$। अतः,$(B) \rightarrow p, r$।
प्रक्रिया $C \rightarrow D$ के लिए: यह समदाबीय प्रसार है ($P$ स्थिर है,$V$ बढ़ता है)।
चूंकि $V$ बढ़ता है,गैस द्वारा कार्य किया जाता है। चूंकि $T$ बढ़ता है,आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है $(q)$। चूंकि $Q = \Delta U + W$,दोनों धनात्मक हैं,इसलिए ऊष्मा प्राप्त होती है $(s)$। अतः,$(C) \rightarrow q, s$।
प्रक्रिया $D \rightarrow A$ के लिए: यह समतापीय संपीड़न है ($T$ स्थिर है,$P$ बढ़ता है,$V$ घटता है)।
चूंकि $V$ घटता है,गैस पर कार्य किया जाता है $(t)$। चूंकि $T$ स्थिर है,$\Delta U = 0$। चूंकि $W < 0$,ऊष्मा का ह्रास होता है $(r)$। अतः,$(D) \rightarrow r, t$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(B)$ सही है।
0 likesView Solution
22
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
स्तंभ $I$ चार प्रणालियों को दर्शाता है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $L$ समान है,जो स्थिर तरंगें उत्पन्न करने के लिए उपयोग की जाती हैं। किसी प्रणाली की न्यूनतम संभव प्राकृतिक आवृत्ति को उसकी मूल आवृत्ति कहा जाता है,जिसकी तरंगदैर्ध्य को $\lambda_{f}$ के रूप में दर्शाया गया है। प्रत्येक प्रणाली को स्तंभ $II$ में दिए गए कथनों के साथ मिलाएं जो स्थिर तरंगों की प्रकृति और तरंगदैर्ध्य का वर्णन करते हैं।
स्तंभ $I$:
$(A)$ एक सिरे पर बंद पाइप
$(B)$ दोनों सिरों पर खुला पाइप
$(C)$ दोनों सिरों पर जड़ा हुआ खींचा हुआ तार
$(D)$ दोनों सिरों और मध्य-बिंदु पर जड़ा हुआ खींचा हुआ तार
स्तंभ $II$:
$(p)$ अनुदैर्ध्य तरंगें
$(q)$ अनुप्रस्थ तरंगें
$(r)$ $\lambda_{f} = L$
$(s)$ $\lambda_{f} = 2L$
$(t)$ $\lambda_{f} = 4L$
स्तंभ $I$:
$(A)$ एक सिरे पर बंद पाइप
$(B)$ दोनों सिरों पर खुला पाइप
$(C)$ दोनों सिरों पर जड़ा हुआ खींचा हुआ तार
$(D)$ दोनों सिरों और मध्य-बिंदु पर जड़ा हुआ खींचा हुआ तार
स्तंभ $II$:
$(p)$ अनुदैर्ध्य तरंगें
$(q)$ अनुप्रस्थ तरंगें
$(r)$ $\lambda_{f} = L$
$(s)$ $\lambda_{f} = 2L$
$(t)$ $\lambda_{f} = 4L$
A
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow p, s; (C) \rightarrow q, s; (D) \rightarrow q, r$
B
$(A) \rightarrow q, t; (B) \rightarrow r, s; (C) \rightarrow p, s; (D) \rightarrow q, t$
C
$(A) \rightarrow p, t; (B) \rightarrow p, s; (C) \rightarrow q, s; (D) \rightarrow q, r$
D
$(A) \rightarrow q, t; (B) \rightarrow r, t; (C) \rightarrow q, s; (D) \rightarrow s, t$
Solution
(A) पाइप के मामले में हम अनुदैर्ध्य तरंगें उत्पन्न कर सकते हैं और तारों के लिए हम अनुप्रस्थ तरंगें उत्पन्न करते हैं।
$(A)$ एक सिरे पर बंद पाइप: यह एक बंद ऑर्गन पाइप है। मूल कंपनों के मामले में ट्यूब की लंबाई तरंगदैर्ध्य के $\frac{1}{4}$ भाग के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{\lambda_{f}}{4} = L \Rightarrow \lambda_{f} = 4L$. प्रकृति: अनुदैर्ध्य $(p)$। अतः,$(A) \rightarrow p, t$.
$(B)$ दोनों सिरों पर खुला पाइप: यह एक खुला ऑर्गन पाइप है। मूल कंपनों के मामले में पाइप की लंबाई तरंगदैर्ध्य के आधे भाग के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{\lambda_{f}}{2} = L \Rightarrow \lambda_{f} = 2L$. प्रकृति: अनुदैर्ध्य $(p)$। अतः,$(B) \rightarrow p, s$.
$(C)$ दोनों सिरों पर जड़ा हुआ खींचा हुआ तार: यह $L$ लंबाई के तार का मामला है। मूल कंपनों के मामले में पाइप की लंबाई तरंगदैर्ध्य के आधे भाग के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{\lambda_{f}}{2} = L \Rightarrow \lambda_{f} = 2L$. प्रकृति: अनुप्रस्थ $(q)$। अतः,$(C) \rightarrow q, s$.
$(D)$ दोनों सिरों और मध्य-बिंदु पर जड़ा हुआ खींचा हुआ तार: इस मामले में मध्य-बिंदु जड़ा हुआ है,इसलिए आधी लंबाई एक लूप बनाती है।
$\frac{\lambda_{f}}{2} = \frac{L}{2} \Rightarrow \lambda_{f} = L$. प्रकृति: अनुप्रस्थ $(q)$। अतः,$(D) \rightarrow q, r$.
$(A)$ एक सिरे पर बंद पाइप: यह एक बंद ऑर्गन पाइप है। मूल कंपनों के मामले में ट्यूब की लंबाई तरंगदैर्ध्य के $\frac{1}{4}$ भाग के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{\lambda_{f}}{4} = L \Rightarrow \lambda_{f} = 4L$. प्रकृति: अनुदैर्ध्य $(p)$। अतः,$(A) \rightarrow p, t$.
$(B)$ दोनों सिरों पर खुला पाइप: यह एक खुला ऑर्गन पाइप है। मूल कंपनों के मामले में पाइप की लंबाई तरंगदैर्ध्य के आधे भाग के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{\lambda_{f}}{2} = L \Rightarrow \lambda_{f} = 2L$. प्रकृति: अनुदैर्ध्य $(p)$। अतः,$(B) \rightarrow p, s$.
$(C)$ दोनों सिरों पर जड़ा हुआ खींचा हुआ तार: यह $L$ लंबाई के तार का मामला है। मूल कंपनों के मामले में पाइप की लंबाई तरंगदैर्ध्य के आधे भाग के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{\lambda_{f}}{2} = L \Rightarrow \lambda_{f} = 2L$. प्रकृति: अनुप्रस्थ $(q)$। अतः,$(C) \rightarrow q, s$.
$(D)$ दोनों सिरों और मध्य-बिंदु पर जड़ा हुआ खींचा हुआ तार: इस मामले में मध्य-बिंदु जड़ा हुआ है,इसलिए आधी लंबाई एक लूप बनाती है।
$\frac{\lambda_{f}}{2} = \frac{L}{2} \Rightarrow \lambda_{f} = L$. प्रकृति: अनुप्रस्थ $(q)$। अतः,$(D) \rightarrow q, r$.
0 likesView Solution
23
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ पर विचार करें,जहाँ $E_0$ एक स्थिरांक है। इस क्षेत्र के कारण छायांकित क्षेत्र (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) से गुजरने वाला फ्लक्स है
A
$2 E_0 a^2$
B
$\sqrt{2} E_0 a^2$
C
$E_0 a^2$
D
$\frac{E_0 a^2}{\sqrt{2}}$
Solution
(C) छायांकित क्षेत्र $xz$-समतल में एक वर्ग है जो $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर झुका हुआ है। वर्ग के शीर्ष $(0,0,0)$,$(0,a,0)$,$(a,a,a)$,और $(a,0,a)$ हैं।
क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ का परिमाण वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है,जो $a \times a \sqrt{2} = \sqrt{2} a^2$ है। क्षेत्रफल सदिश की दिशा सतह के लंबवत होती है। चूंकि सतह $y=z$ समतल में स्थित है,इसलिए लंबवत सदिश $\hat{j} - \hat{k}$ के समानुपाती है।
वैकल्पिक रूप से,हम दो आसन्न भुजाओं के क्रॉस उत्पाद द्वारा क्षेत्रफल सदिश को परिभाषित कर सकते हैं: $\vec{A} = \vec{AB} \times \vec{AD}$। मान लीजिए $\vec{AB} = a\hat{j}$ और $\vec{AD} = a\hat{i} + a\hat{k}$।
तब $\vec{A} = (a\hat{j}) \times (a\hat{i} + a\hat{k}) = a^2(\hat{j} \times \hat{i}) + a^2(\hat{j} \times \hat{k}) = -a^2\hat{k} + a^2\hat{i} = a^2\hat{i} - a^2\hat{k}$।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec{E} = E_0 \hat{i}$,तो:
$\phi = (E_0 \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i} - a^2 \hat{k})$
$\phi = E_0 a^2 (\hat{i} \cdot \hat{i}) - E_0 a^2 (\hat{i} \cdot \hat{k})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\phi = E_0 a^2$.
क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ का परिमाण वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है,जो $a \times a \sqrt{2} = \sqrt{2} a^2$ है। क्षेत्रफल सदिश की दिशा सतह के लंबवत होती है। चूंकि सतह $y=z$ समतल में स्थित है,इसलिए लंबवत सदिश $\hat{j} - \hat{k}$ के समानुपाती है।
वैकल्पिक रूप से,हम दो आसन्न भुजाओं के क्रॉस उत्पाद द्वारा क्षेत्रफल सदिश को परिभाषित कर सकते हैं: $\vec{A} = \vec{AB} \times \vec{AD}$। मान लीजिए $\vec{AB} = a\hat{j}$ और $\vec{AD} = a\hat{i} + a\hat{k}$।
तब $\vec{A} = (a\hat{j}) \times (a\hat{i} + a\hat{k}) = a^2(\hat{j} \times \hat{i}) + a^2(\hat{j} \times \hat{k}) = -a^2\hat{k} + a^2\hat{i} = a^2\hat{i} - a^2\hat{k}$।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec{E} = E_0 \hat{i}$,तो:
$\phi = (E_0 \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i} - a^2 \hat{k})$
$\phi = E_0 a^2 (\hat{i} \cdot \hat{i}) - E_0 a^2 (\hat{i} \cdot \hat{k})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\phi = E_0 a^2$.
0 likesView Solution
24
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
हाइड्रोजन परमाणु की बामर श्रेणी में पहली स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $6561 \mathring A$ है। एकल-आयनित हीलियम परमाणु की बामर श्रेणी में दूसरी स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य क्या होगी?
A
$1215 \mathring A$
B
$1640 \mathring A$
C
$2430 \mathring A$
D
$4687 \mathring A$
Solution
(A) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(Z=1, n_1=2, n_2=3)$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R (1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_1 = \frac{36}{5R} = 6561 \mathring A$.
एकल-आयनित हीलियम परमाणु की बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए $(Z=2, n_1=2, n_2=4)$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R (2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = 4R \left( \frac{3}{16} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
$\lambda_2$ को $\lambda_1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{5}{27} \times 6561 \mathring A = 1215 \mathring A$.
हाइड्रोजन परमाणु की बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए $(Z=1, n_1=2, n_2=3)$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R (1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_1 = \frac{36}{5R} = 6561 \mathring A$.
एकल-आयनित हीलियम परमाणु की बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए $(Z=2, n_1=2, n_2=4)$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R (2)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = 4R \left( \frac{3}{16} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
$\lambda_2$ को $\lambda_1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{27}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{5}{27} \times 6561 \mathring A = 1215 \mathring A$.
0 likesView Solution
25
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक मीटर ब्रिज को चित्रानुसार व्यवस्थित किया गया है,जिसमें $10 \ \Omega$ के मानक प्रतिरोध का उपयोग करके अज्ञात प्रतिरोध '$X$' का मान ज्ञात करना है। जब टैपिंग कुंजी $52 \ cm$ के निशान पर होती है,तो गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दर्शाता है। सिरों $A$ और $B$ के लिए अंत-सुधार (end corrections) क्रमशः $1 \ cm$ और $2 \ cm$ हैं। '$X$' का निर्धारित मान है ($Omega$ में)
A
$10.2$
B
$10.6$
C
$10.8$
D
$11.1$
Solution
(B) मीटर ब्रिज में,संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{X}{R} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$X$ अज्ञात प्रतिरोध है और $R = 10 \ \Omega$ मानक प्रतिरोध है।
शून्य विक्षेप बिंदु सिरा $A$ से $l = 52 \ cm$ पर है।
अंत-सुधारों को ध्यान में रखते हुए,प्रभावी लंबाई $l_1 = l + \alpha = 52 + 1 = 53 \ cm$ होगी।
प्रभावी लंबाई $l_2 = (100 - l) + \beta = (100 - 52) + 2 = 48 + 2 = 50 \ cm$ होगी।
इन मानों को संतुलन की स्थिति में रखने पर:
$\frac{X}{10} = \frac{53}{50}$.
$X$ के लिए हल करने पर:
$X = \frac{53 \times 10}{50} = \frac{53}{5} = 10.6 \ \Omega$.
यहाँ,$X$ अज्ञात प्रतिरोध है और $R = 10 \ \Omega$ मानक प्रतिरोध है।
शून्य विक्षेप बिंदु सिरा $A$ से $l = 52 \ cm$ पर है।
अंत-सुधारों को ध्यान में रखते हुए,प्रभावी लंबाई $l_1 = l + \alpha = 52 + 1 = 53 \ cm$ होगी।
प्रभावी लंबाई $l_2 = (100 - l) + \beta = (100 - 52) + 2 = 48 + 2 = 50 \ cm$ होगी।
इन मानों को संतुलन की स्थिति में रखने पर:
$\frac{X}{10} = \frac{53}{50}$.
$X$ के लिए हल करने पर:
$X = \frac{53 \times 10}{50} = \frac{53}{5} = 10.6 \ \Omega$.
0 likesView Solution
26
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2011
चित्र में दिखाए अनुसार एक $2 \ \mu F$ संधारित्र को आवेशित किया जाता है। स्विच $S$ को स्थिति $2$ पर घुमाने के बाद उसकी संचित ऊर्जा का कितना प्रतिशत व्यय (dissipated) होता है ($\%$ में)?
A
$0$
B
$20$
C
$75$
D
$80$
Solution
(D) $2 \ \mu F$ संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{-6} \times V^2 = 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ है।
जब स्विच को स्थिति $2$ पर घुमाया जाता है,तो आवेश $Q = C_1 V = 2 \times 10^{-6} V$ समानांतर क्रम में जुड़े $2 \ \mu F$ और $8 \ \mu F$ संधारित्रों के बीच साझा हो जाता है।
उभयनिष्ठ विभव $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 10^{-6} V}{2 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6}} = \frac{2V}{10} = 0.2V$ है।
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V_f^2 = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6}) \times (0.2V)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 0.04 V^2 = 0.2 \times 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ है।
व्यय हुई ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 10^{-6} V^2 - 0.2 \times 10^{-6} V^2 = 0.8 \times 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ है।
व्यय हुई ऊर्जा का प्रतिशत $\frac{\Delta U}{U_i} \times 100 = \frac{0.8 \times 10^{-6} V^2}{10^{-6} V^2} \times 100 = 80 \%$ है।
जब स्विच को स्थिति $2$ पर घुमाया जाता है,तो आवेश $Q = C_1 V = 2 \times 10^{-6} V$ समानांतर क्रम में जुड़े $2 \ \mu F$ और $8 \ \mu F$ संधारित्रों के बीच साझा हो जाता है।
उभयनिष्ठ विभव $V_f = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 10^{-6} V}{2 \times 10^{-6} + 8 \times 10^{-6}} = \frac{2V}{10} = 0.2V$ है।
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V_f^2 = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6}) \times (0.2V)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 0.04 V^2 = 0.2 \times 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ है।
व्यय हुई ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 10^{-6} V^2 - 0.2 \times 10^{-6} V^2 = 0.8 \times 10^{-6} V^2 \ \text{J}$ है।
व्यय हुई ऊर्जा का प्रतिशत $\frac{\Delta U}{U_i} \times 100 = \frac{0.8 \times 10^{-6} V^2}{10^{-6} V^2} \times 100 = 80 \%$ है।
0 likesView Solution
27
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
$R_A$ त्रिज्या वाला एक गोलाकार धातु का कवच $A$ और $R_B < R_A$ त्रिज्या वाला एक ठोस धातु का गोला $B$ एक-दूसरे से दूर रखे गए हैं और प्रत्येक को $+Q$ आवेश दिया गया है। अब उन्हें एक पतले धातु के तार से जोड़ा जाता है। तो:
$(A)$ $E_A^{\text{inside}} = 0$
$(B)$ $Q_A > Q_B$
$(C)$ $\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{R_B}{R_A}$
$(D)$ $E_A^{\text{on surface}} < E_B^{\text{on surface}}$
$(A)$ $E_A^{\text{inside}} = 0$
$(B)$ $Q_A > Q_B$
$(C)$ $\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{R_B}{R_A}$
$(D)$ $E_A^{\text{on surface}} < E_B^{\text{on surface}}$
A
$(A, B, C)$
B
$(A, B, C, D)$
C
$(A, B, D)$
D
$(B, C, D)$
Solution
(B) जब दो चालकों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं। मान लीजिए अंतिम आवेश $Q_A$ और $Q_B$ हैं।
चूंकि $V_A = V_B$,हमारे पास $\frac{kQ_A}{R_A} = \frac{kQ_B}{R_B}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{R_A}{R_B}$।
चूंकि $R_A > R_B$,इसलिए $Q_A > Q_B$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)$ सही है।
एक गोलाकार कवच के लिए,गॉस के नियम के कारण अंदर का विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है। अतः,$(A)$ सही है।
पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ है। इसलिए,$\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{Q_A}{4\pi R_A^2} \cdot \frac{4\pi R_B^2}{Q_B} = \frac{Q_A}{Q_B} \cdot \frac{R_B^2}{R_A^2} = \frac{R_A}{R_B} \cdot \frac{R_B^2}{R_A^2} = \frac{R_B}{R_A}$। अतः,$(C)$ भी सही है।
सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है। चूंकि $\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{R_B}{R_A} < 1$,इसलिए $\sigma_A < \sigma_B$ है,जिसका अर्थ है $E_A < E_B$। अतः,$(D)$ भी सही है।
इसलिए,सभी विकल्प $(A, B, C, D)$ सही हैं।
चूंकि $V_A = V_B$,हमारे पास $\frac{kQ_A}{R_A} = \frac{kQ_B}{R_B}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{R_A}{R_B}$।
चूंकि $R_A > R_B$,इसलिए $Q_A > Q_B$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)$ सही है।
एक गोलाकार कवच के लिए,गॉस के नियम के कारण अंदर का विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है। अतः,$(A)$ सही है।
पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ है। इसलिए,$\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{Q_A}{4\pi R_A^2} \cdot \frac{4\pi R_B^2}{Q_B} = \frac{Q_A}{Q_B} \cdot \frac{R_B^2}{R_A^2} = \frac{R_A}{R_B} \cdot \frac{R_B^2}{R_A^2} = \frac{R_B}{R_A}$। अतः,$(C)$ भी सही है।
सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है। चूंकि $\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{R_B}{R_A} < 1$,इसलिए $\sigma_A < \sigma_B$ है,जिसका अर्थ है $E_A < E_B$। अतः,$(D)$ भी सही है।
इसलिए,सभी विकल्प $(A, B, C, D)$ सही हैं।
0 likesView Solution
28
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन समान वेग के साथ सीधे समानांतर पथ पर गति कर रहे हैं। वे वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र के अर्ध-अनंत क्षेत्र में प्रवेश करते हैं। निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ वे कभी भी चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र से बाहर नहीं आएंगे।
$(B)$ वे समानांतर पथों पर यात्रा करते हुए बाहर आएंगे।
$(C)$ वे एक ही समय पर बाहर आएंगे।
$(D)$ वे अलग-अलग समय पर बाहर आएंगे।
$(A)$ वे कभी भी चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र से बाहर नहीं आएंगे।
$(B)$ वे समानांतर पथों पर यात्रा करते हुए बाहर आएंगे।
$(C)$ वे एक ही समय पर बाहर आएंगे।
$(D)$ वे अलग-अलग समय पर बाहर आएंगे।
A
$(B)$ और $(C)$
B
$(B)$ और $(D)$
C
$(A)$ और $(B)$
D
$(A)$ और $(D)$
Solution
(B) जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो वह $R = \frac{mv}{qB}$ त्रिज्या के अर्ध-वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र अर्ध-अनंत है,कण एक अर्ध-वृत्त पूरा करेंगे और क्षेत्र से बाहर निकल जाएंगे,इसलिए $(A)$ गलत है।
चूंकि कण समान वेग $v$ के साथ प्रवेश करते हैं और चुंबकीय क्षेत्र $B$ एक समान है,वे अपने प्रवेश की विपरीत दिशा में गति करते हुए बाहर आएंगे,लेकिन फिर भी एक-दूसरे के समानांतर रहेंगे। अतः,$(B)$ सत्य है।
अर्ध-वृत्त को पूरा करने में लगा समय $t = \frac{\pi m}{qB}$ है।
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक है,इसलिए प्रोटॉन को बाहर आने में लगा समय इलेक्ट्रॉन के बाहर आने में लगे समय से बहुत अधिक होगा। अतः,$(D)$ सत्य है और $(C)$ गलत है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(D)$ सही हैं।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र अर्ध-अनंत है,कण एक अर्ध-वृत्त पूरा करेंगे और क्षेत्र से बाहर निकल जाएंगे,इसलिए $(A)$ गलत है।
चूंकि कण समान वेग $v$ के साथ प्रवेश करते हैं और चुंबकीय क्षेत्र $B$ एक समान है,वे अपने प्रवेश की विपरीत दिशा में गति करते हुए बाहर आएंगे,लेकिन फिर भी एक-दूसरे के समानांतर रहेंगे। अतः,$(B)$ सत्य है।
अर्ध-वृत्त को पूरा करने में लगा समय $t = \frac{\pi m}{qB}$ है।
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक है,इसलिए प्रोटॉन को बाहर आने में लगा समय इलेक्ट्रॉन के बाहर आने में लगे समय से बहुत अधिक होगा। अतः,$(D)$ सत्य है और $(C)$ गलत है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(D)$ सही हैं।
0 likesView Solution
29
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
$+q$ मान के चार बिंदु आवेश,'$a$' भुजा वाले एक वर्गाकार साबुन की फिल्म के चार कोनों पर मजबूती से स्थिर हैं। साबुन की फिल्म का पृष्ठ तनाव $\gamma$ है। आवेशों और फिल्म का निकाय संतुलन में है,और $a = k \left[ \frac{q^2}{\gamma} \right]^{1/N}$ है,जहाँ '$k$' एक स्थिरांक है। तो $N$ का मान क्या है?
A
$3$
B
$6$
C
$4$
D
$5$
Solution
(A) वर्गाकार फिल्म की एक भुजा,मान लीजिए '$a$' लंबाई की भुजा $BC$ के संतुलन पर विचार करें। इस भुजा पर कार्य करने वाला पृष्ठ तनाव बल $F_2 = \gamma a$ है (चूंकि साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं,बल $2 \gamma a$ होता है)।
$B$ और $C$ पर स्थित आवेशों पर अन्य आवेशों के कारण लगने वाला स्थिर वैद्युत बल पृष्ठ तनाव द्वारा संतुलित होना चाहिए। $A$ और $C$ के आवेशों के कारण $B$ पर लगने वाला कुल स्थिर वैद्युत बल $F_{AC} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2}$ है और $D$ के आवेश के कारण $F_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2a^2}$ है।
भुजा $BC$ के लंबवत दिशा में लगने वाला कुल स्थिर वैद्युत बल $F_{net} = 2 \times F_{charge} \cos(45^{\circ})$ है।
बलों को बराबर करने पर: $2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \gamma a$.
सरल करने पर,$a^3 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{\gamma} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$.
इसकी तुलना $a = k \left[ \frac{q^2}{\gamma} \right]^{1/N}$ से करने पर,हमें $N = 3$ प्राप्त होता है।
$B$ और $C$ पर स्थित आवेशों पर अन्य आवेशों के कारण लगने वाला स्थिर वैद्युत बल पृष्ठ तनाव द्वारा संतुलित होना चाहिए। $A$ और $C$ के आवेशों के कारण $B$ पर लगने वाला कुल स्थिर वैद्युत बल $F_{AC} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2}$ है और $D$ के आवेश के कारण $F_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2a^2}$ है।
भुजा $BC$ के लंबवत दिशा में लगने वाला कुल स्थिर वैद्युत बल $F_{net} = 2 \times F_{charge} \cos(45^{\circ})$ है।
बलों को बराबर करने पर: $2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \gamma a$.
सरल करने पर,$a^3 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{\gamma} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$.
इसकी तुलना $a = k \left[ \frac{q^2}{\gamma} \right]^{1/N}$ से करने पर,हमें $N = 3$ प्राप्त होता है।
0 likesView Solution
30
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक ताज़ा तैयार किए गए रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $10^{10}$ विघटन प्रति सेकंड है,जिसका माध्य जीवनकाल $10^9 \ s$ है। इस रेडियोआइसोटोप के एक परमाणु का द्रव्यमान $10^{-25} \ kg$ है। रेडियोधर्मी नमूने का द्रव्यमान ($mg$ में) है
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(A) दिया गया है: सक्रियता $A = |\frac{dN}{dt}| = 10^{10} \ s^{-1}$.
माध्य जीवनकाल $\tau = 10^9 \ s$.
हम जानते हैं कि $\tau = \frac{1}{\lambda}$,इसलिए क्षय नियतांक $\lambda = \frac{1}{\tau} = 10^{-9} \ s^{-1}$.
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$A = \lambda N$,जहाँ $N$ परमाणुओं की संख्या है।
$10^{10} = 10^{-9} \times N \implies N = 10^{19}$ परमाणु।
एक परमाणु का द्रव्यमान $m_a = 10^{-25} \ kg$ है।
कुल द्रव्यमान $M = N \times m_a = 10^{19} \times 10^{-25} \ kg = 10^{-6} \ kg$.
मिलीग्राम $(mg)$ में बदलने पर: $10^{-6} \ kg = 10^{-3} \ g = 1 \ mg$.
माध्य जीवनकाल $\tau = 10^9 \ s$.
हम जानते हैं कि $\tau = \frac{1}{\lambda}$,इसलिए क्षय नियतांक $\lambda = \frac{1}{\tau} = 10^{-9} \ s^{-1}$.
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$A = \lambda N$,जहाँ $N$ परमाणुओं की संख्या है।
$10^{10} = 10^{-9} \times N \implies N = 10^{19}$ परमाणु।
एक परमाणु का द्रव्यमान $m_a = 10^{-25} \ kg$ है।
कुल द्रव्यमान $M = N \times m_a = 10^{19} \times 10^{-25} \ kg = 10^{-6} \ kg$.
मिलीग्राम $(mg)$ में बदलने पर: $10^{-6} \ kg = 10^{-3} \ g = 1 \ mg$.
0 likesView Solution
31
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक लंबी वृत्ताकार नली जिसकी लंबाई $10 \ m$ और त्रिज्या $0.3 \ m$ है,उसकी वक्र सतह पर चित्रानुसार विद्युत धारा $I$ प्रवाहित हो रही है। $0.005 \ \Omega$ प्रतिरोध और $0.1 \ m$ त्रिज्या वाला एक तार-लूप नली के अंदर इस प्रकार रखा गया है कि उसकी अक्ष नली की अक्ष के साथ संपाती है। धारा $I = I_0 \cos(300t)$ के अनुसार बदलती है,जहाँ $I_0$ नियतांक है। यदि लूप का चुंबकीय आघूर्ण $N \mu_0 I_0 \sin(300t)$ है,तो $N$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$2$
B
$6$
C
$8$
D
$5$
Solution
(B) दिया गया है: नली की लंबाई $L = 10 \ m$,नली की त्रिज्या $r_1 = 0.3 \ m$.
लूप का प्रतिरोध $R = 0.005 \ \Omega$,लूप की त्रिज्या $r_2 = 0.1 \ m$.
नली में धारा $I = I_0 \cos(300t)$,अतः कोणीय आवृत्ति $\omega = 300 \ rad/s$.
एक लंबी परिनालिका (नली) के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ होता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है। $n=1/L$ मानते हुए,$B = \frac{\mu_0 I}{L}$.
मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10}$.
लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10} \cdot \pi(r_2)^2 = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10} \cdot \pi(0.1)^2 = \frac{\pi \mu_0 I_0 \cos(300t)}{1000}$.
प्रेरित emf $e = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\pi \mu_0 I_0 \cos(300t)}{1000} \right] = \frac{300 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)}{1000} = 0.3 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
लूप में प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{0.3 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)}{0.005} = 60 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = i \cdot A = (60 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)) \cdot (\pi (0.1)^2) = 60 \pi^2 \mu_0 I_0 \sin(300t) \cdot 0.01 = 0.6 \pi^2 \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर,$M \approx 0.6 \cdot 10 \mu_0 I_0 \sin(300t) = 6 \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
$N \mu_0 I_0 \sin(300t)$ से तुलना करने पर,हमें $N = 6$ प्राप्त होता है।
लूप का प्रतिरोध $R = 0.005 \ \Omega$,लूप की त्रिज्या $r_2 = 0.1 \ m$.
नली में धारा $I = I_0 \cos(300t)$,अतः कोणीय आवृत्ति $\omega = 300 \ rad/s$.
एक लंबी परिनालिका (नली) के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ होता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है। $n=1/L$ मानते हुए,$B = \frac{\mu_0 I}{L}$.
मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10}$.
लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10} \cdot \pi(r_2)^2 = \frac{\mu_0 I_0 \cos(300t)}{10} \cdot \pi(0.1)^2 = \frac{\pi \mu_0 I_0 \cos(300t)}{1000}$.
प्रेरित emf $e = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\pi \mu_0 I_0 \cos(300t)}{1000} \right] = \frac{300 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)}{1000} = 0.3 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
लूप में प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{0.3 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)}{0.005} = 60 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = i \cdot A = (60 \pi \mu_0 I_0 \sin(300t)) \cdot (\pi (0.1)^2) = 60 \pi^2 \mu_0 I_0 \sin(300t) \cdot 0.01 = 0.6 \pi^2 \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर,$M \approx 0.6 \cdot 10 \mu_0 I_0 \sin(300t) = 6 \mu_0 I_0 \sin(300t)$.
$N \mu_0 I_0 \sin(300t)$ से तुलना करने पर,हमें $N = 6$ प्राप्त होता है।
0 likesView Solution
32
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
कांच के माध्यम में यात्रा कर रही प्रकाश की एक किरण कांच-वायु इंटरफ़ेस पर $\theta$ आपतन कोण पर आपतित होती है। परावर्तित $(R)$ और संचरित $(T)$ तीव्रताएँ,दोनों $\theta$ के फलन के रूप में आलेखित की गई हैं। सही रेखाचित्र कौन सा है?
A
B
C
D
Solution
(C) जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम (कांच) से विरल माध्यम (वायु) में जाती है,तो यह क्रांतिक कोण $\theta_c$ से कम आपतन कोण $\theta$ के लिए आंशिक परावर्तन और आंशिक संचरण का अनुभव करती है।
जैसे-जैसे $\theta$,$0$ से $\theta_c$ तक बढ़ता है,परावर्तित तीव्रता $(R)$ बढ़ती है और संचरित तीव्रता $(T)$ घटती है।
क्रांतिक कोण $\theta = \theta_c$ पर,अपवर्तन कोण $90^\circ$ हो जाता है,और संचरित तीव्रता शून्य हो जाती है।
$\theta \geq \theta_c$ आपतन कोण के लिए,पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है,जिसका अर्थ है कि सभी आपतित प्रकाश कांच के माध्यम में वापस परावर्तित हो जाते हैं। इस प्रकार,$\theta \geq \theta_c$ के लिए,परावर्तित तीव्रता $(R)$ $100\%$ हो जाती है और संचरित तीव्रता $(T)$ $0$ हो जाती है।
इस व्यवहार की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $(C)$ में दिया गया ग्राफ इन विशेषताओं को सही ढंग से दर्शाता है: $\theta_c$ तक $T$ घटता है और $R$ बढ़ता है,जिस बिंदु पर $R$ बढ़कर $100\%$ हो जाता है और सभी $\theta \geq \theta_c$ के लिए $T$ घटकर $0$ हो जाता है।
जैसे-जैसे $\theta$,$0$ से $\theta_c$ तक बढ़ता है,परावर्तित तीव्रता $(R)$ बढ़ती है और संचरित तीव्रता $(T)$ घटती है।
क्रांतिक कोण $\theta = \theta_c$ पर,अपवर्तन कोण $90^\circ$ हो जाता है,और संचरित तीव्रता शून्य हो जाती है।
$\theta \geq \theta_c$ आपतन कोण के लिए,पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है,जिसका अर्थ है कि सभी आपतित प्रकाश कांच के माध्यम में वापस परावर्तित हो जाते हैं। इस प्रकार,$\theta \geq \theta_c$ के लिए,परावर्तित तीव्रता $(R)$ $100\%$ हो जाती है और संचरित तीव्रता $(T)$ $0$ हो जाती है।
इस व्यवहार की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $(C)$ में दिया गया ग्राफ इन विशेषताओं को सही ढंग से दर्शाता है: $\theta_c$ तक $T$ घटता है और $R$ बढ़ता है,जिस बिंदु पर $R$ बढ़कर $100\%$ हो जाता है और सभी $\theta \geq \theta_c$ के लिए $T$ घटकर $0$ हो जाता है।
0 likesView Solution
33
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक लंबे इंसुलेटेड तांबे के तार को $N$ फेरों वाले सर्पिल (spiral) के रूप में कसकर लपेटा गया है। सर्पिल की आंतरिक त्रिज्या $a$ और बाहरी त्रिज्या $b$ है। सर्पिल $X-Y$ तल में स्थित है और तार से $I$ धारा प्रवाहित हो रही है। सर्पिल के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का $Z$-घटक क्या है?
A
$\frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$
B
$\frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \ln \left(\frac{b+a}{b-a}\right)$
C
$\frac{\mu_0 N I}{2 b} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$
D
$\frac{\mu_0 N I}{2 b} \ln \left(\frac{b+a}{b-a}\right)$
Solution
(A) मान लीजिए कि हम $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई की एक प्रारंभिक वलय (ring) पर विचार करते हैं जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है।
इस प्रारंभिक वलय में फेरों की संख्या $dN = \frac{N}{b-a} dr$ है।
इस वलय के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 I dN}{2r}$ है।
$dN$ का मान रखने पर,हमें $dB = \frac{\mu_0 I N dr}{2(b-a)r}$ प्राप्त होता है।
सर्पिल के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = \int_a^b \frac{\mu_0 I N dr}{2(b-a)r}$ है।
अतः,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} \int_a^b \frac{dr}{r}$।
समाकलन का मान निकालने पर,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} [\ln r]_a^b$।
इस प्रकार,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$।
इस प्रारंभिक वलय में फेरों की संख्या $dN = \frac{N}{b-a} dr$ है।
इस वलय के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 I dN}{2r}$ है।
$dN$ का मान रखने पर,हमें $dB = \frac{\mu_0 I N dr}{2(b-a)r}$ प्राप्त होता है।
सर्पिल के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = \int_a^b \frac{\mu_0 I N dr}{2(b-a)r}$ है।
अतः,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} \int_a^b \frac{dr}{r}$।
समाकलन का मान निकालने पर,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} [\ln r]_a^b$।
इस प्रकार,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$।
0 likesView Solution
34
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
नीचे दिए गए फील्ड पैटर्न में से कौन सा पैटर्न विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लिए मान्य है?
A
B
C
D
Solution
(C) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। वे बंद लूप नहीं बनाती हैं।
दूसरी ओर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा बंद निरंतर लूप बनाती हैं क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं होते हैं।
हालाँकि,प्रश्न दोनों के लिए मान्य पैटर्न के बारे में पूछता है।
विकल्प $C$ वृत्ताकार क्षेत्र रेखाएं दिखाता है।
विद्युत क्षेत्र के लिए,समय के साथ बदलते चुंबकीय क्षेत्र वाले क्षेत्रों में (प्रेरित विद्युत क्षेत्र) वृत्ताकार रेखाएं मौजूद हो सकती हैं।
चुंबकीय क्षेत्र के लिए,सीधे धारावाही तार द्वारा वृत्ताकार रेखाएं उत्पन्न होती हैं।
इस प्रकार,वृत्ताकार फील्ड पैटर्न ही एकमात्र ऐसा पैटर्न है जो विद्युत क्षेत्र (विशिष्ट गैर-इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितियों में) और चुंबकीय क्षेत्र दोनों का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
दूसरी ओर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा बंद निरंतर लूप बनाती हैं क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल मौजूद नहीं होते हैं।
हालाँकि,प्रश्न दोनों के लिए मान्य पैटर्न के बारे में पूछता है।
विकल्प $C$ वृत्ताकार क्षेत्र रेखाएं दिखाता है।
विद्युत क्षेत्र के लिए,समय के साथ बदलते चुंबकीय क्षेत्र वाले क्षेत्रों में (प्रेरित विद्युत क्षेत्र) वृत्ताकार रेखाएं मौजूद हो सकती हैं।
चुंबकीय क्षेत्र के लिए,सीधे धारावाही तार द्वारा वृत्ताकार रेखाएं उत्पन्न होती हैं।
इस प्रकार,वृत्ताकार फील्ड पैटर्न ही एकमात्र ऐसा पैटर्न है जो विद्युत क्षेत्र (विशिष्ट गैर-इलेक्ट्रोस्टैटिक स्थितियों में) और चुंबकीय क्षेत्र दोनों का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
0 likesView Solution
35
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक श्रेणी $R-C$ परिपथ को $AC$ वोल्टेज स्रोत से जोड़ा गया है। दो स्थितियों पर विचार करें: $(A)$ जब $C$ बिना किसी परावैद्युत माध्यम के हो और $(B)$ जब $C$ को $K = 4$ स्थिरांक वाले परावैद्युत से भरा जाता है। दोनों स्थितियों में प्रतिरोधक से गुजरने वाली धारा $I_R$ और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C$ की तुलना की जाती है। निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
A
$(B, C)$
B
$(B, D)$
C
$(A, D)$
D
$(C, D)$
Solution
(A) श्रेणी $R-C$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
जब $K = 4$ स्थिरांक वाला परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = KC = 4C$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नया धारिता प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{\omega (4C)} = \frac{X_C}{4}$ हो जाता है।
चूंकि $X_C' < X_C$,कुल प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_C')^2}$,$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ से कम है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ है। चूंकि $Z' < Z$,स्थिति $(B)$ में धारा स्थिति $(A)$ से अधिक है,इसलिए $I_R^B > I_R^A$ (विकल्प $B$ सत्य है)।
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I X_C = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} X_C = \frac{V}{\sqrt{(R/X_C)^2 + 1}}$ है।
जैसे-जैसे $X_C$ घटता है,पद $(R/X_C)^2$ बढ़ता है,जिससे हर $\sqrt{(R/X_C)^2 + 1}$ बड़ा हो जाता है।
इसलिए,जब $X_C$ घटता है तो $V_C$ घट जाता है। अतः,$V_C^A > V_C^B$ (विकल्प $C$ सत्य है)।
अतः,सही कथन $(B)$ और $(C)$ हैं।
जब $K = 4$ स्थिरांक वाला परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = KC = 4C$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नया धारिता प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{\omega (4C)} = \frac{X_C}{4}$ हो जाता है।
चूंकि $X_C' < X_C$,कुल प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_C')^2}$,$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ से कम है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ है। चूंकि $Z' < Z$,स्थिति $(B)$ में धारा स्थिति $(A)$ से अधिक है,इसलिए $I_R^B > I_R^A$ (विकल्प $B$ सत्य है)।
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I X_C = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} X_C = \frac{V}{\sqrt{(R/X_C)^2 + 1}}$ है।
जैसे-जैसे $X_C$ घटता है,पद $(R/X_C)^2$ बढ़ता है,जिससे हर $\sqrt{(R/X_C)^2 + 1}$ बड़ा हो जाता है।
इसलिए,जब $X_C$ घटता है तो $V_C$ घट जाता है। अतः,$V_C^A > V_C^B$ (विकल्प $C$ सत्य है)।
अतः,सही कथन $(B)$ और $(C)$ हैं।
0 likesView Solution
36
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ यदि बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $r^{-2}$ के बजाय $r^{-2.5}$ के रूप में बदलता है,तो भी गॉस का नियम मान्य रहेगा।
$(B)$ गॉस के नियम का उपयोग विद्युत द्विध्रुव के चारों ओर क्षेत्र वितरण की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
$(C)$ यदि दो बिंदु आवेशों के बीच कहीं विद्युत क्षेत्र शून्य है,तो दोनों आवेशों का चिह्न समान होता है।
$(D)$ विभव $V_A$ वाले बिंदु $A$ से विभव $V_B$ वाले बिंदु $B$ तक एक इकाई धनात्मक आवेश को ले जाने में बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य $(V_B - V_A)$ है।
$(A)$ यदि बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $r^{-2}$ के बजाय $r^{-2.5}$ के रूप में बदलता है,तो भी गॉस का नियम मान्य रहेगा।
$(B)$ गॉस के नियम का उपयोग विद्युत द्विध्रुव के चारों ओर क्षेत्र वितरण की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
$(C)$ यदि दो बिंदु आवेशों के बीच कहीं विद्युत क्षेत्र शून्य है,तो दोनों आवेशों का चिह्न समान होता है।
$(D)$ विभव $V_A$ वाले बिंदु $A$ से विभव $V_B$ वाले बिंदु $B$ तक एक इकाई धनात्मक आवेश को ले जाने में बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य $(V_B - V_A)$ है।
A
$(A, B)$
B
$(C, D)$
C
$(A, D)$
D
$(B, C)$
Solution
(B) सही कथन $(C)$ और $(D)$ हैं।
$(A)$ गॉस का नियम व्युत्क्रम-वर्ग नियम $(E \propto r^{-2})$ से प्राप्त होता है। यदि क्षेत्र $r^{-2.5}$ के रूप में बदलता है,तो बंद सतह से गुजरने वाला फ्लक्स सतह के आकार और माप पर निर्भर करेगा,जिससे मानक गॉस नियम अमान्य हो जाएगा।
$(B)$ गॉस का नियम तब सबसे प्रभावी होता है जब उच्च समरूपता (गोलीय,बेलनाकार या समतल) हो। विद्युत द्विध्रुव में गॉस के नियम का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए आवश्यक समरूपता का अभाव होता है।
$(C)$ दो बिंदु आवेशों के लिए,उनके बीच के बिंदु पर विद्युत क्षेत्र तभी शून्य होता है जब आवेशों का चिह्न समान हो (प्रतिकर्षण बल)। यदि उनके चिह्न विपरीत हैं,तो क्षेत्र उनके बीच के क्षेत्र के बाहर शून्य होता है।
$(D)$ परिभाषा के अनुसार,विभवांतर $(V_B - V_A)$ वह कार्य है जो एक इकाई धनात्मक आवेश को $A$ से $B$ तक बिना त्वरित किए ले जाने के लिए बाहरी एजेंट द्वारा किया जाता है।
$(A)$ गॉस का नियम व्युत्क्रम-वर्ग नियम $(E \propto r^{-2})$ से प्राप्त होता है। यदि क्षेत्र $r^{-2.5}$ के रूप में बदलता है,तो बंद सतह से गुजरने वाला फ्लक्स सतह के आकार और माप पर निर्भर करेगा,जिससे मानक गॉस नियम अमान्य हो जाएगा।
$(B)$ गॉस का नियम तब सबसे प्रभावी होता है जब उच्च समरूपता (गोलीय,बेलनाकार या समतल) हो। विद्युत द्विध्रुव में गॉस के नियम का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए आवश्यक समरूपता का अभाव होता है।
$(C)$ दो बिंदु आवेशों के लिए,उनके बीच के बिंदु पर विद्युत क्षेत्र तभी शून्य होता है जब आवेशों का चिह्न समान हो (प्रतिकर्षण बल)। यदि उनके चिह्न विपरीत हैं,तो क्षेत्र उनके बीच के क्षेत्र के बाहर शून्य होता है।
$(D)$ परिभाषा के अनुसार,विभवांतर $(V_B - V_A)$ वह कार्य है जो एक इकाई धनात्मक आवेश को $A$ से $B$ तक बिना त्वरित किए ले जाने के लिए बाहरी एजेंट द्वारा किया जाता है।
0 likesView Solution
37
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
विभिन्न emf और विभिन्न आंतरिक प्रतिरोधों वाली दो बैटरियों को चित्रानुसार जोड़ा गया है। $AB$ के सिरों पर वोल्टेज वोल्ट में कितना है?
A
$4$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(B) परिपथ में दो बैटरियां एक लूप में जुड़ी हुई हैं। समांतर संयोजन के लिए तुल्य emf $(E_{eq})$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ की गणना निम्न सूत्र से की जा सकती है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
यहाँ $E_1 = 6 \text{ V}$, $r_1 = 1 \text{ }\Omega$, $E_2 = 3 \text{ V}$, $r_2 = 2 \text{ }\Omega$ दिया गया है (ध्रुवता पर ध्यान दें, $3 \text{ V}$ की बैटरी $6 \text{ V}$ की बैटरी के विपरीत दिशा में जुड़ी है)।
$E_{eq} = \frac{\frac{6}{1} - \frac{3}{2}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2}} = \frac{6 - 1.5}{1.5} = \frac{4.5}{1.5} = 3 \text{ V}$.
वैकल्पिक रूप से, किरचॉफ के लूप नियम का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{6 - 3}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \text{ A}$.
$AB$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = E_1 - I r_1 = 6 - (1 \times 1) = 5 \text{ V}$ होगा।
दूसरी शाखा के लिए जाँच करने पर: $V_{AB} = E_2 + I r_2 = 3 + (1 \times 2) = 5 \text{ V}$।
अतः, $AB$ के सिरों पर वोल्टेज $5 \text{ V}$ है।
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
यहाँ $E_1 = 6 \text{ V}$, $r_1 = 1 \text{ }\Omega$, $E_2 = 3 \text{ V}$, $r_2 = 2 \text{ }\Omega$ दिया गया है (ध्रुवता पर ध्यान दें, $3 \text{ V}$ की बैटरी $6 \text{ V}$ की बैटरी के विपरीत दिशा में जुड़ी है)।
$E_{eq} = \frac{\frac{6}{1} - \frac{3}{2}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2}} = \frac{6 - 1.5}{1.5} = \frac{4.5}{1.5} = 3 \text{ V}$.
वैकल्पिक रूप से, किरचॉफ के लूप नियम का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{6 - 3}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \text{ A}$.
$AB$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = E_1 - I r_1 = 6 - (1 \times 1) = 5 \text{ V}$ होगा।
दूसरी शाखा के लिए जाँच करने पर: $V_{AB} = E_2 + I r_2 = 3 + (1 \times 2) = 5 \text{ V}$।
अतः, $AB$ के सिरों पर वोल्टेज $5 \text{ V}$ है।
0 likesView Solution
38
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक टैंक में पानी (अपवर्तनांक $\mu = \frac{4}{3}$) $18 \ cm$ गहरा है। पानी के ऊपर $\mu = \frac{7}{4}$ अपवर्तनांक वाला तेल है,जो चित्रानुसार $R = 6 \ cm$ वक्रता त्रिज्या वाली एक उत्तल सतह बनाता है। तेल को एक पतले लेंस के रूप में मानें। एक वस्तु $S$ को पानी की सतह से $24 \ cm$ ऊपर रखा गया है। इसके प्रतिबिंब की स्थिति टैंक के तल से $x \ cm$ ऊपर है। तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(A) गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र: $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$.
पहली सतह (हवा-तेल) के लिए:
$\frac{7/4}{v_1} - \frac{1}{-24} = \frac{7/4 - 1}{6} = \frac{3/4}{6} = \frac{1}{8}$.
$\frac{7}{4v_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.
$v_1 = \frac{7 \times 12}{4} = 21 \ cm$.
दूसरी सतह (तेल-पानी) के लिए:
$\frac{4/3}{v_2} - \frac{7/4}{21} = 0$.
$\frac{4}{3v_2} = \frac{7}{4 \times 21} = \frac{1}{12}$.
$v_2 = \frac{4 \times 12}{3} = 16 \ cm$.
अतः,तल से दूरी $= 18 \ cm - 16 \ cm = 2 \ cm$.
पहली सतह (हवा-तेल) के लिए:
$\frac{7/4}{v_1} - \frac{1}{-24} = \frac{7/4 - 1}{6} = \frac{3/4}{6} = \frac{1}{8}$.
$\frac{7}{4v_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.
$v_1 = \frac{7 \times 12}{4} = 21 \ cm$.
दूसरी सतह (तेल-पानी) के लिए:
$\frac{4/3}{v_2} - \frac{7/4}{21} = 0$.
$\frac{4}{3v_2} = \frac{7}{4 \times 21} = \frac{1}{12}$.
$v_2 = \frac{4 \times 12}{3} = 16 \ cm$.
अतः,तल से दूरी $= 18 \ cm - 16 \ cm = 2 \ cm$.
0 likesView Solution
39
PhysicsDifficultMCQIIT JEE · 2011
एक श्रेणी $R-C$ संयोजन $\omega = 500 \ rad/s$ की कोणीय आवृत्ति वाले $AC$ वोल्टेज से जुड़ा है। यदि $R-C$ परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $R\sqrt{1.25}$ है,तो परिपथ का समय नियतांक (time constant) ($ms$ में) क्या है?
A
$5$
B
$6$
C
$4$
D
$8$
Solution
(C) दिया गया है: $\omega = 500 \ rad/s$.
श्रेणी $R-C$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
$Z = R\sqrt{1.25}$ दिया गया है,इसलिए $Z^2 = 1.25R^2$ होगा।
प्रतिबाधा सूत्र में मान रखने पर: $R^2 + X_C^2 = 1.25R^2$.
$X_C^2 = 0.25R^2$.
$X_C = 0.5R$.
चूंकि $X_C = \frac{1}{\omega C}$,इसलिए $\frac{1}{\omega C} = 0.5R$ प्राप्त होता है।
समय नियतांक $\tau = RC$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $RC = \frac{1}{0.5\omega}$.
$\omega = 500 \ rad/s$ रखने पर: $\tau = \frac{1}{0.5 \times 500} = \frac{1}{250} = 0.004 \ s$.
मिलीसेकंड में बदलने पर: $\tau = 0.004 \times 1000 \ ms = 4 \ ms$.
श्रेणी $R-C$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
$Z = R\sqrt{1.25}$ दिया गया है,इसलिए $Z^2 = 1.25R^2$ होगा।
प्रतिबाधा सूत्र में मान रखने पर: $R^2 + X_C^2 = 1.25R^2$.
$X_C^2 = 0.25R^2$.
$X_C = 0.5R$.
चूंकि $X_C = \frac{1}{\omega C}$,इसलिए $\frac{1}{\omega C} = 0.5R$ प्राप्त होता है।
समय नियतांक $\tau = RC$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $RC = \frac{1}{0.5\omega}$.
$\omega = 500 \ rad/s$ रखने पर: $\tau = \frac{1}{0.5 \times 500} = \frac{1}{250} = 0.004 \ s$.
मिलीसेकंड में बदलने पर: $\tau = 0.004 \times 1000 \ ms = 4 \ ms$.
0 likesView Solution
40
PhysicsAdvancedMCQIIT JEE · 2011
$1 \ cm$ त्रिज्या और $4.7 \ eV$ कार्य फलन वाला एक चांदी का गोला मुक्त स्थान में एक कुचालक धागे से लटका हुआ है। यह $200 \ nm$ तरंग दैर्ध्य के प्रकाश से निरंतर प्रकाशित हो रहा है। जैसे-जैसे फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं,गोला आवेशित हो जाता है और एक विभव प्राप्त कर लेता है। गोले से उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या $A \times 10^Z$ है (जहाँ $1 < A < 10$)। $Z$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$7$
B
$8$
C
$9$
D
$1$
Solution
(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{200 \ nm} = 6.2 \ eV$ है।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi = 6.2 \ eV - 4.7 \ eV = 1.5 \ eV$ है।
जैसे-जैसे गोला फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है,यह धनावेशित हो जाता है और इसका विभव $V$ बढ़ जाता है। उत्सर्जन तब रुक जाता है जब विभव $V$ ऐसा हो कि इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर हो,अर्थात $eV = K_{max} = 1.5 \ eV$। अतः,$V = 1.5 \ V$ है।
$R$ त्रिज्या और $q = ne$ आवेश वाले गोले का विभव $V = \frac{kq}{R} = \frac{k(ne)}{R}$ होता है,जहाँ $n$ फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
मान रखने पर: $1.5 = \frac{(9 \times 10^9) \times n \times (1.6 \times 10^{-19})}{10^{-2}}$.
$1.5 = n \times 1.44 \times 10^{-7} \implies n = \frac{1.5}{1.44} \times 10^7 \approx 1.04 \times 10^7$.
दिया गया है कि $n = A \times 10^Z$,इसलिए $1.04 \times 10^7 = A \times 10^Z$। तुलना करने पर,$Z = 7$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi = 6.2 \ eV - 4.7 \ eV = 1.5 \ eV$ है।
जैसे-जैसे गोला फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है,यह धनावेशित हो जाता है और इसका विभव $V$ बढ़ जाता है। उत्सर्जन तब रुक जाता है जब विभव $V$ ऐसा हो कि इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर हो,अर्थात $eV = K_{max} = 1.5 \ eV$। अतः,$V = 1.5 \ V$ है।
$R$ त्रिज्या और $q = ne$ आवेश वाले गोले का विभव $V = \frac{kq}{R} = \frac{k(ne)}{R}$ होता है,जहाँ $n$ फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
मान रखने पर: $1.5 = \frac{(9 \times 10^9) \times n \times (1.6 \times 10^{-19})}{10^{-2}}$.
$1.5 = n \times 1.44 \times 10^{-7} \implies n = \frac{1.5}{1.44} \times 10^7 \approx 1.04 \times 10^7$.
दिया गया है कि $n = A \times 10^Z$,इसलिए $1.04 \times 10^7 = A \times 10^Z$। तुलना करने पर,$Z = 7$ प्राप्त होता है।
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Physics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Physics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Physics questions are in IIT JEE 2011?
There are 40 Physics questions from the IIT JEE 2011 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Hindi.
Are IIT JEE 2011 Physics solutions available in Hindi?
Yes. All solutions on this page are in Hindi. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2011 Physics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Physics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Physics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Physics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Physics Paper
Pick IIT JEE 2011 Physics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.