ધારો કે f: R rightarrow R એક એવું વિધેય છે કે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B, C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે.$x=0, y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)+f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=0$.કારણ કે $

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)$ એ $\forall x \in R$ માટે સતત છે

Vedclass · Answer

(B, C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે.$x=0, y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)+f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(0)=0$.કારણ કે $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે,તેથી $f^{\prime}(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).હવે,કોઈપણ $x \in R$ માટે,વિકલિત $f^{\prime}(x)$ નીચે મુજબ મળે:$f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h} = f^{\prime}(0) = k$.કારણ કે $f^{\prime}(x) = k$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે,તેથી $f^{\prime}(x)$ એક અચળ વિધેય છે.$f^{\prime}(x) = k$ નું સંકલન કરતા,આપણને $f(x) = kx + C$ મળે છે. $f(0)=0$ હોવાથી,$C=0$ મળે,તેથી $f(x) = kx$.સુરેખ વિધેય $f(x) = kx$ એ તમામ $x \in R$ માટે સતત અને વિકલનીય છે.આમ,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક એવું વિધેય છે કે જેથી $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x, y \in R$. જો $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોય,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

Similar Questions

જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ બધા $x, y \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોય અને $f(1)=7$ હોય,તો $\sum_{r=1}^n f(r)=$

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x)$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં તમામ $x, y \in R$ માટે. જો $f(2)=3$ હોય,તો $14 \cdot \frac{f^{\prime}(4)}{f^{\prime}(2)}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module