GUJCET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સંબંધ $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલ છે કે $b > 6$,ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$(8, 6)$: અહીં $b = 6$,જે $b > 6$ ની શરતનું પાલન કરતું નથી.
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$(3, 8)$: અહીં $a = 3$ અને $b = 8$ છે. શરત $a = b - 2$ તપાસતા,આપણને $3 = 8 - 2 = 6$ મળે છે,જે ખોટું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$(6, 8)$: અહીં $a = 6$ અને $b = 8$ છે. શરત $a = b - 2$ તપાસતા,આપણને $6 = 8 - 2 = 6$ મળે છે,જે સાચું છે. ઉપરાંત,$b = 8 > 6$ શરત પણ સંતોષાય છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે,$(8, 7)$: અહીં $a = 8$ અને $b = 7$ છે. શરત $a = b - 2$ તપાસતા,આપણને $8 = 7 - 2 = 5$ મળે છે,જે ખોટું છે.
તેથી,$(6, 8) \in R$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે કે $e^y(x+1) = 1$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural log) લેતા: $y + \ln(x+1) = 0 \implies y = -\ln(x+1)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1} = -(x+1)^{-1}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2} = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2$.
હવે,પદાવલિની ગણતરી કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 - \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+1)^2} = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\sin(\pi/2-x)}}{\sqrt{\sin(\pi/2-x)} + \sqrt{\cos(\pi/2-x)}} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} + \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} 1 dx$.
$2I = [x]_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta$ છે.
તેથી,$\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = -(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos x$ થાય.
હવે,સંકલન $I = \int_0^{\pi} -\cos x \, dx$ બને છે.
$-\cos x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $-\sin x$ મળે છે.
$0$ થી $\pi$ ની સીમાઓ લાગુ પાડતા,$I = [-\sin x]_0^{\pi}$ મળે.
$I = -(\sin \pi - \sin 0)$.
કારણ કે $\sin \pi = 0$ અને $\sin 0 = 0$ છે,તેથી $I = -(0 - 0) = 0$ મળે છે.

(D) સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{9-8x-4x^2}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદમાં રહેલી દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
$9 - 8x - 4x^2 = 9 - (4x^2 + 8x) = 9 - 4(x^2 + 2x)$.
કૌંસમાં $1$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા: $9 - 4(x^2 + 2x + 1 - 1) = 9 - 4(x+1)^2 + 4 = 13 - (2x+2)^2$.
આમ,સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{13})^2 - (2x+2)^2}}$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 2x+2$ અને $du = 2dx$ (તેથી $dx = \frac{du}{2}$):
$I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{(\sqrt{13})^2 - u^2}} = \frac{1}{2} \sin^{-1}(\frac{u}{\sqrt{13}}) + C$.
$u = 2x+2$ મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \sin^{-1}(\frac{2x+2}{\sqrt{13}}) + C$ મળે છે.

(A) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \sec^2 x \csc^2 x \, dx$ છે.
નિત્યસમ $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ અને $\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx$.
કારણ કે $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$,આપણે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx$.
$I = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \right) \, dx$.
$I = \int (\sec^2 x + \csc^2 x) \, dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \tan x - \cot x + C$.

(A) વિધેય $y = x^2 e^{-x}$ કયા અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x} (2 - x)$.
વિધેય ઘટતું હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx} < 0$ થાય.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,અસમતા $\frac{dy}{dx} < 0$ એ $x(2 - x) < 0$ માં પરિણમે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે: $x(x - 2) > 0$.
આ અસમતા $x < 0$ અથવા $x > 2$ માટે સાચી છે.
આમ,વિધેય $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે માનાંક વિધેય $|x+1|$ હંમેશા અનૃણ (non-negative) હોય છે,એટલે કે દરેક $x \in R$ માટે $|x+1| \ge 0$ થાય.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે: $-|x+1| \le 0$.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા: $-|x+1| + 3 \le 0 + 3$,જેનું સાદું રૂપ $f(x) \le 3$ થાય છે.
મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે પદ $-|x+1| = 0$ થાય,જે $x = -1$ આગળ શક્ય છે.
તેથી,વિધેયની મહત્તમ કિંમત $3$ છે.

(D) સીમાંત આવક $(MR)$ એ કુલ આવક વિધેય $R(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે.
$MR = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5)$
વિકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$MR = 6x + 36$
હવે,$MR$ ના પદમાં $x = 15$ મૂકતા:
$MR = 6(15) + 36$
$MR = 90 + 36 = 126$
તેથી,જ્યારે $x = 15$ હોય ત્યારે સીમાંત આવક $126$ છે.

(B) ધારો કે $C = AB - BA$.
$C$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$C^T = (AB - BA)^T$.
$(X - Y)^T = X^T - Y^T$ અને $(XY)^T = Y^T X^T$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$C^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T$ મળે.
$A$ અને $B$ વિસંમિત હોવાથી,$A^T = -A$ અને $B^T = -B$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$C^T = (-B)(-A) - (-A)(-B) = BA - AB$ મળે.
ઋણ ચિહ્ન સામાન્ય લેતા,$C^T = -(AB - BA) = -C$ મળે.
$C^T = -C$ હોવાથી,શ્રેણિક $AB - BA$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$.
આપણે $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ.
મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરતા: $A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab - ab \\ ac - ac & bc + a^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^2 = I$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી આપણે મેટ્રિક્સને સરખાવીએ:
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $a^2 + bc = 1$ મળે છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $1 - a^2 - bc = 0$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $2 \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 2(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\tan^{-1} [2 \cos(\frac{\pi}{3})]$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ થાય છે,તેથી $\tan^{-1} [2 \times \frac{1}{2}] = \tan^{-1}(1)$ મળે છે.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ થાય છે,તેથી અંતિમ જવાબ $\frac{\pi}{4}$ છે.

(A) $\sin^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
અહીં $\frac{3\pi}{5} > \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,આપણે નિત્યસમ $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરીને $\sin(\frac{3\pi}{5})$ ને ફરીથી લખવું પડશે.
આમ,$\sin(\frac{3\pi}{5}) = \sin(\pi - \frac{3\pi}{5}) = \sin(\frac{2\pi}{5})$.
કારણ કે $\frac{2\pi}{5}$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી $\sin^{-1}(\sin \frac{2\pi}{5}) = \frac{2\pi}{5}$ થાય.

(B) પ્રતિવિધેય કોસાઇન વિધેય $\cos^{-1}(x)$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[0, \pi]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
તેથી,જો $y = \cos^{-1}(x)$ હોય,તો $y$ એ $[0, \pi]$ અંતરાલમાં હોવું જોઈએ.

(C) એક-એક માટે ચકાસણી: $f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$ અને $f(2) = \frac{2}{2} = 1$. કારણ કે $1 \neq 2$ હોવા છતાં $f(1) = f(2)$ છે,તેથી વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક છે).
વ્યાપ્ત માટે ચકાસણી: કોઈપણ $y \in N$ માટે,જો $y$ એકી હોય,તો આપણે $n = 2y-1$ લઈ શકીએ,જેથી $f(2y-1) = \frac{(2y-1)+1}{2} = y$ મળે. જો $y$ બેકી હોય,તો આપણે $n = 2y$ લઈ શકીએ,જેથી $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ મળે. આમ,સહ-પ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશમાં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$ છે.
બંને બાજુથી $P(A)$ બાદ કરતા,આપણને $P(B) - P(A \cap B) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $P(B) = P(A \cap B)$.
આ સમાનતા સૂચવે છે કે $B \subseteq A$,એટલે કે ઘટના $B$ ના તમામ પરિણામો ઘટના $A$ માં સમાવિષ્ટ છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
ચૂકી $P(A \cap B) = P(B)$ છે,તેથી આપણે સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ (ધારી લઈએ કે $P(B) \neq 0$).

(C) કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે. ડેકમાં $4$ રાજા અને $4$ એક્કા હોય છે.
પગલું $1$: પ્રથમ પત્તું રાજા આવવાની સંભાવના = $4/52 = 1/13$.
પગલું $2$: બીજું પત્તું રાજા આવવાની સંભાવના (પત્તું પાછું મૂક્યા વગર) = $3/51 = 1/17$.
પગલું $3$: ત્રીજું પત્તું એક્કો આવવાની સંભાવના (પત્તું પાછું મૂક્યા વગર) = $4/50 = 2/25$.
કુલ સંભાવના = $(4/52) \times (3/51) \times (4/50) = (1/13) \times (1/17) \times (2/25) = 2 / 5525$.

(C) ધારો કે $u = \log_{2025} x = \frac{\log x}{\log 2025}$.
તેથી $y = \log_{2026} u = \frac{\log u}{\log 2026}$.
ચેઈન રૂલ (સાંકળનો નિયમ) લાગુ પાડતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u \log 2026} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{\log x}{\log 2025}\right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \log 2026} \cdot \frac{1}{x \log 2025}$.
$u = \frac{\log x}{\log 2025}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\frac{\log x}{\log 2025}) \log 2026 \cdot x \log 2025} = \frac{1}{x \log x \log 2026}$.

(A) આપેલ છે કે $x = at^2$ અને $y = 2at$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{dt} = 2at$ અને $\frac{dy}{dt} = 2a$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{t}) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{dx} = (-\frac{1}{t^2}) \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x = at^2$,તેથી $t^2 = \frac{x}{a}$ અને $y = 2at$,તેથી $t = \frac{y}{2a}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2a(t^2)(t)} = -\frac{1}{2a(\frac{x}{a})(\frac{y}{2a})} = -\frac{1}{\frac{xy}{a}} = -\frac{a}{xy}$.

(C) કોઈ વિધેય $f(x)$ બિંદુ $x = a$ આગળ સતત હોય તે માટે ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું તે બિંદુ આગળનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
અહીં,$a = \pi$ છે.
$LHL$: $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} (kx + 1) = k\pi + 1$.
$RHL$: $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} (\cos x) = \cos(\pi) = -1$.
વિધેય $x = \pi$ આગળ સતત હોવાથી,$LHL$ = $RHL$ થાય.
તેથી,$k\pi + 1 = -1$.
$k\pi = -2$.
$k = -\frac{2}{\pi}$.

(B) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/11 & 3/11 \\ 1/11 & -2/11 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 3/11 \\ 1/11 & b \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4/11$ અને $b = -2/11$ મળે છે.
તેથી,$a+b = 4/11 + (-2/11) = 2/11$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$,તેથી $A^2 = \begin{bmatrix} 2^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3^2 & 0 \\ 0 & 0 & 4^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$,તેથી $B^2 = \begin{bmatrix} 1^2 & 0 & 0 \\ 0 & (-2)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (-3)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^2 + B^2 = \begin{bmatrix} 4+1 & 0 & 0 \\ 0 & 9+4 & 0 \\ 0 & 0 & 16+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 25 \end{bmatrix}$.

(D) શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = 35$.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(2, -6)$,$(5, 4)$,અને $(k, 4)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} |2(4-4) + 5(4 - (-6)) + k(-6-4)| = 35$
$\frac{1}{2} |2(0) + 5(10) + k(-10)| = 35$
$|50 - 10k| = 70$
આનાથી બે શક્યતાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $50 - 10k = 70 \implies -10k = 20 \implies k = -2$.
કિસ્સો $2$: $50 - 10k = -70 \implies -10k = -120 \implies k = 12$.
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમતો $12$ અને $-2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો ટ્રેસ (trace) શોધો: $\text{tr}(A) = 3 + 2 = 5$.
ત્યારબાદ,$A$ નો નિશ્ચાયક (determinant) શોધો: $|A| = (3)(2) - (-2)(4) = 6 + 8 = 14$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે: $A^2 - \text{tr}(A)A + |A|I = 0$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $A^2 - 5A + 14I = 0$ મળે છે.
$A^2$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $A^2 = 5A - 14I$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx$ છે.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $I = \int e^x \frac{1-2x+x^2}{(1+x^2)^2} dx$ મળે છે.
આને $I = \int e^x \left[ \frac{1+x^2}{(1+x^2)^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ છે.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$.
કારણ કે સંકલ્ય $e^x [f(x) + f'(x)]$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી ઉકેલ $e^x f(x) + C = \frac{e^x}{1+x^2} + C$ થાય છે.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{e^{2025+x} - e^{2025-x}}{e^{2026+x} + e^{2026-x}} dx$ છે.
અંશમાંથી $e^{2025}$ અને છેદમાંથી $e^{2026}$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int \frac{e^{2025}(e^x - e^{-x})}{e^{2026}(e^x + e^{-x})} dx = \frac{1}{e} \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$.
ધારો કે $u = e^x + e^{-x}$.
તેથી,વિકલન $du = (e^x - e^{-x}) dx$ થશે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{e} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{e} \ln |u| + C$.
$u = e^x + e^{-x}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{e} \ln |e^x + e^{-x}| + C$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{4x^2}{144} + \frac{9y^2}{144} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ થાય છે.
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 36$ (તેથી $a = 6$) અને $b^2 = 16$ (તેથી $b = 4$) છે.
ઉપવલયનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
કિંમતો મૂકતા,કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times 6 \times 4 = 24\pi$ મળે છે.
ઉપવલય બંને અક્ષો પર સંમિત હોવાથી,પ્રથમ ચરણમાં આવેલું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગનું હોય છે.
તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} \times 24\pi = 6\pi$ થાય.

(C) વિધેય $y = x|x|$ ને $x \ge 0$ માટે $y = x^2$ અને $x < 0$ માટે $y = -x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વિધેયનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ છીએ: $\int_{-1}^1 |x|x|| dx$.
આને બે અંતરાલોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $\int_{-1}^0 |-x^2| dx + \int_{0}^1 |x^2| dx$.
કારણ કે $|-x^2| = x^2$ અને $|x^2| = x^2$,સંકલન $\int_{-1}^0 x^2 dx + \int_{0}^1 x^2 dx$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $[\frac{x^3}{3}]_{-1}^0 + [\frac{x^3}{3}]_{0}^1$.
$= (0 - (-1/3)) + (1/3 - 0) = 1/3 + 1/3 = 2/3$.

(D) ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા બંને બાજુ $6$ (જે $2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ની ઘાત લઈને કરણીઓ દૂર કરવી પડશે.
આપેલ સમીકરણ: $(1 + (y'')^2)^{1/2} = (x + (y')^3)^{1/3}$.
બંને બાજુ $6$ ની ઘાત લેતા:
$((1 + (y'')^2)^{1/2})^6 = ((x + (y')^3)^{1/3})^6$
$(1 + (y'')^2)^3 = (x + (y')^3)^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $1 + 3(y'')^2 + 3(y'')^4 + (y'')^6 = (x + (y')^3)^2$.
અહીં સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતનો ઘાતાંક $6$ છે. તેથી,ઘાત $6$ છે.

(D) $n$ ક્રમના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં $n$ સ્વૈર અચળાંકો હોય છે.
વિશિષ્ટ ઉકેલ આ સ્વૈર અચળાંકોને ચોક્કસ કિંમતો આપીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં $0$ સ્વૈર અચળાંકો હોય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $e^{-y} \, dy = e^x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^{-y} \, dy = \int e^x \, dx$ મળે છે.
આનું પરિણામ $-e^{-y} = e^x + C'$ છે,જ્યાં $C'$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $e^x + e^{-y} = -C'$ મળે છે.
ધારો કે $C = -C'$,તો વ્યાપક ઉકેલ $e^x + e^{-y} = C$ થાય છે.

(B) બે સદિશોના તફાવતનું માન શોધવાનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 3$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2)^2 + (3)^2 - 2(4)$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 + 9 - 8$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 5$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5}$ મળે છે.

(D) ,$B$ અને $C$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (5-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-12) - \hat{j}(3-0) + \hat{k}(4-0) = -6\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધીએ:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{61} = \frac{\sqrt{61}}{2}$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ સદિશોના ક્રોસ ગુણાકાર $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,અને $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k}$ મળે છે.
કારણ કે એકમ સદિશનો પોતાની સાથેનો ડોટ ગુણાકાર $1$ થાય છે (એટલે કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$),તેથી પદાવલિનું મૂલ્ય $1 + 1 + 1 = 3$ થાય છે.

(B) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,દિશા સદિશોના માન (magnitudes) શોધો:
$|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
ત્યારબાદ,દિશા સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો:
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos \theta = \frac{19}{3 \cdot 7} = \frac{19}{21}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{19}{21})$.

(D) સૌ પ્રથમ,રેખાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{-2}$. દિશા સદિશ $\vec{a} = (-3, \frac{2p}{7}, -2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$. દિશા સદિશ $\vec{b} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (-2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} + 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = -10$.
$p = -\frac{70}{11}$.

(C) આપેલી બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = 3\hat{i} - 16\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 8\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
જરૂરી રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -16 & 7 \\ 3 & 8 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(80 - 56) - \hat{j}(-15 - 21) + \hat{k}(24 + 48) = 24\hat{i} + 36\hat{j} + 72\hat{k}$.
સામાન્ય અવયવ $12$ વડે ભાગતા,આપણને દિશા સદિશ $2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ મળે છે.
રેખા બિંદુ $(1, 2, -4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ છે.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 9y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 10)$ પર: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$.
$2$. $(5, 5)$ પર: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$.
$3$. $(15, 15)$ પર: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$.
$4$. $(0, 20)$ પર: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$.
આ કિંમતો $(90, 60, 180, 180)$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $60$ મળે છે.

(A) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ છે.
ખૂણાના બિંદુ $(0, 10)$ આગળ,$z = p(0) + q(10) = 90$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $10q = 90$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $q = 9$.
ખૂણાના બિંદુ $(5, 5)$ આગળ,$z = p(5) + q(5) = 60$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $5p + 5q = 60$ મળે,જેનું સંક્ષિપ્ત રૂપ $p + q = 12$ થાય છે.
સમીકરણ $p + q = 12$ માં $q = 9$ ની કિંમત મૂકતા,$p + 9 = 12$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $p = 3$.
હવે,$p = 3$ અને $q = 9$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $9 = 3 \times 3$,જેનો અર્થ છે કે $q = 3p$.

(B) આપણે શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P(A'|B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cap B' = (A \cup B)'$.
તેથી,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$.
આપેલ છે કે $P(A \cup B) = \frac{3}{11}$,તેથી $P(A' \cap B') = 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$.
વળી,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{11} = \frac{9}{11}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P(A'|B') = \frac{8/11}{9/11} = \frac{8}{9}$.