GUJCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો $x = 4 \cos \theta$ અને $y = 3 \sin \theta$ છે.
આ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું ઉપવલય દર્શાવે છે, જ્યાં $a = 4$ અને $b = 3$ છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા, આપણને $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ ચોરસ એકમ મળે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x)$ ને $g(f(x))$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f(x) = 2x^2 - 5$ અને $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$.
$g(x)$ માં $f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$(g \circ f)(x) = g(2x^2 - 5) = \frac{2x^2 - 5}{(2x^2 - 5)^2 + 1}$.
હવે,છેદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2x^2 - 5)^2 + 1 = (4x^4 - 20x^2 + 25) + 1 = 4x^4 - 20x^2 + 26$.
તેથી,$(g \circ f)(x) = \frac{2x^2 - 5}{4x^4 - 20x^2 + 26}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 4x + 5$ છે,જેનો પ્રદેશ $(2, \infty)$ છે.
આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને વિધેયને ફરીથી લખી શકીએ:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
અહીં પ્રદેશ $x \in (2, \infty)$ હોવાથી,$x > 2$ થાય.
બંને બાજુ $2$ બાદ કરતા,$x - 2 > 0$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 2)^2 > 0$ મળે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$(x - 2)^2 + 1 > 1$ મળે.
તેથી,$f(x) > 1$ થાય.
આમ,વિધેય $f$ નો વિસ્તાર $(1, \infty)$ છે.

(B) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ અને $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)$.
તેથી $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ અને $\sin \beta = \frac{8}{17}$ થાય.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ અને $\cos \beta = \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$ મળે.
આપણે સૂત્ર $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$\cos(\alpha - \beta) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{15}{17}\right) + \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{8}{17}\right) = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$.
તેથી,$\alpha - \beta = \cos^{-1}\left(\frac{84}{85}\right)$.

(D) ધારો કે પદાવલિ $E = \tan ^2(\sec ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2) + \cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3})$ છે.
પગલું $1$: $\tan ^2(\sec ^{-1} 3)$ નું સાદું રૂપ આપો.
ધારો કે $\sec ^{-1} 3 = \theta_1$,તેથી $\sec \theta_1 = 3$. તો $\tan ^2 \theta_1 = \sec ^2 \theta_1 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.
પગલું $2$: $\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2)$ નું સાદું રૂપ આપો.
ધારો કે $\cot ^{-1} 2 = \theta_2$,તેથી $\cot \theta_2 = 2$. તો $\operatorname{cosec}^2 \theta_2 = 1 + \cot ^2 \theta_2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
પગલું $3$: $\cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3})$ નું સાદું રૂપ આપો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી,$\cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0^2 = 0$.
પગલું $4$: કુલ સરવાળો ગણો.
$E = 8 + 5 + 0 = 13$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $\triangle ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $A + B + C = \pi$,તેથી $B + C = \pi - A$ અને $A + C = \pi - B$.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$
$\tan(A + C) = \tan(\pi - B) = -\tan B$
નિશ્ચાયક નીચે મુજબ બને છે:
$D = \left|\begin{array}{ccc}0 & \sin A & \tan B \\ -\sin A & 0 & \cos C \\ -\tan B & -\cos C & 0\end{array}\right|$
આ $3 \times 3$ ક્રમનો વિસંમિત (skew-symmetric) નિશ્ચાયક છે.
વિસંમિત શ્રેણિક $M$ માટે $M^T = -M$ થાય છે.
એકી ક્રમ $n$ વાળા વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\det(M) = \det(M^T) = \det(-M) = (-1)^n \det(M)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $n = 3$ (એકી સંખ્યા) હોવાથી,$\det(M) = -\det(M)$,જેનો અર્થ છે કે $2 \det(M) = 0$,તેથી $\det(M) = 0$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -x & 3 & -1 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $B = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -x & 3 & -1 \end{bmatrix}$. તેથી $A^{-1} = -\frac{1}{2} B$.
આમ,$A \cdot (-\frac{1}{2} B) = I$,જેનો અર્થ છે કે $A \cdot B = -2I = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર શ્રેણિકના $(3, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક મેળવવા માટે $A$ ની ત્રીજી હાર અને $B$ ના પ્રથમ સ્તંભનો ગુણાકાર કરીએ:
$(3 \times -1) + (1 \times 8) + (1 \times -x) = -2$.
$-3 + 8 - x = -2$.
$5 - x = -2$.
$x = 5 + 2 = 7$.
ચાલો નિશ્ચાયક $|A|$ ની ફરી ગણતરી કરીએ:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ હોવાથી,શ્રેણિક $B$ એ $\text{adj}(A)$ હોવો જોઈએ.
$\text{adj}(A)$ ના $(3, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક એ શ્રેણિક $A$ નો સહઅવયવ $C_{13}$ છે.
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 6) = -5$.
શ્રેણિક $B$ સાથે સરખાવતા,$(3, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક $-x$ છે.
તેથી,$-x = -5$,જેનો અર્થ છે કે $x = 5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}\right)$.
ધારો કે $2^x = \tan \theta$,તો $\theta = \tan^{-1}(2^x)$.
$y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(2^x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x) = \frac{2}{1 + 4^x} \cdot 2^x \log 2 = \frac{2^{x+1} \log 2}{1 + 4^x}$.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x+1} \log 2}{f(x)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = 1 + 4^x$ મળે છે.
તેથી,$f(0) = 1 + 4^0 = 1 + 1 = 2$.

(A) વિધેય $f(\alpha)$ એ $\alpha=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\alpha \to 0$ હોય ત્યારે વિધેયનું લક્ષ એ $\alpha=0$ આગળ વિધેયની કિંમત જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = k$.
આપણે $\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \lim_{\alpha \to 0} \frac{1-\cos 6 \alpha}{36 \alpha^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1-\cos 6 \alpha = 2 \sin^2(3 \alpha)$ મળે.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા: $\lim_{\alpha \to 0} \frac{2 \sin^2(3 \alpha)}{36 \alpha^2} = \lim_{\alpha \to 0} \frac{2}{36} \left( \frac{\sin 3 \alpha}{\alpha} \right)^2$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{18} (3)^2 = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
વિધેય સતત હોવાથી,$k = 1/2$ થાય.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) d x$.
વિધેય $f(x) = \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right)$ લો.
$f(-x)$ ની કિંમત શોધીને વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસો:
$f(-x) = \log \left(\frac{2019-(-x)}{2019+(-x)}\right) = \log \left(\frac{2019+x}{2019-x}\right)$.
ગુણધર્મ $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(-x) = -\log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) = -f(x)$.
અહીં $f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
અયુગ્મ વિધેય માટે,સંમિત અંતરાલ $[-a, a]$ પર નિશ્ચિત સંકલન હંમેશા $0$ થાય છે,એટલે કે $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$.
તેથી,$I = 0$.

(B) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$.
આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx$.
અંશને આ રીતે લખી શકાય: $x + 100 = (x + 101) - 1$.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{(x+101) - 1}{(x+101)^2} e^x \, dx$.
$I = \int \left( \frac{x+101}{(x+101)^2} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$.
$I = \int \left( \frac{1}{x+101} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x+101}$.
તો $f'(x) = -\frac{1}{(x+101)^2}$.
આ અભિવ્યક્તિ $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,પરિણામ $e^x f(x) + C$ મળે છે.
તેથી,$I = e^x \left( \frac{1}{x+101} \right) + C = \frac{e^x}{x+101} + C$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dy}{dx} + x = k$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y \frac{dy}{dx} = k - x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \int (k - x) \, dx$.
આનાથી $\frac{y^2}{2} = kx - \frac{x^2}{2} + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $y^2 = 2kx - x^2 + 2C$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $x^2 - 2kx + y^2 = 2C$.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 - 2kx + k^2) + y^2 = 2C + k^2$.
$(x - k)^2 + y^2 = 2C + k^2$.
આ $(x - h)^2 + (y - k_0)^2 = r^2$ સ્વરૂપમાં વર્તુળનું સમીકરણ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(k, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $\sqrt{2C + k^2}$ છે.
તેથી,ઉકેલ વર્તુળ દર્શાવે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1+y^2) dx$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y - x}{1+y^2}$ મળે છે.
આને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$IF = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ મળે.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ મૂકતા:
$3^2 + 4^2 + 2^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$9 + 16 + 4 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$29 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{29}{2}$.

(A) આપણને આપેલા સદિશો: $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\lambda \vec{b} + \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\lambda \vec{b} + \vec{c} = \lambda (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) + (\hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})$
$= (\lambda + 1) \hat{i} + (\lambda + 3) \hat{j} + (-2 \lambda - 1) \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\lambda \vec{b} + \vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{a} \cdot (\lambda \vec{b} + \vec{c}) = 0$
$(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot ((\lambda + 1) \hat{i} + (\lambda + 3) \hat{j} + (-2 \lambda - 1) \hat{k}) = 0$
$2(\lambda + 1) - 1(\lambda + 3) + 1(-2 \lambda - 1) = 0$
$2 \lambda + 2 - \lambda - 3 - 2 \lambda - 1 = 0$
$-\lambda - 2 = 0$
$\lambda = -2$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 3$,તેથી $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 3^2 = 9$.
હવે,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$.
તે જ રીતે,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ અને $|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે $|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
કિંમત મૂકતા,$2(9) = 18$.

(A) $x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ મર્યાદાઓને આધીન $Z = 3x + 4y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(0, 0)$,$(4, 0)$ અને $(0, 4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
હવે,આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$
$2$. $(4, 0)$ પર: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$
$3$. $(0, 4)$ પર: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $(0, 4)$ બિંદુ પર $16$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(D) અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X^2)$ ની ગણતરી $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો:
$x_1 = 1, P(x_1) = \frac{1}{10} \implies x_1^2 P(x_1) = 1^2 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$
$x_2 = 2, P(x_2) = \frac{1}{5} \implies x_2^2 P(x_2) = 2^2 \times \frac{1}{5} = 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = \frac{8}{10}$
$x_3 = 3, P(x_3) = \frac{3}{10} \implies x_3^2 P(x_3) = 3^2 \times \frac{3}{10} = 9 \times \frac{3}{10} = \frac{27}{10}$
$x_4 = 4, P(x_4) = \frac{2}{5} \implies x_4^2 P(x_4) = 4^2 \times \frac{2}{5} = 16 \times \frac{2}{5} = \frac{32}{5} = \frac{64}{10}$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$E(X^2) = \frac{1}{10} + \frac{8}{10} + \frac{27}{10} + \frac{64}{10} = \frac{1 + 8 + 27 + 64}{10} = \frac{100}{10} = 10$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.