GUJCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $M_1(2, 7)$,$M_2(1, 1)$ અને $M_3(10, 8)$ આપેલા છે.
ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{4}$ ભાગનું હોય છે.
સૌ પ્રથમ,મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ નો ઉપયોગ કરીને શોધો.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |2(1 - 8) + 1(8 - 7) + 10(7 - 1)|$.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |2(-7) + 1(1) + 10(6)|$.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |-14 + 1 + 60| = \frac{1}{2} |47| = 23.5$.
કારણ કે $\text{Area}_{\text{original}} = 4 \times \text{Area}_{\text{mid}}$,તેથી $\text{Area}_{\text{original}} = 4 \times 23.5 = 94$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે: $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$.
અહીં આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (5, -2, 4)$ છે અને દિશા સદિશના ઘટકો $(a, b, c) = (3, -2, 8)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{x-5}{3} = \frac{y-(-2)}{-2} = \frac{z-4}{8}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $\frac{x-5}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-4}{8}$.

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમના દિશા સદિશો સમાન છે,$\vec{b} = (2, 3, 6)$.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $\vec{a_1} = (1, 2, -4)$ અને $\vec{a_2} = (3, 3, -5)$ છે.
તેથી,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (3-1, 3-2, -5-(-4)) = (2, 1, -1)$.
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-3)) - \hat{j}(12 - (-2)) + \hat{k}(6 - 2) = 9\hat{i} - 14\hat{j} + 4\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{9^2 + (-14)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 196 + 16} = \sqrt{293}$ છે.
દિશા સદિશનું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{\sqrt{293}}{7} = \sqrt{\frac{293}{49}}$ છે.

(C) દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ ધરાવતી બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3)(1) + (5)(1) + (4)(2) = 3 + 5 + 8 = 16$.
$|\vec{b_1}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{16}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{16}{5\sqrt{12}} = \frac{16}{5(2\sqrt{3})} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{8}{5\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{8\sqrt{3}}{15}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{8\sqrt{3}}{15})$.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 40x + 30y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 0)$ પર: $z = 40(0) + 30(0) = 0$
$2$. $(0, 40)$ પર: $z = 40(0) + 30(40) = 1200$
$3$. $(20, 40)$ પર: $z = 40(20) + 30(40) = 800 + 1200 = 2000$
$4$. $(60, 20)$ પર: $z = 40(60) + 30(20) = 2400 + 600 = 3000$
$5$. $(60, 0)$ પર: $z = 40(60) + 30(0) = 2400$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,હેતુલક્ષી વિધેયની મહત્તમ કિંમત $3000$ છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $3x + 5y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$ મર્યાદાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
પ્રથમ,રેખા $3x + 5y = 15$ ના અંતઃખંડો શોધો:
જો $x = 0$ હોય,તો $5y = 15 \implies y = 3$. તેથી,બિંદુ $(0, 3)$ મળે.
જો $y = 0$ હોય,તો $3x = 15 \implies x = 5$. તેથી,બિંદુ $(5, 0)$ મળે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (5, 0)$ અને $(0, 3)$ છે.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 5x + 3y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર: $z = 5(0) + 3(0) = 0$.
$(5, 0)$ પર: $z = 5(5) + 3(0) = 25$.
$(0, 3)$ પર: $z = 5(0) + 3(3) = 9$.
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $25$ છે.

(B) જેহেতু $E$ અને $F$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,તેથી એક ઘટના બનવાની અસર બીજી ઘટનાની સંભાવના પર પડતી નથી. તેથી,$E'$ અને $F$ નિરપેક્ષ છે,અને $F'$ અને $E$ પણ નિરપેક્ષ છે.
$P(E'/F) = P(E') = 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
તે જ રીતે,$P(F'/E) = P(F') = 1 - P(F) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.
આમ,$P(E'/F) + P(F'/E) = \frac{2}{5} + \frac{7}{10} = \frac{4}{10} + \frac{7}{10} = \frac{11}{10}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$.
$\frac{3}{4} = 1 - P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
હવે,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{5/8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$ ગણીએ.
કારણ કે $P(A'|B) = 1 - P(A|B)$,તેથી $P(A'|B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ મળે.
અંતે,$P(A'|B) - P(A|B) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$.

(B) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $6$ આવે છે અને $E'$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $6$ આવતો નથી.
$P(E) = 1/6$ અને $P(E') = 5/6$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે માણસ $6$ આવ્યો હોવાનું જણાવે છે.
આપેલ છે કે માણસ $4/5$ વખત સાચું બોલે છે,તેથી જ્યારે $6$ આવે ત્યારે $6$ હોવાનું જણાવવાની સંભાવના $P(A|E) = 4/5$ છે.
જ્યારે $6$ ન આવે ત્યારે $6$ હોવાનું જણાવવાની સંભાવના (એટલે કે તે જૂઠું બોલે છે) $P(A|E') = 1 - 4/5 = 1/5$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે તેણે $6$ હોવાનું જણાવ્યું હોય ત્યારે વાસ્તવમાં $6$ હોવાની સંભાવના:
$P(E|A) = \frac{P(A|E)P(E)}{P(A|E)P(E) + P(A|E')P(E')}$
$P(E|A) = \frac{(4/5) \times (1/6)}{(4/5) \times (1/6) + (1/5) \times (5/6)}$
$P(E|A) = \frac{4/30}{4/30 + 5/30} = \frac{4/30}{9/30} = 4/9$.

(D) પરનો સંબંધ $R$ સંમિત છે જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$. કારણ કે $(1, 2) \in R$,સંમિતતા માટે $(2, 1) \in R$ હોવું જરૂરી છે.
$R$ પરંપરિત હોવા માટે,$(1, 2) \in R$ અને $(2, 1) \in R$ હોવાથી,$(1, 1) \in R$ અને $(2, 2) \in R$ હોવા જોઈએ.
ધારો કે $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$. આ સંબંધ સંમિત અને પરંપરિત છે,પરંતુ $A$ પર સ્વવાચક નથી કારણ કે $(3, 3) \notin R_1$.
જો આપણે $(3, 3)$ નો સમાવેશ કરીએ,તો સંબંધ $R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ બને છે. આ સંબંધ સંમિત,પરંપરિત અને સ્વવાચક છે.
$(1, 2)$ સમાવતો અન્ય કોઈ પણ સંબંધ જે સંમિત અને પરંપરિત હોય તેમાં $R_1$ હોવું જ જોઈએ. જો તેમાં $(3, 3)$ ન હોય,તો તે સ્વવાચક નથી. જો તેમાં $(3, 3)$ હોય,તો તે સ્વવાચક બની જાય છે.
આમ,માત્ર એક જ સંબંધ એવો છે જે સંમિત અને પરંપરિત છે પરંતુ સ્વવાચક નથી,જે $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$ છે.
તેથી,આવા સંબંધોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) વિધેય એક-એક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તેથી $x_1^3 = x_2^3$,જે સૂચવે છે કે $x_1 = x_2$. તેથી,વિધેય એક-એક છે.
વિધેય વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: કોઈપણ $y \in R$ માટે,આપણે $x = \sqrt[3]{y}$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $f(x) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$ થાય. સહપ્રદેશ $R$ ના દરેક $y$ માટે,પ્રદેશ $R$ માં એક $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,તે એક બાયજેક્ટિવ (bijective) વિધેય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(1/\sqrt{2}) = \pi/4$ થાય છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cos \left( 5 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right]$ મળે છે.
કારણ કે $\cos(5\pi/4) = \cos(\pi + \pi/4) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ થાય છે.
આ કિંમત મૂકતા,પદાવલિ $\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right]$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\tan^{-1} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}(x)$ અને $\tan^{-1}(1/\sqrt{3}) = \pi/6$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $-\pi/6$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $x = \sin\theta$. કારણ કે $x \in [-1/2, 1/2]$,તેથી $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$ થાય.
આપેલ પદાવલિ $y = 3\sin^{-1}(\sin\theta) + \sin^{-1}(\sin(3\theta))$ બને છે.
કારણ કે $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$,તેથી $3\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ થાય.
તેથી,$\sin^{-1}(\sin\theta) = \theta$ અને $\sin^{-1}(\sin(3\theta)) = 3\theta$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$y = 3\theta + 3\theta = 6\theta$ મળે.
આપેલ છે કે $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$,તેથી $6$ વડે ગુણતા $6\theta \in [-\pi, \pi]$ મળે.
આમ,$y \in [-\pi, \pi]$ થાય.

(C) ધારો કે $u = \sqrt{x^2+x}$. પ્રદેશ માટે $x^2+x \ge 0$ અને $0 \le x^2+x+1 \le 1$ હોવું જરૂરી છે.
$x^2+x+1 \le 1$ હોવાથી $x^2+x \le 0$ મળે.
$x^2+x \ge 0$ અને $x^2+x \le 0$ ને જોડતા,આપણને $x^2+x = 0$ મળે છે.
જો $x^2+x = 0$ હોય,તો $u = 0$ થાય.
સમીકરણ $\tan^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$ બને છે.
આ ઉકેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$x^2+x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$,જે $x = 0$ અથવા $x = -1$ આપે છે.
બંને કિંમતો માન્ય છે.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(B) નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} \cos^2\theta & -\sin^2\theta \\ \sin^2\theta & \cos^2\theta \end{vmatrix} = (\cos^2\theta)(\cos^2\theta) - (-\sin^2\theta)(\sin^2\theta) = \cos^4\theta + \sin^4\theta$.
નિત્યસમ $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^4\theta + \sin^4\theta = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$,તેથી $\sin^2 2\theta = 4\sin^2\theta\cos^2\theta$,એટલે કે $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$.
આમ,પદ $1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$ બને છે.
હવે,$\sin^2 2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \frac{1}{2}(\frac{1 - \cos 4\theta}{2}) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4\theta = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4\theta = \frac{1}{4}(3 + \cos 4\theta)$.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો મૂળભૂત ગુણધર્મ $(\text{adj} A) \cdot A = |A|I$ છે,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|(\text{adj} A) \cdot A| = ||A|I|$ મળે છે.
અહીં $|A|$ એ અદિશ હોવાથી,આપણે $|kA| = k^n|A|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n = 3$ છે,તેથી $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 |I|$.
એકમ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|I| = 1$ હોવાથી,આપણને $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$ મળે છે.

(A) સંમિત શ્રેણિક માટે,$A^T = A$,જેનો અર્થ છે કે તમામ $i, j$ માટે $A_{ij} = A_{ji}$.
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$A_{12} = A_{21} \Rightarrow x^2 + 3x = -2x - 6$
$x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ અથવા $x = -3$.
$A_{23} = A_{32} \Rightarrow -4x - 2 = x^2 + 2$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
બંને શરતો એકસાથે સંતોષાવી જોઈએ,તેથી સામાન્ય કિંમત $x = -2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $A^2 = I$,તેથી $A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$ થાય.
હવે,$(A+I)^3 = A^3 + 3A^2I + 3AI^2 + I^3 = A + 3I + 3A + I = 4A + 4I$ નું વિસ્તરણ કરો.
ત્યારબાદ,$(A-I)^3 = A^3 - 3A^2I + 3AI^2 - I^3 = A - 3I + 3A - I = 4A - 4I$ નું વિસ્તરણ કરો.
અંતે,બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $(4A+4I) + (4A-4I) = 8A$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 2 + 3 \times 4) & (2 \times 3 + 3 \times 5) \\ (4 \times 2 + 5 \times 4) & (4 \times 3 + 5 \times 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 21 \\ 28 & 37 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
હવે,$A^2 - 2I = \begin{bmatrix} 16 & 21 \\ 28 & 37 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 21 \\ 28 & 35 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
આપણે પરિણામી શ્રેણિકમાંથી $7$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ: $\begin{bmatrix} 14 & 21 \\ 28 & 35 \end{bmatrix} = 7 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = 7A$.
આને $A^2 - 2I = KA$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 7$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = 5^{\log x}$.
$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $y = x^{\log 5}$ લખી શકીએ છીએ.
હવે,ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = (\log 5) x^{\log 5 - 1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y = 5^{\log x}$ માટે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 5^{\log x} \cdot \ln 5 \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 5^{\log x} \cdot \ln 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5^{\log x} \ln 5}{x}$.
અહીં $\ln 5$ એ $\log_e 5$ ને સમાન હોવાથી,સાચો જવાબ $\frac{5^{\log x} \ln 5}{x}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = a \cos \theta$ અને $y = a \sin \theta$.
સૌ પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
હવે,સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{dy}{dx}$ નું વિકલન કરો:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \theta) = \frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
કારણ કે $\frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) = \csc^2 \theta$ અને $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{-a \sin \theta}$,તેથી:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (\csc^2 \theta) \cdot \left( \frac{1}{-a \sin \theta} \right) = -\frac{1}{a} \csc^3 \theta$.

(C) સૌ પ્રથમ,અંશના માપને રેડિયનમાં ફેરવો: $x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}$.
આપણે નિત્યસમ $\cos(30^{\circ} + x^{\circ}) = \sin(90^{\circ} - (30^{\circ} + x^{\circ})) = \sin(60^{\circ} - x^{\circ})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A = 60^{\circ} - x^{\circ}$. પદાવલિ $3 \sin A - 4 \sin^3 A$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $3 \sin A - 4 \sin^3 A = \sin(3A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin(3(60^{\circ} - x^{\circ})) = \sin(180^{\circ} - 3x^{\circ}) = \sin(3x^{\circ})$ મળે છે.
હવે,આને રેડિયનના સંદર્ભમાં દર્શાવો: $f(x) = \sin(3 \cdot \frac{\pi x}{180}) = \sin(\frac{\pi x}{60})$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx} [\sin(\frac{\pi x}{60})] = \cos(\frac{\pi x}{60}) \cdot \frac{\pi}{60} = \frac{\pi}{60} \cos(3x^{\circ})$.

(B) $f(x)$ એ $x=2$ આગળ સતત હોવા માટે,શરત $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = k$ સંતોષાવી જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે અંશ $x^3+x^2-16x+20$ ના અવયવો પાડીએ. $x=2$ એ તેનું શૂન્ય છે (કારણ કે $2^3+2^2-16(2)+20 = 8+4-32+20 = 0$),તેથી આપણે $(x-2)$ વડે ભાગાકાર કરીએ:
$x^3+x^2-16x+20 = (x-2)(x^2+3x-10)$.
દ્વિઘાત પદના વધુ અવયવો પાડતા:
$(x^2+3x-10) = (x-2)(x+5)$.
તેથી,$x^3+x^2-16x+20 = (x-2)^2(x+5)$.
$x \neq 2$ માટે,$f(x) = \frac{(x-2)^2(x+5)}{(x-2)^2} = x+5$.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરતા: $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+5) = 2+5 = 7$.
વિધેય $x=2$ આગળ સતત હોવાથી,$k = 7$ મળે.

(A) સીમાંત ખર્ચ વિધેય $MC$ એ ખર્ચ વિધેય $C(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે.
$MC = \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}(0.05x^3 - 0.2x^2 + 3x + 500)$.
ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને $MC = 0.15x^2 - 0.4x + 3$ મળે છે.
$x = 3$ આગળ સીમાંત ખર્ચ શોધવા માટે,આપણે $MC$ વિધેયમાં $x = 3$ મૂકીએ છીએ:
$MC(3) = 0.15(3)^2 - 0.4(3) + 3$.
$MC(3) = 0.15(9) - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 1.35 - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 0.15 + 3 = 3.15$.
આમ,$x = 3$ આગળ સીમાંત ખર્ચ $3.15$ રૂપિયા છે.

(A) કોઈ વિધેય $f(x)$ કોઈ અંતરાલ પર ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોય જો તેનું વિકલિત $f'(x) < 0$ હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = \tan x - 4x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = \sec^2 x - 4$ મળે છે.
વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોવા માટે,આપણે $f'(x) < 0$ ની જરૂર છે.
$\sec^2 x - 4 < 0$
$\sec^2 x < 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\sec x| < 2$ મળે છે.
કારણ કે $|\sec x| = 1/|\cos x|$,આનો અર્થ એ થાય કે $1/|\cos x| < 2$,જેનો અર્થ છે કે $|\cos x| > 1/2$.
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$ હોય.

(A) અંતરાલ $[0, 9]$ પર વિધેય $f(x) = x^3 - 18x^2 + 96x$ ની નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = 3x^2 - 36x + 96$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$3(x^2 - 12x + 32) = 0$
$3(x - 4)(x - 8) = 0$
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 4$ અને $x = 8$ છે.
હવે,આપણે ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને અંતરાલ $[0, 9]$ ના અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેય $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(0) = 0^3 - 18(0)^2 + 96(0) = 0$
$f(4) = 4^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 288 + 384 = 160$
$f(8) = 8^3 - 18(8)^2 + 96(8) = 512 - 1152 + 768 = 128$
$f(9) = 9^3 - 18(9)^2 + 96(9) = 729 - 1458 + 864 = 135$
આ કિંમતો $(0, 160, 128, 135)$ ની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{3e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} dx$.
અંશને $A(4e^x - 5e^{-x}) + B(4e^x + 5e^{-x})$ તરીકે દર્શાવીએ,જ્યાં $4e^x - 5e^{-x}$ એ છેદ $4e^x + 5e^{-x}$ નું વિકલન છે.
$e^x$ અને $e^{-x}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$4A + 4B = 3$
$-5A + 5B = -5$
બીજા સમીકરણ પરથી,$-A + B = -1$,તેથી $B = A - 1$.
પ્રથમ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $4A + 4(A - 1) = 3 \implies 8A - 4 = 3 \implies 8A = 7 \implies A = 7/8$.
તેથી $B = 7/8 - 1 = -1/8$.
આમ,$I = \int \frac{7/8(4e^x - 5e^{-x}) - 1/8(4e^x + 5e^{-x})}{4e^x + 5e^{-x}} dx$.
$I = 7/8 \int \frac{4e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} dx - 1/8 \int 1 dx$.
$I = 7/8 \log |4e^x + 5e^{-x}| - 1/8 x + C$.
$px + q \log |4e^x + 5e^{-x}| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = -1/8$ અને $q = 7/8$ મળે છે.

(C) ધારો કે $u = \tan^{-1} x$. તેથી $x = \tan u$ અને $dx = \sec^2 u \, du = (1+x^2) \, du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^u \left( \frac{1+x+x^2}{1+x^2} \right) (1+x^2) \, du = \int e^u (1+x+x^2) \, du$.
કારણ કે $x = \tan u$,તેથી $1+x^2 = \sec^2 u$.
આમ,$I = \int e^u (1 + \tan u + \tan^2 u) \, du = \int e^u (\sec^2 u + \tan u) \, du$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{du}(\tan u) = \sec^2 u$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^u (f(u) + f'(u)) \, du = e^u f(u) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(u) = \tan u$ અને $f'(u) = \sec^2 u$,આપણને મળે છે:
$I = e^u \tan u + C = e^{\tan^{-1} x} \cdot x + C$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ અને $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt{1+\sin 2x} = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|$.
અહીં $x \in [0, \pi/4]$ હોવાથી,$\sin x$ અને $\cos x$ બંને અ-ઋણ છે,તેથી $|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x$ થાય.
હવે,સંકલન $\int_{0}^{\pi/4} (\sin x + \cos x) dx$ બને છે.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને $[-\cos x + \sin x]_0^{\pi/4}$ મળે છે.
સીમાઓ મૂકતા: $(-\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)) - (-\cos(0) + \sin(0))$.
$= (-1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) - (-1 + 0) = 0 - (-1) = 1$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sqrt{4x-9x^2}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળમાંથી $9$ સામાન્ય કાઢતા:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{9(\frac{4}{9}x - x^2)}} = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{4}{9}x - x^2}}$.
હવે,વર્ગમૂળની અંદરની દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4}{9}x - x^2 = -(x^2 - \frac{4}{9}x) = -((x - \frac{2}{9})^2 - (\frac{2}{9})^2) = (\frac{2}{9})^2 - (x - \frac{2}{9})^2$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{2}{9})^2 - (x - \frac{2}{9})^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{3} \sin^{-1}\left( \frac{x - 2/9}{2/9} \right) + C = \frac{1}{3} \sin^{-1}\left( \frac{9x - 2}{2} \right) + C$.

(B) ખંડશઃ સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = \tan^{-1} x$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ અને $v = x$ મળે.
સંકલન $x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$ બને છે.
$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ ઉકેલવા માટે,$t = 1+x^2$ લેતા,$dt = 2x \, dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
આમ,$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log(1+x^2)$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$ મળે છે.
આને $Ax \tan^{-1} x + B \log(1+x^2) + C$ સાથે સરખાવતા,$A = 1$ અને $B = -1/2$ મળે છે.
તેથી,$A + B = 1 - 1/2 = 1/2$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે કારણ કે ક્ષેત્રફળ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| \, dx$.
$|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $A = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi/2}$.
$A = 2 [-\cos(\pi/2) - (-\cos(0))]$.
$A = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્ર $x^2 = 4y$ છે, જેનો અર્થ છે કે $x = \pm 2\sqrt{y}$.
આ પ્રદેશ પરવલય અને રેખા $y = 3$ દ્વારા બંધાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધીના $y$ ની સાપેક્ષમાં પરવલયની પહોળાઈના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{3} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy = \int_{0}^{3} (2\sqrt{y} - (-2\sqrt{y})) \, dy = \int_{0}^{3} 4\sqrt{y} \, dy$.
$A = 4 \int_{0}^{3} y^{1/2} \, dy = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{0}^{3}$.
$A = \frac{8}{3} (3^{3/2}) = \frac{8}{3} (3\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$.
જો પ્રથમ ચરણનું ક્ષેત્રફળ લેવામાં આવે તો તે $4\sqrt{3}$ થાય.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેય $y = x^3$ ના માનાંકનું $x = -1$ થી $x = 2$ સુધીનું સંકલન છે.
$A = \int_{-1}^{2} |x^3| dx$
અહીં $x \in [-1, 0]$ માટે $x^3 \le 0$ અને $x \in [0, 2]$ માટે $x^3 \ge 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
$A = \int_{-1}^{0} (-x^3) dx + \int_{0}^{2} x^3 dx$
$A = [-\frac{x^4}{4}]_{-1}^{0} + [\frac{x^4}{4}]_{0}^{2}$
$A = (0 - (- \frac{(-1)^4}{4})) + (\frac{2^4}{4} - 0)$
$A = (0 - (-1/4)) + (16/4 - 0)$
$A = 1/4 + 4 = 17/4$.

(D) ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિકલ સમીકરણને તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવું જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ: $(1 + \frac{dy}{dx})^2 = (\frac{d^3y}{dx^3})^{1/3}$.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $3$ ઘાત લેતા: $((1 + \frac{dy}{dx})^2)^3 = ((\frac{d^3y}{dx^3})^{1/3})^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $(1 + \frac{dy}{dx})^6 = \frac{d^3y}{dx^3}$ મળે છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે,જેની કક્ષા (order) $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાતાંક હોય છે જ્યારે સમીકરણને તેના વિકલિતોની બહુપદી તરીકે લખવામાં આવે.
અહીં,$\frac{d^3y}{dx^3}$ ની ઘાત $1$ છે. તેથી,તેની ઘાત (degree) $1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ છે.
ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $e^y \, dy = e^x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int e^y \, dy = \int e^x \, dx$.
આનાથી $e^y = e^x + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $e^x - e^y = -C$ મળે છે,જેને $e^x - e^y = c$ તરીકે લખી શકાય છે (જ્યાં $c = -C$ એ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે).

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ છે.
આ સમીકરણને $x$ વડે ભાગતા તે સુરેખ વિકલ સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં ફેરવાય છે:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
અહીં,$P(x) = \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધવાનું સૂત્ર $IF = e^{\int P(x) dx}$ છે.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log |x|} = e^{\log |x^2|} = x^2$ (કારણ કે $x \neq 0$ માટે $x^2 > 0$ થાય).

(C) આપણે એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ:
$\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$
$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\hat{i} \cdot (-\hat{i}) + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot (\hat{k})$
ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,અને $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -(\hat{i} \cdot \hat{i}) - (\hat{j} \cdot \hat{j}) + (\hat{k} \cdot \hat{k})$
$= -1 - 1 + 1 = -1$.

(A) $(\vec{a} + \vec{b})$ અને $(\vec{a} - \vec{b})$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $\vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b} = 0 - (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{b}) - 0 = -2(\vec{a} \times \vec{b})$.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ શોધો.
તેથી,બંનેને લંબ સદિશ $-2(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{24}} = \pm \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}$ થશે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(C) શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ આપેલ છે:
$\vec{A} = -\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{B} = \hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{C} = \hat{i} - 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{D} = -\hat{i} - 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
બાજુ $AB$ ની લંબાઈ સદિશ $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ ના માન દ્વારા મળે છે:
$\vec{AB} = (\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) - (-\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) = 2\hat{i}$
$|AB| = |2\hat{i}| = 2$ એકમ.
બાજુ $BC$ ની લંબાઈ સદિશ $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}$ ના માન દ્વારા મળે છે:
$\vec{BC} = (\hat{i} - 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) - (\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) = -1\hat{j}$
$|BC| = |-1\hat{j}| = 1$ એકમ.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની પાસપાસેની બાજુઓના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = |AB| \times |BC| = 2 \times 1 = 2$ ચોરસ એકમ.