GUJCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સબનોર્મલની લંબાઈનું સૂત્ર $L = |y \frac{dy}{dx}|$ છે.
આપેલ છે કે સબનોર્મલની લંબાઈ અચળ છે,ધારો કે $L = k$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
તેથી,$|y \frac{dy}{dx}| = k$.
ધારો કે $y > 0$,તો $y \frac{dy}{dx} = k$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int y \, dy = \int k \, dx$.
આનાથી $\frac{y^2}{2} = kx + C$ મળે છે.
સરળતા માટે,$C = 0$ લેતા,$y^2 = 2kx$ મળે.
આ પરવલયનું સમીકરણ છે.
પરવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = 1$ છે.

(B) વિધેય $f: N \rightarrow N$ માટે પ્રતિવિધેય $f^{-1}$ નું અસ્તિત્વ ત્યારે જ હોય જો વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોય.
અહીં $f(x) = x + 3$ આપેલ છે,જ્યાં $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ જેટલો હોવો જોઈએ.
$x \in N$ માટે $f(x) = x + 3$ નો વિસ્તાર $\{4, 5, 6, \dots \}$ છે.
સહપ્રદેશ $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \}$ છે.
અહીં વિસ્તાર $\{4, 5, 6, \dots \} \neq N$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f^{-1}(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(C) વિધેય $f(x) = x^2 + 3x + 4$ એક-એક છે કે વ્યાપ્ત તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેના ગુણધર્મોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. એક-એક ચકાસણી: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 + 3x_1 + 4 = x_2^2 + 3x_2 + 4$. આનું સાદું રૂપ $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 3) = 0$ થાય છે. અહીં $x_1 = - (x_2 + 3)$ શક્ય હોવાથી,વિધેય અનેક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: દ્વિઘાત વિધેય $f(x) = x^2 + 3x + 4$ નો વિસ્તાર $[-\frac{D}{4a}, \infty)$ છે. અહીં $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$. તેથી,વિસ્તાર $[-\frac{-7}{4}, \infty) = [1.75, \infty)$ છે. વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $R$ જેટલો ન હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય અનેક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(D) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+x & 1 & 1 \\ 1+y & 1+2 y & 1 \\ 1+z & 1+z & 1+3 z\end{array}\right|$.
$C_1 \to C_1 - C_3$ અને $C_2 \to C_2 - C_3$ લેતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 0 & 1 \\ y & 2y & 1 \\ -2z & -2z & 1+3z\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = x[2y(1+3z) - (-2z)] - 0 + 1[-2yz - (-4yz)]$
$\Delta = x(2y + 6yz + 2z) + 2yz = 2xy + 6xyz + 2xz + 2yz$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$k=1$ મળે છે.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $D$ છે.
નિત્યસમ $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 - C_2$ લાગુ કરીએ:
$D = \left|\begin{array}{lll} (a^x+a^{-x})^2 - (a^x-a^{-x})^2 & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ (b^x+b^{-x})^2 - (b^x-b^{-x})^2 & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ (c^x+c^{-x})^2 - (c^x-c^{-x})^2 & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$
$D = \left|\begin{array}{lll} 4(a^x)(a^{-x}) & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ 4(b^x)(b^{-x}) & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ 4(c^x)(c^{-x}) & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} 4 & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$
અહીં બે સ્તંભો ($C_1$ અને $C_3$) પ્રમાણસર હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $D = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે $D = 2y + 6$,તેથી $0 = 2y + 6$.
$2y = -6 \implies y = -3$.

(A) ધારો કે $D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
અહીં બે હાર ($R_2$ અને $R_3$) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
આપેલ છે કે $D = 2016 k$,તેથી $0 = 2016 k$.
આમ,$k = 0$.

(B) નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{cc}\sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta \\ -\cos ^2 \theta & \sin ^2 \theta\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $2 \times 2$ નિશ્ચાયકનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sin^2 \theta)(\sin^2 \theta) - (\cos^2 \theta)(-\cos^2 \theta)$
$= \sin^4 \theta + \cos^4 \theta$.
નિત્યસમ $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,આ પદ બને છે:
$1^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}(4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) = 1 - \frac{1}{2}(2 \sin \theta \cos \theta)^2$.
દ્વિગુણિત ખૂણાના નિત્યસમ $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2 \theta$.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A_r = \begin{bmatrix} r & r-1 \\ r-1 & r \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A_r|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A_r| = (r)(r) - (r-1)(r-1) = r^2 - (r^2 - 2r + 1) = 2r - 1$.
આપણે સરવાળો $\sum_{r=1}^{109} |A_r| = \sum_{r=1}^{109} (2r - 1)$ શોધવાનો છે.
આ પ્રથમ $109$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જેનું સૂત્ર $n^2$ છે જ્યાં $n = 109$.
તેથી,$\sum_{r=1}^{109} (2r - 1) = 109^2$.
જો પ્રશ્નમાં સરવાળાની મર્યાદા $100$ હોય,તો $100^2 = 10^4 = (\sqrt{10})^8$ અથવા $100^2 = 10000 = 10^4$,તેથી $k=4$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \times A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & \alpha \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ ની બીજી હાર અને $A^{-1}$ ના ત્રીજા સ્તંભનો ગુણાકાર એકમ શ્રેણિકના $(2, 3)$ સ્થાન પરના ઘટક જેટલો એટલે કે $0$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{1}{5} [ (2 \times 2) + (1 \times \alpha) + (2 \times -3) ] = 0$.
$4 + \alpha - 6 = 0$.
$\alpha - 2 = 0$.
$\alpha = 2$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{1000}$ છે.
આ $1001$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = x$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $f(x) = \frac{x^{1001} - 1}{x - 1}$ થાય,જ્યાં $x \neq 1$.
$f^{\prime}(x)$ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ: $\left( \frac{u}{v} \right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$.
અહીં $u = x^{1001} - 1$ અને $v = x - 1$ છે,તેથી $u^{\prime} = 1001x^{1000}$ અને $v^{\prime} = 1$ થાય.
$f^{\prime}(x) = \frac{(1001x^{1000})(x - 1) - (x^{1001} - 1)(1)}{(x - 1)^2}$.
હવે,$x = -1$ મૂકતા:
$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001(-1)^{1000})(-1 - 1) - ((-1)^{1001} - 1)}{(-1 - 1)^2}$.
$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001 \times 1)(-2) - (-1 - 1)}{(-2)^2}$.
$f^{\prime}(-1) = \frac{-2002 - (-2)}{4} = \frac{-2002 + 2}{4} = \frac{-2000}{4} = -500$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$ છે.
આપેલ પદાવલિ $E = 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)-4 \cos ^3\left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)$ છે.
આને $E = - (4 \cos ^3\left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right) - 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right))$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$E = - \cos \left(3 \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)\right) = - \cos \left(\frac{\pi}{2} + 3x^{\circ}\right)$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin(\theta)$,તેથી $E = -(-\sin(3x^{\circ})) = \sin(3x^{\circ})$.
હવે,આપણે $E$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવાનું છે.
પ્રથમ,$x^{\circ}$ ને રેડિયનમાં ફેરવો: $x^{\circ} = x \times \frac{\pi}{180}$ રેડિયન.
તેથી,$E = \sin\left(3 \times \frac{\pi x}{180}\right) = \sin\left(\frac{\pi x}{60}\right)$.
હવે,$\frac{d}{dx} \sin\left(\frac{\pi x}{60}\right) = \cos\left(\frac{\pi x}{60}\right) \times \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{60}\right) = \frac{\pi}{60} \cos\left(\frac{\pi x}{60}\right)$.
પાછા અંશમાં ફેરવતા,$\frac{\pi x}{60} = 3x^{\circ}$.
આમ,વિકલન $\frac{\pi}{60} \cos(3x^{\circ})$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{\log_x e}$ છે.
ગુણધર્મ $\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ નો ઉપયોગ કરતા,વિધેયને આ રીતે લખી શકાય:
$f(x) = x \cdot \ln x$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે જાણવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે:
$\ln x + 1 > 0$
$\ln x > -1$
$x > e^{-1}$
$x > \frac{1}{e}$.
વિધેયનો પ્રદેશ $x \in \mathbb{R}^+ - \{1\}$ હોવાથી,વિધેય $(\frac{1}{e}, 1) \cup (1, \infty)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ સંકલન $ I = \int_{1}^{3} \left(\frac{x^{2}+1}{4x}\right)^{-1} dx $ છે.
સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા,$ I = \int_{1}^{3} \frac{4x}{x^{2}+1} dx $ મળે.
ધારો કે $ u = x^{2}+1 $,તેથી $ du = 2x dx $,જેનો અર્થ છે કે $ 2 du = 4x dx $.
જ્યારે $ x = 1 $,ત્યારે $ u = 1^{2}+1 = 2 $.
જ્યારે $ x = 3 $,ત્યારે $ u = 3^{2}+1 = 10 $.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$ I = \int_{2}^{10} \frac{2}{u} du $ મળે.
$ I = 2 [\ln |u|]_{2}^{10} $.
$ I = 2 (\ln 10 - \ln 2) $.
$ I = 2 \ln \left(\frac{10}{2}\right) = 2 \ln 5 $.
ગુણધર્મ $ n \ln a = \ln(a^{n}) $ નો ઉપયોગ કરતા,$ I = \ln(5^{2}) = \ln 25 $ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $ C $ છે.

(A) સંકલન $I = \int \frac{\sin x}{\sin (x-\alpha)} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે $u = x - \alpha$ ધારીએ,તેથી $x = u + \alpha$ અને $dx = du$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sin (u + \alpha)}{\sin u} du$
નિત્યસમ $\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin u \cos \alpha + \cos u \sin \alpha}{\sin u} du$
$I = \int (\cos \alpha + \cot u \sin \alpha) du$
$I = \cos \alpha \int du + \sin \alpha \int \cot u du$
$I = u \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin u| + c$
$u = x - \alpha$ પાછા મૂકતા:
$I = (x - \alpha) \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin (x - \alpha)| + c$
$I = x \cos \alpha - \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin (x - \alpha)| + c$
આને આપેલ સ્વરૂપ $px - q \log |\sin (x - \alpha)| + c$ સાથે સરખાવતા:
$p = \cos \alpha$
$-q = \sin \alpha \implies q = -\sin \alpha$
તેથી,$pq = (\cos \alpha)(-\sin \alpha) = -\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{2} (2 \sin \alpha \cos \alpha) = -\frac{1}{2} \sin 2\alpha$.

(A) સંકલન $I = \int e^{\sqrt{x}} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $\sqrt{x} = t$. તેથી $x = t^2$,જેનો અર્થ છે કે $dx = 2t \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^t (2t) \, dt = 2 \int t e^t \, dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
ધારો કે $u = t$ અને $dv = e^t \, dt$. તેથી $du = dt$ અને $v = e^t$.
$I = 2 [t e^t - \int e^t \, dt] = 2 [t e^t - e^t] + c = 2 e^t (t - 1) + c$.
$t = \sqrt{x}$ પાછા મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = 2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = \pi$ સુધી વિધેય $y = \sin 2x$ ના માનાંકનું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{\pi} |\sin 2x| \, dx$
કારણ કે $\sin 2x$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} -\sin 2x \, dx$
પ્રથમ ભાગની ગણતરી:
$\int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \, dx = [-\frac{\cos 2x}{2}]_{0}^{\pi/2} = -\frac{1}{2}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1$
બીજા ભાગની ગણતરી:
$\int_{\pi/2}^{\pi} -\sin 2x \, dx = [\frac{\cos 2x}{2}]_{\pi/2}^{\pi} = \frac{1}{2}(\cos 2\pi - \cos \pi) = \frac{1}{2}(1 - (-1)) = 1$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 1 + 1 = 2$ ચોરસ એકમ.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^2 + 3y^2 = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1/3} = 1$.
અહીં,$a^2 = \frac{1}{2}$ અને $b^2 = \frac{1}{3}$ છે,તેથી $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $b = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $A = \pi \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{6}}$ ચોરસ એકમ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = a_1(a_2 + a_3) \cdot \cos(x + a_4) - a_5 e^{x + a_6}$ છે.
ધારો કે $C_1 = a_1(a_2 + a_3)$,$C_2 = a_4$,$C_3 = a_5$,અને $C_4 = a_6$.
તેથી સમીકરણને $y = C_1 \cos(x + C_2) - C_3 e^{x + C_4}$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(x + C_2) = \cos x \cos C_2 - \sin x \sin C_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = C_1(\cos x \cos C_2 - \sin x \sin C_2) - C_3 e^{x + C_4}$.
$y = (C_1 \cos C_2) \cos x - (C_1 \sin C_2) \sin x - (C_3 e^{C_4}) e^x$.
ધારો કે $A = C_1 \cos C_2$,$B = -C_1 \sin C_2$,અને $D = -C_3 e^{C_4}$.
આમ,સમીકરણ $y = A \cos x + B \sin x + D e^x$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો $(A, B, D)$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $3$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખવા માટે $(1+x)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$.
અહીં,$P(x) = -\frac{x}{1+x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $e^{\int P(x) dx}$ છે:
$IF = e^{\int -\frac{x}{1+x} dx} = e^{-\int \frac{x+1-1}{1+x} dx} = e^{-\int (1 - \frac{1}{1+x}) dx}$.
$IF = e^{-(x - \ln|1+x|)} = e^{-x + \ln|1+x|} = e^{-x} \cdot e^{\ln|1+x|}$.
કારણ કે $e^{\ln|1+x|} = 1+x$,તેથી $IF = (1+x)e^{-x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{x}| = 1$,$|\vec{y}| = 1$,અને $|\vec{x} + \vec{y}| = 1$.
$|\vec{x} + \vec{y}| = 1$ સમીકરણનો વર્ગ કરતા,આપણને $|\vec{x} + \vec{y}|^2 = 1^2$ મળે છે.
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 1$ મળે છે.
$2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = -1$,તેથી $\vec{x} \cdot \vec{y} = -\frac{1}{2}$.
હવે,આપણે $|\vec{x} - \vec{y}|$ શોધવાનું છે.
$|\vec{x} - \vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $|\vec{x} - \vec{y}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$|\vec{x} - \vec{y}| = \sqrt{3}$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપેલી દિશાઓમાં એકમ સદિશો શોધો:
ધારો કે $\vec{a} = (2, -2, 1)$. તેનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{1}{3}(2, -2, 1)$ છે.
$\vec{x}$ નું મૂલ્ય $6$ હોવાથી,$\vec{x} = 6 \hat{a} = 2(2, -2, 1) = (4, -4, 2)$.
ધારો કે $\vec{b} = (1, 1, -1)$. તેનું મૂલ્ય $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$ છે.
$\vec{y}$ નું મૂલ્ય $\sqrt{3}$ હોવાથી,$\vec{y} = \sqrt{3} \hat{b} = (1, 1, -1)$.
હવે,$\vec{x} + 2\vec{y}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{x} + 2\vec{y} = (4, -4, 2) + 2(1, 1, -1) = (4+2, -4+2, 2-2) = (6, -2, 0)$.
છેલ્લે,મૂલ્ય $|\vec{x} + 2\vec{y}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 4 + 0} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ મળે છે.

(A) પાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{a} = (2, -2, 1)$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આપેલ છે કે $\vec{b} = 2|\vec{a}|$,તેથી $|\vec{b}| = 2 \times 3 = 6$.
બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ છે.
હવે,આ કિંમતોને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકો:
$\text{Area} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \times 6 \times \frac{1}{2} = 18 \times \frac{1}{2} = 9$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $9$ ચોરસ એકમ છે.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 60x + 10y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $(10, 0)$ પર: $Z = 60(10) + 10(0) = 600 + 0 = 600$
$2$. $(2, 4)$ પર: $Z = 60(2) + 10(4) = 120 + 40 = 160$
$3$. $(1, 5)$ પર: $Z = 60(1) + 10(5) = 60 + 50 = 110$
$4$. $(0, 8)$ પર: $Z = 60(0) + 10(8) = 0 + 80 = 80$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $600$ મળે છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 6$ અને વિચરણ $npq = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 6$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 6$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 12$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{12}{k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{12-k} = \binom{12}{k} (\frac{1}{2})^{12}$ છે.
આપણે $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X = 0) = \binom{12}{0} (\frac{1}{2})^{12} = 1 \times \frac{1}{4096} = \frac{1}{4096}$.
$P(X = 1) = \binom{12}{1} (\frac{1}{2})^{12} = 12 \times \frac{1}{4096} = \frac{12}{4096}$.
તેથી,$P(X < 2) = \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096}$.

(A) આપેલ છે કે $6 P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{1}{6}$.
આપેલ છે કે $8 P(B) = 1 \implies P(B) = \frac{1}{8}$.
આપેલ છે કે $14 P(A \cap B) = 1 \implies P(A \cap B) = \frac{1}{14}$.
આપણે $P(A' \mid B)$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(A' \mid B) = \frac{P(A' \cap B)}{P(B)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A' \cap B) = \frac{1}{8} - \frac{1}{14} = \frac{7 - 4}{56} = \frac{3}{56}$.
હવે,$P(A' \mid B) = \frac{3/56}{1/8} = \frac{3}{56} \times 8 = \frac{3}{7}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.