GUJCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ગણ $A = \{3, 4, 5\}$ પરના સંબંધ $S$ ને સ્વવાચક થવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in S$ હોવું જરૂરી છે. અહીં,$(5, 5) \notin S$ હોવાથી,તે સ્વવાચક નથી.
$S$ ને સંમિત થવા માટે,જો $(a, b) \in S$ હોય,તો $(b, a) \in S$ હોવું જોઈએ. અહીં $(3, 3)$ અને $(4, 4)$ એ $S$ માં છે,અને તેમના ઉલટા પણ $S$ માં છે. તેથી,તે સંમિત છે.
$S$ ને પરંપરિત થવા માટે,જો $(a, b) \in S$ અને $(b, c) \in S$ હોય,તો $(a, c) \in S$ હોવું જોઈએ. $(3, 3)$ અને $(3, 3)$ માટે,$(3, 3) \in S$. તેવી જ રીતે $(4, 4)$ માટે. તેથી,તે પરંપરિત છે.
આમ,આ સંબંધ સંમિત અને પરંપરિત છે પણ સ્વવાચક નથી.

(C) વિધેય $f: N \rightarrow Z$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનું નિરૂપણ જોઈએ:
$1$. એક-એક ચકાસણી:
જો $n$ યુગ્મ હોય,તો $f(n) = \frac{n}{2}$. $n \in \{2, 4, 6, \dots\}$ માટે,કિંમતો $f(2)=1, f(4)=2, f(6)=3, \dots$ મળે છે,જે ધન પૂર્ણાંકોના ગણ $\{1, 2, 3, \dots\}$ પર જાય છે.
જો $n$ અયુગ્મ હોય,તો $f(n) = -\left(\frac{n-1}{2}\right)$. $n \in \{1, 3, 5, \dots\}$ માટે,કિંમતો $f(1)=0, f(3)=-1, f(5)=-2, \dots$ મળે છે,જે અ-ધન પૂર્ણાંકોના ગણ $\{0, -1, -2, \dots\}$ પર જાય છે.
દરેક ભિન્ન ઇનપુટ $n \in N$ માટે $Z$ માં ભિન્ન આઉટપુટ મળે છે,તેથી વિધેય એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી:
કોઈપણ પૂર્ણાંક $y \in Z$ માટે,જો $y > 0$ હોય,તો આપણે $n = 2y$ (જે યુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$. જો $y \le 0$ હોય,તો આપણે $n = -2y + 1$ (જે અયુગ્મ છે) લઈ શકીએ,જેથી $f(-2y+1) = -\left(\frac{-2y+1-1}{2}\right) = -(-y) = y$. દરેક $y \in Z$ માટે $N$ માં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 \cos \left(2 \tan ^{-1} x\right)=1$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\cos \left(2 \tan ^{-1} x\right) = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$ ત્યારે થાય જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{3}$ હોય.
તેથી,$2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{3}$.
$2$ વડે ભાગતા,$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$x = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
ધારો કે $\sin^{-1} x = \theta$,તો $x = \sin \theta$. તેથી,$\cos(\sin^{-1} x) = \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$.
આથી,$\sin^{-1}(\cos(\sin^{-1} x)) = \sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
તે જ રીતે,ધારો કે $\cos^{-1} x = \phi$,તો $x = \cos \phi$. તેથી,$\sin(\cos^{-1} x) = \sin \phi = \sqrt{1 - \cos^2 \phi} = \sqrt{1 - x^2}$.
આથી,$\cos^{-1}(\sin(\cos^{-1} x)) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
હવે,પદાવલિ $\sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2}) + \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin^{-1} A + \cos^{-1} A = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \sqrt{1 - x^2}$,આપણને પરિણામ $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $x = \tan \theta$,જ્યાં $\theta = \tan^{-1} x$.
તેથી,$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta$.
પદાવલિ $\cot^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right)$ બને છે.
$= \cot^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right) = \cot^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right)$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$.
$= \cot^{-1}\left(\frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right) = \cot^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)$.
કારણ કે $\cot^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \alpha$,તેથી:
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$AB$ ની ગણતરી કરો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(x) + 1(0) & 1(y) + 1(x) \\ 0(x) + 1(0) & 0(y) + 1(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x+y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$BA$ ની ગણતરી કરો:
$BA = \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x(1) + y(0) & x(1) + y(1) \\ 0(1) + x(0) & 0(1) + x(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x+y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
આમ,$AB = BA$ હોવાથી,શ્રેણિક $B$ એ $\begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix}$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \\ 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \\ 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 27 & 27 \\ 27 & 27 & 27 \\ 27 & 27 & 27 \end{bmatrix} = 9A$.
હવે,$A^3 = A^2 \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^3 = (9A) \times A = 9(A^2) = 9(9A) = 81A$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x, y, z \in \mathbb{R}$ અને $x^4+y^4+z^4=0$.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓની બેકી ઘાતનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ વ્યક્તિગત રીતે શૂન્ય હોવું જોઈએ: $x^4=0, y^4=0, z^4=0$.
આનો અર્થ એ છે કે $x=0, y=0, z=0$.
હવે,નિશ્ચાયકમાં $x=0, y=0, z=0$ મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & (0)(0) & (0)(0) \\ (0)(0) & 1 & (0)(0) \\ (0)(0) & (0)(0) & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$.
એકમ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $1(1-0) - 0 + 0 = 1$ થાય છે.
આમ,કિંમત $1$ છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} S+c & a & b \\ c & S+a & b \\ c & a & S+b \end{array}\right|$.
પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} S+c+a+b & a & b \\ c+S+a+b & S+a & b \\ c+a+S+b & a & S+b \end{array}\right|$.
કારણ કે $a+b+c = S$,તેથી $S+c+a+b = S+S = 2S$.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2S & a & b \\ 2S & S+a & b \\ 2S & a & S+b \end{array}\right| = 2S \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & S+a & b \\ 1 & a & S+b \end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = 2S \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & S & 0 \\ 0 & 0 & S \end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2S \times [1(S \times S - 0 \times 0)] = 2S \times S^2 = 2S^3$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\log _{|x|} e = \frac{1}{\log _e |x|} = \frac{1}{\ln |x|}$.
ધારો કે $y = \frac{1}{\ln |x|}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\ln |x|)^{-1} = -1 \cdot (\ln |x|)^{-2} \cdot \frac{d}{d x}(\ln |x|)$.
કારણ કે $\frac{d}{d x}(\ln |x|) = \frac{1}{x}$,તેથી $\frac{d y}{d x} = -(\ln |x|)^{-2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{-1}{x(\ln |x|)^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x = at^2$ અને $y = 2at$.
સૌ પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dx}{dy}$ શોધો:
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt}$.
અહીં $\frac{dx}{dt} = 2at$ અને $\frac{dy}{dt} = 2a$ હોવાથી,
$\frac{dx}{dy} = \frac{2at}{2a} = t$.
હવે,$\frac{dx}{dy}$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 x}{dy^2} = \frac{d}{dy}(t) = \frac{d}{dt}(t) \times \frac{dt}{dy}$.
અહીં $\frac{dt}{dy} = \frac{1}{dy/dt} = \frac{1}{2a}$ હોવાથી,
$\frac{d^2 x}{dy^2} = 1 \times \frac{1}{2a} = \frac{1}{2a}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} \left( \frac{a-b}{1+ab} \right) = \tan^{-1} a - \tan^{-1} b$.
અહીં,$a = 1$ અને $b = x$ છે,તેથી $y = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x)$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $y = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} \right) - \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} x \right)$.
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{-1}{1+x^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = x + \sqrt{1 - x}$ ક્યાં ઘટે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}((1 - x)^{1/2}) = 1 + \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2}(-1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,આપણે $f'(x) < 0$ લઈએ.
$1 - \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} < 0 \implies 1 < \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
$0 < x < 1$ હોવાથી,$\sqrt{1 - x}$ ધન છે,તેથી આપણે અસમતાની નિશાની બદલ્યા વગર $2\sqrt{1 - x}$ વડે ગુણી શકીએ:
$2\sqrt{1 - x} < 1 \implies \sqrt{1 - x} < \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 - x < \frac{1}{4} \implies 1 - \frac{1}{4} < x \implies x > \frac{3}{4}$.
પ્રદેશ $0 < x < 1$ ને ધ્યાનમાં લેતા,વિધેય $\left(\frac{3}{4}, 1\right)$ અંતરાલમાં ઘટે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|x| + y = 1$ છે,જેને $y = 1 - |x|$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ સમીકરણ બે રેખાઓ દર્શાવે છે:
$1$) $x \ge 0$ માટે,$y = 1 - x$.
$2$) $x < 0$ માટે,$y = 1 - (-x) = 1 + x$.
આ પ્રદેશ આ રેખાઓ અને $x$-અક્ષ $(y = 0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 1)$,$(1, 0)$ અને $(-1, 0)$ છે.
આ એક ત્રિકોણ બનાવે છે જેનો પાયો $b = 1 - (-1) = 2$ અને ઊંચાઈ $h = 1$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ ચોરસ એકમ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2x \frac{dy}{dx} - y = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2x \frac{dy}{dx} = y$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$,જે $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$ આપે છે.
આને $\ln|y| = \ln|x^{1/2}| + C$ તરીકે લખી શકાય,તેથી $y = k \sqrt{x}$,જ્યાં $k = e^C$.
શરત $y(1) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 = k \sqrt{1}$ મળે,તેથી $k = 2$.
ઉકેલ $y = 2 \sqrt{x}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y^2 = 4x$.
આ સમીકરણ એક પરવલય દર્શાવે છે.

(A) સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વસ્તી $p$ માં થતો ફેરફારનો દર વસ્તીના પ્રમાણમાં હોય છે,જે વિકલ સમીકરણ $\frac{dp}{dt} = \frac{3}{100} p$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dp}{p} = \frac{3}{100} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{3}{100} dt$ મળે છે.
આનાથી $\ln(p) = \frac{3t}{100} + K$ મળે છે,જ્યાં $K$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$p = e^{\frac{3t}{100} + K} = e^K \cdot e^{\frac{3t}{100}}$ મળે છે.
$C = e^K$ લેતા,આપણને $p = C e^{\frac{3t}{100}}$ સમીકરણ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{y}{x}} = x$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\frac{y}{x} = \log x$ મળે છે.
આમ,$y = x \log x$.
જોકે,પ્રશ્નમાં $y(1) = 3$ આપેલ છે.
જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1$ હોય,તો તેનો ઉકેલ $y = x \log x + Cx$ થાય.
શરત $y(1) = 3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 = 1 \cdot \log(1) + C(1) \implies 3 = 0 + C \implies C = 3$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = x \log x + 3x$ છે.

(B) પ્રથમ રેખા $\vec{r} = (3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + t(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દિશા સદિશ $\vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને તે $P_1(3, 1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
બીજી રેખા $x = 4+k, y = -k, z = -4-2k$ છે,જેને $\vec{r} = (4\hat{i} - 4\hat{k}) + k(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})$ તરીકે લખી શકાય. દિશા સદિશ $\vec{b_2} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને તે $P_2(4, 0, -4)$ માંથી પસાર થાય છે.
$\vec{b_1} = \vec{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
તેઓ સંપાતી છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે જોઈએ કે $P_1$ બીજી રેખા પર છે કે નહીં. $P_1(3, 1, -2)$ ને બીજી રેખાના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$3 = 4+k \implies k = -1$
$1 = -k \implies k = -1$
$-2 = -4-2k \implies -2 = -4-2(-1) = -4+2 = -2$
બધા સમીકરણો માટે $k = -1$ સંતોષાય છે,તેથી બિંદુ $P_1$ બીજી રેખા પર છે. તેથી,રેખાઓ સંપાતી છે.