GUJCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે ગણ $A = \{\pi, \pi^2, \pi^3\}$ છે.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $a \in A$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(\pi, \pi) \in R$,$(\pi^2, \pi^2) \in R$,અને $(\pi^3, \pi^3) \in R$ છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $R$ સંમિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ. આપણી પાસે $(\pi, \pi^2) \in R$ છે,પરંતુ $(\pi^2, \pi) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ. આપણી પાસે $(\pi, \pi^2) \in R$ અને $(\pi^2, \pi^3) \in R$ છે. પરંપરિતતા માટે,$(\pi, \pi^3)$ એ $R$ માં હોવું જોઈએ. જોકે,$(\pi, \pi^3) \notin R$ છે. તેથી,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ સ્વવાચક છે પણ સંમિત કે પરંપરિત નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos \left(\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin ^{-1} x\right)=1$
બંને બાજુ $\cos ^{-1}$ લેતા:
$\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin ^{-1} x = \cos ^{-1}(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}(1) = 0$ અને $\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\pi}{6} + \sin ^{-1} x = 0$
$\sin ^{-1} x = -\frac{\pi}{6}$
$x = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$
કારણ કે $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$,તેથી:
$x = -\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
આમ,$x$ ની કિંમત $-\frac{1}{2}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{3}$ કારણ કે $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ કારણ કે $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$ કારણ કે $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
પદોને જોડતા:
$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}) + 2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 3 + 2}{2\sqrt{3}} = \frac{5+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપણે સરવાળો $S = \sum_{i=1}^3 \cot ^{-1} i = \cot ^{-1} 1 + \cot ^{-1} 2 + \cot ^{-1} 3$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$x > 0$ માટે નિત્યસમ $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $S = \tan ^{-1} 1 + \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{1}{3}$ મળે છે.
કારણ કે $\tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$,આપણે $\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left( \frac{1/2 + 1/3}{1 - (1/2)(1/3)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{5/6} \right) = \tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$ મેળવીએ છીએ.
આમ,$S = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
હવે,આપણે આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકીએ: $\cos ^{-1} \{ \cot (S) \} = \cos ^{-1} \{ \cot (\frac{\pi}{2}) \}$.
કારણ કે $\cot (\frac{\pi}{2}) = 0$,પદાવલિ $\cos ^{-1} (0)$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} (0) = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$: $(0)(0) + (0)(0) + (-5)(-5) = 25$,$(0)(0) + (0)(-5) + (-5)(0) = 0$,$(0)(-5) + (0)(0) + (-5)(0) = 0$.
હાર $2$: $(0)(0) + (-5)(0) + (0)(-5) = 0$,$(0)(0) + (-5)(-5) + (0)(0) = 25$,$(0)(-5) + (-5)(0) + (0)(0) = 0$.
હાર $3$: $(-5)(0) + (0)(0) + (0)(-5) = 0$,$(-5)(0) + (0)(-5) + (0)(0) = 0$,$(-5)(-5) + (0)(0) + (0)(0) = 25$.
આમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 25 & 0 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 25 \end{bmatrix} = 25 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 25 I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = [2]$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,ગુણાકાર $BA$ શોધો:
$BA = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [2] = \begin{bmatrix} 3 \times 2 \\ 4 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}$.
હવે,પરિવર્તિત શ્રેણિક $(BA)'$ શોધો:
$(BA)' = \begin{bmatrix} 6 & 8 \end{bmatrix}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,મૂળ પ્રશ્નમાં $A$ શ્રેણિકમાં ભૂલ જણાય છે. જો $A = [1 \quad 2]$ લેવામાં આવે,તો $BA = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [1 \quad 2] = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$.
તેથી $(BA)' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$,જે વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(k, 1)$,$B(2, 4)$ અને $C(1, 1)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $6$ ચોરસ એકમ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$6 = \frac{1}{2} |k(4 - 1) + 2(1 - 1) + 1(1 - 4)|$.
$12 = |3k + 0 - 3|$.
$12 = |3k - 3|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $3k - 3 = 12 \implies 3k = 15 \implies k = 5$.
કિસ્સો $2$: $3k - 3 = -12 \implies 3k = -9 \implies k = -3$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $5$ અને $-3$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $D = \sin \frac{11 \pi}{36} \cos \frac{2 \pi}{9} - \cos \frac{11 \pi}{36} \sin \frac{2 \pi}{9}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$A = \frac{11 \pi}{36}$ અને $B = \frac{2 \pi}{9}$ લો.
પ્રથમ,$B$ ને સમાન છેદમાં ફેરવતા: $B = \frac{2 \pi}{9} = \frac{8 \pi}{36}$.
હવે,$D = \sin \left( \frac{11 \pi}{36} - \frac{8 \pi}{36} \right) = \sin \left( \frac{3 \pi}{36} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{12} \right)$.
કારણ કે $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$,તેથી $\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{6 \pi - \pi}{12} \right) = \cos \frac{5 \pi}{12}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = \sqrt{\sin^{-1} x + y}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $y^2 = \sin^{-1} x + y$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x + y)$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(2y - 1) \sqrt{1 - x^2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = a \cos \theta$ અને $y = a \sin \theta$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \theta) = \frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
કારણ કે $\frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) = \operatorname{cosec}^2 \theta$ અને $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{-a \sin \theta}$.
તેથી,$\frac{d^2 y}{dx^2} = \operatorname{cosec}^2 \theta \cdot \left( -\frac{1}{a \sin \theta} \right) = -\frac{1}{a} \operatorname{cosec}^3 \theta$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^x + x^{x+1} + x^{x+2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$.
$x^{x+1}$ માટે,ધારો કે $y = x^{x+1}$,તો $\ln y = (x+1)\ln x$. બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+1}{x} = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$. તેથી,$\frac{d}{dx}(x^{x+1}) = x^{x+1}(\ln x + 1 + \frac{1}{x})$.
$x^{x+2}$ માટે,ધારો કે $y = x^{x+2}$,તો $\ln y = (x+2)\ln x$. બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+2}{x} = \ln x + 1 + \frac{2}{x}$. તેથી,$\frac{d}{dx}(x^{x+2}) = x^{x+2}(\ln x + 1 + \frac{2}{x})$.
હવે,$x=e$ પર કિંમત મૂકતા:
$\frac{d}{dx}(x^x)|_{x=e} = e^e(1 + \ln e) = e^e(1+1) = 2e^e$.
$\frac{d}{dx}(x^{x+1})|_{x=e} = e^{e+1}(\ln e + 1 + \frac{1}{e}) = e^{e+1}(2 + \frac{1}{e}) = 2e^{e+1} + e^e = e^e(2e+1)$.
$\frac{d}{dx}(x^{x+2})|_{x=e} = e^{e+2}(\ln e + 1 + \frac{2}{e}) = e^{e+2}(2 + \frac{2}{e}) = 2e^{e+2} + 2e^{e+1} = e^e(2e^2+2e)$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા: $e^e(2 + 2e + 1 + 2e^2 + 2e) = e^e(2e^2 + 4e + 3)$.

(C) અંતરાલ $I = \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ માં કયું વિધેય ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિધેયનું વિકલન તપાસીએ:
$A) f(x) = \tan 4x \implies f'(x) = 4 \sec^2 4x$. $x \in I$ માટે $\sec^2 4x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું છે.
$B) f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x$. $x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ માટે $\cos x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું છે.
$C) f(x) = \cos 4x \implies f'(x) = -4 \sin 4x$. $x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ માટે,$4x \in (0, \frac{\pi}{2})$ થાય. આ અંતરાલમાં,$\sin 4x > 0$ હોવાથી,$f'(x) = -4 \sin 4x < 0$ થાય. આમ,વિધેય ઘટતું છે.
$D) f(x) = -\cos x \implies f'(x) = \sin x$. $x \in I$ માટે $\sin x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનો વ્યાસ $D = 2r$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે વ્યાસની સાપેક્ષમાં ઘનફળના બદલાવનો દર શોધવાનો છે,જે $\frac{dV}{dD}$ છે.
$D = 2r$ હોવાથી,$r = \frac{D}{2}$ મળે.
ઘનફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{D^3}{8}) = \frac{1}{6} \pi D^3$.
હવે,$V$ નું $D$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dD} = \frac{d}{dD} (\frac{1}{6} \pi D^3) = \frac{1}{6} \pi (3D^2) = \frac{1}{2} \pi D^2$.
$D = 2r$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{dV}{dD} = \frac{1}{2} \pi (2r)^2 = \frac{1}{2} \pi (4r^2) = 2 \pi r^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણી પાસે સંકલન $I = \int_0^1 (0.001)^{\frac{x}{3}} e^x \, dx$ છે.
પ્રથમ,$(0.001)^{\frac{x}{3}}$ પદનું સાદું રૂપ આપો.
$0.001 = 10^{-3}$ હોવાથી,આપણને $(10^{-3})^{\frac{x}{3}} = 10^{-x} = \frac{1}{10^x}$ મળે છે.
આમ,સંકલન $I = \int_0^1 \frac{e^x}{10^x} \, dx = \int_0^1 \left(\frac{e}{10}\right)^x \, dx$ બને છે.
સૂત્ર $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \left[ \frac{(\frac{e}{10})^x}{\ln(\frac{e}{10})} \right]_0^1 = \frac{\frac{e}{10} - 1}{\ln e - \ln 10} = \frac{\frac{e-10}{10}}{1 - \ln 10}$.
તેથી,$I = \frac{e-10}{10(1-\ln 10)}$.
આ વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,આપણને મળે છે:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\cot^4 x} dx$.
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan^4 x}{1+\tan^4 x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\tan^4 x}{1+\tan^4 x} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{12}$.

(A) સંકલન $\int x^{2019} \cdot e^{x^{2020}} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $u = x^{2020}$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{du}{dx} = 2020 x^{2019}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $du = 2020 x^{2019} \, dx$,અથવા $x^{2019} \, dx = \frac{1}{2020} \, du$.
આ કિંમતોને મૂળ સંકલનમાં મૂકતા:
$\int e^u \cdot \frac{1}{2020} \, du = \frac{1}{2020} \int e^u \, du$.
$e^u$ નું સંકલન $e^u$ થાય છે,તેથી આપણને $\frac{1}{2020} e^u + C$ મળે છે.
અંતે,$u = x^{2020}$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2020} e^{x^{2020}} + C$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\tan x}{\cos x(\sec x-1)(\sec x-2)} dx$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ અને $\frac{1}{\cos x} = \sec x$ હોવાથી,સંકલન નીચે મુજબ થાય છે:
$I = \int \frac{\sec x \tan x}{(\sec x-1)(\sec x-2)} dx$.
ધારો કે $u = \sec x$,તો $du = \sec x \tan x dx$.
સંકલન આ રીતે બદલાય છે:
$I = \int \frac{1}{(u-1)(u-2)} du$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(u-1)(u-2)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u-2}$.
$1 = A(u-2) + B(u-1)$.
$u=1$ માટે,$A = -1$. $u=2$ માટે,$B = 1$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1}{u-2} - \frac{1}{u-1} \right) du$.
$I = \log |u-2| - \log |u-1| + c = \log \left| \frac{u-2}{u-1} \right| + c$.
$u = \sec x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \log \left| \frac{\sec x - 2}{\sec x - 1} \right| + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \left\{ \cos^{-1} x - (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \right\} k \, dx$.
આપેલ છે કે $\int \left\{ \cos^{-1} x - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right\} k \, dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$.
ધારો કે $f(x) = \cos^{-1} x$. તો $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
સંકલન આ મુજબ બને છે: $\int k \left\{ f(x) + f'(x) \right\} dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x \{ f(x) + f'(x) \} dx = e^x f(x) + c$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $\int k \{ f(x) + f'(x) \} dx = k \cdot f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $k$ એ $x$ નું એવું વિધેય હોવું જોઈએ કે જેથી $k = e^x$ થાય.
આમ,$k = e^x$.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 2$ થી $x = 5$ સુધી $|y|$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે.
$A = \int_{2}^{5} |3 - x| \, dx$.
રેખા $y = 3 - x$ એ $x = 3$ આગળ $X$-અક્ષને છેદે છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{2}^{3} (3 - x) \, dx + \int_{3}^{5} -(3 - x) \, dx$.
$A = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} + \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{3}^{5}$.
$A = \left( (9 - 4.5) - (6 - 2) \right) + \left( (12.5 - 15) - (4.5 - 9) \right)$.
$A = (4.5 - 4) + (-2.5 + 4.5) = 0.5 + 2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$ માં લખી શકાય.
અહીં,$a = \frac{1}{3}$ અને $b = \frac{1}{2}$ છે.
આખા ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = \pi \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
ઉપવલય બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,પ્રથમ ચરણમાં રહેલું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગનું હોય છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{24}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{y^2} = -4x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y^{-2} \, dy = \int -4x \, dx$.
આનાથી $-\frac{1}{y} = -2x^2 + C$ મળે છે,અથવા $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$.
પ્રારંભિક શરત $x = 0, y = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{1} = 2(0)^2 - C \implies 1 = -C \implies C = -1$.
$C = -1$ ને સમીકરણ $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{1}{y} = 2x^2 + 1$ મળે છે.
તેથી,$y = \frac{1}{2x^2 + 1}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sec x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધવાનું સૂત્ર $IF = e^{\int P dx}$ છે.
$P = \tan x$ મૂકતા,આપણને $IF = e^{\int \tan x dx}$ મળે છે.
કારણ કે $\int \tan x dx = \ln|\sec x|$,તેથી $IF = e^{\ln|\sec x|}$ થાય.
$e^{\ln f(x)} = f(x)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$IF = \sec x$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{5/4} = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{4/3}$.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા માટે,બંને બાજુ $12$ (જે $4$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત લેતા:
$\left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{5/4}\right)^{12} = \left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{4/3}\right)^{12}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{15} = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{16}$ મળે છે.
સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
સમીકરણને કરણી અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી વધુ ક્રમના વિકલનની ઘાત $15$ છે,તેથી ઘાત $15$ છે.
આમ,ક્રમ $3$ અને ઘાત $15$ છે.

(A) આપણને આપેલ છે કે $|\vec{a}|=3$,$|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$,અને $\vec{a} \times \vec{b}$ એ એકમ સદિશ છે,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|=1$.
આપણે સદિશ ગુણાકારના માનનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1 = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin \theta$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 = \sqrt{2} \sin \theta$ મળે છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$.
પ્રથમ,$\vec{a}$ ના માનનો વર્ગ શોધો:
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ ના માનનો વર્ગ શોધો:
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 3 - 14 = -11$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$.
તેથી,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{i} = -a_2\hat{k} + a_3\hat{j}$.
માટે,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$.
તે જ રીતે,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ અને $|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
કારણ કે $|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$,તેથી આ પદાવલિ $2|\vec{a}|^2$ બરાબર થાય છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$
અહીં,બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (5, -2, 4)$ છે અને દિશા સદિશ $3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ છે,તેથી $(a, b, c) = (3, 2, -8)$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y - (-2)}{2} = \frac{z - 4}{-8}$
આને સરળ બનાવતા:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 4}{-8}$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) x + y \geq 8$
$2) x + y \leq 5$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
પ્રથમ બે અસમતાઓનું અવલોકન કરો: $x + y \geq 8$ અને $x + y \leq 5$.
આ બે અસમતાઓ એવા પ્રદેશો દર્શાવે છે જે એકબીજાને છેદતા નથી.
જો $x + y$ એ $8$ કે તેથી વધુ હોય,તો તે એકસાથે $5$ કે તેથી ઓછું હોઈ શકે નહીં.
તેથી,એવા કોઈ બિંદુઓ $(x, y)$ નથી જે આપેલી તમામ શરતોને એકસાથે સંતોષે.
કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ ન હોવાથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ખાલી છે.
આમ,હેતુલક્ષી વિધેયનું ન્યૂનતમીકરણ કરી શકાતું નથી કારણ કે કોઈ શક્ય ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10x + 20y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 10(0) + 20(10) = 0 + 200 = 200$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 10(5) + 20(5) = 50 + 100 = 150$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 10(15) + 20(15) = 150 + 300 = 450$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 10(0) + 20(20) = 0 + 400 = 400$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $(15, 15)$ બિંદુ પર $450$ મળે છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(B) નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,એક વાર ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
સિક્કાને $n = 5$ વાર ઉછાળવામાં આવે છે,તેથી આપણે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
આપણે બરાબર $k = 3$ છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવી છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^{5-3}$.
દ્વિપદી સહગુણકની ગણતરી કરતા: $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
આમ,$P(X = 3) = 10 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = 10 \times (\frac{1}{2})^5$.
$P(X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.