GUJCET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) राशि $\frac{B^2}{2\mu_0}$ चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $(u_B)$ को दर्शाती है,जिसे चुंबकीय क्षेत्र में प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा $(E)$ का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ होता है।
आयतन $(V)$ का विमीय सूत्र $[L^3]$ होता है।
इसलिए,चुंबकीय ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) प्लांक नियतांक $(h)$ की विमाएँ 'एक्शन' (action) के समान होती हैं,जिसे ऊर्जा और समय के गुणनफल $(E \times t)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है और समय का मात्रक सेकंड $(s)$ है,इसलिए प्लांक नियतांक का मात्रक $J \cdot s$ होता है।
कोणीय संवेग $(L)$ को जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के गुणनफल के रूप में,या $L = mvr$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कोणीय संवेग की विमाएँ $[M L^2 T^{-1}]$ होती हैं,जो प्लांक नियतांक की विमाओं के समान हैं।
अतः,प्लांक नियतांक और कोणीय संवेग दोनों का $SI$ मात्रक समान है,जो $kg \cdot m^2/s$ या $J \cdot s$ है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) संबंध निर्धारित करने के लिए,हम सूत्र $N = A - Z$ का उपयोग करके प्रत्येक न्यूक्लाइड के लिए न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ की गणना करते हैं,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$^{197}_{79} \text{Au}$ के लिए: $A = 197$,$Z = 79$. अतः,$N = 197 - 79 = 118$.
$^{198}_{80} \text{Hg}$ के लिए: $A = 198$,$Z = 80$. अतः,$N = 198 - 80 = 118$.
चूंकि दोनों न्यूक्लाइड्स में न्यूट्रॉन की संख्या समान $(N = 118)$ है,इसलिए उन्हें आइसोटोन (isotones) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(C) एक दोलनशील आवेश उसी आवृत्ति की विद्युत-चुंबकीय तरंगें उत्पन्न करता है जो आवेश के दोलन की आवृत्ति होती है।
चूंकि दोलनशील कण की आवृत्ति $8 \times 10^9 \text{ Hz}$ है,इसलिए उत्पन्न विद्युत-चुंबकीय तरंगों की आवृत्ति भी $8 \times 10^9 \text{ Hz}$ होगी।

(D) एक आदर्श ट्रांसफार्मर में,इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर होती है,इसलिए $V_p I_p = V_s I_s$।
ट्रांसफार्मर के लिए,वोल्टेज,धारा और फेरों की संख्या के बीच संबंध $\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p} = \frac{I_p}{I_s}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान $N_p = 100$,$N_s = 200$,और $I_s = 5 \text{ A}$ हैं।
संबंध $\frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p}$ का उपयोग करने पर,हमें $I_p = I_s \times \frac{N_s}{N_p}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $I_p = 5 \times \frac{200}{100} = 5 \times 2 = 10 \text{ A}$।
अतः,इनपुट धारा $10 \text{ A}$ है।

(B) $LC$ परिपथ में मुक्त दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
दिए गए मान $L = 27 \text{ mH} = 27 \times 10^{-3} \text{ H}$ और $C = 30 \mu\text{F} = 30 \times 10^{-6} \text{ F}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-8}}}$
$\omega = \frac{1}{9 \times 10^{-4}}$
$\omega = \frac{10^4}{9} \approx 1111.11 \text{ rad/s}$।
सबसे निकटतम विकल्प $1100 \text{ rad/s}$ है।

(B) धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ होता है।
दिए गए मान: आवृत्ति $f = 50 \text{ Hz}$ और धारिता $C = 15.0 \mu\text{F} = 15.0 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 50 \times 15.0 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{314.159 \times 15.0 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{4712.385 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{10^6}{4712.385} \approx 212.2 \Omega$.
निकटतम पूर्णांक में,धारितीय प्रतिघात $212 \Omega$ है।

(C) किसी कुंडली का स्वप्रेरकत्व $L$ केवल उसकी भौतिक ज्यामिति पर निर्भर करता है,जैसे कि फेरों की संख्या $N$,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,कुंडली की लंबाई और कोर सामग्री की चुंबकीय पारगम्यता (permeability)।
यह कुंडली से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ के परिमाण पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यदि धारा को दोगुना कर दिया जाता है,तो स्वप्रेरकत्व अपरिवर्तित रहता है।
अतः,नया स्वप्रेरकत्व $L$ ही होगा।

(C) $r_2$ त्रिज्या वाली बड़ी वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r_2}$ होता है।
चूंकि $r_1 \ll r_2$,बड़ी कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
छोटी कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A = \frac{\mu_0 I}{2r_2} \times (\pi r_1^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व की परिभाषा के अनुसार $M = \frac{\phi}{I}$ होता है।
अतः,$M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2r_2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का मान $\frac{r_1^2}{r_2}$ के समानुपाती है।

(D) अतिचालक 'माइसनर प्रभाव' (Meissner effect) प्रदर्शित करते हैं,जिसका अर्थ है कि वे पूर्ण प्रतिचुंबकीय (perfect diamagnetic) पदार्थ होते हैं।
एक पूर्ण प्रतिचुंबकीय पदार्थ के लिए,आंतरिक चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $0$ होता है।
सूत्र $B = \mu_0(H + M) = 0$ से,हमें $M = -H$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ को चुंबकन $M$ और चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\chi = M/H$।
$M = -H$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\chi = -H/H = -1$ प्राप्त होता है।

(B) परिनालिका का चुंबकीय आघूर्ण $m$ ज्ञात करने का सूत्र $m = N \cdot I \cdot A$ है।
यहाँ,फेरों की संख्या $N = 800$,धारा $I = 3.0 \text{ A}$,और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$m = 800 \times 3.0 \times 2.5 \times 10^{-4}$
$m = 2400 \times 2.5 \times 10^{-4}$
$m = 6000 \times 10^{-4}$
$m = 0.6 \text{ JT}^{-1}$.
अतः,परिनालिका से संबद्ध चुंबकीय आघूर्ण $0.60 \text{ JT}^{-1}$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण द्वारा अनुभव किया गया चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = qvB$ है।
यह चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{R}$।
त्रिज्या $R$ के लिए हल करने पर,हमें $R = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होता है।
परिक्रमण काल $T$ एक पूर्ण वृत्त को पूरा करने में लगा समय है,जिसे $T = \frac{2\pi R}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$T$ के सूत्र में $R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T$ केवल द्रव्यमान $m$,आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह रैखिक गति $v$ और त्रिज्या $R$ दोनों से स्वतंत्र है।

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
यहाँ दिए गए मान धारा $I = 90 \text{ A}$ और दूरी $r = 1.5 \text{ m}$ हैं।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 90}{2\pi \times 1.5}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 90}{1.5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 60 = 120 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बहती है,तो तार के ऊपर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र उत्तर दिशा की ओर होता है।

(C) धारा सुग्राहिता को $I_s = \frac{NAB}{k}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A$ क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $k$ मरोड़ी नियतांक (torsional constant) है।
यदि $N$ को दोगुना किया जाता है,तो $I_s$ का मान $2 \times I_s$ हो जाता है,अर्थात यह दोगुनी हो जाती है।
वोल्टेज सुग्राहिता को $V_s = \frac{I_s}{R} = \frac{NAB}{kR}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $R$ कुंडली का प्रतिरोध है।
चूंकि प्रतिरोध $R$ तार की लंबाई के सीधे समानुपाती होता है,और लंबाई फेरों की संख्या के समानुपाती होती है $(R \propto N)$,इसलिए $N$ को दोगुना करने पर $R$ भी दोगुना हो जाता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $V_s = \frac{(2N)AB}{k(2R)} = \frac{NAB}{kR}$।
अतः,वोल्टेज सुग्राहिता अपरिवर्तित रहती है।

(D) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,अर्थात $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$.
दी गई आकृति से,प्रतिरोध $P = 2\Omega$,$Q = 2\Omega$,$R = 6\Omega$ हैं और भुजा $S$ में $X$ और $6\Omega$ का प्रतिरोध समानांतर क्रम में है।
भुजा $S$ में समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $S = \frac{X \cdot 6}{X + 6}$ है।
संतुलित ब्रिज की स्थिति लागू करने पर: $\frac{2}{2} = \frac{6}{\left(\frac{6X}{X + 6}\right)}$.
इसे सरल करने पर $1 = \frac{6(X + 6)}{6X}$ प्राप्त होता है।
$1 = \frac{X + 6}{X}$.
चूंकि $CD_{eq} = 2\Omega$ है,इसलिए $\frac{X \cdot 6}{X + 6} = 2$ होगा।
$6X = 2(X + 6)$.
$6X = 2X + 12$.
$4X = 12$,जिससे $X = 3\Omega$ प्राप्त होता है।

(C) बैटरी से अधिकतम शक्ति तब प्राप्त होती है जब बाहरी प्रतिरोध $R$,बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के बराबर होता है $(R = r)$।
बाहरी प्रतिरोध को दी गई शक्ति का सूत्र है: $P = I^2 R = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 \cdot R$.
अधिकतम शक्ति के लिए $R = r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P_{max} = \frac{E^2 r}{(r+r)^2} = \frac{E^2 r}{4r^2} = \frac{E^2}{4r}$.
दिए गए मान $E = 6.0 \ V$ और $r = 0.2 \ \Omega$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P_{max} = \frac{(6.0)^2}{4 \times 0.2} = \frac{36}{0.8} = 45 \ W$.
अतः,बैटरी से प्राप्त अधिकतम शक्ति $45 \ W$ है।

(A) चालक का प्रतिरोध सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ धारा के प्रवाह की दिशा में चालक की लंबाई है,और $A$ धारा के प्रवाह के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रतिरोध $R$ को अधिकतम करने के लिए,हमें लंबाई $l$ को अधिकतम और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ को न्यूनतम करने की आवश्यकता है।
जब बैटरी को $1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$ के फलकों पर जोड़ा जाता है,तो धारा $10 \text{ cm}$ की लंबाई के साथ प्रवाहित होती है। अतः,$l = 10 \text{ cm}$ और $A = 1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm} = 0.5 \text{ cm}^2$ है।
प्रतिरोध $R = \rho \frac{10}{0.5} = 20\rho$ है।
अन्य दो दिशाओं के लिए,लंबाई $l$ या तो $1 \text{ cm}$ या $0.5 \text{ cm}$ होगी,और क्षेत्रफल $A$ बड़ा होगा,जिसके परिणामस्वरूप प्रतिरोध का मान कम प्राप्त होता है।
इसलिए,जब बैटरी को $1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$ के फलकों पर जोड़ा जाता है,तो प्रतिरोध अधिकतम होता है।

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = PE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^\circ$ है।
अंत में,द्विध्रुव को $90^\circ$ के कोण पर घुमाया जाता है,इसलिए अंतिम कोण $\theta_2 = 90^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = PE(\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$
चूंकि $\cos 0^\circ = 1$ और $\cos 90^\circ = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$W = PE(1 - 0) = PE$.

(A) एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए,कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव स्थिर होता है और यह उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
कोश की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दूरी $r = R/2$ त्रिज्या $R$ से कम है (अर्थात,बिंदु कोश के अंदर है),इसलिए इस बिंदु पर विद्युत विभव वही होगा जो सतह पर है।
अतः,$r = R/2$ पर विभव $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ होगा।

(D) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1.0 \text{ pF}$ है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को दोगुना $(d' = 2d)$ कर दिया जाता है और स्थान को $K$ नियतांक वाले परावैद्युत से भर दिया जाता है,तो नई धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ हो जाती है।
समीकरण में $d' = 2d$ रखने पर,हमें $C = \frac{K \epsilon_0 A}{2d} = \frac{K}{2} \times C_0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $C = 2.0 \text{ pF}$ और $C_0 = 1.0 \text{ pF}$,इसलिए $2.0 = \frac{K}{2} \times 1.0$ है।
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = 2.0 \times 2 = 4.0$ प्राप्त होता है।

(A) अनंत लंबाई के रेखीय आवेश के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों तारों के बीच मध्य बिंदु पर,प्रत्येक तार से दूरी $r = R$ है।
धनात्मक आवेशित तार $(+\lambda)$ के कारण विद्युत क्षेत्र उससे दूर की ओर होता है और ऋणात्मक आवेशित तार $(-\lambda)$ के कारण विद्युत क्षेत्र उसकी ओर होता है।
चूंकि मध्य बिंदु तारों के बीच में है,इसलिए दोनों विद्युत क्षेत्र सदिश एक ही दिशा में (धनात्मक तार से ऋणात्मक तार की ओर) कार्य करते हैं।
अतः,कुल विद्युत क्षेत्र $E_{total} = E_1 + E_2 = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} + \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} = \frac{2\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{\pi \epsilon_0 R}$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
जब एक आवेश $q$ को घन के एक शीर्ष पर रखा जाता है,तो वह घन आवेश के चारों ओर के कुल स्थान का केवल $\frac{1}{8}$ भाग घेरता है,क्योंकि आवेश को पूरी तरह से घेरने के लिए $8$ समान घनों की आवश्यकता होती है।
इसलिए,घन से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{1}{8} \times \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{q}{8\varepsilon_0}$ होगा।

(C) विद्युत क्षेत्र में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{qE}{m}$।
प्रोटॉन के लिए,आवेश $q_p = e$ और द्रव्यमान $m_p$ है। अतः,$a_p = \frac{eE}{m_p}$।
$\alpha$-कण के लिए,आवेश $q_\alpha = 2e$ और द्रव्यमान $m_\alpha = 4m_p$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$a_\alpha = \frac{2eE}{4m_p} = \frac{1}{2} \frac{eE}{m_p} = \frac{a_p}{2}$।
अतः,अनुपात $\frac{a_p}{a_\alpha} = 2$,जिसका अर्थ है कि $a_p : a_\alpha = 2 : 1$।

(B) त्रिसंयोजक अशुद्धियों में $3$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं और ये आवर्त सारणी के समूह $13$ के तत्व हैं (जैसे $B, Al, Ga, In$)।
पंचसंयोजक अशुद्धियों में $5$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं और ये आवर्त सारणी के समूह $15$ के तत्व हैं (जैसे $N, P, As, Sb$)।
एंटीमनी $(Sb)$ समूह $15$ का तत्व है,इसलिए यह एक पंचसंयोजक अशुद्धि है,न कि त्रिसंयोजक।

(A) एक पूर्ण-तरंग दिष्टकारी (full-wave rectifier) के लिए,आउटपुट आवृत्ति $(f_{out})$ इनपुट आवृत्ति $(f_{in})$ की दोगुनी होती है।
यह संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $f_{out} = 2 \times f_{in}$।
दिया गया है कि आउटपुट आवृत्ति $(f_{out})$ $100 \text{ Hz}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $100 \text{ Hz} = 2 \times f_{in}$।
अतः,$f_{in} = \frac{100 \text{ Hz}}{2} = 50 \text{ Hz}$।

(B) फॉरवर्ड बायसिंग में,बाहरी बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $p$-प्रकार के क्षेत्र से और ऋणात्मक टर्मिनल $n$-प्रकार के क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह विन्यास मेजोरिटी चार्ज कैरियर्स को जंक्शन की ओर धकेलता है।
परिणामस्वरूप,डिप्लीशन क्षेत्र की चौड़ाई कम हो जाती है,जो प्रभावी रूप से $p-n$ जंक्शन पर पोटेंशियल बैरियर को कम कर देती है।

(A) अवतल दर्पण के लिए,फोकस दूरी $f = -15 \text{ cm}$ और वस्तु की दूरी $u = -10 \text{ cm}$ है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-15} - \frac{1}{-10} = -\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{-2 + 3}{30} = \frac{1}{30}$.
अतः,$v = +30 \text{ cm}$।
चूंकि $v$ धनात्मक है,प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है,जिसका अर्थ है कि यह आभासी और सीधा है।
आवर्धन $m = -\frac{v}{u} = -\frac{30}{-10} = +3$ है।
चूंकि आवर्धन $m$ धनात्मक है और $|m| > 1$ है,इसलिए प्रतिबिंब आभासी,सीधा और आवर्धित (बड़ा) है।

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी का आवर्धन $M$ सूत्र $M \approx \frac{L}{f_o} \times \frac{D}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L = 20 \text{ cm}$ (नली की लंबाई),$f_o = 1.0 \text{ cm}$ (अभिदृश्यक की फोकस दूरी),$f_e = 2.0 \text{ cm}$ (नेत्रिका की फोकस दूरी) और $D = 25 \text{ cm}$ (निकट बिंदु की दूरी) है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{20}{1.0} \times \frac{25}{2.0}$
$M = 20 \times 12.5$
$M = 250$.
अतः,आवर्धन का मान $250$ है।

(B) जब दो पतले लेंस एक-दूसरे के संपर्क में रखे जाते हैं,तो समतुल्य फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{F} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ प्राप्त होता है।
लेंस की शक्ति $P$ को उसकी फोकस दूरी के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $P = \frac{1}{F}$।
अतः,संयोजन की समतुल्य शक्ति $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ होगी।

(A) $1$. आकृति से,आपतित किरण प्रिज्म की पहली सतह पर लंबवत पड़ती है। इसलिए,आपतन कोण $i = 0^\circ$ है,और किरण बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करती है।
$2$. प्रिज्म एक समकोण त्रिभुज है जिसका एक कोण $60^\circ$ है। शीर्ष पर स्थित कोण $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ होगा।
$3$. प्रिज्म के अंदर,किरण दूसरी सतह (कर्ण) से टकराती है। इस सतह पर आपतन कोण $(r_2)$ अभिलंब और किरण के बीच का कोण है। चूँकि किरण पहली सतह पर लंबवत है,इसलिए दूसरी सतह पर आपतन कोण $r_2 = 30^\circ$ होगा।
$4$. दूसरी सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $n_1 \sin(r_2) = n_2 \sin(e)$,जहाँ $n_1 = \sqrt{3}$,$n_2 = 1$,और $r_2 = 30^\circ$.
$5$. $\sqrt{3} \sin(30^\circ) = 1 \times \sin(e)$.
$6$. $\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin(e) \implies \sin(e) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$7$. अतः,$e = 60^\circ$.

(C) तरंगाग्र (wave front) को उन सभी बिंदुओं के बिंदु-पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समान कला में दोलन करते हैं।
चूंकि एक ही तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु समान कला में कंपन करता है,इसलिए एक ही तरंगाग्र पर स्थित किन्हीं भी दो कणों के बीच का कलांतर $0$ होता है।

(A) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम को आवृत्ति के बढ़ते क्रम या तरंगदैर्ध्य के घटते क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।
इन विकिरणों के लिए तरंगदैर्ध्य का सामान्य क्रम इस प्रकार है: $\lambda_{\text{microwave}} > \lambda_{\text{visible}} > \lambda_{\text{X-rays}}$.
यहाँ दिया गया है कि $\lambda_m$ सूक्ष्म तरंगों की तरंगदैर्ध्य है,$\lambda_v$ दृश्य किरणों की तरंगदैर्ध्य है और $\lambda_x$ $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य है।
अतः,सही संबंध $\lambda_m > \lambda_v > \lambda_x$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है: स्लिट के बीच की दूरी $d = 0.2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
पर्दे की दूरी $D = 2.0 \text{ m}$.
फ्रिंज का क्रम $n = 3$.
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = 1.5 \text{ cm} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{y_n d}{n D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{1.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-4}}{3 \times 2.0}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{6} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \times 10^{10} \mathring{A} = 5000 \mathring{A}$.
अतः,प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $5000 \mathring{A}$ है।

(D) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_0 = h\nu - \Phi$ है,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन (work function) है।
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\Phi}{e}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = V_0$ और $x = \nu$ है,ढाल $m = \frac{h}{e}$ प्राप्त होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ और निरोधी विभव (स्टॉपिंग पोटेंशियल) $(V_0)$ के बीच का संबंध $K_{max} = eV_0$ है।
यहाँ कट-ऑफ वोल्टेज (निरोधी विभव) $V_0 = 1.5 \text{ V}$ दिया गया है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $K_{max} = e \times 1.5 \text{ V} = 1.5 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा $1.5 \text{ eV}$ है।

(B) एक फोटॉन के लिए,संवेग $p$ को $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार,$p$ संवेग वाले कण से जुड़ी तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का मान $\lambda' = \frac{h}{p}$ होता है।
$p$ के व्यंजक को डी-ब्रोग्ली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda' = \frac{h}{h/\lambda} = \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,फोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य उससे जुड़े विद्युतचुंबकीय विकिरण की तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में,इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$,उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के साथ निम्नलिखित संबंधों द्वारा जुड़ी होती है:
$E = -K$
$U = 2E$
यह दिया गया है कि कुल ऊर्जा $E = -13.6 \text{ eV}$ है,इसलिए हम $K$ और $U$ ज्ञात कर सकते हैं:
$K = -E = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$
$U = 2E = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{13.6 \text{ eV}}{-27.2 \text{ eV}} = -\frac{1}{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_1$ होता है,जहाँ $r_1$ प्रथम कक्षा की त्रिज्या (बोर त्रिज्या) है।
यहाँ $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$ और $n = 3$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r_3 = 3^2 \times (5.3 \times 10^{-11} \text{ m})$
$r_3 = 9 \times 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 47.7 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$.
अतः,$n = 3$ कक्षा की त्रिज्या $4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = mc^2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$m$ पदार्थ का द्रव्यमान है और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1.0 \text{ kg}$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = 1.0 \text{ kg} \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2$
$E = 1.0 \times 9 \times 10^{16} \text{ J}$
$E = 9 \times 10^{16} \text{ J}$
अतः,$1.0 \text{ kg}$ पदार्थ का ऊर्जा समतुल्य $9 \times 10^{16} \text{ J}$ है।
सही विकल्प $C$ है।

(B) नाभिकीय त्रिज्या $R$ की गणना $R = R_0 A^{1/3}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $R_0 \approx 1.2 \text{ fm}$ और $A$ नाभिक की द्रव्यमान संख्या है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,नाभिक में केवल एक प्रोटॉन होता है,इसलिए द्रव्यमान संख्या $A = 1$ है।
सूत्र में $A$ का मान रखने पर:
$R = 1.2 \times (1)^{1/3} \text{ fm}$
$R = 1.2 \times 1 \text{ fm} = 1.2 \text{ fm}$।
अतः,हाइड्रोजन परमाणु की नाभिकीय त्रिज्या $1.2 \text{ fm}$ है।
सही विकल्प $B$ है।