MathematicsQ1–34 of 34 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{6}$ ચોરસ એકમ છે. તો,ઉપવલયનું સમીકરણ નીચેનામાંથી કયું છે?
A
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
B
$\frac{x^2}{36} + y^2 = 1$
C
$4x^2 + 9y^2 = 1$
D
$x^2 + y^2 = 36$
Solution
(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
અહીં ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{6}$ આપેલું છે,તેથી $\pi ab = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $ab = \frac{1}{6}$.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $C$ માટે,સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{1}{4} \implies a = \frac{1}{2}$ અને $b^2 = \frac{1}{9} \implies b = \frac{1}{3}$.
ક્ષેત્રફળ $\pi ab = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
અહીં ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{6}$ આપેલું છે,તેથી $\pi ab = \frac{\pi}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $ab = \frac{1}{6}$.
ચાલો વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $C$ માટે,સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{1}{4} \implies a = \frac{1}{2}$ અને $b^2 = \frac{1}{9} \implies b = \frac{1}{3}$.
ક્ષેત્રફળ $\pi ab = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
0 likesView Solution
2
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોય,$P(A) = \frac{1}{2}$,$P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ અને $P(B') = p$ હોય,તો $p = $ . . . . . . .
A
$\frac{1}{5}$
B
$\frac{2}{5}$
C
$\frac{9}{10}$
D
$\frac{1}{10}$
Solution
(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - 0$.
તેથી,$P(B) = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6 - 5}{10} = \frac{1}{10}$.
આપણને $P(B') = p$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(B') = 1 - P(B)$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - 0$.
તેથી,$P(B) = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6 - 5}{10} = \frac{1}{10}$.
આપણને $P(B') = p$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(B') = 1 - P(B)$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likesView Solution
3
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$ જ્યાં $x \neq 1$,તો $f(x) \cdot f(y) = $ . . . . . . .
A
$f\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$
B
$f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$
C
$f(x) \cdot f(y)$
D
$f\left(\frac{1}{1+xy}\right)$
Solution
(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$.
આપણે $f(x) \cdot f(y) = \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \cdot \left(\frac{1+y}{1-y}\right)$ શોધવાનું છે.
$= \frac{1+y+x+xy}{1-y-x+xy} = \frac{1+xy + (x+y)}{1+xy - (x+y)}$.
અંશ અને છેદને $(1+xy)$ વડે ભાગતા:
$= \frac{1 + \frac{x+y}{1+xy}}{1 - \frac{x+y}{1+xy}}$.
આને $f(z) = \frac{1+z}{1-z}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $z = \frac{x+y}{1+xy}$ મળે છે.
તેથી,$f(x) \cdot f(y) = f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$.
આપણે $f(x) \cdot f(y) = \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \cdot \left(\frac{1+y}{1-y}\right)$ શોધવાનું છે.
$= \frac{1+y+x+xy}{1-y-x+xy} = \frac{1+xy + (x+y)}{1+xy - (x+y)}$.
અંશ અને છેદને $(1+xy)$ વડે ભાગતા:
$= \frac{1 + \frac{x+y}{1+xy}}{1 - \frac{x+y}{1+xy}}$.
આને $f(z) = \frac{1+z}{1-z}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $z = \frac{x+y}{1+xy}$ મળે છે.
તેથી,$f(x) \cdot f(y) = f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$.
0 likesView Solution
4
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
વિધેય $f: R \rightarrow R$ જે $f(x) = x^3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે . . . . . . છે.
A
એક-એક અને વ્યાપ્ત
B
અનેક-એક અને વ્યાપ્ત
C
એક-એક પરંતુ વ્યાપ્ત નથી
D
એક-એક નથી અને વ્યાપ્ત છે
Solution
(A) $f(x) = x^3$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે:
$1$. એક-એક માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$,તો $x_1^3 = x_2^3$. બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે. તેથી,વિધેય એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત માટે: કોઈપણ $y \in R$ (સહ-પ્રદેશ) માટે,આપણે $x \in R$ (પ્રદેશ) શોધવાની જરૂર છે જેથી $f(x) = y$ થાય. $x^3 = y$ હોવાથી,$x = y^{1/3}$ મળે છે. દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $y$ માટે $y^{1/3}$ વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,દરેક $y \in R$ માટે $x = y^{1/3} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
$1$. એક-એક માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$,તો $x_1^3 = x_2^3$. બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $x_1 = x_2$ મળે છે. તેથી,વિધેય એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત માટે: કોઈપણ $y \in R$ (સહ-પ્રદેશ) માટે,આપણે $x \in R$ (પ્રદેશ) શોધવાની જરૂર છે જેથી $f(x) = y$ થાય. $x^3 = y$ હોવાથી,$x = y^{1/3}$ મળે છે. દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $y$ માટે $y^{1/3}$ વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,દરેક $y \in R$ માટે $x = y^{1/3} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
0 likesView Solution
5
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
$R = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ એ ગણ $A = \{x : x \in N, x < 4\}$ પર વ્યાખ્યાયિત છે. તો સંબંધ $R$ . . . . . . છે.
A
સ્વવાચક અને સંમિત છે,પરંતુ પરંપરિત નથી
B
સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,પરંતુ સંમિત નથી
C
સંમિત અને પરંપરિત છે,પરંતુ સ્વવાચક નથી
D
સામ્ય સંબંધ છે
Solution
(D) ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ છે.
જો ગણ $A$ ના દરેક $a$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં,$(1,1), (2,2), (3,3) \in R$ છે,તેથી $R$ સ્વવાચક છે.
જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. અહીં,તમામ જોડ $(a, a)$ સ્વરૂપની છે,તેથી આ શરતનું પાલન થાય છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. અહીં,આ શરતનું પાલન થાય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
જો ગણ $A$ ના દરેક $a$ માટે $(a, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. અહીં,$(1,1), (2,2), (3,3) \in R$ છે,તેથી $R$ સ્વવાચક છે.
જો $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. અહીં,તમામ જોડ $(a, a)$ સ્વરૂપની છે,તેથી આ શરતનું પાલન થાય છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ હોય,તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. અહીં,આ શરતનું પાલન થાય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે સામ્ય સંબંધ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likesView Solution
6
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?
A
$(AB)^T = A^T B^T$
B
$(A+B)^T = A^T + B^T$
C
$A \operatorname{adj} A = |A| I$
D
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
Solution
(A) શ્રેણિકોના ગુણાકારના પરિવર્તિત શ્રેણિકનો ગુણધર્મ જણાવે છે કે $(AB)^T = B^T A^T$.
તેથી,વિધાન $(AB)^T = A^T B^T$ સામાન્ય રીતે ખોટું છે,સિવાય કે $A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળતા હોય.
વિકલ્પ $(B)$ એ પરિવર્તિત શ્રેણિકનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે: $(A+B)^T = A^T + B^T$.
વિકલ્પ $(C)$ એ શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે: $A \operatorname{adj} A = |A| I$.
વિકલ્પ $(D)$ એ ગુણાકારના વ્યસ્ત શ્રેણિકનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
આમ,ખોટું વિધાન $(A)$ છે.
તેથી,વિધાન $(AB)^T = A^T B^T$ સામાન્ય રીતે ખોટું છે,સિવાય કે $A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળતા હોય.
વિકલ્પ $(B)$ એ પરિવર્તિત શ્રેણિકનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે: $(A+B)^T = A^T + B^T$.
વિકલ્પ $(C)$ એ શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે: $A \operatorname{adj} A = |A| I$.
વિકલ્પ $(D)$ એ ગુણાકારના વ્યસ્ત શ્રેણિકનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
આમ,ખોટું વિધાન $(A)$ છે.
0 likesView Solution
7
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $AB = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix}$ અને $11B^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો $A = $ . . . . . . .
A
$\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$
B
$\begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$
C
$\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$
D
$\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$
Solution
(C) આપેલ છે કે $AB = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix}$ અને $11B^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A = (AB)B^{-1}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$B^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતોને $A$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix} \times \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} (-6)(5) + (26)(2) & (-6)(-3) + (26)(1) \\ (-1)(5) + (19)(2) & (-1)(-3) + (19)(1) \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -30 + 52 & 18 + 26 \\ -5 + 38 & 3 + 19 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 22 & 44 \\ 33 & 22 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A = (AB)B^{-1}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$B^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતોને $A$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix} \times \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} (-6)(5) + (26)(2) & (-6)(-3) + (26)(1) \\ (-1)(5) + (19)(2) & (-1)(-3) + (19)(1) \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -30 + 52 & 18 + 26 \\ -5 + 38 & 3 + 19 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 22 & 44 \\ 33 & 22 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likesView Solution
8
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ હોય,તો $(A+B)^{-1} = $ . . . . . . .
A
$\frac{1}{25} I_3$
B
$\frac{1}{5} I_3$
C
$-\frac{1}{5} I_3$
D
$-\frac{1}{25} I_3$
Solution
(B) સૌ પ્રથમ,શ્રેણિકો $A$ અને $B$ નો સરવાળો શોધો:
$A+B = \begin{bmatrix} 4+1 & 0 & 0 \\ 0 & 3+2 & 0 \\ 0 & 0 & 2+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5I_3$.
હવે,મળેલા શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધો:
$(A+B)^{-1} = (5I_3)^{-1}$.
ગુણધર્મ $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{5} I_3^{-1} = \frac{1}{5} I_3$.
$A+B = \begin{bmatrix} 4+1 & 0 & 0 \\ 0 & 3+2 & 0 \\ 0 & 0 & 2+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5I_3$.
હવે,મળેલા શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધો:
$(A+B)^{-1} = (5I_3)^{-1}$.
ગુણધર્મ $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{5} I_3^{-1} = \frac{1}{5} I_3$.
0 likesView Solution
9
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 \\ -1 & -2 & 4\end{array}\right|$ માં ઘટક $7$ ના ઉપનિશ્ચાયક અને સહઅવયવનો સરવાળો . . . . . . છે.
A
$0$
B
$-2$
C
$2$
D
$-1$
Solution
(A) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 \\ -1 & -2 & 4\end{array}\right|$ છે.
ઘટક $7$ એ બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભમાં છે,એટલે કે $a_{23} = 7$.
ઉપનિશ્ચાયક $M_{23}$ એ બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભને દૂર કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$M_{23} = \left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\right| = (2 \times -2) - (3 \times -1) = -4 + 3 = -1$.
સહઅવયવ $C_{23}$ એ $(-1)^{2+3} M_{23} = (-1)^5 (-1) = (-1) \times (-1) = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપનિશ્ચાયક અને સહઅવયવનો સરવાળો $M_{23} + C_{23} = -1 + 1 = 0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
ઘટક $7$ એ બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભમાં છે,એટલે કે $a_{23} = 7$.
ઉપનિશ્ચાયક $M_{23}$ એ બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભને દૂર કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$M_{23} = \left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\right| = (2 \times -2) - (3 \times -1) = -4 + 3 = -1$.
સહઅવયવ $C_{23}$ એ $(-1)^{2+3} M_{23} = (-1)^5 (-1) = (-1) \times (-1) = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપનિશ્ચાયક અને સહઅવયવનો સરવાળો $M_{23} + C_{23} = -1 + 1 = 0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likesView Solution
10
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ હોય અને તેના શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$,$B(0, 0)$ અને $C(k, 0)$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:
A
$2$
B
$-2$
C
$0$
D
$\pm 2$
Solution
(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$,$B(0, 0)$ અને $C(k, 0)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$3 = \frac{1}{2} |1(0 - 0) + 0(0 - 3) + k(3 - 0)|$
$3 = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3k|$
$3 = \frac{1}{2} |3k|$
$6 = |3k|$
$|k| = 2$
તેથી,$k = \pm 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$,$B(0, 0)$ અને $C(k, 0)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$3 = \frac{1}{2} |1(0 - 0) + 0(0 - 3) + k(3 - 0)|$
$3 = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3k|$
$3 = \frac{1}{2} |3k|$
$6 = |3k|$
$|k| = 2$
તેથી,$k = \pm 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likesView Solution
11
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $2\left|\begin{array}{ll}\sin ( A + B ) & \cos ( A + B ) \\ \cos ( A - B ) & \sin ( A - B )\end{array}\right|+\sqrt{3}= 0$ હોય,તો $A =$ . . . . . . .
A
$\frac{\pi}{6}$
B
$\frac{\pi}{12}$
C
$\frac{\pi}{3}$
D
$\frac{\pi}{4}$
Solution
(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$2[\sin(A+B)\sin(A-B) - \cos(A+B)\cos(A-B)] + \sqrt{3} = 0$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,કૌંસની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય:
$-(\cos(A+B)\cos(A-B) - \sin(A+B)\sin(A-B)) = -\cos((A+B) + (A-B)) = -\cos(2A)$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2[-\cos(2A)] + \sqrt{3} = 0$
$-2\cos(2A) = -\sqrt{3}$
$\cos(2A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$2A = \frac{\pi}{6}$
$A = \frac{\pi}{12}$
$2[\sin(A+B)\sin(A-B) - \cos(A+B)\cos(A-B)] + \sqrt{3} = 0$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,કૌંસની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય:
$-(\cos(A+B)\cos(A-B) - \sin(A+B)\sin(A-B)) = -\cos((A+B) + (A-B)) = -\cos(2A)$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2[-\cos(2A)] + \sqrt{3} = 0$
$-2\cos(2A) = -\sqrt{3}$
$\cos(2A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$2A = \frac{\pi}{6}$
$A = \frac{\pi}{12}$
0 likesView Solution
12
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
$\left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14\end{array}\right|=$ . . . . . . .
A
$-2(10!\cdot 11!\cdot 12!)$
B
$0$
C
$2(10!\cdot 13!)$
D
$2(10!\cdot 12!\cdot 13!)$
Solution
(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14\end{array}\right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ કરો:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11-10 & 12-11 & 13-12 \\ 12-11 & 13-12 & 14-13\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
અહીં હાર $R_2$ અને હાર $R_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ કરો:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11-10 & 12-11 & 13-12 \\ 12-11 & 13-12 & 14-13\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
અહીં હાર $R_2$ અને હાર $R_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
0 likesView Solution
13
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $D = \left|\begin{array}{ccc}1 & -\cos \theta & -1 \\ \cos \theta & 1 & -\cos \theta \\ 1 & \cos \theta & 1\end{array}\right|$ હોય,અને $p$ અને $q$ એ અનુક્રમે $D$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો હોય,તો $2p + 3q$ ની કિંમત . . . . . . છે.
A
$16$
B
$6$
C
$14$
D
$8$
Solution
(C) સૌ પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $D$ નું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરીએ:
$D = 1(1 - (-\cos^2 \theta)) - (-\cos \theta)(\cos \theta - (- \cos \theta)) - 1(\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1(1 + \cos^2 \theta) + \cos \theta(2 \cos \theta) - (\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1 + \cos^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \cos^2 \theta + 1$
$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$
કારણ કે $\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\cos^2 \theta$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ થાય.
તેથી,$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$ નો વિસ્તાર $[2 + 2(0), 2 + 2(1)] = [2, 4]$ છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $p = 4$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $q = 2$ મળે છે.
અંતે,આપણે $2p + 3q = 2(4) + 3(2) = 8 + 6 = 14$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$D = 1(1 - (-\cos^2 \theta)) - (-\cos \theta)(\cos \theta - (- \cos \theta)) - 1(\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1(1 + \cos^2 \theta) + \cos \theta(2 \cos \theta) - (\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1 + \cos^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \cos^2 \theta + 1$
$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$
કારણ કે $\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\cos^2 \theta$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ થાય.
તેથી,$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$ નો વિસ્તાર $[2 + 2(0), 2 + 2(1)] = [2, 4]$ છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $p = 4$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $q = 2$ મળે છે.
અંતે,આપણે $2p + 3q = 2(4) + 3(2) = 8 + 6 = 14$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
0 likesView Solution
14
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $x+1=e^{-y}$ હોય,તો $\frac{d^2 y}{d x^2} = $ . . . . . .
A
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^3$
B
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2$
C
$\frac{d y}{d x}$
D
$-\frac{d y}{d x}$
Solution
(B) આપેલ છે કે $x+1 = e^{-y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln(x+1) = -y$,જેનો અર્થ છે કે $y = -\ln(x+1)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$ મળે છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d^2 y}{d x^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$,તેથી $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2}$ થાય.
આમ,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln(x+1) = -y$,જેનો અર્થ છે કે $y = -\ln(x+1)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$ મળે છે.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d^2 y}{d x^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$,તેથી $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2}$ થાય.
આમ,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.
0 likesView Solution
15
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
$\frac{d}{d x}\left(\operatorname{cosec}^{-1} e^x\right) = $ . . . . . .
A
$\frac{1}{\sqrt{e^{2 x}-1}}$
B
$\sin ^{-1}\left(e^x\right)$
C
$\frac{-1}{e^x \sqrt{e^{2 x}-1}}$
D
$\frac{-e^x}{\sqrt{e^{2 x}-1}}$
Solution
(C) ધારો કે $y = \operatorname{cosec}^{-1}(e^x)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\operatorname{cosec}^{-1}(e^x))$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{d u}(\operatorname{cosec}^{-1} u) = \frac{-1}{|u| \sqrt{u^2 - 1}}$.
અહીં,$u = e^x$,તેથી $\frac{d u}{d x} = e^x$.
ચેઈન રૂલ લાગુ કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{|e^x| \sqrt{(e^x)^2 - 1}} \cdot \frac{d}{d x}(e^x)$
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^x > 0$ હોવાથી,$|e^x| = e^x$.
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{e^x \sqrt{e^{2 x} - 1}} \cdot e^x$
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\operatorname{cosec}^{-1}(e^x))$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{d u}(\operatorname{cosec}^{-1} u) = \frac{-1}{|u| \sqrt{u^2 - 1}}$.
અહીં,$u = e^x$,તેથી $\frac{d u}{d x} = e^x$.
ચેઈન રૂલ લાગુ કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{|e^x| \sqrt{(e^x)^2 - 1}} \cdot \frac{d}{d x}(e^x)$
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^x > 0$ હોવાથી,$|e^x| = e^x$.
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{e^x \sqrt{e^{2 x} - 1}} \cdot e^x$
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likesView Solution
16
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
$\frac{d}{d x}\left(\log \left(\frac{1}{x}\right)+\log \left(\frac{1}{x^2}\right)+\log\left(\frac{1}{x^3}\right)\right) = \text{ . . . . . . }$,$x > 1$
A
$-\frac{6}{x}$
B
$\frac{6}{x}$
C
$6 x$
D
$-6 x$
Solution
(A) ધારો કે $f(x) = \log \left(\frac{1}{x}\right) + \log \left(\frac{1}{x^2}\right) + \log \left(\frac{1}{x^3}\right)$.
$\log(a^b) = b \log(a)$ અને $\log(\frac{1}{x}) = -\log(x)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$f(x) = -\log(x) - 2\log(x) - 3\log(x)$
$f(x) = -6\log(x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (-6\log(x))$
$= -6 \times \frac{1}{x} = -\frac{6}{x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$\log(a^b) = b \log(a)$ અને $\log(\frac{1}{x}) = -\log(x)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$f(x) = -\log(x) - 2\log(x) - 3\log(x)$
$f(x) = -6\log(x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (-6\log(x))$
$= -6 \times \frac{1}{x} = -\frac{6}{x}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likesView Solution
17
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$,$x \neq 0$ હોય,તો $\frac{d}{dx}\left(x^3 \cdot f\left(\frac{1}{x}\right)\right) =$ . . . . . .
A
$24x^5 + 15x^4 + 12x^3 + 12x^2$
B
$\frac{x^2}{12} + \frac{x}{6} + \frac{1}{3}$
C
$\frac{12}{x^2} + \frac{6}{x} + 3$
D
$12x^2 + 6x + 3$
Solution
(D) આપેલ છે કે $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$.
સૌ પ્રથમ,$f\left(\frac{1}{x}\right)$ શોધો:
$f\left(\frac{1}{x}\right) = 4\left(\frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{x}\right) + 4 = \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4$.
હવે,તેને $x^3$ વડે ગુણો:
$x^3 \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = x^3 \left(\frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4\right) = 4 + 3x + 3x^2 + 4x^3$.
છેલ્લે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d}{dx}(4 + 3x + 3x^2 + 4x^3) = 0 + 3 + 6x + 12x^2 = 12x^2 + 6x + 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
સૌ પ્રથમ,$f\left(\frac{1}{x}\right)$ શોધો:
$f\left(\frac{1}{x}\right) = 4\left(\frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{x}\right) + 4 = \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4$.
હવે,તેને $x^3$ વડે ગુણો:
$x^3 \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = x^3 \left(\frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4\right) = 4 + 3x + 3x^2 + 4x^3$.
છેલ્લે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d}{dx}(4 + 3x + 3x^2 + 4x^3) = 0 + 3 + 6x + 12x^2 = 12x^2 + 6x + 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likesView Solution
18
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
$\int_0^1 \frac{dx}{(3x+2)+\sqrt{3x+2}} = $ . . . . . . .
A
$-\frac{2}{3} \log \left|\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}+1}\right|$
B
$2 \log |\sqrt{5}+1|$
C
$\frac{2}{3} \log \left|\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}+1}\right|$
D
$\frac{2}{3} \log |\sqrt{5}+1|$
Solution
(C) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{dx}{(3x+2)+\sqrt{3x+2}}$.
$u = \sqrt{3x+2}$ આદેશ લેતા,$u^2 = 3x+2$ મળે,તેથી $2u du = 3 dx$ એટલે કે $dx = \frac{2}{3} u du$.
જ્યારે $x=0$ હોય ત્યારે $u = \sqrt{2}$ અને જ્યારે $x=1$ હોય ત્યારે $u = \sqrt{5}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{\frac{2}{3} u du}{u^2+u} = \frac{2}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{u du}{u(u+1)} = \frac{2}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{du}{u+1}$.
સંકલન કરતા,$I = \frac{2}{3} [\log |u+1|]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}$ મળે.
$I = \frac{2}{3} (\log |\sqrt{5}+1| - \log |\sqrt{2}+1|) = \frac{2}{3} \log \left|\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}+1}\right|$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
$u = \sqrt{3x+2}$ આદેશ લેતા,$u^2 = 3x+2$ મળે,તેથી $2u du = 3 dx$ એટલે કે $dx = \frac{2}{3} u du$.
જ્યારે $x=0$ હોય ત્યારે $u = \sqrt{2}$ અને જ્યારે $x=1$ હોય ત્યારે $u = \sqrt{5}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{\frac{2}{3} u du}{u^2+u} = \frac{2}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{u du}{u(u+1)} = \frac{2}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{du}{u+1}$.
સંકલન કરતા,$I = \frac{2}{3} [\log |u+1|]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}$ મળે.
$I = \frac{2}{3} (\log |\sqrt{5}+1| - \log |\sqrt{2}+1|) = \frac{2}{3} \log \left|\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}+1}\right|$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likesView Solution
19
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $\int \frac{\cos 3x}{\sin x} dx = p \cos 2x + q \log |\sin x| + C$ હોય,તો $p + q =$ . . . . . . .
A
$0$
B
$2$
C
$\frac{3}{2}$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{\cos 3x}{\sin x} dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\cos 3x = (1 - 2 \sin^2 x) \cos x - (2 \sin x \cos x) \sin x = \cos x - 2 \sin^2 x \cos x - 2 \sin^2 x \cos x = \cos x - 4 \sin^2 x \cos x$.
તેથી,$\frac{\cos 3x}{\sin x} = \frac{\cos x - 4 \sin^2 x \cos x}{\sin x} = \cot x - 4 \sin x \cos x = \cot x - 2 \sin 2x$.
હવે,સંકલન કરતા: $\int (\cot x - 2 \sin 2x) dx = \int \cot x dx - 2 \int \sin 2x dx$.
$= \log |\sin x| - 2 (-\frac{\cos 2x}{2}) + C = \log |\sin x| + \cos 2x + C$.
આને $p \cos 2x + q \log |\sin x| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 1$ અને $q = 1$ મળે છે.
તેથી,$p + q = 1 + 1 = 2$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\cos 3x = (1 - 2 \sin^2 x) \cos x - (2 \sin x \cos x) \sin x = \cos x - 2 \sin^2 x \cos x - 2 \sin^2 x \cos x = \cos x - 4 \sin^2 x \cos x$.
તેથી,$\frac{\cos 3x}{\sin x} = \frac{\cos x - 4 \sin^2 x \cos x}{\sin x} = \cot x - 4 \sin x \cos x = \cot x - 2 \sin 2x$.
હવે,સંકલન કરતા: $\int (\cot x - 2 \sin 2x) dx = \int \cot x dx - 2 \int \sin 2x dx$.
$= \log |\sin x| - 2 (-\frac{\cos 2x}{2}) + C = \log |\sin x| + \cos 2x + C$.
આને $p \cos 2x + q \log |\sin x| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 1$ અને $q = 1$ મળે છે.
તેથી,$p + q = 1 + 1 = 2$.
0 likesView Solution
20
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
$\int e^x(2021+\tan x+\tan^2 x) dx = $ . . . . . . $+ C$.
A
$(2021+\tan x) e^x$
B
$(2020+\tan x)$
C
$(2020+\tan x) e^x$
D
$(2000+\tan x) e^x$
Solution
(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int e^x(2021 + \tan x + \tan^2 x) dx = \int e^x(2020 + 1 + \tan^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \sec^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \tan x) dx + \int e^x \sec^2 x dx$.
ધારો કે $f(x) = 2020 + \tan x$. તો $f'(x) = \sec^2 x$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\int e^x(2020 + \tan x + \sec^2 x) dx = e^x(2020 + \tan x) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int e^x(2021 + \tan x + \tan^2 x) dx = \int e^x(2020 + 1 + \tan^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \sec^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \tan x) dx + \int e^x \sec^2 x dx$.
ધારો કે $f(x) = 2020 + \tan x$. તો $f'(x) = \sec^2 x$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\int e^x(2020 + \tan x + \sec^2 x) dx = e^x(2020 + \tan x) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
0 likesView Solution
21
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
સંકલન શોધો: $\int \sqrt{\frac{\cos x - \cos^3 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \text{ . . . . . . } + c$
(જ્યાં,$x \in R - \{\frac{k \pi}{2} \mid k \in Z\}$)
(જ્યાં,$x \in R - \{\frac{k \pi}{2} \mid k \in Z\}$)
A
$\frac{2}{3} \cos^{-1}(\sin^{\frac{3}{2}} x)$
B
$\frac{2}{3} \tan^{-1}(\cos^{\frac{3}{2}} x)$
C
$-\frac{2}{3} \sin^{-1}(\cos^{\frac{3}{2}} x)$
D
$\frac{2}{3} \sin^{-1}(\sin^{\frac{3}{2}} x)$
Solution
(C) ધારો કે $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
અહીં $\sin x$ વર્ગમૂળમાં હોવાથી,આપણે ધન મૂળ $\sin x$ લઈશું.
$I = \int \sin x \sqrt{\frac{\cos x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
ધારો કે $u = \cos^{\frac{3}{2}} x$. તેથી $du = \frac{3}{2} \cos^{\frac{1}{2}} x (-\sin x) \, dx$.
તેથી,$-\frac{2}{3} du = \sqrt{\cos x} \sin x \, dx$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા: $I = \int \sqrt{\frac{\cos x}{1 - (\cos^{\frac{3}{2}} x)^2}} \sin x \, dx$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \left(-\frac{2}{3} du\right) = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + c$.
$u = \cos^{\frac{3}{2}} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(\cos^{\frac{3}{2}} x) + c$ મળે છે.
અહીં $\sin x$ વર્ગમૂળમાં હોવાથી,આપણે ધન મૂળ $\sin x$ લઈશું.
$I = \int \sin x \sqrt{\frac{\cos x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
ધારો કે $u = \cos^{\frac{3}{2}} x$. તેથી $du = \frac{3}{2} \cos^{\frac{1}{2}} x (-\sin x) \, dx$.
તેથી,$-\frac{2}{3} du = \sqrt{\cos x} \sin x \, dx$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા: $I = \int \sqrt{\frac{\cos x}{1 - (\cos^{\frac{3}{2}} x)^2}} \sin x \, dx$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \left(-\frac{2}{3} du\right) = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + c$.
$u = \cos^{\frac{3}{2}} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(\cos^{\frac{3}{2}} x) + c$ મળે છે.
0 likesView Solution
22
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y^2=x$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=4$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.
A
$\frac{14}{3}$
B
$\frac{28}{3}$
C
$\frac{7}{3}$
D
$14$
Solution
(A) પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y^2=x$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=4$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{4} y \, dx$
અહીં $y^2=x$ અને આપણે પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$y = \sqrt{x} = x^{1/2}$ થાય.
$A = \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx$
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
$A = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{2}{3} (7) = \frac{14}{3}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$A = \int_{1}^{4} y \, dx$
અહીં $y^2=x$ અને આપણે પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$y = \sqrt{x} = x^{1/2}$ થાય.
$A = \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx$
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
$A = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{2}{3} (7) = \frac{14}{3}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likesView Solution
23
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
વક્ર $y^2 = 4x$,$Y$-અક્ષ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.
A
$2$
B
$\frac{9}{4}$
C
$3$
D
$\frac{9}{8}$
Solution
(B) આપેલ વક્ર $y^2 = 4x$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $x = \frac{y^2}{4}$.
પ્રદેશ $Y$-અક્ષ $(x = 0)$,વક્ર $x = \frac{y^2}{4}$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા ઘેરાયેલ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$.
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
પ્રદેશ $Y$-અક્ષ $(x = 0)$,વક્ર $x = \frac{y^2}{4}$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા ઘેરાયેલ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$.
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likesView Solution
24
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
પરવલય $x^2 = 12y$ અને તેના નાભિલંબ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે.
A
$24$
B
$\frac{24}{3}$
C
$8$
D
$3$
Solution
(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 12y$ છે. તેને $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
પરવલયનું નાભિ $(0, a) = (0, 3)$ છે.
નાભિલંબનું સમીકરણ $y = 3$ છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $y = \frac{x^2}{12}$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા આવૃત છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y = 3$ ને $x^2 = 12y$ માં મૂકતા,$x^2 = 36$ મળે છે,તેથી $x = \pm 6$.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન $A = \int_{-6}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$.
$A = 2 [3x - \frac{x^3}{36}]_{0}^{6} = 2 [3(6) - \frac{216}{36}] = 2 [18 - 6] = 2(12) = 24$ ચોરસ એકમ.
પરવલયનું નાભિ $(0, a) = (0, 3)$ છે.
નાભિલંબનું સમીકરણ $y = 3$ છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $y = \frac{x^2}{12}$ અને રેખા $y = 3$ દ્વારા આવૃત છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y = 3$ ને $x^2 = 12y$ માં મૂકતા,$x^2 = 36$ મળે છે,તેથી $x = \pm 6$.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન $A = \int_{-6}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$A = 2 \int_{0}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$.
$A = 2 [3x - \frac{x^3}{36}]_{0}^{6} = 2 [3(6) - \frac{216}{36}] = 2 [18 - 6] = 2(12) = 24$ ચોરસ એકમ.
0 likesView Solution
25
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{d^2 y}{d x^2}} = x$ નો ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે . . . . . . છે.
A
$2$ અને વ્યાખ્યાયિત નથી
B
$2$ અને $1$
C
$1$ અને $2$
D
$1$ અને વ્યાખ્યાયિત નથી
Solution
(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{d^2 y}{d x^2}} = x$ છે.
ક્રમ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન જોઈએ છીએ,જે $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે. તેથી,ક્રમ $2$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,વિકલ સમીકરણ તેના વિકલનોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોવું જોઈએ. કારણ કે પદ $\frac{d^2 y}{d x^2}$ એ $e$ ના ઘાતાંકમાં છે,તેથી સમીકરણને તેના વિકલનોની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
ક્રમ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન જોઈએ છીએ,જે $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે. તેથી,ક્રમ $2$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,વિકલ સમીકરણ તેના વિકલનોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોવું જોઈએ. કારણ કે પદ $\frac{d^2 y}{d x^2}$ એ $e$ ના ઘાતાંકમાં છે,તેથી સમીકરણને તેના વિકલનોની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
0 likesView Solution
26
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
વિકલ સમીકરણ $\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^{\frac{3}{2}}=\frac{d^2y}{dx^2}$ ની કક્ષા અને ઘાત અનુક્રમે $p$ અને $q$ છે. તો,$p+q=$ . . . . . . .
A
$2$
B
$6$
C
$4$
D
$5$
Solution
(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^{\frac{3}{2}}=\frac{d^2y}{dx^2}$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^3 = (\frac{d^2y}{dx^2})^2$.
સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $p = 2$.
વિકલ સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $q = 2$.
તેથી,$p+q = 2+2 = 4$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^3 = (\frac{d^2y}{dx^2})^2$.
સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $p = 2$.
વિકલ સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $q = 2$.
તેથી,$p+q = 2+2 = 4$.
0 likesView Solution
27
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + \hat{k}$ છે. તો,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ થાય.
A
$15\sqrt{2}$
B
$\frac{15}{\sqrt{2}}$
C
$15$
D
$\frac{15}{2}$
Solution
(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{20^2 + 5^2 + (-5)^2}$
$= \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}$
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $15\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{20^2 + 5^2 + (-5)^2}$
$= \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}$
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $15\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ છે.
0 likesView Solution
28
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
$\vec{c}$ એ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સરવાળાની દિશામાં એકમ સદિશ છે. જ્યાં,$\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$ હોય,તો $|\vec{c}| = $ . . . . . . .
A
$\frac{4}{\sqrt{29}} \hat{i} + \frac{3}{\sqrt{29}} \hat{j} - \frac{2}{\sqrt{29}} \hat{k}$
B
$0$
C
$1$
D
$-1$
Solution
(C) વ્યાખ્યા મુજબ,એકમ સદિશ એ એવો સદિશ છે જેનું માન $1$ હોય છે.
અહીં $\vec{c}$ એ $(\vec{a} + \vec{b})$ ની દિશામાં એકમ સદિશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી વ્યાખ્યા મુજબ તેનું માન $1$ જ થાય.
તેથી,$|\vec{c}| = 1$.
અહીં $\vec{c}$ એ $(\vec{a} + \vec{b})$ ની દિશામાં એકમ સદિશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી વ્યાખ્યા મુજબ તેનું માન $1$ જ થાય.
તેથી,$|\vec{c}| = 1$.
0 likesView Solution
29
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
સુરેખ પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ $2x + 4y \leq 12$,$x + y \leq 3$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ માટે $Z = 2x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત . . . . . . છે.
A
$0$
B
$6$
C
$9$
D
$12$
Solution
(A) $Z = 2x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પ્રતિબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધીએ છીએ:
$1$. $2x + 4y \leq 12 \implies x + 2y \leq 6$
$2$. $x + y \leq 3$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
- $x + y = 3$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
- $x + y = 3$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(3, 0)$ છે.
- ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પણ એક શિરોબિંદુ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:
- $(0, 0)$ પર: $Z = 2(0) + 3(0) = 0$
- $(3, 0)$ પર: $Z = 2(3) + 3(0) = 6$
- $(0, 3)$ પર: $Z = 2(0) + 3(3) = 9$
આમ,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 0)$ બિંદુ પર $0$ છે.
$1$. $2x + 4y \leq 12 \implies x + 2y \leq 6$
$2$. $x + y \leq 3$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
- $x + y = 3$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
- $x + y = 3$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(3, 0)$ છે.
- ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પણ એક શિરોબિંદુ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:
- $(0, 0)$ પર: $Z = 2(0) + 3(0) = 0$
- $(3, 0)$ પર: $Z = 2(3) + 3(0) = 6$
- $(0, 3)$ પર: $Z = 2(0) + 3(3) = 9$
આમ,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 0)$ બિંદુ પર $0$ છે.
0 likesView Solution
30
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
સુરેખ પ્રતિબંધોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(2, 72)$,$(15, 20)$ અને $(40, 15)$ છે. ધારો કે $Z = 6x + 3y$ એ હેતુલક્ષી વિધેય છે. $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે?
A
$(15, 20)$
B
$(2, 72)$
C
$(40, 15)$
D
$(0, 11)$
Solution
(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.
0 likesView Solution
31
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,જો $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$ હોય,તો . . . . . . .
A
$P(B \mid A) = 0$
B
$P(B \mid A) = 1$
C
$P(A \mid B) = 0$
D
$P(A \mid B) = 1$
Solution
(D) આપેલ સમીકરણ: $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$.
બંને બાજુથી $P(A)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $P(B) - P(A \cap B) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P(B) = P(A \cap B)$.
આ શરત $P(A \cap B) = P(B)$ દર્શાવે છે કે ઘટના $B$ એ ઘટના $A$ નો ઉપગણ છે (એટલે કે $B \subseteq A$).
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
સૂત્રમાં $P(A \cap B) = P(B)$ મૂકતા,આપણને $P(A \mid B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ મળે છે (ધારી લઈએ કે $P(B) \neq 0$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
બંને બાજુથી $P(A)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $P(B) - P(A \cap B) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P(B) = P(A \cap B)$.
આ શરત $P(A \cap B) = P(B)$ દર્શાવે છે કે ઘટના $B$ એ ઘટના $A$ નો ઉપગણ છે (એટલે કે $B \subseteq A$).
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
સૂત્રમાં $P(A \cap B) = P(B)$ મૂકતા,આપણને $P(A \mid B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ મળે છે (ધારી લઈએ કે $P(B) \neq 0$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likesView Solution
32
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય અને $P(A) = p, P(B) = 2p$,તથા $P(A \text{ અને } B \text{ માંથી બરાબર એક ઘટના ઉદભવે}) = \frac{5}{9}$ હોય,તો $p$ ની કિંમત શોધો.
A
$\frac{1}{12}, \frac{5}{3}$
B
$\frac{1}{3}, \frac{5}{12}$
C
$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$
D
$\frac{2}{15}, \frac{5}{12}$
Solution
(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે,$P(A) = p$ અને $P(B) = 2p$.
ઘટના $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના ઉદભવવાની સંભાવના $P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$P(A \cap B^c) = P(A)P(B^c) = p(1 - 2p)$ અને $P(A^c \cap B) = P(A^c)P(B) = (1 - p)(2p)$.
તેથી,$P(\text{બરાબર એક}) = p(1 - 2p) + 2p(1 - p) = \frac{5}{9}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$p - 2p^2 + 2p - 2p^2 = \frac{5}{9}$.
આનું સાદું રૂપ $3p - 4p^2 = \frac{5}{9}$ અથવા $4p^2 - 3p + \frac{5}{9} = 0$ મળે છે.
$9$ વડે ગુણતા,$36p^2 - 27p + 5 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $36p^2 - 12p - 15p + 5 = 0 \implies 12p(3p - 1) - 5(3p - 1) = 0$.
તેથી,$(12p - 5)(3p - 1) = 0$.
આથી $p = \frac{5}{12}$ અથવા $p = \frac{1}{3}$ મળે છે.
ઘટના $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના ઉદભવવાની સંભાવના $P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $B$ નિરપેક્ષ હોવાથી,$P(A \cap B^c) = P(A)P(B^c) = p(1 - 2p)$ અને $P(A^c \cap B) = P(A^c)P(B) = (1 - p)(2p)$.
તેથી,$P(\text{બરાબર એક}) = p(1 - 2p) + 2p(1 - p) = \frac{5}{9}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$p - 2p^2 + 2p - 2p^2 = \frac{5}{9}$.
આનું સાદું રૂપ $3p - 4p^2 = \frac{5}{9}$ અથવા $4p^2 - 3p + \frac{5}{9} = 0$ મળે છે.
$9$ વડે ગુણતા,$36p^2 - 27p + 5 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $36p^2 - 12p - 15p + 5 = 0 \implies 12p(3p - 1) - 5(3p - 1) = 0$.
તેથી,$(12p - 5)(3p - 1) = 0$.
આથી $p = \frac{5}{12}$ અથવા $p = \frac{1}{3}$ મળે છે.
0 likesView Solution
33
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $A$ અને $B$ બે એવી ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(A) \neq 0$ અને $P(B \mid A) = 1$ થાય,તો . . . . . . .
A
$B \subset A$
B
$A = \varnothing$
C
$B = \varnothing$
D
$A \subset B$
Solution
(D) આપેલ છે કે $P(B \mid A) = 1$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કારણ કે $P(B \mid A) = 1$,તેથી $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = P(A)$.
આ સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જો $A \subseteq B$ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કારણ કે $P(B \mid A) = 1$,તેથી $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = P(A)$.
આ સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જો $A \subseteq B$ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likesView Solution
34
MathematicsEasyMCQGUJCET · 2021
જો $P(A) = \frac{6}{11}$,$P(B) = \frac{5}{11}$ અને $P(A \cup B) = \frac{7}{11}$ હોય,તો $P(A \mid B) = $ . . . . . . .
A
$\frac{4}{5}$
B
$\frac{4}{11}$
C
$\frac{2}{3}$
D
$\frac{2}{11}$
Solution
(A) આપણને આપેલ છે કે $P(A) = \frac{6}{11}$,$P(B) = \frac{5}{11}$ અને $P(A \cup B) = \frac{7}{11}$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$.
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$.
હવે,શરતી સંભાવના $P(A \mid B)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$P(A \mid B) = \frac{4/11}{5/11} = \frac{4}{5}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમ મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$.
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$.
હવે,શરતી સંભાવના $P(A \mid B)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$P(A \mid B) = \frac{4/11}{5/11} = \frac{4}{5}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real GUJCET style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live GUJCET mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in GUJCET 2021?
There are 34 Mathematics questions from the GUJCET 2021 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are GUJCET 2021 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice GUJCET 2021 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full GUJCET mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from GUJCET previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix GUJCET Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick GUJCET 2021 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.