GUJCET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) રાશિ $\frac{B^2}{2\mu_0}$ એ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $(u_B)$ દર્શાવે છે,જે એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઉર્જા $(E)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
કદ $(V)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
તેથી,ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ એ ક્રિયા (action) ના પરિમાણો ધરાવે છે,જે ઉર્જા અને સમયના ગુણાકાર $(E \times t)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઉર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે અને સમયનો એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે,તેથી પ્લાન્ક અચળાંકનો એકમ $J \cdot s$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન $(L)$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ નો ગુણાકાર છે,અથવા $L = mvr$ છે.
કોણીય વેગમાનના પરિમાણો $[M L^2 T^{-1}]$ છે,જે પ્લાન્ક અચળાંકના પરિમાણો સાથે સમાન છે.
તેથી,પ્લાન્ક અચળાંક અને કોણીય વેગમાન બંનેના $SI$ એકમ સમાન છે,જે $kg \cdot m^2/s$ અથવા $J \cdot s$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સંબંધ નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક ન્યુક્લાઇડ માટે ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ સૂત્ર $N = A - Z$ નો ઉપયોગ કરીને ગણીએ છીએ,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$^{197}_{79} \text{Au}$ માટે: $A = 197$,$Z = 79$. તેથી,$N = 197 - 79 = 118$.
$^{198}_{80} \text{Hg}$ માટે: $A = 198$,$Z = 80$. તેથી,$N = 198 - 80 = 118$.
બંને ન્યુક્લાઇડ્સમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા સમાન $(N = 118)$ હોવાથી,તેમને આઇસોટોન્સ (isotones) તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(C) દોલન કરતો વીજભાર એ વીજભારના દોલનની આવૃત્તિ જેટલી જ આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,દોલન કરતા કણની આવૃત્તિ $8 \times 10^9 \text{ Hz}$ હોવાથી,ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ પણ $8 \times 10^9 \text{ Hz}$ જ હશે.

(D) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મરમાં,ઇનપુટ પાવર એ આઉટપુટ પાવર જેટલો હોય છે,તેથી $V_p I_p = V_s I_s$.
ટ્રાન્સફોર્મર માટે,વોલ્ટેજ,પ્રવાહ અને આંટાની સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p} = \frac{I_p}{I_s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $N_p = 100$,$N_s = 200$,અને $I_s = 5 \text{ A}$ છે.
સંબંધ $\frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_p = I_s \times \frac{N_s}{N_p}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_p = 5 \times \frac{200}{100} = 5 \times 2 = 10 \text{ A}$.
તેથી,ઇનપુટ પ્રવાહ $10 \text{ A}$ છે.

(B) $LC$ પરિપથમાં મુક્ત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માટેનું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $L = 27 \text{ mH} = 27 \times 10^{-3} \text{ H}$ અને $C = 30 \mu\text{F} = 30 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-8}}}$
$\omega = \frac{1}{9 \times 10^{-4}}$
$\omega = \frac{10^4}{9} \approx 1111.11 \text{ rad/s}$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $1100 \text{ rad/s}$ છે.

(B) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ છે.
આપેલ કિંમતો: આવૃત્તિ $f = 50 \text{ Hz}$ અને કેપેસિટન્સ $C = 15.0 \mu\text{F} = 15.0 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 50 \times 15.0 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{314.159 \times 15.0 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{4712.385 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{10^6}{4712.385} \approx 212.2 \Omega$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $212 \Omega$ મળે છે.

(C) કોઈલનું આત્મપ્રેરકત્વ $L$ એ માત્ર તેના ભૌમિતિક પરિમાણો પર આધાર રાખે છે,જેમ કે આંટાની સંખ્યા $N$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,કોઈલની લંબાઈ અને કોર મટીરીયલની ચુંબકીય પરમીએબિલિટી.
તે કોઈલમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના મૂલ્ય પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો વિદ્યુતપ્રવાહ બમણો કરવામાં આવે,તો પણ આત્મપ્રેરકત્વમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,નવું આત્મપ્રેરકત્વ $L$ જ રહેશે.

(C) $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r_2}$ છે.
અહીં $r_1 \ll r_2$ હોવાથી,મોટા ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A = \frac{\mu_0 I}{2r_2} \times (\pi r_1^2)$ થાય.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વની વ્યાખ્યા મુજબ $M = \frac{\phi}{I}$ છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2r_2}$ મળે છે.
આમ,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ એ $\frac{r_1^2}{r_2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) સુપરકન્ડક્ટર્સ 'માઈસનર અસર' (Meissner effect) દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સંપૂર્ણ ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો છે.
સંપૂર્ણ ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ માટે,આંતરિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $0$ હોય છે.
સૂત્ર $B = \mu_0(H + M) = 0$ પરથી,આપણને $M = -H$ મળે છે.
ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ ને મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\chi = M/H$.
$M = -H$ મૂકતા,આપણને $\chi = -H/H = -1$ મળે છે.

(B) સોલેનોઈડની ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ શોધવાનું સૂત્ર $m = N \cdot I \cdot A$ છે.
અહીં,આંટાની સંખ્યા $N = 800$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 3.0 \text{ A}$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$m = 800 \times 3.0 \times 2.5 \times 10^{-4}$
$m = 2400 \times 2.5 \times 10^{-4}$
$m = 6000 \times 10^{-4}$
$m = 0.6 \text{ JT}^{-1}$.
આમ,સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $0.60 \text{ JT}^{-1}$ છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = qvB$ છે.
આ ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $qvB = \frac{mv^2}{R}$.
ત્રિજ્યા $R$ માટે ઉકેલતા,આપણને $R = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T$ એ એક પૂર્ણ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે,જે $T = \frac{2\pi R}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ ના સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ મળે છે.
આમ,$T$ ફક્ત દળ $m$,વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે રેખીય ઝડપ $v$ અને ત્રિજ્યા $R$ બંનેથી સ્વતંત્ર છે.

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
અહીં આપેલ મૂલ્યો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 90 \text{ A}$ અને અંતર $r = 1.5 \text{ m}$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 90}{2\pi \times 1.5}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 90}{1.5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 60 = 120 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો વિદ્યુતપ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ વહેતો હોય,તો તારની ઉપરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્તર દિશા તરફ હોય છે.

(C) પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $I_s = \frac{NAB}{k}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $k$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે.
જો $N$ બમણું કરવામાં આવે,તો $I_s$ એ $2 \times I_s$ થાય છે,એટલે કે તે બમણી થાય છે.
વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $V_s = \frac{I_s}{R} = \frac{NAB}{kR}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $R$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
અવરોધ $R$ એ તારની લંબાઈના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,અને લંબાઈ એ આંટાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોવાથી $(R \propto N)$,$N$ બમણું કરવાથી $R$ પણ બમણું થાય છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $V_s = \frac{(2N)AB}{k(2R)} = \frac{NAB}{kR}$.
આમ,વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા અપરિવર્તિત રહે છે.

(D) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$.
આપેલ આકૃતિ પરથી,અવરોધો $P = 2\Omega$,$Q = 2\Omega$,$R = 6\Omega$ છે અને બાજુ $S$ માં $X$ અને $6\Omega$ નો અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં છે.
બાજુ $S$ માં સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $S = \frac{X \cdot 6}{X + 6}$ થાય.
સંતુલિત બ્રિજની શરત લાગુ પાડતા: $\frac{2}{2} = \frac{6}{\left(\frac{6X}{X + 6}\right)}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 = \frac{6(X + 6)}{6X}$ મળે.
$1 = \frac{X + 6}{X}$.
અહીં $CD_{eq} = 2\Omega$ હોવાથી,$\frac{X \cdot 6}{X + 6} = 2$ થાય.
$6X = 2(X + 6)$.
$6X = 2X + 12$.
$4X = 12$,તેથી $X = 3\Omega$ મળે.

(C) જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R$ એ બેટરીના આંતરિક અવરોધ $r$ જેટલો હોય $(R = r)$,ત્યારે બેટરીમાંથી મહત્તમ પાવર મેળવી શકાય છે.
બાહ્ય અવરોધમાં વપરાતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = I^2 R = \left(\frac{E}{R+r}\right)^2 \cdot R$.
મહત્તમ પાવર માટે $R = r$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P_{max} = \frac{E^2 r}{(r+r)^2} = \frac{E^2 r}{4r^2} = \frac{E^2}{4r}$.
અહીં આપેલ કિંમતો $E = 6.0 \ V$ અને $r = 0.2 \ \Omega$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P_{max} = \frac{(6.0)^2}{4 \times 0.2} = \frac{36}{0.8} = 45 \ W$.
તેથી,બેટરીમાંથી મેળવી શકાતી મહત્તમ પાવર $45 \ W$ છે.

(A) વાહકનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ પ્રવાહની દિશામાં વાહકની લંબાઈ છે,અને $A$ એ પ્રવાહની દિશાને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
અવરોધ $R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે લંબાઈ $l$ ને મહત્તમ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ને ન્યૂનતમ બનાવવાની જરૂર છે.
જ્યારે બેટરી $1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$ ની બાજુઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $10 \text{ cm}$ ની લંબાઈ સાથે વહે છે. તેથી,$l = 10 \text{ cm}$ અને $A = 1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm} = 0.5 \text{ cm}^2$ થાય.
અવરોધ $R = \rho \frac{10}{0.5} = 20\rho$ મળે છે.
અન્ય બે દિશાઓ માટે,લંબાઈ $l$ કાં તો $1 \text{ cm}$ અથવા $0.5 \text{ cm}$ હશે,અને ક્ષેત્રફળ $A$ મોટું હશે,જેના પરિણામે અવરોધનું મૂલ્ય ઓછું મળે છે.
તેથી,જ્યારે બેટરી $1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$ ની બાજુઓ પર જોડવામાં આવે ત્યારે અવરોધ મહત્તમ હોય છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = PE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^\circ$ છે.
અંતે,ડાયપોલને $90^\circ$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 90^\circ$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = PE(\cos 0^\circ - \cos 90^\circ)$
કારણ કે $\cos 0^\circ = 1$ અને $\cos 90^\circ = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$W = PE(1 - 0) = PE$.

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોળીય કવચ માટે,કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
કવચની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં અંતર $r = R/2$ એ ત્રિજ્યા $R$ કરતા ઓછું હોવાથી (એટલે કે,બિંદુ કવચની અંદર છે),આ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ રહેશે.
તેથી,$r = R/2$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ થશે.

(D) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1.0 \text{ pF}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$ અને જગ્યાને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $d' = 2d$ મૂકતા,આપણને $C = \frac{K \epsilon_0 A}{2d} = \frac{K}{2} \times C_0$ મળે છે.
આપેલ છે કે $C = 2.0 \text{ pF}$ અને $C_0 = 1.0 \text{ pF}$,તેથી $2.0 = \frac{K}{2} \times 1.0$.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = 2.0 \times 2 = 4.0$ મળે છે.

(A) અનંત લંબાઈના રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તારની વચ્ચેના મધ્યબિંદુએ,દરેક તારથી અંતર $r = R$ થાય છે.
ધન વિદ્યુતભારિત તાર $(+\lambda)$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે અને ઋણ વિદ્યુતભારિત તાર $(-\lambda)$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેની તરફની દિશામાં હોય છે.
મધ્યબિંદુ બંને તારની વચ્ચે હોવાથી,બંને વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો એક જ દિશામાં (ધન તારથી ઋણ તાર તરફ) હોય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{total} = E_1 + E_2 = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} + \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} = \frac{2\lambda}{2\pi \epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{\pi \epsilon_0 R}$ થાય.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભારને ઘનના એક શિરોબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઘન વિદ્યુતભારની આસપાસની કુલ જગ્યાનો માત્ર $\frac{1}{8}$ ભાગ રોકે છે,કારણ કે વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણપણે ઘેરવા માટે $8$ સમાન ઘનની જરૂર પડે છે.
તેથી,ઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{1}{8} \times \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{q}{8\varepsilon_0}$ થાય છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = \frac{qE}{m}$.
પ્રોટોન માટે,વિદ્યુતભાર $q_p = e$ અને દળ $m_p$ છે. તેથી,$a_p = \frac{eE}{m_p}$.
$\alpha$-કણ માટે,વિદ્યુતભાર $q_\alpha = 2e$ અને દળ $m_\alpha = 4m_p$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$a_\alpha = \frac{2eE}{4m_p} = \frac{1}{2} \frac{eE}{m_p} = \frac{a_p}{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{a_p}{a_\alpha} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $a_p : a_\alpha = 2 : 1$.

(B) ત્રિસંયોજક અશુદ્ધિઓમાં $3$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન હોય છે અને તે આવર્ત કોષ્ટકના સમૂહ $13$ ના તત્વો છે (જેમ કે $B, Al, Ga, In$).
પંચસંયોજક અશુદ્ધિઓમાં $5$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન હોય છે અને તે આવર્ત કોષ્ટકના સમૂહ $15$ ના તત્વો છે (જેમ કે $N, P, As, Sb$).
એન્ટિમની $(Sb)$ એ સમૂહ $15$ નું તત્વ છે,તેથી તે પંચસંયોજક અશુદ્ધિ છે,ત્રિસંયોજક નથી.

(A) ફુલ-વેવ રેક્ટિફાયર માટે,આઉટપુટ આવૃત્તિ $(f_{out})$ એ ઇનપુટ આવૃત્તિ $(f_{in})$ કરતા બમણી હોય છે.
આ સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f_{out} = 2 \times f_{in}$.
અહીં આપેલ છે કે આઉટપુટ આવૃત્તિ $(f_{out})$ $100 \text{ Hz}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $100 \text{ Hz} = 2 \times f_{in}$.
તેથી,$f_{in} = \frac{100 \text{ Hz}}{2} = 50 \text{ Hz}$.

(B) ફોરવર્ડ બાયસિંગમાં,બાહ્ય બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $p$-પ્રકારના વિસ્તાર સાથે અને ઋણ ટર્મિનલ $n$-પ્રકારના વિસ્તાર સાથે જોડવામાં આવે છે.
આ ગોઠવણી મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સને જંકશન તરફ ધકેલે છે.
પરિણામે,ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ ઘટે છે,જે અસરકારક રીતે $p-n$ જંકશન પરના પોટેન્શિયલ બેરિયરને ઘટાડે છે.

(A) અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f = -15 \text{ cm}$ અને વસ્તુ અંતર $u = -10 \text{ cm}$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{-15} - \frac{1}{-10} = -\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{-2 + 3}{30} = \frac{1}{30}$.
આમ,$v = +30 \text{ cm}$.
અહીં $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે આભાસી અને ચત્તું છે.
મોટવણી $m = -\frac{v}{u} = -\frac{30}{-10} = +3$.
મોટવણી $m$ ધન છે અને $|m| > 1$ હોવાથી,પ્રતિબિંબ આભાસી,ચત્તું અને વિવર્ધિત (મોટું) છે.

(B) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની મોટવણી $M$ નું સૂત્ર $M \approx \frac{L}{f_o} \times \frac{D}{f_e}$ છે.
અહીં,$L = 20 \text{ cm}$ (ટ્યુબની લંબાઈ),$f_o = 1.0 \text{ cm}$ (ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ),$f_e = 2.0 \text{ cm}$ (આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ) અને $D = 25 \text{ cm}$ (નજીકના બિંદુનું અંતર) છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{20}{1.0} \times \frac{25}{2.0}$
$M = 20 \times 12.5$
$M = 250$.
તેથી,મોટવણીનું મૂલ્ય $250$ છે.

(B) જ્યારે બે પાતળા લેન્સ એકબીજાના સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{F} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ મળે છે.
લેન્સનો પાવર $P$ એ તેની કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $P = \frac{1}{F}$.
તેથી,સંયોજનનો સમતુલ્ય પાવર $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ થાય છે.

(A) $1$. આકૃતિ પરથી,આપાત કિરણ પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે. તેથી,આપાતકોણ $i = 0^\circ$ છે,અને કિરણ વિચલન પામ્યા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
$2$. પ્રિઝમ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં એક ખૂણો $60^\circ$ છે. ઉપરના શિરોબિંદુનો ખૂણો $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ થશે.
$3$. પ્રિઝમની અંદર,કિરણ બીજી સપાટી (કર્ણ) પર અથડાય છે. આ સપાટી પરનો આપાતકોણ $(r_2)$ એ લંબ અને કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કિરણ પ્રથમ સપાટીને લંબ હોવાથી,બીજી સપાટી પરનો આપાતકોણ $r_2 = 30^\circ$ થશે.
$4$. બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $n_1 \sin(r_2) = n_2 \sin(e)$,જ્યાં $n_1 = \sqrt{3}$,$n_2 = 1$,અને $r_2 = 30^\circ$.
$5$. $\sqrt{3} \sin(30^\circ) = 1 \times \sin(e)$.
$6$. $\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin(e) \implies \sin(e) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$7$. તેથી,$e = 60^\circ$.

(C) તરંગ અગ્ર (wave front) એટલે સમાન કળામાં દોલન કરતા તમામ બિંદુઓનો બિંદુસમૂહ.
કારણ કે એક જ તરંગ અગ્ર પરના દરેક બિંદુ સમાન કળામાં કંપન કરે છે,તેથી એક જ તરંગ અગ્ર પરના કોઈપણ બે કણો વચ્ચેનો કળા તફાવત $0$ હોય છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને આવૃત્તિના વધતા ક્રમમાં અથવા તરંગલંબાઇના ઘટતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે.
આ વિકિરણો માટે તરંગલંબાઇનો સામાન્ય ક્રમ આ મુજબ છે: $\lambda_{\text{microwave}} > \lambda_{\text{visible}} > \lambda_{\text{X-rays}}$.
અહીં આપેલ છે કે $\lambda_m$ એ માઇક્રોવેવ્સની તરંગલંબાઇ છે,$\lambda_v$ એ દ્રશ્યમાન કિરણોની તરંગલંબાઇ છે અને $\lambda_x$ એ $X$-કિરણોની તરંગલંબાઇ છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\lambda_m > \lambda_v > \lambda_x$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે: સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
પડદાનું અંતર $D = 2.0 \text{ m}$.
શલાકાનો ક્રમ $n = 3$.
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = 1.5 \text{ cm} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન માટેનું સૂત્ર $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\lambda = \frac{y_n d}{n D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{1.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-4}}{3 \times 2.0}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{6} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \times 10^{10} \mathring{A} = 5000 \mathring{A}$.
આમ,વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $5000 \mathring{A}$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = h\nu - \Phi$ છે,જ્યાં $\Phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણને $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા,આપણને $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\Phi}{e}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V_0$ અને $x = \nu$ છે,તેથી ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ અને સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K_{max} = eV_0$ છે.
અહીં કટ-ઓફ વોલ્ટેજ (સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ) $V_0 = 1.5 \text{ V}$ આપેલ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $K_{max} = e \times 1.5 \text{ V} = 1.5 \text{ eV}$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $1.5 \text{ eV}$ છે.

(B) ફોટોન માટે,વેગમાન $p$ એ $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
દ-બ્રોગ્લી સંબંધ મુજબ,$p$ વેગમાન ધરાવતા કણ સાથે સંકળાયેલ તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = \frac{h}{p}$ છે.
$p$ માટેના સમીકરણને દ-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\lambda' = \frac{h}{h/\lambda} = \lambda$ મળે છે.
આમ,ફોટોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ તેની સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તરંગલંબાઈ જેટલી જ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં,ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E$ તેની ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$E = -K$
$U = 2E$
આપેલ છે કે કુલ ઊર્જા $E = -13.6 \text{ eV}$ છે,તેથી આપણે $K$ અને $U$ શોધી શકીએ છીએ:
$K = -E = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$
$U = 2E = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{13.6 \text{ eV}}{-27.2 \text{ eV}} = -\frac{1}{2}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 r_1$ છે,જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા (બોહર ત્રિજ્યા) છે.
અહીં $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$ અને $n = 3$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$r_3 = 3^2 \times (5.3 \times 10^{-11} \text{ m})$
$r_3 = 9 \times 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 47.7 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$.
આમ,$n = 3$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જા $E$ એ $E = mc^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 1.0 \text{ kg}$
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = 1.0 \text{ kg} \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2$
$E = 1.0 \times 9 \times 10^{16} \text{ J}$
$E = 9 \times 10^{16} \text{ J}$
તેથી,$1.0 \text{ kg}$ પદાર્થનું ઉર્જા સમતુલ્ય $9 \times 10^{16} \text{ J}$ છે.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ ની ગણતરી $R = R_0 A^{1/3}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \text{ fm}$ અને $A$ એ ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ન્યુક્લિયસમાં માત્ર એક પ્રોટોન હોય છે,તેથી દળ ક્રમાંક $A = 1$ થાય.
સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = 1.2 \times (1)^{1/3} \text{ fm}$
$R = 1.2 \times 1 \text{ fm} = 1.2 \text{ fm}$.
આમ,હાઇડ્રોજન પરમાણુની ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $1.2 \text{ fm}$ છે.
સાચો વિકલ્પ $B$ છે.