AIEEE 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) सार्थक अंकों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं:
$(i)$ सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
$(ii)$ दो गैर-शून्य अंकों के बीच के सभी शून्य सार्थक होते हैं।
$(iii)$ $1$ से छोटी संख्याओं के लिए,दशमलव बिंदु के दाईं ओर और पहले गैर-शून्य अंक के बाईं ओर के शून्य सार्थक नहीं होते हैं।
$(iv)$ $10$ की घात को सार्थक अंकों के लिए नहीं गिना जाता है।
इन नियमों को लागू करने पर:
$1$. $23.023$ के लिए: सभी $5$ अंक सार्थक हैं। अतः,सार्थक अंक $= 5$ हैं।
$2$. $0.0003$ के लिए: $3$ से पहले के शून्य सार्थक नहीं हैं। केवल अंक $3$ सार्थक है। अतः,सार्थक अंक $= 1$ हैं।
$3$. $2.1 \times 10^3$ के लिए: $10$ की घात को छोड़ दिया जाता है। अंक $2$ और $1$ सार्थक हैं। अतः,सार्थक अंक $= 2$ हैं।
इस प्रकार,सार्थक अंकों की संख्या क्रमशः $5, 1, 2$ है।

(A) दिया गया वेग सदिश $\vec v = K(y\hat i + x\hat j)$ है।
हम जानते हैं कि $\vec v = v_x \hat i + v_y \hat j = \frac{dx}{dt} \hat i + \frac{dy}{dt} \hat j$ होता है।
घटकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{dx}{dt} = Ky$ और $\frac{dy}{dt} = Kx$ प्राप्त होता है।
कण का पथ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों को विभाजित करते हैं: $\frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{Kx}{Ky}$।
यह सरल होकर $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y \, dy = x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int y \, dy = \int x \, dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C'$ है,जहाँ $C'$ एक स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 = x^2 + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C = 2C'$ एक अन्य स्थिरांक है।
अतः,पथ का समीकरण $y^2 = x^2 + \text{स्थिरांक}$ है।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ होता है,जो हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
$x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,स्थिति सदिश $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
अभिकेंद्र त्वरण सदिश $\vec{a}_c$ बिंदु $P$ से मूल बिंदु $O$ की ओर इंगित करता है।
अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{V^2}{R}$ है।
इस सदिश को घटकों में वियोजित करने पर:
$x$-घटक $a_x = -a_c \cos\theta = -\frac{V^2}{R} \cos\theta$ है।
$y$-घटक $a_y = -a_c \sin\theta = -\frac{V^2}{R} \sin\theta$ है।
अतः,त्वरण सदिश $\vec{a} = -\frac{V^2}{R} \cos\theta \hat{i} - \frac{V^2}{R} \sin\theta \hat{j}$ है।

(A) दिया गया है,पथ की लंबाई $s = t^3 + 5$ है।
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 5) = 3t^2 \ m/s$ है।
स्पर्शीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t \ m/s^2$ है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(3t^2)^2}{R} = \frac{9t^4}{R} \ m/s^2$ है।
$t = 2 \ s$ पर:
$a_t = 6 \times 2 = 12 \ m/s^2$ है।
$a_c = \frac{9 \times (2)^4}{20} = \frac{9 \times 16}{20} = \frac{144}{20} = 7.2 \ m/s^2$ है।
परिणामी त्वरण $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$ है।
$a = \sqrt{(12)^2 + (7.2)^2} = \sqrt{144 + 51.84} = \sqrt{195.84} \approx 14 \ m/s^2$ है।

(C) आवेग $J$ रैखिक संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है,$\Delta p = m(v_f - v_i)$।
ग्राफ से,गति निरंतर वेग वाले खंडों से बनी है।
समय अंतराल $t = 0$ से $t = 2 \; s$ के लिए,विस्थापन $2 \; m$ है। अतः,प्रारंभिक वेग $v_i = \frac{2 \; m}{2 \; s} = 1 \; m/s$ है।
समय अंतराल $t = 2 \; s$ से $t = 4 \; s$ के लिए,विस्थापन $-2 \; m$ है। अतः,अंतिम वेग $v_f = \frac{-2 \; m}{2 \; s} = -1 \; m/s$ है।
पिंड का द्रव्यमान $m = 0.4 \; kg$ है।
प्रत्येक टक्कर पर ($t = 2, 6, 10, 14 \; s$ पर) आवेग $J$ इस प्रकार होगा:
$J = m(v_f - v_i) = 0.4 \; kg \times (-1 \; m/s - 1 \; m/s) = 0.4 \times (-2) = -0.8 \; kg \cdot m/s$।
आवेग का परिमाण $|J| = |-0.8| = 0.8 \; N \cdot s$ है।

(B) क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले घर्षण रहित नत समतल पर स्थित ब्लॉक के लिए,समतल के अनुदिश त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
इस त्वरण का ऊर्ध्वाधर घटक $a_v = a \sin \theta = (g \sin \theta) \sin \theta = g \sin^2 \theta$ है।
ब्लॉक $A$ के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ है। अतः,इसका ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_{vA} = g \sin^2(30^\circ) = g(1/2)^2 = g/4$ है।
ब्लॉक $B$ के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ है। अतः,इसका ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_{vB} = g \sin^2(60^\circ) = g(\sqrt{3}/2)^2 = 3g/4$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का सापेक्ष ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_{rel} = a_{vA} - a_{vB} = g/4 - 3g/4 = -g/2 = -4.9 \ m/s^2$ है।
इसका परिमाण नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा में $4.9 \ m/s^2$ है।

(B) पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में,कण आपस में जुड़ जाते हैं और एक समान वेग से गति करते हैं। निकाय की गतिज ऊर्जा पूरी तरह से नष्ट नहीं होती है क्योंकि संवेग संरक्षण के कारण अंतिम निकाय में कुछ गतिज ऊर्जा शेष रहती है। अतः,कथन $-1$ सत्य है।
रैखिक संवेग संरक्षण का सिद्धांत एक मूलभूत नियम है जो बाहरी बलों की अनुपस्थिति में सभी प्रकार की टक्करों (प्रत्यास्थ या अप्रत्यास्थ) पर लागू होता है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
कथन $-2$ यह आधार प्रदान करता है कि टक्कर के बाद निकाय ऊर्जा क्यों बनाए रखता है,क्योंकि संवेग संरक्षण हमें अंतिम उभयनिष्ठ वेग और संयुक्त निकाय की शेष गतिज ऊर्जा की गणना करने की अनुमति देता है। इसलिए,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

(C) साम्यावस्था पर,बल शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि दूरी के सापेक्ष स्थितिज ऊर्जा का अवकलन शून्य होता है: $\frac{dU(x)}{dx} = 0$.
दिया गया है $U(x) = ax^{-12} - bx^{-6}$,इसका अवकलन करने पर:
$\frac{dU}{dx} = -12ax^{-13} + 6bx^{-7} = 0$.
$12ax^{-13} = 6bx^{-7} \Rightarrow \frac{2a}{x^6} = b \Rightarrow x^6 = \frac{2a}{b}$.
अब,$U_{\text{at equilibrium}}$ ज्ञात करने के लिए $x^6 = \frac{2a}{b}$ को स्थितिज ऊर्जा फलन में रखने पर:
$U_{\text{at equilibrium}} = \frac{a}{(x^6)^2} - \frac{b}{x^6} = \frac{a}{(2a/b)^2} - \frac{b}{(2a/b)} = \frac{a}{4a^2/b^2} - \frac{b^2}{2a} = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} = -\frac{b^2}{4a}$.
चूंकि $U(x = \infty) = 0$,इसलिए वियोजन ऊर्जा $D$ है:
$D = U(\infty) - U_{\text{at equilibrium}} = 0 - (-\frac{b^2}{4a}) = \frac{b^2}{4a}$.

(C) दी गई घनत्व स्थिति: $\rho_{\text{oil}} < \rho < \rho_{\text{water}}$.
$1$. चूंकि तेल पानी से कम घना है,इसलिए यह पानी की परत के ऊपर तैरेगा।
$2$. गेंद का घनत्व $\rho$ तेल के घनत्व से अधिक $(\rho > \rho_{\text{oil}})$ है,इसलिए यह तेल की परत में नीचे डूब जाएगी।
$3$. गेंद का घनत्व $\rho$ पानी के घनत्व से कम $(\rho < \rho_{\text{water}})$ है,इसलिए यह पानी की परत पर तैरेगी।
$4$. परिणामस्वरूप,गेंद तेल और पानी के बीच की सतह पर स्थिर हो जाएगी,जो दोनों में आंशिक रूप से डूबी होगी। यह उस विन्यास के अनुरूप है जहाँ तेल ऊपर है और पानी नीचे है,और गेंद उनकी सीमा पर स्थित है।

(A) दिया गया तरंग समीकरण $y = 0.02 \sin \left[ 2\pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.50} \right) \right]$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin (\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{0.04} \ rad/s$ और तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{0.50} \ rad/m$ है।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi / 0.04}{2\pi / 0.50} = \frac{0.50}{0.04} = 12.5 \ m/s$ है।
तनी हुई डोरी पर तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 0.04 \ kg/m$ दिया गया है,इसलिए $T = v^2 \mu$ होगा।
मान रखने पर,$T = (12.5)^2 \times 0.04 = 156.25 \times 0.04 = 6.25 \ N$।

(C) $t$ समय पर कण का स्थिति सदिश इस प्रकार है:
$\vec{r} = (v_0 \cos \theta) t \hat{i} + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}$
$t$ समय पर कण का वेग सदिश इस प्रकार है:
$\vec{v} = (v_0 \cos \theta) \hat{i} + (v_0 \sin \theta - gt) \hat{j}$
कोणीय संवेग $\vec{L}$ को $\vec{L} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\vec{L} = m [((v_0 \cos \theta) t \hat{i} + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}) \times ((v_0 \cos \theta) \hat{i} + (v_0 \sin \theta - gt) \hat{j})]$
क्रॉस प्रोडक्ट करने पर:
$\vec{L} = m [((v_0 \cos \theta) t) (v_0 \sin \theta - gt) (\hat{i} \times \hat{j}) + ((v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2) (v_0 \cos \theta) (\hat{j} \times \hat{i})]$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$\vec{L} = m [((v_0^2 \sin \theta \cos \theta) t - v_0 g t^2 \cos \theta) \hat{k} - ((v_0^2 \sin \theta \cos \theta) t - \frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta) \hat{k}]$
$\vec{L} = m [v_0^2 \sin \theta \cos \theta t - v_0 g t^2 \cos \theta - v_0^2 \sin \theta \cos \theta t + \frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta] \hat{k}$
$\vec{L} = m [-\frac{1}{2} v_0 g t^2 \cos \theta] \hat{k} = -\frac{1}{2} mg v_0 t^2 \cos \theta \hat{k}$

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_H V_1^{\gamma-1} = T_C V_2^{\gamma-1}$,जहाँ $T_H$ स्रोत का तापमान है और $T_C$ सिंक का तापमान है।
यह दिया गया है कि गैस द्वि-परमाणुक है,इसलिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4$ है।
आयतन $V_1 = V$ से बदलकर $V_2 = 32V$ हो जाता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{T_C}{T_H} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V}{32V}\right)^{1.4-1} = \left(\frac{1}{32}\right)^{0.4}$.
चूंकि $32 = 2^5$,हमें प्राप्त होता है $\left(\frac{1}{2^5}\right)^{0.4} = \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ होती है।
$\eta = 1 - 0.25 = 0.75$.

(B) यदि धारा कागज से बाहर की ओर बहती है,तो तार के दाईं ओर के बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर और बाईं ओर नीचे की ओर होगा। मान लीजिए कि तार $A$ और $B$ पर हैं,और मध्य बिंदु $C$ है। $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि $A$ और $B$ के क्षेत्र एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
$B$ के दाईं ओर के क्षेत्र में,चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर $(+ve)$ है क्योंकि सभी बिंदु दोनों तारों के दाईं ओर हैं। इसी तरह,$A$ के बाईं ओर के क्षेत्र में,चुंबकीय क्षेत्र नीचे की ओर $(-ve)$ है।
$AC$ क्षेत्र में,बिंदु $B$ की तुलना में $A$ के करीब हैं,इसलिए $A$ के कारण क्षेत्र प्रभावी है और ऊपर की ओर $(+ve)$ है।
$BC$ क्षेत्र में,बिंदु $A$ की तुलना में $B$ के करीब हैं,इसलिए $B$ के कारण क्षेत्र प्रभावी है और नीचे की ओर $(-ve)$ है।
ग्राफ $(b)$ चुंबकीय क्षेत्र में इन परिवर्तनों को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा के अपने प्रारंभिक मान के आधे तक कम होने के लिए: $\frac{U_0}{2} = \frac{q^2}{2C} \Rightarrow \frac{q_0^2}{2} = q^2 \Rightarrow q = \frac{q_0}{\sqrt{2}}$.
डिस्चार्जिंग समीकरण $q = q_0 e^{-t/RC}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{q_0}{\sqrt{2}} = q_0 e^{-t_1/RC}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\frac{t_1}{RC} = \ln(1/\sqrt{2}) = -\frac{1}{2} \ln 2$,इसलिए $t_1 = \frac{RC \ln 2}{2}$.
आवेश के अपने प्रारंभिक मान के एक-चौथाई तक कम होने के लिए: $\frac{q_0}{4} = q_0 e^{-t_2/RC}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\frac{t_2}{RC} = \ln(1/4) = -2 \ln 2$,इसलिए $t_2 = 2RC \ln 2$.
अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{(RC \ln 2) / 2}{2RC \ln 2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) माना $\theta$ प्रत्येक डोरी द्वारा ऊर्ध्वाधर (vertical) के साथ बनाया गया कोण है। चूँकि डोरियों के बीच का कुल कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए $\theta = 15^{\circ}$ है।
हवा में,गोले पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$,और भार $mg$ हैं। बलों को संतुलित करने पर:
$T \sin \theta = F$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{F}{mg}$.
जब गोलों को $\rho_l = 0.8 \; g \, cm^{-3}$ घनत्व वाले द्रव में डुबोया जाता है और पदार्थ का घनत्व $\rho_s = 1.6 \; g \, cm^{-3}$ है,तो प्रभावी भार $mg' = mg(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})$ हो जाता है और स्थिर वैद्युत बल $F' = \frac{F}{K}$ हो जाता है।
चूँकि कोण समान रहता है,$\tan \theta = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{mg(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})}$.
$\tan \theta$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})}$
$K = \frac{1}{1 - \frac{\rho_l}{\rho_s}} = \frac{1}{1 - \frac{0.8}{1.6}} = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$.

(D) अर्ध-वृत्ताकार वलय पर एक छोटा अवयव $dl$ मानिए। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl$ है,जहाँ $\lambda = \frac{q}{\pi r}$ रैखिक आवेश घनत्व है।
चूँकि $dl = r d\theta$,इसलिए $dq = \left(\frac{q}{\pi r}\right) (r d\theta) = \frac{q}{\pi} d\theta$ होगा।
इस अवयव के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{\pi r^2} d\theta = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} d\theta$ है।
सममिति के कारण,ऊर्ध्वाधर अक्ष के विपरीत दिशाओं में स्थित अवयवों के क्षैतिज घटक $(dE \cos\theta)$ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
नेट विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर घटकों $(dE \sin\theta)$ का $\theta = 0$ से $\pi$ तक का समाकलन है।
$E = \int_0^{\pi} dE \sin\theta = \int_0^{\pi} \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} \sin\theta d\theta$.
$E = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} [-\cos\theta]_0^{\pi} = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (-(-1) - (-1)) = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (2) = \frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2}$.
चूँकि आवेश धनात्मक है और ऊपरी अर्ध-वृत्त पर स्थित है,केंद्र पर क्षेत्र नीचे की ओर यानी $-\hat{j}$ दिशा में होगा।
अतः,$\vec{E} = -\frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j}$।

(C) $x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई वाले एक गोलीय कोश पर विचार करें। इस कोश पर आवेश $dq = \rho(x) \cdot 4 \pi x^2 dx = \rho_0 \left( \frac{5}{4} - \frac{x}{R} \right) \cdot 4 \pi x^2 dx$ है।
$r (r < R)$ त्रिज्या वाले गोले के भीतर कुल आवेश $q$ है:
$q = \int_0^r dq = 4 \pi \rho_0 \int_0^r \left( \frac{5}{4} x^2 - \frac{x^3}{R} \right) dx$
$q = 4 \pi \rho_0 \left[ \frac{5}{4} \cdot \frac{r^3}{3} - \frac{1}{R} \cdot \frac{r^4}{4} \right] = 4 \pi \rho_0 \left( \frac{5 r^3}{12} - \frac{r^4}{4R} \right) = \pi \rho_0 r^3 \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right)$.
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ है:
$E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \left[ \pi \rho_0 r^3 \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right) \right]$
$E = \frac{\rho_0 r}{4 \varepsilon_0} \left( \frac{5}{3} - \frac{r}{R} \right)$.

(A) मान लीजिए कि $0\,^{\circ}C$ पर दोनों चालकों का प्रतिरोध $R_0$ है। $\Delta t$ तापमान पर प्रतिरोध $R = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणी संयोजन के लिए: $R_s = R_1 + R_2 = R_0(1 + \alpha_1 \Delta t) + R_0(1 + \alpha_2 \Delta t) = 2R_0(1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$। इसे $R_s = 2R_0(1 + \alpha_s \Delta t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha_s = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ प्राप्त होता है।
समांतर संयोजन के लिए: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_0(1 + \alpha_1 \Delta t)} + \frac{1}{R_0(1 + \alpha_2 \Delta t)}$। द्विपद सन्निकटन $(1+x)^{-1} \approx 1-x$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{R_p} \approx \frac{1}{R_0}(1 - \alpha_1 \Delta t + 1 - \alpha_2 \Delta t) = \frac{2}{R_0}(1 - \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$ प्राप्त होता है।
अतः,$R_p \approx \frac{R_0}{2}(1 + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \Delta t)$। इसे $R_p = \frac{R_0}{2}(1 + \alpha_p \Delta t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha_p = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2I$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि पुंज की तीव्रता $I$ अक्ष पर अधिकतम है और त्रिज्या बढ़ने के साथ घटती है,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ भी अक्ष पर अधिकतम होगा और परिधि की ओर घटेगा।
प्रकाश किरणें हमेशा उच्च अपवर्तनांक वाले क्षेत्र की ओर मुड़ती हैं।
चूंकि अपवर्तनांक अक्ष के पास अधिक है और परिधि की ओर कम है,इसलिए प्रकाश किरणें अक्ष की ओर मुड़ेंगी।
इसलिए,पुंज अभिसरित (converge) होगा।

(A) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2I$ द्वारा दिया गया है। चूंकि त्रिज्या बढ़ने पर किरण पुंज की तीव्रता $I$ घटती है,इसलिए अपवर्तनांक $\mu$ भी अक्ष से परिधि की ओर घटता है।
चूंकि किरण पुंज प्रारंभ में समानांतर और बेलनाकार है,इसलिए प्रकाश की किरणें एक-दूसरे के समानांतर हैं। परिभाषा के अनुसार,समानांतर प्रकाश किरण पुंज का तरंगाग्र संचरण की दिशा के लंबवत एक समतल होता है।
इसलिए,तरंगाग्र का प्रारंभिक आकार समतल है।

(B) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2I$ द्वारा दिया गया है।
अपवर्तनांक $\mu$ वाले माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{c_0}{\mu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c_0$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
$\mu$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v = \frac{c_0}{\mu_0 + \mu_2I}$ प्राप्त होता है।
चूंकि किरण पुंज की तीव्रता $I$ अक्ष पर अधिकतम है और त्रिज्या बढ़ने के साथ घटती है,इसलिए हर $(\mu_0 + \mu_2I)$ अक्ष पर अधिकतम होगा।
परिणामस्वरूप,प्रकाश की गति $v$ किरण पुंज की अक्ष पर न्यूनतम होगी।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, $eV_0 = K_{max} = h\nu - \phi$, जहाँ $\phi$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $X$-किरणों की आवृत्ति $(\nu_X)$ पराबैंगनी प्रकाश की आवृत्ति $(\nu_{UV})$ से बहुत अधिक होती है, इसलिए जब $X$-किरणों का उपयोग किया जाता है तो अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप, निरोधी विभव $V_0 = K_{max}/e$ भी बढ़ जाता है। अतः, कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ असत्य है क्योंकि फोटोइलेक्ट्रॉन शून्य से अधिकतम मान तक की गति के साथ उत्सर्जित होते हैं क्योंकि धातु के भीतर इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होने से पहले टक्करों के दौरान ऊर्जा खो देते हैं, न कि आपतित प्रकाश में आवृत्तियों की सीमा के कारण (जो एकवर्णी होता है)।

(A) $t = 0$ पर,प्रेरक $L$ एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है क्योंकि यह धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है। इसलिए,$L$ और $R_1$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_2}$ है।
$t = \infty$ पर,प्रेरक $L$ एक लघुपथ (short circuit) की तरह कार्य करता है (शून्य प्रतिरोध वाला आदर्श प्रेरक)। अब प्रतिरोधक $R_1$ और $R_2$ समानांतर क्रम में हैं।
परिपथ का प्रभावी प्रतिरोध $R_{eff} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ है।
इसलिए,बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eff}} = \frac{V(R_1 + R_2)}{R_1 R_2}$ है।

(C) गतिशील छड़ $PQ$ एक प्रेरित $emf$ $\varepsilon = Blv$ के स्रोत के रूप में कार्य करती है,जिसका आंतरिक प्रतिरोध $R$ है।
परिपथ में यह $emf$ स्रोत श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोध $R$ के साथ जुड़ा है,जो फिर समानांतर में दो अन्य शाखाओं से जुड़ा है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ है।
मान लीजिए $Q$ पर विभव $V_Q$ है और $P$ पर विभव $V_P$ है। परिपथ का कुल प्रतिरोध आंतरिक प्रतिरोध $R$ और दो समानांतर शाखाओं के समतुल्य प्रतिरोध $R/2$ का योग है।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + \frac{R \times R}{R + R} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$.
छड़ से बहने वाली कुल धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{Blv}{3R/2} = \frac{2Blv}{3R}$.
चूंकि दो समानांतर शाखाओं का प्रतिरोध समान $R$ है,इसलिए धारा $I$ उनके बीच समान रूप से विभाजित हो जाती है: $I_1 = I_2 = \frac{I}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{2Blv}{3R} = \frac{Blv}{3R}$.
अतः,$I_1 = I_2 = \frac{Blv}{3R}$ और $I = \frac{2Blv}{3R}$.

(A) जब धारिता को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $LR$ परिपथ बन जाता है।
कला कोण $\phi = 30^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\tan \phi = \frac{\omega L}{R}$।
$\omega L = R \tan 30^\circ = 200 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, \Omega$।
जब प्रेरक को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $CR$ परिपथ बन जाता है।
कला कोण $\phi = 30^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\tan \phi = \frac{1}{\omega C R}$।
$\frac{1}{\omega C} = R \tan 30^\circ = 200 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, \Omega$।
मूल $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{200^2 + (\frac{200}{\sqrt{3}} - \frac{200}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{200^2 + 0} = 200 \, \Omega$।
$AC$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ है,जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$।
चूंकि $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,परिपथ अनुनाद (resonance) में है,इसलिए $\phi = 0^\circ$ और $\cos \phi = 1$।
$P = \frac{V_{rms}^2}{Z^2} \times R = \frac{220^2}{200^2} \times 200 = \frac{220 \times 220}{200} = 242 \, W$।

(B) स्रोत की शक्ति $P$ को $P = n \cdot E_{photon} = n \cdot h \nu$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या है,$h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
दिया गया है: $P = 4 \ kW = 4 \times 10^3 \ W$ और $n = 10^{20} \ photons/s$.
आवृत्ति के लिए सूत्र: $\nu = \frac{P}{n \cdot h}$.
मान रखने पर: $\nu = \frac{4 \times 10^3}{10^{20} \times 6.63 \times 10^{-34}} \approx 6.03 \times 10^{16} \ Hz$.
यह आवृत्ति $6 \times 10^{16} \ Hz$ विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के $X$-किरण क्षेत्र में आती है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,क्षय से पहले की कुल ऊर्जा क्षय के बाद की कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा विराम द्रव्यमान ऊर्जा है: $E_i = (M + \Delta m)c^2$.
अंतिम ऊर्जा दो संतति नाभिकों की विराम द्रव्यमान ऊर्जा और उनकी गतिज ऊर्जा का योग है: $E_f = 2 \times (\frac{M}{2})c^2 + 2 \times (\frac{1}{2} \times \frac{M}{2} \times v^2)$.
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर:
$(M + \Delta m)c^2 = Mc^2 + \frac{M}{2}v^2$.
दोनों पक्षों से $Mc^2$ घटाने पर:
$\Delta m c^2 = \frac{M}{2}v^2$.
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{2 \Delta m c^2}{M} \Rightarrow v = c \sqrt{\frac{2 \Delta m}{M}}$.

(D) नाभिकीय क्षय या विखंडन प्रक्रिया में,निकाय अधिक स्थिर अवस्था की ओर बढ़ता है।
स्थिरता का निर्धारण प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा द्वारा किया जाता है।
जिस नाभिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिक होती है,वह अधिक स्थिर होता है।
चूंकि जनक नाभिक दो संतति नाभिकों में क्षयित होता है,इसलिए ऊर्जा उत्सर्जन की शर्त को पूरा करने के लिए संतति नाभिकों को जनक नाभिक की तुलना में अधिक स्थिर होना चाहिए।
अतः,संतति नाभिकों की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(E_2)$ जनक नाभिक की बंधन ऊर्जा $(E_1)$ से अधिक होनी चाहिए।
इस प्रकार,$E_2 > E_1$।

(B) प्रारंभिक नाभिक को $_Z^AX$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$\alpha$-कण $_2^4He$ है और पॉज़िट्रॉन $_1^0e^+$ है।
$3$ $\alpha$-कणों और $2$ पॉज़िट्रॉन के उत्सर्जन के बाद, अंतिम नाभिक $_Z^AY$ बनता है।
नई द्रव्यमान संख्या $A' = A - (3 \times 4) = A - 12$ है।
नया परमाणु क्रमांक $Z' = Z - (3 \times 2) + (2 \times 1) = Z - 6 + 2 = Z - 4$ है।
अंतिम नाभिक में प्रोटॉन की संख्या $P = Z' = Z - 4$ है।
अंतिम नाभिक में न्यूट्रॉन की संख्या $N = A' - Z' = (A - 12) - (Z - 4) = A - Z - 8$ है।
न्यूट्रॉन और प्रोटॉन का अनुपात $\frac{N}{P} = \frac{A - Z - 8}{Z - 4}$ है।

(B) इस सर्किट में दो $NAND$ गेट हैं जो $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं (क्योंकि उनके इनपुट शॉर्ट किए गए हैं) और उसके बाद एक $NAND$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $\bar{A}$ है।
दूसरे $NAND$ गेट का आउटपुट $\bar{B}$ है।
ये दोनों आउटपुट तीसरे $NAND$ गेट में दिए जाते हैं।
अंतिम आउटपुट $X$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$X = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
चूंकि व्यंजक $X = A + B$ एक $OR$ गेट को दर्शाता है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।