AIEEE 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) स्क्रू गेज की पिच एक पूर्ण चक्कर में तय की गई दूरी है। चूंकि $2$ पूर्ण चक्कर $1 \ mm$ की दूरी तय करते हैं,इसलिए पिच $= \frac{1 \ mm}{2} = 0.5 \ mm$ है।
अल्पतमांक $(LC)$ की गणना $\frac{\text{पिच}}{\text{कुल विभाजनों की संख्या}} = \frac{0.5 \ mm}{50} = 0.01 \ mm$ द्वारा की जाती है।
प्रेक्षित पाठ्यांक की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{मुख्य पैमाना पाठ्यांक} + (\text{वृत्ताकार पैमाना विभाजन} \times LC) = 3 \ mm + (35 \times 0.01 \ mm) = 3.35 \ mm$।
वास्तविक व्यास की गणना प्रेक्षित पाठ्यांक से शून्य त्रुटि को घटाकर की जाती है: $\text{व्यास} = \text{प्रेक्षित पाठ्यांक} - (\text{शून्य त्रुटि}) = 3.35 \ mm - (-0.03 \ mm) = 3.35 \ mm + 0.03 \ mm = 3.38 \ mm$।

(C) विरामावस्था से $x=0$ पर एकसमान त्वरण $a$ के साथ शुरू होने वाले पिंड के लिए:
$x_{1} = \frac{1}{2}at^{2}$
$x=0$ से शुरू होकर एकसमान चाल $v$ के साथ गति करने वाले पिंड के लिए:
$x_{2} = vt$
माना $f(t) = x_{1} - x_{2} = \frac{1}{2}at^{2} - vt$.
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है जो ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है।
$t=0$ पर,$f(0) = 0$.
अवकलन $f'(t) = at - v$ है।
$f'(t) = 0$ रखने पर $t = \frac{v}{a}$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{v}{a}$ पर,फलन अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है: $f(\frac{v}{a}) = \frac{1}{2}a(\frac{v}{a})^{2} - v(\frac{v}{a}) = \frac{v^{2}}{2a} - \frac{v^{2}}{a} = -\frac{v^{2}}{2a}$.
चूंकि न्यूनतम मान ऋणात्मक है और परवलय ऊपर की ओर खुलता है,ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है,$t$-अक्ष के नीचे जाता है,$t = \frac{v}{a}$ पर न्यूनतम मान तक पहुँचता है,और फिर बढ़ता है,जो $t = \frac{2v}{a}$ पर $t$-अक्ष को काटता है।
यह समाधान छवि में दिखाए गए ग्राफ से मेल खाता है।

(B) संवेग $p$,द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $p = m \times v$.
यहाँ $m = 3.513 \; kg$ ($4$ सार्थक अंक) और $v = 5.00 \; ms^{-1}$ ($3$ सार्थक अंक) दिए गए हैं।
गुणनफल की गणना करने पर: $p = 3.513 \times 5.00 = 17.565 \; kg \; ms^{-1}$.
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उस मापन के सार्थक अंकों के बराबर होनी चाहिए जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हैं।
चूंकि $5.00$ में $3$ सार्थक अंक हैं,इसलिए अंतिम परिणाम को $3$ सार्थक अंकों तक पूर्णांकित (round off) किया जाना चाहिए।
अतः,$17.565$ को $3$ सार्थक अंकों में पूर्णांकित करने पर $17.6 \; kg \; ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) एथलीट की औसत चाल $v = \frac{100 \ m}{10 \ s} = 10 \ m/s$ है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
मान लीजिए कि एक एथलीट का द्रव्यमान $(m)$ आमतौर पर $40 \ kg$ से $100 \ kg$ के बीच होता है:
$m = 40 \ kg$ के लिए: $K.E. = \frac{1}{2} \times 40 \times (10)^2 = 20 \times 100 = 2000 \ J$.
$m = 100 \ kg$ के लिए: $K.E. = \frac{1}{2} \times 100 \times (10)^2 = 50 \times 100 = 5000 \ J$.
अतः,गतिज ऊर्जा की सीमा $2000 \ J - 5000 \ J$ है।

(D) दिया गया है: $m_1 = 0.50 \ kg$,$u_1 = 2.00 \ m/s$,$m_2 = 1.00 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
चूंकि टक्कर के बाद पिंड एक साथ चलते हैं,इसलिए यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में ऊर्जा हानि का सूत्र है:
$\Delta K = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} (u_1 - u_2)^2$
मान रखने पर:
$\Delta K = \frac{0.50 \times 1.00}{2(0.50 + 1.00)} (2.00 - 0)^2$
$\Delta K = \frac{0.50}{2(1.50)} (4)$
$\Delta K = \frac{0.50}{3.00} \times 4 = \frac{2}{3} \approx 0.67 \ J$.

(B) चूंकि कंटेनर इंसुलेटेड है,$Q = 0$। चूंकि विभाजन को बिना कोई कार्य किए हटाया जाता है,$W = 0$।
ऊष्मागतिकी के पहले नियम के अनुसार,$\Delta U = Q + W = 0$।
इसका अर्थ है कि कुल आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है: $U_{initial} = U_{final}$।
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = n C_v T$ होती है।
अतः,$n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2 = (n_1 + n_2) C_v T$।
दोनों पक्षों से $C_v$ को हटाने पर,हमें $T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$ और $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2}$ है।
इन मानों को $T$ के समीकरण में रखने पर:
$T = \frac{(\frac{P_1 V_1}{R T_1}) T_1 + (\frac{P_2 V_2}{R T_2}) T_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}} = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}}$।
हर (denominator) को सरल करने पर:
$T = \frac{R(P_1 V_1 + P_2 V_2)}{\frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{T_1 T_2}} = \frac{T_1 T_2 (P_1 V_1 + P_2 V_2)}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$।

(A) रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda(x)$ वाली छड़ का द्रव्यमान केंद्र $x_{CM}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$x_{CM} = \frac{\int_0^L x \lambda(x) dx}{\int_0^L \lambda(x) dx}$
$\lambda(x) = k(\frac{x}{L})^n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{CM} = \frac{\int_0^L x \cdot k(\frac{x}{L})^n dx}{\int_0^L k(\frac{x}{L})^n dx} = \frac{\frac{k}{L^n} \int_0^L x^{n+1} dx}{\frac{k}{L^n} \int_0^L x^n dx} = \frac{[\frac{x^{n+2}}{n+2}]_0^L}{[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^L} = \frac{L^{n+2}/(n+2)}{L^{n+1}/(n+1)} = L \frac{n+1}{n+2}$
फलन $f(n) = L \frac{n+1}{n+2} = L (1 - \frac{1}{n+2})$ का विश्लेषण करने पर:
$1$. $n = 0$ के लिए,$x_{CM} = L(1 - 1/2) = L/2$.
$2$. जैसे $n \to \infty$,$x_{CM} \to L$.
$3$. अवकलन $\frac{dx_{CM}}{dn} = L \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+2)^2} = \frac{L}{(n+2)^2} > 0$,इसलिए $x_{CM}$ एक वर्धमान फलन है।
$4$. द्वितीय अवकलन $\frac{d^2x_{CM}}{dn^2} = -\frac{2L}{(n+2)^3} < 0$,इसलिए ग्राफ नीचे की ओर अवतल (concave down) है।
ये गुण विकल्प $(A)$ के ग्राफ से मेल खाते हैं।

(A) '$a$' भुजा और '$m$' द्रव्यमान वाली वर्गाकार प्लेट के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{cm} = \frac{1}{12}m(a^2 + a^2) = \frac{ma^2}{6}$
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,एक कोने से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I = I_{cm} + md^2$
यहाँ,'$d$' वर्ग के केंद्र से कोने तक की दूरी है। '$a$' भुजा वाले वर्ग के लिए,विकर्ण '$a\sqrt{2}$' है,इसलिए केंद्र से कोने तक की दूरी:
$d = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
मान रखने पर:
$I = \frac{ma^2}{6} + m\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = \frac{ma^2}{6} + \frac{ma^2}{2}$
$I = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए कि पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_e$ और $R_e$ हैं,और ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_p$ और $R_p$ हैं।
दिया गया है: $M_p = 10 M_e$ और $R_p = \frac{R_e}{10}$।
पलायन वेग का अनुपात:
$\frac{(v_e)_p}{(v_e)_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(v_e)_p}{(v_e)_e} = \sqrt{\frac{10 M_e}{M_e} \times \frac{R_e}{R_e/10}} = \sqrt{10 \times 10} = \sqrt{100} = 10$।
अतः,$(v_e)_p = 10 \times (v_e)_e = 10 \times 11 \ km/s = 110 \ km/s$।

(A) गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला गुरुत्वाकर्षण फ्लक्स $\Phi_g = \oint \vec{E_g} \cdot d\vec{S} = -4\pi GM_{enclosed}$ द्वारा दिया जाता है।
कथन-$1$ में फ्लक्स $4\pi GM$ दिया गया है,लेकिन सही मान $-4\pi GM$ है (गुरुत्वाकर्षण की आकर्षक प्रकृति के कारण)। अतः,कथन-$1$ गलत है।
कथन-$2$ गॉस के नियम के सामान्य सिद्धांत का वर्णन करता है,जो व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करने वाले किसी भी क्षेत्र (जैसे गुरुत्वाकर्षण या स्थिर विद्युत) पर लागू होता है। यह कथन सही है।
इसलिए,कथन-$1$ गलत है और कथन-$2$ सही है।

(A) चित्र से यह स्पष्ट है कि द्रव $1$,द्रव $2$ के ऊपर तैरता है।
चूंकि हल्का द्रव भारी द्रव के ऊपर तैरता है,इसलिए हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $\rho_1 < \rho_2$ है।
गेंद दोनों द्रवों के अंतरापृष्ठ (interface) पर संतुलन में है।
किसी वस्तु के द्रव में तैरने के लिए,उसका घनत्व द्रव के घनत्व से कम होना चाहिए।
चूंकि गेंद आंशिक रूप से द्रव $1$ में और आंशिक रूप से द्रव $2$ में डूबी हुई है,इसलिए इसका घनत्व $\rho_3$ ऊपरी द्रव के घनत्व $(\rho_1)$ से अधिक और निचले द्रव के घनत्व $(\rho_2)$ से कम होना चाहिए।
अतः,संतुलन के लिए शर्त $\rho_1 < \rho_3 < \rho_2$ है।

(B) सीमांत चाल $(v_t)$ पर,गेंद पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
अतः,गेंद का नीचे की ओर कार्य करने वाला भार,ऊपर की ओर लगने वाले उत्प्लावन बल (buoyant force) और श्यान बल (viscous force) द्वारा संतुलित होता है।
$Weight = \text{Buoyant force} + \text{Viscous force}$
$V\rho_1 g = V\rho_2 g + kv_t^2$
$kv_t^2 = Vg(\rho_1 - \rho_2)$
$v_t^2 = \frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}$
$v_t = \sqrt{\frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}}$

(D) केश नली में तरल स्तंभ की ऊँचाई उत्थान सूत्र द्वारा दी जाती है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$.
यहाँ,$T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पानी के लिए,संपर्क कोण $\theta$ न्यून कोण होता है,जिसके परिणामस्वरूप अवतल मेनिस्कस और धनात्मक ऊँचाई $h$ (वृद्धि) प्राप्त होती है।
साबुन-पानी के घोल के लिए,पृष्ठ तनाव $T$ शुद्ध पानी की तुलना में काफी कम होता है। चूँकि $h \propto T$,साबुन के घोल के स्तंभ की ऊँचाई पानी के स्तंभ की ऊँचाई से कम होगी।
पानी और साबुन का घोल दोनों काँच को भिगोते हैं,इसलिए दोनों केश नली में अवतल मेनिस्कस (ऊपर की ओर अवतल) बनाएंगे।
इसलिए,सही निरूपण दोनों नलियों को अवतल मेनिस्कस के साथ दिखाता है,लेकिन नली $(B)$ में तरल का स्तर नली $(A)$ की तुलना में कम है।

(B) अनुनाद स्तंभ प्रयोग में,ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है।
सर्दियों में पहले अनुनाद के लिए,लंबाई $\ell_1 = 18 \ cm$ है। आवृत्ति $f = \frac{v}{4 \ell_1} = \frac{v}{4 \times 18}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ सर्दियों में ध्वनि की गति है।
गर्मियों में दूसरे अनुनाद के लिए,लंबाई $\ell_2 = x \ cm$ है। आवृत्ति $f = \frac{3v'}{4 \ell_2} = \frac{3v'}{4x}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v'$ गर्मियों में ध्वनि की गति है।
आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{v}{4 \times 18} = \frac{3v'}{4x}$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = 54 \times \frac{v'}{v} \ cm$.
चूंकि गर्मियों में तापमान सर्दियों की तुलना में अधिक होता है,इसलिए ध्वनि की गति $v' > v$ होती है (क्योंकि $v \propto \sqrt{T}$)।
अतः,$x > 54 \ cm$।

(B) दी गई तरंग का समीकरण $y(x, t) = 0.005 \cos(\alpha x - \beta t)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y(x, t) = a \cos(kx - \omega t)$ से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \alpha$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \beta$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या का सूत्र $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है। यहाँ $\lambda = 0.08 \ m$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = \frac{2\pi}{0.08} = 25\pi \ rad/m$ होगा।
कोणीय आवृत्ति का सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है। यहाँ $T = 2.0 \ s$ दिया गया है,इसलिए $\beta = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \ rad/s$ होगा।
अतः,$\alpha = 25\pi$ और $\beta = \pi$ प्राप्त होता है।

(B) ट्रैवलिंग माइक्रोस्कोप छोटी दूरियों को मापने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक सटीक उपकरण है।
इसमें माइक्रोस्कोप असेंबली से जुड़ी एक मुख्य स्केल और एक वर्नियर स्केल होती है।
कांच के स्लैब का अपवर्तनांक मापते समय,माइक्रोस्कोप को पहले टेबल पर बने निशान पर,फिर कांच के स्लैब के माध्यम से उस निशान पर,और अंत में स्लैब की ऊपरी सतह पर धूल के कण पर केंद्रित किया जाता है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन को माइक्रोस्कोप पर प्रदान की गई वर्नियर स्केल का उपयोग करके सटीक रूप से मापा जाता है।

(B) ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान,$M_1 = 32 \,g/mol$.
विशिष्ट ऊष्मा अनुपात,$\gamma_1 = C_p / C_V = 7/5$ (द्वि-परमाणुक गैस के लिए)।
ध्वनि की गति,$v_1 = 460 \,ms^{-1}$।
हीलियम $(He)$ के लिए:
मोलर द्रव्यमान,$M_2 = 4 \,g/mol$.
विशिष्ट ऊष्मा अनुपात,$\gamma_2 = C_p / C_V = 5/3$ (एक-परमाणुक गैस के लिए)।
आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है।
गति का अनुपात लेने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\gamma_2}{\gamma_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{5/3}{7/5} \cdot \frac{32}{4}} = \sqrt{\frac{25}{21} \cdot 8} = \sqrt{\frac{200}{21}} \approx 3.085$।
अतः,$v_2 = 460 \times 3.085 \approx 1420 \,ms^{-1}$।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = qvB \sin \theta$।
विमाओं पर विचार करने पर,$[F] = [q][v][B]$।
विमाएँ हैं: $[F] = MLT^{-2}$,$[q] = C$,और $[v] = LT^{-1}$।
$B$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $[B] = \frac{[F]}{[q][v]} = \frac{MLT^{-2}}{C \cdot LT^{-1}}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $[B] = M \cdot L^1 L^{-1} \cdot T^{-2} T^1 \cdot C^{-1} = MT^{-1}C^{-1}$।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलीय कोश के लिए जिस पर $Q$ आवेश एकसमान रूप से वितरित है:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$: विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है क्योंकि अंदर कोई आवेश परिबद्ध (enclosed) नहीं होता है।
$2$. कोश के बाहर $(r \ge R)$: कोश अपने केंद्र पर स्थित एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = k\frac{Q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
अतः,$E(r)$ बनाम $r$ का ग्राफ $0 \le r < R$ के लिए $E = 0$ और $r \ge R$ के लिए $1/r^2$ के अनुसार घटता हुआ होना चाहिए। यह ग्राफ विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(D) हवा से भरे संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ है।
जब जगह को $d_1 = d/3$ और $d_2 = 2d/3$ मोटाई के दो परावैद्युत से भरा जाता है,तो यह प्रणाली श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में कार्य करती है।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{k_1 \epsilon_0 A}{d_1} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d/3} = 9 \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 C_0 = 9 \times 9 = 81 \ pF$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{k_2 \epsilon_0 A}{d_2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{2d/3} = 9 \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 C_0 = 9 \times 9 = 81 \ pF$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ को $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{81} + \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$।
अतः,$C_{eq} = \frac{81}{2} = 40.5 \ pF$ है।

(B) माना $V_{P1} = 0\,V$. तो $P_2$ पर विभव $V$ है।
नोड $P_2$ पर नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हुए:
$\frac{V - 5}{2} + \frac{V}{10} + \frac{V - 2}{1} = 0$
$10$ से गुणा करने पर:
$5(V - 5) + V + 10(V - 2) = 0$
$5V - 25 + V + 10V - 20 = 0$
$16V = 45$
$V = \frac{45}{16} = 2.8125\,V$
$10\,\Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{2.8125}{10} = 0.28125\,A \approx 0.28\,A$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $0.27\,A$ है। चूँकि $V_{P2} > V_{P1}$,धारा $P_2$ से $P_1$ की ओर प्रवाहित होती है।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$,जहाँ $P$ और $Q$ दो अंतरालों (gaps) में प्रतिरोध हैं,और $l_1$ तथा $l_2$ तार की संबंधित लंबाइयाँ हैं।
दिया गया है,$P = 55 \, \Omega$ और $l_1 = 20 \, \text{cm}$.
मीटर ब्रिज के तार की कुल लंबाई $100 \, \text{cm}$ है,इसलिए $l_2 = 100 - 20 = 80 \, \text{cm}$.
इन मानों को संतुलन की स्थिति के सूत्र में रखने पर:
$\frac{55}{R} = \frac{20}{80}$
$\frac{55}{R} = \frac{1}{4}$
$R = 55 \times 4 = 220 \, \Omega$.

(B) मान लीजिए $j$ धारा घनत्व है।
चूंकि धारा $I$ एक अर्धगोलीय सतह पर फैलती है,$j \times 2 \pi r^2 = I$,जिससे $j = \frac{I}{2 \pi r^2}$ प्राप्त होता है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,विद्युत क्षेत्र $E = \rho j = \frac{\rho I}{2 \pi r^2}$ है।
$A$ पर प्रवेश करने वाली धारा $I$ के कारण $B$ और $C$ बिंदुओं के बीच विभवांतर $\Delta V_{BC, A} = V_B - V_C = \int_{r_B}^{r_C} E dr = \int_{a}^{a+b} \frac{\rho I}{2 \pi r^2} dr = \frac{\rho I}{2 \pi} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{a}^{a+b} = \frac{\rho I}{2 \pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right)$ है।
इसी प्रकार,$D$ पर बाहर निकलने वाली धारा $I$ के लिए,विभवांतर $\Delta V_{BC, D}$ भी $\frac{\rho I}{2 \pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right)$ है।
अध्यारोपण सिद्धांत के अनुसार,कुल विभवांतर $\Delta V = \Delta V_{BC, A} + \Delta V_{BC, D} = 2 \times \frac{\rho I}{2 \pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right) = \frac{\rho I}{\pi a} - \frac{\rho I}{\pi(a+b)}$ है।

(D) माना $j$ धारा घनत्व है।
चूंकि धारा $I$,$2 \pi r^2$ क्षेत्रफल वाली अर्धगोलीय सतह पर फैलती है,इसलिए धारा घनत्व $j = \frac{I}{2 \pi r^2}$ है।
ओम के नियम $E = \rho j$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \rho \left( \frac{I}{2 \pi r^2} \right) = \frac{\rho I}{2 \pi r^2}$.

(D) एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$I = 100 \, A$
$r = 4 \, m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 100}{2 \pi \times 4}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 100}{4}$
$B = \frac{2 \times 10^{-5}}{4} = 0.5 \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-6} \, T$
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि अंगूठा धारा की दिशा (पश्चिम) में इंगित करता है,तो तार के नीचे के बिंदु पर मुड़ी हुई उंगलियां दक्षिण दिशा की ओर इंगित करेंगी।

(C) प्रतिचुंबकीय पदार्थ के लिए,सापेक्ष चुंबकशीलता $\mu_r$ का मान हमेशा $1$ से कम होता है (अर्थात,$\mu_r < 1$)।
किसी भी परावैद्युत (dielectric) पदार्थ के लिए,सापेक्ष विद्युतशीलता $\varepsilon_r$ का मान हमेशा $1$ से अधिक होता है (अर्थात,$\varepsilon_r > 1$)।
इन शर्तों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,हम पाते हैं कि विकल्प $C$ दोनों शर्तों को पूरा करता है: $\varepsilon_r = 1.5 > 1$ और $\mu_r = 0.5 < 1$।

(C) लेंस समीकरण $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
उत्तल लेंस के लिए चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,वस्तु की दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए हम $u = -x$ लेते हैं (जहाँ $x > 0$)।
समीकरण $\frac{1}{v} - \frac{1}{-x} = \frac{1}{f}$ हो जाता है,जो सरल होकर $\frac{1}{v} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f}$ बन जाता है।
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{x - f}{xf}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v = \frac{xf}{x - f}$।
जैसे-जैसे $x$,$f$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$v$,$\infty$ से $f$ तक घटता है। यह $v-u$ तल के प्रथम चतुर्थांश में एक अतिपरवलयिक (hyperbolic) वक्र को दर्शाता है ($u$ और $v$ के परिमाणों को ध्यान में रखते हुए),जो विकल्प $C$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(A) दो समाक्षीय परिनालिकाओं के अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 A}{\ell}$ है।
दिए गए मान हैं:
$A = 10 \ cm^2 = 10 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-3} \ m^2$
$\ell = 20 \ cm = 0.2 \ m$
$N_1 = 300$
$N_2 = 400$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \ m \ A^{-1}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 300 \times 400 \times 10^{-3}}{0.2}$
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 120000 \times 10^{-3}}{0.2}$
$M = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 120}{0.2}$
$M = 4\pi \times 10^{-7} \times 600$
$M = 2400\pi \times 10^{-7} \ H = 2.4\pi \times 10^{-4} \ H$.

(A) जब इलेक्ट्रॉन अपनी डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के तुलनीय '$d$' चौड़ाई वाली एक संकीर्ण स्लिट से गुजरते हैं, तो वे तरंग जैसा व्यवहार प्रदर्शित करते हैं और विवर्तन से गुजरते हैं।
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न के अनुसार, तीव्रता (या इलेक्ट्रॉनों की संख्या '$N$') केंद्र $(y = 0)$ पर अधिकतम होती है।
प्रथम निम्निष्ठ उस स्थिति पर होते हैं जो $d \sin \theta = \lambda$ शर्त द्वारा दी जाती है, जहाँ $\theta \approx y/D$ है।
इस प्रकार, $y = \pm \lambda D / d$।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$, '$d$' के तुलनीय है, इसलिए केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई महत्वपूर्ण होती है, और विवर्तन पैटर्न फैल जाता है।
ग्राफ $A$ एकल-स्लिट विवर्तन के लिए मानक तीव्रता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है, जहाँ केंद्रीय उच्चिष्ठ $y = 0$ पर है और तीव्रता $y = \pm \lambda D / d$ पर शून्य हो जाती है।

(C) इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला बल $F = \frac{k}{r}$ है।
वृत्तीय गति के लिए,यह बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $\frac{k}{r} = \frac{mv^2}{r}$।
इसका तात्पर्य है कि $mv^2 = k$,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा $K_n = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{k}{2}$ स्थिर है और $n$ से स्वतंत्र है।
बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$।
चूंकि $v = \sqrt{\frac{k}{m}}$ स्थिर है,इसलिए $m \sqrt{\frac{k}{m}} r_n = \frac{nh}{2\pi}$।
अतः,$r_n \propto n$।

(A) कथन-$1$ सत्य है। भारी नाभिकों के नाभिकीय विखंडन और हल्के नाभिकों के नाभिकीय संलयन में ऊर्जा मुक्त होती है क्योंकि उत्पाद नाभिकों की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अभिकारक नाभिकों की तुलना में अधिक होती है,जिससे अधिक स्थिर विन्यास प्राप्त होता है।
कथन-$2$ असत्य है। प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा वक्र के अनुसार,भारी नाभिकों (द्रव्यमान संख्या $A > 170$) के लिए,जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा घटती है। हल्के नाभिकों (द्रव्यमान संख्या $A < 30$) के लिए,सामान्यतः जैसे-जैसे $Z$ बढ़ता है,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा बढ़ती है। कथन-$2$ में दिया गया कथन इस भौतिक वास्तविकता के बिल्कुल विपरीत है।

(B) एक ट्रांजिस्टर दो $pn$ जंक्शनों से बना होता है।
$1$. $P$ और $Q$ के बीच कोई चालन नहीं होने का अर्थ है कि $P$ और $Q$ कलेक्टर और एमिटर टर्मिनल हैं (या इसके विपरीत),क्योंकि उनके बीच कोई सीधा $pn$ जंक्शन नहीं होता है।
$2$. जब मल्टीमीटर के ऋणात्मक टर्मिनल को $R$ से और धनात्मक टर्मिनल को $P$ या $Q$ से जोड़ा जाता है,तो चालन (प्रतिरोध) देखा जाता है।
$3$. मल्टीमीटर में,सामान्य (ऋणात्मक) टर्मिनल आंतरिक बैटरी के ऋणात्मक ध्रुव से जुड़ा होता है और धनात्मक टर्मिनल धनात्मक ध्रुव से जुड़ा होता है।
$4$. चालन तब होता है जब $pn$ जंक्शन फॉरवर्ड बायस में होता है।
$5$. चूंकि ऋणात्मक टर्मिनल $R$ पर है और धनात्मक टर्मिनल $P$ या $Q$ पर है,इसलिए $R$ को $p$-प्रकार का पदार्थ (बेस) होना चाहिए और $P, Q$ को $n$-प्रकार के पदार्थ होना चाहिए।
$6$. यह विन्यास एक $npn$ ट्रांजिस्टर के अनुरूप है जहाँ $R$ बेस है।

(A) दिए गए परिपथ में दो डायोड समानांतर क्रम में जुड़े हैं,जिनका उभयनिष्ठ सिरा ग्राउंड से जुड़े एक प्रतिरोधक के साथ जुड़ा है।
इस परिपथ के लिए सत्यता सारणी (truth table) नीचे दी गई है:

$A$	$B$	$C$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

$1$. जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ निम्न विभव $(0)$ पर होते हैं,तो दोनों डायोड रिवर्स बायस में होते हैं (या चालन नहीं करते हैं),इसलिए आउटपुट $C$ ग्राउंड विभव $(0)$ पर रहता है।
$2$. जब $A$ या $B$ में से कोई भी एक उच्च विभव $(1)$ पर होता है,तो संबंधित डायोड फॉरवर्ड बायस में आ जाता है और चालन करता है,जिससे आउटपुट $C$ उच्च विभव $(1)$ पर चला जाता है।
$3$. यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $C = A + B$ के अनुरूप है,जो $OR$ गेट की विशिष्ट कार्यप्रणाली है।

(B) क्रिस्टल विवर्तन में संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त (ब्रेग का नियम) $2d \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\theta$ ग्लेंसिंग कोण है।
चित्र से, आपतन कोण $i$ अभिलंब के सापेक्ष मापा जाता है। ग्लेंसिंग कोण $\theta$ आपतित किरण और क्रिस्टल तल के बीच का कोण है, इसलिए $\theta = 90^{\circ} - i$।
दिया गया है $i = 30^{\circ}$, इसलिए $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
प्रथम कोटि के विवर्तन के लिए, $n = 1$। मान रखने पर:
$2 \times (1 \times 10^{-10}\; m) \times \sin(60^{\circ}) = 1 \times \lambda$
$\lambda = 2 \times 10^{-10} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{-10}\; m \approx 1.732 \times 10^{-10}\; m$।
$V$ विभव द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\lambda^2 = \frac{h^2}{2meV} \Rightarrow V = \frac{h^2}{2me\lambda^2}$।
मान रखने पर:
$V = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times (\sqrt{3} \times 10^{-10})^2}$
$V = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{29.12 \times 10^{-50} \times 3} = \frac{43.56 \times 10^{-68}}{87.36 \times 10^{-50}} \approx 49.86\; V$।
अतः, $V$ लगभग $50\; V$ होना चाहिए।

(D) संपोषी व्यतिकरण के लिए,क्रमिक परमाणु तलों से परावर्तित तरंगों के बीच का पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,जिसे ब्रैग के नियम द्वारा दिया जाता है: $2d \sin \theta = n \lambda_{dB}$,जहाँ $\theta$ ग्लेंसिंग कोण (आपतित किरण और क्रिस्टल तल के बीच का कोण) है।
दिए गए चित्र से,कोण $i$ आपतित किरण और क्रिस्टल तल के अभिलंब के बीच का कोण है। इसलिए,ग्लेंसिंग कोण $\theta$ का मान $\theta = 90^{\circ} - i$ है।
इसे ब्रैग के नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$2d \sin(90^{\circ} - i) = n \lambda_{dB}$
चूंकि $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,हमें प्राप्त होता है:
$2d \cos i = n \lambda_{dB}$