AIEEE 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{Fl}{A\Delta l}$ है।
चूंकि दोनों तारों का आयतन $V = A \times L$ समान है,और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A_1 = A$ और $A_2 = 3A$ हैं,इसलिए उनकी लंबाई क्रमशः $L_1 = 3l$ और $L_2 = l$ होगी।
पहले तार के लिए:
$\Delta l = \frac{F \cdot (3l)}{A \cdot Y} = \frac{3Fl}{AY} \quad ...(i)$
दूसरे तार के लिए,मान लीजिए आवश्यक बल $F'$ है। लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ समान है:
$\Delta l = \frac{F' \cdot l}{(3A) \cdot Y} = \frac{F'l}{3AY} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{3Fl}{AY} = \frac{F'l}{3AY}$
$3F = \frac{F'}{3}$
$F' = 9F$

(B) तीन ध्वनि तरंगों की आवृत्तियाँ $f_1 = n - 1$,$f_2 = n$,और $f_3 = n + 1$ हैं।
विस्पंद तब उत्पन्न होते हैं जब अलग-अलग आवृत्तियों वाली तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं।
तरंगों के जोड़ों के बीच विस्पंद आवृत्तियाँ इस प्रकार हैं:
$|f_2 - f_1| = |n - (n - 1)| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_2| = |(n + 1) - n| = 1 \text{ Hz}$
$|f_3 - f_1| = |(n + 1) - (n - 1)| = 2 \text{ Hz}$
परिणामी विस्पंद आवृत्ति अधिकतम और न्यूनतम आवृत्तियों के बीच का अंतर होती है।
अतः,प्रति सेकंड उत्पन्न विस्पंदों की संख्या: $(n + 1) - (n - 1) = 2 \text{ Hz}$ है।

(C) दिया गया है कि वर्नियर पैमाने के $30$ भाग मुख्य पैमाने के $29$ भागों के साथ संपाती हैं।
इसलिए,$1$ वर्नियर स्केल डिवीजन $(VSD) = \frac{29}{30}$ मुख्य स्केल डिवीजन $(MSD)$।
उपकरण का अल्पतमांक एक मुख्य स्केल डिवीजन और एक वर्नियर स्केल डिवीजन के बीच का अंतर है।
अल्पतमांक $= 1\,MSD - 1\,VSD$।
अल्पतमांक $= 1\,MSD - \frac{29}{30}\,MSD = \frac{1}{30}\,MSD$।
दिया गया है कि $1\,MSD = 0.5^\circ$।
अल्पतमांक $= \frac{1}{30} \times 0.5^\circ = \frac{0.5}{30}^\circ = \frac{1}{60}^\circ$।
चूंकि $1^\circ = 60$ मिनट $(')$,
अल्पतमांक $= \frac{1}{60} \times 60' = 1'$।

(B) नीचे की ओर गति के लिए,वेग $v = -gt$ द्वारा दिया जाता है। वेग नीचे की दिशा में बढ़ता है,जिसके परिणामस्वरूप $v$ और $t$ के बीच एक ऋणात्मक ढलान वाली सीधी रेखा प्राप्त होती है।
गति के समीकरण $y - y_0 = ut + \frac{1}{2}at^2$ को लागू करने पर,हमें $y - h = -\frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है,जो $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ में सरल हो जाता है। यह $t = 0$ पर $y = h$ से शुरू होने वाला नीचे की ओर खुलने वाला परवलय दर्शाता है।
प्रत्यास्थ टक्कर के बाद ऊपर की ओर गति के लिए,वेग की दिशा उलट जाती है और इसका परिमाण समान रहता है। वेग $v = u - gt$ का पालन करता है,जहाँ $u$ टक्कर के ठीक बाद का वेग है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$v$ ऋणात्मक ढलान के साथ रैखिक रूप से घटता है।
ऊपर की ओर गति के लिए समय के फलन के रूप में ऊँचाई $y = ut - \frac{1}{2}gt^2$ का पालन करती है,जो ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय का एक खंड है। इन दोनों को मिलाने पर,वेग-समय ग्राफ ऋणात्मक ढलान के साथ 'सॉ-टूथ' (sawtooth) पैटर्न दिखाता है और ऊँचाई-समय ग्राफ परवलयाकार चापों की एक श्रृंखला दिखाता है। ग्राफ $B$ इन भौतिक व्यवहारों को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \; ms^{-1}$,त्वरण $\vec{a} = (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \; ms^{-2}$,और समय $t = 10 \; s$.
सदिशों के लिए गति के पहले समीकरण का उपयोग करने पर: $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$.
मान रखने पर: $\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \times 10$.
$\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j}) = 7\hat{i} + 7\hat{j}$.
चाल,वेग सदिश $\vec{v}$ का परिमाण है।
$|\vec{v}| = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \; ms^{-1}$.

(A) एक समान धात्विक छड़ के माध्यम से स्थिर अवस्था में ऊष्मा चालन में,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ पूरी छड़ में स्थिर रहती है।
फूरियर के ऊष्मा चालन के नियम के अनुसार:
$\frac{dQ}{dt} = -kA \frac{d\theta}{dx}$
जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\frac{d\theta}{dx}$ तापमान प्रवणता है।
चूंकि $\frac{dQ}{dt}$,$k$,और $A$ स्थिर हैं,इसलिए तापमान प्रवणता $\frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{kA} \frac{dQ}{dt}$ भी स्थिर होनी चाहिए।
इसका तात्पर्य यह है कि तापमान $\theta$ गर्म सिरे से दूरी $x$ के साथ रैखिक रूप से घटता है।
इसलिए,$\theta$ बनाम $x$ का ग्राफ ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा है,जो चित्र $A$ के अनुरूप है।

(B) गैस का आयतन $V$,द्रव्यमान $m$ और घनत्व $\rho$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{m}{\rho} = \frac{1 \; kg}{4 \; kg/m^3} = 0.25 \; m^3$.
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ (या तापीय गति के कारण ऊर्जा) का सूत्र है:
$U = \frac{f}{2} PV$,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$f = 5$.
मान रखने पर:
$U = \frac{5}{2} \times (8 \times 10^4 \; N/m^2) \times (0.25 \; m^3)$
$U = \frac{5}{2} \times 8 \times 10^4 \times \frac{1}{4}$
$U = 5 \times 10^4 \; J$.
अतः,ऊर्जा $5 \times 10^4 \; J$ है।

(D) छड़ के सिरे $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} m l^2$ है।
जब छड़ अपनी निम्नतम स्थिति में होती है,तो इसकी कोणीय चाल अधिकतम $\omega$ होती है। इस बिंदु पर घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} m l^2) \omega^2 = \frac{1}{6} m l^2 \omega^2$ होती है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,छड़ का कोणीय वेग क्षणिक रूप से शून्य हो जाता है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निम्नतम बिंदु पर घूर्णन गतिज ऊर्जा,उच्चतम बिंदु पर द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ द्वारा प्राप्त गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
अतः,$mgh = \frac{1}{6} m l^2 \omega^2$.
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{l^2 \omega^2}{6g}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{9}$,इसलिए:
$\frac{g}{9} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{9} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{3} = \frac{R}{R+h}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $R + h = 3R$.
अतः,$h = 3R - R = 2R$.

(B) से $B$ तक की प्रक्रिया एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है क्योंकि दबाव $P$,$2 \times 10^5 \text{ Pa}$ पर स्थिर रहता है।
आदर्श गैस के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{by}} = nR\Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 2 \text{ मोल}$,$T_A = 300 \text{ K}$,और $T_B = 500 \text{ K}$ है।
$W_{\text{by}} = 2 \times R \times (500 - 300) = 400R$।
प्रश्न में गैस पर किया गया कार्य पूछा गया है।
गैस पर किया गया कार्य $W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} = -400R$ होता है।
हालाँकि,भौतिकी के ऐसे प्रश्नों के संदर्भ में,आमतौर पर परिमाण (magnitude) अपेक्षित होता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$400R$ सही उत्तर है।

(A) प्रक्रिया $DA$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है क्योंकि तापमान $T$,$300 \text{ K}$ पर स्थिर है जबकि दबाव $1 \times 10^5 \text{ Pa}$ से $2 \times 10^5 \text{ Pa}$ तक बदलता है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{by}} = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $V = \frac{nRT}{P}$ है,इसलिए $\frac{V_f}{V_i} = \frac{P_i}{P_f}$।
अतः,$W_{\text{by}} = nRT \ln\left(\frac{P_D}{P_A}\right) = 2.303 nRT \log_{10}\left(\frac{P_D}{P_A}\right)$।
यहाँ $n = 2$,$T = 300 \text{ K}$,$P_D = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,और $P_A = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ दिए गए हैं।
$W_{\text{by}} = 2.303 \times 2 \times R \times 300 \times \log_{10}\left(\frac{1 \times 10^5}{2 \times 10^5}\right) = 2.303 \times 600 \times R \times \log_{10}(0.5)$।
$W_{\text{by}} = 1381.8 \times R \times (-0.3) = -414.54 R \approx -414 R$।
गैस पर किया गया कार्य $W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} = -(-414 R) = +414 R$ है।

(D) $P-T$ आरेख में, किसी प्रक्रिया के लिए किया गया कार्य $W = \int P dV$ द्वारा दिया जाता है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $V = \frac{nRT}{P}$ है, इसलिए $dV = nR \left( \frac{dT}{P} - \frac{T}{P^2} dP \right)$।
समआयतनिक प्रक्रिया $(V = \text{स्थिरांक})$ के लिए, $W = 0$। समदाबी प्रक्रिया $(P = \text{स्थिरांक})$ के लिए, $W = P \Delta V = nR \Delta T$।
प्रक्रिया $AB$: $P = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ पर समदाबी विस्तार। $T$, $300 \text{ K}$ से $500 \text{ K}$ तक जाता है। $W_{AB} = nR(T_B - T_A) = 2 \times R \times (500 - 300) = 400R$।
प्रक्रिया $BC$: $T = 500 \text{ K}$ पर समआयतनिक शीतलन। $W_{BC} = 0$।
प्रक्रिया $CD$: $P = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$ पर समदाबी संपीड़न। $T$, $500 \text{ K}$ से $300 \text{ K}$ तक जाता है। $W_{CD} = nR(T_D - T_C) = 2 \times R \times (300 - 500) = -400R$।
प्रक्रिया $DA$: $T = 300 \text{ K}$ पर समआयतनिक तापन। $W_{DA} = 0$।
गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} = 400R + 0 - 400R + 0 = 0$।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है, गैस द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है, लेकिन प्रश्न में गैस पर किया गया कार्य पूछा गया है, जो $W_{on} = -W_{by} = 0$ होगा।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ है।
त्वरण समीकरण से,हमें $\frac{a}{x} = -\omega^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$ होता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,$\frac{a}{x} = -\frac{4\pi^2}{T^2}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{aT^2}{x} = -4\pi^2$ प्राप्त होता है,जो कि एक नियतांक है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$\frac{a}{x} = -\omega^2$ होता है। दिए गए $SHM$ के लिए $\omega$ और $T$ नियतांक हैं,इसलिए अनुपात $\frac{a}{x}$ नियत है। अतः,$\frac{aT}{x}$ भी नियत रहता है क्योंकि $T$ नियतांक है।

(B) प्रेक्षक (मोटरसाइकिल) गति में है और स्रोत (सायरन) स्थिर है। डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $n' = n \left( \frac{v - v_O}{v} \right)$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_O$ प्रेक्षक की गति है।
दिया गया है कि $n' = 0.94n$,इसलिए $0.94n = n \left( \frac{330 - v_O}{330} \right)$।
इसे सरल करने पर,$0.94 \times 330 = 330 - v_O$।
$v_O = 330 - 310.2 = 19.8 \; m/s$।
मोटरसाइकिल विरामावस्था से शुरू होती है $(u = 0)$ और $a = 2 \; m/s^2$ के त्वरण से चलती है। गति के समीकरण $v_O^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(19.8)^2 = 0^2 + 2 \times 2 \times s$।
$392.04 = 4s$।
$s = 98.01 \; m \approx 98 \; m$।

(B) दिया गया है: $R = 150 \; \Omega$,$R_{0} = 100 \; \Omega$,और $\Delta t = 227^{\circ} C - 27^{\circ} C = 200^{\circ} C$.
सूत्र $R = R_{0}(1 + \alpha \Delta t)$ का उपयोग करने पर:
$150 = 100(1 + \alpha \times 200)$
$1.5 = 1 + 200\alpha$
$0.5 = 200\alpha$
$\alpha = 0.5 / 200 = 2.5 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के संबंध में: रैखिक सन्निकटन $R = R_{0}(1 + \alpha \Delta t)$ टेलर विस्तार $R = R_{0} e^{\alpha \Delta t} \approx R_{0}(1 + \alpha \Delta t + \dots)$ से प्राप्त होता है,जो केवल तभी मान्य है जब $\alpha \Delta t << 1$ हो। इस प्रश्न में,$\Delta R = 50 \; \Omega$ है,जो $R_{0}$ का $50\%$ है। इसलिए,कथन-$2$ भी सत्य है और यह कथन-$1$ में उपयोग किए गए सूत्र की सीमाओं के लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है।

(C) केंद्र से $r_1$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
$r_1$ त्रिज्या वाली गोलाकार गॉसियन सतह के लिए,$E(4\pi r_1^2) = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
परिबद्ध आवेश $q_{enc}$,$r_1$ त्रिज्या वाले गोले के आयतन पर आवेश घनत्व $\rho(r)$ का समाकलन है:
$q_{enc} = \int_0^{r_1} \rho(r) (4\pi r^2) dr = \int_0^{r_1} \left( \frac{Q}{\pi R^4} r \right) (4\pi r^2) dr = \frac{4Q}{R^4} \int_0^{r_1} r^3 dr = \frac{4Q}{R^4} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{r_1} = \frac{Q r_1^4}{R^4}$.
इस मान को गॉस के नियम में रखने पर:
$E(4\pi r_1^2) = \frac{Q r_1^4}{\varepsilon_0 R^4} \implies E = \frac{Q r_1^4}{4\pi \varepsilon_0 R^4 r_1^2} = \frac{Q r_1^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4}$.

(A) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। उस कोने पर विचार करें जहाँ आवेश $Q$ रखा गया है।
इस आवेश $Q$ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. विकर्ण के विपरीत कोने पर रखे गए दूसरे आवेश $Q$ के कारण प्रतिकर्षण बल: $F = k \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kQ^2}{2a^2}$ (विकर्ण की दिशा में बाहर की ओर)।
$2$. आसन्न कोनों पर रखे गए दो आवेशों $q$ के कारण दो आकर्षण बल: $F' = k \frac{Qq}{a^2}$ (भुजाओं की दिशा में)।
इन दो बलों $F'$ का परिणामी बल $R = \sqrt{F'^2 + F'^2} = \sqrt{2} F' = \sqrt{2} \frac{kQq}{a^2}$ (विकर्ण की दिशा में) है।
$Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,परिणामी बल $R$ का परिमाण बल $F$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए और उन्हें विपरीत दिशाओं में कार्य करना चाहिए।
$\sqrt{2} \frac{kQq}{a^2} = - \frac{kQ^2}{2a^2}$
$\sqrt{2} q = - \frac{Q}{2}$
$\frac{Q}{q} = -2\sqrt{2}$

(D) किसी आवेश $q$ को बिंदु $P$ से बिंदु $Q$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = q(V_Q - V_P)$।
यहाँ,आवेश $q$,$100$ इलेक्ट्रॉनों का कुल आवेश है। चूँकि एक इलेक्ट्रॉन का आवेश $-1.6 \times 10^{-19} \ C$ होता है,इसलिए कुल आवेश $q = 100 \times (-1.6 \times 10^{-19} \ C) = -1.6 \times 10^{-17} \ C$ है।
विभव $V_P = 10 \ V$ और $V_Q = -4 \ V$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = (-1.6 \times 10^{-17} \ C) \times (-4 \ V - 10 \ V)$
$W = (-1.6 \times 10^{-17}) \times (-14) \ J$
$W = 22.4 \times 10^{-17} \ J = 2.24 \times 10^{-16} \ J$।

(A) स्थिर-विद्युत बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,यदि किसी बल द्वारा दो बिंदुओं के बीच गति करने वाले कण पर किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है,तो वह बल संरक्षी होता है।
यह गुण इस कथन के समतुल्य है कि एक बंद लूप के अनुदिश गति करने वाली वस्तु पर संरक्षी बल द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य होता है।
चूंकि स्थिर-विद्युत क्षेत्र संरक्षी है,इसलिए कथन-$1$ सत्य है क्योंकि यह पथ की स्वतंत्रता का वर्णन करता है।
कथन-$2$ भी सत्य है क्योंकि यह संरक्षी बलों के मूलभूत गुण को परिभाषित करता है।
कथन-$2$ सही ढंग से बताता है कि कथन-$1$ क्यों सत्य है,क्योंकि पथ की स्वतंत्रता इस तथ्य का सीधा परिणाम है कि बंद लूप में किया गया कार्य शून्य होता है।

(B) चाप $DA$ में धारा के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{a} \times \theta$ है,जहाँ $\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ रेडियन है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दिशा कागज के तल के लंबवत (बाहर की ओर) है।
चाप $BC$ में धारा के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I}{b} \times \theta$ है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$ रेडियन है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दिशा कागज के तल के लंबवत (अंदर की ओर) है।
सीधे खंडों $AB$ और $CD$ के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि मूल बिंदु $O$ इन खंडों की रेखा पर स्थित है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$,$B_1$ और $B_2$ का अंतर है:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) \times \frac{\pi}{6}$
$B = \frac{\mu_0 I}{24} \left( \frac{b - a}{ab} \right) = \frac{\mu_0 I (b - a)}{24ab}$

(B) $1$. मूल बिंदु पर स्थित $I_1$ धारा वाले तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$O$ को केंद्र मानकर खींचे गए वृत्तों के स्पर्शरेखीय होता है।
$2$. सीधे खंडों $AB$ और $CD$ के लिए,धारा अवयव $I \vec{dl}$ त्रिज्यीय दिशा में होता है। चूंकि $\vec{B}$ स्पर्शरेखीय है,$\vec{dl} \perp \vec{B}$,इसलिए इन खंडों पर बल लगता है।
$3$. चाप $AD$ और $BC$ के लिए,धारा अवयव $I \vec{dl}$ चाप के स्पर्शरेखीय होता है,जो $O$ पर स्थित तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर है।
$4$. चूंकि $\vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$ और $\vec{dl} \parallel \vec{B}$,इसलिए चाप $AD$ और $BC$ पर लगने वाला बल शून्य है।
$5$. अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) माना छड़ का अपवर्तनांक $n = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
छड़ की दीवार पर बिंदु $Q$ पर,प्रकाश किरण सतह को स्पर्श करते हुए निकलती है,जिसका अर्थ है कि अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है। माना $C$ क्रांतिक कोण है।
$Q$ पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $n \sin C = 1 \cdot \sin 90^{\circ} = 1$.
$\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{2/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$C = 60^{\circ}$.
अब,सिरे के बिंदु $P$ पर अपवर्तन पर विचार करें। आपतन कोण $\theta$ है और अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ} - C$ है।
$P$ पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1 \cdot \sin \theta = n \cdot \sin(90^{\circ} - C) = n \cos C$.
मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसलिए,$\theta = \sin^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(A) उत्तल लेंस के लिए,लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए,$u$ ऋणात्मक है,इसलिए मान लें $u = -|u|$ और $v = |v|$।
समीकरण $\frac{1}{|v|} - \frac{1}{-|u|} = \frac{1}{f}$ हो जाता है,जो सरल होकर $\frac{1}{|v|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$ बन जाता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण $|v| = |u|$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ पर,हम लेंस सूत्र में $|v| = |u|$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{|u|} + \frac{1}{|u|} = \frac{1}{f}$
$\frac{2}{|u|} = \frac{1}{f}$
$|u| = 2f$।
चूंकि $|v| = |u|$,इसलिए $|v| = 2f$ है।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2f, 2f)$ हैं।

(A) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 400 \ nm$,ऊर्जा स्थिरांक $hc = 1240 \ eV \ nm$,गतिज ऊर्जा $K.E. = 1.68 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = W + K.E._{max}$,जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda}$.
मान रखने पर: $E = \frac{1240}{400} = 3.1 \ eV$.
अब,कार्य फलन $W$ की गणना करते हैं: $W = E - K.E._{max} = 3.1 \ eV - 1.68 \ eV = 1.42 \ eV$.
नोट: दिए गए विकल्पों में सबसे निकटतम विकल्प $1.41 \ eV$ (विकल्प $A$) है।

(D) जब स्विच $S$ को $t = 0$ पर बंद किया जाता है,तो $R_1$ वाली शाखा $L$ और $R_2$ वाली शाखा के समानांतर होती है। $L-R_2$ शाखा के सिरों पर विभवांतर बैटरी के emf $E = 12 \ V$ के बराबर होता है।
$L-R_2$ शाखा में धारा $i$ समीकरण $i = \frac{E}{R_2}(1 - e^{-R_2 t / L})$ के अनुसार बढ़ती है।
प्रेरक $L$ के सिरों पर विभवांतर $V_L = L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
धारा के समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{di}{dt} = \frac{E}{R_2} \cdot \frac{R_2}{L} e^{-R_2 t / L} = \frac{E}{L} e^{-R_2 t / L}$.
इस मान को $V_L$ के समीकरण में रखने पर:
$V_L = L \left( \frac{E}{L} e^{-R_2 t / L} \right) = E e^{-R_2 t / L}$.
यहाँ $E = 12 \ V$,$R_2 = 2 \ \Omega$,और $L = 400 \ mH = 0.4 \ H$ दिया गया है,इसलिए समय नियतांक $\tau = \frac{L}{R_2} = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ s$ है।
अतः,$V_L = 12 e^{-t / 0.2} = 12 e^{-5t} \ V$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि ज्ञात प्रकाश $(\lambda_1 = 590 \ nm)$ की $3^{rd}$ दीप्त फ्रिंज अज्ञात प्रकाश $(\lambda_2 = \lambda)$ की $4^{th}$ दीप्त फ्रिंज के साथ संपाती है:
$\frac{3 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$
$3 \lambda_1 = 4 \lambda_2$
$\lambda_2 = \frac{3}{4} \times 590 \ nm$
$\lambda_2 = 0.75 \times 590 \ nm = 442.5 \ nm$.

(D) ऊर्जा स्तरों $n_i$ और $n_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 Z^2 (\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
पराबैंगनी विकिरण उच्च ऊर्जा संक्रमणों (लाइमैन श्रेणी) के अनुरूप है,जबकि अवरक्त विकिरण कम ऊर्जा संक्रमणों (पाशन,ब्रैकेट,या फंड श्रेणी) के अनुरूप है।
यह दिया गया है कि इस परमाणु के लिए $n=4 \rightarrow n=3$ संक्रमण से पराबैंगनी विकिरण प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा अंतराल $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ काफी बड़ा है।
अवरक्त विकिरण प्राप्त करने के लिए,हमें $\Delta E_{4 \rightarrow 3}$ की तुलना में बहुत कम ऊर्जा अंतराल वाले संक्रमण की आवश्यकता है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$(A)$ $2 \rightarrow 1$: यह निचले ऊर्जा स्तरों के बीच का संक्रमण है,जिसके परिणामस्वरूप $4 \rightarrow 3$ की तुलना में बड़ा ऊर्जा अंतराल होता है।
$(B)$ $3 \rightarrow 2$: यह भी निचले ऊर्जा स्तरों के बीच का संक्रमण है,जिसके परिणामस्वरूप $4 \rightarrow 3$ की तुलना में बड़ा ऊर्जा अंतराल होता है।
$(C)$ $4 \rightarrow 2$: इसमें क्वांटम संख्याओं में बड़ा अंतर है,जिसके परिणामस्वरूप बड़ा ऊर्जा अंतराल होता है।
$(D)$ $5 \rightarrow 4$: यह संक्रमण उच्च ऊर्जा स्तरों के बीच होता है जहाँ क्रमिक स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर बहुत कम होता है। अतः,$5 \rightarrow 4$ में सबसे कम ऊर्जा अंतराल होगा और यह अवरक्त विकिरण उत्पन्न करेगा।

(A) यदि किसी नाभिकीय अभिक्रिया में उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक है, तो ऊर्जा मुक्त होती है $(\varepsilon > 0)$।
$1$. अभिक्रिया $(i)$, $A + B \to C + \varepsilon$ के लिए: नाभिक $C$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $A$ और $B$ से अधिक है। अतः, उत्पाद $C$ की कुल बंधन ऊर्जा $A$ और $B$ की बंधन ऊर्जा के योग से अधिक है। इसलिए, $\varepsilon > 0$ है।
$2$. अभिक्रिया $(iv)$, $F \to D + E + \varepsilon$ के लिए: नाभिक $D$ और $E$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $F$ से अधिक है। अतः, उत्पादों $D$ और $E$ की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारक $F$ की बंधन ऊर्जा से अधिक है। इसलिए, $\varepsilon > 0$ है।
अतः, अभिक्रिया $(i)$ और $(iv)$ में $\varepsilon$ धनात्मक है।

(C) एक $p-n$ जंक्शन डायोड जो एक प्रत्यावर्ती धारा $(A.C.)$ स्रोत और लोड प्रतिरोध $(R)$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा होता है,वह हाफ-वेव रेक्टिफायर के रूप में कार्य करता है।
इनपुट $A.C.$ के धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान,डायोड फॉरवर्ड बायस में होता है और प्रतिरोध $(R)$ के माध्यम से धारा प्रवाहित होती है।
इनपुट $A.C.$ के ऋणात्मक अर्ध-चक्र के दौरान,डायोड रिवर्स बायस में होता है और धारा का संचालन नहीं करता है,जिसके परिणामस्वरूप प्रतिरोध $(R)$ में धारा शून्य हो जाती है।
इसलिए,आउटपुट धारा का तरंग रूप केवल धनात्मक अर्ध-चक्रों से बना होता है,जिसमें वे अंतराल होते हैं जहाँ ऋणात्मक अर्ध-चक्र होने चाहिए थे। यह विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) दिए गए सर्किट में दो $NOT$ गेट और उसके बाद एक $NOR$ गेट है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। $NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
ये $NOR$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ है:
$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
अतः,यह सर्किट $AND$ गेट के रूप में कार्य करता है।
$AND$ गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

इनपुट वेवफॉर्म $A$ और $B$ की तुलना $AND$ गेट लॉजिक से करने पर,आउटपुट $Y$ केवल तभी उच्च $(1)$ होता है जब $A$ और $B$ दोनों उच्च $(1)$ हों। दिए गए वेवफॉर्म को देखने पर,यह विकल्प $D$ के अनुरूप है।