Set Theory Questions in Gujarati

(D) $X$ થી $Y$ પરનો સંબંધ એ કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $X \times Y$ નો ઉપગણ છે.
$R_1$ માટે: જો $x=1, y=3 \in Y$; $x=2, y=4 \notin Y$; $x=3, y=5 \in Y$; $x=4, y=6 \notin Y$; $x=5, y=7 \in Y$. અહીં $y$ એ $Y$ માં હોવું જરૂરી છે,પરંતુ $R_1$ માં એવી જોડીઓ છે જેમાં $y \notin Y$ છે,તેથી $R_1$ એ $X$ થી $Y$ પરનો સંબંધ નથી.
$R_2$ માટે: બધી જોડીઓ $(x, y)$ માટે $x \in X$ અને $y \in Y$ છે. તેથી,$R_2 \subseteq X \times Y$,એટલે કે તે એક સંબંધ છે.
$R_3$ માટે: બધી જોડીઓ $(x, y)$ માટે $x \in X$ અને $y \in Y$ છે. તેથી,$R_3 \subseteq X \times Y$,એટલે કે તે એક સંબંધ છે.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને $X$ થી $Y$ પરના સંબંધો છે.

(C) આપેલ છે કે $n(A) = 2$ અને $n(B) = 3$.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 2 \times 3 = 6$ થાય.
ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ એ $A \times B$ નો કોઈપણ ઉપગણ છે.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે.
તેથી,$A$ થી $B$ પરના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n(A \times B)} = 2^6 = 64$ થાય.

(B) સંબંધ $R$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર $\{(a, b) : a - b = 3\}$ અથવા $\{(a, b) : b - a = 3\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,આપણે એવી જોડીઓ શોધીએ છીએ જ્યાં તફાવત $3$ હોય.
જો $b = n$ હોય,તો $a = n + 3$ થાય.
$n = 1$ માટે,$a = 4 \implies (4, 1)$.
$n = 2$ માટે,$a = 5 \implies (5, 2)$.
$n = 3$ માટે,$a = 6 \implies (6, 3)$.
આમ,સંબંધ $R = \{(4, 1), (5, 2), (6, 3), .....\}$ છે.

(B) આપેલ છે કે ${N_a} = \{ an : n \in N \}$.
આ $a$ ના તમામ ગુણકોનો ગણ દર્શાવે છે.
તેથી,${N_3} = \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, \dots \}$ અને ${N_4} = \{ 4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots \}$.
છેદગણ ${N_3} \cap {N_4}$ માં એવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે બંને ગણમાં સામાન્ય હોય,જે $3$ અને $4$ ના સામાન્ય ગુણકો છે.
$3$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) $12$ છે.
આમ,${N_3} \cap {N_4} = \{ 12, 24, 36, \dots \} = {N_{12}}$.
સામાન્ય રીતે,${N_a} \cap {N_b} = {N_{\text{lcm}(a, b)}}$.

(B) બે ગણના યોગગણના ઘટકોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ છે.
અહીં $n(A) = 3$ અને $n(B) = 6$ આપેલ છે.
$A \cup B$ માં ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે છેદગણ $n(A \cap B)$ માં ઘટકોની સંખ્યા મહત્તમ કરવી પડે.
$n(A \cap B)$ માટે મહત્તમ શક્ય કિંમત નાના ગણના ઘટકોની સંખ્યા જેટલી હોય,જે $3$ છે (કારણ કે $A \subseteq B$ શક્ય છે).
આ કિંમતો મૂકતા: $n(A \cup B) = 3 + 6 - 3 = 6$.
તેથી,$A \cup B$ માં ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $6$ છે.

(D) ગણ $A$ એ $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $r = 5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે. તેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે.
ગણ $B$ એ $x^2 + 9y^2 = 144$ સમીકરણ ધરાવતું ઉપવલય (ellipse) દર્શાવે છે. $144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{144} + \frac{9y^2}{144} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{12^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ થાય છે.
આ એક ઉપવલય છે જેમાં અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = 12$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = 4$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $5$ છે,અને ઉપવલયની ગૌણ અક્ષ $4$ અને મુખ્ય અક્ષ $12$ છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા એ ઉપવલયની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ કરતા મોટી અને અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ કરતા નાની હોવાથી,વર્તુળ ઉપવલયને ચાર અલગ-અલગ બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$A \cap B$ માં ચાર બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે.

(B) ગણનો તફાવત $A - B$ એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં હોય પણ $B$ માં ન હોય.
ગાણિતિક રીતે,$A - B = \{x : x \in A \text{ અને } x \notin B\}$.
કારણ કે $x \notin B$ એ $x \in \bar B$ ને સમાન છે (જ્યાં $\bar B$ એ $B$ નો પૂરક ગણ છે),આપણે લખી શકીએ:
$A - B = A \cap \bar B$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ગણ $A$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલીએ: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
આ સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 2)(x - 3) = 0$ મળે,તેથી $x = 2$ અથવા $x = 3$. આમ,$A = \{2, 3\}$.
ત્યારબાદ,ગણ $B$ અને $C$ નો છેદગણ શોધીએ: $B \cap C = \{2, 4\} \cap \{4, 5\} = \{4\}$.
અંતે,કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times (B \cap C) = \{2, 3\} \times \{4\}$ ની ગણતરી કરીએ.
આનાથી ક્રમયુક્ત જોડનો ગણ $\{(2, 4), (3, 4)\}$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમાચારપત્રોની સંખ્યા $x$ છે.
દરેક વિદ્યાર્થી $5$ સમાચારપત્ર વાંચે છે,તેથી $300$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાંચવામાં આવતા કુલ સમાચારપત્રોની સંખ્યા $300 \times 5 = 1500$ થાય.
દરેક સમાચારપત્ર $60$ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાંચવામાં આવે છે,તેથી વાંચનનો કુલ આંકડો $x \times 60$ થાય.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $60x = 1500$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = 1500 / 60 = 25$ મળે છે.
તેથી,સમાચારપત્રોની સંખ્યા $25$ છે.

(C) બે ગણ $A$ અને $B$ નો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
છેદગણ $(A \times B) \cap (B \times A)$ માટે,ઘટક $(x, y)$ એ $(x, y) \in A \times B$ અને $(x, y) \in B \times A$ બંનેનું પાલન કરવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in A, y \in B$ અને $x \in B, y \in A$.
તેથી,$x \in (A \cap B)$ અને $y \in (A \cap B)$.
આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને $B = \{2, 3, 6, 7\}$,તેથી તેમનો છેદગણ $A \cap B = \{2, 3\}$ થાય.
$A \cap B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \cap B) = 2$ છે.
તેથી,$(A \times B) \cap (B \times A)$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \cap B) \times n(A \cap B) = 2 \times 2 = 4$ થાય.

(B) વિધેય $f(x) = \log(x^2)$ એ તમામ $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે તમામ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે $x^2 > 0$ થાય છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log(a^n) = n \log a$ નો ઉપયોગ કરતી વખતે,આપણે એ સુનિશ્ચિત કરવું જોઈએ કે પ્રદેશ (domain) સમાન રહે.
કારણ કે $x^2 = |x|^2$,આપણે લખી શકીએ કે $\log(x^2) = \log(|x|^2) = 2 \log |x|$.
વિધેય $2 \log |x|$ પણ તમામ $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,સમતુલ્ય વિધેય $2 \log |x|$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x - |x|}{|x|}$ છે.
$f(-1)$ શોધવા માટે,વિધેયમાં $x = -1$ મૂકો.
$f(-1) = \frac{-1 - |-1|}{|-1|}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|-1| = 1$,તેથી:
$f(-1) = \frac{-1 - 1}{1} = \frac{-2}{1} = -2$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$.
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right)$ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ વિધેય $f(x)$ માં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{1}{x}$ મૂકો:
$f\left( \frac{1}{x} \right) = 4\left( \frac{1}{x} \right)^3 + 3\left( \frac{1}{x} \right)^2 + 3\left( \frac{1}{x} \right) + 4$
$f\left( \frac{1}{x} \right) = \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4$
હવે,આ પદાવલિને $x^3$ વડે ગુણો:
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right) = x^3 \left( \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4 \right)$
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right) = 4 + 3x + 3x^2 + 4x^3$
પદોને ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^3 f\left( \frac{1}{x} \right) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4 = f(x)$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x + |x|$ છે.
પ્રથમ,$f(2x)$ ની ગણતરી કરો:
$f(2x) = 2(2x) + |2x| = 4x + 2|x|$.
ત્યારબાદ,$f(-x)$ ની ગણતરી કરો:
$f(-x) = 2(-x) + |-x| = -2x + |x|$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિ $f(2x) + f(-x) - f(x)$ માં મૂકો:
$= (4x + 2|x|) + (-2x + |x|) - (2x + |x|)$.
$= 4x + 2|x| - 2x + |x| - 2x - |x|$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$= (4x - 2x - 2x) + (2|x| + |x| - |x|)$.
$= 0x + 2|x| = 2|x|$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \cos([\pi^2]x) + \cos([- \pi^2]x)$.
કારણ કે $\pi^2 \approx 9.86$,તેથી $[\pi^2] = 9$ થાય.
તે જ રીતે,$[-\pi^2] = [-9.86] = -10$ થાય.
આમ,$f(x) = \cos(9x) + \cos(-10x) = \cos(9x) + \cos(10x)$.
સરવાળામાંથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2\cos\left(\frac{19x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
હવે,$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ની કિંમત શોધતા:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{19\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
કારણ કે $\cos\left(\frac{19\pi}{4}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{|x - 3|}{x - 3}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $x - 3 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \neq 3$. આમ,પ્રદેશ $R - \{3\}$ છે.
હવે,માનાંક માટે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લો:
કિસ્સો $1$: જો $x > 3$ હોય,તો $|x - 3| = x - 3$. તેથી,$f(x) = \frac{x - 3}{x - 3} = 1$.
કિસ્સો $2$: જો $x < 3$ હોય,તો $|x - 3| = -(x - 3)$. તેથી,$f(x) = \frac{-(x - 3)}{x - 3} = -1$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $\{1, -1\}$ ગણ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \log |x^2 - 9|$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જ્યારે લઘુગણકનો પ્રદેશ ધન હોય.
એટલે કે,$|x^2 - 9| > 0$.
કારણ કે નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|x^2 - 9|$ હંમેશા અનૃણ (non-negative) હોય છે,તેથી $|x^2 - 9| > 0$ ની શરત તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે સંતોષાય છે,સિવાય કે જ્યાં $|x^2 - 9| = 0$ હોય.
$x^2 - 9 = 0$ લેતા,આપણને $x^2 = 9$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$ અથવા $x = -3$.
તેથી,વિધેય $x = 3$ અને $x = -3$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી.
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $\{-3, 3\}$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેને $R - \{-3, 3\}$ તરીકે લખવામાં આવે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \log |\log x|$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે લઘુગણકનો પ્રદેશ ધન હોય.
$1$. અંદરનો લઘુગણક $\log x$ ફક્ત ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે $x > 0$ હોય.
$2$. બહારનો લઘુગણક $\log |\log x|$ ત્યારે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે $|\log x| > 0$ હોય.
$3$. શરત $|\log x| > 0$ નો અર્થ છે કે $\log x \neq 0$,જેનો અર્થ થાય છે કે $x \neq 1$.
$4$. બંને શરતોને જોડતા,આપણને $x > 0$ અને $x \neq 1$ મળે છે.
તેથી,પ્રદેશ $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{\log_2(x + 3)}{x^2 + 3x + 2}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
$2$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $x^2 + 3x + 2 \neq 0$.
છેદના અવયવો પાડતા: $(x + 1)(x + 2) \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \neq -1$ અને $x \neq -2$.
આ શરતોને જોડતા,આપણને $x > -3$ અને $x \notin \{-1, -2\}$ મળે છે.
આમ,પ્રદેશ $(-3, \infty) - \{-1, -2\}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 6x + 7$ છે.
વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 7$
$f(x) = (x - 3)^2 - 2$
કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $(x - 3)^2 \ge 0$ થાય છે,તેથી પદાવલિની ન્યૂનતમ કિંમત $0 - 2 = -2$ છે.
જેમ $x \to \infty$ અથવા $x \to -\infty$ થાય,તેમ $f(x) \to \infty$ થાય છે.
તેથી,વિધેયનો વિસ્તાર $[-2, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\log \frac{1}{|\sin x|}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ઋણ ન હોવી જોઈએ:
$\log \frac{1}{|\sin x|} \ge 0$
કારણ કે $\log_a x \ge 0$ નો અર્થ છે $x \ge 1$ (આધાર $10$ અથવા $e$ માટે),તેથી:
$\frac{1}{|\sin x|} \ge 1$
$1 \ge |\sin x|$
આ અસમતા તમામ $x$ માટે સાચી છે જ્યાં $\sin x$ વ્યાખ્યાયિત છે,શરત એ છે કે $|\sin x| \neq 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $x = n\pi$ (જ્યાં $n \in I$) માટે $\sin x = 0$ થાય છે,તેથી આ બિંદુઓ પર $\frac{1}{|\sin x|}$ અવ્યાખ્યાયિત બને છે.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે સિવાય કે જ્યાં $\sin x = 0$ થાય.
પ્રદેશ $= R - \{ n\pi, n \in I \}$.

(C) વિધેય $f(x) = \log (\sqrt {x - 4} + \sqrt {6 - x} )$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,લઘુગણકની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ અને વર્ગમૂળની અંદરની કિંમતો અઋણ હોવી જોઈએ.
$1$. $\sqrt {x - 4}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x - 4 \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \ge 4$.
$2$. $\sqrt {6 - x}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$6 - x \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \le 6$.
$3$. સરવાળો $\sqrt {x - 4} + \sqrt {6 - x}$ એ $0$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ. બંને વર્ગમૂળ પદો અઋણ હોવાથી,તેમનો સરવાળો હંમેશા $\ge 0$ હોય છે. સરવાળો $0$ ત્યારે જ થાય જો $x-4=0$ અને $6-x=0$ એકસાથે હોય,જે અશક્ય છે ($x=4$ અને $x=6$). તેથી,$x \in [4, 6]$ માટે સરવાળો હંમેશા ધન રહે છે.
આ શરતોને જોડતા,આપણને $4 \le x \le 6$ મળે છે.
તેથી,પ્રદેશ $[4, 6]$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = {\left[ {{{\log }_{10}}\left( {\frac{{5x - {x^2}}}{4}} \right)} \right]^{1/2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ:
${\log _{10}}\left( {\frac{{5x - {x^2}}}{4}} \right) \ge 0$
અહીં લઘુગણકનો આધાર $10 > 1$ હોવાથી,ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતી વખતે અસમતા બદલાશે નહીં:
$\frac{{5x - {x^2}}}{4} \ge {10^0}$
$\frac{{5x - {x^2}}}{4} \ge 1$
$5x - {x^2} \ge 4$
${x^2} - 5x + 4 \le 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x - 1)(x - 4) \le 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $1$ અને $4$ ની વચ્ચે (સહિત) હોય.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $[1, 4]$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \log_{3 + x}(x^2 - 1)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે નીચેની શરતોનું પાલન થવું જોઈએ:
$1$. લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ: $x^2 - 1 > 0$,જેનો અર્થ છે $x^2 > 1$,તેથી $x < -1$ અથવા $x > 1$.
$2$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ અને $1$ ન હોવો જોઈએ: $3 + x > 0$ અને $3 + x \neq 1$.
$3 + x > 0$ પરથી,આપણને $x > -3$ મળે છે.
$3 + x \neq 1$ પરથી,આપણને $x \neq -2$ મળે છે.
આ તમામ શરતોને જોડતા: $x > -3$,$x \neq -2$,અને ($x < -1$ અથવા $x > 1$).
આ ગણોનો છેદ લેતા આપણને પ્રદેશ મળે છે: $D_f = (-3, -2) \cup (-2, -1) \cup (1, \infty)$.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\sin 2x}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ઋણ ન હોવી જોઈએ.
તેથી,$\sin 2x \ge 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta \ge 0$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $\theta$ પ્રથમ અથવા બીજા ચરણમાં હોય,એટલે કે $2n\pi \le \theta \le 2n\pi + \pi$.
$\theta = 2x$ મૂકતા,આપણને $2n\pi \le 2x \le 2n\pi + \pi$ મળે છે.
આ અસમતાને $2$ વડે ભાગતા,$n\pi \le x \le n\pi + \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $[n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}]$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{3}{4 - x^2} + \log_{10}(x^3 - x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $4 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2$.
$2$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $x^3 - x > 0$.
અવયવ પાડતા: $x(x^2 - 1) > 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 1) > 0$.
વેવી કર્વ (wavy curve) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = -1, 0, 1$ માટે,આ પદ $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ અંતરાલમાં ધન છે.
આ શરતોને જોડતા,આપણે $(1, \infty)$ અંતરાલમાંથી $x = 2$ ને બાકાત રાખવો પડશે.
આમ,પ્રદેશ $(-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{2 - 2x - x^2}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અઋણ હોવી જોઈએ.
તેથી,$2 - 2x - x^2 \ge 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 2x - 2 \le 0$ મળે છે.
આ અસમતા ઉકેલવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$x^2 + 2x + 1 - 1 - 2 \le 0$
$(x + 1)^2 - 3 \le 0$
$(x + 1)^2 \le 3$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે:
$-\sqrt{3} \le x + 1 \le \sqrt{3}$
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા:
$-1 - \sqrt{3} \le x \le -1 + \sqrt{3}$.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $[-1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3}]$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{x - 3}{(x - 1)\sqrt{x^2 - 4}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત શૂન્ય કરતા મોટી હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1$. વર્ગમૂળ માટેની શરત $x^2 - 4 > 0$ છે,જેનો અર્થ છે $x^2 > 4$. આથી $x > 2$ અથવા $x < -2$ મળે.
$2$. છેદ માટેની શરત $(x - 1)\sqrt{x^2 - 4} \neq 0$ છે. આનો અર્થ છે કે $x - 1 \neq 0$ (એટલે કે $x \neq 1$) અને $\sqrt{x^2 - 4} \neq 0$ (એટલે કે $x^2 - 4 \neq 0$,જેનો અર્થ છે $x \neq \pm 2$).
$3$. આ તમામ શરતોને જોડતા,આપણને $x \in ( - \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ મળે છે અને $x \neq 1$ હોવું જોઈએ. કારણ કે $1$ એ અંતરાલ $( - \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ માં આવતું નથી,તેથી પ્રદેશ $( - \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ થશે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\log \left( \frac{5x - x^2}{6} \right)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ:
$\log \left( \frac{5x - x^2}{6} \right) \ge 0$
અહીં લઘુગણકનો આધાર $10$ છે,તેથી આ અસમતા નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\frac{5x - x^2}{6} \ge 10^0$
$\frac{5x - x^2}{6} \ge 1$
$5x - x^2 \ge 6$
$x^2 - 5x + 6 \le 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડતા:
$(x - 2)(x - 3) \le 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજની વચ્ચે હોય:
$2 \le x \le 3$
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $[2, 3]$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{2 - x} - \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ઋણ ન હોવી જોઈએ: $2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$.
$2$. છેદમાં રહેલા વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ: $9 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 9 \Rightarrow |x| < 3$,એટલે કે $-3 < x < 3$.
$3$. આ બંને શરતોને જોડતા: $x \le 2$ અને $-3 < x < 3$.
$4$. આ અંતરાલોનો છેદગણ $(-3, 2]$ મળે છે.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $(-3, 2]$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ઋણ ન હોવી જોઈએ:
$1 + x \ge 0 \implies x \ge -1$
$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \in [-1, 1]$ મળે છે.
$2$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ:
$x \neq 0$
બંને શરતોને જોડતા,પ્રદેશ $[-1, 1] - \{0\}$ થાય છે.

(D) વિધેય $f(x) = \sqrt{x - x^2} + \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિઓ અઋણ હોવી જોઈએ.
$1$. $\sqrt{4 + x}$ માટે,$4 + x \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \ge -4$.
$2$. $\sqrt{4 - x}$ માટે,$4 - x \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \le 4$.
$3$. $\sqrt{x - x^2}$ માટે,$x - x^2 \ge 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $x(1 - x) \ge 0$. આ અસમતા $0 \le x \le 1$ માટે સાચી છે.
પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આ અંતરાલોનો છેદગણ લઈએ:
$x \in [-4, \infty) \cap (- \infty, 4] \cap [0, 1]$.
આ ગણોનો છેદગણ $[0, 1]$ મળે છે.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $[0, 1]$ છે.

(A) વિધેય $f(x)$ નો પ્રદેશ એ તમામ શક્ય ઇનપુટ કિંમતો $(x)$ નો સમૂહ છે જેના માટે વિધેય વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય $f(x) = \frac{1}{1 + e^x}$ માટે,છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે $e^x > 0$ હોય છે,તેથી $1 + e^x > 1$ થાય.
આમ,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે છેદ ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી.
તેથી,આ વિધેય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,પ્રદેશ $(-\infty, \infty)$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{\log(x^2 - 6x + 6)}$ ત્યારે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોય,એટલે કે $\log(x^2 - 6x + 6) \ge 0$.
કારણ કે $\log(y) \ge 0$ નો અર્થ $y \ge 1$ થાય છે (આધાર $10$ અથવા $e$ ધારીને),આપણને મળે છે:
$x^2 - 6x + 6 \ge 1$
$x^2 - 6x + 5 \ge 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x - 5)(x - 1) \ge 0$
આ અસમતાને ઉકેલવા માટે,આપણે નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = 5$ મેળવીએ છીએ. અંતરાલો $(-\infty, 1]$,$(1, 5)$,અને $[5, \infty)$ ને તપાસતા,આપણે જોઈએ છીએ કે પદાવલિ $(-\infty, 1]$ અને $[5, \infty)$ અંતરાલોમાં અ-ઋણ છે.
વધુમાં,આપણે એ સુનિશ્ચિત કરવું જોઈએ કે લઘુગણકનો તર્ક ધન હોય: $x^2 - 6x + 6 > 0$. કારણ કે $x^2 - 6x + 6 \ge 1$ પહેલેથી જ સંતોષાયેલ છે,તેથી $x^2 - 6x + 6 > 0$ ની શરત આપમેળે સંતોષાય છે.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $( - \infty, 1 ] \cup [ 5, \infty )$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ:
$1 - \frac{1}{x} \ge 0$
$\frac{x - 1}{x} \ge 0$
આ અસમતા ઉકેલવા માટે,આપણે તે બિંદુઓ શોધીએ છીએ જ્યાં અંશ અને છેદ શૂન્ય થાય છે,જે $x = 1$ અને $x = 0$ છે.
ચિહ્ન પદ્ધતિ (વેવી કર્વ મેથડ) નો ઉપયોગ કરતા:
$x > 1$ માટે,$\frac{x-1}{x} > 0$ (ધન).
$0 < x < 1$ માટે,$\frac{x-1}{x} < 0$ (ઋણ).
$x < 0$ માટે,$\frac{x-1}{x} > 0$ (ધન).
આપણને અભિવ્યક્તિ $\ge 0$ જોઈએ છે,તેથી ઉકેલ $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ છે.
નોંધ: $x = 0$ ને બાકાત રાખવામાં આવે છે કારણ કે છેદ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ છેદમાં હોવાથી તે શૂન્ય કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
તેથી,$x^2 - 1 > 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x^2 > 1$.
અસમતા $x^2 > 1$ ઉકેલતા,આપણને $|x| > 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x > 1$ અથવા $x < -1$.
અંતરાલ સંકેતમાં,આને $x \in ( - \infty, -1) \cup (1, \infty)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) વિધેય $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - x}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
આપણે જાણીએ છીએ કે માનાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ:
જો $x \ge 0$ હોય,તો $|x| = x$,જેનો અર્થ છે કે $x > x$,જે અશક્ય છે.
જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$,જેનો અર્થ છે કે $-x > x$,અથવા $0 > 2x$,જેનું સાદું રૂપ $x < 0$ થાય છે.
તેથી,આ વિધેય તમામ $x < 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,પ્રદેશ $( - \infty, 0)$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{x^2 + 1}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
વિધેય વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિઓ અઋણ હોવી જોઈએ.
પ્રથમ પદ $\sqrt{x^2 - 1}$ માટે,આપણે $x^2 - 1 \ge 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 \ge 1$. આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ હોય.
બીજા પદ $\sqrt{x^2 + 1}$ માટે,આપણે $x^2 + 1 \ge 0$ ની જરૂર છે. કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 \ge 0$ હોય છે,તેથી $x^2 + 1 \ge 1$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે હંમેશા સાચું છે.
વિધેય $f(x)$ નો પ્રદેશ એ બંને પદોના પ્રદેશોનો છેદગણ છે.
આમ,પ્રદેશ $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે,જેને $(-\infty, \infty) - (-1, 1)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) વિધેય $f(x) = \exp (\sqrt {5x - 3 - 2{x^2}} )$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અઋણ હોવી જોઈએ.
તેથી,$5x - 3 - 2{x^2} \ge 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $2{x^2} - 5x + 3 \le 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $2{x^2} - 2x - 3x + 3 \le 0 \implies 2x(x - 1) - 3(x - 1) \le 0 \implies (2x - 3)(x - 1) \le 0$.
આને $2(x - 3/2)(x - 1) \le 0$ તરીકે લખી શકાય.
વેવી કર્વ પદ્ધતિ (ચિહ્ન યોજના) નો ઉપયોગ કરતા,આ પદાવલિ $x \in [1, 3/2]$ માટે $\le 0$ થાય છે.
તેથી,પ્રદેશ $[1, 3/2]$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \sec \left( \frac{\pi}{4} \cos^2 x \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 x$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
તેથી,સેકન્ટ વિધેયનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4} \cos^2 x$ એ $[0, \frac{\pi}{4}]$ અંતરાલમાં બદલાય છે.
સેકન્ટ વિધેય $\sec(\theta)$ એ $[0, \frac{\pi}{4}]$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય હોવાથી,આપણે અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમત મેળવીએ:
જ્યારે $\cos^2 x = 0$ હોય,ત્યારે $f(x) = \sec(0) = 1$.
જ્યારે $\cos^2 x = 1$ હોય,ત્યારે $f(x) = \sec \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[1, \sqrt{2}]$ છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1}$.
આ વિધેયને $y = \frac{(x^2 + x + 1) + 1}{x^2 + x + 1} = 1 + \frac{1}{x^2 + x + 1}$ તરીકે લખી શકાય.
વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે પદાવલિ $g(x) = x^2 + x + 1$ નો વિસ્તાર શોધવો પડશે.
$g(x)$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $g(x) = (x + 1/2)^2 + 3/4$ મળે છે.
$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3/4$ ($x = -1/2$ આગળ) છે અને મહત્તમ કિંમત $\infty$ છે.
આમ,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[3/4, \infty)$ છે.
હવે,$\frac{1}{g(x)}$ નો વિસ્તાર $(0, 1/(3/4)] = (0, 4/3]$ થાય.
આ વિસ્તારમાં $1$ ઉમેરતા,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(1, 1 + 4/3] = (1, 7/3]$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = a\cos(bx + c) + d$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઇન વિધેય $\cos(\theta)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$-1 \le \cos(bx + c) \le 1$.
$a$ વડે ગુણતા (ધારો કે $a > 0$),આપણને $-a \le a\cos(bx + c) \le a$ મળે.
બધા પદોમાં $d$ ઉમેરતા,આપણને $d - a \le a\cos(bx + c) + d \le d + a$ મળે.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[d - a, d + a]$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos x - \sin x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cos x + b \sin x$ સ્વરૂપના કોઈપણ પદને $R \cos(x + \alpha)$ અથવા $R \sin(x + \beta)$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ થાય.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -1$ છે.
તેથી,$R = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
આમ,$f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})$.
કારણ કે $\cos(\theta)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$.
બધા $x \in R$ માટે $x^2 \ge 0$ હોવાથી,અંશ ઋણેતર છે અને છેદ હંમેશા અંશ કરતા મોટો હોય છે.
જેમ $x \to \pm \infty$,તેમ $y \to 1$,પરંતુ $y$ ક્યારેય $1$ સુધી પહોંચતું નથી કારણ કે $x^2 < x^2 + 1$ છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $y = 0$ મળે છે.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[0, 1)$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos 2x - \sin 2x$ છે.
આપણે તેને $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{4})$ મળે છે.
કારણ કે $\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $f(x)$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ થાય.
અહીં $\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,અંતરાલ $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ એ આશરે $[-1.414, 1.414]$ છે.
ગણ $[-1, 1]$ એ $[-1.414, 1.414]$ નો ઉપગણ છે.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ ગણને સમાવે છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{2 - \sin 3x}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 3x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
ધારો કે $u = \sin 3x$,તો $u \in [-1, 1]$.
વિધેય $f(u) = \frac{1}{2 - u}$ બને છે.
વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે $u$ ની સીમાઓ પર વિધેયની કિંમત મેળવીએ:
જ્યારે $u = -1$ હોય,ત્યારે $f(-1) = \frac{1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}$.
જ્યારે $u = 1$ હોય,ત્યારે $f(1) = \frac{1}{2 - 1} = 1$.
આ અંતરાલમાં વિધેય સતત અને એકવિધ હોવાથી,વિધેયનો વિસ્તાર $[\frac{1}{3}, 1]$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેય $\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-1 \le \sin x \le 1$.
$-7$ વડે ગુણતા,આપણને $7 \ge -7 \sin x \ge -7$ મળે છે,જેને $-7 \le -7 \sin x \le 7$ તરીકે લખી શકાય.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $9$ ઉમેરતા,આપણને $9 - 7 \le 9 - 7 \sin x \le 9 + 7$ મળે છે.
આમ,$2 \le 9 - 7 \sin x \le 16$.
તેથી,વિધેય $f(x) = 9 - 7 \sin x$ નો વિસ્તાર $[2, 16]$ છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2 + 34x - 71}{x^2 + 2x - 7}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $y(x^2 + 2x - 7) = x^2 + 34x - 71$.
$x^2(y - 1) + x(2y - 34) - 7y + 71 = 0$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D = B^2 - 4AC \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2y - 34)^2 - 4(y - 1)(-7y + 71) \ge 0$.
$4(y - 17)^2 - 4(-7y^2 + 71y + 7y - 71) \ge 0$.
$(y^2 - 34y + 289) - (-7y^2 + 78y - 71) \ge 0$.
$y^2 - 34y + 289 + 7y^2 - 78y + 71 \ge 0$.
$8y^2 - 112y + 360 \ge 0$.
$8$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $y^2 - 14y + 45 \ge 0$.
$(y - 5)(y - 9) \ge 0$.
આમ,વિસ્તાર $y \in ( - \infty, 5] \cup [9, \infty)$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ ${\sin ^{ - 1}} \theta + {\cos ^{ - 1}} \theta = \frac{\pi }{2}$ એ તમામ $\theta \in [-1, 1]$ માટે સાચું છે.
આ પ્રશ્નમાં,$\theta = \sqrt x$ છે.
$\sqrt x$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$x \ge 0$ હોવું જરૂરી છે.
પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$-1 \le \sqrt x \le 1$ હોવું જોઈએ.
$\sqrt x$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$-1 \le \sqrt x \le 1$ ની શરત $0 \le \sqrt x \le 1$ માં પરિણમે છે.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,આપણને $0^2 \le x \le 1^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $0 \le x \le 1$.
તેથી,જે અંતરાલ માટે સમીકરણ સાચું છે તે $x \in [0, 1]$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$f(x) = \cos^2 x + (1 - \cos^2 x)^2$
$f(x) = \cos^2 x + 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x$
$f(x) = \cos^4 x - \cos^2 x + 1$
ધારો કે $t = \cos^2 x$,જ્યાં $t \in [0, 1]$.
તેથી $g(t) = t^2 - t + 1$.
આ એક ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $t = 1/2$ પર છે.
કારણ કે $1/2 \in [0, 1]$,ન્યૂનતમ કિંમત $g(1/2) = (1/4) - (1/2) + 1 = 3/4$ છે.
મહત્તમ કિંમત સીમાઓ $t=0$ અથવા $t=1$ પર મળે છે:
$g(0) = 1$ અને $g(1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
આમ,વિસ્તાર $[3/4, 1]$ છે.