Set Theory Questions in Gujarati

(B) જો બે ગણોમાં સભ્યોની સંખ્યા સમાન હોય,તો તેમને સમાન (equivalent) ગણ કહેવામાં આવે છે,એટલે કે તેમની કાર્ડિનલ સંખ્યા સમાન હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માં: $n(A) = 4$ અને $n(B) = 4$. $n(A) = n(B)$ હોવાથી,તેઓ સમાન છે.
વિકલ્પ $B$ માં: $n(A) = 3$ અને $n(B) = 4$. $n(A) \neq n(B)$ હોવાથી,તેઓ સમાન નથી.
વિકલ્પ $C$ માં: $n(A) = 0$ અને $n(B) = 0$. $n(A) = n(B)$ હોવાથી,તેઓ સમાન છે.
વિકલ્પ $D$ માં: $n(A) = 3$ અને $n(B) = 3$. $n(A) = n(B)$ હોવાથી,તેઓ સમાન છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલી જોડી સમાન નથી.

(B) ગણની કાર્ડિનલ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ '$ASSASSINATION$' શબ્દમાં રહેલા અનન્ય અક્ષરોની યાદી બનાવીએ છીએ.
અક્ષરો છે: $A, S, S, A, S, S, I, N, A, T, I, O, N$.
અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $A, S, I, N, T, O$.
ગણ $\{A, S, I, N, T, O\}$ છે.
આ ગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,કાર્ડિનલ સંખ્યા $6$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ $30$ થી નાની અથવા તેના જેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે જે $7$ અથવા $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
$30$ સુધી $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે: $7, 14, 21, 28$.
$30$ સુધી $11$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે: $11, 22$.
આ બંનેને ભેગા કરતા,ગણ $A = \{7, 11, 14, 21, 22, 28\}$ મળે છે.
ગણની કાર્ડિનલ સંખ્યા એટલે ગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા.
ગણ $A$ માં રહેલા ઘટકોની ગણતરી કરતા,આપણને $n(A) = 6$ મળે છે.

(B) ગણ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે: $S = \{x: x = 2n, n \in N, 4 \leq x \leq 11\}$.
અહીં $n \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) હોવાથી,આપણે $n$ ની એવી કિંમતો શોધીશું જે $4 \leq 2n \leq 11$ નું પાલન કરે.
અસમતાને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $2 \leq n \leq 5.5$ મળે છે.
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $n$ ની શક્ય કિંમતો $2, 3, 4, 5$ છે.
$n = 2$ માટે,$x = 2(2) = 4$.
$n = 3$ માટે,$x = 2(3) = 6$.
$n = 4$ માટે,$x = 2(4) = 8$.
$n = 5$ માટે,$x = 2(5) = 10$.
આમ,ગણ $S = \{4, 6, 8, 10\}$ છે.
ગણની સંખ્યા (cardinal number) એટલે ગણમાં રહેલા ઘટકોની કુલ સંખ્યા.
તેથી,ગણની સંખ્યા $4$ છે.

(C) કયો ગણ શાંત છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ અનંત છે.
$B$: સમતલ પર અસંખ્ય ચતુષ્કોણ દોરી શકાય છે.
$C$: આપણને શરત $x \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) અને $x^2 - 25 \leq 0$ આપેલ છે. $x^2 \leq 25$ ઉકેલતા આપણને $-5 \leq x \leq 5$ મળે છે. કારણ કે $x \in N$,તેથી $x$ ની શક્ય કિંમતો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. આ ગણમાં $5$ ઘટકો છે,તેથી તે શાંત ગણ છે.
$D$: પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં $3$ ના ગુણકોનો ગણ ${3, 6, 9, 12, \dots}$ છે,જે અનંત છે.
તેથી,સાચો ગણ ${x: x \in N \text{ અને } x^2 - 25 \leq 0}$ છે.

(C) બે ગણ $A$ અને $B$ ને સમાન (equivalent) કહેવાય છે જો તેમની પાસે સમાન સંખ્યામાં ઘટકો હોય,એટલે કે $n(A) = n(B)$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $n(A) = 26$ (અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો) અને $n(B) = 24$. $26 \neq 24$ હોવાથી,તેઓ સમાન નથી.
વિકલ્પ $B$ માટે: $n(A) = 3$. ગણ $B$ અનંત ગણ છે કારણ કે $n \in N$,તેથી $n(B) = \infty$. તેઓ સમાન નથી.
વિકલ્પ $C$ માટે: $n(A) = 3$. ગણ $B$ માં ક્રમયુક્ત જોડીઓ છે,$n(B) = 3$. $n(A) = n(B) = 3$ હોવાથી,ગણ $A$ અને $B$ સમાન છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $n(A) = 4$ ($n = 0, 1, 2, 3$ માટે) અને $n(B) = 3$. $4 \neq 3$ હોવાથી,તેઓ સમાન નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બે ગણ $A$ અને $B$ સમાન કહેવાય છે જો તેમાં બરાબર એકસરખા જ ઘટકો હોય.
વિકલ્પ $A$: $A=\{12, 14, 16\}$ અને $B=\{16, 18, 20\}$. અહીં $12 \in A$ છે પણ $12 \notin B$ છે,તેથી $A \neq B$.
વિકલ્પ $B$: $A=\phi$ (રિક્ત ગણ) અને $B=\{\}$ (રિક્ત ગણ). બંને ગણમાં કોઈ ઘટક નથી,તેથી $A=B$.
વિકલ્પ $C$: $A=\{x: x \in W \text{ અને } x < 1\}$. $W$ (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) $0$ થી શરૂ થાય છે,તેથી એકમાત્ર ઘટક $0$ છે. આમ $A=\{0\}$,જ્યારે $B=\phi$. તેથી $A \neq B$.
વિકલ્પ $D$: $A=\{x: x \text{ એ } S \text{ થી શરૂ થતો અઠવાડિયાનો દિવસ છે}\} = \{\text{Sunday, Saturday}\}$. $B=\{\text{Sunday}\}$. તેથી $A \neq B$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $C$ એ ક્રિકેટ રમતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $F$ એ ફૂટબોલ રમતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(C) = 50$
$n(F) = 20$
$n(C \cap F) = 10$
આપણે એવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવાની છે જેઓ આ બે રમતોમાંથી ઓછામાં ઓછી એક રમત રમે છે,જે $n(C \cup F)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(C \cup F) = n(C) + n(F) - n(C \cap F)$
$n(C \cup F) = 50 + 20 - 10 = 60$
વૈકલ્પિક રીતે,વેન આકૃતિ પરથી:
માત્ર ક્રિકેટ રમતા વિદ્યાર્થીઓ = $50 - 10 = 40$
માત્ર ફૂટબોલ રમતા વિદ્યાર્થીઓ = $20 - 10 = 10$
બંને રમતો રમતા વિદ્યાર્થીઓ = $10$
ઓછામાં ઓછી એક રમત રમતા કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $40 + 10 + 10 = 60$.

(D) ધારો કે $A = {0}.$ ગણ $A$ ના ઘાતગણને $P(A)$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,જે $A$ ના તમામ શક્ય ઉપગણોનો ગણ છે.
ગણ $A = {0}$ માટે,તેના ઉપગણો ખાલી ગણ $\phi$ અને પોતે ગણ ${0}$ છે.
તેથી,ઘાતગણ $P(A) = {\phi, {0}}$ થાય.

(D) ધારો કે $A = \{\{a, b\}, c\}$.
ઘાતગણ $P(A)$ નક્કી કરવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે ગણ $A$ માં બે ઘટકો છે: $x = \{a, b\}$ અને $y = c$.
ઘાતગણ $P(A)$ માં ઘટકોની સંખ્યા $2^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ $A$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા છે.
અહીં,$n = 2$ છે,તેથી $P(A)$ માં $2^2 = 4$ ઘટકો હશે.
ઘાતગણ $P(A)$ ના ઘટકો એ $A$ ના ઉપગણો છે,જે નીચે મુજબ છે:
$1$. ખાલી ગણ: $\phi$
$2$. પ્રથમ ઘટક ધરાવતો ગણ: $\{\{a, b\}\}$
$3$. બીજો ઘટક ધરાવતો ગણ: $\{c\}$
$4$. ગણ $A$ પોતે: $\{\{a, b\}, c\}$
તેથી,$P(A) = \{\phi, \{\{a, b\}\}, \{c\}, A\}$.

(B) બે ગણ $A$ અને $B$ તુલનાત્મક કહેવાય જો $A \subseteq B$ અથવા $B \subseteq A$ હોય.
$(a)$ $1 \in A$ પરંતુ $1 \notin B$ અને $6 \in B$ પરંતુ $6 \notin A$. તેથી,$A \not\subseteq B$ અને $B \not\subseteq A$. તેથી,તેઓ તુલનાત્મક નથી.
$(b)$ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ અને $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$. $A$ ના દરેક ઘટક $B$ માં હોવાથી,$A \subset B$ છે. તેથી,$A$ અને $B$ તુલનાત્મક છે.
$(c)$ $\{4, 5\} \in A$ પરંતુ $\{4, 5\} \notin B$ અને $4 \in B$ પરંતુ $4 \notin A$. તેથી,$A \not\subseteq B$ અને $B \not\subseteq A$. તેથી,તેઓ તુલનાત્મક નથી.

(C) આપેલ ગણ $A = \{\phi, \{\phi\}, 1, \{1, \phi\}, 7\}$ છે.
$1$. $\phi \in A$: ખાલી ગણ $\phi$ એ $A$ નો સભ્ય છે,તેથી આ વિધાન સાચું છે.
$2$. $\{\phi\} \in A$: ખાલી ગણ ધરાવતો ગણ $\{\phi\}$ એ $A$ નો સભ્ય છે,તેથી આ વિધાન સાચું છે.
$3$. $\{1\} \in A$: ગણ $\{1\}$ એ $A$ નો સભ્ય નથી. $A$ ના સભ્યો $\phi, \{\phi\}, 1, \{1, \phi\}$ અને $7$ છે. $\{1\}$ એ $A$ નો સભ્ય તરીકે આપેલો નથી,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.
$4$. $\{7, \phi\} \subset A$: અહીં $7 \in A$ અને $\phi \in A$ બંને હોવાથી,ગણ $\{7, \phi\}$ એ $A$ નો ઉપગણ છે,તેથી આ વિધાન સાચું છે.
આમ,ખોટું વિધાન $\{1\} \in A$ છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
$1$. ગણ $A$ ના સભ્યો $1$,$2$,${3, 4}$,અને $5$ છે.
$2$. કારણ કે ${3, 4}$ એ ગણ $A$ ના એક સભ્ય તરીકે દર્શાવેલ છે,તેથી વિધાન ${3, 4} \in A$ સત્ય છે.
$3$. વિધાન ${3, 4} \subset A$ અસત્ય છે કારણ કે ગણ ${3, 4}$ ના સભ્યો $3$ અને $4$ છે,જે $A$ ના સભ્યો નથી.
$4$. વિધાન $1 \subset A$ અસત્ય છે કારણ કે $1$ એ $A$ નો સભ્ય છે,ઉપગણ નથી ($1 \in A$ સત્ય છે).
$5$. વિધાન ${1, 2, 5} \in A$ અસત્ય છે કારણ કે ગણ ${1, 2, 5}$ એ $A$ નો સભ્ય નથી (જોકે તે $A$ નો ઉપગણ છે).

(D) આપેલ ગણ $A = \{1, 3, 5\}$ અને $B = \{x : x \text{ એ } 6 \text{ થી નાની એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે\}}$ છે.
$6$ થી નાની એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 3, 5$ હોવાથી,$B = \{1, 3, 5\}$ મળે છે.
બંને ગણની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $A = B$.
ઉપગણની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $A = B$ હોય,તો $A \subseteq B$ અને $B \subseteq A$ થાય. $A$ અને $B$ સમાન હોવાથી,$A \subset B$,$B \subset A$ અને $A = B$ એ તમામ વિધાનો ગણની સમાનતા સાથે સુસંગત છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પો $A, B, C$ માંથી કોઈ પણ અસત્ય નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B, C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
$1$. $A$ ના ઘટકો $1$,$2$,$\{3, 4\}$,અને $5$ છે.
$2$. $\{3, 4\}$ એ $A$ નો એક ઘટક હોવાથી,વિધાન $\{3, 4\} \in A$ સત્ય છે.
$3$. $\{3, 4\}$ એ $A$ નો ઘટક હોવાથી,આ ઘટકને સમાવતો ગણ $\{\{3, 4\}\}$ એ $A$ નો ઉપગણ થાય. તેથી,$\{\{3, 4\}\} \subset A$ પણ સત્ય છે.
$4$. $3$ અને $4$ એ $A$ ના સ્વતંત્ર ઘટકો નથી; તેઓ $\{3, 4\}$ ગણનો ભાગ છે. તેથી,$\{3, 4\} \subset A$ અસત્ય છે અને $\{1, 3, 5\} \subset A$ પણ અસત્ય છે.

(A) ગણ $A$ નો ઘાતગણ,જેને $P(A)$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $A$ ના તમામ શક્ય ઉપગણોનો ગણ છે.
આપેલ ગણ $A = \{8, 9\}$ છે.
$A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 2$ છે.
ઘાતગણ $P(A)$ માં ઘટકોની સંખ્યા $2^n = 2^2 = 4$ થશે.
$A$ ના ઉપગણો છે: $\phi$ (રિક્ત ગણ),$\{8\}$,$\{9\}$,અને $\{8, 9\}$.
તેથી,ઘાતગણ $P(A) = \{\phi, \{8\}, \{9\}, \{8, 9\}\}$ છે.

(B) કોઈ ગણ $C$ ના ઘાતગણને $P(C)$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,જે $C$ ના તમામ ઉપગણોનો ગણ છે.
આપેલ છે કે $C = \{1, \{2\}\}$.
$C$ ના ઘટકો $1$ અને $\{2\}$ છે.
$C$ ના ઉપગણો નીચે મુજબ છે:
$1$. ખાલી ગણ: $\phi$
$2$. પ્રથમ ઘટક ધરાવતો ગણ: $\{1\}$
$3$. બીજા ઘટક ધરાવતો ગણ: $\{\{2\}\}$
$4$. બંને ઘટકો ધરાવતો ગણ: $\{1, \{2\}\}$
તેથી,ઘાતગણ $P(C) = \{\phi, \{1\}, \{\{2\}\}, \{1, \{2\}\}\}$ થાય.

(A) આપેલ ગણ $A = \{x : x = \frac{n-1}{n+1},\ n \in W,\ n \le 10\}$ છે।
અહીં $n \in W$ (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) હોવાથી, $n$ ની શક્ય કિંમતો છે:
$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
જ્યારે $n = 1$ લઈએ:
$x = \frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$
આમ, $0$ એ ગણ $A$ નો સભ્ય છે।
તેથી, $0 \in A$ એ સાચું વિધાન છે।

(D) સૌ પ્રથમ,આપેલા શબ્દોમાં રહેલા અનન્ય અક્ષરોને ઓળખીને દરેક ગણના ઘટકો લખીએ:
$A = \{B, O, W, L\}$
$B = \{E, L, B, O, W\}$
$C = \{B, E, L, O, W\}$
ગણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $A = \{B, O, W, L\}$ અને $B = \{B, O, W, L, E\}$. $A$ ના તમામ ઘટકો $B$ માં હોવાથી,$A \subset B$ સત્ય છે.
$B$ અને $C$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $B = \{B, E, L, O, W\}$ અને $C = \{B, E, L, O, W\}$. તેથી,$B = C$.
$B = C$ હોવાથી,વિધાન $B \supset C$ સત્ય છે (કારણ કે દરેક ગણ પોતાનો ઉપગણ હોય છે).
વિધાન '$B$ એ $C$ નો ઉચિત ઉપગણ છે' અસત્ય છે કારણ કે $B$ એ $C$ ની બરાબર છે,અને કોઈ ગણ પોતાનો ઉચિત ઉપગણ હોઈ શકે નહીં.

(A) જો કોઈ ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા નિશ્ચિત હોય,તો તેને સીમિત ગણ કહેવાય છે. જો ગણ $A$ સીમિત હોય,તો તેનો કોઈપણ ઉપગણ $B$ (જ્યાં $B \subseteq A$) પણ સીમિત જ હોય,કારણ કે $B$ ના ઘટકોની સંખ્યા $A$ ના ઘટકોની સંખ્યા કરતા વધી શકે નહીં. તેથી,સીમિત ગણનો દરેક ઉપગણ સીમિત હોય છે. વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે અસીમિત ગણનો ઉપગણ સીમિત હોઈ શકે છે (દા.ત.,${1}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના અસીમિત ગણ $\mathbb{N}$ નો ઉપગણ છે). વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે અસીમિત ગણનો ઉપગણ અસીમિત પણ હોઈ શકે છે (દા.ત.,બેકી સંખ્યાઓનો ગણ એ $\mathbb{N}$ નો ઉપગણ છે). વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે સીમિત ગણના ઉચિત ઉપગણમાં હંમેશા મૂળ ગણ કરતા ઓછા ઘટકો હોય છે,તેથી તે મૂળ ગણની સમકક્ષ હોઈ શકે નહીં.

(D) આપેલ ગણ નીચે મુજબ છે:
$A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots\}$
$B = \{5, 10, 15, 20, 25, \dots\}$
$C = \{10, 20, 30, 40, \dots\}$
સૌ પ્રથમ,$A$ અને $B$ નો છેદગણ શોધો:
$A \cap B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવે છે જે $2$ અને $5$ બંનેના ગુણક હોય. $2$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $10$ હોવાથી,$A \cap B = \{10, 20, 30, \dots\}$ થાય.
આ ગણની $C$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A \cap B = C$.
હવે,$(A \cap B) \cap C$ શોધો:
$(A \cap B) \cap C = C \cap C = C$.
તેથી,ગણ $(A \cap B) \cap C$ એ $C$ ને સમાન છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}$,$B = \{5, 10, 15, 20, \dots\}$,અને $C = \{10, 20, 30, \dots\}$ છે.
અહીં $C \subset B$ હોવાથી,યોગગણ $B \cup C$ એ $B$ જ થશે.
તેથી,$B \cup C = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, \dots\} = B$.
હવે,આપણે છેદગણ $A \cap (B \cup C) = A \cap B$ શોધીએ.
$A \cap B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવે છે જે $2$ અને $5$ બંનેના ગુણક હોય.
$2$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) $10$ છે.
આમ,$A \cap B = \{10, 20, 30, \dots\} = C$.

(A) પગલું $1$: $A \cap U$ શોધો.
અહીં $A = \{2, 4, 7\}$ અને $U = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે,તેથી $A \cap U$ એ બંનેમાં સામાન્ય ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{2, 4, 7\}$ છે.
પગલું $2$: $B \cup C$ શોધો.
અહીં $B = \{3, 5, 7, 9, 11\}$ અને $C = \{7, 8, 9, 10, 11\}$ છે,તેથી $B \cup C$ એ $B$ અથવા $C$ માં રહેલા તમામ ઘટકોનો ગણ છે,જે $\{3, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે.
પગલું $3$: $(A \cap U) \cap (B \cup C)$ ની ગણતરી કરો.
આપણે $\{2, 4, 7\}$ અને $\{3, 5, 7, 8, 9, 10, 11\}$ નો છેદગણ શોધવાનો છે.
બંનેમાં સામાન્ય ઘટક માત્ર $7$ છે.
તેથી,$(A \cap U) \cap (B \cup C) = \{7\}$.

(A) આપેલ છે કે $U = \{a, b, c, d, e, f\}$ અને $A = \{a, b, c\}$.
સૌ પ્રથમ,$A$ નો પૂરક ગણ $A^{\prime}$ શોધો.
$A^{\prime} = U - A = \{d, e, f\}$.
હવે,$U$ અને $A^{\prime}$ નો યોગગણ શોધો.
$U \cup A^{\prime} = \{a, b, c, d, e, f\} \cup \{d, e, f\}$.
કારણ કે $\{d, e, f\}$ એ $U$ નો ઉપગણ છે,તેથી તેમનો યોગગણ $U$ જ થશે.
$U \cup A^{\prime} = \{a, b, c, d, e, f\} = U$.

(D) સૌ પ્રથમ,ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ શોધો:
$A \cup B = \{a, b, c\} \cup \{c, d, e, f\} = \{a, b, c, d, e, f\}$
હવે,આ પરિણામનો ગણ $C$ સાથે યોગગણ શોધો:
$(A \cup B) \cup C = \{a, b, c, d, e, f\} \cup \{c, d, e\}$
બંને ગણના તમામ અનન્ય ઘટકોને જોડતા,આપણને મળે છે:
$(A \cup B) \cup C = \{a, b, c, d, e, f\}$
આ ગણ સાર્વત્રિક ગણ $U$ ની બરાબર હોવાથી,અંતિમ જવાબ $U$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ગણ $A$ અને $B$ નો છેદગણ શોધો:
$A \cap B = \{a, b, c\} \cap \{c, d, e, f\} = \{c\}$
ત્યારબાદ,ગણ $A$ અને $C$ નો છેદગણ શોધો:
$A \cap C = \{a, b, c\} \cap \{c, d, e\} = \{c\}$
અંતે,બંને પરિણામી ગણનો યોગગણ શોધો:
$(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{c\} \cup \{c\} = \{c\}$

(C) બે ગણ પરસ્પર અલગ (disjoint) ત્યારે કહેવાય જ્યારે તેમનો છેદગણ ખાલી ગણ હોય,એટલે કે તેમની વચ્ચે કોઈ સામાન્ય ઘટક ન હોય.
$(i)$ ગણ ${x : x in mathbb{N}, 4 leq x leq 6} = {4, 5, 6}$ છે. ${1, 2, 3, 4}$ અને ${4, 5, 6}$ નો છેદગણ ${4}$ મળે છે. તેમની વચ્ચે સામાન્ય ઘટક હોવાથી,તેઓ પરસ્પર અલગ નથી.
$(ii)$ ગણ ${a, e, i, o, u}$ અને ${c, d, e, f}$ માં ઘટક $e$ સામાન્ય છે. તેથી,તેઓ પરસ્પર અલગ નથી.
$(iii)$ યુગ્મ પૂર્ણાંકોનો ગણ અને અયુગ્મ પૂર્ણાંકોનો ગણ કોઈ પણ સામાન્ય ઘટક ધરાવતા નથી કારણ કે કોઈ પણ પૂર્ણાંક એકસાથે યુગ્મ અને અયુગ્મ હોઈ શકે નહીં. તેથી,તેમનો છેદગણ $emptyset$ છે. આમ,તેઓ પરસ્પર અલગ ગણ છે.

(D) ગણ $A - B$ એવા ઘટકોનો બનેલો છે જે $A$ માં હોય પરંતુ $B$ માં ન હોય.
આપેલ છે કે $A = \{3, 5, 7, 11\}$ અને $B = \{7, 8, 9, 10, 11\}$.
$A$ માંથી $B$ ના ઘટકો દૂર કરતા,આપણને $A - B = \{3, 5\}$ મળે છે.
પૂરક ગણ $(A - B)'$ ને $U - (A - B)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$U = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.
$(A - B)' = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} - \{3, 5\} = \{2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પોમાં ઉપલબ્ધ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $E$, $M$, અને $C$ એ અનુક્રમે અંગ્રેજી, ગણિત અને વાણિજ્યમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપેલ છે:
ફક્ત અંગ્રેજીમાં પાસ $= 46$
ફક્ત ગણિતમાં પાસ $= 46$
ફક્ત વાણિજ્યમાં પાસ $= 58$
અંગ્રેજી અને ગણિતમાં પાસ (ત્રણેય સહિત) $= 16$. તેથી, ફક્ત અંગ્રેજી અને ગણિત $= 16 - 7 = 9$.
ગણિત અને વાણિજ્યમાં પાસ (ત્રણેય સહિત) $= 24$. તેથી, ફક્ત ગણિત અને વાણિજ્ય $= 24 - 7 = 17$.
અંગ્રેજી અને વાણિજ્યમાં પાસ (ત્રણેય સહિત) $= 26$. તેથી, ફક્ત અંગ્રેજી અને વાણિજ્ય $= 26 - 7 = 19$.
ત્રણેય વિષયોમાં પાસ $= 7$.
ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં પાસ થયેલા કુલ વિદ્યાર્થીઓ $= (\text{માત્ર } E) + (\text{માત્ર } M) + (\text{માત્ર } C) + (\text{માત્ર } E \cap M) + (\text{માત્ર } M \cap C) + (\text{માત્ર } E \cap C) + (E \cap M \cap C)$
$= 11 + 13 + 15 + 9 + 17 + 19 + 7 = 91$.
બધા વિષયોમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓ $= 100 - 91 = 9$.

(A) આપણને આપેલ છે કે $n(X \cup Y) = 18$,$n(X) = 8$,અને $n(Y) = 15$.
બે ગણના યોગગણ માટેના ગણ સિદ્ધાંતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$n(X \cap Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cup Y)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n(X \cap Y) = 8 + 15 - 18$
$n(X \cap Y) = 23 - 18$
$n(X \cap Y) = 5$
તેથી,$X \cap Y$ માં ઘટકોની સંખ્યા $5$ છે.

(B) આપેલ છે કે $n(A) = 40$,$n(A \cup B) = 60$,અને $n(A \cap B) = 10$.
બે ગણના યોગગણના ઘટકોની સંખ્યા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$60 = 40 + n(B) - 10$
$60 = 30 + n(B)$
$n(B) = 60 - 30$
$n(B) = 30$
તેથી,ગણ $B$ માં $30$ ઘટકો છે.

(C) આપેલ છે:
$n(S) = 21$
$n(T) = 32$
$n(S \cap T) = 11$
બે ગણના યોગગણના ઘટકોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$n(S \cup T) = n(S) + n(T) - n(S \cap T)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n(S \cup T) = 21 + 32 - 11$
$n(S \cup T) = 53 - 11$
$n(S \cup T) = 42$
તેથી,ગણ $S \cup T$ માં $42$ ઘટકો છે.

(A) ધારો કે $H$ એ હિન્દી બોલતા લોકોનો ગણ છે અને $E$ એ અંગ્રેજી બોલતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(H \cup E) = 1000$,$n(H) = 750$,$n(E) = 400$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(H \cup E) = n(H) + n(E) - n(H \cap E)$.
કિંમતો મૂકતા: $1000 = 750 + 400 - n(H \cap E)$.
$1000 = 1150 - n(H \cap E)$.
$n(H \cap E) = 1150 - 1000 = 150$.
માત્ર હિન્દી બોલી શકતા લોકોની સંખ્યા $n(H) - n(H \cap E)$ દ્વારા મળે છે.
$= 750 - 150 = 600$.

(A) ધારો કે $M$ એ ગણિત પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $B$ એ જીવવિજ્ઞાન પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(M \cup B) = 50$,$n(M) = 35$,$n(B) = 37$.
સૂત્ર $n(M \cup B) = n(M) + n(B) - n(M \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$50 = 35 + 37 - n(M \cap B)$
$50 = 72 - n(M \cap B)$
$n(M \cap B) = 72 - 50 = 22$.
આમ,$22$ વિદ્યાર્થીઓએ ગણિત અને જીવવિજ્ઞાન બંને પસંદ કર્યા છે.
માત્ર ગણિત પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= n(M) - n(M \cap B) = 35 - 22 = 13$.

(A) ધારો કે $A$ એ કોફી પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે અને $B$ એ ચા પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે કે દરેક વ્યક્તિ ઓછામાં ઓછું એક પીણું પસંદ કરે છે,તેથી કુલ લોકોની સંખ્યા બંને ગણના યોગગણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $n(A \cup B) = 70$.
આપણને $n(A) = 37$ અને $n(B) = 52$ આપેલ છે.
આપણે બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
સૂત્રમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$70 = 37 + 52 - n(A \cap B)$
$70 = 89 - n(A \cap B)$
$n(A \cap B) = 89 - 70 = 19$.
તેથી,$19$ લોકો કોફી અને ચા બંને પસંદ કરે છે.

(B) ધારો કે $E$ એ ઈંડા ખાનારા લોકોનો ગણ છે અને $M$ એ માંસાહારી લોકોનો ગણ છે.
આપણને આપેલ છે:
$n(U) = 5000$ (કુલ વસ્તી)
$n(E) = 3200$
$n(M) = 2500$
$n(E \cap M) = 1500$
બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(E \cup M) = n(E) + n(M) - n(E \cap M)$
$n(E \cup M) = 3200 + 2500 - 1500$
$n(E \cup M) = 5700 - 1500 = 4200$
આ સંખ્યા એવા લોકોની છે જેઓ ઈંડા અથવા માંસ અથવા બંને ખાય છે.
સંપૂર્ણ શાકાહારી લોકોની સંખ્યા કુલ વસ્તીમાંથી ઈંડા અથવા માંસ ખાનારા લોકોને બાદ કરવાથી મળે છે:
$\text{સંપૂર્ણ શાકાહારી} = n(U) - n(E \cup M)$
$= 5000 - 4200 = 800$

(C) કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ નો ગણ છે જ્યાં $a \in A$ અને $b \in B$ હોય.
આપેલ છે કે $A = \{1, 2\}$ અને $B = \{2, 3\}$.
$A \times B = \{1, 2\} \times \{2, 3\}$
$= \{(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)\}$

(D) સૌ પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો છેદગણ શોધો:
$(B \cap C) = \{2, 3, 5, 6, 7\} \cap \{5, 6, 7, 8, 9\} = \{5, 6, 7\}$.
ત્યારબાદ,ગણ $A$ અને મળેલા ગણ $(B \cap C)$ નો કાર્તેઝીય ગુણાકાર શોધો:
$A \times (B \cap C) = \{a, b\} \times \{5, 6, 7\}$.
ગણ $A$ ના દરેક ઘટકને છેદગણના દરેક ઘટક સાથે જોડતા આપણને મળે છે:
$A \times (B \cap C) = \{(a, 5), (a, 6), (a, 7), (b, 5), (b, 6), (b, 7)\}$.

(C) સૌ પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો યોગગણ શોધો:
$(B \cup C) = \{b, c, e\} \cup \{b, c, f\} = \{b, c, e, f\}$.
હવે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times (B \cup C)$ ની ગણતરી કરો:
$A \times (B \cup C) = \{a, d\} \times \{b, c, e, f\} = \{(a, b), (a, c), (a, e), (a, f), (d, b), (d, c), (d, e), (d, f)\}$.
યોગગણ પર કાર્તેઝીય ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મ મુજબ,$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A \times B) \cup (A \times C)$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો છેદગણ શોધો:
$(B \cap C) = \{b, c, e\} \cap \{b, c, f\} = \{b, c\}$
હવે,$A$ અને $(B \cap C)$ નો કાર્તેઝીય ગુણાકાર શોધો:
$A \times (B \cap C) = \{a, d\} \times \{b, c\} = \{(a, b), (a, c), (d, b), (d, c)\}$
કાર્તેઝીય ગુણાકારના છેદગણ પરના વિભાજનના નિયમ મુજબ,$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A \times B) \cap (A \times C)$ છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{a, d\}, B = \{b, c, e\}$ અને $C = \{b, c, f\}$ છે.
સૌ પ્રથમ,ગણનો તફાવત $(B - C)$ શોધો:
$(B - C) = \{b, c, e\} - \{b, c, f\} = \{e\}$.
હવે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times (B - C)$ શોધો:
$A \times (B - C) = \{a, d\} \times \{e\} = \{(a, e), (d, e)\}$.
ત્યારબાદ,$(A \times B) - (A \times C)$ ની ગણતરી કરો:
$A \times B = \{(a, b), (a, c), (a, e), (d, b), (d, c), (d, e)\}$.
$A \times C = \{(a, b), (a, c), (a, f), (d, b), (d, c), (d, f)\}$.
$(A \times B) - (A \times C) = \{(a, e), (d, e)\}$.
બંને પરિણામો સમાન હોવાથી,$A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)$ થાય છે.

(B) આપેલ ગણ $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}, C=\{1,3,4\}$ અને $D=\{2,4,5\}$ છે.
પ્રથમ,આપણે કાર્તેઝીય ગુણાકાર શોધીએ:
$(A \times B) = \{(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)\}$
$(C \times D) = \{(1,2), (1,4), (1,5), (3,2), (3,4), (3,5), (4,2), (4,4), (4,5)\}$
હવે,આ બંને ગણનો છેદગણ શોધીએ:
$(A \times B) \cap (C \times D) = \{(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)\}$
હવે,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ પદની ગણતરી કરીએ:
$(A \cap C) = \{1,3\} \cap \{1,3,4\} = \{1,3\}$
$(B \cap D) = \{2,3,4\} \cap \{2,4,5\} = \{2,4\}$
$(A \cap C) \times (B \cap D) = \{1,3\} \times \{2,4\} = \{(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)\}$
બંને પરિણામો સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(A \cap C) \times (B \cap D)$ છે.

(C) ધારો કે $A \cap B$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેના સામાન્ય ઘટકોનો ગણ છે. આપેલ છે કે $A$ અને $B$ માં $n$ સામાન્ય ઘટકો છે,તેથી $A \cap B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n$ છે,એટલે કે $|A \cap B| = n$.
ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ એ $(A \times B) \cap (B \times A)$ માં ત્યારે જ હોય જો $(x, y) \in A \times B$ અને $(x, y) \in B \times A$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in A$ અને $y \in B$,તેમજ $x \in B$ અને $y \in A$.
તેથી,$x \in A \cap B$ અને $y \in A \cap B$.
$A \cap B$ માંથી $x$ માટે $n$ વિકલ્પો છે અને $A \cap B$ માંથી $y$ માટે $n$ વિકલ્પો છે,તેથી આવી કુલ ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ ની સંખ્યા $n \times n = n^{2}$ થાય.
આમ,$A \times B$ અને $B \times A$ માં $n^{2}$ સામાન્ય ઘટકો છે.

(C) બે ગણના યોગગણ માટેના ઘટકોની સંખ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો:
$n(A) = 40$
$n(B) = 26$
$n(A \cap B) = 16$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$n(A \cup B) = 40 + 26 - 16$
$n(A \cup B) = 66 - 16$
$n(A \cup B) = 50$

(C) ધારો કે કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $100$ છે.
ધારો કે $H$ એ હિન્દીમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $E$ એ અંગ્રેજીમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(H) = 30$,$n(E) = 45$,અને $n(H \cap E) = 20$.
આપણે એવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવાની છે જેઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થયા હોય,જે યોગગણ $n(H \cup E)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(H \cup E) = n(H) + n(E) - n(H \cap E)$.
$n(H \cup E) = 30 + 45 - 20 = 55$.
તેથી,$55 \%$ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થયા છે.
બંને વિષયોમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની ટકાવારી એ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની પૂરક ટકાવારી છે.
પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની ટકાવારી $= 100 \% - 55 \% = 45 \%$.

(D) ધારો કે $H$ એ હિન્દીમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને $E$ એ અંગ્રેજીમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(H) = 40 \%$,$n(E) = 50 \%$,અને $n(H \cap E) = 21 \%$.
હિન્દીમાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની ટકાવારી $40 \%$ છે.
તેથી,હિન્દીમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની ટકાવારી $100 \% - n(H) = 100 \% - 40 \% = 60 \%$ થશે.

(C) ધારો કે $H$ એ હિન્દી બોલતા લોકોનો ગણ છે અને $E$ એ અંગ્રેજી બોલતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે:
કુલ લોકોની સંખ્યા $n(H \cup E) = 50$
હિન્દી બોલતા લોકોની સંખ્યા $n(H) = 35$
હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને બોલતા લોકોની સંખ્યા $n(H \cap E) = 25$
સૌ પ્રથમ, માત્ર હિન્દી બોલતા લોકોની સંખ્યા શોધો:
$n(\text{માત્ર } H) = n(H) - n(H \cap E) = 35 - 25 = 10$
કારણ કે બધા લોકો કાં તો હિન્દી અથવા અંગ્રેજી અથવા બંને બોલે છે, તેથી કુલ લોકોની સંખ્યા નીચે મુજબ મળે:
$n(H \cup E) = n(\text{માત્ર } H) + n(\text{માત્ર } E) + n(H \cap E)$
$50 = 10 + n(\text{માત્ર } E) + 25$
$50 = 35 + n(\text{માત્ર } E)$
$n(\text{માત્ર } E) = 50 - 35 = 15$
તેથી, માત્ર અંગ્રેજી બોલતા લોકોની સંખ્યા $15$ છે.

(B) ધારો કે કર્મચારીઓની કુલ સંખ્યા $x$ છે.
ધારો કે $C$ એ કોલ્ડ ડ્રિંક પસંદ કરતા કર્મચારીઓનો ગણ છે અને $T$ એ ચા પસંદ કરતા કર્મચારીઓનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(C) = 72 \% \text{ of } x$,$n(T) = 44 \% \text{ of } x$.
દરેક કર્મચારી ઓછામાં ઓછું એક પીણું પસંદ કરે છે,તેથી $n(C \cup T) = 100 \% \text{ of } x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$.
કિંમતો મૂકતા: $100 \% = 72 \% + 44 \% - n(C \cap T) \%$.
$100 \% = 116 \% - n(C \cap T) \%$.
તેથી,$n(C \cap T) = 116 \% - 100 \% = 16 \%$.
આપેલ છે કે $40$ કર્મચારીઓ બંને પસંદ કરે છે,તેથી $x$ ના $16 \% = 40$.
$x = \frac{40 \times 100}{16} = 250$.
આમ,કર્મચારીઓની કુલ સંખ્યા $250$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ $T.V.$ પર સમાચાર જોતા લોકોનો ગણ છે અને $B$ એ સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(A) = 65 \%$,$n(B) = 40 \%$ અને $n(A \cap B) = 25 \%$.
$T.V.$ પર સમાચાર જોતા અથવા સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોની ટકાવારી યોગગણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 65 \% + 40 \% - 25 \% = 80 \%$.
જે લોકો $T.V.$ પર સમાચાર જોતા નથી અને સમાચારપત્ર પણ વાંચતા નથી તેમની ટકાવારી:
$100 \% - n(A \cup B) = 100 \% - 80 \% = 20 \%$.

(B) કુલ પરિવારોની સંખ્યા $= 80$.
કાર ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 80 \text{ ના } 20 \% = \frac{20}{100} \times 80 = 16$.
બાકી રહેલા પરિવારો $= 80 - 16 = 64$.
મોટરસાયકલ ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= \text{બાકી રહેલા પરિવારોના } 50 \% = \frac{50}{100} \times 64 = 32$.
વાહન ધરાવતા કુલ પરિવારોની સંખ્યા $= 16 + 32 = 48$.
કોઈ પણ વાહન ન ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 80 - 48 = 32$.