Set Theory Questions in Gujarati

(B) ખાલી ગણ એવો ગણ છે જેમાં કોઈ પણ ઘટક હોતો નથી.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી ગણ $\{1, -1\}$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. એવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી જેનો વર્ગ $-1$ થાય. તેથી,આ ગણમાં કોઈ ઘટક નથી અને તે ખાલી ગણ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી ગણ $\{3, -3\}$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2, -1$. આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી ગણ $\{2, -1\}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગણ $A$ એ બે શરતોના છેદગણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $x^2 = 16$ અને $2x = 6$.
પ્રથમ,$x^2 = 16$ ને ઉકેલતા $x = 4$ અથવા $x = -4$ મળે છે.
બીજું,$2x = 6$ ને ઉકેલતા $x = 3$ મળે છે.
અહીં $x$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે બંને શરતોનું એકસાથે પાલન કરતી હોય,તેથી ગણ $A$ માં કોઈ ઘટક નથી.
તેથી,$A = \phi$ (રિક્ત ગણ).

(B) પગલું $1$: ગણ $B$ અને $C$ નો છેદગણ શોધો,જેને $B \cap C$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
છેદગણમાં $B$ અને $C$ બંનેમાં સામાન્ય હોય તેવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
$B = \{3, 4\}$,$C = \{4, 5, 6\}$.
$B \cap C = \{4\}$.
પગલું $2$: ગણ $A$ અને પગલું $1$ ના પરિણામનો યોગગણ શોધો,જેને $A \cup (B \cap C)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
યોગગણમાં $A$ અથવા ગણ $\{4\}$ માં રહેલા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
$A = \{1, 2, 3\}$.
$A \cup \{4\} = \{1, 2, 3, 4\}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ થાય.
તેથી,$A \cap (A \cap B)^c = A \cap (A^c \cup B^c)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(A \cap A^c) \cup (A \cap B^c)$ મળે.
કારણ કે $A \cap A^c = \phi$ (રિક્ત ગણ),તેથી પદ $\phi \cup (A \cap B^c)$ બને છે.
આમ,અંતિમ પરિણામ $A \cap B^c$ છે.

(C) છેદગણ $A \cap B$ શોધવા માટે,આપણે એવા બિંદુઓ $(x, y)$ શોધવા પડશે જે બંને સમીકરણોનું એકસાથે પાલન કરે.
આપેલા સમીકરણો $y = \frac{1}{x}$ અને $y = -x$ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત પહેલા સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $-x = \frac{1}{x}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $-x^2 = 1$ અથવા $x^2 = -1$ થાય છે.
અહીં $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $(x \in R)$ હોવી જોઈએ,પરંતુ $x^2 = -1$ નું કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ શક્ય નથી કારણ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે.
તેથી,એવા કોઈ બિંદુઓ $(x, y)$ નથી જે ગણ $A$ અને $B$ બંનેમાં હોય.
આમ,$A \cap B = \phi$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \{x : x \in R, |x| < 1\}$. આનો અર્થ એ થાય કે $-1 < x < 1$,તેથી $A = (-1, 1)$.
આપેલ છે કે $B = \{x : x \in R, |x - 1| \ge 1\}$. આનો અર્થ એ થાય કે $x - 1 \le -1$ અથવા $x - 1 \ge 1$,જેનું સાદું રૂપ $x \le 0$ અથવા $x \ge 2$ થાય છે. તેથી $B = (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.
હવે,$A \cup B = (-1, 1) \cup (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $A \cup B = (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે $A \cup B = R - D$. આનો અર્થ એ છે કે $D$ એ $R$ માં $A \cup B$ નો પૂરક ગણ છે.
$(-\infty, 1) \cup [2, \infty)$ નો પૂરક ગણ $[1, 2)$ છે.
તેથી,$D = \{x : x \in R, 1 \le x < 2\}$.

(C) ગણ $A$ એ ઘાતાંકીય વિધેય $y = e^x$ નો આલેખ દર્શાવે છે. ગણ $B$ એ સુરેખ વિધેય $y = x$ નો આલેખ દર્શાવે છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,તે જાણીતો ગુણધર્મ છે કે $e^x > x$. ખાસ કરીને,વિધેય $f(x) = e^x - x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = 0$ આગળ $1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $e^x - x \ge 1$ થાય છે.
કારણ કે $e^x$ ની કિંમત કોઈપણ $x \in R$ માટે $x$ જેટલી થતી નથી,તેથી આ બંને ગણ વચ્ચે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી.
તેથી,$A \cap B = \phi$.

(C) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$ થાય.
તેથી,$n(A^c \cap B^c) = n(U) - n(A \cup B)$.
બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n(A \cup B) = 200 + 300 - 100 = 400$.
હવે,$n(A^c \cap B^c) = 700 - 400 = 300$.

(B) કુલ પરિવારો $= 10,000$ આપેલ છે.
$n(A) = 40\% \text{ of } 10,000 = 4,000$
$n(B) = 20\% \text{ of } 10,000 = 2,000$
$n(C) = 10\% \text{ of } 10,000 = 1,000$
$n(A \cap B) = 5\% \text{ of } 10,000 = 500$
$n(B \cap C) = 3\% \text{ of } 10,000 = 300$
$n(A \cap C) = 4\% \text{ of } 10,000 = 400$
$n(A \cap B \cap C) = 2\% \text{ of } 10,000 = 200$
માત્ર સમાચારપત્ર $A$ ખરીદતા પરિવારોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$n(\text{માત્ર } A) = n(A) - [n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)]$
$n(\text{માત્ર } A) = 4000 - [500 + 400 - 200]$
$n(\text{માત્ર } A) = 4000 - [700] = 3300.$

(C) ધારો કે $C$ એ કાર દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોનો ગણ છે અને $B$ એ બસ દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(C) = 20\%$,$n(B) = 50\%$,અને $n(C \cap B) = 10\%$.
આપણે કાર અથવા બસ દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોની ટકાવારી શોધવાની છે,જે $n(C \cup B)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(C \cup B) = n(C) + n(B) - n(C \cap B)$
કિંમતો મૂકતા:
$n(C \cup B) = 20 + 50 - 10 = 60$.
તેથી,કાર અથવા બસ દ્વારા મુસાફરી કરતા લોકોની ટકાવારી $60\%$ છે.

(D) ધારો કે $M, P,$ અને $C$ એ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાનનો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(M) = 23, n(P) = 24, n(C) = 19, n(M \cap P) = 12, n(M \cap C) = 9, n(P \cap C) = 7, n(M \cap P \cap C) = 4$.
ફક્ત એક જ વિષય લેનારા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવા માટે:
$1$. ફક્ત ગણિત: $n(M) - [n(M \cap P) + n(M \cap C) - n(M \cap P \cap C)] = 23 - [12 + 9 - 4] = 23 - 17 = 6$.
$2$. ફક્ત ભૌતિકવિજ્ઞાન: $n(P) - [n(P \cap M) + n(P \cap C) - n(M \cap P \cap C)] = 24 - [12 + 7 - 4] = 24 - 15 = 9$.
$3$. ફક્ત રસાયણવિજ્ઞાન: $n(C) - [n(C \cap M) + n(C \cap P) - n(M \cap P \cap C)] = 19 - [9 + 7 - 4] = 19 - 12 = 7$.
ફક્ત એક જ વિષય લેનારા વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $6 + 9 + 7 = 22$ છે.

(B) કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ નો ગણ છે જ્યાં $a \in A$ અને $b \in B$ હોય.
અહીં $A = \{ 2, 4, 5 \}$ આપેલ છે,તેથી $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
અહીં $B = \{ 7, 8, 9 \}$ આપેલ છે,તેથી $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 3$ છે.
કાર્તેઝીય ગુણાકારમાં ઘટકોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$ છે.
તેથી,$n(A \times B) = 3 \times 3 = 9$ થાય.

(C) આપેલ ગણ $A = \{a, b\}$,$B = \{c, d\}$,અને $C = \{d, e\}$ છે.
સૌ પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો યોગગણ શોધો:
$B \cup C = \{c, d\} \cup \{d, e\} = \{c, d, e\}$.
હવે,ગણ $A$ અને પરિણામી ગણ $(B \cup C)$ નો કાર્તેઝીય ગુણાકાર શોધો:
$A \times (B \cup C) = \{a, b\} \times \{c, d, e\}$.
આનાથી ક્રમયુક્ત જોડનો ગણ મળે છે:
$\{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)\}$.
આમ,આપેલ ગણ $A \times (B \cup C)$ બરાબર છે.

(C) આપેલ છે કે $A \cup B = A \cap B$.
ધારો કે $x \in A$. કારણ કે $A \subseteq A \cup B$,તેથી $x \in A \cup B$ થાય.
$A \cup B = A \cap B$ હોવાથી,$x \in A \cap B$ થાય.
છેદગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$x \in A \cap B \implies x \in A$ અને $x \in B$. તેથી,$x \in B$ થાય.
આમ $x \in A \implies x \in B$ હોવાથી,$A \subseteq B$ સાબિત થાય છે.
તે જ રીતે,ધારો કે $y \in B$. કારણ કે $B \subseteq A \cup B$,તેથી $y \in A \cup B$ થાય.
$A \cup B = A \cap B$ હોવાથી,$y \in A \cap B$ થાય.
છેદગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$y \in A \cap B \implies y \in A$ અને $y \in B$. તેથી,$y \in A$ થાય.
આમ $y \in B \implies y \in A$ હોવાથી,$B \subseteq A$ સાબિત થાય છે.
$A \subseteq B$ અને $B \subseteq A$ હોવાથી,$A = B$ થાય.

(B) છેદગણ $A \cap B$ શોધવા માટે,આપણે $y$-કિંમતોને સરખાવીએ: $e^x = e^{-x}$.
બંને બાજુ $e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{2x} = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
$x = 0$ ને કોઈપણ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y = e^0 = 1$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(0, 1)$ એ ગણ $A$ અને $B$ બંનેમાં છે.
કારણ કે ઓછામાં ઓછું એક સામાન્ય બિંદુ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $A \cap B \neq \phi$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{2, 3, 4, 8, 10\}$,$B = \{3, 4, 5, 10, 12\}$,અને $C = \{4, 5, 6, 12, 14\}$ છે.
સૌ પ્રથમ,છેદગણ $A \cap B$ શોધો:
$A \cap B = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cap \{3, 4, 5, 10, 12\} = \{3, 4, 10\}$.
ત્યારબાદ,છેદગણ $A \cap C$ શોધો:
$A \cap C = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cap \{4, 5, 6, 12, 14\} = \{4\}$.
અંતે,યોગગણ $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ શોધો:
$(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{3, 4, 10\} \cup \{4\} = \{3, 4, 10\}$.

(A) સૌ પ્રથમ,ગણ $B$ અને $C$ નો યોગગણ શોધો:
$B \cup C = \{b, c, d\} \cup \{a, b, d, e\} = \{a, b, c, d, e\}$.
હવે,ગણ $A$ નો પરિણામ $(B \cup C)$ સાથે છેદગણ શોધો:
$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\} \cap \{a, b, c, d, e\}$.
બંને ગણમાં સામાન્ય ઘટકો $a, b,$ અને $c$ છે.
તેથી,$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\}$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ગણના તફાવતની વ્યાખ્યા મુજબ,$B - A$ એ એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $B$ માં હોય પરંતુ $A$ માં ન હોય.
તેથી,કોઈપણ ઘટક $x \in (B - A)$ માટે,તે નિશ્ચિત છે કે $x \notin A$.
કારણ કે $A \cap (B - A)$ એ $A$ અને $(B - A)$ બંનેમાં સામાન્ય હોય તેવા ઘટકોનો ગણ દર્શાવે છે,અને $A$ તથા $(B - A)$ માં કોઈ પણ ઘટક સામાન્ય નથી,તેથી તેમનો છેદગણ ખાલી ગણ થાય.
આમ,$A \cap (B - A) = \phi$.

(C) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \cup B)' = A' \cap B'$ થાય.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $A \cap (A' \cap B')$ મળે છે.
ગણના જૂથના નિયમ (associative law) મુજબ,આને $(A \cap A') \cap B'$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
કારણ કે $A \cap A' = \phi$ (રિક્ત ગણ) થાય છે,તેથી પદાવલિ $\phi \cap B'$ બને છે.
કોઈપણ ગણનો રિક્ત ગણ સાથેનો છેદગણ હંમેશા રિક્ત ગણ જ મળે,તેથી $\phi \cap B' = \phi$ થાય.

(B) આપેલ સાર્વત્રિક ગણ $U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \}$ છે.
સૌ પ્રથમ,ગણ $B$ નો પૂરક ગણ $B'$ શોધો.
$B' = U \setminus B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 \}$.
હવે,ગણ $A$ અને $B'$ નો છેદગણ શોધો.
$A \cap B' = \{ 1, 2, 5 \} \cap \{ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 \}$.
સામાન્ય ઘટકો $\{ 1, 2, 5 \}$ છે.
તેથી,$\{ 1, 2, 5 \} = A$ હોવાથી,પરિણામ $A$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે ${N_a} = \{an : n \in N\}$,જે $a$ ના તમામ ગુણકોનો ગણ દર્શાવે છે.
તેથી,${N_5} = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, \dots\}$ અને ${N_7} = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, \dots\}$ થાય.
છેદગણ ${N_5} \cap {N_7}$ માં એવી સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જે $5$ અને $7$ બંનેના ગુણક હોય.
કારણ કે $5$ અને $7$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $5 \times 7 = 35$ થાય.
તેથી,સામાન્ય ગુણકો એ $35$ ના ગુણકો છે,જેને ${N_{35}}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે કે $aN = \{ ax : x \in N \}$,જે $a$ ના તમામ ગુણકોનો ગણ દર્શાવે છે.
$3N = \{ x \in N : x \text{ એ } 3 \text{ નો ગુણક છે } \}$.
$7N = \{ x \in N : x \text{ એ } 7 \text{ નો ગુણક છે } \}$.
છેદગણ $3N \cap 7N$ માં એવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે $3$ અને $7$ બંનેના ગુણક હોય.
$3$ અને $7$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $3 \times 7 = 21$ થાય છે.
તેથી,$3N \cap 7N = \{ x \in N : x \text{ એ } 21 \text{ નો ગુણક છે } \} = 21N$.

(A) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(A \cup B)' = A' \cap B'$.
તેથી,પદાવલિ $(A' \cap B') \cup (A' \cap B)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમ દ્વારા,આપણે $A'$ ને સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$(A' \cap B') \cup (A' \cap B) = A' \cap (B' \cup B)$.
કારણ કે $B' \cup B = U$ (સાર્વત્રિક ગણ),પદાવલિનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
$A' \cap U = A'$.
આમ,$(A \cup B)' \cup (A' \cap B) = A'$.

(C) વેન આકૃતિ પરથી,ગણ $S = (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)$ એ એવો પ્રદેશ દર્શાવે છે જેમાં એવા ઘટકો છે જે ફક્ત $A, B,$ અથવા $C$ માંથી કોઈ એકમાં હોય,અથવા એવા ઘટકો જે ફક્ત બે ગણમાં હોય,પરંતુ તે ત્રણેય ગણના છેદગણ $A \cap B \cap C$ ને બાકાત રાખે છે.
ચોક્કસ રીતે,પ્રદેશ $(A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)$ એ $A \cup B \cup C$ ના તમામ ભાગોને આવરી લે છે,સિવાય કે તે મધ્ય ભાગ જ્યાં ત્રણેય ગણ એકબીજાને છેદે છે.
તેથી,સાર્વત્રિક ગણ $U$ (જ્યાં $U = A \cup B \cup C$) માં આ ગણનો પૂરક ગણ એ બાકી રહેલો પ્રદેશ છે,જે ત્રણેય ગણનો છેદગણ છે:
$\{ (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A)\} ' = A \cap B \cap C$.

(C) આપેલ છે કે $A \subseteq B$,જેનો અર્થ છે કે ગણ $A$ નો દરેક ઘટક ગણ $B$ નો પણ ઘટક છે.
તેથી,ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ એ ગણ $B$ જેટલો થાય,એટલે કે $A \cup B = B$.
પરિણામે,$A \cup B$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા એ $B$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા જેટલી થાય.
$n(A \cup B) = n(B) = 6$.

(A) ધારો કે કુલ લડવૈયાઓની સંખ્યા $100$ છે.
ધારો કે $A, B, C, D$ એ અનુક્રમે આંખ,કાન,હાથ અને પગ ગુમાવનાર લડવૈયાઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(A) = 70, n(B) = 80, n(C) = 75, n(D) = 85$.
જે લોકોએ આ અંગો ગુમાવ્યા નથી તેમની સંખ્યા:
$n(A^c) = 100 - 70 = 30$
$n(B^c) = 100 - 80 = 20$
$n(C^c) = 100 - 75 = 25$
$n(D^c) = 100 - 85 = 15$
ઓછામાં ઓછું એક અંગ ગુમાવનાર લોકોની સંખ્યા $100 - n(A^c \cap B^c \cap C^c \cap D^c)$ છે.
$x$ (ચારેયનો છેદગણ) ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે પૂરક ગણોના યોગગણને મહત્તમ કરીએ છીએ.
ઓછામાં ઓછું એક અંગ ગુમાવનાર લોકોની મહત્તમ સંખ્યા $100$ છે.
પૂરક ગણો માટે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા:
$n(A^c \cup B^c \cup C^c \cup D^c) \leq n(A^c) + n(B^c) + n(C^c) + n(D^c) = 30 + 20 + 25 + 15 = 90$.
આમ,ચારેય અંગો ગુમાવનાર લોકોની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી $100 - 90 = 10$ છે.
તેથી,$x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $10$ છે.

(D) ધારો કે $C$,$H$,અને $B$ એ ક્રિકેટ,હોકી અને બાસ્કેટબોલ રમતા છોકરાઓના ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(C) = 224, n(H) = 240, n(B) = 336$
$n(H \cap B) = 64, n(C \cap B) = 80, n(C \cap H) = 40$
$n(C \cap H \cap B) = 24$
કુલ છોકરાઓ $n(U) = 800$
ગણના સિદ્ધાંત (Principle of Inclusion-Exclusion) નો ઉપયોગ કરતા:
$n(C \cup H \cup B) = n(C) + n(H) + n(B) - n(C \cap H) - n(H \cap B) - n(C \cap B) + n(C \cap H \cap B)$
$n(C \cup H \cup B) = 224 + 240 + 336 - 40 - 64 - 80 + 24$
$n(C \cup H \cup B) = 800 - 184 + 24 = 640$
કોઈ પણ રમત ન રમતા છોકરાઓની સંખ્યા $n(U) - n(C \cup H \cup B) = 800 - 640 = 160$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ ચીઝ પસંદ કરતા અમેરિકનોનો ગણ છે અને $B$ એ સફરજન પસંદ કરતા અમેરિકનોનો ગણ છે.
ધારો કે અમેરિકનોની કુલ વસ્તી $100$ છે.
આપેલ છે: $n(A) = 63$ અને $n(B) = 76$.
બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
$n(A \cup B) = 63 + 76 - n(A \cap B) = 139 - n(A \cap B)$.
કારણ કે $n(A \cup B) \le 100$,તેથી $139 - n(A \cap B) \le 100$,જે સૂચવે છે કે $n(A \cap B) \ge 39$.
વળી,બે ગણનો છેદગણ એ દરેક ગણનો ઉપગણ હોય છે,તેથી $n(A \cap B) \le n(A)$ અને $n(A \cap B) \le n(B)$.
તેથી,$n(A \cap B) \le 63$ અને $n(A \cap B) \le 76$. અહીં નાની મર્યાદા $n(A \cap B) \le 63$ છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $39 \le n(A \cap B) \le 63$ મળે છે.
જેથી $x = n(A \cap B)$ હોવાથી,$39 \le x \le 63$ થાય.

(A) ધારો કે $M$ એ ગણિત ભણાવતા શિક્ષકોનો ગણ છે અને $P$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાન ભણાવતા શિક્ષકોનો ગણ છે.
આપેલ છે:
કુલ શિક્ષકો $n(M \cup P) = 20$
ગણિત ભણાવતા શિક્ષકો $n(M) = 12$
બંને વિષયો ભણાવતા શિક્ષકો $n(M \cap P) = 4$
બે ગણના યોગગણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$20 = 12 + n(P) - 4$
$20 = 8 + n(P)$
$n(P) = 20 - 8 = 12$
તેથી,ભૌતિકવિજ્ઞાન ભણાવતા શિક્ષકોની સંખ્યા $12$ છે.

(A) ધારો કે $C, H, F$ એ અનુક્રમે ક્રિકેટ ટીમ,હોકી ટીમ અને ફૂટબોલ ટીમના સભ્યોના ગણ છે.
આપણને આપેલ છે:
$n(C) = 21, n(H) = 26, n(F) = 29$
$n(H \cap C) = 14, n(H \cap F) = 15, n(F \cap C) = 12$
$n(C \cap H \cap F) = 8$
આપણે કુલ સભ્યોની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $n(C \cup H \cup F)$ છે.
ગણના સિદ્ધાંત (Principle of Inclusion-Exclusion) નો ઉપયોગ કરતા:
$n(C \cup H \cup F) = n(C) + n(H) + n(F) - [n(C \cap H) + n(H \cap F) + n(F \cap C)] + n(C \cap H \cap F)$
કિંમતો મૂકતા:
$n(C \cup H \cup F) = (21 + 26 + 29) - (14 + 15 + 12) + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 76 - 41 + 8$
$n(C \cup H \cup F) = 43$
આમ,કુલ $43$ સભ્યો છે.

(D) ધારો કે $n(M)$ એ ગણિતમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે અને $n(P)$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $n(M) = 55$,$n(P) = 67$,અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(M \cup P) = 100$.
બે ગણના યોગગણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P)$.
કિંમતો મૂકતા: $100 = 55 + 67 - n(M \cap P)$.
$100 = 122 - n(M \cap P)$.
તેથી,$n(M \cap P) = 122 - 100 = 22$.
આ સંખ્યા ગણિત અને ભૌતિકવિજ્ઞાન બંનેમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની છે.
માત્ર ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n(P \text{ only}) = n(P) - n(M \cap P)$ દ્વારા મળે છે.
$n(P \text{ only}) = 67 - 22 = 45$.

(C) સામાન્ય રીતે,બે ગણનો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી,એટલે કે $A \times B \neq B \times A$.
$A \times B = B \times A$ ની શરત સાચી ઠરવા માટે,બંને ગણ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $A = B$.
જો $A = B$ હોય,તો $A \times B = A \times A$ અને $B \times A = A \times A$ થાય,જે સમાનતાનું પાલન કરે છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 4\}$,$B = \{2, 4, 5\}$,અને $C = \{2, 5\}$ છે.
સૌ પ્રથમ,ગણનો તફાવત $(A - B)$ શોધો:
$A - B$ એવા ઘટકો દર્શાવે છે જે $A$ માં છે પરંતુ $B$ માં નથી.
$A - B = \{1, 2, 4\} - \{2, 4, 5\} = \{1\}$.
ત્યારબાદ,ગણનો તફાવત $(B - C)$ શોધો:
$B - C$ એવા ઘટકો દર્શાવે છે જે $B$ માં છે પરંતુ $C$ માં નથી.
$B - C = \{2, 4, 5\} - \{2, 5\} = \{4\}$.
અંતે,કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $(A - B) \times (B - C)$ ની ગણતરી કરો:
$(A - B) \times (B - C) = \{1\} \times \{4\} = \{(1, 4)\}$.

(A) આપેલ છે કે $(1, 3), (2, 5), (3, 3) \in A \times B$.
કાર્તેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $A$ માં પ્રથમ ઘટકો અને ગણ $B$ માં બીજા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,$A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \{3, 5\}$.
$A \times B$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ છે.
ગણ $A \times B$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ નો ગણ છે જ્યાં $a \in A$ અને $b \in B$.
$A \times B = \{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)\}$.
આપણને ત્રણ ઘટકો આપેલા છે: $(1, 3), (2, 5), (3, 3)$.
બાકીના ઘટકો $(1, 5), (2, 3), (3, 5)$ છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \{3, 8\}$ છે.
પ્રથમ,ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ શોધો: $A \cup B = \{1, 2, 3, 8\}$.
ત્યારબાદ,ગણ $A$ અને $B$ નો છેદગણ શોધો: $A \cap B = \{3\}$.
હવે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $(A \cup B) \times (A \cap B)$ શોધો:
$(A \cup B) \times (A \cap B) = \{1, 2, 3, 8\} \times \{3\} = \{(1, 3), (2, 3), (3, 3), (8, 3)\}$.

(C) આપેલ ગણ $A = \{2, 3, 5\}$ અને $B = \{2, 5, 6\}$ છે.
પ્રથમ,તફાવત ગણ $(A - B)$ શોધો,જેમાં $A$ માં હોય પણ $B$ માં ન હોય તેવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે: $A - B = \{3\}$.
ત્યારબાદ,છેદગણ $(A \cap B)$ શોધો,જેમાં $A$ અને $B$ બંનેમાં સામાન્ય હોય તેવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે: $A \cap B = \{2, 5\}$.
અંતે,કાર્તેઝીય ગુણાકાર $(A - B) \times (A \cap B) = \{3\} \times \{2, 5\} = \{(3, 2), (3, 5)\}$ ગણો.

(A) ધારો કે $N$,$P$,અને $H$ એ અનુક્રમે નીડલ વર્ક,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને ઇતિહાસ લેતા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપેલ છે: $n(N) = 12$,$n(P) = 16$,$n(H) = 18$,અને $n(N \cup P \cup H) = 30$.
કોઈ પણ વિદ્યાર્થી ત્રણેય વિષય લેતા ન હોવાથી,$n(N \cap P \cap H) = 0$.
ત્રણ ગણ માટે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા:
$n(N \cup P \cup H) = n(N) + n(P) + n(H) - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] + n(N \cap P \cap H)$.
કિંમતો મૂકતા:
$30 = 12 + 16 + 18 - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] + 0$.
$30 = 46 - [n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)]$.
તેથી,$n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H) = 46 - 30 = 16$.
બરાબર બે વિષય લેતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $[n(N \cap P) + n(P \cap H) + n(N \cap H)] - 3n(N \cap P \cap H)$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $n(N \cap P \cap H) = 0$,તેથી બરાબર બે વિષય લેતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $16 - 3(0) = 16$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $n(A) = 4$,$n(B) = 3$,અને $n(A \times B \times C) = 24$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રણ ગણના કાર્તેઝિયન ગુણાકાર માટે,ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B \times C) = n(A) \times n(B) \times n(C)$ દ્વારા મળે છે.
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$4 \times 3 \times n(C) = 24$
$12 \times n(C) = 24$
$n(C) = \frac{24}{12}$
$n(C) = 2$.

(C) આપેલ ગણ સમીકરણ $2a^2 + 3b^2 = 35$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં $a, b \in \mathbb{Z}$.
આપણે $a$ અને $b$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસીએ:
જો $a = \pm 2$ હોય,તો $2(4) + 3b^2 = 35 \implies 8 + 3b^2 = 35 \implies 3b^2 = 27 \implies b^2 = 9 \implies b = \pm 3$.
આનાથી આપણને નીચેની જોડીઓ મળે છે: $(2, 3), (2, -3), (-2, 3), (-2, -3)$.
જો $a = \pm 4$ હોય,તો $2(16) + 3b^2 = 35 \implies 32 + 3b^2 = 35 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1 \implies b = \pm 1$.
આનાથી આપણને નીચેની જોડીઓ મળે છે: $(4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1)$.
$a$ ની અન્ય કિંમતો ચકાસતા: જો $a = 0$ હોય,તો $3b^2 = 35$ (કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી); જો $a = \pm 1$ હોય,તો $2 + 3b^2 = 35 \implies 3b^2 = 33 \implies b^2 = 11$ (કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી); જો $a = \pm 3$ હોય,તો $18 + 3b^2 = 35 \implies 3b^2 = 17$ (કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી).
આમ,ગણમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $4 + 4 = 8$ છે.

(C) બે ગણ $A$ અને $B$ નો કાર્તેઝિયન ગુણાકાર,જેને $A \times B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ નો ગણ છે જ્યાં $x \in A$ અને $y \in B$ હોય.
અહીં $A = \{ 1, 2, 3, 4 \}$ અને $B = \{ a, b \}$ આપેલ છે.
તેથી,$A \times B = \{ (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b) \}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ શોધો:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
ત્યારબાદ,મળેલા ગણ $(A \cup B)$ નો ગણ $C$ સાથેનો છેદગણ શોધો:
$(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cap \{3, 4, 6\} = \{3, 4, 6\}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કોઈ ગણ $A$ ના ઘાતગણને $P(A)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જે $A$ ના તમામ શક્ય ઉપગણોનો ગણ છે.
આપેલ છે કે $A = \{x, y\}$.
$A$ ના ઉપગણો નીચે મુજબ છે:
$1$. ખાલી ગણ: $\phi$
$2$. એક ઘટકવાળા ગણ: $\{x\}$ અને $\{y\}$
$3$. ગણ પોતે: $\{x, y\}$
તેથી,ઘાતગણ $P(A) = \{\phi, \{x\}, \{y\}, \{x, y\}\}$ થાય.

(D) ધારો કે ગણ $S$ માં $N = 2n + 1$ ઘટકો છે.
આપણે એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં $n$ કરતા વધારે ઘટકો હોય,એટલે કે $(n + 1), (n + 2), \dots, (2n + 1)$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો.
આવા ઉપગણોની સંખ્યાનો સરવાળો: $S = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1}$.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદોને ફરીથી લખી શકીએ:
$\binom{2n+1}{n+1} = \binom{2n+1}{n}$,$\binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{n-1}$,વગેરે.
આમ,$S = \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n-1} + \dots + \binom{2n+1}{0}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m$ કદના ગણ માટે તમામ દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^m$ થાય છે,એટલે કે $\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^m$.
$m = 2n + 1$ માટે,કુલ સરવાળો $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ છે.
કારણ કે $\binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k}$,સહગુણકોના પ્રથમ અડધા ભાગનો સરવાળો બીજા અડધા ભાગના સરવાળા જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$S = \frac{1}{2} \times 2^{2n+1} = 2^{2n}$.

(A) ગણ સિદ્ધાંતમાં, સંજ્ઞા $\subseteq$ એ ઉપગણ સંબંધ દર્શાવે છે, જ્યારે $\in$ એ સભ્ય સંબંધ દર્શાવે છે.
ગણ $A = \{a, b, c\}$ માટે:
$1$. ગણ ${a}$ એ $A$ નો ઉપગણ છે કારણ કે ${a}$ નો દરેક સભ્ય એ $A$ નો પણ સભ્ય છે. તેથી, ${a} \subseteq {a, b, c}$ એ સત્ય વિધાન છે.
$2$. ગણ ${a}$ એ $A$ નો સભ્ય નથી; માત્ર $a$ એ $A$ નો સભ્ય છે. તેથી, ${a} \in {a, b, c}$ એ અસત્ય છે.
$3$. ખાલી ગણ $\phi$ એ દરેક ગણનો ઉપગણ છે, પરંતુ તે $A$ નો સભ્ય નથી. તેથી, $\phi \in {a, b, c}$ એ અસત્ય છે.
આમ, સાચું વિધાન ${a} \subseteq {a, b, c}$ છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots\}$ અને $B = \{6, 12, 18, 24, 30, \dots\}$ છે.
$A \cap B$ શોધવા માટે,આપણે ગણ $A$ અને $B$ બંનેમાં સામાન્ય ઘટકો શોધીએ છીએ.
સામાન્ય ઘટકો એ $4$ અને $6$ બંનેના ગુણકો છે.
$4$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
તેથી,છેદગણ $A \cap B = \{12, 24, 36, \dots\}$ થાય,જે $12$ ના તમામ ગુણકો દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે $M$,$P$,અને $C$ એ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાન લેતા વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
આપેલ છે:
$n(M) = 100$
$n(P) = 70$
$n(C) = 40$
$n(M \cap P) = 30$
$n(M \cap C) = 28$
$n(P \cap C) = 23$
$n(M \cap P \cap C) = 18$
માત્ર ગણિત લેતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$n(M \text{ only}) = n(M) - [n(M \cap P) + n(M \cap C) - n(M \cap P \cap C)]$
$n(M \text{ only}) = 100 - [30 + 28 - 18]$
$n(M \text{ only}) = 100 - [40]$
$n(M \text{ only}) = 60$
આમ,$60$ વિદ્યાર્થીઓએ માત્ર ગણિત વિષય પસંદ કર્યો છે.

(D) ચાલો દરેક સંબંધનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(1) \, A - B = A - (A \cap B)$: આ એક પ્રમાણિત ગણ ઓળખ છે. ગણ $A - B$ માં $A$ ના એવા ઘટકો હોય છે જે $B$ માં નથી. $A \cap B$ એ $A$ અને $B$ બંનેમાં સામાન્ય ઘટકોનો ગણ હોવાથી,$A$ માંથી આ ઘટકો દૂર કરવાથી બરાબર $A - B$ મળે છે. તેથી,$(1)$ સાચું છે.
$(2) \, A = (A \cap B) \cup (A - B)$: આ ગણ $A$ નું બે અલગ ગણોમાં વિભાજન દર્શાવે છે: $B$ માં સામાન્ય ભાગ $(A \cap B)$ અને જે ભાગ $B$ માં નથી $(A - B)$. તેમનો યોગગણ ખરેખર $A$ છે. તેથી,$(2)$ સાચું છે.
$(3) \, A - (B \cup C) = (A - B) \cup (A - C)$: ગણ તફાવત માટે ડી મોર્ગનના નિયમો મુજબ,$A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$. તેથી,આપેલ સંબંધ ખોટો છે.
નિષ્કર્ષ: સંબંધ $(1)$ અને $(2)$ સાચા છે.

(B) ગણ $A \times B$ અને $B \times A$ ના સામાન્ય ઘટકોની સંખ્યા તેમના છેદગણ દ્વારા મળે છે:
$n((A \times B) \cap (B \times A))$
કાર્તેઝીય ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$.
અહીં $n(A \cap B) = 99$ આપેલ છે,તેથી $n(B \cap A) = 99$.
આથી,સામાન્ય ઘટકોની સંખ્યા $n(A \cap B) \times n(B \cap A) = 99 \times 99 = 99^2$ થાય.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણ $A$ અને $B$ ના યોગગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા શોધીએ:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n(A \cup B) = 12 + 9 - 4 = 17$
હવે,$(A \cup B)$ ના પૂરક ગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$n((A \cup B)^C) = n(U) - n(A \cup B)$
કિંમતો મૂકતા:
$n((A \cup B)^C) = 20 - 17 = 3$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ગણ $A$ પરનો સંબંધ એ કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times A$ નો કોઈપણ ઉપગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3\}$,તેથી $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times A) = n(A) \times n(A) = 3 \times 3 = 9$ થાય.
$m$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ હોય છે.
તેથી,$A$ પર વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવા કુલ ભિન્ન સંબંધોની સંખ્યા એ $A \times A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા જેટલી હોય,જે $2^9$ છે.