Set Theory Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$.
બંને બાજુ છેદ વડે ગુણતા,આપણને મળે $x^2 + 14x + 9 = y(x^2 + 2x + 3)$.
પદોને $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^2(1 - y) + x(14 - 2y) + (9 - 3y) = 0$.
કારણ કે $x$ વાસ્તવિક છે,તેથી વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ $(D \ge 0)$.
$D = (14 - 2y)^2 - 4(1 - y)(9 - 3y) \ge 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(196 + 4y^2 - 56y) - 4(9 - 3y - 9y + 3y^2) \ge 0$.
$196 + 4y^2 - 56y - 36 + 48y - 12y^2 \ge 0$.
$-8y^2 - 8y + 160 \ge 0$.
$-8$ વડે ભાગતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા): $y^2 + y - 20 \le 0$.
દ્વિઘાતના અવયવ પાડતા: $(y + 5)(y - 4) \le 0$.
આમ,$y$ ની કિંમત $-5$ અને $4$ ની વચ્ચે આવે છે,એટલે કે $-5 \le y \le 4$.

(D) આપેલ છે $f(\theta) = \sec^2 \theta + \cos^2 \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે,$\sec^2 \theta \ge 1$ અને $0 < \cos^2 \theta \le 1$ થાય.
ખાસ કરીને,$\theta > \frac{\pi}{3}$ માટે,$\sec \theta > \sec(\frac{\pi}{3}) = 2$ થાય,તેથી $\sec^2 \theta > 4$ થાય.
જોકે,ધન પદો $a = \sec^2 \theta$ અને $b = \cos^2 \theta$ માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \sec^2 \theta + \cos^2 \theta \ge 2 \sqrt{\sec^2 \theta \cdot \cos^2 \theta} = 2 \sqrt{1} = 2$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2$ મળે છે જ્યારે $\sec^2 \theta = \cos^2 \theta$ હોય,જેનો અર્થ છે $\cos^4 \theta = 1$,અથવા $\cos^2 \theta = 1$ (એટલે કે $\theta = 0$,પરંતુ અહીં $\theta > \frac{\pi}{3}$ છે).
જેમ $\theta \to \frac{\pi}{2}$ થાય,તેમ $\sec^2 \theta \to \infty$ થાય,તેથી $f(\theta) \to \infty$ થાય.
આમ,વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે.

(A) વિધેય ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો તર્ક (argument) ધન હોય.
આમ,આપણે $x - [x] > 0$ ની જરૂર છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\} = x - [x]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
શરત $x - [x] > 0$ નો અર્થ છે કે $\{x\} > 0$.
અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\}$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે $\{x\} \ge 0$.
તે $0$ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે $x$ એ પૂર્ણાંક હોય $(x \in Z)$.
તેથી,$\{x\} > 0$ એ પૂર્ણાંક સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સાચું છે.
આમ,પ્રદેશ $R - Z$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\log_{10}(1 - x)} + \sqrt{x + 2}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ઋણ ન હોવી જોઈએ: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
$2$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$3$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\log_{10}(1 - x) \ne 0 \implies 1 - x \ne 1 \implies x \ne 0$.
આ શરતોને જોડતા: $x \ge -2$,$x < 1$,અને $x \ne 0$.
તેથી,પ્રદેશ $[-2, 0) \cup (0, 1)$ છે.

(B) આપેલ છે: $A \cap B = A \cap C$ અને $A \cup B = A \cup C$.
ગણ $B$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણે લખી શકીએ $B = B \cap (A \cup B)$.
કારણ કે $A \cup B = A \cup C$,તેથી $B = B \cap (A \cup C)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$.
કારણ કે $A \cap B = A \cap C$,તેથી $B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
વિભાજનના નિયમ મુજબ,$B = (A \cup B) \cap C$.
કારણ કે $A \cup B = A \cup C$,તેથી $B = (A \cup C) \cap C$.
કારણ કે $(A \cup C) \cap C = C$,તેથી સાબિત થાય છે કે $B = C$.

(B) ગણ $X$ માટે,આપણી પાસે $X = \{ 4^n - 3n - 1 : n \in N \}$ છે.
$n = 1$ માટે,$4^1 - 3(1) - 1 = 0$.
$n = 2$ માટે,$4^2 - 3(2) - 1 = 16 - 6 - 1 = 9$.
$n = 3$ માટે,$4^3 - 3(3) - 1 = 64 - 9 - 1 = 54$.
આમ,$X = \{ 0, 9, 54, 243, \dots \}$.
ગણ $Y$ માટે,આપણી પાસે $Y = \{ 9(n - 1) : n \in N \}$ છે.
$n = 1$ માટે,$9(1 - 1) = 0$.
$n = 2$ માટે,$9(2 - 1) = 9$.
$n = 3$ માટે,$9(3 - 1) = 18$.
આમ,$Y = \{ 0, 9, 18, 27, \dots \}$.
કારણ કે $X$ નો દરેક ઘટક $9$ નો ગુણક છે અને $X \subset Y$ (કારણ કે $n \in N$ માટે $4^n - 3n - 1$ હંમેશા $9$ વડે વિભાજ્ય છે),તેથી યોગગણ $X \cup Y$ એ $Y$ બરાબર થાય છે.

(B) ધારો કે $t = \sqrt{x}$,જ્યાં $t \ge 0$. સમીકરણ $2|t - 3| + t(t - 6) + 6 = 0$ બને છે.
કિસ્સો-$I$: $0 \le t < 3$ (એટલે કે $0 \le x < 9$)
$2(3 - t) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$6 - 2t + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 8t + 12 = 0$
$(t - 6)(t - 2) = 0$
$t = 6$ અથવા $t = 2$. $0 \le t < 3$ હોવાથી,$t = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે $x = 4$.
કિસ્સો-$II$: $t \ge 3$ (એટલે કે $x \ge 9$)
$2(t - 3) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$2t - 6 + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 4t = 0$
$t(t - 4) = 0$
$t = 0$ અથવા $t = 4$. $t \ge 3$ હોવાથી,$t = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે $x = 16$.
આમ,$S = \{4, 16\}$,જે બરાબર બે ઘટકો ધરાવે છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x| - x}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત શૂન્ય કરતાં મોટી હોવી જોઈએ.
તેથી,આપણે $|x| - x > 0$ ની જરૂર છે.
આ અસમતાને $|x| > x$ તરીકે લખી શકાય છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$ થાય. અસમતા $x - x > 0$ બને છે,જે $0 > 0$ થાય છે. આ $x \geq 0$ માટે અસત્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$ થાય. અસમતા $-x - x > 0$ બને છે,જે $-2x > 0$ એટલે કે $x < 0$ થાય છે.
આમ,શરત $x < 0$ તમામ ઋણ કિંમતો માટે અસમતાનું પાલન કરે છે,તેથી વિધેયનો પ્રદેશ $(-\infty, 0)$ છે.

(B) ધારો કે બે ગણ $A$ અને $B$ છે જેમાં $|A| = m$ અને $|B| = n$ છે.
ગણ $A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે અને ગણ $B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2^m - 2^n = 56$.
આ સમીકરણને $2^n(2^{m-n} - 1) = 56$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $56 = 8 \times 7 = 2^3 \times 7$ હોવાથી,આપણે $2$ ની ઘાત અને એકી સંખ્યાની સરખામણી કરીએ.
તેથી,$2^n = 2^3$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
વધુમાં,$2^{m-n} - 1 = 7$,જેનો અર્થ છે કે $2^{m-n} = 8 = 2^3$.
તેથી,$m - n = 3$.
$n = 3$ મૂકતા,આપણને $m - 3 = 3$ મળે છે,એટલે કે $m = 6$.
આમ,$m = 6$ અને $n = 3$ છે.

(C) ધારો કે $n(S)$ એ ગણ $S$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $30$ ગણ $A_i$ માંથી દરેક પાસે $5$ ઘટકો છે, તેથી પુનરાવર્તન સાથે ગણતરી કરતા કુલ ઘટકોની સંખ્યા $30 \times 5 = 150$ થાય.
કારણ કે $S$ નો દરેક ઘટક બરાબર $10$ ગણ $A_i$ માં આવેલો છે, તેથી $n(S) = \frac{30 \times 5}{10} = 15$ મળે.
તે જ રીતે, $n$ ગણ $B_j$ માંથી દરેક પાસે $3$ ઘટકો છે, તેથી પુનરાવર્તન સાથે ગણતરી કરતા કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n \times 3 = 3n$ થાય.
કારણ કે $S$ નો દરેક ઘટક બરાબર $9$ ગણ $B_j$ માં આવેલો છે, તેથી $n(S) = \frac{3n}{9} = \frac{n}{3}$ મળે.
$n(S)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા, $\frac{n}{3} = 15$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $n = 45$.

(C) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $A$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $2^n$ છે.
અહીં,ગણ $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ માં $n = 5$ ઘટકો છે.
તેથી,કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^5 = 32$ થાય.
ઉચિત ઉપગણ એટલે ગણ $A$ પોતે ન હોય તેવા તમામ ઉપગણો.
આમ,ઉચિત ઉપગણોની સંખ્યા $2^n - 1$ થાય.
$n = 5$ મૂકતા,આપણને $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $B$ નો ઉપગણ નથી $(A \not\subseteq B)$.
વ્યાખ્યા મુજબ, આનો અર્થ એ છે કે ઓછામાં ઓછો એક ઘટક $x$ એવો અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે $x \in A$ અને $x \notin B$.
કારણ કે $x \notin B$, તેથી $x \in B^c$ (જ્યાં $B^c$ એ $X$ ના સાપેક્ષમાં $B$ નો પૂરકગણ છે).
તેથી, એક ઘટક $x$ એવો છે કે $x \in A$ અને $x \in B^c$.
આ સૂચવે છે કે તેમનો છેદગણ $A \cap B^c$ એ અરિક્ત છે $(A \cap B^c \neq \emptyset)$.
આમ, $A$ અને $B$ નો પૂરકગણ હંમેશા પરસ્પર અલગ નથી.

(A) બે ગણ $A$ અને $B$ નો છેદગણ,જેને $A \cap B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ અને $B$ બંનેમાં સામાન્ય હોય.
વ્યાખ્યા મુજબ,$A \cap B = \{x : x \in A \text{ અને } x \in B\}$.
આપેલ છે કે $A = \{x : f(x) = 0\}$ અને $B = \{x : g(x) = 0\}$,તેથી છેદગણ $A \cap B = \{x : f(x) = 0 \text{ અને } g(x) = 0\}$ થશે.
વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો માટે,$f(x) = 0$ અને $g(x) = 0$ ની શરત એ ${[f(x)]^2} + {[g(x)]^2} = 0$ ની શરતને સમતુલ્ય છે,કારણ કે બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક સંખ્યા વ્યક્તિગત રીતે શૂન્ય હોય.

(A) આપેલ છે કે $A \subseteq B$,જેનો અર્થ છે કે ગણ $A$ નો દરેક ઘટક એ ગણ $B$ નો પણ ઘટક છે.
તેથી,$A$ અને $B$ નો છેદગણ એ ગણ $A$ જ થાય,એટલે કે $A \cap B = A$.
આમ,$A \cap B$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા એ $A$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા જેટલી જ થાય.
$n(A \cap B) = n(A) = 3$.

(C) ધારો કે $P$ એ ફોન ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે અને $C$ એ કાર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$ અને $n(P^c \cap C^c) = 65\%$.
કારણ કે $n(P^c \cap C^c) = 65\%$,તેથી ઓછામાં ઓછી એક વસ્તુ (ફોન અથવા કાર) ધરાવતા પરિવારોની ટકાવારી $n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$.
સૂત્ર $n(P \cup C) = n(P) + n(C) - n(P \cap C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$35\% = 25\% + 15\% - n(P \cap C)$
$n(P \cap C) = 40\% - 35\% = 5\%$.
આમ,વિધાન $1$ ખોટું છે કારણ કે $10\%$ નહીં પણ $5\%$ પરિવારો પાસે બંને છે.
વિધાન $2$ સાચું છે કારણ કે $n(P \cup C) = 35\%$.
કુલ પરિવારોના $5\% = 2000$ હોવાથી,કુલ પરિવારોની સંખ્યા $= (2000 / 5) \times 100 = 40,000$.
આમ,વિધાન $3$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $2$ અને $3$ સાચા છે.

(C) આપેલ સુરેખ એકરૂપતા $8x \equiv 6 \pmod{14}$ છે.
આને કોઈ પૂર્ણાંક $k \in \mathbb{Z}$ માટે $8x - 6 = 14k$ તરીકે લખી શકાય.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $4x - 3 = 7k$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $4x \equiv 3 \pmod{7}$.
$x$ માટે ઉકેલવા,આપણે $4$ ના મોડ્યુલર વ્યસ્ત $7$ વડે ગુણીએ છીએ. કારણ કે $4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$,તેથી વ્યસ્ત $2$ છે.
$2$ વડે ગુણતા: $8x \equiv 6 \pmod{7}$,જેનું સાદું રૂપ $x \equiv 6 \pmod{7}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ એ કોઈ પણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $7n + 6$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે છે.
$n=0$ માટે $x=6$; $n=1$ માટે $x=13$; $n=2$ માટે $x=20$; $n=3$ માટે $x=27$,વગેરે.
ઉકેલનો ગણ ${..., 6, 13, 20, 27, 34, 41, ...}$ છે.
આ ગણને $14$ ના મોડ્યુલો બે સમાનતા વર્ગોના યોગ તરીકે દર્શાવી શકાય છે: $[6] = {..., 6, 20, 34, ...}$ અને $[13] = {..., 13, 27, 41, ...}$.
આમ,ઉકેલ ગણ $[6] \cup [13]$ છે.

(D) $1$. વેન આકૃતિનું ધ્યાનપૂર્વક અવલોકન કરો.
$2$. ગણ $C$ એ $C$ નામ ધરાવતું આખું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$3$. છાયાંકિત ભાગ એવા તમામ ઘટકો દર્શાવે છે જે ગણ $C$ માં છે પરંતુ ગણ $A$ માં નથી અને ગણ $B$ માં પણ નથી.
$4$. આનો અર્થ એ છે કે આપણે ગણ $C$ માંથી ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ દૂર કરી રહ્યા છીએ.
$5$. ગાણિતિક રીતે,આને $C - (A \cup B)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) ગણ $S$ ના દરેક ઘટક $x$ માટે,$A$ અને $B$ માં તેની સભ્યપદ માટે ચાર શક્યતાઓ છે,જેથી $x \in A \cup B$ થાય:
$1$. $x \in A$ અને $x \notin B$
$2$. $x \notin A$ અને $x \in B$
$3$. $x \in A$ અને $x \in B$
$A \cup B = S$ હોવાથી,$x \notin A$ અને $x \notin B$ વાળી સ્થિતિ બાકાત રાખવામાં આવે છે.
આમ,$S$ ના દરેક $4$ ઘટકો માટે,$3$ વિકલ્પો છે.
$S$ માં $4$ ઘટકો હોવાથી,$(A, B)$ ની કુલ ક્રમયુક્ત જોડોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ થશે.

(A) આપેલ છે કે $2n(A \setminus B) = n(B \setminus A)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B)$ અને $n(B \setminus A) = n(B) - n(A \cap B)$,તેથી:
$2(n(A) - n(A \cap B)) = n(B) - n(A \cap B)$
$2n(A) - 2n(A \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cap B) = 2n(A) - n(B) \quad \dots(1)$
વળી,$5n(A \cap B) = n(A) + 3n(B) \quad \dots(2)$ આપેલ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$5(2n(A) - n(B)) = n(A) + 3n(B)$
$10n(A) - 5n(B) = n(A) + 3n(B)$
$9n(A) = 8n(B) \implies \frac{n(A)}{n(B)} = \frac{8}{9}$.
ધારો કે $n(A) = 8k$ અને $n(B) = 9k$. તો $n(A \cap B) = 2(8k) - 9k = 7k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 8k + 9k - 7k = 10k$.
આપેલ છે કે $n(A \cup B) \leq 10$,તેથી $10k \leq 10 \implies k = 1$.
આમ,$n(A) = 8, n(B) = 9, n(A \cap B) = 7$.
માટે,માંગેલ કિંમત $\frac{8 \cdot 9 \cdot 7}{8} = 9 \cdot 7 = 63$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ગણ $A, B, C$ માટે,બે કાર્તેઝિયન ગુણાકારનો છેદગણ નીચે મુજબ મળે છે:
$(A \times B) \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (B \cap C)$.
તેથી,ઘટકોની સંખ્યા નીચે મુજબ થશે:
$n((A \times B) \cap (B \times C)) = n((A \cap B) \times (B \cap C)) = n(A \cap B) \times n(B \cap C)$.
આપેલ છે કે $n(A \cap B) = 2$ અને $n(B \cap C) = 2$,તેથી:
$n((A \times B) \cap (B \times C)) = 2 \times 2 = 4$.

(C) ગણ તફાવત $A - B$ એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં હોય પણ $B$ માં ન હોય.
$1$. $A - B = A \cap B'$ એ પ્રમાણિત નિત્યસમ છે.
$2$. $A - (A \cap B) = A \cap (A \cap B)' = A \cap (A' \cup B') = (A \cap A') \cup (A \cap B') = \emptyset \cup (A \cap B') = A \cap B'$,જે $A - B$ ની બરાબર છે.
$3$. $(A \cup B) - B = (A \cup B) \cap B' = (A \cap B') \cup (B \cap B') = (A \cap B') \cup \emptyset = A \cap B'$,જે $A - B$ ની બરાબર છે.
$4$. $A - B'$ એ $A \cap (B')' = A \cap B$ ની બરાબર છે,જે સામાન્ય રીતે $A - B$ ની બરાબર હોતું નથી જ્યાં સુધી $A \cap B = \emptyset$ ન હોય.
તેથી,વિધાન $A - B = A - B'$ અસત્ય છે.

(A) ધારો કે ગણ $S$ માં કુલ ભિન્ન ઘટકોની સંખ્યા $N$ છે.
આપેલ છે કે દરેક ગણ $X_r$ માં $5$ ઘટકો છે અને આવા $24$ ગણ છે,તેથી પુનરાવર્તન સાથે ગણતરી કરતા કુલ ઘટકોની સંખ્યા $5 \times 24 = 120$ થાય.
ગણ $S$ નો દરેક ઘટક બરાબર $10$ જેટલા $X_r$ માં આવતો હોવાથી,$10N = 120$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $N = 12$.
તે જ રીતે,દરેક ગણ $Y_r$ માં $4$ ઘટકો છે અને આવા $n$ ગણ છે,તેથી પુનરાવર્તન સાથે કુલ ઘટકોની સંખ્યા $4n$ થાય.
ગણ $S$ નો દરેક ઘટક બરાબર $6$ જેટલા $Y_r$ માં આવતો હોવાથી,$6N = 4n$ થાય.
$N = 12$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$6(12) = 4n$ મળે.
$72 = 4n$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $n = 18$ મળે છે.

(A) અમે $n$ ની વિવિધ કિંમતો માટે અસમતા $3^n < n!$ ચકાસીએ છીએ:
$n = 1$ માટે: $3^1 = 3, 1! = 1$. $3 < 1$ અસત્ય છે.
$n = 2$ માટે: $3^2 = 9, 2! = 2$. $9 < 2$ અસત્ય છે.
$n = 3$ માટે: $3^3 = 27, 3! = 6$. $27 < 6$ અસત્ય છે.
$n = 4$ માટે: $3^4 = 81, 4! = 24$. $81 < 24$ અસત્ય છે.
$n = 5$ માટે: $3^5 = 243, 5! = 120$. $243 < 120$ અસત્ય છે.
$n = 6$ માટે: $3^6 = 729, 6! = 720$. $729 < 720$ અસત્ય છે.
$n = 7$ માટે: $3^7 = 2187, 7! = 5040$. $2187 < 5040$ સત્ય છે.
જેથી,$n = 7$ માટે અસમતા સાચી છે અને $n > 6$ માટે $n!$ નો વૃદ્ધિ દર $3^n$ કરતા વધારે હોવાથી,$\lambda$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.

(B) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$n(\bar{A} \cap \bar{B}) = n(\overline{A \cup B})$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$.
સૌ પ્રથમ,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $n(A \cup B)$ શોધો.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n(A \cup B) = 100 + 200 - 50 = 250$.
હવે,આ કિંમતને સાર્વત્રિક ગણના સમીકરણમાં મૂકતા: $n(\bar{A} \cap \bar{B}) = 600 - 250 = 350$.

(C) છાયાંકિત પ્રદેશમાં $A$ ના એવા ભાગો છે જે $B$ અથવા $C$ માં નથી,$C$ ના એવા ભાગો છે જે $A$ અથવા $B$ માં નથી,અને કેન્દ્રીય છેદગણ $A \cap B \cap C$ નો સમાવેશ થાય છે.
ચોક્કસ રીતે,આ પ્રદેશ $(A \setminus (B \cup C)) \cup (C \setminus (A \cup B)) \cup (A \cap B \cap C)$ દર્શાવે છે.
તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનું વિશ્લેષણ કરતા,$(A \cup C) \cap (A^C \cup B^C) \cap (A^C \cup C^C) \cap (B^C \cup C^C) \cup (A \cap B \cap C)$ અભિવ્યક્તિ $A$ અને $C$ ના વિશિષ્ટ પ્રદેશોના યોગગણને કેન્દ્રીય છેદગણ $A \cap B \cap C$ સાથે યોગ્ય રીતે ઓળખે છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ એ $B$ નો ઉચિત ઉપગણ છે,જેને $A \subset B$ અને $A \neq B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે $A \subset B$,તેથી $A - B = \emptyset$,જેનો અર્થ છે કે $n(A - B) = 0$.
વ્યાખ્યા મુજબ,સંમિત તફાવત $A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)$ છે.
તેથી,$n(A \Delta B) = n(A - B) + n(B - A) = 0 + n(B - A) = n(B - A)$.
$A$ એ $B$ નો ઉચિત ઉપગણ હોવાથી,$B$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઘટક એવો હોવો જોઈએ જે $A$ માં ન હોય. તેથી,$n(B - A) \geq 1$.
$n(A \Delta B)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $n(B - A)$ માટે શક્ય સૌથી નાની કિંમત $1$ પસંદ કરીએ છીએ.
આમ,$n(A \Delta B)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, ..., 100\}$ અને $B = \{51, 52, 53, ..., 180\}$ છે.
સૌ પ્રથમ,ગણ $A$ અને $B$ નો છેદગણ શોધો: $A \cap B = \{51, 52, 53, ..., 100\}$.
$A \cap B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \cap B) = 100 - 51 + 1 = 50$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$.
કારણ કે $(A \cap B) = (B \cap A)$,તેથી આપણને $(A \cap B) \times (A \cap B)$ મળે છે.
ઘટકોની સંખ્યા $n((A \times B) \cap (B \times A)) = n(A \cap B) \times n(B \cap A) = 50 \times 50 = 2500$ થાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ગણ તફાવત $A - B$ એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં હોય પરંતુ $B$ માં ન હોય. ગાણિતિક રીતે,$A - B = A \cap B^c$.
આ કિંમતને $A - (A - B)$ પદમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A - (A \cap B^c)$
$X - Y = X \cap Y^c$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$A \cap (A \cap B^c)^c$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(A \cap B^c)^c = A^c \cup (B^c)^c = A^c \cup B$.
તેથી,પદ આ મુજબ બને છે:
$A \cap (A^c \cup B)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(A \cap A^c) \cup (A \cap B)$
કારણ કે $A \cap A^c = \emptyset$ (રિક્ત ગણ):
$\emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B$.
તેથી,$A - (A - B) = A \cap B$.

(C) ગણ $P$ માટે,આપણી પાસે $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta$.
બંને બાજુ $(\sqrt{2} - 1)$ વડે ગુણતા,આપણને $(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ મળે છે.
$(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = (2 - 1) \cos \theta = \cos \theta$.
આમ,$\sqrt{2} \sin \theta - \sin \theta = \cos \theta$,જે $\sqrt{2} \sin \theta = \sin \theta + \cos \theta$ આપે છે.
આ ગણ $Q$ માટેની વ્યાખ્યાયિત શરત છે.
તે જ રીતે,ગણ $Q$ ની શરત $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ થી શરૂ કરીને,આપણે $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ મેળવી શકીએ છીએ.
કારણ કે $P$ નો દરેક ઘટક $Q$ માં છે અને $Q$ નો દરેક ઘટક $P$ માં છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $P = Q$.

(C) ધારો કે $P$ એ ફોન ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે અને $C$ એ કાર ધરાવતા પરિવારોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(P) = 25\%$,$n(C) = 15\%$,અને $n(P' \cap C') = 65\%$.
$n(P' \cap C') = 1 - n(P \cup C)$ હોવાથી,આપણને $n(P \cup C) = 100\% - 65\% = 35\%$ મળે છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે $35\%$ પરિવારો પાસે કાં તો ફોન અથવા કાર છે.
સૂત્ર $n(P \cup C) = n(P) + n(C) - n(P \cap C)$ નો ઉપયોગ કરતા,$35\% = 25\% + 15\% - n(P \cap C)$,જેનો અર્થ છે કે $n(P \cap C) = 5\%$.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે $5\%$ પરિવારો પાસે બંને છે.
આપેલ છે કે $n(P \cap C) = 2,000$,ધારો કે $x$ એ કુલ પરિવારોની સંખ્યા છે. તેથી $x$ ના $5\% = 2,000$,એટલે કે $0.05x = 2,000$,જે આપણને $x = 40,000$ આપે છે.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે નગરમાં $40,000$ પરિવારો છે.
આમ,બધા જ વિધાનો $(A), (B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{ \theta : \sin \theta = \tan \theta \}$ અને $B = \{ \theta : \cos \theta = 1 \}$ છે.
ગણ $A$ માટે,$\sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta (1 - \frac{1}{\cos \theta}) = 0$.
આનાથી $\sin \theta = 0$ અથવા $\cos \theta = 1$ મળે છે.
જો $\sin \theta = 0$ હોય,તો $\theta = n\pi$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
જો $\cos \theta = 1$ હોય,તો $\theta = 2n\pi$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આમ,$A = \{ n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \dots \}$.
ગણ $B$ માટે,$\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 2n\pi$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આમ,$B = \{ 2n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots \}$.
બંને ગણની સરખામણી કરતા,$B$ નો દરેક ઘટક $A$ માં છે,તેથી $B \subset A$. જોકે,$\pi$ જેવા ઘટકો $A$ માં છે પણ $B$ માં નથી,તેથી $A \not\subset B$.

(D) ધારો કે $M, P, C$ એ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાન પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓ $N = 140$.
$n(M) = \lfloor \frac{140}{2} \rfloor = 70$
$n(P) = \lfloor \frac{140}{3} \rfloor = 46$
$n(C) = \lfloor \frac{140}{5} \rfloor = 28$
હવે,છેદગણ શોધીએ:
$n(M \cap P) = \lfloor \frac{140}{\text{lcm}(2,3)} \rfloor = \lfloor \frac{140}{6} \rfloor = 23$
$n(M \cap C) = \lfloor \frac{140}{\text{lcm}(2,5)} \rfloor = \lfloor \frac{140}{10} \rfloor = 14$
$n(P \cap C) = \lfloor \frac{140}{\text{lcm}(3,5)} \rfloor = \lfloor \frac{140}{15} \rfloor = 9$
$n(M \cap P \cap C) = \lfloor \frac{140}{\text{lcm}(2,3,5)} \rfloor = \lfloor \frac{140}{30} \rfloor = 4$
ગણના સિદ્ધાંત (Principle of Inclusion-Exclusion) નો ઉપયોગ કરતા:
$n(M \cup P \cup C) = n(M) + n(P) + n(C) - (n(M \cap P) + n(M \cap C) + n(P \cap C)) + n(M \cap P \cap C)$
$n(M \cup P \cup C) = 70 + 46 + 28 - (23 + 14 + 9) + 4$
$n(M \cup P \cup C) = 144 - 46 + 4 = 102$
કોઈ પણ કોર્સ પસંદ ન કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $140 - 102 = 38$.

(C) ઉપગણ $A$ ના ઘટકોનો ગુણાકાર યુગ્મ ત્યારે જ હોય જો ઉપગણમાં ઓછામાં ઓછો એક ઘટક યુગ્મ હોય.
$S$ ના કુલ અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $2^{100} - 1$ છે.
માત્ર એકી ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $2^{50} - 1$ છે (કારણ કે $S = \{1, 2, \dots, 100\}$ માં $50$ એકી સંખ્યાઓ છે).
તેથી,જે ઉપગણોમાં ગુણાકાર યુગ્મ હોય તેની સંખ્યા = કુલ અરિક્ત ઉપગણો - માત્ર એકી ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો.
ઉપગણોની સંખ્યા = $(2^{100} - 1) - (2^{50} - 1) = 2^{100} - 2^{50}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \{ x \in Z : 2^{(x + 2)(x^2 - 5x + 6)} = 1 \}$.
$2^0 = 1$ હોવાથી,$(x + 2)(x^2 - 5x + 6) = 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 0$.
તેથી,$x = -2, 2, 3$. આમ,$A = \{ -2, 2, 3 \}$ અને $n(A) = 3$.
આપેલ છે કે $B = \{ x \in Z : -3 < 2x - 1 < 9 \}$.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા: $-2 < 2x < 10$.
$2$ વડે ભાગતા: $-1 < x < 5$.
$x \in Z$ હોવાથી,$B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$ અને $n(B) = 5$.
$A \times B$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $n(A) \times n(B) = 3 \times 5 = 15$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ હોય છે.
તેથી,$A \times B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^{15}$ છે.

(C) ધારો કે કુલ વસ્તી $100$ છે.
આપેલ છે:
$n(A) = 25$
$n(B) = 20$
$n(A \cap B) = 8$
હવે, માત્ર એક સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોની સંખ્યા શોધો:
$n(A \text{માત્ર}) = n(A) - n(A \cap B) = 25 - 8 = 17$
$n(B \text{માત્ર}) = n(B) - n(A \cap B) = 20 - 8 = 12$
જાહેરાતો જોતી વસ્તીની ટકાવારી:
$= (17 \text{ના } 30\%) + (12 \text{ના } 40\%) + (8 \text{ના } 50\%)$
$= (0.30 \times 17) + (0.40 \times 12) + (0.50 \times 8)$
$= 5.1 + 4.8 + 4.0$
$= 13.9$
આમ, $13.9\%$ વસ્તી જાહેરાતો જુએ છે.

(A) આપેલ છે કે $\phi \ne A \cap B \subseteq C$.
વિકલ્પ (A) તપાસો: જો $(A - C) \subseteq B$ હોય તો $A \subseteq B$.
ધારો કે $A = \{1, 2\},\ B = \{2, 3\},\ C = \{2\}$.
અહીં $A \cap B = \{2\} \ne \phi$ અને $A \cap B = \{2\} \subseteq C = \{2\}$.
હવે,
$A - C = \{1, 2\} - \{2\} = \{1\}$.
અહીં $\{1\} \not\subseteq B = \{2, 3\}$ હોવાથી, શરત $(A - C) \subseteq B$ આ ઉદાહરણ માટે ખોટી છે.
જો આપણે $A = \{1, 2\},\ B = \{1, 3\},\ C = \{1, 2\}$ લઈએ, તો
$A \cap B = \{1\} \subseteq C$ થાય છે.
અહીં $A - C = \phi \subseteq B$ સત્ય છે, પરંતુ
$A = \{1, 2\} \not\subseteq B = \{1, 3\}$ છે.
આમ, વિધાન (A) સત્ય નથી.
વિકલ્પ (B) તપાસો: જો $(A - B) \subseteq C$ હોય તો $A \subseteq C$.
ધારો કે $x \in A$. જો $x \in B$ હોય, તો $x \in A \cap B \subseteq C$, તેથી $x \in C$.
જો $x \notin B$ હોય, તો $x \in A - B \subseteq C$, તેથી $x \in C$.
આમ $A \subseteq C$. આ વિધાન સત્ય છે.
વિકલ્પ (C) તપાસો:
$(C \cup A) \cap (C \cup B) = C \cup (A \cap B)$.
કારણ કે $A \cap B \subseteq C$, તેથી $C \cup (A \cap B) = C$.
આ વિધાન સત્ય છે.
વિકલ્પ (D) તપાસો: કારણ કે $A \cap B \subseteq C$ અને $A \cap B \ne \phi$, તેથી ઓછામાં ઓછો એક ઘટક $x \in A \cap B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી $x \in B$ અને $x \in C$, એટલે $x \in B \cap C$.
આમ $B \cap C \ne \phi$.
આ વિધાન સત્ય છે.
તેથી, જે વિધાન સત્ય નથી તે (A) છે.

(A) ગણ $X$ માં $1$ થી $50$ સુધીના પૂર્ણાંકો છે,તેથી $n(X) = 50$.
ગણ $A$ માં $50$ સુધીના $2$ ના ગુણકો છે: $A = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$. ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = \lfloor 50/2 \rfloor = 25$ છે.
ગણ $B$ માં $50$ સુધીના $7$ ના ગુણકો છે: $B = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\}$. ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = \lfloor 50/7 \rfloor = 7$ છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં $50$ સુધીના $\text{lcm}(2, 7) = 14$ ના ગુણકો છે: $A \cap B = \{14, 28, 42\}$. ઘટકોની સંખ્યા $n(A \cap B) = 3$ છે.
$A$ અને $B$ બંનેને સમાવતો $X$ નો સૌથી નાનો ઉપગણ એ તેમનો યોગગણ $A \cup B$ છે.
ઉમેરણ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 25 + 7 - 3 = 29$.

(C) આપેલ છે કે $A = \{x \in R : |x| < 2\}$.
આનો અર્થ એ છે કે $-2 < x < 2$,તેથી $A = (-2, 2)$.
આપેલ છે કે $B = \{x \in R : |x - 2| \geq 3\}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x - 2 \geq 3$ અથવા $x - 2 \leq -3$.
તેથી,$x \geq 5$ અથવા $x \leq -1$.
આમ,$B = (-\infty, -1] \cup [5, \infty)$.
હવે,$B - A$ એ $B$ ના એવા ઘટકોનો સમૂહ દર્શાવે છે જે $A$ માં નથી.
$B - A = ((-\infty, -1] \cup [5, \infty)) - (-2, 2)$.
કારણ કે અંતરાલ $(-2, 2)$ એ $(-\infty, -1]$ સાથે માત્ર $(-2, -1]$ અંતરાલ પર ઓવરલેપ થાય છે,તેથી આપણે $B$ માંથી આ ભાગ દૂર કરીએ છીએ.
$B - A = (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.
આને $R - (-2, 5)$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (m+1)x + m+4 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (m+1)^{2} - 4(m+4) \geq 0$
$m^{2} + 2m + 1 - 4m - 16 \geq 0$
$m^{2} - 2m - 15 \geq 0$
$(m-5)(m+3) \geq 0$
તેથી,$m \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.
આમ,$A = (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$.
આપેલ છે કે $B = [-3, 5)$.
$1$. $A - B$: $A$ ના એવા ઘટકો જે $B$ માં નથી. $A - B = (-\infty, -3) \cup [5, \infty)$. (સત્ય)
$2$. $A \cap B$: $A$ અને $B$ નો છેદગણ. સામાન્ય ઘટક $\{-3\}$ છે. (સત્ય)
$3$. $B - A$: $B$ ના એવા ઘટકો જે $A$ માં નથી. $B - A = (-3, 5)$. (સત્ય)
$4$. $A \cup B$: $A$ અને $B$ નો યોગગણ. $A \cup B = R$. (સત્ય)

(D) ધારો કે $n(T)$ એ ગણ $T$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\bigcup_{i=1}^{50} X_{i} = T$ અને દરેક $X_{i}$ માં $10$ ઘટકો છે,તેથી બધા $X_{i}$ માં રહેલા ઘટકોનો સરવાળો $50 \times 10 = 500$ થાય.
કારણ કે $T$ નો દરેક ઘટક $X_{i}$ ના બરાબર $20$ ગણમાં આવે છે,તેથી $T$ માં રહેલા ભિન્ન ઘટકોની સંખ્યા $n(T) = \frac{500}{20} = 25$ થાય.
તે જ રીતે,$Y_{i}$ ગણો માટે,$\bigcup_{i=1}^{n} Y_{i} = T$ અને દરેક $Y_{i}$ માં $5$ ઘટકો છે. બધા $Y_{i}$ માં રહેલા ઘટકોનો સરવાળો $n \times 5 = 5n$ થાય.
કારણ કે $T$ નો દરેક ઘટક $Y_{i}$ ના બરાબર $6$ ગણમાં આવે છે,તેથી $T$ માં રહેલા ભિન્ન ઘટકોની સંખ્યા $n(T) = \frac{5n}{6}$ થાય.
$n(T)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$\frac{5n}{6} = 25$ મળે.
$n$ માટે ઉકેલતા,$5n = 150$,જેનો અર્થ છે કે $n = 30$.

(D) ધારો કે $n(A) = 63$ અને $n(B) = 76$. ધારો કે $x = n(A \cap B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 63 + 76 - x = 139 - x$.
લોકોની કુલ ટકાવારી $100 \%$ થી વધી શકતી નથી,તેથી $n(A \cup B) \leq 100$,જેનો અર્થ છે કે $139 - x \leq 100$,એટલે કે $x \geq 39$.
વળી,બંને સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોની સંખ્યા કોઈપણ એક સમાચારપત્ર વાંચતા લોકોની સંખ્યા કરતા વધી શકે નહીં,તેથી $x \leq n(A)$ અને $x \leq n(B)$. આમ,$x \leq 63$.
તેથી,$x$ માટે શક્ય શ્રેણી $39 \leq x \leq 63$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $55$ આ શ્રેણીમાં આવે છે.

(B) ગણ $C$ એવા તમામ વિધેયો $f: A \rightarrow B$ નો બનેલો છે જેમાં $2 \in f(A)$ હોય અને $f$ એક-એક વિધેય ન હોય.
$A$ થી $B$ પરના કુલ વિધેયો જેમાં $2 \in f(A)$ હોય તેની ગણતરી: (કુલ વિધેયો) - (જેમાં $2 \notin f(A)$ હોય તેવા વિધેયો).
કુલ વિધેયો $= 4^3 = 64$.
જેમાં $2 \notin f(A)$ હોય તેવા વિધેયો (એટલે કે $f: A \rightarrow \{1, 3, 4\}$) $= 3^3 = 27$.
તેથી,જે વિધેયોમાં $2 \in f(A)$ હોય $= 64 - 27 = 37$.
હવે,આમાંથી આપણે એવા એક-એક વિધેયો બાદ કરીશું જેમાં $2 \in f(A)$ હોય.
$A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ છે.
આ $24$ એક-એક વિધેયોમાંથી કેટલા વિધેયોના વિસ્તારમાં $2$ નો સમાવેશ થાય છે?
જો $2$ વિસ્તારમાં ન હોય,તો વિધેય $A$ ને ${1, 3, 4}$ પર મેપ કરે છે. એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $= P(3, 3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
તેથી,જે એક-એક વિધેયોમાં $2 \in f(A)$ હોય $= 24 - 6 = 18$.
આમ,જે વિધેયો એક-એક નથી અને $2 \in f(A)$ છે તેની સંખ્યા $= 37 - 18 = 19$.

(D) ધારો કે $C$ એ કોફી પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે અને $T$ એ ચા પસંદ કરતા લોકોનો ગણ છે.
આપેલ છે: $n(C) = 73$,$n(T) = 65$.
ધારો કે $x$ એ બંને પસંદ કરતા લોકોની ટકાવારી છે,એટલે કે $n(C \cap T) = x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ ટકાવારી $100 \%$ થી વધી શકે નહીં,તેથી $n(C \cup T) \leq 100$.
સૂત્ર $n(C \cup T) = n(C) + n(T) - n(C \cap T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$73 + 65 - x \leq 100$
$138 - x \leq 100$
$x \geq 38$.
વધુમાં,માત્ર કોફી અથવા માત્ર ચા પસંદ કરતા લોકોની સંખ્યા ઋણ હોઈ શકે નહીં:
$n(C) - x \geq 0 \Rightarrow 73 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 73$
$n(T) - x \geq 0 \Rightarrow 65 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 65$
આ બંનેને જોડતા,આપણને $38 \leq x \leq 65$ મળે છે.
તેથી,$x$ ની કિંમત $[38, 65]$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$36$ આ શ્રેણીની બહાર છે. તેથી,$x$ ની કિંમત $36$ હોઈ શકે નહીં.

(C) $k$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગણ $A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા ગણ $B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા કરતા $112$ વધારે છે,તેથી આપણી પાસે સમીકરણ છે: $2^m - 2^n = 112$.
આને આપણે $2^n(2^{m-n} - 1) = 112$ તરીકે લખી શકીએ.
$112$ ના અવયવો પાડતા,આપણને મળે છે $112 = 16 \times 7 = 2^4 \times (2^3 - 1)$.
બંને બાજુની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 4$ અને $m - n = 3$ મળે છે.
$m - n = 3$ માં $n = 4$ મૂકતા,આપણને $m - 4 = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m = 7$.
તેથી,$m \times n = 7 \times 4 = 28$ થાય છે.

(C) કોઈપણ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય હોતી નથી,તેથી ગણ $A$ ખાલી ગણ છે.
$(b)$ કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા સમીકરણ $x + 5 = 0$ નું સમાધાન કરતી નથી,તેથી $B = \phi$.
$(c)$ $2$ એ બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,એટલે કે $C = \{2\}$,તેથી $C$ એ ખાલી ગણ નથી.
$(d)$ $1$ અને $2$ ની વચ્ચે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી,તેથી $D$ એ ખાલી ગણ છે.

(A) વિકલ્પ $A$ માટે: સમીકરણ $x^{2}-2x-3=0$ ના અવયવો પાડતા $(x-3)(x+1)=0$ મળે છે. તેથી,$x=3$ અથવા $x=-1$. $3$ અને $-1$ બંને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોવાથી,ગણ $A = \{3, -1\}$ થાય છે. આ ગણમાં સભ્યોની સંખ્યા નિશ્ચિત છે,તેથી તે શાંત ગણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $2$ વડે વિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ ${2, 4, 6, 8, 10, \dots}$ છે. આ ગણ અનંત સુધી વિસ્તરેલો છે,તેથી તે અનંત ગણ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: સમતલમાં એક બિંદુમાંથી અસંખ્ય રેખાઓ પસાર થઈ શકે છે. તેથી,$C$ એ અનંત ગણ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $-5$ થી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ છે. આ ગણ અનંત સુધી વિસ્તરેલો છે,તેથી તે અનંત ગણ છે.
નિષ્કર્ષ: માત્ર ગણ $A$ શાંત ગણ છે.

(A) બે ગણ સમાન હોય છે જો તેમાં બરાબર એકસરખા ઘટકો હોય. ગણમાં ઘટકોનું પુનરાવર્તન ગણને બદલતું નથી.
$(a)$ $A=\{1, 3, 3, 1\} = \{1, 3\}$ અને $B=\{1, 4\}$. અહીં $3 \in A$ છે પણ $3 \notin B$ છે,તેથી $A \neq B$.
$(b)$ $A=\{x: x+2=2\} = \{0\}$ અને $B=\{0\}$. બંને ગણમાં સમાન ઘટકો છે,તેથી $A = B$.
$(c)$ $A=\{1, 3, 4, 4\} = \{1, 3, 4\}$ અને $B=\{3, 1, 4\}$. બંને ગણમાં સમાન ઘટકો છે,તેથી $A = B$.
$(d)$ $A=\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\} = \{\frac{1}{n}: n \in N\}$ અને $B=\{\frac{1}{n}: n \in N\}$. બંને ગણમાં સમાન ઘટકો છે,તેથી $A = B$.

(B) ખાલી ગણ એટલે એવો ગણ જેમાં એક પણ ઘટક ન હોય.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$A = \{x : x \in N \text{ અને } x \leq 1\}$. અહીં $1 \in N$ હોવાથી,$A = \{1\}$,જે ખાલી ગણ નથી.
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$B = \{x : 3x + 1 = 0, x \in N\}$. સમીકરણ $3x + 1 = 0$ ઉકેલતા $x = -1/3$ મળે છે. $-1/3$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $(N)$ નથી,તેથી આ શરતનું પાલન કરતી કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી. આમ,$B = \emptyset$ (ખાલી ગણ છે).
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$C = \{x : x \text{ એ પૂર્ણાંક છે અને } -1 < x < 1\}$. પૂર્ણાંક $0$ આ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી $C = \{0\}$,જે ખાલી ગણ નથી.
વિકલ્પ $(D)$ માટે,$D = F \text{ થી શરૂ થતા વર્ષના મહિનાઓનો ગણ}$. ફેબ્રુઆરી $(February)$ $F$ થી શરૂ થાય છે,તેથી $D = \{\text{February}\}$,જે ખાલી ગણ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) જો કોઈ ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા અમર્યાદિત હોય,તો તેને અનંત ગણ કહેવામાં આવે છે.
$(a)$ બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ માત્ર એક જ ઘટક ધરાવે છે,{$2$}. આ એક શાંત ગણ છે.
$(b)$ ભારતની તમામ નદીઓનો ગણ એક શાંત ગણ છે કારણ કે નદીઓની સંખ્યા ગણી શકાય તેવી છે.
$(c)$ તમામ એકકેન્દ્રીય વર્તુળોનો ગણ અનંત છે કારણ કે આપણે એક જ કેન્દ્ર અને અલગ-અલગ ત્રિજ્યા ધરાવતા અસંખ્ય વર્તુળો દોરી શકીએ છીએ.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો જવાબ છે.

(A) જે ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા નિશ્ચિત હોય તેને શાંત ગણ કહેવાય છે.
$(A)$ વર્ષના મહિનાઓનો ગણ ચોક્કસ $12$ ઘટકો ધરાવે છે (જાન્યુઆરીથી ડિસેમ્બર),તેથી તે શાંત ગણ છે.
$(B)$ ગણ ${1, 2, 3, .....}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,જે અનંત છે.
$(C)$ ગણ ${1, 2, 3, ....., 99, 100}$ પણ શાંત ગણ છે.
$(D)$ $x$-અક્ષને સમાંતર અસંખ્ય રેખાઓ દોરી શકાય છે,તેથી આ ગણ અનંત છે.