QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,$\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$ है।
मान लीजिए कि नए मूल $\alpha' = 2 + \alpha$ और $\beta' = 2 + \beta$ हैं।
नए मूलों का योग $\alpha' + \beta' = (2 + \alpha) + (2 + \beta) = 4 + (\alpha + \beta) = 4 - b/a = (4a - b)/a$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha'\beta' = (2 + \alpha)(2 + \beta) = 4 + 2(\alpha + \beta) + \alpha\beta = 4 + 2(-b/a) + c/a = (4a - 2b + c)/a$ है।
वांछित द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x^2 - ((4a - b)/a)x + (4a - 2b + c)/a = 0$ प्राप्त होता है।
पूरे समीकरण को $a$ से गुणा करने पर,हमें $ax^2 - (4a - b)x + (4a - 2b + c) = 0$ मिलता है।
इसे सरल करने पर $ax^2 + x(b - 4a) + 4a - 2b + c = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $x^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं और $x^2 + qx + r = 0$ के मूल $\alpha', \beta'$ हैं।
अतः,$\alpha + \beta = -b$,$\alpha\beta = c$,$\alpha' + \beta' = -q$,और $\alpha'\beta' = r$ है।
दिया गया है कि मूलों का अनुपात समान है,अर्थात $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}$।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) के नियम का उपयोग करने पर,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha' + \beta'}{\alpha' - \beta'}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\alpha' + \beta')^2}{(\alpha' - \beta')^2}$।
चूंकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$,इसलिए $\frac{b^2}{b^2 - 4c} = \frac{q^2}{q^2 - 4r}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $b^2(q^2 - 4r) = q^2(b^2 - 4c)$ प्राप्त होता है।
$b^2q^2 - 4b^2r = q^2b^2 - 4cq^2$।
$-4b^2r = -4cq^2$,जिसे सरल करने पर $b^2r = cq^2$ प्राप्त होता है।

(C) माना द्विघात समीकरण $x^2 - x - k = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \alpha^2 = 1$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = -k$ है।
हमारे पास $\alpha^2 + \alpha = 1$ है। दोनों पक्षों का घन करने पर,$(\alpha^2 + \alpha)^3 = 1^3$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$(\alpha^2)^3 + \alpha^3 + 3(\alpha^2)(\alpha)(\alpha^2 + \alpha) = 1$ मिलता है।
$\alpha^3 = -k$ और $\alpha^2 + \alpha = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-k)^2 + (-k) + 3(-k)(1) = 1$.
$k^2 - k - 3k = 1$.
$k^2 - 4k - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$k = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि द्विघात समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के गुणांक $p$ और $q$ वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया है कि $3 + 4i$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $3 - 4i$ भी समीकरण का एक मूल होगा।
द्विघात समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $-p$ होता है और मूलों का गुणनफल $q$ होता है।
मूलों का योग $= (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6$.
इसलिए,$-p = 6$,जिसका अर्थ है $p = -6$.
मूलों का गुणनफल $= (3 + 4i)(3 - 4i) = {3^2} - {(4i)^2} = 9 - 16({i^2}) = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25$.
इसलिए,$q = 25$.
अतः,$p = -6$ और $q = 25$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
प्रश्न के अनुसार,मूलों का योग उनके व्युत्क्रमों के वर्गों के योग के बराबर है:
$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$
$\alpha + \beta = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{b}{a} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$
$-\frac{b}{a} = \frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2}$
$-\frac{b}{a} = \frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}}$
दोनों पक्षों को $\frac{c^2}{a^2}$ से गुणा करने पर:
$-\frac{b}{a} \cdot \frac{c^2}{a^2} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}$
$-\frac{bc^2}{a^3} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}$
पूरे समीकरण को $\frac{c}{a}$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $c \neq 0$):
$-\frac{bc}{a^2} = \frac{b^2}{ac} - 2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{b^2}{ac} + \frac{bc}{a^2} = 2$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 6x + a = 0$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-6)/1 = 6$ है।
हमें संबंध $3\alpha + 2\beta = 16$ दिया गया है।
इसे $2(\alpha + \beta) + \alpha = 16$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\alpha + \beta = 6$ का मान रखने पर:
$2(6) + \alpha = 16$
$12 + \alpha = 16$
$\alpha = 4$.
चूंकि $\alpha$ समीकरण का एक मूल है,यह $x^2 - 6x + a = 0$ को संतुष्ट करेगा:
$(4)^2 - 6(4) + a = 0$
$16 - 24 + a = 0$
$-8 + a = 0$
$a = 8$.

(A) दिए गए द्विघात समीकरण $lx^2 + mx + n = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -m/l$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = n/l$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $S_1 = \alpha^3\beta$ और $S_2 = \alpha\beta^3$ हैं।
नए मूलों का योग $S_1 + S_2 = \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2) = \alpha\beta((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta)$ है।
मान रखने पर: $S_1 + S_2 = (n/l)((-m/l)^2 - 2(n/l)) = (n/l)((m^2/l^2) - (2n/l)) = (n/l)((m^2 - 2nl)/l^2) = (n(m^2 - 2nl))/l^3$.
नए मूलों का गुणनफल $S_1 \cdot S_2 = (\alpha^3\beta)(\alpha\beta^3) = \alpha^4\beta^4 = (\alpha\beta)^4 = (n/l)^4 = n^4/l^4$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (S_1 + S_2)x + (S_1 \cdot S_2) = 0$ है।
मान रखने पर: $x^2 - [n(m^2 - 2nl)/l^3]x + (n^4/l^4) = 0$.
$l^4$ से गुणा करने पर,हमें $l^4x^2 - nl(m^2 - 2nl)x + n^4 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूलों का अंतर $\alpha - \beta = 1$ है।
हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = c/a$ होता है।
दिए गए समीकरण के लिए,$\alpha + \beta = -p$ और $\alpha\beta = q$ है।
सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ का उपयोग करते हुए,हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1)^2 = (-p)^2 - 4(q)$.
$1 = p^2 - 4q$.
अतः,$p^2 = 4q + 1$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + 8 + 2\sqrt{5} = 0$ है।
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार, मूलों का योग $x_1 + x_2 = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$ है।
मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}} = 2(x_1 + x_2)$ है।
दो संख्याओं $x_1$ और $x_2$ का हरात्मक माध्य $(HM)$ सूत्र $HM = \frac{2x_1 x_2}{x_1 + x_2}$ द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र में $x_1 x_2 = 2(x_1 + x_2)$ का मान रखने पर, हमें $HM = \frac{2 \cdot 2(x_1 + x_2)}{x_1 + x_2} = 4$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि मूल $\alpha$ और $\alpha + 1$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + (\alpha + 1) = 2\alpha + 1 = b$ होता है।
मूलों का गुणनफल $\alpha(\alpha + 1) = c$ होता है।
हमें विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4c$ का मान ज्ञात करना है।
$b$ और $c$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$b^2 - 4c = (2\alpha + 1)^2 - 4(\alpha(\alpha + 1))$
पदों का विस्तार करने पर:
$b^2 - 4c = (4\alpha^2 + 4\alpha + 1) - (4\alpha^2 + 4\alpha)$
सरल करने पर:
$b^2 - 4c = 4\alpha^2 + 4\alpha + 1 - 4\alpha^2 - 4\alpha = 1$.
अतः,$b^2 - 4c = 1$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{C}{A}$
हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$.
मान रखने पर:
$\alpha^3 + \beta^3 = \left(-\frac{B}{A}\right)^3 - 3\left(\frac{C}{A}\right)\left(-\frac{B}{A}\right)$
$= -\frac{B^3}{A^3} + \frac{3BC}{A^2}$
हर को समान $(A^3)$ करने पर:
$= \frac{-B^3 + 3ABC}{A^3} = \frac{3ABC - B^3}{A^3}$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण ${x^2} - (1 + {n^2})x + \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4}) = 0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = c/a$ होता है।
यहाँ,$\alpha + \beta = 1 + {n^2}$ और $\alpha \beta = \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4})$ है।
हम जानते हैं कि ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$.
मान रखने पर:
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(1 + {n^2})^2} - 2 \times \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4})$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = (1 + {n^4} + 2{n^2}) - (1 + {n^2} + {n^4})$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = 1 + {n^4} + 2{n^2} - 1 - {n^2} - {n^4}$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {n^2}$.

(B) माना द्विघात समीकरण ${x^2} - 30x + p = 0$ के मूल $\alpha$ और ${\alpha ^2}$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $\alpha + {\alpha ^2} = 30$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot {\alpha ^2} = {\alpha ^3} = p$
योग वाले समीकरण को हल करने पर: ${\alpha ^2} + \alpha - 30 = 0$
$(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$
इससे $\alpha = -6$ या $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।
यदि $\alpha = -6$ है,तो $p = {\alpha ^3} = {(-6)^3} = -216$।
यदि $\alpha = 5$ है,तो $p = {\alpha ^3} = {(5)^3} = 125$।
अतः,$p$ के मान $125$ और $-216$ हैं।

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = c/a$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण $x^2 - 3x + 1 = 0$ के लिए,$a = 1$,$b = -3$,और $c = 1$ है।
अतः,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-3)/1 = 3$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 1/1 = 1$ है।
हमें मूलों के वर्गों का योग,यानी $\alpha^2 + \beta^2$ ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$.
इसलिए,मूलों के वर्गों का योग $7$ है।

(A) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूलों का योग $\alpha + \beta = -1$ है।
दिया गया है कि उनके व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{6}$ है।
व्युत्क्रमों के योग को सरल करने पर: $\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
$\alpha + \beta = -1$ का मान रखने पर: $\frac{-1}{\alpha \beta} = \frac{1}{6}$,जिससे $\alpha \beta = -6$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का मानक रूप $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $x^2 - (-1)x + (-6) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2 + x - 6 = 0$ है।

(C) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,मूलों का योग उनके वर्गों के योग के बराबर है:
$\alpha + \beta = {\alpha ^2} + {\beta ^2}$
हम जानते हैं कि ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$.
मूलों के योग और गुणनफल के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$-p = {(-p)^2} - 2q$
$-p = {p^2} - 2q$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${p^2} + p = 2q$.

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 3x + 1 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = 3$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 1$ है।
माना नए मूल $x_1 = \frac{1}{\alpha - 2}$ और $x_2 = \frac{1}{\beta - 2}$ हैं।
नए मूलों का योग $S = x_1 + x_2 = \frac{1}{\alpha - 2} + \frac{1}{\beta - 2} = \frac{\beta - 2 + \alpha - 2}{(\alpha - 2)(\beta - 2)} = \frac{(\alpha + \beta) - 4}{\alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4}$ है।
मान रखने पर: $S = \frac{3 - 4}{1 - 2(3) + 4} = \frac{-1}{1 - 6 + 4} = \frac{-1}{-1} = 1$ प्राप्त होता है।
नए मूलों का गुणनफल $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{(\alpha - 2)(\beta - 2)} = \frac{1}{\alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4}$ है।
मान रखने पर: $P = \frac{1}{1 - 2(3) + 4} = \frac{1}{1 - 6 + 4} = \frac{1}{-1} = -1$ प्राप्त होता है।
अपेक्षित द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है,जो $x^2 - (1)x + (-1) = 0$ अर्थात $x^2 - x - 1 = 0$ देता है।

(B) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$ प्राप्त होता है।
नए समीकरण के मूल $(\alpha - 1)$ और $(\beta - 1)$ हैं।
नया समीकरण $2x^2 + 8x + 2 = 0$ है,जिसे $x^2 + 4x + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
नए समीकरण के लिए,मूलों का योग $(\alpha - 1) + (\beta - 1) = -4/1 = -4$ है।
अतः,$(\alpha + \beta) - 2 = -4$,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = -2$।
$\alpha + \beta = -b/a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-b/a = -2$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 2a$।
नए मूलों का गुणनफल $(\alpha - 1)(\beta - 1) = 1/1 = 1$ है।
इसका विस्तार करने पर,$\alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\alpha\beta - (\alpha + \beta) = 0$ हो जाता है।
$\alpha\beta = c/a$ और $\alpha + \beta = -2$ प्रतिस्थापित करने पर,$c/a - (-2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $c/a + 2 = 0$,जिसका अर्थ है $c = -2a$।
चूंकि $b = 2a$ और $c = -2a$ है,इसलिए $b = -c$ सिद्ध होता है।

(C) दिया गया समीकरण $9x^2 + 6x + 1 = 0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = c/a$ होता है।
यहाँ,$\alpha + \beta = -6/9 = -2/3$ और $\alpha\beta = 1/9$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $1/\alpha$ और $1/\beta$ हैं।
नए मूलों का योग $S = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-2/3}{1/9} = -6$ है।
नए मूलों का गुणनफल $P = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{1/9} = 9$ है।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (-6)x + 9 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + 6x + 9 = 0$ हो जाता है।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$6x^2 - 6x + 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = -(-6)/6 = 1$ और $\alpha\beta = 1/6$ प्राप्त होता है।
दी गई व्यंजक $\frac{1}{2}[a + b\alpha + c\alpha^2 + d\alpha^3] + \frac{1}{2}[a + b\beta + c\beta^2 + d\beta^3]$ है।
इसका सरलीकरण $a + \frac{b}{2}(\alpha + \beta) + \frac{c}{2}(\alpha^2 + \beta^2) + \frac{d}{2}(\alpha^3 + \beta^3)$ होता है।
$\alpha + \beta = 1$ और $\alpha\beta = 1/6$ रखने पर:
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(1/6) = 1 - 1/3 = 2/3$.
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 1^3 - 3(1/6)(1) = 1 - 1/2 = 1/2$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= a + \frac{b}{2}(1) + \frac{c}{2}(2/3) + \frac{d}{2}(1/2) = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4}$.

(A) दिया गया है कि $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ समीकरण $x^2 - px + q = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,हमारे पास है:
$\tan \alpha + \tan \beta = p$ $(i)$
$\tan \alpha \tan \beta = q$ $(ii)$
योग के लिए टेंजेंट के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{p}{1 - q}$.
हम जानते हैं कि $\sin^2(\alpha + \beta) = \frac{\tan^2(\alpha + \beta)}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)}$.
$\tan(\alpha + \beta)$ का मान रखने पर:
$\sin^2(\alpha + \beta) = \frac{(\frac{p}{1 - q})^2}{1 + (\frac{p}{1 - q})^2} = \frac{\frac{p^2}{(1 - q)^2}}{\frac{(1 - q)^2 + p^2}{(1 - q)^2}} = \frac{p^2}{p^2 + (1 - q)^2}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x - m}{mx + 1} = \frac{x + n}{nx + 1}$.
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर: $(x - m)(nx + 1) = (x + n)(mx + 1)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $nx^2 + x - mnx - m = mx^2 + x + mnx + n$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(n - m)x^2 - 2mnx - (m + n) = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर: $(m - n)x^2 + 2mnx + (m + n) = 0$.
माना मूल $\alpha$ और $\frac{1}{\alpha}$ हैं।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
अतः,$\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{m + n}{m - n}$.
$1 = \frac{m + n}{m - n}$.
$m - n = m + n$.
$-n = n$,जिसका अर्थ है $2n = 0$,इसलिए $n = 0$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 5x + 16 = 0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,अतः:
$\alpha + \beta = 5$ और $\alpha \beta = 16$.
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha^2 + \beta^2$ और $\frac{\alpha \beta}{2}$ हैं।
सबसे पहले,मूलों का योग ज्ञात करते हैं:
$(\alpha^2 + \beta^2) + \frac{\alpha \beta}{2} = -p$
चूँकि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 5^2 - 2(16) = 25 - 32 = -7$,
अतः,$-7 + \frac{16}{2} = -p \Rightarrow -7 + 8 = -p \Rightarrow 1 = -p \Rightarrow p = -1$.
अब,मूलों का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$(\alpha^2 + \beta^2) \cdot \frac{\alpha \beta}{2} = q$
$(-7) \cdot \frac{16}{2} = q \Rightarrow -7 \cdot 8 = q \Rightarrow q = -56$.
अतः,$p = -1$ और $q = -56$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $\alpha$,$x^2 - x + k = 0$ का एक मूल है। तब $2\alpha$,$x^2 - x + 3k = 0$ का एक मूल होगा।
इन मूलों को संबंधित समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$1) \alpha^2 - \alpha + k = 0$
$2) (2\alpha)^2 - (2\alpha) + 3k = 0 \Rightarrow 4\alpha^2 - 2\alpha + 3k = 0$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2\alpha^2 - 2\alpha + 2k = 0$.
इसे समीकरण $(2)$ से घटाने पर:
$(4\alpha^2 - 2\alpha + 3k) - (2\alpha^2 - 2\alpha + 2k) = 0 - 0$
$2\alpha^2 + k = 0 \Rightarrow \alpha^2 = -k/2$.
$\alpha^2 = -k/2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-k/2 - \alpha + k = 0 \Rightarrow \alpha = k/2$.
चूंकि $\alpha^2 = (k/2)^2$,इसलिए $-k/2 = k^2/4$ प्राप्त होता है।
$k^2/4 + k/2 = 0 \Rightarrow k^2 + 2k = 0$.
$k(k + 2) = 0$,अतः $k = 0$ या $k = -2$.
चूंकि $k=0$ पर मूल शून्य हो जाते हैं,इसलिए सही मान $k = -2$ है।

(A) मान लीजिए कि $r$ गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ का सार्व अनुपात है। तब $\beta = \alpha r, \gamma = \alpha r^2, \delta = \alpha r^3$ होगा।
मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र से:
$\alpha + \beta = 1 \Rightarrow \alpha(1 + r) = 1$ $(i)$
$\alpha \beta = p \Rightarrow \alpha^2 r = p$ $(ii)$
$\gamma + \delta = 4 \Rightarrow \alpha r^2(1 + r) = 4$ $(iii)$
$\gamma \delta = q \Rightarrow \alpha^2 r^5 = q$ $(iv)$
समीकरण $(iii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $r^2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $r = \pm 2$।
यदि $r = 2$ लेते हैं,तो $\alpha(1+2) = 1 \Rightarrow \alpha = 1/3$ (जो पूर्णांक नहीं है)।
यदि $r = -2$ लेते हैं,तो $\alpha(1-2) = 1 \Rightarrow -\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = -1$।
अब $\alpha = -1$ और $r = -2$ को $(ii)$ और $(iv)$ में रखने पर:
$p = (-1)^2(-2) = -2$.
$q = (-1)^2(-2)^5 = -32$.
अतः,$(p, q) = (-2, -32)$।

(A) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों का $A.M.$ $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{8}{5}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta = \frac{16}{5}$ $(i)$.
उनके व्युत्क्रमों का $A.M.$ $\frac{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}}{2} = \frac{8}{7}$ दिया गया है।
इसे सरल करने पर $\frac{\alpha + \beta}{2\alpha\beta} = \frac{8}{7}$ प्राप्त होता है।
$(i)$ से $\alpha + \beta$ का मान रखने पर,$\frac{16/5}{2\alpha\beta} = \frac{8}{7}$ प्राप्त होता है।
$\frac{8}{5\alpha\beta} = \frac{8}{7} \Rightarrow 5\alpha\beta = 7 \Rightarrow \alpha\beta = \frac{7}{5}$ $(ii)$.
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,$x^2 - (\frac{16}{5})x + \frac{7}{5} = 0$ प्राप्त होता है।
$5$ से गुणा करने पर,$5x^2 - 16x + 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि द्विघात समीकरण ${x^2} - ax + b = 0$ के गुणांक वास्तविक हैं, इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया है कि $1 - i$ एक मूल है, इसलिए इसका संयुग्मी $1 + i$ भी समीकरण का एक मूल होगा।
द्विघात समीकरण ${x^2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ के लिए:
मूलों का योग $= (1 - i) + (1 + i) = 2$.
मूलों का गुणनफल $= (1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$.
इसकी तुलना ${x^2} - ax + b = 0$ से करने पर, हमें $a = 2$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $3$ द्विघात समीकरण ${x^2} + kx - 24 = 0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x = 3$ रखने पर:
${3^2} + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15$
$k = 5$
अब,हम जाँच करते हैं कि $k = 5$ होने पर $x = 3$ किस समीकरण को संतुष्ट करता है:
विकल्प $(c)$ के लिए: ${x^2} - kx + 6 = 0$
$x = 3$ और $k = 5$ रखने पर:
${3^2} - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$
चूँकि परिणाम $0$ है,इसलिए $3$ समीकरण ${x^2} - kx + 6 = 0$ का एक मूल है।

(D) दिया गया है कि $\alpha^2 - 5\alpha + 3 = 0$ $(i)$ और $\beta^2 - 5\beta + 3 = 0$ $(ii)$ है।
इसका अर्थ है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\alpha + \beta = 5$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = 3$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $p = \alpha/\beta$ और $q = \beta/\alpha$ हैं।
नए मूलों का योग $p + q = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$ है।
चूंकि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 5^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19$,इसलिए $p + q = \frac{19}{3}$ है।
नए मूलों का गुणनफल $pq = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\alpha} = 1$ है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (p + q)x + pq = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - 19x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $\alpha_1, \beta_1$ समीकरण $x^2 + ax + b = 0$ के मूल हैं। मूलों का अंतर $|\alpha_1 - \beta_1| = \sqrt{a^2 - 4b}$ है।
मान लीजिए $\alpha_2, \beta_2$ समीकरण $x^2 + bx + a = 0$ के मूल हैं। मूलों का अंतर $|\alpha_2 - \beta_2| = \sqrt{b^2 - 4a}$ है।
दिया गया है कि अंतर समान है,इसलिए $\sqrt{a^2 - 4b} = \sqrt{b^2 - 4a}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2 - 4b = b^2 - 4a$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^2 - b^2 + 4a - 4b = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(a - b)(a + b) + 4(a - b) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \neq b$,हम $(a - b)$ से विभाजित कर सकते हैं,जिससे $(a + b) + 4 = 0$ या $a + b + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: ${t^2}{x^2} + |x| + 9 = 0$ है।
किसी भी वास्तविक संख्या $t$ के लिए,पद ${t^2}{x^2} \ge 0$ और $|x| \ge 0$ होता है।
इसलिए,व्यंजक ${t^2}{x^2} + |x| + 9$ का मान $x$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए कम से कम $9$ होगा।
चूंकि ${t^2}{x^2} + |x| + 9 \ge 9$,इसलिए यह व्यंजक कभी भी $0$ के बराबर नहीं हो सकता है।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
परिणामस्वरूप,वास्तविक मूलों का गुणनफल अस्तित्व में नहीं है।

(A) माना कि द्विघात समीकरण $12x^2 - mx + 5 = 0$ के मूल $2k$ और $3k$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $2k + 3k = \frac{m}{12} \Rightarrow 5k = \frac{m}{12} \Rightarrow m = 60k$ ... $(i)$
मूलों का गुणनफल: $(2k)(3k) = \frac{5}{12} \Rightarrow 6k^2 = \frac{5}{12} \Rightarrow k^2 = \frac{5}{72} \Rightarrow k = \sqrt{\frac{5}{72}} = \frac{\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{12}$.
समीकरण $(i)$ में $k$ का मान रखने पर:
$m = 60 \times \frac{\sqrt{10}}{12} = 5\sqrt{10}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) चूंकि द्विघात समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के गुणांक परिमेय माने गए हैं,यदि एक मूल $2 + \sqrt{3}$ है,तो दूसरा मूल इसका संयुग्मी $2 - \sqrt{3}$ होगा।
मूलों का योग $= (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.
समीकरण के अनुसार,मूलों का योग $-p$ है।
इसलिए,$-p = 4$,जिसका अर्थ है $p = -4$.
मूलों का गुणनफल $= (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
समीकरण के अनुसार,मूलों का गुणनफल $q$ है।
इसलिए,$q = 1$.
अतः,$p$ और $q$ के मान $(p, q) = (-4, 1)$ हैं।

(C) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $3\alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + 3\alpha = -\frac{b}{a} \Rightarrow 4\alpha = -\frac{b}{a} \Rightarrow \alpha = -\frac{b}{4a}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot 3\alpha = \frac{c}{a} \Rightarrow 3\alpha^2 = \frac{c}{a}$.
$\alpha$ का मान गुणनफल के समीकरण में रखने पर:
$3\left(-\frac{b}{4a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
$3\left(\frac{b^2}{16a^2}\right) = \frac{c}{a}$
$3b^2 = 16ac$.

(B) दिया गया समीकरण $3x^2 - 20x + 17 = 0$ है।
वह समीकरण जिसके मूल $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के व्युत्क्रम हों,उसे प्राप्त करने के लिए हम $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
दिए गए समीकरण में $\frac{1}{x}$ रखने पर:
$3(\frac{1}{x})^2 - 20(\frac{1}{x}) + 17 = 0$
$\frac{3}{x^2} - \frac{20}{x} + 17 = 0$
पूरे समीकरण को $x^2$ से गुणा करने पर:
$3 - 20x + 17x^2 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $17x^2 - 20x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 2x + 4 = 0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$\alpha + \beta = -\frac{2}{1} = -2$ और $\alpha \beta = \frac{4}{1} = 4$ है।
हमें $\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{(\alpha \beta)^3}$।
सर्वसमिका $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta(\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^3 + \beta^3}{(\alpha \beta)^3} = \frac{(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta(\alpha + \beta)}{(\alpha \beta)^3}$।
मान रखने पर:
$= \frac{(-2)^3 - 3(4)(-2)}{(4)^3} = \frac{-8 + 24}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$।

(B) चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,यदि $1 + i$ एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $1 - i$ भी एक मूल होना चाहिए।
माना मूल $\alpha = 1 + i$ और $\beta = 1 - i$ हैं।
मूलों का योग $\alpha + \beta = (1 + i) + (1 - i) = 2$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$ है।
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 2x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $x_1$ और $x_2$ हैं।
समांतर माध्य $\frac{x_1 + x_2}{2} = 9$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $x_1 + x_2 = 18$।
गुणोत्तर माध्य $\sqrt{x_1 x_2} = 4$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $x_1 x_2 = 4^2 = 16$।
द्विघात समीकरण जिसके मूल $x_1$ और $x_2$ हैं,उसका सूत्र है: $x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 18x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $6x^2 - 5x + 1 = 0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = c/a$ होता है।
यहाँ,$\alpha + \beta = -(-5)/6 = 5/6$ और $\alpha \beta = 1/6$ है।
हम सर्वसमिका $\tan^{-1} \alpha + \tan^{-1} \beta = \tan^{-1} \left( \frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta} \right)$ का उपयोग करेंगे।
मान रखने पर: $\tan^{-1} \left( \frac{5/6}{1 - 1/6} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5/6}{5/6} \right) = \tan^{-1}(1)$.
चूंकि $\tan^{-1}(1) = \pi / 4$,इसलिए अंतिम मान $\pi / 4$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - px + q = 0$ है।
मान लीजिए कि $a$ और $b$ समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $a + b = -(\text{x का गुणांक}) / (\text{x}^2 \text{ का गुणांक}) = -(-p) / 1 = p$.
मूलों का गुणनफल: $ab = (\text{अचर पद}) / (\text{x}^2 \text{ का गुणांक}) = q / 1 = q$.
अब,हमें $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$.
$(a + b)$ और $(ab)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{p}{q}$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि दिए गए समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = q$
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^2 = -p$
अब,योग समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर: $(\alpha + \alpha^2)^3 = (-p)^3$
सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -p^3$
समीकरण में $\alpha^3 = q$ और $\alpha + \alpha^2 = -p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$q + q^2 + 3q(-p) = -p^3$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p^3 + q^2 + q - 3pq = 0$
$p^3 + q^2 + q(1 - 3p) = 0$

(A) दिया गया है कि $3$,समीकरण ${x^2} + ax + 3 = 0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x = 3$ रखने पर: ${3^2} + a(3) + 3 = 0$।
$9 + 3a + 3 = 0$ का अर्थ है $3a = -12$,इसलिए $a = -4$।
अब,समीकरण ${x^2} + ax + b = 0$ पर विचार करें। $a = -4$ रखने पर,हमें ${x^2} - 4x + b = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि इस समीकरण के मूल $\alpha$ और $3\alpha$ हैं (क्योंकि एक मूल दूसरे का तीन गुना है)।
मूलों के योग के सूत्र से,$\alpha + 3\alpha = -(-4)/1 = 4$।
$4\alpha = 4$,जिससे $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।
अतः मूल $1$ और $3(1) = 3$ हैं।
मूलों के गुणनफल के सूत्र से,$\alpha \cdot 3\alpha = b/1$।
$1 \cdot 3 = b$,इसलिए $b = 3$।

(D) दिया गया है कि $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,और $\alpha^3 + \beta^3$ एक $G.P.$ में हैं।
अतः,$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = (\alpha + \beta)(\alpha^3 + \beta^3)$।
संबंधों $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$ का उपयोग करते हुए:
$\alpha^2 + \beta^2 = (b^2 - 2ac)/a^2$।
$\alpha^3 + \beta^3 = (-b^3 + 3abc)/a^3$।
इन मानों को $G.P.$ की शर्त में रखने पर:
$((b^2 - 2ac)/a^2)^2 = (-b/a)((-b^3 + 3abc)/a^3)$।
$b^4 + 4a^2c^2 - 4ab^2c = b^4 - 3ab^2c$।
$4a^2c^2 - ab^2c = 0$।
$ac(4ac - b^2) = 0$।
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $c(4ac - b^2) = 0$,जिसका अर्थ है कि $c\Delta = 0$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 - (p + 1)x + (p - 1) = 0$ है।
मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = \frac{p + 1}{2}$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{p - 1}{2}$
दी गई शर्त: $\alpha - \beta = \alpha \beta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha \beta)^2$.
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$.
मान रखने पर: $(\frac{p + 1}{2})^2 - 4(\frac{p - 1}{2}) = (\frac{p - 1}{2})^2$.
$\frac{(p + 1)^2}{4} - 2(p - 1) = \frac{(p - 1)^2}{4}$.
$4$ से गुणा करने पर: $(p + 1)^2 - 8(p - 1) = (p - 1)^2$.
$p^2 + 2p + 1 - 8p + 8 = p^2 - 2p + 1$.
$-6p + 9 = -2p + 1$.
$8 = 4p$.
$p = 2$.

(A) दिया गया है कि $p$ और $q$ द्विघात समीकरण $3x^2 - 5x - 2 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $p + q = -(-5)/3 = 5/3$ और मूलों का गुणनफल $pq = -2/3$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha = 3p - 2q$ और $\beta = 3q - 2p$ हैं।
मूलों का योग $(\alpha + \beta) = (3p - 2q) + (3q - 2p) = p + q = 5/3$ है।
मूलों का गुणनफल $(\alpha \beta) = (3p - 2q)(3q - 2p) = 9pq - 6p^2 - 6q^2 + 4pq = 13pq - 6(p^2 + q^2)$ है।
चूँकि $p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq = (5/3)^2 - 2(-2/3) = 25/9 + 4/3 = 37/9$ है।
मूलों का गुणनफल $= 13(-2/3) - 6(37/9) = -26/3 - 74/3 = -100/3$ है।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - (5/3)x - 100/3 = 0$,जिसे सरल करने पर $3x^2 - 5x - 100 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक $x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots \infty}}}$ है।
चूंकि व्यंजक अनंत है,हम आंतरिक भाग को $x$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं,इसलिए $x = \sqrt{1 + x}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 1 + x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1, b = -1, c = -1$ है,हमें मिलता है:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूंकि $x$ एक धनात्मक योग का वर्गमूल दर्शाता है,इसलिए $x$ का मान $0$ से बड़ा होना चाहिए।
अतः,हम ऋणात्मक मूल $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ को छोड़ देते हैं क्योंकि यह $0$ से छोटा है।
इस प्रकार,$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$।

(C) दिया गया समीकरण: $|x^2| + |x| - 6 = 0$.
चूंकि $|x^2| = |x|^2$,समीकरण को $|x|^2 + |x| - 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$.
समीकरण $t^2 + t - 6 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t + 3)(t - 2) = 0$.
इससे $t = -3$ या $t = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = |x| \ge 0$,हम $t = -3$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$|x| = 2$,जिसका अर्थ है $x = 2$ या $x = -2$.
मूल $2$ और $-2$ हैं।
मूलों का योग $2 + (-2) = 0$ है।

(C) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए मानक द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ है।
आइए विकल्प $(c)$ की जाँच करें: $\frac{2c}{-b \mp \sqrt{b^2 - 4ac}}$.
अंश और हर को $(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{2c(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})}{(-b \mp \sqrt{b^2 - 4ac})(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})} = \frac{2c(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})}{b^2 - (b^2 - 4ac)} = \frac{2c(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})}{4ac} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
अतः,विकल्प $(c)$ मानक द्विघात सूत्र के समतुल्य है।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $2x^2 + 3x + 5\lambda = 0$ और $x^2 + 2x + 3\lambda = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
तब,$2\alpha^2 + 3\alpha + 5\lambda = 0$ --- $(1)$
और $\alpha^2 + 2\alpha + 3\lambda = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2\alpha^2 + 4\alpha + 6\lambda = 0$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(2\alpha^2 + 4\alpha + 6\lambda) - (2\alpha^2 + 3\alpha + 5\lambda) = 0$
$\alpha + \lambda = 0 \implies \alpha = -\lambda$
$\alpha = -\lambda$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\lambda)^2 + 2(-\lambda) + 3\lambda = 0$
$\lambda^2 - 2\lambda + 3\lambda = 0$
$\lambda^2 + \lambda = 0$
$\lambda(\lambda + 1) = 0$
अतः,$\lambda = 0$ या $\lambda = -1$।

(A) समीकरण $x^2 + \lambda x + \mu = 0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = \lambda^2 - 4\mu = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda^2 = 4\mu$।
दिया गया है कि $x = 2$ समीकरण $x^2 + \lambda x - 12 = 0$ का एक मूल है,इसलिए हम समीकरण में $x = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2^2 + \lambda(2) - 12 = 0$
$4 + 2\lambda - 12 = 0$
$2\lambda - 8 = 0$
$2\lambda = 8$
$\lambda = 4$
अब,$\lambda = 4$ को संबंध $\lambda^2 = 4\mu$ में रखने पर:
$4^2 = 4\mu$
$16 = 4\mu$
$\mu = 4$
अतः,$(\lambda, \mu) = (4, 4)$।