QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $2(a^2 + b^2)x^2 + 2(a + b)x + 1 = 0$
मानक द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = 2(a^2 + b^2)$,$B = 2(a + b)$,और $C = 1$
मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम विविक्तकर (discriminant) $D = B^2 - 4AC$ की गणना करते हैं:
$D = [2(a + b)]^2 - 4 \cdot 2(a^2 + b^2) \cdot 1$
$D = 4(a^2 + b^2 + 2ab) - 8(a^2 + b^2)$
$D = 4a^2 + 4b^2 + 8ab - 8a^2 - 8b^2$
$D = -4a^2 - 4b^2 + 8ab$
$D = -4(a^2 + b^2 - 2ab)$
$D = -4(a - b)^2$
चूंकि $(a - b)^2 \ge 0$,इसलिए $-4(a - b)^2 \le 0$ होगा। अतः $D < 0$ (यदि $a \neq b$ हो)।
चूंकि विविक्तकर का मान ऋणात्मक है,इसलिए समीकरण के मूल काल्पनिक हैं।

(B) समीकरण $px^2 + 2qx + r = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D_1 \ge 0$ होना चाहिए।
$D_1 = (2q)^2 - 4(p)(r) = 4q^2 - 4pr \ge 0 \implies q^2 \ge pr$ ... $(i)$
समीकरण $qx^2 - 2\sqrt{pr}x + q = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D_2 \ge 0$ होना चाहिए।
$D_2 = (-2\sqrt{pr})^2 - 4(q)(q) = 4pr - 4q^2 \ge 0 \implies pr \ge q^2$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें $q^2 \ge pr$ और $pr \ge q^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $q^2 = pr$।

(D) समीकरण $ax^2 + x + b = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D_1$ का मान शून्य या शून्य से अधिक होना चाहिए।
$D_1 = (1)^2 - 4ab \ge 0 \implies 1 - 4ab \ge 0 \implies 4ab \le 1$.
अब,दूसरे समीकरण $x^2 - 4\sqrt{ab}x + 1 = 0$ पर विचार करें।
इस समीकरण का विविक्तकर $D_2 = (-4\sqrt{ab})^2 - 4(1)(1)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$D_2 = 16ab - 4 = 4(4ab - 1)$.
चूंकि $4ab \le 1$,इसलिए $4ab - 1 \le 0$ होगा।
अतः,$D_2 \le 0$.
चूंकि विविक्तकर शून्य या शून्य से कम है,इसलिए समीकरण के मूल काल्पनिक होंगे।

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 + ax + b = 0$ और $x^2 + bx + a = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ और $\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ होगा।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2 + a\alpha + b) - (\alpha^2 + b\alpha + a) = 0$.
$\alpha(a - b) - (a - b) = 0$.
$(a - b)(\alpha - 1) = 0$.
चूंकि मूल उभयनिष्ठ हैं,हम मानते हैं कि $a \neq b$,इसलिए $\alpha - 1 = 0$,जिससे $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $1^2 + a(1) + b = 0$.
$1 + a + b = 0$.
अतः,$a + b = -1$।

(D) दिए गए समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए,$x > 0$ होना चाहिए। दोनों पक्षों में $2$ आधार पर लघुगणक लेने पर:
$((\frac{3}{4})(\log_2 x)^2 + (\log_2 x) - \frac{5}{4}) \cdot \log_2 x = \log_2(\sqrt{2})$
माना $t = \log_2 x$ है। तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$(\frac{3}{4}t^2 + t - \frac{5}{4}) \cdot t = \frac{1}{2}$
$4$ से गुणा करने पर:
$(3t^2 + 4t - 5)t = 2$
$3t^3 + 4t^2 - 5t - 2 = 0$
गुणनखंड करने पर,$t = 1$ एक मूल है। $(t - 1)$ से भाग देने पर:
$(t - 1)(3t^2 + 7t + 2) = 0$
$(t - 1)(3t + 1)(t + 2) = 0$
अतः,$t = 1, -2, -1/3$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $t = \log_2 x$,इसलिए $x = 2^1 = 2$,$x = 2^{-2} = 1/4$,और $x = 2^{-1/3} = 1/\sqrt[3]{2}$ प्राप्त होते हैं।
ये तीनों हल वास्तविक हैं,और $1/\sqrt[3]{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। अतः,सभी कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सही हैं।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल द्विघाती सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
स्थिति $(i)$: यदि विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \ge 0$ है,तो मूल वास्तविक होते हैं।
चूंकि $a, b, c > 0$ है,इसलिए $\sqrt{b^2 - 4ac} < \sqrt{b^2} = b$ होगा। अतः,$-b + \sqrt{b^2 - 4ac} < 0$ और $-b - \sqrt{b^2 - 4ac} < 0$ प्राप्त होता है। $2a > 0$ होने के कारण,दोनों मूल ऋणात्मक हैं।
स्थिति $(ii)$: यदि $D = b^2 - 4ac < 0$ है,तो मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं:
$x = \frac{-b}{2a} \pm i \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$
यहाँ,वास्तविक भाग $-\frac{b}{2a}$ है। चूंकि $a > 0$ और $b > 0$ है,इसलिए वास्तविक भाग $-\frac{b}{2a}$ ऋणात्मक है।
दोनों स्थितियों में,मूलों का वास्तविक भाग ऋणात्मक होता है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 - (k - 1)x + 8 = 0$ है।
समीकरण के मूल समान और वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ है।
यहाँ,$a = 2$,$b = -(k - 1)$,और $c = 8$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(-(k - 1))^2 - 4(2)(8) = 0$
$(k - 1)^2 - 64 = 0$
$(k - 1)^2 = 64$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$k - 1 = \pm 8$
स्थिति $1$: $k - 1 = 8 \Rightarrow k = 9$
स्थिति $2$: $k - 1 = -8 \Rightarrow k = -7$
अतः,$k$ के मान $9$ और $-7$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: $2x^2 + 3x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 3$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ होता है।
$D = (3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$ है।
चूंकि $D > 0$ है और $D$ एक पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल वास्तविक और परिमेय हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 \pm 1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ और $x_2 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ हैं।
दोनों मूल,$-\frac{1}{2}$ और $-1$,परिमेय संख्याएँ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $(l - m)x^2 - 5(l + m)x - 2(l - m) = 0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = (l - m)$,$b = -5(l + m)$,और $c = -2(l - m)$ है।
इन मानों को $D$ के सूत्र में रखने पर:
$D = [-5(l + m)]^2 - 4(l - m)[-2(l - m)]$
$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2$.
चूंकि $l$ और $m$ वास्तविक हैं और $l \ne m$,इसलिए $(l - m)^2 > 0$ है। साथ ही,$(l + m)^2 \ge 0$ है।
अतः,$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2 > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि विविक्तकर $D$ शून्य से बड़ा है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(C) द्विघात समीकरण ${x^2} - 8x + ({a^2} - 6a) = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान शून्य या शून्य से अधिक होना चाहिए $(D \ge 0)$।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$,जहाँ $a = 1$,$b = -8$,और $c = ({a^2} - 6a)$ है।
इन मानों को रखने पर: $D = (-8)^2 - 4(1)({a^2} - 6a) \ge 0$।
$64 - 4({a^2} - 6a) \ge 0$।
$4$ से भाग देने पर: $16 - ({a^2} - 6a) \ge 0$।
$16 - {a^2} + 6a \ge 0$।
$-1$ से गुणा करने पर (असमिका का चिह्न बदल जाएगा): ${a^2} - 6a - 16 \le 0$।
गुणनखंड करने पर: $(a - 8)(a + 2) \le 0$।
दो गुणनखंडों का गुणनफल शून्य या शून्य से कम होने के लिए,$a$ का मान समीकरण $(a - 8)(a + 2) = 0$ के मूलों,यानी $a = 8$ और $a = -2$ के बीच होना चाहिए।
अतः,$a$ का परिसर $-2 \le a \le 8$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण: ${x^2} + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$.
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$b = 2\sqrt{3}$,और $c = 3$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ की गणना $D = b^2 - 4ac$ के रूप में की जाती है।
मान रखने पर: $D = (2\sqrt{3})^2 - 4(1)(3) = 12 - 12 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं।
मूल $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 0}{2(1)} = -\sqrt{3}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
चूंकि $-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए मूल अपरिमेय और समान हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $(\cos p - 1)x^2 + (\cos p)x + \sin p = 0$ है।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान शून्य या शून्य से अधिक होना चाहिए $(D \ge 0)$।
$D = b^2 - 4ac = (\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \ge 0$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \ge 0$ प्राप्त होता है।
इसे $(\cos p - 2\sin p)^2 - 4\sin^2 p + 4\sin p \ge 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(\cos p - 2\sin p)^2 + 4\sin p(1 - \sin p) \ge 0$।
चूंकि सभी वास्तविक $p$ के लिए $(\cos p - 2\sin p)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए असमिका तब सत्य होगी यदि $4\sin p(1 - \sin p) \ge 0$ हो।
चूंकि सभी वास्तविक $p$ के लिए $(1 - \sin p) \ge 0$ होता है,इसलिए हमें $\sin p \ge 0$ की आवश्यकता है।
अंतराल $(0, 2\pi)$ में,$\sin p \ge 0$ का मान $p \in (0, \pi)$ के लिए सत्य है।

(C) दी गई व्यंजक $f(x, y) = x^2 + 2x(1 + y) + (my - 3)$ है।
व्यंजक के परिमेय गुणनखंड होने के लिए,$x$ के सापेक्ष इसका विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
विविक्तकर $D = [2(1 + y)]^2 - 4(1)(my - 3)$ द्वारा दिया जाता है।
$D = 4(1 + y)^2 - 4(my - 3) = 4(1 + y^2 + 2y - my + 3) = 4(y^2 + (2 - m)y + 4)$।
$D$ के पूर्ण वर्ग होने के लिए,द्विघात व्यंजक $y^2 + (2 - m)y + 4$ को $(y \pm 2)^2$ के रूप में एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$(y \pm 2)^2$ का विस्तार करने पर,हमें $y^2 \pm 4y + 4$ प्राप्त होता है।
$y^2 + (2 - m)y + 4$ की तुलना $y^2 \pm 4y + 4$ से करने पर,हमें $2 - m = \pm 4$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $2 - m = 4 \Rightarrow m = -2$।
स्थिति $2$: $2 - m = -4 \Rightarrow m = 6$।
अतः,$m$ के मान $6$ और $-2$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2ax^2 + (2a + b)x + b = 0$ है,जहाँ $a \ne 0$ है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ का विविक्तकर (discriminant) $D = B^2 - 4AC$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 2a$,$B = (2a + b)$,और $C = b$ है।
इन मानों को $D$ के सूत्र में रखने पर:
$D = (2a + b)^2 - 4(2a)(b)$
$D = 4a^2 + 4ab + b^2 - 8ab$
$D = 4a^2 - 4ab + b^2$
$D = (2a - b)^2$
चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,इसलिए $(2a - b)^2$ एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग है।
परिमेय गुणांक वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग है,तो मूल हमेशा परिमेय होते हैं।
अतः,दिए गए समीकरण के मूल परिमेय हैं।

(B) $Ax^2 + Bx + C = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं यदि विविक्तकर (discriminant) $D = B^2 - 4AC > 0$ हो।
दिए गए समीकरण $ax^2 + 0x + b = 0$ में,हमारे पास $A = a$,$B = 0$ और $C = b$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = (0)^2 - 4(a)(b) > 0$
$-4ab > 0$
दोनों पक्षों को $-4$ से विभाजित करने पर (जिससे असमिका का चिह्न बदल जाएगा):
$ab < 0$
अतः,मूल वास्तविक और भिन्न होंगे यदि $ab < 0$ हो।

(B) मान लीजिए कि पहले समीकरण $2x^2 - 5x + 1 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
तब,$\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$ होगा।
मान लीजिए कि दूसरे समीकरण $x^2 + 5x + 2 = 0$ के मूल $\gamma$ और $\delta$ हैं।
तब,$\gamma \delta = \frac{2}{1} = 2$ होगा।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि यदि $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ हैं,तो $cx^2 + bx + a = 0$ के मूल $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ होते हैं।
यहाँ,पहला समीकरण $2x^2 - 5x + 1 = 0$ है और दूसरा $x^2 + 5x + 2 = 0$ है। यदि हम $x$ को $-1/x$ से प्रतिस्थापित करते हैं,तो हमें $2(-1/x)^2 - 5(-1/x) + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + 5x + 2 = 0$ बन जाता है।
अतः,दूसरे समीकरण के मूल पहले समीकरण के मूलों के ऋणात्मक व्युत्क्रम हैं। इसलिए,वे व्युत्क्रम और विपरीत चिह्न वाले हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जहाँ $a, b, c \in Q$ और $a + b + c = 0$ है।
चूँकि $a + b + c = 0$,इसलिए $b = -(a + c)$ होगा।
द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ होता है।
$b = -(a + c)$ प्रतिस्थापित करने पर,$D = (-(a + c))^2 - 4ac = (a + c)^2 - 4ac$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$D = a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2$ मिलता है।
चूँकि $a, c \in Q$,$(a - c)^2$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग है,जो हमेशा $\ge 0$ होता है।
चूँकि विविक्तकर $D$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग है,मूल $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + c \pm (a - c)}{2a}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
इससे $x_1 = \frac{2a}{2a} = 1$ और $x_2 = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a}$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि $a, c \in Q$ और $a \neq 0$,इसलिए दोनों मूल परिमेय संख्याएँ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $(b + c - 2a)x^2 + (c + a - 2b)x + (a + b - 2c) = 0$ है।
मान लीजिए गुणांक $A = (b + c - 2a)$,$B = (c + a - 2b)$,और $C = (a + b - 2c)$ हैं।
गुणांकों का योग $A + B + C = (b + c - 2a) + (c + a - 2b) + (a + b - 2c) = (a + a - 2a) + (b + b - 2b) + (c + c - 2c) = 0$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण का एक मूल $x = 1$ होगा।
चूंकि $a, b, c \in \mathbb{Q}$ है,इसलिए गुणांक $A, B, C$ परिमेय संख्याएँ हैं।
परिमेय गुणांक वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि एक मूल परिमेय है,तो दूसरा मूल भी परिमेय ही होगा (क्योंकि मूलों का गुणनफल $C/A$ भी परिमेय होता है)।
अतः,मूल परिमेय हैं।

(D) दिया गया व्यंजक $f(x) = x^2 + 2bx + c$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$f(x) = (x^2 + 2bx + b^2) - b^2 + c$
$f(x) = (x + b)^2 + (c - b^2)$
चूंकि $(x + b)^2 \ge 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए,व्यंजक $f(x)$ हमेशा धनात्मक होगा यदि अचर पद $(c - b^2)$ का मान $0$ से अधिक हो।
अतः,$c - b^2 > 0$,जिसका अर्थ है $c > b^2$ या $b^2 < c$।

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ रूप के द्विघात समीकरण के लिए,यदि मूल समान हैं तो विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होता है।
यहाँ,$a = 4$,$b = p$,और $c = 9$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$p^2 - 4(4)(9) = 0$
$p^2 - 144 = 0$
$p^2 = 144$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $p = \pm 12$ प्राप्त होता है।
$p$ का निरपेक्ष मान $|p| = |\pm 12| = 12$ है।

(A) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल समान होने के लिए विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = (c^2 - ab)$,$B = -2(a^2 - bc)$,और $C = (b^2 - ac)$ है।
$D = 0$ रखने पर:
$[-2(a^2 - bc)]^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0$
$4(a^2 - bc)^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$(a^4 - 2a^2bc + b^2c^2) - (b^2c^2 - ac^3 - ab^3 + a^2bc) = 0$
$a^4 - 2a^2bc + b^2c^2 - b^2c^2 + ac^3 + ab^3 - a^2bc = 0$
$a^4 - 3a^2bc + ac^3 + ab^3 = 0$
$a$ कॉमन लेने पर:
$a(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$
अतः,शर्त $a = 0$ या $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ है।

(A) मान लीजिए कि ${D_1}$ और ${D_2}$ क्रमशः ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ और ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ समीकरणों के विविक्तकर (discriminants) हैं।
विविक्तकर ${D_1} = b_1^2 - 4{c_1}$ और ${D_2} = b_2^2 - 4{c_2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
इनका योग करने पर,${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 4({c_1} + {c_2})$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि ${b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2})$,इसलिए हम $4({c_1} + {c_2}) = 2{b_1}{b_2}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 2{b_1}{b_2} = {(b_1 - b_2)^2}$.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा अ-ऋणात्मक (non-negative) होता है,इसलिए ${D_1} + {D_2} \ge 0$ होगा।
यदि दो वास्तविक संख्याओं का योग अ-ऋणात्मक है,तो उनमें से कम से कम एक संख्या अ-ऋणात्मक होनी चाहिए। अतः,${D_1} \ge 0$ या ${D_2} \ge 0$ होगा।
एक द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होते हैं यदि उसका विविक्तकर शून्य या शून्य से अधिक हो। इस प्रकार,कम से कम एक समीकरण के मूल वास्तविक होंगे।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $k{x^2} + 1 = kx + 3x - 11{x^2}$ है।
पदों को मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(k + 11)x^2 - (k + 3)x + 1 = 0$.
किसी द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (k + 11)$,$b = -(k + 3)$,और $c = 1$ है।
इन मानों को $D = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-(k + 3))^2 - 4(k + 11)(1) = 0$
$(k^2 + 6k + 9) - 4k - 44 = 0$
$k^2 + 2k - 35 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$k^2 + 7k - 5k - 35 = 0$
$k(k + 7) - 5(k + 7) = 0$
$(k - 5)(k + 7) = 0$
अतः,$k = 5$ या $k = -7$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। तब $f(0) = c$ है। अतः,$y = f(x)$ का ग्राफ $y$-अक्ष को $(0, c)$ पर मिलता है।
यदि $c > 0$ है,तो परिकल्पना के अनुसार $f(x) > 0$ है। इसका अर्थ है कि वक्र $y = f(x)$ $x$-अक्ष को नहीं काटता है।
यदि $c < 0$ है,तो परिकल्पना के अनुसार $f(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि वक्र $y = f(x)$ हमेशा $x$-अक्ष के नीचे रहता है और इसलिए यह $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है।
अतः,दोनों स्थितियों में $y = f(x)$ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है,अर्थात किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) \neq 0$ है।
इसलिए,समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,जिसका अर्थ है कि विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ है।
अतः,$b^2 < 4ac$ या $4ac > b^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{a}{x + a + m} + \frac{b}{x + b + m} = 1$.
दोनों पक्षों को $(x + a + m)(x + b + m)$ से गुणा करने पर:
$a(x + b + m) + b(x + a + m) = (x + a + m)(x + b + m)$.
$ax + ab + am + bx + ab + bm = x^2 + bx + mx + ax + ab + am + mx + bm + m^2$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$ax + bx + 2ab + am + bm = x^2 + ax + bx + 2mx + ab + am + bm + m^2$.
दोनों पक्षों से समान पदों $(ax + bx + am + bm)$ को हटाने पर:
$2ab = x^2 + 2mx + ab + m^2$.
इसे मानक द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 2mx + m^2 - ab = 0$.
यदि मूल परिमाण में समान लेकिन विपरीत चिह्न के हैं,तो मूलों का योग $0$ होना चाहिए।
चूंकि मूलों का योग $= -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}} = -\frac{2m}{1} = -2m$.
अतः,$-2m = 0$ रखने पर,$m = 0$ प्राप्त होता है।

(D) द्विघात समीकरण $At^2 + Bt + C = 0$ के लिए,यदि विविक्तकर (discriminant) $D = B^2 - 4AC = 0$ हो,तो मूल समान होते हैं।
यहाँ,$A = (a^2 + b^2)$,$B = -2(ac + bd)$,और $C = (c^2 + d^2)$ है।
$B^2 - 4AC = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[-2(ac + bd)]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$4(ac + bd)^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$(ac + bd)^2 - (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd - (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
$a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd - a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 - b^2d^2 = 0$
$2abcd - a^2d^2 - b^2c^2 = 0$
$-(a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd) = 0$
$(ad - bc)^2 = 0$
$ad - bc = 0 \Rightarrow ad = bc$
दोनों पक्षों को $bd$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ प्राप्त होता है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1$,$b = -2(1 + 3k)$,और $c = 7(3 + 2k)$ है।
$D = 0$ रखने पर:
$[-2(1 + 3k)]^2 - 4(1)(7(3 + 2k)) = 0$
$4(1 + 3k)^2 - 28(3 + 2k) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$(1 + 3k)^2 - 7(3 + 2k) = 0$
$1 + 6k + 9k^2 - 21 - 14k = 0$
$9k^2 - 8k - 20 = 0$
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$9k^2 - 18k + 10k - 20 = 0$
$9k(k - 2) + 10(k - 2) = 0$
$(9k + 10)(k - 2) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -\frac{10}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 8x + (a^2 - 6a) = 0$ है।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान शून्य या शून्य से अधिक होना चाहिए $(D \ge 0)$।
यहाँ,$A = 1$,$B = -8$,और $C = a^2 - 6a$ है।
$D = B^2 - 4AC = (-8)^2 - 4(1)(a^2 - 6a) \ge 0$।
$64 - 4a^2 + 24a \ge 0$।
$-4$ से भाग देने पर (और असमिका का चिह्न बदलने पर): $a^2 - 6a - 16 \le 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a - 8)(a + 2) \le 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a$ का मान $-2$ और $8$ के बीच हो।
अतः,$a \in [-2, 8]$।

(C) द्विघात समीकरण $px^2 + qx + 1 = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = q^2 - 4(p)(1) \ge 0$
$q^2 \ge 4p$
यहाँ $p, q \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए संभावित मानों की जाँच करते हैं:
यदि $p = 1$ है,तो $q^2 \ge 4$,जिससे $q \in \{2, 3, 4\}$ ($3$ मान)।
यदि $p = 2$ है,तो $q^2 \ge 8$,जिससे $q \in \{3, 4\}$ ($2$ मान)।
यदि $p = 3$ है,तो $q^2 \ge 12$,जिससे $q = 4$ ($1$ मान)।
यदि $p = 4$ है,तो $q^2 \ge 16$,जिससे $q = 4$ ($1$ मान)।
समीकरणों की कुल संख्या = $3 + 2 + 1 + 1 = 7$।

(C) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1$,$b = -(3k - 1)$,और $c = 2k^2 + 2k - 11$ है।
इन मानों को $b^2 - 4ac = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-(3k - 1))^2 - 4(1)(2k^2 + 2k - 11) = 0$
$(3k - 1)^2 - 4(2k^2 + 2k - 11) = 0$
$9k^2 - 6k + 1 - 8k^2 - 8k + 44 = 0$
$k^2 - 14k + 45 = 0$
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(k - 5)(k - 9) = 0$
अतः,$k = 5$ या $k = 9$ प्राप्त होता है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac > 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (k - 2)$,$b = 8$,और $c = (k + 4)$ है।
$D = 8^2 - 4(k - 2)(k + 4) > 0$
$64 - 4(k^2 + 2k - 8) > 0$
$16 - (k^2 + 2k - 8) > 0$
$-k^2 - 2k + 24 > 0 \Rightarrow k^2 + 2k - 24 < 0$
$(k + 6)(k - 4) < 0$,जिसका अर्थ है $-6 < k < 4$।
मूलों के ऋणात्मक होने के लिए,मूलों का योग $-b/a = -8/(k - 2) < 0$ और मूलों का गुणनफल $c/a = (k + 4)/(k - 2) > 0$ होना चाहिए।
$-8/(k - 2) < 0$ से,हमें $k - 2 > 0 \Rightarrow k > 2$ प्राप्त होता है।
$(k + 4)/(k - 2) > 0$ से,हमें $k > 2$ या $k < -4$ प्राप्त होता है।
इन शर्तों को $-6 < k < 4$ के साथ संयोजित करने पर,हमें $2 < k < 4$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$k = 3$ शर्त $2 < 3 < 4$ को संतुष्ट करता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 2kx + 4 = 0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों की प्रकृति विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
यहाँ,$a = 1$,$b = 2k$,और $c = 4$ है।
$D = (2k)^2 - 4(1)(4) = 4k^2 - 16$।
मूलों के वास्तविक और असमान होने के लिए,$D > 0$ होना चाहिए।
$4k^2 - 16 > 0 \Rightarrow 4(k^2 - 4) > 0 \Rightarrow k^2 > 4$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $k > 2$ या $k < -2$ हो।
अतः,$k \in ( - \infty , - 2) \cup (2, \infty )$।
इसलिए,मूल वास्तविक और असमान हैं।

(B) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (m - n)$,$b = (n - l)$,और $c = (l - m)$ है।
शर्त $b^2 - 4ac = 0$ में मान रखने पर:
$(n - l)^2 - 4(m - n)(l - m) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(n^2 + l^2 - 2nl) - 4(ml - m^2 - nl + mn) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4ml + 4m^2 + 4nl - 4mn = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$l^2 + n^2 + (2m)^2 + 2nl - 4mn - 4ml = 0$
यह व्यंजक $(l + n - 2m)^2 = 0$ का विस्तार है।
अतः,$l + n - 2m = 0$,जिसका अर्थ है कि $2m = n + l$।
यह दर्शाता है कि $l, m, n$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(D) द्विघात समीकरण ${ax^2} + bx + c = 0$ के मूल काल्पनिक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $0$ से कम होना चाहिए।
$D = {b^2} - 4ac < 0$
यहाँ,$a = 1$,$b = 5$,और $c = k$ है।
इन मानों को असमिका में रखने पर:
${5^2} - 4(1)(k) < 0$
$25 - 4k < 0$
$25 < 4k$
$k > \frac{25}{4}$
$k > 6.25$
चूंकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $6.25$ से बड़ा न्यूनतम पूर्णांक $7$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,यदि मूल समान हैं तो विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होता है।
दिए गए समीकरण $4x^2 + 6px + 1 = 0$ में,$a = 4$,$b = 6p$ और $c = 1$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(6p)^2 - 4(4)(1) = 0$
$36p^2 - 16 = 0$
$36p^2 = 16$
$p^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $p = \pm \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि विकल्प में $\frac{2}{3}$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $\frac{2}{3}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $(1 + 2k){x^2} + (1 - 2k)x + (1 - 2k) = 0$ है।
एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के पूर्ण वर्ग होने के लिए,उसका विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (1 + 2k)$,$b = (1 - 2k)$,और $c = (1 - 2k)$ है।
$D = 0$ रखने पर:
$(1 - 2k)^2 - 4(1 + 2k)(1 - 2k) = 0$.
$(1 - 2k)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(1 - 2k) [(1 - 2k) - 4(1 + 2k)] = 0$.
$(1 - 2k) [1 - 2k - 4 - 8k] = 0$.
$(1 - 2k) (-3 - 10k) = 0$.
इससे $k$ के दो मान प्राप्त होते हैं:
$1 - 2k = 0 \implies k = 1/2$.
$-3 - 10k = 0 \implies k = -3/10$.
अतः,$k$ के कुल $2$ मानों के लिए यह समीकरण एक पूर्ण वर्ग है।

(A) दिया गया है कि $\sin A, \sin B, \cos A$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $\sin^2 B = \sin A \cos A$ होगा।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2 \sin^2 B = 2 \sin A \cos A$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 - \cos 2B = \sin 2A$।
अतः,$\cos 2B = 1 - \sin 2A$। चूंकि $\sin 2A$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $1 - \sin 2A \ge 0$,जिससे $\cos 2B \ge 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण ${x^2} + 2x \cot B + 1 = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (2 \cot B)^2 - 4(1)(1) = 4 \cot^2 B - 4 = 4(\cot^2 B - 1)$ है।
सर्वसमिका $\cot^2 B - 1 = \frac{\cos^2 B - \sin^2 B}{\sin^2 B} = \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$ का उपयोग करने पर,$D = 4 \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 2B \ge 0$ और $\sin^2 B > 0$ है,इसलिए $D \ge 0$ होगा।
अतः,द्विघात समीकरण के मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(D) माना कि चार वास्तविक मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0$ है।
इसे $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sum \alpha = 4$,$\sum \alpha\beta = a$,$\sum \alpha\beta\gamma = -b$,और $\alpha\beta\gamma\delta = 1$.
वास्तविक धनात्मक मूलों के लिए,समांतर माध्य $(AM)$ $\ge$ गुणोत्तर माध्य $(GM)$.
$AM = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$GM = (\alpha\beta\gamma\delta)^{1/4} = (1)^{1/4} = 1$.
चूंकि $AM = GM = 1$,इसलिए सभी मूल समान होने चाहिए,अर्थात $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$.
अब,$a = \sum \alpha\beta = \binom{4}{2} \times (1 \times 1) = 6 \times 1 = 6$.
$-b = \sum \alpha\beta\gamma = \binom{4}{3} \times (1 \times 1 \times 1) = 4 \times 1 = 4$,इसलिए $b = -4$.
अतः,$a = 6$ और $b = -4$.

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ रूप के द्विघात समीकरण के लिए,यदि एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम है,तो मूलों का गुणनफल $1$ होता है।
माना मूल $\alpha$ और $\frac{1}{\alpha}$ हैं।
मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{k}{5}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1$,इसलिए $1 = \frac{k}{5}$ होगा।
अतः,$k = 5$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $4x^2 + 3x + 7 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 4$,$b = 3$ और $c = 7$ प्राप्त होता है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{4}$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{7}{4}$ है।
हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{-3/4}{7/4} = -\frac{3}{4} \times \frac{4}{7} = -\frac{3}{7}$।

(B) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{C}{A}$ और मूलों का योगफल $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ होता है।
दिए गए समीकरण $(a + 1)x^2 + (2a + 3)x + (3a + 4) = 0$ में,$A = a + 1$,$B = 2a + 3$,और $C = 3a + 4$ है।
चूंकि मूलों का गुणनफल $2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{3a + 4}{a + 1} = 2$ है।
$a$ के लिए हल करने पर: $3a + 4 = 2(a + 1) \Rightarrow 3a + 4 = 2a + 2 \Rightarrow a = -2$ प्राप्त होता है।
अब,मूलों का योगफल $\alpha + \beta = -\frac{2a + 3}{a + 1}$ है।
$a = -2$ का मान मूलों के योगफल के व्यंजक में रखने पर:
योगफल $= -\frac{2(-2) + 3}{-2 + 1} = -\frac{-4 + 3}{-1} = -\frac{-1}{-1} = -1$।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
अब,समीकरण $cx^2 + bx + a = 0$ पर विचार करें। मान लीजिए कि इसके मूल $\alpha'$ और $\beta'$ हैं।
इस समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha' + \beta' = -\frac{b}{c}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha'\beta' = \frac{a}{c}$ है।
मूल मूलों के व्युत्क्रमों का योग इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$.
इसी प्रकार,व्युत्क्रमों का गुणनफल:
$\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{c/a} = \frac{a}{c}$.
चूंकि $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ का योग और गुणनफल समीकरण $cx^2 + bx + a = 0$ के मूलों के योग और गुणनफल के समान है,इसलिए इसके मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
माना नए मूल $S_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}$ और $S_2 = \beta + \frac{1}{\alpha}$ हैं।
नए मूलों का योग: $S_1 + S_2 = (\alpha + \beta) + (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = (\alpha + \beta) + \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = -\frac{b}{a} + \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{a} - \frac{b}{c} = -\frac{b(a+c)}{ac}$.
नए मूलों का गुणनफल: $S_1 \cdot S_2 = (\alpha + \frac{1}{\beta})(\beta + \frac{1}{\alpha}) = \alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta} = \alpha\beta + 2 + \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{c}{a} + 2 + \frac{a}{c} = \frac{c^2 + 2ac + a^2}{ac} = \frac{(a+c)^2}{ac}$.
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - [-\frac{b(a+c)}{ac}]x + \frac{(a+c)^2}{ac} = 0$.
$ac$ से गुणा करने पर,हमें $acx^2 + b(a+c)x + (a+c)^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\alpha$ प्रथम समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है। तब,$\frac{1}{\alpha}$ दूसरे समीकरण $a'x^2 + b'x + c' = 0$ का एक मूल है।
प्रथम समीकरण के लिए: $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$.
दूसरे समीकरण के लिए: $a'(\frac{1}{\alpha})^2 + b'(\frac{1}{\alpha}) + c' = 0$,जिसे सरल करने पर $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरणों की प्रणाली के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^2}{ba' - b'c} = \frac{\alpha}{cc' - aa'} = \frac{1}{ab' - bc'}$.
दूसरे और तीसरे पद से: $\alpha = \frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}$.
पहले और तीसरे पद से: $\alpha^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$.
$(\frac{cc' - aa'}{ab' - bc'})^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$ को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(cc' - aa')^2 = (ba' - b'c)(ab' - bc')$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + 2(a + b)x + a^2 + b^2 = 0$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{2(a + b)}{2} = -(a + b)$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{a^2 + b^2}{2}$.
अब,नए मूलों की गणना करते हैं:
मूल $1 = (\alpha + \beta)^2 = (-(a + b))^2 = (a + b)^2$.
मूल $2 = (\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (a + b)^2 - 4(\frac{a^2 + b^2}{2}) = a^2 + 2ab + b^2 - 2a^2 - 2b^2 = -(a^2 - 2ab + b^2) = -(a - b)^2$.
अभीष्ट समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
नए मूलों का योग $= (a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab$.
नए मूलों का गुणनफल $= (a + b)^2 \times (-(a - b)^2) = -((a + b)(a - b))^2 = -(a^2 - b^2)^2$.
अतः,समीकरण $x^2 - 4abx - (a^2 - b^2)^2 = 0$ है।

(A) चूंकि गुणांक $p$ और $q$ वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
यह दिया गया है कि $2 + i\sqrt{3}$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $2 - i\sqrt{3}$ भी समीकरण का एक मूल होगा।
द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $-p$ होता है और मूलों का गुणनफल $q$ होता है।
मूलों का योग: $(2 + i\sqrt{3}) + (2 - i\sqrt{3}) = 4$। अतः,$-p = 4$,जिसका अर्थ है $p = -4$।
मूलों का गुणनफल: $(2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3}) = 2^2 - (i\sqrt{3})^2 = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$। अतः,$q = 7$।
इसलिए,$(p, q) = (-4, 7)$।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योगफल $-\frac{b}{a}$ होता है और मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
दिए गए समीकरण $\lambda x^2 + 2x + 3\lambda = 0$ में,$a = \lambda$,$b = 2$,और $c = 3\lambda$ है।
मूलों का योगफल $= -\frac{2}{\lambda}$.
मूलों का गुणनफल $= \frac{3\lambda}{\lambda} = 3$.
प्रश्न के अनुसार,मूलों का योगफल उनके गुणनफल के बराबर है:
$-\frac{2}{\lambda} = 3$.
दोनों पक्षों को $\lambda$ से गुणा करने पर,हमें $-2 = 3\lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = -\frac{2}{3}$.
चूंकि $-\frac{2}{3}$ विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 6x + \lambda = 0$ है।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\alpha + \beta = -6$ $(i)$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \lambda$ $(ii)$ होता है।
हमें रैखिक समीकरण $3\alpha + 2\beta = -20$ $(iii)$ भी दिया गया है।
समीकरण $(i)$ से,$\beta = -6 - \alpha$ प्राप्त होता है। इस मान को $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\alpha + 2(-6 - \alpha) = -20$
$3\alpha - 12 - 2\alpha = -20$
$\alpha = -20 + 12 = -8$.
अब,$(i)$ का उपयोग करके $\beta$ ज्ञात करें:
$\beta = -6 - (-8) = 2$.
अंत में,$\lambda$ ज्ञात करने के लिए $\alpha$ और $\beta$ के मानों को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda = \alpha \beta = (-8)(2) = -16$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 - 3x + 4 = 0$ है।
इस समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-3)/2 = 3/2$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = 4/2 = 2$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^2$ और $\beta^2$ हैं।
नए मूलों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (3/2)^2 - 2(2) = 9/4 - 4 = (9 - 16)/4 = -7/4$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (2)^2 = 4$ है।
अपेक्षित द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - (-7/4)x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2 + 7/4x + 4 = 0$.
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर,हमें $4x^2 + 7x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण: ${x^2} - a(x + 1) - b = 0$
समीकरण का विस्तार करने पर: ${x^2} - ax - a - b = 0$
इसे मानक रूप ${x^2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = a$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = -(a + b)$
हमें व्यंजक $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + \alpha + \beta + 1$
$\alpha + \beta$ और $\alpha \beta$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= -(a + b) + a + 1$
$= -a - b + a + 1$
$= 1 - b$