QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(B) दी गई असमिका: $2x^2 + 3x - 9 \le 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $2x^2 + 6x - 3x - 9 \le 0$
$2x(x + 3) - 3(x + 3) \le 0$
$(2x - 3)(x + 3) \le 0$
समीकरण $2x^2 + 3x - 9 = 0$ के मूल $x = 3/2$ और $x = -3$ हैं।
द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c \le 0$ के लिए जहाँ $a > 0$ है,हल मूलों के बीच स्थित होता है,अर्थात $\text{root}_1 \le x \le \text{root}_2$।
अतः,हल $-3 \le x \le 3/2$ है।

(C) एक द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल विपरीत चिह्न के होने के लिए,मूलों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए।
मूलों का गुणनफल $\frac{C}{A}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$A = 3$ और $C = a^2 - 3a + 2$ है।
अतः,हमें $\frac{a^2 - 3a + 2}{3} < 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $a^2 - 3a + 2 < 0$।
इस द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(a - 1)(a - 2) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $1 < a < 2$ हो।
इसके अतिरिक्त,मूलों के वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ का मान $0$ से बड़ा या बराबर होना चाहिए। चूंकि मूलों का गुणनफल ऋणात्मक है,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न होने की गारंटी है,अतः विविक्तकर की शर्त अंतराल $(1, 2)$ में सभी $a$ के लिए स्वतः संतुष्ट हो जाती है।

(C) दिया गया है कि $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha\beta = q$ है।
दिया गया है कि $x^2 - xr + s = 0$ के मूल $\alpha^4$ और $\beta^4$ हैं,इसलिए $\alpha^4 + \beta^4 = r$ और $\alpha^4\beta^4 = s$ है।
अब,समीकरण $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ के लिए विविक्तकर (discriminant) $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = (-4q)^2 - 4(1)(2q^2 - r) = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$.
यहाँ $q = \alpha\beta$ और $r = \alpha^4 + \beta^4$ रखने पर:
$D = 8(\alpha\beta)^2 + 4(\alpha^4 + \beta^4) = 4(2\alpha^2\beta^2 + \alpha^4 + \beta^4) = 4(\alpha^2 + \beta^2)^2$.
चूँकि $(\alpha^2 + \beta^2)^2 \ge 0$ सभी वास्तविक $\alpha, \beta$ के लिए सत्य है,इसलिए $D \ge 0$ होगा।
अतः,समीकरण $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ के मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(C) दिया गया व्यंजक $f(x) = mx - 1 + \frac{1}{x} \ge 0$ है,जहाँ $x > 0$ है।
$x$ से गुणा करने पर ($x > 0$ होने के कारण),हमें $mx^2 - x + 1 \ge 0$ प्राप्त होता है।
किसी द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ के लिए,यदि वह सभी $x > 0$ के लिए अ-ऋणात्मक है,तो $a > 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = m$,$b = -1$,और $c = 1$ है।
शर्त $1$: $a > 0 \implies m > 0$.
शर्त $2$: $D = b^2 - 4ac \le 0 \implies (-1)^2 - 4(m)(1) \le 0$.
$1 - 4m \le 0 \implies 4m \ge 1 \implies m \ge \frac{1}{4}$.
अतः,$m > 0$ और $m \ge \frac{1}{4}$ होने के कारण,$m$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{4}$ है।

(C) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,यदि विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = 0$ हो,तो मूल समान होते हैं।
यहाँ,$A = a(b - c)$,$B = b(c - a)$,और $C = c(a - b)$ है।
गुणांकों का योग: $A + B + C = a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0$ है।
चूंकि गुणांकों का योग $0$ है,इसलिए $x = 1$ एक मूल है।
चूंकि मूल समान हैं,इसलिए दोनों मूल $1$ होने चाहिए।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $C/A$ होता है।
अतः,$1 \times 1 = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$।
$a(b - c) = c(a - b) \Rightarrow ab - ac = ac - bc$।
$ab + bc = 2ac$।
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(A) माना समीकरण $lx^2 + nx + n = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूलों का अनुपात $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$ है।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,$\alpha + \beta = -\frac{n}{l}$ और $\alpha\beta = \frac{n}{l}$ होता है।
हमें $\sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} + \sqrt{\frac{n}{l}}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{p}{q} = \frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{q}{p} = \frac{\beta}{\alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta}$ बन जाता है।
इसे सरल करने पर $\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}} + \sqrt{\alpha\beta}$ प्राप्त होता है।
$\alpha + \beta = -\frac{n}{l}$ और $\alpha\beta = \frac{n}{l}$ के मान रखने पर,हमें $\frac{-n/l}{\sqrt{n/l}} + \sqrt{n/l} = -\sqrt{\frac{n}{l}} + \sqrt{\frac{n}{l}} = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि सही समीकरण $x^2 + px + q = 0$ है .....$(i)$
पहले उम्मीदवार के लिए,मूल $2$ और $6$ हैं। चूंकि त्रुटि केवल $p$ में है,इसलिए अचर पद $q$ सही है।
मूलों का गुणनफल $q = 2 \times 6 = 12$ है।
दूसरे उम्मीदवार के लिए,मूल $2$ और $-9$ हैं। चूंकि त्रुटि केवल $q$ में है,इसलिए गुणांक $p$ सही है।
मूलों का योग $= 2 + (-9) = -7 = -p$,जिसका अर्थ है कि $p = 7$ है।
समीकरण $(i)$ में $p$ और $q$ के सही मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + 7x + 12 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 4x + 3x + 12 = 0$
$x(x + 4) + 3(x + 4) = 0$
$(x + 3)(x + 4) = 0$
अतः,मूल $x = -3$ और $x = -4$ हैं।

(B) दिया गया है कि $\alpha_1, \alpha_2$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha_1 + \alpha_2 = -b/a$ और $\alpha_1 \alpha_2 = c/a$ है।
इसी प्रकार,$\beta_1, \beta_2$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं,अतः $\beta_1 + \beta_2 = -q/p$ और $\beta_1 \beta_2 = r/p$ है।
समीकरण निकाय $\alpha_1 y + \alpha_2 z = 0$ और $\beta_1 y + \beta_2 z = 0$ का शून्येतर हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य हो: $\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha_1 / \beta_1 = \alpha_2 / \beta_2 = k$ (मान लीजिए)।
तब $\alpha_1 = k \beta_1$ और $\alpha_2 = k \beta_2$ होगा।
मूलों के योग और गुणनफल से:
$\alpha_1 + \alpha_2 = k(\beta_1 + \beta_2) \implies -b/a = k(-q/p) \implies b/a = k(q/p) \implies k = bp/aq$।
$\alpha_1 \alpha_2 = k^2(\beta_1 \beta_2) \implies c/a = k^2(r/p)$।
$k = bp/aq$ प्रतिस्थापित करने पर:
$c/a = (b^2 p^2 / a^2 q^2) \cdot (r/p) = (b^2 pr) / (a^2 q^2)$।
$c/a = (b^2 pr) / (a^2 q^2) \implies c = (b^2 pr) / (a q^2) \implies a q^2 c = b^2 pr$।
अतः,$b^2 pr = q^2 ac$।

(A) दिया गया है कि $\alpha + \beta = p$ और $\alpha\beta = q$ है।
मान लीजिए कि अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $A$ और $B$ हैं।
$A = (\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^3 - \beta^3) = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha - \beta)^2(\alpha + \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2)$।
चूंकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = p^2 - 4q$ और $\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta = p^2 - q$,इसलिए $A = (p^2 - 4q)p(p^2 - q) = p[p^4 - 5p^2q + 4q^2]$।
$B = \alpha^3\beta^2 + \alpha^2\beta^3 = \alpha^2\beta^2(\alpha + \beta) = q^2p$।
मूलों का योग $S = A + B = p[p^4 - 5p^2q + 4q^2] + pq^2 = p[p^4 - 5p^2q + 5q^2]$।
मूलों का गुणनफल $P = A \cdot B = p[p^4 - 5p^2q + 4q^2] \cdot pq^2 = p^2q^2(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$।
अभीष्ट द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है।

(D) माना कि सही द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है और इसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
पहले छात्र ने अचर पद को गलत कॉपी किया,लेकिन $x^2$ का गुणांक $(a=1)$ और $x$ का गुणांक $(b)$ सही थे। मूलों का योग $-b/a$ होता है। चूंकि मूल $3$ और $2$ थे,इसलिए योग $3 + 2 = 5$ है। अतः,$-b/1 = 5$,जिसका अर्थ है $b = -5$.
दूसरे छात्र ने अचर पद $(c = -6)$ और $x^2$ का गुणांक $(a = 1)$ सही कॉपी किया। मूलों का गुणनफल $c/a = -6/1 = -6$ होता है।
इस प्रकार,हमें समीकरण $x^2 - 5x - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 6x + x - 6 = 0$.
$x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$.
$(x - 6)(x + 1) = 0$.
अतः,सही मूल $x = 6$ और $x = -1$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
दिया गया है कि $\gamma, \delta$ समीकरण $px^2 + 2qx + r = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\gamma + \delta = -\frac{2q}{p}$ और $\gamma\delta = \frac{r}{p}$ है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ एक $G.P.$ में हैं,मान लीजिए कि सार्व अनुपात $k$ है। तब $\beta = \alpha k, \gamma = \alpha k^2, \delta = \alpha k^3$ होगा।
मूलों से,$\frac{\alpha\beta}{\gamma\delta} = \frac{c/a}{r/p} = \frac{cp}{ar}$ है।
$G.P.$ पदों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\alpha(\alpha k)}{\alpha k^2(\alpha k^3)} = \frac{\alpha^2 k}{\alpha^2 k^5} = \frac{1}{k^4} = \frac{cp}{ar}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\frac{\alpha + \beta}{\gamma + \delta} = \frac{\alpha(1+k)}{\alpha k^2(1+k)} = \frac{1}{k^2}$ है।
मूलों के योग को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{-2b/a}{-2q/p} = \frac{bp}{aq} = \frac{1}{k^2}$ प्राप्त होता है।
इसका वर्ग करने पर $\frac{b^2p^2}{a^2q^2} = \frac{1}{k^4}$ मिलता है।
$\frac{1}{k^4}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{b^2p^2}{a^2q^2} = \frac{cp}{ar}$ है।
सरल करने पर: $b^2p^2ar = a^2q^2cp \Rightarrow b^2pr = q^2ac$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 6x - 2 = 0$ है,जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,$\alpha + \beta = -6$ और $\alpha\beta = -2$ होता है।
$1$. चूंकि $\alpha$ एक मूल है,इसलिए $\alpha^2 + 6\alpha - 2 = 0$ होगा। अतः,$\alpha^2 = 2 - 6\alpha$।
इस मान को विकल्प $(A)$ में रखने पर: $\alpha^2 + 5\alpha - 8 = (2 - 6\alpha) + 5\alpha - 8 = -\alpha - 6$। चूंकि $\beta = -6 - \alpha$,इसलिए विकल्प $(A)$ सही है।
$2$. $\alpha\beta = -2$ से,हमें $\beta = -2/\alpha$ प्राप्त होता है। विकल्प $(C)$ के अंश में $\alpha^2 + 6\alpha - 2 = 0$ रखने पर: $\frac{2(\alpha^2 + 6\alpha - 2) - 2}{\alpha} = \frac{2(0) - 2}{\alpha} = -2/\alpha$। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
$3$. $\alpha + \beta = -6$ और $\alpha\beta = -2$ से,हमें $\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-6}{-2} = 3$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है $\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha} = 3$,इसलिए $\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = 3$। $\beta$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{\beta} = 3 - \frac{1}{\alpha} = \frac{3\alpha - 1}{\alpha}$,जिससे $\beta = \frac{\alpha}{3\alpha - 1}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
चूंकि सभी विकल्प $\beta$ के मान को दर्शाते हैं,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(C) ${x^3} + px + q = 0$ के रूप वाले त्रिघात समीकरण के लिए,विविक्तकर (discriminant) $\Delta = - (4p^3 + 27q^2)$ द्वारा दिया जाता है।
${x^3} + 3Hx + G = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $p = 3H$ और $q = G$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $\Delta = - (4(3H)^3 + 27G^2) = - (108H^3 + 27G^2) = - 27(4H^3 + G^2)$ है।
यह दिया गया है कि ${G^2} + 4{H^3} > 0$,इसलिए $\Delta = - 27(G^2 + 4H^3) < 0$ होगा।
वास्तविक गुणांकों वाले त्रिघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $\Delta < 0$ है,तो समीकरण का एक वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र संयुग्मी (काल्पनिक) मूल होते हैं।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + p^3 = 0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = p^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(\alpha, \beta)$ परवलय $y^2 = x$ पर स्थित है,इसलिए $\beta^2 = \alpha$ होगा।
$\alpha = \beta^2$ को मूलों के गुणनफल वाले समीकरण में रखने पर: $\beta^2 \cdot \beta = p^3 \implies \beta^3 = p^3 \implies \beta = p$ प्राप्त होता है।
अब,$\beta = p$ और $\alpha = p^2$ को मूलों के योग वाले समीकरण $\alpha + \beta = -p$ में रखने पर:
$p^2 + p = -p \implies p^2 + 2p = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $p(p + 2) = 0$ मिलता है। चूंकि $p \neq 0$,इसलिए $p = -2$ होगा।
$p = -2$ को मूलों में रखने पर: $\beta = p = -2$ और $\alpha = p^2 = (-2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $4$ और $-2$ हैं।

(C) माना $r > 1$ गुणोत्तर श्रेणी $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ का सार्व अनुपात है।
अतः $\beta = r\alpha, \gamma = r^2\alpha,$ और $\delta = r^3\alpha$.
द्विघात समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार:
$\alpha + \beta = \alpha(1 + r) = 3$ ..... $(i)$
$\alpha \beta = \alpha^2 r = a$ ..... $(ii)$
$\gamma + \delta = \alpha r^2(1 + r) = 12$ ..... $(iii)$
$\gamma \delta = \alpha^2 r^5 = b$ ..... $(iv)$
समीकरण $(iii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{\alpha r^2(1 + r)}{\alpha(1 + r)} = \frac{12}{3}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $r^2 = 4$ देता है। चूँकि श्रेणी वर्धमान है,इसलिए $r = 2$ होगा।
$r = 2$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$\alpha(1 + 2) = 3$ प्राप्त होता है,जिससे $\alpha = 1$ मिलता है।
अब,$a$ और $b$ की गणना करने पर:
$a = \alpha^2 r = (1)^2(2) = 2$.
$b = \alpha^2 r^5 = (1)^2(2^5) = 32$.
अतः,$a = 2$ और $b = 32$ है।

(A) माना कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिए गए समीकरण $x^2 - (a - 2)x + (a - 3) = 0$ से:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = a - 2$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = a - 3$
हमें मूलों के घनों का योग $S = \alpha^3 + \beta^3$ को न्यूनतम करना है।
सर्वसमिका $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर:
$S = (a - 2)^3 - 3(a - 3)(a - 2)$
$S = (a - 2) [(a - 2)^2 - 3(a - 3)]$
$S = (a - 2) [a^2 - 4a + 4 - 3a + 9]$
$S = (a - 2) (a^2 - 7a + 13)$
$S = a^3 - 9a^2 + 27a - 26$
$S = (a - 3)^3 + 1$
चूंकि $a \ge 3$ है,इसलिए $(a - 3)^3 + 1$ का मान तब न्यूनतम होगा जब $(a - 3)^3 = 0$ हो,जो $a = 3$ पर प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण ${x^3} - 5{x^2} + 9x - 5 = 0$ है।
चूंकि बहुपद के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया है कि एक मूल $z_1 = 2 + i$ है,इसलिए दूसरा मूल $z_2 = 2 - i$ होना चाहिए।
मान लीजिए कि तीसरा मूल $\alpha$ है।
त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का योग $-b/a$ होता है।
यहाँ,मूलों का योग $= (2 + i) + (2 - i) + \alpha = -(-5)/1 = 5$.
$4 + \alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 1$.
अतः,अन्य मूल $1$ और $2 - i$ हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + (1 - p) = 0$ $(i)$ है।
चूंकि $(1 - p)$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(1 - p)^2 + p(1 - p) + (1 - p) = 0$
$(1 - p)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(1 - p) [(1 - p) + p + 1] = 0$
$(1 - p) [2] = 0$
इसका अर्थ है $1 - p = 0$,अर्थात $p = 1$ है।
अब $p = 1$ को मूल समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x^2 + (1)x + (1 - 1) = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
अतः,मूल $x = 0$ और $x = -1$ हैं।

(A) $y$ के वास्तविक मान होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)} \ge 0$.
साथ ही,हर शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $x \neq 2$.
मान लीजिए $f(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)}$. हम उन अंतरालों को खोजने के लिए वेवी कर्व विधि (sign scheme) का उपयोग करते हैं जहाँ $f(x) \ge 0$ है।
क्रांतिक बिंदु $x = -1, 2, 3$ हैं।
अंतरालों की जाँच:
$1$) $x \in (-1, 2)$ के लिए,$x = 0$ लें: $f(0) = \frac{(1)(-3)}{(-2)} = \frac{3}{2} > 0$.
$2$) $x \in (2, 3)$ के लिए,$x = 2.5$ लें: $f(2.5) = \frac{(3.5)(-0.5)}{(0.5)} = -3.5 < 0$.
$3$) $x \ge 3$ के लिए,$x = 4$ लें: $f(4) = \frac{(5)(1)}{(2)} = 2.5 > 0$.
$4$) $x \le -1$ के लिए,$x = -2$ लें: $f(-2) = \frac{(-1)(-5)}{(-4)} = -1.25 < 0$.
उन बिंदुओं को शामिल करते हुए जहाँ अंश शून्य है $(x = -1, 3)$,असमिका $-1 \le x < 2$ या $x \ge 3$ के लिए सत्य है।

(D) फलन $y = \sqrt{x(x - 3)}$ का परिभाषा का प्रांत $x(x - 3) \ge 0$ है,जिसका अर्थ है $x \le 0$ या $x \ge 3$ ... $(i)$.
दिए गए समीकरण $(3|x| - 3)^2 = |x| + 7$ में,मान लीजिए $t = |x|$। तो $(3t - 3)^2 = t + 7$।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $9t^2 - 18t + 9 = t + 7$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9t^2 - 19t + 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(9t - 1)(t - 2) = 0$।
अतः,$t = 1/9$ या $t = 2$।
चूंकि $t = |x|$,इसलिए $|x| = 1/9$ या $|x| = 2$।
इससे $x = \pm 1/9$ या $x = \pm 2$ प्राप्त होता है।
इन मानों की प्रांत की शर्त $(i)$ ($x \le 0$ या $x \ge 3$) के साथ जाँच करने पर:
$x = 1/9$ के लिए,$1/9 \not\le 0$ और $1/9 \not\ge 3$ (अमान्य)।
$x = -1/9$ के लिए,$-1/9 \le 0$ (मान्य)।
$x = 2$ के लिए,$2 \not\le 0$ और $2 \not\ge 3$ (अमान्य)।
$x = -2$ के लिए,$-2 \le 0$ (मान्य)।
अतः,अभीष्ट हल $-1/9$ और $-2$ हैं।

(C) दिया गया है कि ${x^2} + 2ax + {a^2}$ व्यंजक ${x^3} - 3px + 2q$ का एक गुणनखंड है।
ध्यान दें कि ${x^2} + 2ax + {a^2} = {(x + a)^2}$ है।
माना ${x^3} - 3px + 2q = {(x + a)^2}(x - 2a) = (x^2 + 2ax + a^2)(x - 2a)$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $(x^2 + 2ax + a^2)(x - 2a) = x^3 - 2ax^2 + 2ax^2 - 4a^2x + a^2x - 2a^3 = x^3 - 3a^2x - 2a^3$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना ${x^3} - 3px + 2q$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-3p = -3a^2 \Rightarrow p = a^2$।
$2q = -2a^3 \Rightarrow q = -a^3$।
अब,$a^2 = p$ का मान $q = -a^3$ में रखने पर:
$q^2 = (-a^3)^2 = a^6 = (a^2)^3 = p^3$।
अतः,अभीष्ट शर्त ${p^3} = {q^2}$ है।

(C) $1$. परवलय नीचे की ओर खुलता है,जिसका अर्थ है कि $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक है,इसलिए $a < 0$ है।
$2$. वक्र $y$-अक्ष को $x = 0$ पर काटता है। समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $y = c$ प्राप्त होता है। चित्र से,$y$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु के ऊपर है,इसलिए $c > 0$ है।
$3$. द्विघात समीकरण के मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। चित्र से,$x_1 > 0$ और $x_2 < 0$ है। चूँकि परवलय का शीर्ष $y$-अक्ष के बाईं ओर है,मूलों का योग ऋणात्मक है: $x_1 + x_2 < 0$। मूलों का योग $-b/a$ होता है,इसलिए $-b/a < 0$,जिसका अर्थ है $b/a > 0$। चूँकि $a < 0$ है,इसलिए $b < 0$ होगा।
$4$. चूँकि वक्र $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है,इसलिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac > 0$ है।
इन निष्कर्षों की तुलना विकल्पों से करने पर,$c > 0$ एक सही कथन है।

(A) माना $f(x) = x^2 - 3x + k$ है। मूलों $\alpha, \beta$ के वास्तविक,भिन्न और अंतराल $(0, 1)$ में स्थित होने के लिए निम्नलिखित शर्तों का पालन होना चाहिए:
$1$. विविक्तकर $D > 0$: $D = (-3)^2 - 4(1)(k) = 9 - 4k > 0 \implies k < 2.25$.
$2$. $f(0) > 0$: $0^2 - 3(0) + k > 0 \implies k > 0$.
$3$. $f(1) > 0$: $1^2 - 3(1) + k > 0 \implies 1 - 3 + k > 0 \implies k > 2$.
$4$. परवलय का शीर्ष $x = -b/(2a)$ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित होना चाहिए: $x = 3/2 = 1.5$। चूँकि $1.5$ अंतराल $(0, 1)$ में नहीं है,इसलिए दोनों मूलों का $(0, 1)$ में स्थित होना असंभव है।
वैकल्पिक रूप से,मूलों का योग $\alpha + \beta$ को $0 < \alpha + \beta < 2$ की शर्त को पूरा करना चाहिए। यहाँ,$\alpha + \beta = 3$,जो $2$ से कम नहीं है। अतः,ऐसा कोई $k$ अस्तित्व में नहीं है।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 + px + q = 0$ है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ मूल हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = 0$ ($x^2$ का गुणांक $0$ है)।
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p$।
$\alpha\beta\gamma = -q$।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - \alpha\beta - \beta\gamma - \gamma\alpha)$।
चूंकि $\alpha + \beta + \gamma = 0$,इसलिए सर्वसमिका का दायां पक्ष $0$ हो जाता है।
अतः,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3\alpha\beta\gamma$।
$\alpha\beta\gamma = -q$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3(-q) = -3q$ प्राप्त होता है।

(A) माना $x = \frac{p}{q}$ सबसे सरल रूप में एक परिमेय मूल है,जहाँ $p, q \in \mathbb{Z}$,$q > 0$,और $\gcd(p, q) = 1$ है।
परिमेय मूल प्रमेय के अनुसार,पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद $a_n x^n + \dots + a_0 = 0$ के लिए,किसी भी परिमेय मूल $\frac{p}{q}$ को $p \mid a_0$ और $q \mid a_n$ को संतुष्ट करना चाहिए।
यहाँ,$a_n = 1$ और $a_0 = 1$ है।
अतः,$p \mid 1$ और $q \mid 1$,जिसका अर्थ है कि $p, q \in \{-1, 1\}$।
इसलिए,केवल संभावित परिमेय मूल $x = 1$ या $x = -1$ हैं।
माना $f(x) = x^{2016} - x^{2015} + x^{1008} + x^{1003} + 1$ है।
$x = 1$ के लिए: $f(1) = 1^{2016} - 1^{2015} + 1^{1008} + 1^{1003} + 1 = 1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ है।
$x = -1$ के लिए: $f(-1) = (-1)^{2016} - (-1)^{2015} + (-1)^{1008} + (-1)^{1003} + 1 = 1 - (-1) + 1 - 1 + 1 = 1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3 \neq 0$ है।
चूँकि $1$ या $-1$ में से कोई भी मूल नहीं है,इसलिए समीकरण का कोई परिमेय मूल नहीं है।
अतः,परिमेय मूलों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{P^2}{x} + \frac{Q^2}{x - 1} = 1$.
$x(x - 1)$ से गुणा करने पर: $P^2(x - 1) + Q^2x = x(x - 1)$.
पदों का विस्तार करने पर: $P^2x - P^2 + Q^2x = x^2 - x$.
मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - (P^2 + Q^2 + 1)x + P^2 = 0$.
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -(P^2 + Q^2 + 1)$,और $c = P^2$.
$D = (P^2 + Q^2 + 1)^2 - 4(1)(P^2) = (P^2 + Q^2 + 1)^2 - 4P^2$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,$D = (P^2 + Q^2 + 1 - 2P)(P^2 + Q^2 + 1 + 2P) = ((P - 1)^2 + Q^2)((P + 1)^2 + Q^2)$.
चूँकि $P$ और $Q$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए $D > 0$ है। अतः,समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(C) समीकरण $|x^2 - 2|x|| = 2^x$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = |x^2 - 2|x||$ और $g(x) = 2^x$ के आलेखों का विश्लेषण कर सकते हैं।
$1$. $f(x) = |x^2 - 2|x||$ का विश्लेषण:
- चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है $(f(x) = f(-x))$,इसलिए आलेख $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
- $x \ge 0$ के लिए,$f(x) = |x^2 - 2x|$।
- $x^2 - 2x = 0$ के मूल $x = 0$ और $x = 2$ हैं।
- $x = 0$ और $x = 2$ के बीच,$x^2 - 2x$ ऋणात्मक है,इसलिए $|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = 2x - x^2$।
- $x > 2$ के लिए,$x^2 - 2x$ धनात्मक है,इसलिए $|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$।
$2$. $g(x) = 2^x$ का विश्लेषण:
- यह एक चरघातांकीय वृद्धि फलन है जो हमेशा धनात्मक और निरंतर वर्धमान है।
$3$. प्रतिच्छेदन बिंदु:
- दोनों फलनों का आलेख खींचने पर,हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देख सकते हैं।
- $x < 0$ के लिए,चरघातांकीय फलन $2^x$,$0$ के करीब पहुंचता है,जबकि परवलय $|x^2 + 2x|$ इसे दो बिंदुओं पर काटता है।
- $x > 0$ के लिए,फलन $f(x) = |x^2 - 2x|$,$g(x) = 2^x$ को ठीक एक बिंदु पर काटता है।
- इस प्रकार,कुल $3$ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
अतः,हलों की संख्या $3$ है।

(C) समीकरण $2^x = x^2$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम फलनों $f(x) = 2^x$ और $g(x) = x^2$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण कर सकते हैं।
$1$. $x < 0$ के लिए: जैसे-जैसे $x$ अधिक ऋणात्मक होता है, $2^x$ का मान $0$ के करीब पहुँचता है, जबकि $x^2$ बढ़ता है। अंतराल $(-1, 0)$ में एक प्रतिच्छेदन बिंदु है क्योंकि $x = -1$ पर $2^{-1} = 0.5$ और $(-1)^2 = 1$ है, और $x = -0.5$ पर $2^{-0.5} \approx 0.707$ और $(-0.5)^2 = 0.25$ है। अतः, यहाँ एक हल है।
$2$. $x > 0$ के लिए: हम विशिष्ट पूर्णांक मानों की जाँच करते हैं:
$x = 2$ पर, $2^2 = 4$ और $2^2 = 4$ है। अतः, $x = 2$ एक हल है।
$x = 4$ पर, $2^4 = 16$ और $4^2 = 16$ है। अतः, $x = 4$ एक हल है।
$3$. $x = 2$ और $x = 4$ के बीच, फलन $x^2$ का मान $2^x$ से अधिक है (उदाहरण के लिए, $x = 3$ पर, $2^3 = 8$ और $3^2 = 9$ है)।
$x > 4$ के लिए, घातांकीय फलन $2^x$ द्विघात फलन $x^2$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है, इसलिए $x > 4$ के लिए कोई और हल नहीं है।
इस प्रकार, हल $x = -0.766$ (लगभग), $x = 2$, और $x = 4$ हैं। कुल $3$ हल प्राप्त होते हैं।

(C) माना $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ और $g(x) = 3x^3$ है।
हमें $f(x)$ और $g(x)$ के आलेखों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
फलन $f(x)$ के $x = 0, x = 1,$ और $x = 2$ पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptotes) हैं।
$1$. $x < 0$ के लिए,$f(x)$ ऋणात्मक है और $g(x) = 3x^3$ भी ऋणात्मक है। जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to 0$ और $g(x) \to -\infty$। जैसे $x \to 0^-$,$f(x) \to -\infty$ और $g(x) \to 0$। इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(-\infty, 0)$ में एक प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$2$. $0 < x < 1$ के लिए,$f(x)$,$+\infty$ से $-\infty$ तक जाता है। $g(x)$ धनात्मक है। $(0, 1)$ में एक प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$3$. $1 < x < 2$ के लिए,$f(x)$,$+\infty$ से $-\infty$ तक जाता है। $g(x)$ धनात्मक है। $(1, 2)$ में एक प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$4$. $x > 2$ के लिए,जैसे $x \to \infty$,$f(x)$,$+\infty$ से $0$ तक जाता है। $g(x)$,$24$ से $+\infty$ तक जाता है। $(2, \infty)$ में एक प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,कुल $4$ वास्तविक मूल हैं।

(B) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $x^2 - (p + 3)x + (5p - 2) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,मूलों का योग $\alpha + \beta = p + 3$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 5p - 2$ है।
हमें मूलों के वर्गों का योग $S = \alpha^2 + \beta^2$ को न्यूनतम करना है।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$S = (p + 3)^2 - 2(5p - 2)$
$S = p^2 + 6p + 9 - 10p + 4$
$S = p^2 - 4p + 13$
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$S = (p^2 - 4p + 4) + 9$
$S = (p - 2)^2 + 9$
चूंकि $(p - 2)^2 \ge 0$,इसलिए $S$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $p - 2 = 0$,जिसका अर्थ है $p = 2$।

(A) दिया गया समीकरण: $\log_{\sqrt{3}}(x^3 - 1) = \log_{\sqrt{3}}(x - 1) + 2$.
लघुगणकीय फलनों के परिभाषित होने के लिए,$x^3 - 1 > 0$ और $x - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 1$.
गुणधर्म $\log_b(A) - \log_b(B) = \log_b(A/B)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\log_{\sqrt{3}}((x^3 - 1)/(x - 1)) = 2$.
चूंकि $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$,समीकरण $\log_{\sqrt{3}}(x^2 + x + 1) = 2$ बन जाता है।
घातांकीय रूप में बदलने पर: $x^2 + x + 1 = (\sqrt{3})^2 = 3$.
अतः,$x^2 + x - 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 2)(x - 1) = 0$.
इससे $x = -2$ या $x = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि डोमेन की शर्त $x > 1$ है,इसलिए $x = -2$ और $x = 1$ दोनों अस्वीकार्य हैं।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(D) दी गई असमिका $kx^2 - 2x + k \geq 0$ है।
यदि $k = 0$ है,तो असमिका $-2x \geq 0$ हो जाती है,जिसका अर्थ है $x \leq 0$। चूंकि यह कम से कम एक वास्तविक $x$ के लिए सत्य है,इसलिए $k = 0$ एक हल है।
यदि $k \neq 0$ है,तो हम असमिका को $k(x^2 + 1) \geq 2x$ के रूप में लिख सकते हैं,जिससे $k \geq \frac{2x}{x^2 + 1}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$। $f(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम इसका अवकलन करते हैं: $f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$।
$f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 = 1$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = 1$ या $x = -1$।
अधिकतम मान $f(1) = 1$ है और न्यूनतम मान $f(-1) = -1$ है।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
$k \geq f(x)$ कम से कम एक $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$k$ को $f(x)$ के न्यूनतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$k \geq -1$।

(C) दिया गया समीकरण $[x^2] = 2x - 1$ है।
चूंकि $[x^2]$ एक पूर्णांक है, इसलिए $2x - 1$ भी एक पूर्णांक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $2x$ एक पूर्णांक है।
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार, $x^2 - 1 < [x^2] \le x^2$ होता है।
$[x^2] = 2x - 1$ प्रतिस्थापित करने पर, $x^2 - 1 < 2x - 1 \le x^2$ प्राप्त होता है।
$x^2 - 1 < 2x - 1$ से, $x^2 - 2x < 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $x(x - 2) < 0$, जिसका अर्थ है $0 < x < 2$।
$2x - 1 \le x^2$ से, $x^2 - 2x + 1 \ge 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $(x - 1)^2 \ge 0$, जो सभी वास्तविक $x$ के लिए सत्य है।
स्थिति $1$: $0 < x < 1$। तब $0 < x^2 < 1$, इसलिए $[x^2] = 0$। समीकरण $0 - 2x + 1 = 0$ बन जाता है, इसलिए $x = 1/2$। चूंकि $1/2$ अंतराल $(0, 1)$ में है, यह एक हल है।
स्थिति $2$: $1 \le x < \sqrt{2}$। तब $1 \le x^2 < 2$, इसलिए $[x^2] = 1$। समीकरण $1 - 2x + 1 = 0$ बन जाता है, इसलिए $2x = 2$, $x = 1$। चूंकि $1$ अंतराल $[1, \sqrt{2})$ में है, यह एक हल है।
स्थिति $3$: $\sqrt{2} \le x < \sqrt{3}$। तब $2 \le x^2 < 3$, इसलिए $[x^2] = 2$। समीकरण $2 - 2x + 1 = 0$ बन जाता है, इसलिए $2x = 3$, $x = 3/2$। चूंकि $3/2 = 1.5$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ है, $1.5$ अंतराल $[\sqrt{2}, \sqrt{3})$ में है, इसलिए यह एक हल है।
स्थिति $4$: $\sqrt{3} \le x < 2$। तब $3 \le x^2 < 4$, इसलिए $[x^2] = 3$। समीकरण $3 - 2x + 1 = 0$ बन जाता है, इसलिए $2x = 4$, $x = 2$। लेकिन $x < 2$ है, इसलिए यह हल नहीं है।
हल $1/2, 1, 3/2$ हैं। योग $1/2 + 1 + 3/2 = 3$ है।

(C) माना संख्या $x$ है। प्रश्न के अनुसार,संख्या और उसके व्युत्क्रम के बीच का अंतर $1$ है,इसलिए $|x - \frac{1}{x}| = 1$ है।
इससे दो समीकरण प्राप्त होते हैं: $x - \frac{1}{x} = 1$ और $x - \frac{1}{x} = -1$।
$x - \frac{1}{x} = 1$ के लिए,$x^2 - x - 1 = 0$ प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$। चूँकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$।
$x - \frac{1}{x} = -1$ के लिए,$x^2 + x - 1 = 0$ प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$। चूँकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$।
योग $a + b = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$।

(C) माना $f(x) = ||x - 2| - |3 - x||$ है।
मापांक के त्रिभुज असमिका गुणधर्म के अनुसार,$||x - 2| - |3 - x|| \leq |(x - 2) - (3 - x)| = |2x - 5|$।
अधिक सरलता से,व्यंजक $||x - 2| - |3 - x||$ बिंदु $x$ की $2$ और $3$ से दूरियों के बीच का अंतर दर्शाता है।
$x < 2$ के लिए,$f(x) = |(2 - x) - (3 - x)| = |-1| = 1$।
$2 \leq x \leq 3$ के लिए,$f(x) = |(x - 2) - (3 - x)| = |2x - 5|$। जैसे-जैसे $x$,$2$ से $3$ तक जाता है,$2x - 5$,$-1$ से $1$ तक जाता है,इसलिए $|2x - 5|$,$1$ से $0$ और वापस $1$ तक जाता है।
$x > 3$ के लिए,$f(x) = |(x - 2) - (x - 3)| = |1| = 1$।
अतः,$f(x)$ का परिसर $[0, 1]$ है।
समीकरण $f(x) = 2 - a$ का हल होने के लिए,$0 \leq 2 - a \leq 1$ होना चाहिए।
$a$ के लिए हल करने पर: $-2 \leq -a \leq -1$,जिसका अर्थ है $1 \leq a \leq 2$।
$a$ के पूर्णांक मान $1$ और $2$ हैं।
इन मानों का योग $1 + 2 = 3$ है।

(A) दिया गया है $\alpha^2 + \beta^2 = 5$ और $3(\alpha^5 + \beta^5) = 11(\alpha^3 + \beta^3)$.
माना $S_n = \alpha^n + \beta^n$. तब $S_2 = 5$ और $3S_5 = 11S_3$.
द्विघात समीकरण $x^2 - px + q = 0$ के लिए,जहाँ $p = \alpha + \beta$ और $q = \alpha \beta$,संबंध $S_n = p S_{n-1} - q S_{n-2}$ होता है।
$S_2 = 5$ से $p^2 - 2q = 5$ प्राप्त होता है।
$S_3 = p S_2 - q S_1 = 5p - qp = p(5-q)$.
$S_4 = S_2^2 - 2q^2 = 25 - 2q^2$.
$S_5 = p S_4 - q S_3 = p(25 - 2q^2) - q(p(5-q)) = p(25 - 5q - q^2)$.
समीकरण $3S_5 = 11S_3$ में मान रखने पर:
$3p(25 - 5q - q^2) = 11p(5 - q)$.
$p \neq 0$ मानते हुए,$75 - 15q - 3q^2 = 55 - 11q$.
$3q^2 + 4q - 20 = 0 \Rightarrow (3q + 10)(q - 2) = 0$.
वास्तविक हल के लिए $q=2$ सही है।

(A) दिया गया समीकरण $x^3 - x - 1 = 0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = 0$ होता है।
अतः,हम लिख सकते हैं: $\beta + \gamma = -\alpha$,$\gamma + \alpha = -\beta$,और $\alpha + \beta = -\gamma$.
अभीष्ट समीकरण के मूल $\frac{1}{-\alpha}, \frac{1}{-\beta}, \frac{1}{-\gamma}$ हैं,जिन्हें $-\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\beta}, -\frac{1}{\gamma}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि $y = -\frac{1}{x}$ है,तो $x = -\frac{1}{y}$ होगा।
मूल समीकरण में $x = -\frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\frac{1}{y})^3 - (-\frac{1}{y}) - 1 = 0$
$-\frac{1}{y^3} + \frac{1}{y} - 1 = 0$
$-y^3$ से गुणा करने पर: $1 - y^2 + y^3 = 0$,अर्थात $y^3 - y^2 + 1 = 0$।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^4 + x^2 + 1 = 0$ के मूल हैं।
मान लीजिए $y = x^2$,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{y}$।
मूल समीकरण $x^4 + x^2 + 1 = 0$ में $x^2 = y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x^2)^2 + x^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ को $y$ से बदलने पर,हमें $y^2 + y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि नए समीकरण के मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ हैं,और मूल समीकरण का प्रत्येक मूल $x^4 + x^2 + 1 = 0$ को संतुष्ट करता है,इसलिए रूपांतरण $y = x^2$ चार मूलों को $y$ के दो मानों पर मैप करता है जो $y^2 + y + 1 = 0$ को संतुष्ट करते हैं।
चूंकि प्रत्येक मूल का वर्ग किया जा रहा है,इसलिए परिणामी समीकरण में मूलों की बहुलता (multiplicity) को ध्यान में रखना आवश्यक है। समीकरण $y^2 + y + 1 = 0$ के दो मूल हैं,मान लीजिए $y_1$ और $y_2$। चूंकि मूल समीकरण $4$ घात का है,इसलिए नया समीकरण भी $4$ घात का होना चाहिए।
अतः,अभीष्ट समीकरण $(y^2 + y + 1)^2 = 0$ है,जो $x$ के पदों में $(x^2 + x + 1)^2 = 0$ है।

(D) $x^2 - (a - 1)x + 3 = 0$ के दोनों मूल धनात्मक होने के लिए:
$1$. विविक्तकर $D_1 \ge 0 \Rightarrow (a - 1)^2 - 12 \ge 0 \Rightarrow a \ge 4.46$ या $a \le -2.46$.
$2$. मूलों का योग $> 0 \Rightarrow a - 1 > 0 \Rightarrow a > 1$.
$3$. मूलों का गुणनफल $> 0 \Rightarrow 3 > 0$ (सदैव सत्य)।
अतः,$a \ge 4.46$.
$x^2 + 3x + 6 - a = 0$ के दोनों मूल ऋणात्मक होने के लिए:
$1$. विविक्तकर $D_2 \ge 0 \Rightarrow 9 - 4(6 - a) \ge 0 \Rightarrow 4a \ge 15 \Rightarrow a \ge 3.75$.
$2$. मूलों का योग $< 0 \Rightarrow -3 < 0$ (सदैव सत्य)।
$3$. मूलों का गुणनफल $> 0 \Rightarrow 6 - a > 0 \Rightarrow a < 6$.
अतः,$3.75 \le a < 6$.
दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन: $4.46 \le a < 6$। अतः $a$ का पूर्णांक मान केवल $5$ है। इस प्रकार,कुल $1$ मान प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = x^2 - 3x + a$ है।
मूलों $\alpha$ और $\beta$ के लिए शर्त $\alpha < 1 < \beta$ को संतुष्ट करने हेतु,$x = 1$ पर द्विघात फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(1) < 0$।
समीकरण में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(1) = (1)^2 - 3(1) + a < 0$
$1 - 3 + a < 0$
$-2 + a < 0$
$a < 2$।
चूंकि $a < 2$ वास्तविक मूलों की शर्त $(D > 0)$ को स्वतः संतुष्ट करता है,जहाँ $D = (-3)^2 - 4(1)(a) = 9 - 4a > 0 \Rightarrow a < 9/4$,इसलिए $a < 2$ और $a < 9/4$ का प्रतिच्छेदन $a < 2$ है।
अतः,$a \in (-\infty, 2)$।

(A) $1$. परवलय नीचे की ओर खुलता है,जिसका अर्थ है कि $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक है। इसलिए,$a < 0$ है।
$2$. ग्राफ का $y$-अंतःखंड वह बिंदु है जहाँ $x = 0$ होता है। समीकरण $y = ax^2 - bx + c$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $y = c$ प्राप्त होता है। ग्राफ से,$y$-अंतःखंड $x$-अक्ष के नीचे है,इसलिए $c < 0$ है।
$3$. परवलय $y = ax^2 + Bx + C$ के शीर्ष का $x$-निर्देशांक $-B / (2A)$ द्वारा दिया जाता है। हमारे समीकरण $y = ax^2 - bx + c$ में,$x$ का गुणांक $-b$ है। अतः,शीर्ष का $x$-निर्देशांक $-(-b) / (2a) = b / (2a)$ है।
$4$. ग्राफ से,शीर्ष $y$-अक्ष के दाईं ओर स्थित है,जिसका अर्थ है कि शीर्ष का $x$-निर्देशांक धनात्मक है। इसलिए,$b / (2a) > 0$ है।
$5$. चूँकि हम जानते हैं कि $a < 0$ है,इसलिए भिन्न $b / (2a)$ के धनात्मक होने के लिए $b$ को भी ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$b < 0$ है।
$6$. इस प्रकार,$a < 0, b < 0, c < 0$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए समीकरणों के मूल इस प्रकार हैं:
$x^2 + ax + bc = 0 \rightarrow \alpha, \beta$ $(1)$
$x^2 + bx + ac = 0 \rightarrow \alpha, \gamma$ $(2)$
समीकरण $(1)$ से $(2)$ को घटाने पर:
$(a - b)x + (bc - ac) = 0$
$(a - b)x - c(a - b) = 0$
चूंकि $a \ne b$,$(a - b)$ से भाग देने पर $x = c$ प्राप्त होता है।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\alpha = c$ है।
$x = c$ को $(1)$ में रखने पर:
$c^2 + ac + bc = 0 \Rightarrow c(c + a + b) = 0$.
चूंकि $c \ne 0$,इसलिए $a + b + c = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = bc \Rightarrow c \cdot \beta = bc \Rightarrow \beta = b$.
समीकरण $(2)$ में मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \gamma = ac \Rightarrow c \cdot \gamma = ac \Rightarrow \gamma = a$.
मूलों $\beta$ और $\gamma$ वाला समीकरण $x^2 - (\beta + \gamma)x + \beta \gamma = 0$ है।
$x^2 - (b + a)x + ab = 0$.
चूंकि $a + b = -c$,समीकरण $x^2 - (-c)x + ab = 0$ अर्थात $x^2 + cx + ab = 0$ बन जाता है।
दोनों कथन सत्य हैं और कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

(B) गलत समीकरण $x^2 + 17x + q = 0$ है।
यह दिया गया है कि इस गलत समीकरण के मूल $-2$ और $-15$ हैं,इसलिए हम मूलों के गुणनफल के सूत्र का उपयोग करके $q$ ज्ञात कर सकते हैं:
मूलों का गुणनफल $= (-2) \times (-15) = 30$.
चूंकि समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए मूलों का गुणनफल $q$ होता है,इसलिए $q = 30$ है।
मूल समीकरण में $x$ का गुणांक $13$ था,इसलिए मूल समीकरण $x^2 + 13x + 30 = 0$ है।
मूल ज्ञात करने के लिए,हम गुणनखंड करते हैं: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$.
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$.
$(x + 3)(x + 10) = 0$.
अतः,मूल $x = -3$ और $x = -10$ हैं।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + 1 = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
यहाँ $c = 1$ है,इसलिए शर्त $b^2 - 4a \geq 0$ अर्थात $b^2 \geq 4a$ हो जाती है।
$b \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए मानों की जाँच करने पर:
$1$. यदि $b = 1$,तो $b^2 = 1$. $1 \geq 4a \Rightarrow a \leq 0.25$. $a \in \{1, 2, 3, 4\}$ में कोई मान संभव नहीं है।
$2$. यदि $b = 2$,तो $b^2 = 4$. $4 \geq 4a \Rightarrow a \leq 1$. अतः,$a = 1$ ($1$ हल)।
$3$. यदि $b = 3$,तो $b^2 = 9$. $9 \geq 4a \Rightarrow a \leq 2.25$. अतः,$a \in \{1, 2\}$ ($2$ हल)।
$4$. यदि $b = 4$,तो $b^2 = 16$. $16 \geq 4a \Rightarrow a \leq 4$. अतः,$a \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ हल)।
समीकरणों की कुल संख्या = $0 + 1 + 2 + 4 = 7$.

(A) माना $y = 2\alpha + 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{y - 1}{2}$.
चूंकि $\alpha$,$x^3 + 2x - 5 = 0$ का एक मूल है,इसलिए हम $\alpha$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{y - 1}{2}\right)^3 + 2\left(\frac{y - 1}{2}\right) - 5 = 0$
$\frac{y^3 - 3y^2 + 3y - 1}{8} + (y - 1) - 5 = 0$
पूरे समीकरण को $8$ से गुणा करने पर:
$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 + 8(y - 6) = 0$
$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 + 8y - 48 = 0$
$y^3 - 3y^2 + 11y - 49 = 0$
इसकी तुलना $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$ से करने पर,हमें $b = -3, c = 11, d = -49$ प्राप्त होता है।
अतः,$|b + c + d| = |-3 + 11 - 49| = |-41| = 41$.

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - ax + b = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = b$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2 - a\alpha + b = 0 \implies \alpha^2 = a\alpha - b$
$\beta^2 - a\beta + b = 0 \implies \beta^2 = a\beta - b$
पहले समीकरण को $\alpha^{n-1}$ से और दूसरे को $\beta^{n-1}$ से गुणा करने पर:
$\alpha^{n+1} = a\alpha^n - b\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1} = a\beta^n - b\beta^{n-1}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = a(\alpha^n + \beta^n) - b(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$
$V_n = \alpha^n + \beta^n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_{n+1} = aV_n - bV_{n-1}$.

(C) माना $P(z) = z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ है। इसके मूल $z_1, z_2, z_3, z_4$ हैं।
हम $P(z) = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)$ लिख सकते हैं।
हमें $\prod_{i=1}^{4} (z_i + 2)$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $\prod_{i=1}^{4} (z_i + 2) = (-1)^4 \prod_{i=1}^{4} (-2 - z_i) = P(-2)$ है।
बहुपद $P(z)$ में $z = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 1$
$P(-2) = 16 - 8 + 4 - 2 + 1$
$P(-2) = 11$.
अतः,गुणनफल $11$ है।

(B) दिया गया है कि त्रिघात समीकरण के गुणांक वास्तविक हैं और एक मूल $\alpha = 3 + 4i$ है।
चूंकि वास्तविक गुणांक वाले समीकरणों के लिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं,इसलिए दूसरा मूल $\beta = 3 - 4i$ होगा।
माना त्रिघात समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ है। यहाँ $x^2$ का गुणांक शून्य है,इसलिए $a = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -a = 0$ होता है।
ज्ञात मूलों का मान रखने पर: $(3 + 4i) + (3 - 4i) + \gamma = 0$.
$6 + \gamma = 0$,जिसका अर्थ है कि $\gamma = -6$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = (3 + 4i)(3 - 4i)(-6) = 25 \times (-6) = -150$ होगा।

(B) माना $f(x) = x^2 + (a - 1)x + 2a$ है। अंतराल $(0, 3)$ में ठीक एक मूल होने के लिए,हम निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: $f(0) \cdot f(3) < 0$
$f(0) = 2a$
$f(3) = 9 + 3(a - 1) + 2a = 5a + 6$
अतः,$2a(5a + 6) < 0 \Rightarrow a \in (-1.2, 0)$।
स्थिति $2$: यदि $x = 0$ एक मूल है,तो $a = 0$। समीकरण $x^2 - x = 0$ बन जाता है,जिसके मूल $0$ और $1$ हैं। चूँकि $1 \in (0, 3)$,इसलिए $a = 0$ एक हल है।
इस प्रकार,$a$ के मानों का समुच्चय $(-1.2, 0]$ है।

(C) मान लीजिए $f(x) = 3ax^2 + 4bx + c$ है।
चूंकि समीकरण $f(x) = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है और $c > 0$ (जो $f(0) > 0$ है),इसलिए परवलय $y = f(x)$ पूरी तरह से $x$-अक्ष के ऊपर स्थित होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) > 0$ है।
विशेष रूप से,$x = -1$ के लिए,हमारे पास $f(-1) > 0$ है।
समीकरण में $x = -1$ रखने पर,हमें $f(-1) = 3a(-1)^2 + 4b(-1) + c = 3a - 4b + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(-1) > 0$,इसलिए $3a - 4b + c > 0$ होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $3a + c > 4b$ प्राप्त होता है।