Polynomials Questions in Hindi

(B) माना $p(x) = x^{3} - 2ax^{2} + ax - 1$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-2)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(2) = 0$ होना चाहिए।
बहुपद में $x = 2$ रखने पर:
$p(2) = (2)^{3} - 2a(2)^{2} + a(2) - 1 = 0$.
$8 - 2a(4) + 2a - 1 = 0$.
$8 - 8a + 2a - 1 = 0$.
$7 - 6a = 0$.
$6a = 7$.
अतः,$a = \frac{7}{6}$.

(A) माना $p(x) = x^{3} + a x^{2} - 2 x + a + 4$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-a) = 0$ होना चाहिए।
बहुपद में $x = -a$ रखने पर:
$p(-a) = (-a)^{3} + a(-a)^{2} - 2(-a) + a + 4 = 0$
$-a^{3} + a(a^{2}) + 2a + a + 4 = 0$
$-a^{3} + a^{3} + 3a + 4 = 0$
$3a + 4 = 0$
$3a = -4$
$a = -\frac{4}{3}$.

(A) दिया गया है कि $(x - 1)$,$f(x) = x^{3} - kx^{2} + 11x - 6$ का एक गुणनखंड है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x - a)$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $f(a) = 0$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ है,इसलिए $f(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)^{3} - k(1)^{2} + 11(1) - 6 = 0$
$1 - k + 11 - 6 = 0$
$6 - k = 0$
$k = 6$.

(A) माना कि बहुपद $f(x) = 5x^{2} - 4x - 1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $f(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $f(a)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,भाजक $(x - 1)$ है,इसलिए $a = 1$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$f(1) = 5(1)^{2} - 4(1) - 1$
$f(1) = 5(1) - 4 - 1$
$f(1) = 5 - 5 = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(B) माना $f(x) = 2x^{3} + mx^{2} + nx - 14$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-1)$ बहुपद $f(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $f(1) = 0$ होगा।
$2(1)^{3} + m(1)^{2} + n(1) - 14 = 0$
$2 + m + n - 14 = 0 \Rightarrow m + n = 12$ $...(1)$
इसी प्रकार,यदि $(x+2)$ बहुपद $f(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $f(-2) = 0$ होगा।
$2(-2)^{3} + m(-2)^{2} + n(-2) - 14 = 0$
$-16 + 4m - 2n - 14 = 0 \Rightarrow 4m - 2n = 30 \Rightarrow 2m - n = 15$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(m + n) + (2m - n) = 12 + 15$
$3m = 27 \Rightarrow m = 9$ प्राप्त होता है।
$m = 9$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$9 + n = 12 \Rightarrow n = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 9$ और $n = 3$ है।

(C) दिया गया बहुपद $f(x) = 2x^{3} - ax^{2} - (2a - 3)x + 2$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x + 1)$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $f(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(-1) = 2(-1)^{3} - a(-1)^{2} - (2a - 3)(-1) + 2 = 0$
व्यंजक को सरल करने पर:
$2(-1) - a(1) + (2a - 3) + 2 = 0$
$-2 - a + 2a - 3 + 2 = 0$
समान पदों को जोड़ने पर:
$a - 3 = 0$
$a = 3$
अतः,$a$ का मान $3$ है।

(A) $4y^{3}-3y^{2}+2y-4$ को $y+2$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. प्रथम पद $4y^{3}$ को $y$ से विभाजित करने पर $4y^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $4y^{2}$ को $(y+2)$ से गुणा करने पर $4y^{3}+8y^{2}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $-11y^{2}+2y-4$ प्राप्त होता है।
$3$. $-11y^{2}$ को $y$ से विभाजित करने पर $-11y$ प्राप्त होता है।
$4$. $-11y$ को $(y+2)$ से गुणा करने पर $-11y^{2}-22y$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $24y-4$ प्राप्त होता है।
$5$. $24y$ को $y$ से विभाजित करने पर $24$ प्राप्त होता है।
$6$. $24$ को $(y+2)$ से गुणा करने पर $24y+48$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $-52$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $4y^{2}-11y+24$ है और शेषफल $-52$ है।

(C) दी गई व्यंजक: $16(x-y)^{2}-9(x+y)^{2}$
यह $a^{2}-b^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a^{2} = 16(x-y)^{2} \implies a = 4(x-y)$ और $b^{2} = 9(x+y)^{2} \implies b = 3(x+y)$ है।
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$= [4(x-y)-3(x+y)][4(x-y)+3(x+y)]$
$= (4x-4y-3x-3y)(4x-4y+3x+3y)$
$= (x-7y)(7x-y)$

(B) दिया गया व्यंजक: $4 x^{2}+12 x y+9 y^{2}-8 x-12 y$
सबसे पहले,ध्यान दें कि पहले तीन पद एक पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$4 x^{2}+12 x y+9 y^{2} = (2 x)^{2} + 2(2 x)(3 y) + (3 y)^{2} = (2 x+3 y)^{2}$
इसके बाद,शेष दो पदों में से $-4$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$-8 x-12 y = -4(2 x+3 y)$
इन दोनों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2 x+3 y)^{2} - 4(2 x+3 y)$
अब,उभयनिष्ठ पद $(2 x+3 y)$ को बाहर लेने पर:
$(2 x+3 y)(2 x+3 y-4)$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $16 x^{2}-72 x y+81 y^{2}-12 x+27 y$
यहाँ प्रथम तीन पद एक पूर्ण वर्ग बनाते हैं: $(4 x)^{2}-2(4 x)(9 y)+(9 y)^{2} = (4 x-9 y)^{2}$
अब,शेष दो पदों में से $-3$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर: $-12 x+27 y = -3(4 x-9 y)$
इन दोनों को मिलाने पर हमें प्राप्त होता है: $(4 x-9 y)^{2}-3(4 x-9 y)$
$(4 x-9 y)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(4 x-9 y)(4 x-9 y-3)$

(B) दी गई व्यंजक $(a+b)^{2}-14 c(a+b)+49 c^{2}$ है।
यह व्यंजक $x^{2}-2xy+y^{2}$ के रूप में है,जहाँ $x = (a+b)$ और $y = 7c$ है।
हम जानते हैं कि $x^{2}-2xy+y^{2} = (x-y)^{2}$ होता है।
$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(a+b)^{2}-2(a+b)(7c)+(7c)^{2} = (a+b-7c)^{2}$.

(C) दी गई व्यंजक $81 x^{2} y^{2}+108 x y z+36 z^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$a^{2} = (9 x y)^{2}$ और $b^{2} = (6 z)^{2}$ है।
अतः,$a = 9 x y$ और $b = 6 z$ है।
अब,मध्य पद की जाँच करें: $2ab = 2(9 x y)(6 z) = 108 x y z$।
चूँकि व्यंजक सर्वसमिका से मेल खाता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$81 x^{2} y^{2}+108 x y z+36 z^{2} = (9 x y+6 z)^{2}$.

(A) दी गई व्यंजक $(a-b+c)^{2}+(b-c+a)^{2}+2(a-b+c)(b+c-a)$ है।
यह व्यंजक $x^{2} + y^{2} + 2xy$ के रूप में है,जहाँ $x = (a-b+c)$ और $y = (a+b-c)$ है।
यहाँ $(b+c-a)$ को $(a+b-c)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,व्यंजक $(x+y)^{2}$ बन जाता है।
अतः,$((a-b+c) + (a+b-c))^{2} = (2a)^{2} = 4a^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक $9(3 x+5 y)^{2}-12(3 x+5 y)(2 x+3 y)+4(2 x+3 y)^{2}$ है।
यह व्यंजक $a^{2}-2ab+b^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a = 3(3 x+5 y)$ और $b = 2(2 x+3 y)$ है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$[3(3 x+5 y)]^{2}-2[3(3 x+5 y)][2(2 x+3 y)]+[2(2 x+3 y)]^{2}$.
सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[3(3 x+5 y)-2(2 x+3 y)]^{2}$.
अब,कोष्ठक के अंदर की व्यंजक को सरल करने पर:
$= (9 x+15 y-4 x-6 y)^{2}$.
$= (5 x+9 y)^{2}$.

(A) दिया गया व्यंजक $a^2 + 2ab + b^2$ के रूप में है,जहाँ $a = (2x + 3y)$ और $b = (2x - 3y)$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$[(2x + 3y) + (2x - 3y)]^2$
अब,कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$(2x + 3y + 2x - 3y)^2$
$= (4x)^2$
$= 16x^2$

(C) दी गई व्यंजक: $45 a^{3} b + 5 a b^{3} - 30 a^{2} b^{2}$
चरण $1$: प्रत्येक पद से उभयनिष्ठ गुणनखंड $5 a b$ बाहर निकालें:
$= 5 a b(9 a^{2} + b^{2} - 6 a b)$
चरण $2$: कोष्ठक के अंदर के पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:
$= 5 a b(9 a^{2} - 6 a b + b^{2})$
चरण $3$: इस व्यंजक को $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ के रूप में एक पूर्ण वर्ग त्रिपद के रूप में पहचानें,जहाँ $x = 3 a$ और $y = b$ है:
$= 5 a b((3 a)^{2} - 2(3 a)(b) + (b)^{2})$
चरण $4$: सर्वसमिका का प्रयोग करें:
$= 5 a b(3 a - b)^{2}$

(C) माना $x = a-b$,$y = b-c$,और $z = c-a$ है।
अतः,$x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: यदि $x+y+z = 0$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।
$x, y,$ और $z$ के मान वापस रखने पर:
$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$।

(D) दी गई व्यंजक: $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+3-2 a-\frac{2}{a}$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$= (a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2) - 2a - \frac{2}{a} + 1$
$= (a+\frac{1}{a})^{2} - 2(a+\frac{1}{a}) + 1$
माना $x = a+\frac{1}{a}$. तब व्यंजक इस प्रकार होगा:
$= x^{2} - 2x + 1$
यह $(x-1)^{2}$ के रूप का एक पूर्ण वर्ग है:
$= (x-1)^{2}$
$x = a+\frac{1}{a}$ का मान वापस रखने पर:
$= (a+\frac{1}{a}-1)^{2}$
$= (a+\frac{1}{a}-1)(a+\frac{1}{a}-1)$

(A) दिया गया है,$x+\frac{1}{x}=2.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} = (2)^{2}$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) = 4$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 = 4$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$
अब,पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} = (2)^{2}$
$x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 2(x^{2})\left(\frac{1}{x^{2}}\right) = 4$
$x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 2 = 4$
$x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = 2.$

(B) दिया गया है कि $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 6.$
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ होती है।
मान लीजिए $a = \frac{x}{y}$ और $b = \frac{y}{x}.$
अतः,$\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^{3} = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}} + 3\left(\frac{x}{y}\right)\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right).$
चूंकि $\left(\frac{x}{y}\right)\left(\frac{y}{x}\right) = 1,$ इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$(6)^{3} = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}} + 3(1)(6).$
$216 = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}} + 18.$
$\frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}} = 216 - 18 = 198.$

(C) दिया गया है कि $x+y+z=0.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(x+y+z)^{2}=0^{2}$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(xy+yz+zx).$
हम कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को $x(y+z)+yz$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $x+y+z=0$ है,इसलिए $y+z=-x$ होगा।
यह मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(x(-x)+yz) = -2(-x^{2}+yz) = 2(x^{2}-yz)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x^{2}-yz} = \frac{2(x^{2}-yz)}{x^{2}-yz} = 2$ होगा।

(A) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $(x+\frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x+\frac{1}{x})$ होती है।
दिया गया है कि $x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 52$ है।
माना $y = x + \frac{1}{x}$ है। इस मान को सर्वसमिका में रखने पर:
$y^{3} = 52 + 3y$
$y^{3} - 3y - 52 = 0$ प्राप्त होता है।
$y$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $52$ के गुणनखंडों की जाँच करते हैं। यदि $y = 4$ हो तो:
$4^{3} - 3(4) - 52 = 64 - 12 - 52 = 0$ होता है।
अतः,$y = 4$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए $x + \frac{1}{x}$ का मान $4$ है।

(B) दी गई व्यंजक $256 x^{4}+160 x^{2} y^{2}+25 y^{4}$ है।
इसे $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$256 x^{4}+160 x^{2} y^{2}+25 y^{4} = (16 x^{2})^{2} + 2(16 x^{2})(5 y^{2}) + (5 y^{2})^{2}$.
यह $(16 x^{2} + 5 y^{2})^{2}$ में सरल हो जाता है।
अब,$x=3$ और $y=4$ का मान व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(16(3)^{2} + 5(4)^{2})^{2} = (16 \times 9 + 5 \times 16)^{2}$.
$= (144 + 80)^{2} = (224)^{2}$.
$(224)^{2} = 50176$.

(D) दिया गया है कि $x+\frac{1}{x}=2$.
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हैं।
$a=x$ और $b=\frac{1}{x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+\frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x)(\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})$.
चूंकि $x+\frac{1}{x}=2$,इसलिए:
$2^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(1)(2)$.
$8 = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 6$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 8 - 6 = 2$.
वैकल्पिक रूप से,यदि $x+\frac{1}{x}=2$ है,तो $x=1$ एकमात्र वास्तविक हल है। $x=1$ को $x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$ में रखने पर $1^{3} + \frac{1}{1^{3}} = 1+1 = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=5$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} = 5^{2}$
$x + 2\left(\sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \frac{1}{x} = 25$
$x + 2 + \frac{1}{x} = 25$
$x + \frac{1}{x} = 23$
अब,फिर से दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} = 23^{2}$
$x^{2} + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^{2}} = 529$
$x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = 529$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 529 - 2 = 527$

(D) दिया गया है कि $x+\frac{1}{x}=3.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=3^{2}.$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=9 \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7.$
अब,समीकरण $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$ के दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{3}=7^{3}.$
सर्वसमिका $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ का उपयोग करने पर,
$x^{6}+\frac{1}{x^{6}}+3\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)=343.$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$ का मान रखने पर,
$x^{6}+\frac{1}{x^{6}}+3(7)=343.$
$x^{6}+\frac{1}{x^{6}}+21=343.$
$x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=343-21=322.$

(B) दी गई व्यंजक $a^{2} + \frac{1}{4} + a$ है।
हम इस व्यंजक को $a^{2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2}$ के रूप में है,जहाँ $x = a$ और $y = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$a^{2} + a + \frac{1}{4} = (a + \frac{1}{2})^{2}$ होगा।

(D) दिया गया है कि $a+b+c=0.$
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca).$
चूंकि $a+b+c=0,$ इसलिए दायां पक्ष $0$ हो जाता है,अतः $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc.$
अब,व्यंजक $\frac{a^{2}}{bc} + \frac{b^{2}}{ca} + \frac{c^{2}}{ab}$ पर विचार करें.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $abc$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}.$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{3abc}{abc} = 3.$

(A) $x^3+y^3+z^3-3xyz$ के लिए बीजीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
हम जानते हैं कि $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$.
इसलिए,$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$.
इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)[(x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) - (xy+yz+zx)]$
$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)[(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)]$
दिया गया है कि $x+y+z=9$ और $xy+yz+zx=23$:
$= 9 \times [9^2 - 3(23)]$
$= 9 \times [81 - 69]$
$= 9 \times 12 = 108$

(D) व्यंजक $x^{4}+2+\frac{1}{x^{4}}$ है।
इसे $(x^{2})^{2} + 2(x^{2})(\frac{1}{x^{2}}) + (\frac{1}{x^{2}})^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ के रूप में है,जहाँ $a = x^{2}$ और $b = \frac{1}{x^{2}}$ है।
अतः,व्यंजक $(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2}$ बन जाता है।
दिया गया है कि $x = \sqrt{3}$,इसलिए $x^{2} = 3$ और $\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{3}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(3 + \frac{1}{3})^{2}$ प्राप्त होता है।
$= (\frac{9+1}{3})^{2} = (\frac{10}{3})^{2}$.
$= \frac{100}{9}$.

(B) दिए गए समीकरण $x+\frac{1}{y}=1$ और $y+\frac{1}{z}=1$ हैं।
पहले समीकरण से,$x=1-\frac{1}{y}=\frac{y-1}{y}.$
इसलिए,$\frac{1}{x}=\frac{y}{y-1}.$
दूसरे समीकरण से,$\frac{1}{z}=1-y.$
अतः,$z=\frac{1}{1-y}.$
अब,इन मानों को व्यंजक $z+\frac{1}{x}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z+\frac{1}{x} = \frac{1}{1-y} + \frac{y}{y-1}$
$= \frac{1}{1-y} - \frac{y}{1-y}$
$= \frac{1-y}{1-y} = 1.$

(C) दी गई व्यंजक: $(a+b)^{2}-2(a^{2}-b^{2})+(a-b)^{2}$
हम जानते हैं कि $(a^{2}-b^{2}) = (a+b)(a-b)$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a+b)^{2}-2(a+b)(a-b)+(a-b)^{2}$
यह $x^{2}-2xy+y^{2}$ के रूप में है,जहाँ $x = (a+b)$ और $y = (a-b)$ है।
सर्वसमिका $(x-y)^{2} = x^{2}-2xy+y^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\{(a+b)-(a-b)\}^{2}$
$= (a+b-a+b)^{2}$
$= (2b)^{2}$
$= 4b^{2}$

(C) माना $f(x) = x^3 - 2x^2 + px - q$ और भाजक $g(x) = x^2 - 2x - 3$ है।
सबसे पहले,भाजक का गुणनखंड करें: $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.
बहुपद का भाग करने पर: $x^3 - 2x^2 + px - q = x(x^2 - 2x - 3) + (px + 3x - q) = x(x^2 - 2x - 3) + (p+3)x - q$.
अतः,शेषफल $(p+3)x - q$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि शेषफल $(x-6)$ है,इसलिए गुणांकों की तुलना करने पर:
$(p+3)x - q = 1x - 6$.
$x$ के गुणांक और अचर पद की तुलना करने पर:
$p + 3 = 1 \Rightarrow p = -2$.
$-q = -6 \Rightarrow q = 6$.
इसलिए,$p = -2$ और $q = 6$ प्राप्त होते हैं।

(A) शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार,यदि किसी बहुपद $f(x)$ को $(ax - b)$ जैसे रैखिक भाजक से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए भाजक को शून्य के बराबर रखकर $x$ का मान निकाला जाता है।
भाजक को शून्य के बराबर रखने पर:
$ax - b = 0$
$ax = b$
$x = \frac{b}{a}$
अतः,शेषफल $f\left(\frac{b}{a}\right)$ होगा।

(A) दी गई व्यंजक: $x^{3/2} - x y^{1/2} + x^{1/2} y - y^{3/2}$
पदों का समूह बनाकर गुणनखंड करें:
$= x(x^{1/2} - y^{1/2}) + y(x^{1/2} - y^{1/2})$
$(x^{1/2} - y^{1/2})$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= (x + y)(x^{1/2} - y^{1/2})$
अब,व्यंजक को $(x^{1/2} - y^{1/2})$ से विभाजित करने पर:
$\frac{(x + y)(x^{1/2} - y^{1/2})}{x^{1/2} - y^{1/2}} = x + y$
अतः,भागफल $x + y$ है।

(A) माना $f(x) = 4x^3 - ax^2 + bx - 4$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब $f(x)$ को $(x - c)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $f(c)$ होता है।
भाजक $(x - 2)$ के लिए,शेषफल $f(2) = 20$ है:
$4(2)^3 - a(2)^2 + b(2) - 4 = 20$
$4(8) - 4a + 2b - 4 = 20$
$32 - 4a + 2b - 4 = 20$
$28 - 4a + 2b = 20$
$2b - 4a = -8$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $b - 2a = -4$ या $2a - b = 4$ प्राप्त होता है ... $(1)$
भाजक $(x + 1)$ के लिए,शेषफल $f(-1) = -13$ है:
$4(-1)^3 - a(-1)^2 + b(-1) - 4 = -13$
$4(-1) - a(1) - b - 4 = -13$
$-4 - a - b - 4 = -13$
$-a - b - 8 = -13$
$-a - b = -5$ या $a + b = 5$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(2a - b) + (a + b) = 4 + 5$
$3a = 9 \Rightarrow a = 3$
समीकरण $(2)$ में $a = 3$ रखने पर:
$3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$
अतः,$a = 3$ और $b = 2$ प्राप्त होते हैं।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,हमारे पास $f(3) = 7$ और $f(-6) = 22$ है।
चूंकि भाजक $(x-3)(x+6)$ एक द्विघात बहुपद है,इसलिए शेषफल $ax + b$ के रूप में होगा।
अतः,$f(x) = (x-3)(x+6)Q(x) + (ax + b).$
$x = 3$ रखने पर: $f(3) = 3a + b = 7$ (समीकरण $1$).
$x = -6$ रखने पर: $f(-6) = -6a + b = 22$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(3a + b) - (-6a + b) = 7 - 22.$
$9a = -15 \implies a = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}.$
$a = -\frac{5}{3}$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $3(-\frac{5}{3}) + b = 7 \implies -5 + b = 7 \implies b = 12.$
अतः,शेषफल $-\frac{5}{3}x + 12$ है।

(C) दिया गया है कि $(x-1)$ बहुपद $P(x) = Ax^3 + Bx^2 - 36x + 22$ का एक गुणनखंड है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$P(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A(1)^3 + B(1)^2 - 36(1) + 22 = 0$
$A + B - 36 + 22 = 0$
$A + B = 14$ --- (समीकरण $1$)
दूसरी शर्त के अनुसार: $2^B = 64^A$ है।
चूंकि $64 = 2^6$,हम लिख सकते हैं:
$2^B = (2^6)^A$
$2^B = 2^{6A}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$B = 6A$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$A + 6A = 14$
$7A = 14$
$A = 2$
अब,समीकरण $2$ का उपयोग करके $B$ ज्ञात करें:
$B = 6(2) = 12$
अतः,$A=2$ और $B=12$ है।

(B) माना $S = \frac{1}{2+x_{1}} + \frac{1}{2+x_{2}} + \frac{1}{2+x_{3}}$.
दिया गया है $x_{1} x_{2} x_{3} = 16 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3})$.
व्यंजक $P = (2+x_{1})(2+x_{2})(2+x_{3}) = 8 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 2(x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1}) + x_{1}x_{2}x_{3}$ पर विचार करें।
$x_{1}x_{2}x_{3} = 16 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3})$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = 8 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 2(x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1}) + 16 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 24 + 8(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 2(x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1})$ प्राप्त होता है।
योग $S$ का अंश $(2+x_{2})(2+x_{3}) + (2+x_{1})(2+x_{3}) + (2+x_{1})(2+x_{2}) = 12 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + (x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1})$ है।
संबंध $x_{1}x_{2}x_{3} = 16 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3})$ का उपयोग करके,हम यह दिखा सकते हैं कि $S = \frac{1}{2}$।

(D) हमें सर्वसमिका दी गई है: $a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)$.
दिए गए मानों $a^{3}-b^{3}=91$ और $a-b=1$ को सर्वसमिका में रखने पर:
$91 = (1)^{3} + 3ab(1)$.
$91 = 1 + 3ab$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$91 - 1 = 3ab$.
$90 = 3ab$.
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$ab = \frac{90}{3} = 30$.

(C) हमें समीकरण $a-b=1$ और $ab=6$ दिए गए हैं।
हम घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करेंगे: $a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$।
सर्वसमिका में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a^3-b^3 = (1)^3 + 3(6)(1)$।
परिणाम की गणना करने पर:
$a^3-b^3 = 1 + 18 = 19$।
अतः,$(a^3-b^3)$ का मान $19$ है।

(A) दिया गया है कि $a = \frac{1}{a-5}$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a(a-5) = 1$ प्राप्त होता है,जो $a^2 - 5a - 1 = 0$ में बदल जाता है।
पूरे समीकरण को $a$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a > 0$,इसलिए $a \neq 0$),हमें $a - 5 - \frac{1}{a} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a - \frac{1}{a} = 5$।
हमें $a + \frac{1}{a}$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $(a + \frac{1}{a})^2 = (a - \frac{1}{a})^2 + 4$ होती है।
$a - \frac{1}{a} = 5$ का मान रखने पर,हमें $(a + \frac{1}{a})^2 = 5^2 + 4 = 25 + 4 = 29$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a + \frac{1}{a}$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$a + \frac{1}{a} = \sqrt{29}$।

(D) दी गई व्यंजक $y^{3}-y$ है।
हम इस व्यंजक का गुणनखंड कर सकते हैं:
$y^{3}-y = y(y^{2}-1)$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$y^{3}-y = y(y-1)(y+1)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है:
$(y-1) \cdot y \cdot (y+1)$
यह व्यंजक तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल दर्शाता है।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों में,कम से कम एक संख्या $2$ का गुणज होती है और ठीक एक संख्या $3$ का गुणज होती है।
चूंकि $2$ और $3$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए उनका गुणनफल $2 \times 3 = 6$ किसी भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल को विभाजित करेगा।
अतः,$(y^{3}-y)$ हमेशा $6$ का गुणज होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $2 a p q = (p + q)^2 - (p - q)^2$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(p + q)^2 - (p - q)^2 = 4 p q$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण में यह मान रखते हैं:
$2 a p q = 4 p q$
दोनों पक्षों को $2 p q$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $p, q \neq 0$):
$a = \frac{4 p q}{2 p q}$
$a = 2$

(A) व्यंजक $\left(\frac{x^{2}-x-6}{x^{2}+x-12}\right) \div \left(\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+7x+12}\right)$ को हल करने के लिए,हम भाग को गुणा में बदलेंगे और दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम लेंगे:
$\frac{x^{2}-x-6}{x^{2}+x-12} \times \frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}+5x+6}$
अब,प्रत्येक द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें:
$x^{2}-x-6 = (x-3)(x+2)$
$x^{2}+x-12 = (x+4)(x-3)$
$x^{2}+7x+12 = (x+4)(x+3)$
$x^{2}+5x+6 = (x+3)(x+2)$
इन गुणनखंडों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(x-3)(x+2)}{(x+4)(x-3)} \times \frac{(x+4)(x+3)}{(x+3)(x+2)}$
अंश और हर में समान पदों को काटने पर:
$\frac{{(x-3)}(x+2)}{(x+4){(x-3)}} \times \frac{(x+4){(x+3)}}{{(x+3)}(x+2)}$
$\frac{{(x+2)}}{{(x+4)}} \times \frac{{(x+4)}}{{(x+2)}} = 1$

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{(a^{2}+b^{2})(a-b)-(a-b)^{3}}{a^{2}b-ab^{2}}$
अंश से $(a-b)$ और हर से $ab$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= \frac{(a-b)[(a^{2}+b^{2})-(a-b)^{2}]}{ab(a-b)}$
अंश और हर से $(a-b)$ को काटने पर:
$= \frac{(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-2ab+b^{2})}{ab}$
अंश को सरल करने पर:
$= \frac{a^{2}+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}}{ab}$
$= \frac{2ab}{ab}$
$= 2$

(B) दिया गया है $(x+\frac{1}{x})=5.$
सबसे पहले,दोनों पक्षों का वर्ग करके $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})$ ज्ञात करें:
$(x+\frac{1}{x})^{2} = 5^{2}$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2 = 25$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 23.$
इसके बाद,दोनों पक्षों का घन करके $(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})$ ज्ञात करें:
$(x+\frac{1}{x})^{3} = 5^{3}$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(x+\frac{1}{x}) = 125$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(5) = 125$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}} = 125-15 = 110.$
अब,दोनों परिणामों का गुणा करें:
$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}) = 23 \times 110$
$x^{5}+\frac{1}{x}+x+\frac{1}{x^{5}} = 2530$
$(x^{5}+\frac{1}{x^{5}}) + (x+\frac{1}{x}) = 2530$
$(x^{5}+\frac{1}{x^{5}}) + 5 = 2530$
$x^{5}+\frac{1}{x^{5}} = 2530-5 = 2525.$

(D) दिया गया समीकरण: $2x + \frac{1}{2x} = 2$.
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $2x$ से गुणा करने पर: $4x^2 + 1 = 4x$.
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर: $4x^2 - 4x + 1 = 0$.
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है: $(2x - 1)^2 = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर: $2x - 1 = 0$,जिससे $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\sqrt{2(\frac{1}{x})^4 + (\frac{1}{x})^5}$ व्यंजक में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर।
चूंकि $\frac{1}{x} = 2$ है,इसलिए व्यंजक $\sqrt{2(2)^4 + (2)^5}$ बन जाता है।
घातों की गणना करने पर: $2^4 = 16$ और $2^5 = 32$.
इन मानों को रखने पर: $\sqrt{2(16) + 32} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64}$.
अंतिम मान $8$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $x+y+z=0.$
हमें व्यंजक $E = \frac{x^{2}}{3yz} + \frac{y^{2}}{3xz} + \frac{z^{2}}{3xy}$ का मान ज्ञात करना है।
हर $3yz, 3xz,$ और $3xy$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $3xyz$ है।
अतः,$E = \frac{x^{2}(x) + y^{2}(y) + z^{2}(z)}{3xyz} = \frac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{3xyz}.$
हम जानते हैं कि यदि $x+y+z=0$ हो,तो बीजीय सर्वसमिका के अनुसार $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$E = \frac{3xyz}{3xyz} = 1.$
नोट: दिए गए विकल्पों और व्यंजक की संरचना के आधार पर,परिणाम $1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $x = \sqrt[3]{x^{2} + 11} - 2$.
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर: $x + 2 = \sqrt[3]{x^{2} + 11}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर: $(x + 2)^{3} = x^{2} + 11$.
सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ का उपयोग करके बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x + 2) = x^{2} + 11$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$x^{3} + 8 + 6x(x + 2) = x^{2} + 11$.
$x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x = x^{2} + 11$.
$(x^{3} + 5x^{2} + 12x)$ को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x^{3} + 6x^{2} - x^{2} + 12x = 11 - 8$.
$x^{3} + 5x^{2} + 12x = 3$.
अतः,मान $3$ है।