QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(A) दिया गया है $k = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $k(x^2 + x + 1) = x^2 - x + 1$.
$kx^2 + kx + k = x^2 - x + 1$.
$(k - 1)x^2 + (k + 1)x + (k - 1) = 0$.
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$D = (k + 1)^2 - 4(k - 1)(k - 1) \ge 0$.
$(k + 1)^2 - 4(k - 1)^2 \ge 0$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$((k + 1) - 2(k - 1))((k + 1) + 2(k - 1)) \ge 0$.
$(k + 1 - 2k + 2)(k + 1 + 2k - 2) \ge 0$.
$(-k + 3)(3k - 1) \ge 0$.
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$(k - 3)(3k - 1) \le 0$.
यहाँ मूल $k = 3$ और $k = \frac{1}{3}$ हैं।
अतः,असमिका $\frac{1}{3} \le k \le 3$ के लिए सत्य है।

(A) माना $f(x) = (x - a)(x - c) + 2(x - b)(x - d)\text{।}$
हम दिए गए बिंदुओं $a, b, c, d$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(a) = (a - a)(a - c) + 2(a - b)(a - d) = 0 + 2(a - b)(a - d)\text{।}$ चूँकि $a < b$ और $a < d$,$(a - b)$ ऋणात्मक है और $(a - d)$ ऋणात्मक है,इसलिए $f(a) > 0\text{।}$
$f(b) = (b - a)(b - c) + 2(b - b)(b - d) = (b - a)(b - c) + 0\text{।}$ चूँकि $b > a$ और $b < c$,$(b - a) > 0$ और $(b - c) < 0$,इसलिए $f(b) < 0\text{।}$
$f(c) = (c - a)(c - c) + 2(c - b)(c - d) = 0 + 2(c - b)(c - d)\text{।}$ चूँकि $c > b$ और $c < d$,$(c - b) > 0$ और $(c - d) < 0$,इसलिए $f(c) < 0\text{।}$
$f(d) = (d - a)(d - c) + 2(d - b)(d - d) = (d - a)(d - c) + 0\text{।}$ चूँकि $d > a$ और $d > c$,$(d - a) > 0$ और $(d - c) > 0$,इसलिए $f(d) > 0\text{।}$
चूँकि $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है,यह सतत है। चूँकि $f(b) < 0$ और $f(a) > 0$,इसलिए $(a, b)$ के बीच एक मूल स्थित है। चूँकि $f(c) < 0$ और $f(d) > 0$,इसलिए $(c, d)$ के बीच एक मूल स्थित है।
अतः,द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(A) दिया गया समीकरण $qx^2 + px + q = 0$ है। चूँकि मूल सम्मिश्र हैं,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D_1 < 0$ होगा।
$D_1 = p^2 - 4(q)(q) = p^2 - 4q^2 < 0$,जिसका अर्थ है कि $p^2 < 4q^2$ है।
अब,दूसरे समीकरण $x^2 - 4qx + p^2 = 0$ पर विचार करें। इस समीकरण का विविक्तकर $D_2$ इस प्रकार है:
$D_2 = (-4q)^2 - 4(1)(p^2) = 16q^2 - 4p^2$।
इसे $D_2 = 4(4q^2 - p^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $p^2 < 4q^2$,इसलिए $4q^2 - p^2 > 0$ होगा।
अतः,$D_2 > 0$ है।
चूँकि दूसरे समीकरण का विविक्तकर धनात्मक है,इसलिए इसके मूल वास्तविक और असमान हैं।

(D) किसी द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए धनात्मक होने हेतु दो शर्तों का पालन होना आवश्यक है:
$1$. $x^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $A > 0$.
$2$. विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $D < 0$.
दिए गए व्यंजक $(a^2 - 1)x^2 + 2(a - 1)x + 2 > 0$ के लिए:
शर्त $1$: $a^2 - 1 > 0 \implies a^2 > 1 \implies a > 1$ या $a < -1$.
शर्त $2$: $D = [2(a - 1)]^2 - 4(a^2 - 1)(2) < 0$.
$4(a - 1)^2 - 8(a^2 - 1) < 0$.
$4$ से भाग देने पर: $(a - 1)^2 - 2(a^2 - 1) < 0$.
$(a^2 - 2a + 1) - 2a^2 + 2 < 0$.
$-a^2 - 2a + 3 < 0$.
$-1$ से गुणा करने पर (असमिका बदल जाएगी): $a^2 + 2a - 3 > 0$.
$(a + 3)(a - 1) > 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a > 1$ या $a < -3$ हो।
शर्त $1$ ($a > 1$ या $a < -1$) और शर्त $2$ ($a > 1$ या $a < -3$) का प्रतिच्छेदन लेने पर:
उभयनिष्ठ मान $a > 1$ या $a < -3$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2 - bx}{ax - c} = \frac{m - 1}{m + 1}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $(m + 1)(x^2 - bx) = (m - 1)(ax - c)$.
पदों का विस्तार करने पर: $(m + 1)x^2 - (m + 1)bx = (m - 1)ax - (m - 1)c$.
इसे मानक द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$(m + 1)x^2 - [b(m + 1) + a(m - 1)]x + c(m - 1) = 0$.
$x$ के गुणांक का विस्तार करने पर: $b(m + 1) + a(m - 1) = bm + b + am - a = m(a + b) - (a - b)$.
अतः,समीकरण $(m + 1)x^2 - [m(a + b) - (a - b)]x + c(m - 1) = 0$ है।
चूंकि मूल परिमाण में समान लेकिन विपरीत चिह्न के हैं,इसलिए उनका योग शून्य होना चाहिए।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का योग $-B/A$ होता है।
मूलों का योग शून्य रखने पर: $m(a + b) - (a - b) = 0$.
इसलिए,$m(a + b) = a - b$,जिससे $m = \frac{a - b}{a + b}$ प्राप्त होता है।

(B) गलत समीकरण $x^2 + 17x + q = 0$ लिया गया था।
यह दिया गया है कि इस गलत समीकरण के मूल $-2$ और $-15$ हैं,इसलिए हम मूलों के गुणनफल के सूत्र का उपयोग करके $q$ का मान ज्ञात कर सकते हैं: $q = (-2) \times (-15) = 30$।
अब,$q = 30$ और $x$ का सही गुणांक $(13)$ मूल समीकरण में रखने पर: $x^2 + 13x + 30 = 0$।
मूल ज्ञात करने के लिए,द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$।
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$।
$(x + 3)(x + 10) = 0$।
अतः,मूल $x = -3$ और $x = -10$ हैं।

(B) माना कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $n\alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $\alpha + n\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(n + 1) = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{a(n + 1)}$ ... $(i)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot n\alpha = \frac{c}{a} \implies n\alpha^2 = \frac{c}{a} \implies \alpha^2 = \frac{c}{na}$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ से $\alpha$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$\left(-\frac{b}{a(n + 1)}\right)^2 = \frac{c}{na}$
$\frac{b^2}{a^2(n + 1)^2} = \frac{c}{na}$
दोनों पक्षों को $a^2(n + 1)^2$ से गुणा करने पर:
$b^2 = \frac{c \cdot a^2(n + 1)^2}{na}$
$b^2 = \frac{ac(n + 1)^2}{n}$
$n{b^2} = ac{(n + 1)^2}$.

(B) माना कि दो मूल $\alpha$ और $\alpha^n$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$ होता है।
मूलों के गुणनफल से,हमें $\alpha = (\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को मूलों के योग के समीकरण में रखने पर:
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + ((\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}})^n = -\frac{b}{a}$
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + (\frac{c}{a})^{\frac{n}{n+1}} = -\frac{b}{a}$
दोनों पक्षों को $a$ से गुणा करने पर:
$a(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + a(\frac{c}{a})^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$a^{1 - \frac{1}{n+1}} c^{\frac{1}{n+1}} + a^{1 - \frac{n}{n+1}} c^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$a^{\frac{n}{n+1}} c^{\frac{1}{n+1}} + a^{\frac{1}{n+1}} c^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$(a^n c)^{\frac{1}{n+1}} + (a c^n)^{\frac{1}{n+1}} = -b$.

(A) दिया गया है कि $\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a}$ है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ होती है।
इसे $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर:
$(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = 1$
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = 1$
दोनों पक्षों को $a^2$ से गुणा करने पर:
$b^2 - 2ac = a^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $a^2 - b^2 + 2ac = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ है।
दोनों मूलों के $5$ से कम होने के लिए,तीन शर्तों का पालन होना चाहिए:
$1$. विविक्तकर $D \ge 0$: $D = (-2k)^2 - 4(1)(k^2 + k - 5) = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 20 = 20 - 4k$। अतः $20 - 4k \ge 0$,जिसका अर्थ है $k \le 5$।
$2$. शीर्ष की स्थिति: शीर्ष का $x$-निर्देशांक $-b/(2a) = 2k/2 = k$ का मान $5$ से कम होना चाहिए,इसलिए $k < 5$।
$3$. $x = 5$ पर फलन का मान: परवलय ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए $f(5) > 0$। अतः $5^2 - 2k(5) + k^2 + k - 5 > 0$,जिसे सरल करने पर $k^2 - 9k + 20 > 0$ प्राप्त होता है। गुणनखंड करने पर $(k - 4)(k - 5) > 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $k < 4$ या $k > 5$।
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $(k \le 5) \cap (k < 5) \cap (k < 4 \text{ या } k > 5)$,हमें $k < 4$ प्राप्त होता है। अतः $k \in (- \infty, 4)$।

(D) माना $x^2 - bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं, और $x^2 - cx + b = 0$ के मूल $\alpha'$ और $\beta'$ हैं।
दिया गया है कि मूलों का अंतर समान है, इसलिए $|\alpha - \beta| = |\alpha' - \beta'|$।
प्रथम समीकरण के लिए, मूलों का अंतर $\alpha - \beta = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{b^2 - 4c}$ है।
दूसरे समीकरण के लिए, मूलों का अंतर $\alpha' - \beta' = \sqrt{(\alpha' + \beta')^2 - 4\alpha'\beta'} = \sqrt{c^2 - 4b}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $b^2 - 4c = c^2 - 4b$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $b^2 - c^2 = 4c - 4b$।
बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर: $(b + c)(b - c) = -4(b - c)$।
यदि $b \neq c$ है, तो $(b - c)$ से भाग देने पर हमें $b + c = -4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण ${x^2} - 3kx + 2{e^{2\log k}} - 1 = 0$ है।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर,${e^{2\log k}} = {e^{\log {k^2}}} = {k^2}$।
अतः,समीकरण ${x^2} - 3kx + 2{k^2} - 1 = 0$ हो जाता है।
चूंकि मूलों का गुणनफल $7$ है,इसलिए $2{k^2} - 1 = 7$,जिसका अर्थ है $2{k^2} = 8$,अतः ${k^2} = 4$,जिससे $k = \pm 2$ प्राप्त होता है।
मूल समीकरण में $\log k$ मौजूद है,इसलिए $k$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $k = 2$।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac \ge 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$D = (-3k)^2 - 4(1)(2{k^2} - 1) = 9{k^2} - 8{k^2} + 4 = {k^2} + 4$।
चूंकि किसी भी वास्तविक $k$ के लिए ${k^2} + 4 > 0$ होता है,इसलिए $k = 2$ के लिए मूल वास्तविक हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a - b) = 0$ है।
मान लीजिए कि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हमें $\alpha = 1$ दिया गया है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूलों का गुणनफल $\frac{C}{A}$ होता है।
यहाँ,$A = a(b - c)$,$B = b(c - a)$,और $C = c(a - b)$ है।
इसलिए,$\alpha \cdot \beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$।
चूंकि $\alpha = 1$,इसलिए $1 \cdot \beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$।
अतः,$\beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$।

(B) दिया गया है $5\cos A + 3 = 0$,इसलिए $\cos A = -\frac{3}{5}$।
चूंकि $A$ एक त्रिभुज का कोण है,$\sin A$ धनात्मक होना चाहिए। अतः,$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$।
तब,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$।
माना मूल $\alpha = \sin A = \frac{4}{5}$ और $\beta = \tan A = -\frac{4}{3}$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = \frac{4}{5} - \frac{4}{3} = \frac{12 - 20}{15} = -\frac{8}{15}$।
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (\frac{4}{5})(-\frac{4}{3}) = -\frac{16}{15}$।
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - (-\frac{8}{15})x + (-\frac{16}{15}) = 0$।
$x^2 + \frac{8}{15}x - \frac{16}{15} = 0$।
$15$ से गुणा करने पर,हमें $15x^2 + 8x - 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^2 = -b/a$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = c/a$
मूलों के योग से,$\alpha^2 + \alpha + b/a = 0$। दोनों पक्षों का घन करने पर या सर्वसमिका $(\alpha^2 + \alpha)^3 = (-b/a)^3$ का उपयोग करने पर:
$\alpha^6 + \alpha^3 + 3\alpha^3(\alpha^2 + \alpha) = -b^3/a^3$
$\alpha^3 = c/a$ और $\alpha^2 + \alpha = -b/a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(c/a)^2 + (c/a) + 3(c/a)(-b/a) = -b^3/a^3$
$c^2/a^2 + c/a - 3bc/a^2 = -b^3/a^3$
$a^3$ से गुणा करने पर: $ac^2 + a^2c - 3abc = -b^3$
$b^3 + a^2c + ac^2 = 3abc$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति $a(c - b)^3 = c(a - b)^3$ के समतुल्य है।
अतः,$X = (a - b)^3$।

(D) दिया गया है कि $8$ और $2$ द्विघात समीकरण ${x^2} + ax + \beta = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए,मूलों का योग $8 + 2 = -a$ है,जिससे $a = -10$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $8 \times 2 = \beta$ है,जिससे $\beta = 16$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $3$ और $3$ द्विघात समीकरण ${x^2} + \alpha x + b = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए,मूलों का योग $3 + 3 = -\alpha$ है,जिससे $\alpha = -6$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $3 \times 3 = b$ है,जिससे $b = 9$ प्राप्त होता है।
अब,$a$ और $b$ के मानों को समीकरण ${x^2} + ax + b = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
${x^2} - 10x + 9 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 9)(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x = 9$ और $x = 1$ हैं।

(B) चरण $1$: पहली असमिका $5x + 2 < 3x + 8$ को हल करें।
$5x - 3x < 8 - 2$
$2x < 6$
$x < 3$.
चरण $2$: दूसरी असमिका $\frac{x + 2}{x - 1} < 4$ को हल करें।
दोनों पक्षों से $4$ घटाने पर: $\frac{x + 2}{x - 1} - 4 < 0$.
$\frac{x + 2 - 4(x - 1)}{x - 1} < 0$
$\frac{x + 2 - 4x + 4}{x - 1} < 0$
$\frac{-3x + 6}{x - 1} < 0$
$-1$ से गुणा करने पर और असमिका का चिह्न बदलने पर: $\frac{3x - 6}{x - 1} > 0$.
$\frac{3(x - 2)}{x - 1} > 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 2$ हैं। अंतरालों $(-\infty, 1)$,$(1, 2)$,और $(2, \infty)$ की जाँच करने पर,व्यंजक $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ में धनात्मक है।
चरण $3$: $x < 3$ और $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।
प्रतिच्छेदन $(-\infty, 1) \cup (2, 3)$ है।

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$,$x^2 - ax + b = 0$ के मूल हैं,इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2 - a\alpha + b = 0 \implies \alpha^2 = a\alpha - b$
$\beta^2 - a\beta + b = 0 \implies \beta^2 = a\beta - b$
पहले समीकरण को $\alpha^{n-1}$ से और दूसरे को $\beta^{n-1}$ से गुणा करने पर:
$\alpha^{n+1} = a\alpha^n - b\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1} = a\beta^n - b\beta^{n-1}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = a(\alpha^n + \beta^n) - b(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$
दिया गया है कि $V_n = \alpha^n + \beta^n$,इसलिए इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$V_{n+1} = aV_n - bV_{n-1}$

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + 7x + c = 0$ है।
इस समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{7}{2}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{2}$ है।
हमें $|\alpha^2 - \beta^2| = \frac{7}{4}$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = \pm \frac{7}{4}$।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-\frac{7}{2})^2 - 4(\frac{c}{2}) = \frac{49}{4} - 2c$।
अतः,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{49 - 8c}{4}} = \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2}$।
इन मानों को $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = \pm \frac{7}{4}$ में रखने पर:
$(-\frac{7}{2}) \cdot (\pm \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2}) = \pm \frac{7}{4}$।
इसे सरल करने पर $\frac{7}{4} \sqrt{49 - 8c} = \frac{7}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sqrt{49 - 8c} = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$49 - 8c = 1$,जिससे $8c = 48$ प्राप्त होता है,अतः $c = 6$।

(C) माना कि द्विघात समीकरण ${x^2} + (2 + \lambda )x - \frac{1}{2}(1 + \lambda ) = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(2 + \lambda)$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -\frac{1}{2}(1 + \lambda)$ है।
हमें मूलों के वर्गों का योग $S = {\alpha ^2} + {\beta ^2}$ को न्यूनतम करना है।
सर्वसमिका ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए:
$S = {\left[ { - (2 + \lambda )} \right]^2} - 2\left[ { - \frac{1}{2}(1 + \lambda )} \right]$
$S = {(2 + \lambda )^2} + (1 + \lambda ) = {\lambda ^2} + 4\lambda + 4 + 1 + \lambda = {\lambda ^2} + 5\lambda + 5$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$S$ का $\lambda$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{d\lambda} = 2\lambda + 5 = 0$,जिससे $\lambda = -5/2$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) दिया गया समीकरण ${x^2} - |x| - 6 = 0$ है।
स्थिति $1$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$ होगा। समीकरण ${x^2} - x - 6 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 3$ या $x = -2$ मिलता है। चूँकि हमने $x \ge 0$ माना था,इसलिए $x = 3$ स्वीकार्य है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$ होगा। समीकरण ${x^2} - (-x) - 6 = 0$ अर्थात ${x^2} + x - 6 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 3)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = -3$ या $x = 2$ मिलता है। चूँकि हमने $x < 0$ माना था,इसलिए $x = -3$ स्वीकार्य है।
अतः,समीकरण के वास्तविक मूल $3$ और $-3$ हैं।
सभी वास्तविक मूलों का गुणनफल $3 \times (-3) = -9$ है।

(C) माना द्विघात समीकरण $3x^2 + px + 3 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \alpha^2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{3} = 1$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\alpha^3 = 1$,इसलिए $\alpha = 1, \omega, \text{ या } \omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
यदि $\alpha = 1$ है,तो मूलों का योग $\alpha + \alpha^2 = 1 + 1 = 2 = -\frac{p}{3}$ होगा,जिससे $p = -6$ प्राप्त होता है। यह शर्त $p > 0$ का विरोधाभास करता है।
यदि $\alpha = \omega$ या $\alpha = \omega^2$ है,तो मूलों का योग $\alpha + \alpha^2 = \omega + \omega^2 = -1$ होता है।
मूलों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\alpha + \alpha^2 = -\frac{p}{3}$,हमें $-1 = -\frac{p}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = 3$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = q$ है।
दिया गया है कि $\alpha + h$ और $\beta + h$ समीकरण ${x^2} + rx + s = 0$ के मूल हैं,इसलिए $(\alpha + h) + (\beta + h) = -r$ और $(\alpha + h)(\beta + h) = s$ है।
प्रथम समीकरण से: $(\alpha + \beta) + 2h = -r \Rightarrow -p + 2h = -r \Rightarrow h = \frac{p - r}{2} \dots (i)$.
दूसरे समीकरण से: $\alpha \beta + h(\alpha + \beta) + h^2 = s$.
$\alpha + \beta$,$\alpha \beta$ और $h$ के मान रखने पर: $q + h(-p) + h^2 = s$.
$q + \left( \frac{p - r}{2} \right)(-p) + \left( \frac{p - r}{2} \right)^2 = s$.
$q - \frac{p^2 - pr}{2} + \frac{p^2 + r^2 - 2pr}{4} = s$.
$4$ से गुणा करने पर: $4q - 2p^2 + 2pr + p^2 + r^2 - 2pr = 4s$.
$4q - p^2 + r^2 = 4s \Rightarrow r^2 - 4s = p^2 - 4q$.

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ समीकरण ${x^2} - 3x + 1 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,मूलों का योग $a + b = 3$ और मूलों का गुणनफल $ab = 1$ है।
समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के मूल $(a - 2)$ और $(b - 2)$ हैं।
मूलों का योग: $(a - 2) + (b - 2) = -p$
$(a + b) - 4 = -p$
$3 - 4 = -p \Rightarrow -1 = -p \Rightarrow p = 1$.
मूलों का गुणनफल: $(a - 2)(b - 2) = q$
$ab - 2(a + b) + 4 = q$
$1 - 2(3) + 4 = q$
$1 - 6 + 4 = q \Rightarrow q = -1$.
अतः,$(p, q) = (1, -1)$.
चूंकि यह युग्म विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $2\alpha$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{1 - 3a}{a^2 - 5a + 3}$ है।
अतः,$\alpha = \frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}$।
मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3}$ है।
$\alpha$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$2 \left[ \frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)} \right]^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3}$।
$2 \cdot \frac{(1 - 3a)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2} = \frac{2}{a^2 - 5a + 3}$।
दोनों पक्षों से $2$ और $(a^2 - 5a + 3)$ के एक गुणनखंड को हटाने पर:
$\frac{(1 - 3a)^2}{9(a^2 - 5a + 3)} = 1$।
$(1 - 3a)^2 = 9(a^2 - 5a + 3)$।
$1 - 6a + 9a^2 = 9a^2 - 45a + 27$।
$-6a + 45a = 27 - 1$।
$39a = 26$।
$a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ को $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिससे पुनरावृत्त मूल $x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह एक उभयनिष्ठ मूल है,इसलिए यह दूसरे समीकरण $dx^2 + 2ex + f = 0$ को भी संतुष्ट करेगा।
$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$d(-\sqrt{\frac{c}{a}})^2 + 2e(-\sqrt{\frac{c}{a}}) + f = 0$
$d(\frac{c}{a}) - 2e\sqrt{\frac{c}{a}} + f = 0$
पूरे समीकरण को $c$ से विभाजित करने पर:
$\frac{d}{a} - 2e\frac{1}{\sqrt{ac}} + \frac{f}{c} = 0$
चूंकि $b = \sqrt{ac}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$.
यह शर्त दर्शाती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ $A.P.$ में हैं।

(D) माना कि उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। चूँकि $\alpha$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,हमारे पास है:
$\alpha^2 - 3\alpha + a = 0$ $(i)$
$\alpha^2 + a\alpha - 3 = 0$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से घटाने पर:
$(\alpha^2 - 3\alpha + a) - (\alpha^2 + a\alpha - 3) = 0$
$-3\alpha - a\alpha + a + 3 = 0$
$-\alpha(a + 3) + (a + 3) = 0$
$(a + 3)(1 - \alpha) = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $a = -3$ या $\alpha = 1$ है।
यदि $a = -3$ है,तो समीकरण $x^2 - 3x - 3 = 0$ और $x^2 - 3x - 3 = 0$ हो जाते हैं,जो समान हैं। सामान्यतः,हम $\alpha = 1$ लेते हैं।
$\alpha = 1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1^2 - 3(1) + a = 0$
$1 - 3 + a = 0$
$-2 + a = 0$
$a = 2$.

(A) माना $f(x) = {x^4} - (p - 3){x^3} - (3p - 5){x^2} + (2p - 7)x + 6$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x + 1)$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $f(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ रखने पर:
$(-1)^4 - (p - 3)(-1)^3 - (3p - 5)(-1)^2 + (2p - 7)(-1) + 6 = 0$
$1 - (p - 3)(-1) - (3p - 5)(1) - (2p - 7) + 6 = 0$
$1 + (p - 3) - (3p - 5) - 2p + 7 + 6 = 0$
$1 + p - 3 - 3p + 5 - 2p + 7 + 6 = 0$
समान पदों को जोड़ने पर:
$(1 - 3 + 5 + 7 + 6) + (p - 3p - 2p) = 0$
$16 - 4p = 0$
$4p = 16$
$p = 4$.

(C) चूंकि बहुपद के गुणांक वास्तविक हैं, इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। अतः, यदि $3 + i\sqrt{6}$ एक मूल है, तो $3 - i\sqrt{6}$ भी एक मूल होगा।
इन मूलों के संगत द्विघात गुणनखंड $(x - (3 + i\sqrt{6}))(x - (3 - i\sqrt{6})) = (x - 3)^2 - (i\sqrt{6})^2 = x^2 - 6x + 15$ है।
मूल समीकरण $4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = 0$ को $(x^2 - 6x + 15)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = (x^2 - 6x + 15)(4x^2 - 3) = 0$.
दूसरे गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर, $4x^2 - 3 = 0$, जिससे $x^2 = \frac{3}{4}$, जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः, मूल $3 \pm i\sqrt{6}$ और $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।

(D) माना $f(x) = 2x^2 - 2(2a + 1)x + a(a + 1)$ है।
एक मूल $a$ से कम और दूसरा मूल $a$ से अधिक होने के लिए,$x = a$ पर द्विघात फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(a) < 0$।
फलन में $x = a$ रखने पर:
$f(a) = 2(a)^2 - 2(2a + 1)(a) + a(a + 1)$
$f(a) = 2a^2 - 4a^2 - 2a + a^2 + a$
$f(a) = -a^2 - a$
$f(a) < 0$ रखने पर:
$-a^2 - a < 0$
$a^2 + a > 0$
$a(a + 1) > 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a > 0$ या $a < -1$ हो।
चूंकि विविक्तकर $D = 4(2a + 1)^2 - 8a(a + 1) = 8(a^2 + a + 1/2) = 8((a + 1/2)^2 + 1/4) > 0$ है,इसलिए मूल हमेशा वास्तविक होंगे। अतः,$f(a) < 0$ की शर्त पर्याप्त है।

(D) दिया गया है कि $\alpha$,$a^2x^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है,अतः $a^2\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,जिसका अर्थ है कि $b\alpha + c = -a^2\alpha^2$ है।
दिया गया है कि $\beta$,$a^2x^2 - bx - c = 0$ का एक मूल है,अतः $a^2\beta^2 - b\beta - c = 0$,जिसका अर्थ है कि $b\beta + c = a^2\beta^2$ है।
मान लीजिए $f(x) = a^2x^2 + 2bx + 2c$ है। हम $\alpha$ और $\beta$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(\alpha) = a^2\alpha^2 + 2(b\alpha + c) = a^2\alpha^2 + 2(-a^2\alpha^2) = -a^2\alpha^2$। चूँकि $a \ne 0$ और $\alpha > 0$ है,इसलिए $f(\alpha) < 0$ है।
$f(\beta) = a^2\beta^2 + 2(b\beta + c) = a^2\beta^2 + 2(a^2\beta^2) = 3a^2\beta^2$। चूँकि $a \ne 0$ और $\beta > 0$ है,इसलिए $f(\beta) > 0$ है।
चूँकि $f(\alpha) < 0$ और $f(\beta) > 0$ है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,$f(x) = 0$ का एक मूल $\gamma$ ऐसा अवश्य होगा कि $\alpha < \gamma < \beta$ हो।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिघात समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
त्रिघात समीकरण $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार:
मूलों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -a$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -c$
हमें $\alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$
$= \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$
विएटा के सूत्रों से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(C) दी गई असमिका: $\frac{2x}{2x^2 + 5x + 2} > \frac{1}{x + 1}$
हर का गुणनखंड करने पर: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} > \frac{1}{x + 1}$
असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} - \frac{1}{x + 1} > 0$
उभयनिष्ठ हर लेने पर: $\frac{2x(x + 1) - (2x + 1)(x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
अंश को सरल करने पर: $\frac{2x^2 + 2x - (2x^2 + 5x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
परिणाम: $\frac{-3x - 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$-1$ से गुणा करने और असमिका का चिह्न बदलने पर: $\frac{3x + 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} < 0$
क्रांतिक बिंदु $x = -2, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,असमिका $x \in (-2, -1) \cup (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2})$ के लिए सत्य है।

(A) दी गई द्विघात असमिका $ax^2 - 2x + 4 > 0$ है,जहाँ $a < 0$ है।
संगत समीकरण $ax^2 - 2x + 4 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$b = -2$ और $c = 4$ है,इसलिए $x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(a)(4)}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16a}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4a}}{a}$ है।
चूँकि $a < 0$ है,इसलिए परवलय $y = ax^2 - 2x + 4$ नीचे की ओर खुलता है।
असमिका $ax^2 - 2x + 4 > 0$ दोनों मूलों के बीच सत्य है।
अतः,हल $\frac{1 - \sqrt{1 - 4a}}{a} < x < \frac{1 + \sqrt{1 - 4a}}{a}$ है।

(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $3\alpha, 2\alpha, \beta$ हैं।
त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूलों के गुणों के अनुसार:
$1$. मूलों का योग: $3\alpha + 2\alpha + \beta = -(-9)/1 = 9 \implies 5\alpha + \beta = 9 \implies \beta = 9 - 5\alpha$ $(i)$.
$2$. दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $(3\alpha)(2\alpha) + (2\alpha)(\beta) + (3\alpha)(\beta) = 14 \implies 6\alpha^2 + 5\alpha\beta = 14$ $(ii)$.
$3$. मूलों का गुणनफल: $(3\alpha)(2\alpha)(\beta) = -24/1 = -24 \implies 6\alpha^2\beta = -24 \implies \alpha^2\beta = -4$ $(iii)$.
समीकरण $(i)$ से $\beta = 9 - 5\alpha$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$6\alpha^2 + 5\alpha(9 - 5\alpha) = 14$
$6\alpha^2 + 45\alpha - 25\alpha^2 = 14$
$-19\alpha^2 + 45\alpha - 14 = 0 \implies 19\alpha^2 - 45\alpha + 14 = 0$.
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(19\alpha - 7)(\alpha - 2) = 0$.
अतः,$\alpha = 2$ या $\alpha = 7/19$.
यदि $\alpha = 2$ है,तो $\beta = 9 - 5(2) = -1$। समीकरण $(iii)$ में जाँच करने पर: $(2)^2(-1) = -4$,जो सही है।
अतः मूल $3(2), 2(2), -1$ अर्थात $6, 4, -1$ हैं।

(C) माना $y = \frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $y(3x^2 + 9x + 7) = 3x^2 + 9x + 17$.
$3x^2(y - 1) + 9x(y - 1) + 7y - 17 = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए $(D \geq 0)$.
$D = [9(y - 1)]^2 - 4(3)(y - 1)(7y - 17) \geq 0$.
$81(y - 1)^2 - 12(y - 1)(7y - 17) \geq 0$.
$3(y - 1)$ से विभाजित करने पर: $27(y - 1) - 4(7y - 17) \geq 0$.
$27y - 27 - 28y + 68 \geq 0$.
$-y + 41 \geq 0 \Rightarrow y \leq 41$.
अतः,$y$ का अधिकतम मान $41$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ है।
इसे $(x - m)^2 - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणनखंड करने पर,हमें $(x - m - 1)(x - m + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x_1 = m - 1$ और $x_2 = m + 1$ हैं।
हमें दिया गया है कि दोनों मूल $-2 < x < 4$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं।
छोटे मूल $x_1 = m - 1$ के लिए,$m - 1 > -2$,जिसका अर्थ है $m > -1$।
बड़े मूल $x_2 = m + 1$ के लिए,$m + 1 < 4$,जिसका अर्थ है $m < 3$।
इन असमिकाओं को संयोजित करने पर,हमें $-1 < m < 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m$ के मान $(-1, 3)$ अंतराल में स्थित हैं।

(C) मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + ax + 1 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से,हमारे पास $\alpha + \beta = -a$ और $\alpha \beta = 1$ है।
मूलों के बीच का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $|\alpha - \beta| = \sqrt{(-a)^2 - 4(1)} = \sqrt{a^2 - 4}$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,$|\alpha - \beta| < \sqrt{5}$ है।
इसलिए,$\sqrt{a^2 - 4} < \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2 - 4 < 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a^2 < 9$ हो जाता है।
इसका अर्थ है $|a| < 3$,जिसका तात्पर्य है $-3 < a < 3$।
अतः,$a$ के संभावित मानों का समुच्चय $a \in (-3, 3)$ है।

(D) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। पहले समीकरण $x^2 - 6x + a = 0$ का दूसरा मूल $4\beta$ है और दूसरे समीकरण $x^2 - cx + 6 = 0$ का दूसरा मूल $3\beta$ है,जहाँ $\beta$ एक पूर्णांक है।
मूलों के गुणों से:
पहले समीकरण के लिए: $\alpha + 4\beta = 6$ और $\alpha(4\beta) = a$.
दूसरे समीकरण के लिए: $\alpha + 3\beta = c$ और $\alpha(3\beta) = 6$.
दूसरे समीकरण से,हमें $3\alpha\beta = 6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha\beta = 2$.
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं,इसलिए $(\alpha, \beta)$ के लिए संभावित जोड़े $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $\alpha = 2$ और $\beta = 1$ है,तो $\alpha + 4\beta = 2 + 4(1) = 6$. यह पहले समीकरण के मूलों के योग की शर्त को संतुष्ट करता है।
स्थिति $2$: यदि $\alpha = 1$ और $\beta = 2$ है,तो $\alpha + 4\beta = 1 + 4(2) = 9 \neq 6$.
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\alpha = 2$ है।

(C) दिया गया है कि द्विघात समीकरण $bx^2 + cx + a = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए इसका विविक्तकर (discriminant) शून्य से कम होना चाहिए।
अतः,$D = c^2 - 4ab < 0$,जिसका अर्थ है $c^2 < 4ab$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-c^2 > -4ab$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $E = 3b^2x^2 + 6bcx + 2c^2$ पर विचार करें।
हम इसे $E = 3(b^2x^2 + 2bcx + c^2) - c^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $E = 3(bx + c)^2 - c^2$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $(bx + c)^2 \geq 0$ होता है,इसलिए $3(bx + c)^2 \geq 0$ होगा।
अतः,$E = 3(bx + c)^2 - c^2 \geq -c^2$।
चूंकि हमने स्थापित किया है कि $-c^2 > -4ab$,इसलिए $E > -4ab$ होगा।

(A) मान लीजिए द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।
सचिन ने अचर पद $(c)$ लिखने में गलती की, इसलिए मूलों का योगफल सही है।
मूलों का योगफल $= 4 + 3 = 7$.
अतः, $-b/a = 7$.
राहुल ने $x$ के गुणांक $(b)$ को लिखने में गलती की, इसलिए मूलों का गुणनफल सही है।
मूलों का गुणनफल $= 3 \times 2 = 6$.
अतः, $c/a = 6$.
सही द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर, हमें $x^2 - 7x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 6x - x + 6 = 0$
$x(x - 6) - 1(x - 6) = 0$
$(x - 6)(x - 1) = 0$.
इसलिए, सही मूल $6$ और $1$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$ है।
मान लीजिए $e^{\sin x} = t$ है। चूँकि $\sin x \in [-1, 1]$,इसलिए $t \in [e^{-1}, e^1]$,अर्थात $t \in [1/e, e]$।
समीकरण $t - \frac{1}{t} - 4 = 0$ बन जाता है।
$t$ से गुणा करने पर,हमें $t^2 - 4t - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $t = 2 - \sqrt{5}$। चूँकि $\sqrt{5} \approx 2.236$,इसलिए $2 - \sqrt{5} < 0$। लेकिन $e^{\sin x}$ हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए यह मान अस्वीकार्य है।
स्थिति $2$: $t = 2 + \sqrt{5}$। चूँकि $\sqrt{5} \approx 2.236$,इसलिए $t \approx 4.236$। चूँकि $e \approx 2.718$,इसलिए $t > e$। हालाँकि $e^{\sin x}$ का अधिकतम मान $e^1 = e \approx 2.718$ है। चूँकि $4.236 > 2.718$,इसलिए $e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ के लिए कोई वास्तविक $x$ संभव नहीं है।
अतः,दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(D) माना $f(x) = 2x^2 + 3x + k$.
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac > 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 2, b = 3, c = k$ है।
$D = 3^2 - 4(2)(k) = 9 - 8k$ है।
भिन्न वास्तविक मूलों के लिए,$9 - 8k > 0 \Rightarrow k < 9/8$ है।
हालाँकि,द्विघात समीकरण $2x^2 + 3x + k = 0$ के मूल $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8k}}{4}$ द्वारा दिए जाते हैं।
इन मूलों के $[0, 1]$ अंतराल में होने के लिए,$0 \le \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8k}}{4} \le 1$ होना चाहिए।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,$9 - 8k \ge 0$ होना चाहिए। यदि हम मूल $x = \frac{-3 + \sqrt{9 - 8k}}{4}$ लेते हैं,तो इसके $\ge 0$ होने के लिए,$\sqrt{9 - 8k} \ge 3$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $9 - 8k \ge 9$,अर्थात $k \le 0$ है।
यदि $k \le 0$ है,तो दूसरा मूल $x = \frac{-3 - \sqrt{9 - 8k}}{4}$ का मान $-3/4$ से कम होगा,जो $[0, 1]$ अंतराल के बाहर है।
इस प्रकार,दोनों मूलों का एक साथ $[0, 1]$ में होना असंभव है।
अतः,ऐसी कोई वास्तविक संख्या $k$ अस्तित्व में नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + 2x + 3 = 0$ है।
विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$ की गणना करने पर।
चूँकि $D < 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल काल्पनिक हैं।
यदि दो द्विघात समीकरणों का एक मूल उभयनिष्ठ है और गुणांक वास्तविक हैं,तो काल्पनिक मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों (conjugate pairs) में होते हैं।
इसलिए,यदि एक मूल उभयनिष्ठ है,तो दोनों मूल समान होंगे।
दो समीकरणों $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$ और $a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$ के मूल समान होने के लिए,उनके गुणांकों का अनुपात बराबर होना चाहिए:
$\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k$।
इसका अर्थ है $a = k, b = 2k, c = 3k$।
अतः,अनुपात $a:b:c = k:2k:3k = 1:2:3$ है।

(A) दिया गया समीकरण $-3(x - [x])^2 + 2(x - [x]) + a^2 = 0$ है।
माना $t = x - [x] = \{x\}$,जहाँ $0 \leq t < 1$ है।
समीकरण $-3t^2 + 2t + a^2 = 0$ या $3t^2 - 2t - a^2 = 0$ बन जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-a^2)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12a^2}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $t = \{x\}$,इसलिए $0 \leq t < 1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $t = \frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$। $t < 1$ के लिए,$\frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3} < 1 \Rightarrow \sqrt{1 + 3a^2} < 2 \Rightarrow 1 + 3a^2 < 4 \Rightarrow 3a^2 < 3 \Rightarrow a^2 < 1 \Rightarrow a \in (-1, 1)$।
स्थिति $2$: $t = \frac{1 - \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$। चूंकि $\sqrt{1 + 3a^2} \geq 1$,इसलिए $t \leq 0$ है। $t$ के एक मान्य भिन्नात्मक भाग होने के लिए,$t$ को $0$ होना चाहिए (जो $x$ के पूर्णांक होने के अनुरूप है)। यदि $t=0$,तो $a^2=0$,अर्थात $a=0$। यदि $a=0$ है,तो पूर्णांक हल प्राप्त होते हैं। पूर्णांक हल न होने के लिए हमें $a=0$ को हटाना होगा।
अतः,$a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$।

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ और $\alpha\beta = \frac{r}{p}$ है।
चूंकि $p, q, r$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2q = p + r$ है।
दिया गया है कि $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$,जिसका अर्थ है $\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = 4$,अतः $\alpha + \beta = 4\alpha\beta$ है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर: $-\frac{q}{p} = 4(\frac{r}{p}) \Rightarrow q = -4r$ प्राप्त होता है।
$q = -4r$ को समांतर श्रेणी की शर्त $2q = p + r$ में रखने पर: $2(-4r) = p + r \Rightarrow -8r = p + r \Rightarrow p = -9r$ प्राप्त होता है।
अब,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p} = -\frac{-4r}{-9r} = -\frac{4}{9}$ और $\alpha\beta = \frac{r}{p} = \frac{r}{-9r} = -\frac{1}{9}$ है।
सर्वसमिका $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$(\alpha - \beta)^2 = (-\frac{4}{9})^2 - 4(-\frac{1}{9}) = \frac{16}{81} + \frac{4}{9} = \frac{16 + 36}{81} = \frac{52}{81}$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{52}{81}} = \frac{\sqrt{4 \times 13}}{9} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - 6x - 2 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,$\alpha + \beta = 6$ और $\alpha \beta = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
$\alpha^2 - 6\alpha - 2 = 0 \implies \alpha^2 - 2 = 6\alpha$
$\beta^2 - 6\beta - 2 = 0 \implies \beta^2 - 2 = 6\beta$
हमें $a_n = \alpha^n - \beta^n$ दिया गया है। हमें $\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9}$ का मान ज्ञात करना है।
$a_n$ का व्यंजक रखने पर:
$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2 - 2) - \beta^8(\beta^2 - 2)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$\alpha^2 - 2 = 6\alpha$ और $\beta^2 - 2 = 6\beta$ संबंधों का उपयोग करने पर:
$= \frac{\alpha^8(6\alpha) - \beta^8(6\beta)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6\alpha^9 - 6\beta^9}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6(\alpha^9 - \beta^9)}{2(\alpha^9 - \beta^9)} = \frac{6}{2} = 3$.

(C) यह समीकरण $f(x)^{g(x)} = 1$ के रूप में है। यह तीन स्थितियों में सत्य होता है:
स्थिति $1$: आधार $1$ हो। $x^2 - 5x + 5 = 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0$. अतः,$x = 1, 4$.
स्थिति $2$: आधार $-1$ हो और घातांक एक सम पूर्णांक हो। $x^2 - 5x + 5 = -1 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0$. अतः,$x = 2, 3$. घातांक $g(x) = x^2 + 4x - 60$ की जाँच करने पर: $x=2$ के लिए,$g(2) = 4 + 8 - 60 = -48$ (सम)। $x=3$ के लिए,$g(3) = 9 + 12 - 60 = -39$ (विषम)। अतः,$x=3$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
स्थिति $3$: घातांक $0$ हो और आधार शून्य न हो। $x^2 + 4x - 60 = 0 \Rightarrow (x+10)(x-6) = 0$. अतः,$x = -10, 6$. आधार $f(x) = x^2 - 5x + 5$ की जाँच करने पर: $x=-10$ के लिए,$f(-10) = 155 \neq 0$. $x=6$ के लिए,$f(6) = 11 \neq 0$. दोनों मान्य हैं।
$x$ के सभी वास्तविक मानों का समुच्चय ${1, 4, 2, -10, 6}$ है।
योग $1 + 4 + 2 - 10 + 6 = 3$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.
$r$ पर योग करने पर: $nx^2 + x \sum_{r=1}^{n} (2r - 1) + \sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = 10n$.
योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $\sum_{r=1}^{n} (2r - 1) = n^2$ और $\sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$.
अतः,$nx^2 + n^2x + \frac{n(n^2 - 1)}{3} = 10n$.
$n$ से भाग देने पर $(n \neq 0)$: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 1}{3} = 10$.
$x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.
माना मूल $\alpha$ और $\alpha + 1$ हैं। मूलों का योग: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$\alpha$ का मान रखने पर: $\left(\frac{-(n+1)}{2}\right) \left(\frac{-(n+1)}{2} + 1\right) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$\left(\frac{-(n+1)}{2}\right) \left(\frac{1-n}{2}\right) = \frac{n^2 - 31}{3} \Rightarrow \frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124 \Rightarrow n^2 = 121 \Rightarrow n = 11$.

(B) दिया गया समीकरण: $|x^2 - x - 6| = x + 2$ है।
स्थिति $I$: $x^2 - x - 6 < 0$।
$(x - 3)(x + 2) < 0$,जिसका अर्थ है $-2 < x < 3$।
इस स्थिति में,समीकरण $-(x^2 - x - 6) = x + 2$ हो जाता है।
$-x^2 + x + 6 = x + 2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$।
चूंकि $-2 < x < 3$,इसलिए केवल $x = 2$ एक मान्य समाधान है।
स्थिति $II$: $x^2 - x - 6 \ge 0$।
$(x - 3)(x + 2) \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \le -2$ या $x \ge 3$।
इस स्थिति में,समीकरण $x^2 - x - 6 = x + 2$ हो जाता है।
$x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 4$ या $x = -2$।
दोनों मान स्थिति $x \le -2$ या $x \ge 3$ को संतुष्ट करते हैं।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,समाधान $x = -2, 2, 4$ हैं।