QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 - 2(m^2 + 1)x + m^4 + m^2 + 1 = 0$ है।
इसे $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$b = -2(m^2 + 1)$,और $c = m^4 + m^2 + 1$ प्राप्त होता है।
मूलों के गुणों का उपयोग करते हुए:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -b/a = \frac{2(m^2 + 1)}{2} = m^2 + 1$ ... $(i)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = c/a = \frac{m^4 + m^2 + 1}{2}$ ... $(ii)$
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$.
$(i)$ और $(ii)$ से मान रखने पर:
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^2 + 1)^2 - 2 \left( \frac{m^4 + m^2 + 1}{2} \right)$
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^4 + 2m^2 + 1) - (m^4 + m^2 + 1)$
$\alpha^2 + \beta^2 = m^4 - m^4 + 2m^2 - m^2 + 1 - 1 = m^2$.

(B) माना समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $p\alpha$ और $q\alpha$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार:
मूलों का योग: $p\alpha + q\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(p + q) = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{a(p + q)}$.
मूलों का गुणनफल: $(p\alpha)(q\alpha) = \frac{c}{a} \implies pq\alpha^2 = \frac{c}{a}$.
$\alpha$ का मान गुणनफल वाले समीकरण में रखने पर:
$pq \left( -\frac{b}{a(p + q)} \right)^2 = \frac{c}{a}$
$pq \left( \frac{b^2}{a^2(p + q)^2} \right) = \frac{c}{a}$
$pqb^2 = ac(p + q)^2$
$pqb^2 - (p + q)^2ac = 0$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
साथ ही,चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण को संतुष्ट करते हैं,$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0 \implies a\alpha + b = -\frac{c}{\alpha}$ और $a\beta + b = -\frac{c}{\beta}$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\alpha}{a\beta + b} + \frac{\beta}{a\alpha + b} = \frac{\alpha}{-c/\beta} + \frac{\beta}{-c/\alpha} = -\frac{\alpha\beta}{c} - \frac{\beta\alpha}{c} = -\frac{2\alpha\beta}{c}$.
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ रखने पर:
$-\frac{2(c/a)}{c} = -\frac{2}{a}$.

(C) मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,मूलों का योग उनके वर्गों के योग के बराबर है,इसलिए $\alpha + \beta = \alpha^2 + \beta^2$ है।
मान रखने पर,$-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $a^2$ से गुणा करने पर,$-ab = b^2 - 2ac$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2ac = b^2 + ab$,जो सरल होकर $2ac = b(a + b)$ हो जाता है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{\alpha}{x - \alpha} + \frac{\beta}{x - \beta} = 1$
$(x - \alpha)(x - \beta)$ से गुणा करने पर:
$\alpha(x - \beta) + \beta(x - \alpha) = (x - \alpha)(x - \beta)$
$\alpha x - \alpha \beta + \beta x - \alpha \beta = x^2 - \alpha x - \beta x + \alpha \beta$
$(\alpha + \beta)x - 2\alpha \beta = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta$
द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 2(\alpha + \beta)x + 3\alpha \beta = 0$
मान लीजिए मूल $k$ और $-k$ हैं। द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $-b/a$ होता है।
मूलों का योग: $k + (-k) = 0$
समीकरण से,मूलों का योग $2(\alpha + \beta)$ है।
अतः,$2(\alpha + \beta) = 0$,जिसका अर्थ है कि $\alpha + \beta = 0$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 3 = 0$ है।
इस समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = 2$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = 3$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\frac{1}{\alpha^2}$ और $\frac{1}{\beta^2}$ हैं।
नए मूलों का योग $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{2^2 - 2(3)}{3^2} = \frac{4 - 6}{9} = -\frac{2}{9}$।
नए मूलों का गुणनफल $\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = \frac{1}{(\alpha\beta)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$ है।
अपेक्षित द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - (-\frac{2}{9})x + \frac{1}{9} = 0$।
$9$ से गुणा करने पर,हमें $9x^2 + 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 + px + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha \beta = 1$ है।
दिया गया है कि $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2 + qx + 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $\gamma + \delta = -q$ और $\gamma \delta = 1$ है।
व्यंजक $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$ पर विचार करें।
पहले भाग का विस्तार करने पर: $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma) = \alpha \beta - \gamma(\alpha + \beta) + \gamma^2 = 1 + p\gamma + \gamma^2$।
चूंकि $\gamma$ समीकरण $x^2 + qx + 1 = 0$ का एक मूल है,इसलिए $\gamma^2 + q\gamma + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $\gamma^2 + 1 = -q\gamma$।
अतः,$1 + p\gamma + \gamma^2 = -q\gamma + p\gamma = \gamma(p - q)$।
इसी प्रकार,दूसरे भाग का विस्तार करने पर: $(\alpha + \delta)(\beta + \delta) = \alpha \beta + \delta(\alpha + \beta) + \delta^2 = 1 - p\delta + \delta^2$।
चूंकि $\delta$ समीकरण $x^2 + qx + 1 = 0$ का एक मूल है,इसलिए $\delta^2 + q\delta + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $\delta^2 + 1 = -q\delta$।
अतः,$1 - p\delta + \delta^2 = -q\delta - p\delta = -\delta(p + q)$।
इन परिणामों का गुणा करने पर: $\gamma(p - q) \cdot [-\delta(p + q)] = -\gamma \delta (p^2 - q^2) = -1 \cdot (p^2 - q^2) = q^2 - p^2$।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2 - px + q = 0$ के मूल हैं,अतः $\alpha + \beta = p$ और $\alpha\beta = q$ है।
दिया गया है कि $\alpha', \beta'$ समीकरण $x^2 - p'x + q' = 0$ के मूल हैं,अतः $\alpha' + \beta' = p'$ और $\alpha'\beta' = q'$ है।
हमें व्यंजक $E = (\alpha - \alpha')^2 + (\beta - \alpha')^2 + (\alpha - \beta')^2 + (\beta - \beta')^2$ का मान ज्ञात करना है।
पदों का विस्तार करने पर: $E = (\alpha^2 - 2\alpha\alpha' + \alpha'^2) + (\beta^2 - 2\beta\alpha' + \alpha'^2) + (\alpha^2 - 2\alpha\beta' + \beta'^2) + (\beta^2 - 2\beta\beta' + \beta'^2)$।
पदों को समूहित करने पर: $E = 2(\alpha^2 + \beta^2) + 2(\alpha'^2 + \beta'^2) - 2\alpha'(\alpha + \beta) - 2\beta'(\alpha + \beta)$।
सर्वसमिका $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ का उपयोग करने पर:
$E = 2[(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta] + 2[(\alpha' + \beta')^2 - 2\alpha'\beta'] - 2(\alpha' + \beta')(\alpha + \beta)$।
मान रखने पर: $E = 2[p^2 - 2q] + 2[p'^2 - 2q'] - 2(p')(p)$।
$E = 2\{p^2 - 2q + p'^2 - 2q' - pp'\}$।

(A) माना मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a}$ $(i)$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{c}{a}$ $(ii)$ है।
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(\alpha + \alpha^2)^3 = (-\frac{b}{a})^3$
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -\frac{b^3}{a^3}$
समीकरण में $\alpha^3 = \frac{c}{a}$ और $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a}$ रखने पर:
$\frac{c}{a} + (\frac{c}{a})^2 + 3(\frac{c}{a})(-\frac{b}{a}) = -\frac{b^3}{a^3}$
$\frac{c}{a} + \frac{c^2}{a^2} - \frac{3bc}{a^2} = -\frac{b^3}{a^3}$
पूरे समीकरण को $a^3$ से गुणा करने पर:
$a^2c + ac^2 - 3abc = -b^3$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b^3 + a^2c + ac^2 = 3abc$.

(A) माना कि द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों का समांतर माध्य $(A.M.)$ $A = \frac{\alpha + \beta}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $\alpha + \beta = 2A$।
मूलों का गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ $G = \sqrt{\alpha \beta}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $\alpha \beta = G^2$।
$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - (\text{मूलों का योग})t + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,हमें $t^2 - (2A)t + G^2 = 0$ या $t^2 - 2At + G^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $(x - a)(x - b) = c$ के मूल हैं।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (a + b)x + ab = c$ प्राप्त होता है,या $x^2 - (a + b)x + (ab - c) = 0$।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = a + b$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = ab - c$ है।
हमें समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ के मूल ज्ञात करने हैं।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta + c = 0$ प्राप्त होता है।
$\alpha + \beta = a + b$ और $\alpha \beta = ab - c$ के मानों को समीकरण में रखने पर:
$x^2 - (a + b)x + (ab - c) + c = 0$
$x^2 - (a + b)x + ab = 0$
यह समीकरण $(x - a)(x - b) = 0$ के समतुल्य है।
अतः,समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।

(C) माना कि द्विघात समीकरण $x^2 - px + 8 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 8$ होता है।
हमें दिया गया है कि मूलों का अंतर $|\alpha - \beta| = 2$ है,जिसका अर्थ है कि $(\alpha - \beta)^2 = 4$ है।
सर्वसमिका $(\alpha + \beta)^2 - (\alpha - \beta)^2 = 4\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए,हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$p^2 - 2^2 = 4(8)$
$p^2 - 4 = 32$
$p^2 = 36$
$p = \pm 6$.

(C) माना $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
तब,$\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$ है।
दिया गया है कि मूलों का योग उनके व्युत्क्रमों के वर्गों के योग के बराबर है:
$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$.
मान रखने पर:
$-b/a = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{(c/a)^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2/a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.
$-b/a = \frac{b^2 - 2ac}{c^2} \implies -bc^2 = ab^2 - 2a^2c$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $2a^2c = ab^2 + bc^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ है।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ है।
हमें व्यंजक $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} = \frac{(\sqrt{\alpha})^2 + (\sqrt{\beta})^2}{\sqrt{\alpha \beta}} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha \beta}}$ प्राप्त होता है।
$\alpha + \beta$ और $\alpha \beta$ के मान रखने पर:
$= \frac{-2b/a}{\sqrt{c/a}} = \frac{-2b/a}{\sqrt{c}/\sqrt{a}} = -\frac{2b}{a} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} = -\frac{2b}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} = -\frac{2b}{\sqrt{ac}}$।

(A) वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के लिए,सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया है कि एक मूल $\alpha = 7 + 5i$ है,तो दूसरा मूल इसका संयुग्मी $\beta = 7 - 5i$ होना चाहिए।
द्विघात समीकरण का सूत्र है: $x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha \beta) = 0$।
सबसे पहले,मूलों का योग ज्ञात करें: $\alpha + \beta = (7 + 5i) + (7 - 5i) = 14$।
इसके बाद,मूलों का गुणनफल ज्ञात करें: $\alpha \beta = (7 + 5i)(7 - 5i) = 7^2 - (5i)^2 = 49 - 25i^2 = 49 + 25 = 74$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $x^2 - 14x + 74 = 0$।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$ है।
$r(x+p)(x+q)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $r(x+q) + r(x+p) = (x+p)(x+q)$.
$rx + rq + rx + rp = x^2 + px + qx + pq$.
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण प्राप्त करने पर: $x^2 + x(p + q - 2r) + (pq - pr - qr) = 0$.
माना मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं क्योंकि वे परिमाण में समान और चिह्न में विपरीत हैं।
मूलों का योग $\alpha + (-\alpha) = 0$ होता है।
द्विघात समीकरण से,मूलों का योग $-(p + q - 2r) = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $p + q - 2r = 0$,यानी $r = \frac{p + q}{2}$।
मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot (-\alpha) = -\alpha^2$ होता है।
द्विघात समीकरण से,मूलों का गुणनफल $pq - r(p + q)$ है।
$r = \frac{p + q}{2}$ का मान गुणनफल के पद में रखने पर:
गुणनफल $= pq - \frac{p + q}{2}(p + q) = pq - \frac{(p + q)^2}{2} = \frac{2pq - (p^2 + 2pq + q^2)}{2} = \frac{2pq - p^2 - 2pq - q^2}{2} = -\frac{p^2 + q^2}{2}$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।
मान लीजिए कि समीकरण के मूल $\alpha$ और $\frac{1}{\alpha}$ हैं क्योंकि वे एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल अचर पद और $x^2$ के गुणांक का अनुपात होता है।
मूलों का गुणनफल = $\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{c}{a}$।
चूंकि $\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1$,इसलिए हमारे पास $1 = \frac{c}{a}$ है।
इसका अर्थ है कि $a = c$,या $a - c = 0$।

(B) दिया गया है कि पहला मूल $\alpha = 2 - \sqrt{3}$ है।
चूंकि द्विघात समीकरण के गुणांक परिमेय माने जाते हैं,इसलिए अपरिमेय मूल हमेशा संयुग्मी जोड़े में होते हैं।
अतः,दूसरा मूल $\beta = 2 + \sqrt{3}$ होगा।
मूलों का योग $\alpha + \beta = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$ है।
द्विघात समीकरण का मानक रूप $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 4x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,$\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ और $\alpha\beta = \frac{C}{A}$ है।
दिया गया है कि $\alpha^2, \beta^2$ समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,$\alpha^2 + \beta^2 = -p$ और $\alpha^2\beta^2 = q$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{B}{A})^2 - 2(\frac{C}{A}) = \frac{B^2}{A^2} - \frac{2C}{A} = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$।
चूंकि $\alpha^2 + \beta^2 = -p$,इसलिए $-p = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$,जिसका अर्थ है कि $p = \frac{2AC - B^2}{A^2}$।

(A) दिया गया एक मूल $\alpha = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\alpha = \frac{1(2 - \sqrt{5})}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} = \frac{2 - \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{2 - \sqrt{5}}{-1} = \sqrt{5} - 2$.
चूंकि द्विघात समीकरण के गुणांक परिमेय होते हैं,इसलिए दूसरा मूल $\beta$,$\alpha$ का संयुग्मी होगा,जो $\beta = -\sqrt{5} - 2$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = (\sqrt{5} - 2) + (-\sqrt{5} - 2) = -4$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = (\sqrt{5} - 2)(-\sqrt{5} - 2) = -(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = -(5 - 4) = -1$.
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर: $x^2 - (-4)x + (-1) = 0$,जो सरल होकर $x^2 + 4x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणधर्मों के अनुसार,$\alpha + \beta = -1$ और $\alpha \beta = 1$ है।
अब,$\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल हैं।
मूलों का योग $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = -p$ द्वारा प्राप्त होता है।
योग का सरलीकरण करने पर: $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = -p$।
सर्वसमिका $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = -p$।
$\alpha + \beta = -1$ और $\alpha \beta = 1$ का मान रखने पर:
$\frac{(-1)^2 - 2(1)}{1} = -p$।
$\frac{1 - 2}{1} = -p$।
$-1 = -p$,जिसका अर्थ है कि $p = 1$।

(C) द्विघात समीकरण $x^2 + ax + b = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = b$ होता है।
हम घनों के योग के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$.
इसे मूलों के योग और गुणनफल के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta]$.
$\alpha + \beta = -a$ और $\alpha\beta = b$ का मान रखने पर:
$\alpha^3 + \beta^3 = (-a)[(-a)^2 - 3(b)]$
$= (-a)(a^2 - 3b)$
$= -a^3 + 3ab$.

(C) माना कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,मूलों का योग उनके अंतर का तीन गुना है: $\alpha + \beta = 3(\alpha - \beta) = -p$।
इससे $\alpha - \beta = -p/3$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ होता है।
मान रखने पर,$(-p/3)^2 = (-p)^2 - 4q$ प्राप्त होता है।
$p^2/9 = p^2 - 4q$।
$4q = p^2 - p^2/9$।
$4q = 8p^2/9$।
$36q = 8p^2$,जिसे सरल करने पर $2p^2 = 9q$ प्राप्त होता है।

(A) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1$,$b = 2m$,और $c = m^2 - 2m + 6$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ रखने पर:
$(2m)^2 - 4(1)(m^2 - 2m + 6) = 0$।
$4m^2 - 4m^2 + 8m - 24 = 0$।
$8m - 24 = 0$।
$8m = 24$।
$m = 3$।

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ रूप के द्विघात समीकरण के लिए,यदि मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं,तो उनका गुणनफल $1$ के बराबर होता है।
दिए गए समीकरण $(2k + 1)x^2 - (7k + 3)x + k + 2 = 0$ में,$a = 2k + 1$ और $c = k + 2$ है।
मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि मूल व्युत्क्रम हैं,इसलिए $\frac{c}{a} = 1$ होगा।
अतः,$\frac{k + 2}{2k + 1} = 1$।
दोनों पक्षों को $(2k + 1)$ से गुणा करने पर,हमें $k + 2 = 2k + 1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$2 - 1 = 2k - k$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जिसके मूल $l$ और $2l$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करने पर:
मूलों का योग: $l + 2l = -\frac{b}{a} \Rightarrow 3l = -\frac{b}{a} \Rightarrow l = -\frac{b}{3a}$.....$(i)$
मूलों का गुणनफल: $l \cdot 2l = \frac{c}{a} \Rightarrow 2l^2 = \frac{c}{a}$.....$(ii)$
समीकरण $(i)$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$2\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
$2\left(\frac{b^2}{9a^2}\right) = \frac{c}{a}$
$\frac{2b^2}{9a^2} = \frac{c}{a}$
$2b^2 = 9ac$.

(D) माना द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है: $\alpha + \beta = 2$ और $\alpha^3 + \beta^3 = 98$.
हम जानते हैं कि: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta]$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $98 = 2[2^2 - 3\alpha\beta]$.
$49 = 4 - 3\alpha\beta$.
$3\alpha\beta = 4 - 49 = -45$.
$\alpha\beta = -15$.
द्विघात समीकरण का मानक रूप $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $x^2 - 2x - 15 = 0$.

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग और गुणनफल इस प्रकार है:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
हमें $\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta + \alpha\beta$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक से $\alpha\beta$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta + \alpha\beta = \alpha\beta(\beta + \alpha + 1)$.
$(\alpha + \beta)$ और $(\alpha\beta)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left(\frac{c}{a}\right) \left(-\frac{b}{a} + 1\right)$
$= \left(\frac{c}{a}\right) \left(\frac{a - b}{a}\right)$
$= \frac{c(a - b)}{a^2}$.

(C) $ax^2 + bx + c = 0$ रूप के द्विघात समीकरण के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $mx^2 + 6x + (2m - 1) = 0$ में,$a = m$,$b = 6$,और $c = 2m - 1$ है।
प्रश्न के अनुसार,मूलों का गुणनफल $-1$ है।
इसलिए,$\frac{2m - 1}{m} = -1$ है।
दोनों पक्षों को $m$ से गुणा करने पर,हमें $2m - 1 = -m$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $m$ जोड़ने पर,हमें $3m - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $3m = 1$ प्राप्त होता है।
$3$ से भाग देने पर,हमें $m = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + ax + b = 0$ है जिसके मूल $p$ और $q$ हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $p + q = -a$ और मूलों का गुणनफल $pq = b$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha = p^2q$ और $\beta = pq^2$ हैं।
नए मूलों का योग $\alpha + \beta = p^2q + pq^2 = pq(p + q)$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha + \beta = (b)(-a) = -ab$ प्राप्त होता है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = (p^2q)(pq^2) = p^3q^3 = (pq)^3$ है।
ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha \cdot \beta = b^3$ प्राप्त होता है।
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 - (-ab)x + b^3 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + abx + b^3 = 0$ के रूप में सरल होता है।

(A) माना मूल $\alpha = \frac{1}{3 + \sqrt{2}}$ और $\beta = \frac{1}{3 - \sqrt{2}}$ हैं।
मूलों का परिमेयकरण करने पर:
$\alpha = \frac{3 - \sqrt{2}}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} = \frac{3 - \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$
$\beta = \frac{3 + \sqrt{2}}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$
मूलों का योग $(\alpha + \beta) = \frac{3 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2}}{7} = \frac{6}{7}$
मूलों का गुणनफल $(\alpha \beta) = \frac{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})}{7 \times 7} = \frac{9 - 2}{49} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{1}{7} = 0$
$7$ से गुणा करने पर,हमें $7x^2 - 6x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) द्विघात समीकरण $x^2 - 4x + 1 = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-4)/1 = 4$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 1/1 = 1$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर,
मान रखने पर: $\alpha^3 + \beta^3 = (4)^3 - 3(1)(4)$.
$\alpha^3 + \beta^3 = 64 - 12 = 52$.

(B) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या अपने अंकों के योग की चार गुनी है:
$10x + y = 4(x + y)$
$10x + y = 4x + 4y$
$6x = 3y$
$y = 2x$ (समीकरण $1$)
साथ ही,संख्या अपने अंकों के गुणनफल की तीन गुनी है:
$10x + y = 3xy$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में $y = 2x$ रखने पर:
$10x + 2x = 3x(2x)$
$12x = 6x^2$
चूंकि दो अंकों की संख्या के लिए $x$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $6x$ से भाग देने पर:
$x = 2$
अब,समीकरण $1$ का उपयोग करके $y$ ज्ञात करें:
$y = 2(2) = 4$
अतः,वह संख्या $10(2) + 4 = 24$ है।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $2x^2 - 35x + 2 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{2} = 1$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है: $2\alpha^2 - 35\alpha + 2 = 0$,जिसका अर्थ है $2\alpha^2 - 35\alpha = -2$।
$\alpha$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $\alpha \neq 0$),हमें $2\alpha - 35 = -\frac{2}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\beta$ के लिए,$2\beta - 35 = -\frac{2}{\beta}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को $(2\alpha - 35)^3 \cdot (2\beta - 35)^3$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\alpha - 35)^3 \cdot (2\beta - 35)^3 = \left(-\frac{2}{\alpha}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{\beta}\right)^3$.
$= \left(-\frac{8}{\alpha^3}\right) \cdot \left(-\frac{8}{\beta^3}\right) = \frac{64}{(\alpha \beta)^3}$.
चूंकि $\alpha \beta = 1$,इसलिए व्यंजक का मान $\frac{64}{(1)^3} = 64$ होगा।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\alpha^2$ मूल हैं,हम जानते हैं कि $\alpha + \alpha^2 = -1$ और $\alpha^3 = 1$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{31}$ और $\alpha^{62}$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha^{31} + \alpha^{62} = \alpha^{31}(1 + \alpha^{31}) = (\alpha^3)^{10} \cdot \alpha (1 + (\alpha^3)^{10} \cdot \alpha) = \alpha(1 + \alpha) = \alpha + \alpha^2 = -1$ है।
मूलों का गुणनफल: $\alpha^{31} \cdot \alpha^{62} = \alpha^{93} = (\alpha^3)^{31} = 1^{31} = 1$ है।
अपेक्षित द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर: $x^2 - (-1)x + 1 = 0$,जो सरल होकर $x^2 + x + 1 = 0$ हो जाता है।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $\alpha$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल $\omega$ है,इसलिए $\alpha^{31} = \omega^{31} = \omega$ और $\alpha^{62} = \omega^{62} = \omega^2$ है। अतः $\omega$ और $\omega^2$ मूलों वाला समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है।

(B) दिया गया है कि $p$ और $q$ समीकरण $3x^2 = 5x + 2$ को संतुष्ट करते हैं।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण $3x^2 - 5x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p$ और $q$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं और $p \neq q$ है,इसलिए हम द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों और गुणांकों के बीच के संबंध का उपयोग कर सकते हैं।
मूलों का गुणनफल $pq$ सूत्र $c/a$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3$,$b = -5$,और $c = -2$ है।
अतः,$pq = -2/3$।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + bx - c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास है:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -b \implies b = -(\alpha + \beta)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = -c \implies c = -\alpha \beta$
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $b$ और $c$ हैं।
नए मूलों का योग: $b + c = -(\alpha + \beta) - \alpha \beta = -[(\alpha + \beta) + \alpha \beta]$
नए मूलों का गुणनफल: $bc = [ -(\alpha + \beta) ] \times [ -\alpha \beta ] = (\alpha + \beta)(\alpha \beta)$
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x^2 - (-[(\alpha + \beta) + \alpha \beta])x + (\alpha + \beta)(\alpha \beta) = 0$
$x^2 + [(\alpha + \beta) + \alpha \beta]x + \alpha \beta(\alpha + \beta) = 0$.

(B) दिया गया है कि $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha \beta = c/a$.
व्यंजक $(1 + \alpha + \alpha^2)(1 + \beta + \beta^2)$ का विस्तार करने पर:
$= 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha^2 + \beta^2) + \alpha \beta + \alpha \beta (\alpha + \beta) + \alpha^2 \beta^2$
$= 1 + (\alpha + \beta) + ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta) + \alpha \beta + \alpha \beta (\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$
$= 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta + \alpha \beta (\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$
मान रखने पर:
$= 1 - \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} - \frac{c}{a} + \left(\frac{c}{a}\right)\left(-\frac{b}{a}\right) + \frac{c^2}{a^2}$
$= \frac{a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{a^2}$
$= \frac{1}{2a^2} [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$
चूंकि $a, b, c$ भिन्न हैं,इसलिए वर्गों का योग हमेशा धनात्मक होता है। अतः,यह व्यंजक हमेशा धनात्मक है।

(A) माना मूल $x_1 = \frac{\alpha}{\alpha - 1}$ और $x_2 = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$ हैं।
मूलों का योग: $x_1 + x_2 = \frac{\alpha}{\alpha - 1} + \frac{\alpha + 1}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \alpha^2 - 1}{\alpha(\alpha - 1)} = \frac{2\alpha^2 - 1}{\alpha^2 - \alpha} = -\frac{b}{a}$.
मूलों का गुणनफल: $x_1 x_2 = \frac{\alpha}{\alpha - 1} \cdot \frac{\alpha + 1}{\alpha} = \frac{\alpha + 1}{\alpha - 1} = \frac{c}{a}$.
$\frac{\alpha + 1}{\alpha - 1} = \frac{c}{a}$ से,योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{(\alpha + 1) + (\alpha - 1)}{(\alpha + 1) - (\alpha - 1)} = \frac{c + a}{c - a} \Rightarrow \alpha = \frac{c + a}{c - a}$.
साथ ही,$\alpha - 1 = \frac{2a}{c - a}$.
इन मानों को मूलों के योग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $(a + b + c)^2 = b^2 - 4ac$।

(B) माना समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,जहाँ $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{m}{n}$ है।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ है।
संबंध $\frac{(\alpha + \beta)^2}{\alpha\beta} = \frac{(\frac{m}{n} + 1)^2}{\frac{m}{n}} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{(-2b/a)^2}{c/a} = \frac{4b^2/a^2}{c/a} = \frac{4b^2}{ac} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b^2}{ac} = \frac{(m+n)^2}{4mn}$।
इसी प्रकार,समीकरण $px^2 + 2qx + r = 0$ के लिए,यदि मूलों का अनुपात $\frac{m}{n}$ है,तो $\frac{q^2}{pr} = \frac{(m+n)^2}{4mn}$ प्राप्त होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{b^2}{ac} = \frac{q^2}{pr}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + bx - c = 0$ है,जहाँ $b, c > 0$ है।
मान लीजिए समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -c$ होता है।
चूँकि $b > 0$ है,इसलिए $\alpha + \beta = -b < 0$ होगा।
चूँकि $c > 0$ है,इसलिए $\alpha \beta = -c < 0$ होगा।
यदि मूलों का गुणनफल $(\alpha \beta)$ ऋणात्मक है,तो इसका अर्थ है कि एक मूल धनात्मक और दूसरा मूल ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,मूल विपरीत चिह्न वाले हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण ${x^2} - (p + 1)x + pq = 0$ है।
चूंकि $p$ और $q$ इस समीकरण के मूल हैं,इसलिए हम मूलों और गुणांकों के बीच के संबंध का उपयोग कर सकते हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $x$ के गुणांक का ऋणात्मक मान और ${x^2}$ के गुणांक का अनुपात होता है।
अतः,$p + q = -(-(p + 1)) / 1$।
इसे सरल करने पर $p + q = p + 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $p$ घटाने पर,हमें $q = 1$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_1 = b^2 - 4ac$ है। मूलों का अंतर $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \left( -\frac{b}{a} \right)^2 - 4\left( \frac{c}{a} \right) = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूल $\alpha - k$ और $\beta - k$ हैं। इन मूलों का अंतर $(\alpha - k) - (\beta - k) = \alpha - \beta$ है। अतः,मूलों के अंतर का वर्ग $(\alpha - \beta)^2$ है।
दूसरे समीकरण के गुणांकों का उपयोग करते हुए,मूलों के अंतर का वर्ग $\frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ प्राप्त होता है।
$(\alpha - \beta)^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{B^2 - 4AC}{b^2 - 4ac} = \frac{A^2}{a^2} = \left( \frac{A}{a} \right)^2$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $p + q = -p$ और मूलों का गुणनफल $pq = q$ होता है।
मूलों के गुणनफल के समीकरण से: $pq - q = 0 \Rightarrow q(p - 1) = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $q = 0$ या $p = 1$ है।
स्थिति $1$: यदि $q = 0$ है,तो मूलों के योग का समीकरण $p + q = -p$ बदलकर $p + 0 = -p$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $2p = 0$,अतः $p = 0$। इस प्रकार,$(p, q) = (0, 0)$।
स्थिति $2$: यदि $p = 1$ है,तो मूलों के योग का समीकरण $p + q = -p$ बदलकर $1 + q = -1$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $q = -2$। इस प्रकार,$(p, q) = (1, -2)$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही युग्म $p = 1, q = -2$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $ix^2 - 2(i + 1)x + (2 - i) = 0$ है।
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हमें दिया गया है कि $\beta = 2 - i$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = i$ और $c = 2 - i$ है।
इसलिए,$\alpha \cdot (2 - i) = \frac{2 - i}{i}$।
दोनों पक्षों को $(2 - i)$ से विभाजित करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{i}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{i} = -i$,इसलिए दूसरा मूल $\alpha = -i$ है।

(A) $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं,तो उनका गुणनफल $1$ के बराबर होता है।
माना मूल $\alpha$ और $1/\alpha$ हैं।
मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 5$,$b = -7$,और $c = k$ है।
इसलिए,$\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{k}{5}$।
$1 = \frac{k}{5}$।
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर,हमें $k = 5$ प्राप्त होता है।

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = c/a$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^2 - 7x + 6 = 0$ में,$a = 1$,$b = -7$,और $c = 6$ है।
अतः,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-7)/1 = 7$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = 6/1 = 6$ है।
हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{7}{6}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2x + 4 = 0$ है।
इस समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = 2$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = 4$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण को संतुष्ट करते हैं,इसलिए $\alpha^2 = 2\alpha - 4$ और $\beta^2 = 2\beta - 4$ होगा।
पुनरावृत्ति संबंध $S_n = \alpha^n + \beta^n$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $S_n - 2S_{n-1} + 4S_{n-2} = 0$ है।
$n=1$ के लिए,$S_1 = \alpha + \beta = 2$।
$n=2$ के लिए,$S_2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (2)^2 - 2(4) = 4 - 8 = -4$।
$n=3$ के लिए,$S_3 = 2S_2 - 4S_1 = 2(-4) - 4(2) = -8 - 8 = -16$।
$n=4$ के लिए,$S_4 = 2S_3 - 4S_2 = 2(-16) - 4(-4) = -32 + 16 = -16$।
$n=5$ के लिए,$S_5 = 2S_4 - 4S_3 = 2(-16) - 4(-16) = -32 + 64 = 32$।
अतः,$\alpha^5 + \beta^5 = 32$।

(A) दिए गए समीकरण $a(p + q)^2 + 2bpq + c = 0$ और $a(p + r)^2 + 2bpr + c = 0$ हैं।
ये समीकरण दर्शाते हैं कि $q$ और $r$,$x$ में द्विघात समीकरण $a(p + x)^2 + 2bpx + c = 0$ के मूल हैं।
समीकरण का विस्तार करने पर: $a(p^2 + 2px + x^2) + 2bpx + c = 0$.
$ax^2 + 2apx + ap^2 + 2bpx + c = 0$.
$x$ के पदों को व्यवस्थित करने पर: $ax^2 + 2x(ap + bp) + (ap^2 + c) = 0$.
$ax^2 + 2px(a + b) + (ap^2 + c) = 0$.
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{C}{A}$ होता है।
यहाँ,$A = a$,$B = 2p(a + b)$,और $C = ap^2 + c$ है।
अतः,मूलों का गुणनफल $qr = \frac{ap^2 + c}{a} = p^2 + \frac{c}{a}$ होगा।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $(a + b - 2c)x^2 - (2a - b - c)x + (a - 2b + c) = 0$ है।
मान लीजिए गुणांक $A = (a + b - 2c)$,$B = -(2a - b - c)$,और $C = (a - 2b + c)$ हैं।
गुणांकों का योग ज्ञात करने पर: $A + B + C = (a + b - 2c) - (2a - b - c) + (a - 2b + c) = a + b - 2c - 2a + b + c + a - 2b + c = (a - 2a + a) + (b + b - 2b) + (-2c + c + c) = 0 + 0 + 0 = 0$.
चूंकि गुणांकों का योग $0$ है,इसलिए समीकरण का एक मूल $x = 1$ होगा।
मान लीजिए दूसरा मूल $\alpha$ है। मूलों का गुणनफल $\frac{C}{A} = \frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः $1 \cdot \alpha = \frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$,जिसका अर्थ है कि मूल $1$ और $\frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प $A$,$B$ या $C$ परिणाम से मेल नहीं खाता है। इसलिए,सही उत्तर $D$ है।