logarithm Questions in Hindi

(A) हमें $\log _{10} 2 = 0.3010$ और $\log _{10} 7 = 0.8451$ दिया गया है।
हमें $\log _{10} 2.8$ का मान ज्ञात करना है।
$\log _{10} 2.8 = \log _{10} \left( \frac{28}{10} \right) = \log _{10} \left( \frac{2^2 \times 7}{10} \right)$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(a \times b) = \log a + \log b$,$\log(a/b) = \log a - \log b$,और $\log(a^n) = n \log a$:
$\log _{10} 2.8 = \log _{10} (2^2) + \log _{10} 7 - \log _{10} 10$.
$= 2 \log _{10} 2 + \log _{10} 7 - 1$.
$= 2(0.3010) + 0.8451 - 1$.
$= 0.6020 + 0.8451 - 1$.
$= 1.4471 - 1 = 0.4471$.

(B) दिया गया समीकरण: $\log _{10} 5 + \log _{10}(5x + 1) = \log _{10}(x + 5) + 1$
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log _{10}[5(5x + 1)] = \log _{10}(x + 5) + \log _{10} 10$ (क्योंकि $\log _{10} 10 = 1$)
$\log _{10}[5(5x + 1)] = \log _{10}[10(x + 5)]$
दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर:
$5(5x + 1) = 10(x + 5)$
$25x + 5 = 10x + 50$
$25x - 10x = 50 - 5$
$15x = 45$
$x = 3$

(A) दिया गया है कि $\log _{10} 7 = a$.
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = \log x - \log y$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log _{10} \left( \frac{1}{70} \right) = \log _{10} 1 - \log _{10} 70$.
चूंकि $\log _{10} 1 = 0$ और $\log _{10} 70 = \log _{10} (7 \times 10)$:
$= 0 - \log _{10} (7 \times 10)$.
$\log (xy) = \log x + \log y$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= -[\log _{10} 7 + \log _{10} 10]$.
चूंकि $\log _{10} 7 = a$ और $\log _{10} 10 = 1$ है:
$= -(a + 1) = -(1 + a)$.

(D) दिया गया है कि $\log _{a}(a b)=x$.
$\log(mn) = \log m + \log n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log _{a} a + \log _{a} b = x$
चूंकि $\log _{a} a = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \log _{a} b = x \Rightarrow \log _{a} b = x - 1$.
अब,हमें $\log _{b}(a b)$ का मान ज्ञात करना है:
$\log _{b}(a b) = \log _{b} a + \log _{b} b = \log _{b} a + 1$.
$\log _{b} a = \frac{1}{\log _{a} b}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{x - 1} + 1 = \frac{1 + (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$.

(C) हम लघुगणक के गुणधर्म $\log(a^n) = n \log a$ का उपयोग करेंगे।
चूंकि $\sqrt{8} = 8^{1/2}$ है,इसलिए हम अंश को $\log(8^{1/2}) = \frac{1}{2} \log 8$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\log \sqrt{8}}{\log 8} = \frac{\frac{1}{2} \log 8}{\log 8} = \frac{1}{2}$.

(C) दिए गए समीकरण $\log _{x} y=100$ और $\log _{2} x=10$ हैं।
लघुगणक (logarithm) के आधार परिवर्तन नियम का उपयोग करते हुए,$\log _{a} b \times \log _{b} c = \log _{a} c.$
दिए गए दोनों समीकरणों का गुणा करने पर:
$\log _{2} x \times \log _{x} y = 10 \times 100$
$\log _{2} y = 1000$
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,यदि $\log _{a} b = c$ है,तो $b = a^{c}$ होता है।
अतः,$y = 2^{1000}$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $16$ को $2$ की घात के रूप में लिखा जा सकता है,अर्थात $16 = 2^4$।
लघुगणक के गुणधर्म $\log_{b} (a^n) = n \log_{b} a$ का उपयोग करने पर:
$\log _{2} 16 = \log _{2} (2^4)$
$= 4 \log _{2} 2$
चूंकि $\log _{b} b = 1$,इसलिए $\log _{2} 2 = 1$।
अतः,$4 \times 1 = 4$।

(C) $2^{64}$ में अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम संख्या का सामान्य लघुगणक (आधार $10$) लेते हैं।
मान लीजिए $x = 2^{64}$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर,हमें $\log_{10} x = \log_{10} (2^{64})$ प्राप्त होता है।
$\log(a^b) = b \log a$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\log_{10} x = 64 \times \log_{10} 2$ होता है।
दिया गया है कि $\log_{10} 2 = 0.3010$,इसलिए $\log_{10} x = 64 \times 0.3010 = 19.264$ है।
किसी संख्या $x$ में अंकों की संख्या $\lfloor \log_{10} x \rfloor + 1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lfloor \cdot \rfloor$ पूर्णांक भाग (लघुगणक का अभिलक्षण) है।
यहाँ,अभिलक्षण $19$ है।
अतः,अंकों की संख्या $= 19 + 1 = 20$ है।

(C) दिया गया है: $\log 2 = 0.3010$ और $\log 3 = 0.4771$।
हमें $\log _{5} 512$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$512$ को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करें: $512 = 2^9$।
आधार परिवर्तन सूत्र (change of base formula) का उपयोग करते हुए,$\log _{b} a = \frac{\log _{10} a}{\log _{10} b}$।
अतः,$\log _{5} 512 = \log _{5} (2^9) = 9 \log _{5} 2$।
इसे $9 \times \frac{\log _{10} 2}{\log _{10} 5}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\log _{10} 5 = \log _{10} (10/2) = \log _{10} 10 - \log _{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$।
मान रखने पर: $\log _{5} 512 = \frac{9 \times 0.3010}{0.6990} = \frac{2.709}{0.699} = 3.8755... \approx 3.876$।

(A) लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए:
$n \log a = \log a^n$ और $\log a + \log b - \log c = \log \left( \frac{a \times b}{c} \right)$.
दी गई अभिव्यक्ति: $2 \log _{10} 5 + \log _{10} 8 - \frac{1}{2} \log _{10} 4$
$= \log _{10} (5^2) + \log _{10} 8 - \log _{10} (4^{1/2})$
$= \log _{10} 25 + \log _{10} 8 - \log _{10} 2$
$= \log _{10} \left( \frac{25 \times 8}{2} \right)$
$= \log _{10} (100)$
$= \log _{10} (10^2)$
$= 2 \log _{10} 10 = 2 \times 1 = 2$.

(B) दिया गया है: $\log 2=x, \log 3=y, \log 7=z$.
हमें $\log (4 \sqrt[3]{63})$ का मान ज्ञात करना है।
$
\log (4 \sqrt[3]{63}) = \log (2^2 \cdot (3^2 \cdot 7)^{1/3})
$
लघुगणक के गुणों $\log (ab) = \log a + \log b$ और $\log (a^n) = n \log a$ का उपयोग करने पर:
$
\log (4 \sqrt[3]{63}) = \log (2^2) + \log ((3^2 \cdot 7)^{1/3})
$
$= 2 \log 2 + \frac{1}{3} \log (3^2 \cdot 7)$
$= 2 \log 2 + \frac{1}{3} (\log 3^2 + \log 7)$
$= 2 \log 2 + \frac{1}{3} (2 \log 3 + \log 7)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2x + \frac{1}{3} (2y + z)$
$= 2x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{3} z$.

(C) दिया गया है कि $\log 3 = 0.477$ और $(1000)^{x} = 3$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10}(1000)^{x} = \log_{10} 3$
$\log(a^b) = b \log a$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$x \log_{10}(10^3) = \log_{10} 3$
चूँकि $\log_{10}(10^3) = 3$:
$3x = \log_{10} 3$
$x = \frac{1}{3} \log_{10} 3$
$\log 3 = 0.477$ का मान रखने पर:
$x = \frac{0.477}{3} = 0.159$

(C) दिया गया समीकरण $a^{x} = b^{y}$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log(a^{x}) = \log(b^{y})$
लघुगणक के घात नियम $\log(m^{n}) = n \log m$ का उपयोग करने पर:
$x \log a = y \log b$
$\frac{\log a}{\log b}$ का अनुपात प्राप्त करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,दोनों पक्षों को $x \log b$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\log a}{\log b} = \frac{y}{x}$

(D) दिया गया समीकरण: $\log _{4} x+\log _{8} x=5$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{b} a = \frac{\log a}{\log b}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\log x}{\log 4} + \frac{\log x}{\log 8} = 5$
चूंकि $4 = 2^2$ और $8 = 2^3$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{\log x}{2 \log 2} + \frac{\log x}{3 \log 2} = 5$
$\frac{\log x}{\log 2}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\frac{\log x}{\log 2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = 5$
$\frac{\log x}{\log 2} (\frac{3+2}{6}) = 5$
$\frac{\log x}{\log 2} (\frac{5}{6}) = 5$
दोनों पक्षों को $\frac{6}{5}$ से गुणा करने पर:
$\frac{\log x}{\log 2} = 5 \times \frac{6}{5} = 6$
$\log _{b} a = \frac{\log a}{\log b}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $\log _{2} x = 6$ प्राप्त होता है।
घातांकीय रूप में बदलने पर:
$x = 2^6 = 64$

(C) दिया गया समीकरण: $\log _{10} 50+\log _{10} 20=x$
लघुगणक के गुणधर्म $\log_b(m) + \log_b(n) = \log_b(m \times n)$ का उपयोग करने पर:
$\log _{10}(50 \times 20)=x$
$\log _{10}(1000)=x$
चूंकि $1000 = 10^3$,इसलिए:
$\log _{10}(10^3)=x$
गुणधर्म $\log_b(b^k) = k$ का उपयोग करने पर:
$x=3$

(B) माना $\log _{3 / 2} 3.375 = x$ है।
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,इसे $(3 / 2)^x = 3.375$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि $3 / 2 = 1.5$ होता है।
अब,$1.5^3 = 1.5 \times 1.5 \times 1.5 = 2.25 \times 1.5 = 3.375$ की गणना करें।
अतः,$(1.5)^x = (1.5)^3$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $x = \log_{2a} a$,$y = \log_{3a} 2a$ और $z = \log_{4a} 3a$ है।
आधार परिवर्तन नियम $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{\ln a}{\ln 2a}$,$y = \frac{\ln 2a}{\ln 3a}$,$z = \frac{\ln 3a}{\ln 4a}$ प्राप्त होता है।
अब,$yz = \left(\frac{\ln 2a}{\ln 3a}\right) \left(\frac{\ln 3a}{\ln 4a}\right) = \frac{\ln 2a}{\ln 4a} = \log_{4a} 2a$ है।
इसके बाद,$xyz = \left(\frac{\ln a}{\ln 2a}\right) \left(\frac{\ln 2a}{\ln 3a}\right) \left(\frac{\ln 3a}{\ln 4a}\right) = \frac{\ln a}{\ln 4a} = \log_{4a} a$ है।
इन मानों को $yz(2-x) = 2yz - xyz$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\log_{4a} 2a) - \log_{4a} a = \log_{4a} (2a)^2 - \log_{4a} a = \log_{4a} \left(\frac{4a^2}{a}\right) = \log_{4a} 4a = 1$।

(D) माना प्रत्येक अनुपात एक स्थिरांक $k$ के बराबर है।
तब,$\log x = k(l+m-2n)$,$\log y = k(m+n-2l)$,और $\log z = k(n+l-2m)$ है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\log x + \log y + \log z = k(l+m-2n + m+n-2l + n+l-2m)$
$\log(xyz) = k(2l - 2l + 2m - 2m + 2n - 2n) = k(0) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log(xyz) = 0$,इसलिए $xyz = e^0 = 1$ है।
अतः,$x^2 y^2 z^2 = (xyz)^2 = 1^2 = 1$।

(B) दिया गया समीकरण: $\log \left(\frac{x+y}{5}\right) = \frac{1}{2}(\log x + \log y)$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\log \left(\frac{x+y}{5}\right) = \frac{1}{2} \log(xy)$.
$n \log a = \log(a^n)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\log \left(\frac{x+y}{5}\right) = \log((xy)^{1/2})$.
दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर: $\frac{x+y}{5} = \sqrt{xy}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{x+y}{5}\right)^2 = xy \Rightarrow \frac{x^2 + 2xy + y^2}{25} = xy$.
$25$ से गुणा करने पर: $x^2 + 2xy + y^2 = 25xy$.
दोनों पक्षों से $2xy$ घटाने पर: $x^2 + y^2 = 23xy$.
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = 23$.
अतः,$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 23$.

(C) दिया गया समीकरण: $\log (x+y) = \log \left( \frac{3x - 3y}{2} \right)$.
दोनों पक्षों से लघुगणक (logarithm) हटाने पर: $x + y = \frac{3x - 3y}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 2y = 3x - 3y$.
$x$ और $y$ के पदों को व्यवस्थित करने पर: $2y + 3y = 3x - 2x$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $5y = x$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{y} = 5$.
लघुगणक के गुणधर्म $\log a - \log b = \log \left( \frac{a}{b} \right)$ का उपयोग करने पर: $\log x - \log y = \log \left( \frac{x}{y} \right)$.
$\frac{x}{y} = 5$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\log x - \log y = \log 5$.

(A) दिया गया समीकरण: $\log _{2} x+\log _{4} x+\log _{16} x=\frac{21}{4}$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{a^n} x = \frac{1}{n} \log _{a} x$ का उपयोग करके,हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\log _{4} x = \log _{2^2} x = \frac{1}{2} \log _{2} x$
$\log _{16} x = \log _{2^4} x = \frac{1}{4} \log _{2} x$
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\log _{2} x + \frac{1}{2} \log _{2} x + \frac{1}{4} \log _{2} x = \frac{21}{4}$
$\log _{2} x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\log _{2} x \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{21}{4}$
$\log _{2} x \left(\frac{4+2+1}{4}\right) = \frac{21}{4}$
$\log _{2} x \left(\frac{7}{4}\right) = \frac{21}{4}$
$\log _{2} x = \frac{21}{4} \times \frac{4}{7} = 3$
लघुगणकीय रूप को घातांकीय रूप में बदलने पर:
$x = 2^3 = 8$

(A) हम $n \log a = \log a^n$ और $\log(a/b) = \log a - \log b$ के गुणों का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में व्यक्त करें:
$7 \log \left(\frac{2^4}{3 \times 5}\right) + 5 \log \left(\frac{5^2}{2^3 \times 3}\right) + 3 \log \left(\frac{3^4}{2^4 \times 5}\right)$
$= 7(4 \log 2 - \log 3 - \log 5) + 5(2 \log 5 - 3 \log 2 - \log 3) + 3(4 \log 3 - 4 \log 2 - \log 5)$
$= (28 \log 2 - 7 \log 3 - 7 \log 5) + (10 \log 5 - 15 \log 2 - 5 \log 3) + (12 \log 3 - 12 \log 2 - 3 \log 5)$
अब,पदों को $\log 2, \log 3,$ और $\log 5$ के अनुसार समूहित करें:
$\log 2: 28 - 15 - 12 = 1$
$\log 3: -7 - 5 + 12 = 0$
$\log 5: -7 + 10 - 3 = 0$
परिणाम $= 1 \log 2 + 0 \log 3 + 0 \log 5 = \log 2$.

(B) माना $y = \log_{a} x + \log_{x} a$ है।
चूंकि $x \geq a > 0$ और $a \neq 1$ है,हम $\log_{x} a = \frac{1}{\log_{a} x}$ गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं।
माना $u = \log_{a} x$ है। $x \geq a$ होने के कारण,$u = \log_{a} x \geq \log_{a} a = 1$ होगा।
व्यंजक $f(u) = u + \frac{1}{u}$ बन जाता है,जहाँ $u \geq 1$ है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,$u > 0$ के लिए,$u + \frac{1}{u} \geq 2\sqrt{u \cdot \frac{1}{u}} = 2$ होता है।
समानता तब प्राप्त होती है जब $u = \frac{1}{u}$,जिसका अर्थ है $u^2 = 1$। चूंकि $u \geq 1$ है,इसलिए $u = 1$ होगा।
$u = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$\log_{a} x = 1$ का अर्थ है $x = a$।
अतः,न्यूनतम मान $2$ है।

(A) माना कि $\frac{\log x}{b-c} = \frac{\log y}{c-a} = \frac{\log z}{a-b} = k$.
तब,$\log x = k(b-c)$,$\log y = k(c-a)$,और $\log z = k(a-b)$.
इनका योग करने पर: $\log x + \log y + \log z = k(b-c + c-a + a-b) = k(0) = 0$.
चूंकि $\log(xyz) = 0$,इसलिए $xyz = 10^0 = 1$.
आगे,$a \log x + b \log y + c \log z = k[a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)] = k(ab - ac + bc - ba + ca - cb) = k(0) = 0$.
अतः,$\log(x^a \cdot y^b \cdot z^c) = 0$,जिसका अर्थ है कि $x^a \cdot y^b \cdot z^c = 1$.
अंत में,$(b+c) \log x + (c+a) \log y + (a+b) \log z = k[(b+c)(b-c) + (c+a)(c-a) + (a+b)(a-b)] = k(b^2 - c^2 + c^2 - a^2 + a^2 - b^2) = k(0) = 0$.
अतः,$\log(x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b}) = 0$,जिसका अर्थ है कि $x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b} = 1$.
इसलिए,$xyz = x^a \cdot y^b \cdot z^c = x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b} = 1$.

(C) माना कि $E = x^{\log y - \log z} \cdot y^{\log z - \log x} \cdot z^{\log x - \log y}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log E = (\log y - \log z) \log x + (\log z - \log x) \log y + (\log x - \log y) \log z$.
पदों का विस्तार करने पर:
$\log E = (\log y \cdot \log x - \log z \cdot \log x) + (\log z \cdot \log y - \log x \cdot \log y) + (\log x \cdot \log z - \log y \cdot \log z)$.
समान पदों को काटने पर:
$\log E = \log y \log x - \log z \log x + \log z \log y - \log x \log y + \log x \log z - \log y \log z = 0$.
चूंकि $\log E = 0$,इसलिए $E = 10^0 = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\log _{10}\left[98+\sqrt{x^{2}-12 x+36}\right]=2$
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,यदि $\log_{b}(a) = c$ है,तो $a = b^c$ होता है। इसे लागू करने पर:
$98+\sqrt{x^{2}-12 x+36} = 10^2$
$98+\sqrt{(x-6)^2} = 100$
$\sqrt{(x-6)^2} = 100 - 98$
$|x-6| = 2$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $x-6 = 2 \Rightarrow x = 8$
स्थिति $2$: $x-6 = -2 \Rightarrow x = 4$
अतः,$x$ के मान $4$ और $8$ हैं।

(A) दिया गया है $x=\log _{a} b c$,दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर $x+1=\log _{a} b c + 1 = \log _{a} b c + \log _{a} a = \log _{a} (a b c)$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{x+1} = \log _{a b c} a$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$\frac{1}{y+1} = \log _{a b c} b$ और $\frac{1}{z+1} = \log _{a b c} c$ प्राप्त होता है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} = \log _{a b c} a + \log _{a b c} b + \log _{a b c} c = \log _{a b c} (a b c) = 1$।
अब,$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} = 1$ का अर्थ है कि $(y+1)(z+1) + (x+1)(z+1) + (x+1)(y+1) = (x+1)(y+1)(z+1)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $(yz+y+z+1) + (xz+x+z+1) + (xy+x+y+1) = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1$।
सरल करने पर: $xy + yz + zx + 2(x+y+z) + 3 = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1$।
दोनों पक्षों से $xy + yz + zx + x + y + z + 1$ घटाने पर $x+y+z+2 = xyz$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $a^{x}=b^{y}=c^{z}=d^{w}$.
माना $a^{x}=b^{y}=c^{z}=d^{w}=k$.
तब $b=k^{1/y}, c=k^{1/z}, d=k^{1/w}$ और $a=k^{1/x}$ प्राप्त होता है।
हमें $\log _{a}(b c d)$ का मान ज्ञात करना है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log _{a}(M N P) = \log _{a} M + \log _{a} N + \log _{a} P$ का उपयोग करने पर:
$\log _{a}(b c d) = \log _{a} b + \log _{a} c + \log _{a} d$.
चूंकि $b=a^{x/y}, c=a^{x/z}, d=a^{x/w}$ है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\log _{a}(b c d) = \log _{a}(a^{x/y}) + \log _{a}(a^{x/z}) + \log _{a}(a^{x/w})$.
$\log _{a}(a^{n}) = n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log _{a}(b c d) = \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{x}{w} = x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right)$.

(A) लघुगणक के गुणधर्म $\log_b(x/y) = \log_b x - \log_b y$ का उपयोग करने पर:
$\log_{10}(1/2) = \log_{10} 1 - \log_{10} 2$
चूँकि $\log_{10} 1 = 0$ और $\log_{10} 2 = 0.3010$ है,
अतः,$\log_{10}(1/2) = 0 - 0.3010 = -0.3010$.

(D) दिया गया समीकरण: $\log _{2}\left(3^{2 x-2}+7\right)=2+\log _{2}\left(3^{x-1}+1\right)$
गुणधर्म $2 = \log _{2} 4$ का उपयोग करने पर:
$\log _{2}\left(3^{2 x-2}+7\right)=\log _{2} 4+\log _{2}\left(3^{x-1}+1\right)$
$\log _{2}\left(3^{2 x-2}+7\right)=\log _{2}\left[4\left(3^{x-1}+1\right)\right]$
दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर:
$3^{2 x-2}+7=4\left(3^{x-1}+1\right)$
माना $t = 3^{x-1}$ है। तब $3^{2x-2} = (3^{x-1})^2 = t^2$ होगा।
समीकरण इस प्रकार होगा: $t^2 + 7 = 4(t + 1)$
$t^2 + 7 = 4t + 4$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
$(t - 1)(t - 3) = 0$
अतः,$t = 1$ या $t = 3$ है।
स्थिति $1$: $t = 1 \Rightarrow 3^{x-1} = 1 = 3^0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$।
स्थिति $2$: $t = 3 \Rightarrow 3^{x-1} = 3^1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$।
अतः,$x = 1$ या $x = 2$ है।

(C) माना $\log _{a} b = \log _{b} c = \log _{c} a = k$.
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार:
$b = a^k$,$c = b^k$,और $a = c^k$.
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$c = (a^k)^k = a^{k^2}$.
चूंकि $a = c^k$,हम समीकरण में $a$ का मान रखते हैं:
$c = (c^k)^{k^2} = c^{k^3}$.
$c > 0$ और $c \neq 1$ के लिए,इसका अर्थ है कि $k^3 = 1$,अतः $k = 1$.
यदि $k = 1$ है,तो $\log _{a} b = 1 \Rightarrow a = b$,$\log _{b} c = 1 \Rightarrow b = c$,और $\log _{c} a = 1 \Rightarrow c = a$.
अतः,$a = b = c$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{\log _{x} 10}=\frac{2}{\log _{a} 10}-2$
लघुगणक के गुणधर्म $\frac{1}{\log _{b} a} = \log _{a} b$ का उपयोग करने पर:
$\log _{10} x = 2 \log _{10} a - 2$
$\log _{10} x = 2 (\log _{10} a - 1)$
चूंकि $1 = \log _{10} 10$,हम लिख सकते हैं:
$\log _{10} x = 2 (\log _{10} a - \log _{10} 10)$
भागफल नियम $\log m - \log n = \log (m/n)$ का उपयोग करने पर:
$\log _{10} x = 2 \log _{10} (a/10)$
घात नियम $n \log m = \log (m^n)$ का उपयोग करने पर:
$\log _{10} x = \log _{10} (a/10)^2$
$\log _{10} x = \log _{10} (a^2 / 100)$
अतः,$x = a^2 / 100$.

(B) दी गई व्यंजक $\frac{1}{\log _{c+a} b}+\frac{1}{\log _{c-a} b}$ है।
आधार परिवर्तन नियम $\frac{1}{\log _{x} y} = \log _{y} x$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\log _{b}(c+a) + \log _{b}(c-a)$.
लघुगणक के गुणधर्म $\log _{m} n + \log _{m} p = \log _{m} (n \cdot p)$ का उपयोग करते हुए:
$\log _{b}((c+a)(c-a)) = \log _{b}(c^{2}-a^{2})$.
चूंकि $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ दिया गया है,इसलिए $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\log _{b}(b^{2}) = 2 \log _{b} b = 2(1) = 2$.

(A) माना $x = (875)^{10}$.
हम $875 = 87.5 \times 10$ लिख सकते हैं।
अतः,$x = (87.5 \times 10)^{10}$.
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10} x = \log_{10} (87.5 \times 10)^{10} = 10 \times \log_{10} (87.5 \times 10)$.
$\log(ab) = \log a + \log b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log_{10} x = 10 \times (\log_{10} 87.5 + \log_{10} 10)$.
दिया गया है कि $\log_{10} 87.5 = 1.9421$ और $\log_{10} 10 = 1$:
$\log_{10} x = 10 \times (1.9421 + 1) = 10 \times 2.9421 = 29.421$.
$\log_{10} x$ का पूर्णांक भाग (characteristic) $29$ है। $x$ में अंकों की संख्या $= \text{characteristic} + 1$ द्वारा प्राप्त होती है।
अंकों की संख्या $= 29 + 1 = 30$.

(B) माना $x = (0.0432)^{10}$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10} x = 10 \log_{10} (0.0432) = 10 \log_{10} (432 \times 10^{-4})$
$= 10 [\log_{10} (2^4 \times 3^3) - 4]$
$= 10 [4 \log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3 - 4]$
$= 10 [4(0.3010) + 3(0.4771) - 4]$
$= 10 [1.2040 + 1.4313 - 4]$
$= 10 [2.6353 - 4] = 10 [-1.3647] = -13.647$
इसे मानक रूप में लिखने पर: $-13.647 = -14 + 0.353 = \bar{14}.353$ प्राप्त होता है।
यहाँ पूर्णांश (characteristic) $-14$ है। दशमलव बिंदु के बाद और पहले सार्थक अंक से पहले शून्यों की संख्या $|\text{characteristic}| - 1 = 14 - 1 = 13$ होगी।

(C) दिया गया है कि $(4.2)^{x} = 100$ और $(0.42)^{y} = 100$.
$(4.2)^{x} = 100$ से,हमें प्राप्त होता है $4.2 = 100^{1/x} = (10^2)^{1/x} = 10^{2/x}$.
$(0.42)^{y} = 100$ से,हमें प्राप्त होता है $0.42 = 100^{1/y} = (10^2)^{1/y} = 10^{2/y}$.
हम जानते हैं कि $4.2 / 0.42 = 10$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $10^{2/x} / 10^{2/y} = 10^1$.
घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए,$10^{(2/x - 2/y)} = 10^1$.
घातांकों की तुलना करने पर,$2/x - 2/y = 1$.
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$.

(C) हम जानते हैं कि $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ और $\log_{a^{1/n}} b = n \log_a b$ होता है।
सबसे पहले,पदों को सरल करते हैं:
$\log_9 11 = \log_{3^2} 11 = \frac{1}{2} \log_3 11$.
$\log_{\sqrt{5}} 13 = \log_{5^{1/2}} 13 = 2 \log_5 13$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2} \log_3 11}{\log_5 13} - \frac{\log_3 11}{2 \log_5 13} = \frac{1}{2} \frac{\log_3 11}{\log_5 13} - \frac{1}{2} \frac{\log_3 11}{\log_5 13} = 0$.

(D) माना कि $\frac{\log x}{2} = \frac{\log y}{3} = \frac{\log z}{5} = k$ है।
अतः,$\log x = 2k$,$\log y = 3k$,और $\log z = 5k$ होगा।
हमें $x$ के पदों में $yz$ का मान ज्ञात करना है। $\log(yz) = \log y + \log z$ पर विचार करें।
मान रखने पर,$\log(yz) = 3k + 5k = 8k$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log x = 2k$ है,इसलिए हम $8k = 4(2k) = 4 \log x = \log(x^4)$ लिख सकते हैं।
अतः,$\log(yz) = \log(x^4)$,जिसका अर्थ है कि $yz = x^4$।

(B) दिया गया समीकरण: $4^{x} + 2^{2x-1} = 3^{x+\frac{1}{2}} + 3^{x-\frac{1}{2}}$
चूंकि $2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2} = \frac{4^{x}}{2}$,हम बाईं ओर को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$4^{x} + \frac{4^{x}}{2} = 4^{x}(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \cdot 4^{x}$
दाईं ओर के लिए:
$3^{x+\frac{1}{2}} + 3^{x-\frac{1}{2}} = 3^{x} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3^{x} \cdot 3^{-\frac{1}{2}} = 3^{x}(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 3^{x}(\frac{3+1}{\sqrt{3}}) = 3^{x} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$\frac{3}{2} \cdot 4^{x} = 3^{x} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$
$\frac{4^{x}}{3^{x}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$
चूंकि $3\sqrt{3} = 3^{1} \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2}$ और $8 = 2^{3}$,इसलिए:
$(\frac{4}{3})^{x} = \frac{2^{3}}{3^{3/2}} = \frac{(2^{2})^{3/2}}{3^{3/2}} = (\frac{4}{3})^{3/2}$
घातांकों की तुलना करने पर,$x = 3/2$.

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{\log(49 \cdot 7^{1/2}) + \log(25 \cdot 5^{1/2}) - \log(4 \cdot 2^{1/2})}{\log 17.5}$ है।
चूंकि $49 = 7^2$,$25 = 5^2$,और $4 = 2^2$,हमारे पास है:
$\log(7^2 \cdot 7^{1/2}) = \log(7^{5/2}) = \frac{5}{2} \log 7$.
$\log(5^2 \cdot 5^{1/2}) = \log(5^{5/2}) = \frac{5}{2} \log 5$.
$\log(2^2 \cdot 2^{1/2}) = \log(2^{5/2}) = \frac{5}{2} \log 2$.
अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5}{2} \log 7 + \frac{5}{2} \log 5 - \frac{5}{2} \log 2 = \frac{5}{2} (\log 7 + \log 5 - \log 2)$.
लघुगणक के नियमों $\log a + \log b = \log(ab)$ और $\log a - \log b = \log(a/b)$ का उपयोग करते हुए:
$\log 7 + \log 5 - \log 2 = \log(\frac{7 \cdot 5}{2}) = \log(\frac{35}{2}) = \log 17.5$.
अतः,व्यंजक का मान:
$\frac{\frac{5}{2} \log 17.5}{\log 17.5} = \frac{5}{2}$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति लघुगणकीय पदों का एक गुणनफल है: $\log _{10} \tan 40^{\circ} \cdot \log _{10} \tan 41^{\circ} \cdots \log _{10} \tan 50^{\circ}$.
इस अनुक्रम में,$\log _{10} \tan 45^{\circ}$ पद शामिल है।
हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है।
इसलिए,$\log _{10} \tan 45^{\circ} = \log _{10} 1 = 0$ होगा।
चूंकि गुणनफल में एक गुणनखंड $0$ है,इसलिए संपूर्ण गुणनफल $0$ हो जाता है।

(A) दिया गया है कि $\log _{8} p = 2.5 = \frac{5}{2}$.
लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$p = 8^{5/2}$.
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $p = (2^3)^{5/2} = 2^{15/2}$.
दिया गया है कि $\log _{2} q = 5$,इसलिए $q = 2^5$.
हम $p$ को $q$ के पदों में व्यक्त करने के लिए $p$ के व्यंजक में $2^5 = q$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$p = 2^{15/2} = (2^5)^{3/2} = q^{3/2}$.
चूंकि $q^{3/2} = q^1 \cdot q^{1/2} = q\sqrt{q}$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है: $y = \frac{1}{a^{1-\log _{a} x}} \implies \log _{a} y = \frac{1}{1-\log _{a} x}$.
साथ ही,$z = \frac{1}{a^{1-\log _{a} y}} \implies \log _{a} z = \frac{1}{1-\log _{a} y}$.
$\log _{a} y$ का मान $\log _{a} z$ के समीकरण में रखने पर:
$\log _{a} z = \frac{1}{1 - \frac{1}{1-\log _{a} x}} = \frac{1}{\frac{1-\log _{a} x - 1}{1-\log _{a} x}} = \frac{1-\log _{a} x}{-\log _{a} x}$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$-\log _{a} z = \frac{1-\log _{a} x}{\log _{a} x} = \frac{1}{\log _{a} x} - 1$.
अतः,$\frac{1}{\log _{a} x} = 1 - \log _{a} z$.
इसका अर्थ है कि $\log _{a} x = \frac{1}{1 - \log _{a} z}$.
चूंकि $x = a^{k}$ दिया गया है,इसलिए $\log _{a} x = k$.
अतः,$k = \frac{1}{1 - \log _{a} z}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\log _{e} 2 \cdot \log _{b} 625 = \log _{10} 16 \cdot \log _{e} 10$
हम जानते हैं कि $625 = 5^4$ और $16 = 2^4$ होता है। इन मानों को रखने पर:
$\log _{e} 2 \cdot \log _{b} (5^4) = \log _{10} (2^4) \cdot \log _{e} 10$
$\log(a^n) = n \log a$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log _{e} 2 \cdot 4 \log _{b} 5 = 4 \log _{10} 2 \cdot \log _{e} 10$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{10} 2 = \frac{\log _{e} 2}{\log _{e} 10}$ का उपयोग करने पर:
$\log _{e} 2 \cdot 4 \log _{b} 5 = 4 \cdot \left( \frac{\log _{e} 2}{\log _{e} 10} \right) \cdot \log _{e} 10$
दाहिनी ओर को सरल करने पर:
$\log _{e} 2 \cdot 4 \log _{b} 5 = 4 \log _{e} 2$
दोनों पक्षों को $4 \log _{e} 2$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\log _{e} 2 \neq 0$):
$\log _{b} 5 = 1$
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$b^1 = 5$,इसलिए $b = 5$।

(C) माना $x = 5^{\sqrt{\log _{5} 7}}$ और $y = 7^{\sqrt{\log _{7} 5}}$.
हम जानते हैं कि $a^{\log_{a} b} = b$.
पद $y = 7^{\sqrt{\log _{7} 5}}$ पर विचार करें।
चूंकि $\log_{7} 5 = \frac{1}{\log_{5} 7}$,हम लिख सकते हैं:
$y = 7^{\sqrt{\frac{1}{\log_{5} 7}}} = 7^{\frac{1}{\sqrt{\log_{5} 7}}}$.
गुणधर्म $a^{\log_{a} b} = b$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $7 = 5^{\log_{5} 7}$.
इस मान को $y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = (5^{\log_{5} 7})^{\frac{1}{\sqrt{\log_{5} 7}}} = 5^{\log_{5} 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{\log_{5} 7}}} = 5^{\sqrt{\log_{5} 7}}$.
अतः,$x = y$,जिसका अर्थ है कि $x - y = 0$.

(D) लघुगणक (logarithm) के घात नियम का उपयोग करते हुए,$n \log _{b} a = \log _{b} (a^n)$।
दिए गए व्यंजक पर इसे लागू करने पर:
$2 \log _{3} 7 = \log _{3} (7^2) = \log _{3} 49$
$7 \log _{3} 2 = \log _{3} (2^7) = \log _{3} 128$
अतः,व्यंजक $\log _{3} 49 - \log _{3} 128$ हो जाता है।
भागफल नियम के अनुसार,$\log _{b} x - \log _{b} y = \log _{b} (x/y)$:
$\log _{3} (49/128)$।
चूंकि दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है,यदि प्रश्न $\log _{3} 7^2 - \log _{3} 49$ होता,तो उत्तर $0$ होता। विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है कि $\log _{30} 3 = a$ और $\log _{30} 5 = b.$
हम जानते हैं कि $\log _{30} 15 = \log _{30} (3 \times 5) = \log _{30} 3 + \log _{30} 5 = a + b.$
साथ ही,$\log _{30} 15 = \log _{30} \left(\frac{30}{2}\right) = \log _{30} 30 - \log _{30} 2 = 1 - \log _{30} 2.$
$\log _{30} 15$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$a + b = 1 - \log _{30} 2 \Rightarrow \log _{30} 2 = 1 - a - b.$
अब,$\log _{30} 8 = \log _{30} (2^3) = 3 \log _{30} 2.$
$\log _{30} 2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\log _{30} 8 = 3(1 - a - b).$

(B) दिया गया है कि $0 < a < 1$ और $0 < x < 1$ है।
चूंकि आधार $a$,$0$ और $1$ के बीच है,इसलिए लघुगणकीय फलन $f(x) = \log_{a} x$ एक ह्रासमान (decreasing) फलन है।
असमिका $x < a$ दी गई है,इसलिए आधार $a$ (जहाँ $0 < a < 1$) के साथ लघुगणक लेने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा।
अतः,$\log_{a} x > \log_{a} a$ होगा।
चूंकि $\log_{a} a = 1$ होता है,इसलिए $\log_{a} x > 1$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $\log _{5} 2$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\log _{5} 2 = \frac{p}{q}$,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,इसका अर्थ है $2 = 5^{p/q}$।
दोनों पक्षों की घात $q$ लेने पर,हमें $2^q = 5^p$ प्राप्त होता है।
चूँकि $2^q$ एक सम संख्या है (जब $q \geq 1$) और $5^p$ एक विषम संख्या है,यह एक विरोधाभास उत्पन्न करता है।
इसलिए,यह धारणा कि $\log _{5} 2$ परिमेय है,गलत है।
अतः,$\log _{5} 2$ एक अपरिमेय संख्या है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\log _{5}\left(1+\frac{1}{5}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{6}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{7}\right)+\cdots+\log _{5} \left(1+\frac{1}{624}\right)$ है।
लघुगणक के अंदर प्रत्येक पद को सरल करने पर: $\log _{5} \left(\frac{6}{5}\right)+\log _{5} \left(\frac{7}{6}\right)+\log _{5} \left(\frac{8}{7}\right)+\cdots+\log _{5} \left(\frac{625}{624}\right)$।
गुणधर्म $\log_{b}(x) + \log_{b}(y) = \log_{b}(xy)$ का उपयोग करते हुए,हम पदों को संयोजित कर सकते हैं:
$\log _{5} \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdot \cdots \cdot \frac{625}{624}\right)$।
यहाँ पद टेलीस्कोपिंग तरीके से कट जाते हैं:
$\log _{5} \left(\frac{625}{5}\right)$।
भाग करने पर: $\frac{625}{5} = 125$।
अतः,अभिव्यक्ति $\log _{5}(125)$ हो जाती है।
चूंकि $125 = 5^3$,इसलिए $\log _{5}(5^3) = 3 \log _{5}(5) = 3(1) = 3$।