यदि समीकरण ax^2 + bx + c = 0 का एक मूल,समीकरण | vedclass

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Question

(A) माना $\alpha$ प्रथम समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है। तब,$\frac{1}{\alpha}$ दूसरे समीकरण $a'x^2 + b'x + c' = 0$ का एक मूल है।प्रथम समीकरण क

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$(cc' - aa')^2 = (ba' - cb')(ab' - bc')$

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(A) माना $\alpha$ प्रथम समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है। तब,$\frac{1}{\alpha}$ दूसरे समीकरण $a'x^2 + b'x + c' = 0$ का एक मूल है।प्रथम समीकरण के लिए: $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$.दूसरे समीकरण के लिए: $a'(\frac{1}{\alpha})^2 + b'(\frac{1}{\alpha}) + c' = 0$,जिसे सरल करने पर $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ प्राप्त होता है।समीकरणों की प्रणाली के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplication) विधि का उपयोग करने पर:$\frac{\alpha^2}{ba' - b'c} = \frac{\alpha}{cc' - aa'} = \frac{1}{ab' - bc'}$.दूसरे और तीसरे पद से: $\alpha = \frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}$.पहले और तीसरे पद से: $\alpha^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$.$(\frac{cc' - aa'}{ab' - bc'})^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$ को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है:$(cc' - aa')^2 = (ba' - b'c)(ab' - bc')$.अतः,विकल्प $A$ सही है।

यदि समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का एक मूल,समीकरण $a'x^2 + b'x + c' = 0$ के एक मूल का व्युत्क्रम (reciprocal) है,तो:

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यदि $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ का ग्राफ रेखा $x = k$ के परितः सममित है,तो:

यदि $\alpha$ और $\beta$,$6x^2 - 6x + 1 = 0$ के मूल हैं,तो $\frac{1}{2}[a + b\alpha + c\alpha^2 + d\alpha^3] + \frac{1}{2}[a + b\beta + c\beta^2 + d\beta^3]$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और सही विकल्प चुनें।
$I. 20 x^{2}-67 x+56=0$
$II. 56 y^{2}-67 y+20=0$

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण ${x^2} - (1 + {n^2})x + \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4}) = 0$ के मूल हैं,तो ${\alpha ^2} + {\beta ^2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

समीकरण $x - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$ के कितने मूल (roots) हैं?

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