QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(A) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,उसे $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि मूलों का योग $\alpha + \beta = 6$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = -16$ है।
इन मानों को सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} - (6)x + (-16) = 0$
$x^{2} - 6x - 16 = 0$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2}-5x+P=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=3$,$b=-5$ और $c=P$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के मूल समान होने के लिए विविक्तकर $(D)$ शून्य के बराबर होना चाहिए।
$D = b^{2}-4ac = 0$.
मान रखने पर,$(-5)^{2}-4(3)(P) = 0$.
$25-12P = 0$.
$12P = 25$.
अतः,$P = \frac{25}{12}$.

(D) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{c}{a}$
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2 \alpha \beta$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = \left(-\frac{b}{a}\right)^{2} - 2\left(\frac{c}{a}\right)$
$= \frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2c}{a}$
$= \frac{b^{2} - 2ac}{a^{2}}$

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$
हम जानते हैं कि बीजगणितीय सर्वसमिका: $\alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^{3} + \beta^{3} = (-\frac{b}{a})^{3} - 3(\frac{c}{a})(-\frac{b}{a})$
$= -\frac{b^{3}}{a^{3}} + \frac{3bc}{a^{2}}$
$a^{3}$ को उभयनिष्ठ हर लेने पर:
$= \frac{-b^{3} + 3abc}{a^{3}}$
$= \frac{b(3ac - b^{2})}{a^{3}}$

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ होता है।
अब,हमें $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^{2} + \beta^{2}}{\alpha\beta}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\alpha^{2} + \beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\alpha^{2} + \beta^{2}}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta}{\alpha\beta} = \frac{(-\frac{b}{a})^{2} - 2(\frac{c}{a})}{\frac{c}{a}}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$= \frac{\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2c}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{\frac{b^{2} - 2ac}{a^{2}}}{\frac{c}{a}} = \frac{b^{2} - 2ac}{a^{2}} \times \frac{a}{c} = \frac{b^{2} - 2ac}{ac}$.

(C) दिया गया है कि द्विघात समीकरण के गुणांक परिमेय हैं और एक मूल $\sqrt{5}$ है।
चूंकि परिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के अपरिमेय मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं,इसलिए दूसरा मूल $-\sqrt{5}$ होना चाहिए।
मूलों का योग $= \sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0$.
मूलों का गुणनफल $= (\sqrt{5}) \times (-\sqrt{5}) = -5$.
द्विघात समीकरण का मानक रूप $x^{2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - (0)x + (-5) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^{2} - 5 = 0$ है।

(B) द्विघात समीकरण $Ax^{2}+Bx+C=0$ के लिए,मूल वास्तविक होते हैं यदि विविक्तकर (discriminant) $D = B^{2}-4AC \geq 0$ हो।
समीकरण का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,विविक्तकर शून्य से कम होना चाहिए,अर्थात $D < 0$।
दिए गए समीकरण $x^{2}-px+q=0$ के लिए,$A=1$,$B=-p$,और $C=q$ है।
इन मानों को $B^{2}-4AC < 0$ शर्त में रखने पर:
$(-p)^{2}-4(1)(q) < 0$
$p^{2}-4q < 0$
$p^{2} < 4q$।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त $p^{2} < 4q$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+5px+16=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=5p$ और $c=16$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^{2}-4ac < 0$.
मान रखने पर,$(5p)^{2}-4(1)(16) < 0$.
$25p^{2}-64 < 0$.
$25p^{2} < 64$.
$p^{2} < \frac{64}{25}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|p| < \frac{8}{5}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $-\frac{8}{5} < p < \frac{8}{5}$।

(B) एक द्विघात बहुपद $az^{2} + bz + c$ को वास्तविक रैखिक गुणनखंडों में तब विभाजित किया जा सकता है जब उसका विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$,$0$ के बराबर या उससे अधिक हो।
दिए गए बहुपद $3z^{2} + 5z + k$ के लिए,$a = 3$,$b = 5$,और $c = k$ है।
विविक्तकर $D = (5)^{2} - 4(3)(k) = 25 - 12k$ है।
वास्तविक रैखिक गुणनखंड प्राप्त करने के लिए,$D \geq 0$ होना चाहिए।
अतः,$25 - 12k \geq 0$।
$25 \geq 12k$।
$k \leq \frac{25}{12}$।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} + (k-1)x + 9 = 0$ है।
चूंकि $x=3$ एक हल है,इसलिए हम समीकरण में $x=3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(3)^{2} + (k-1)(3) + 9 = 0$
$3(9) + 3(k-1) + 9 = 0$
$27 + 3k - 3 + 9 = 0$
$3k + 33 = 0$
$3k = -33$
$k = -11$

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^2 - 10x + 3 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -10$,और $c = 3$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ होता है।
मूलों का योग $= -\frac{-10}{3} = \frac{10}{3}$ है।
मान लीजिए कि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हमें $\alpha = \frac{1}{3}$ दिया गया है।
चूंकि $\alpha + \beta = \frac{10}{3}$,इसलिए $\frac{1}{3} + \beta = \frac{10}{3}$ होगा।
अतः,$\beta = \frac{10}{3} - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$ है।
दूसरा मूल $3$ है।

(C) व्यंजक $x^{4}+7 x^{2}+16$ का गुणनखंड करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग कर सकते हैं।
सबसे पहले,व्यंजक में $x^{2}$ जोड़कर और घटाकर इसे फिर से लिखें:
$x^{4}+7 x^{2}+16 = (x^{4}+8 x^{2}+16) - x^{2}$
ध्यान दें कि $(x^{4}+8 x^{2}+16)$ एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है:
$(x^{4}+8 x^{2}+16) = (x^{2}+4)^{2}$
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$(x^{2}+4)^{2} - x^{2}$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करें,जहाँ $a = (x^{2}+4)$ और $b = x$ है:
$(x^{2}+4+x)(x^{2}+4-x)$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x^{2}+x+4)(x^{2}-x+4)$

(A) प्रथम समीकरण के लिए: $x^{2}-7x+10=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-5)(x-2)=0$
अतः,मूल $x=5$ और $x=2$ हैं।
दूसरे समीकरण के लिए: $x^{2}-10x+16=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-8)(x-2)=0$
अतः,मूल $x=8$ और $x=2$ हैं।
दोनों समुच्चयों ${5, 2}$ और ${8, 2}$ के बीच उभयनिष्ठ मूल $2$ है।

(B) $ax^{2}+bx+c=0$ रूप के द्विघात समीकरण के लिए,मूल समान होते हैं यदि विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ का मान $0$ हो।
यहाँ,$a=1$,$b=p$,और $c=q$ है।
इन मानों को $b^{2}-4ac=0$ शर्त में रखने पर:
$p^{2}-4(1)(q)=0$
$p^{2}-4q=0$
$p^{2}=4q$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-6x+5=0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(x-5)(x-1)=0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि मूल $x=5$ और $x=1$ हैं।
अब,समीकरण $|x-3|=2$ पर विचार करें।
निरपेक्ष मान (absolute value) की परिभाषा के अनुसार,यह दो स्थितियों में विभाजित होता है:
स्थिति $1$: $x-3=2 \implies x=5$.
स्थिति $2$: $x-3=-2 \implies x=1$.
चूंकि दोनों समीकरणों का हल समुच्चय $\{1, 5\}$ समान है,इसलिए वे समतुल्य हैं।

(A) माना कि छोटा भाग $x$ है। तब बड़ा भाग $(16 - x)$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,बड़े भाग के वर्ग का दोगुना,छोटे भाग के वर्ग से $164$ अधिक है:
$2(16 - x)^2 - x^2 = 164$
$2(256 + x^2 - 32x) - x^2 = 164$
$512 + 2x^2 - 64x - x^2 = 164$
$x^2 - 64x + 348 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 6x - 58x + 348 = 0$
$x(x - 6) - 58(x - 6) = 0$
$(x - 6)(x - 58) = 0$
अतः,$x = 6$ या $x = 58$ है।
चूंकि दोनों भागों का योग $16$ है,इसलिए $x$ का मान $58$ संभव नहीं है।
अतः,छोटा भाग $6$ है और बड़ा भाग $16 - 6 = 10$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-x-2=0$ है।
मूल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2}-2x+x-2=0$
$x(x-2)+1(x-2)=0$
$(x-2)(x+1)=0$
अतः,मूल $x=2$ और $x=-1$ हैं।
चूँकि $2$ और $-1$ दोनों पूर्णांक हैं,इसलिए विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया समीकरण $2 - x = \frac{x - 2}{x}$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर (जहाँ $x \neq 0$):
$x(2 - x) = x - 2$
$2x - x^2 = x - 2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके मानक द्विघात समीकरण प्राप्त करने पर:
$x^2 - x - 2x - 2 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,हल $x = 2$ और $x = -1$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\log _{10}(x^{2}-6x+45)=2$
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\log _{b}(a)=c$ का अर्थ है $a=b^{c}$।
इसलिए,$x^{2}-6x+45=10^{2}$।
$x^{2}-6x+45=100$।
दोनों पक्षों से $100$ घटाने पर,हमें $x^{2}-6x-55=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-11)(x+5)=0$।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,$x-11=0$ या $x+5=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ के मान $x=11$ या $x=-5$ हैं।

(C) समीकरण $x^{2}-5x+6=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें $a=1, b=-5, c=6$ प्राप्त होता है।
मूलों का योग $\alpha+\beta = -b/a = 5/1 = 5$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = c/a = 6/1 = 6$ है।
हमें एक ऐसा द्विघात समीकरण बनाना है जिसके मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हों।
अभीष्ट समीकरण $x^{2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
नए मूलों का योग = $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{5}{6}$ है।
नए मूलों का गुणनफल = $\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{6}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $x^{2} - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} = 0$ प्राप्त होता है।
पूरे समीकरण को $6$ से गुणा करने पर,हमें $6x^{2}-5x+1=0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $y = \frac{x+4}{x-4}$ है। तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3}$ हो जाता है।
$3y$ से गुणा करने पर,हमें $3y^2 + 3 = 10y$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3y^2 - 10y + 3 = 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3y^2 - 9y - y + 3 = 0 \Rightarrow 3y(y-3) - 1(y-3) = 0 \Rightarrow (3y-1)(y-3) = 0$।
अतः,$y = 3$ या $y = \frac{1}{3}$।
स्थिति $1$: $\frac{x+4}{x-4} = 3 \Rightarrow x+4 = 3x-12 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8$।
स्थिति $2$: $\frac{x+4}{x-4} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x+12 = x-4 \Rightarrow 2x = -16 \Rightarrow x = -8$।
इसलिए,मूल $x = 8, -8$ या $\pm 8$ हैं।

(C) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
यदि मूल व्युत्क्रम हैं,तो $\beta = \frac{1}{\alpha}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\alpha \cdot \beta = 1$।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।
इसलिए,$\frac{c}{a} = 1$,जिसे सरल करने पर $c = a$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि मूलों का योग $6$ है।
एक मूल $3-\sqrt{5}$ है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब $\alpha = 3-\sqrt{5}$ और $\alpha + \beta = 6$.
$\alpha$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $(3-\sqrt{5}) + \beta = 6$.
इसलिए,$\beta = 6 - (3-\sqrt{5}) = 3+\sqrt{5}$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = (3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})$ है।
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 6x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए द्विघात समीकरण $x^{2}-6x+k=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -(-6)/1 = 6$ है।
हमें संबंध $3\alpha+2\beta=20$ दिया गया है।
पहले समीकरण से,$\beta = 6-\alpha$। इस मान को दूसरे संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\alpha + 2(6-\alpha) = 20$
$3\alpha + 12 - 2\alpha = 20$
$\alpha = 8$ प्राप्त होता है।
तब,$\beta = 6 - 8 = -2$ होगा।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = k$ होता है।
अतः,$k = (8)(-2) = -16$।

(A) माना कि दो क्रमागत धनात्मक विषम पूर्णांक $x$ और $x+2$ हैं।
प्रश्न के अनुसार:
$x^2 + (x+2)^2 = 290$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 290$
$2x^2 + 4x - 286 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 + 2x - 143 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 13x - 11x - 143 = 0$
$x(x+13) - 11(x+13) = 0$
$(x-11)(x+13) = 0$
अतः,$x = 11$ या $x = -13$ है।
चूंकि पूर्णांक धनात्मक होने चाहिए,इसलिए हम $x = 11$ लेते हैं।
दो पूर्णांक $11$ और $11+2 = 13$ हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $-\frac{q}{p}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं,इसलिए उनका योग $\alpha + (-\alpha) = 0$ है।
अतः,$-\frac{q}{p} = 0$,जिसका अर्थ है $q = 0$।
मूलों के वास्तविक और गैर-शून्य होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = q^2 - 4pr$ का मान $0$ से बड़ा होना चाहिए।
$q = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $D = 0^2 - 4pr = -4pr$ प्राप्त होता है।
$D > 0$ के लिए,$-4pr > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $pr < 0$।
अतः,सही शर्त $q = 0$ और $pr < 0$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x^{2}-2(1+3k)x+7(3+2k)=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर:
$a=1, b=-2(1+3k), c=7(3+2k)$
समान मूलों के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए,अर्थात $D = b^{2}-4ac = 0$।
मान रखने पर:
$[-2(1+3k)]^{2} - 4(1)(7(3+2k)) = 0$
$4(1+3k)^{2} - 28(3+2k) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$(1+3k)^{2} - 7(3+2k) = 0$
$1 + 9k^{2} + 6k - 21 - 14k = 0$
$9k^{2} - 8k - 20 = 0$
द्विघाती सूत्र $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$k = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^{2} - 4(9)(-20)}}{2(9)}$
$k = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 720}}{18} = \frac{8 \pm \sqrt{784}}{18}$
$k = \frac{8 \pm 28}{18}$
$k = \frac{36}{18} = 2$ या $k = \frac{-20}{18} = \frac{-10}{9}$।

(D) माना $\alpha$ दिए गए समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^{2}+2\alpha-3=0$ और $\alpha^{2}+3\alpha-k=0$ होगा।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(\alpha^{2}+3\alpha-k) - (\alpha^{2}+2\alpha-3) = 0$
$\alpha - k + 3 = 0$
$\alpha = k - 3$
$\alpha = k - 3$ को पहले समीकरण $\alpha^{2}+2\alpha-3=0$ में रखने पर:
$(k-3)^{2} + 2(k-3) - 3 = 0$
$k^{2} - 6k + 9 + 2k - 6 - 3 = 0$
$k^{2} - 4k = 0$
$k(k-4) = 0$
चूंकि $k$ अशून्य है,इसलिए $k = 4$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण है: $4^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 32 = 0$
चूंकि $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ और $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$(2^x)^2 - 3 \cdot (4 \cdot 2^x) + 32 = 0$
$(2^x)^2 - 12 \cdot 2^x + 32 = 0$
मान लीजिए $2^x = y$ है। तब समीकरण $y^2 - 12y + 32 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y - 8)(y - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 8$ या $y = 4$ है।
अब $y = 2^x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3$
$2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$
इस प्रकार,मूल $2$ और $3$ हैं।

(A) माना द्विघात समीकरण $12x^2 + mx + 5 = 0$ के मूल $3\alpha$ और $2\alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग: $3\alpha + 2\alpha = -\frac{m}{12} \Rightarrow 5\alpha = -\frac{m}{12} \Rightarrow \alpha = -\frac{m}{60}$.
मूलों का गुणनफल: $(3\alpha)(2\alpha) = \frac{5}{12} \Rightarrow 6\alpha^2 = \frac{5}{12} \Rightarrow \alpha^2 = \frac{5}{72}$.
$\alpha$ का मान गुणनफल वाले समीकरण में रखने पर:
$(-\frac{m}{60})^2 = \frac{5}{72} \Rightarrow \frac{m^2}{3600} = \frac{5}{72}$.
$m^2 = \frac{3600 \times 5}{72} = 50 \times 5 = 250$.
$m = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$ (चूंकि $m$ धनात्मक होना चाहिए)।

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $2x^{2} - 3x + 1 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -(-3)/2 = 3/2$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = 1/2$ है।
हमें एक ऐसा द्विघात समीकरण बनाना है जिसके मूल $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हों।
माना $S$ नए मूलों का योग है:
$S = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^{2} + \beta^{2}}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$.
मान रखने पर: $S = \frac{(3/2)^{2} - 2(1/2)}{1/2} = \frac{9/4 - 1}{1/2} = \frac{5/4}{1/2} = 5/2$.
माना $P$ नए मूलों का गुणनफल है:
$P = \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
आवश्यक द्विघात समीकरण $x^{2} - Sx + P = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$S$ और $P$ का मान रखने पर: $x^{2} - (5/2)x + 1 = 0$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2x^{2} - 5x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2}-20x+17=0$ है।
यदि समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो वह समीकरण जिसके मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं,$x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।
दिए गए समीकरण में $x = \frac{1}{x}$ रखने पर:
$3(\frac{1}{x})^{2}-20(\frac{1}{x})+17=0$
$\frac{3}{x^{2}}-\frac{20}{x}+17=0$
पूरे समीकरण को $x^{2}$ से गुणा करने पर:
$3-20x+17x^{2}=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$17x^{2}-20x+3=0$.

(A) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}-3 \lambda x+\lambda^{2}=0$ के मूल हैं,इसलिए:
मूलों का योग: $\alpha+\beta = 3 \lambda$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = \lambda^{2}$
दिया गया है कि $\alpha^{2}+\beta^{2} = \frac{7}{4}$ है।
सर्वसमिका $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3 \lambda)^{2}-2 \lambda^{2} = \frac{7}{4}$
$9 \lambda^{2}-2 \lambda^{2} = \frac{7}{4}$
$7 \lambda^{2} = \frac{7}{4}$
$\lambda^{2} = \frac{1}{4}$
$\lambda = \pm \frac{1}{2}$

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+b=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास मूलों का योग $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{b}{a}$ है।
अब,हमें व्यंजक $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$ का मान ज्ञात करना है।
पहले दो पदों को सरल करने पर: $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} = \frac{(\sqrt{\alpha})^2 + (\sqrt{\beta})^2}{\sqrt{\alpha \beta}} = \frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha \beta}}$.
$\alpha+\beta$ और $\alpha \beta$ के मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{-\frac{b}{a}}{\sqrt{\frac{b}{a}}} + \sqrt{\frac{b}{a}}$.
चूंकि $\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= -\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = 0$.

(C) $x^2-x+1$ की तुलना सामान्य द्विघात रूप $ax^2+bx+c$ से करने पर,हमें $a=1$,$b=-1$,और $c=1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ की गणना $D = b^2 - 4ac$ के रूप में की जाती है।
मान रखने पर,$D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए इस द्विघात व्यंजक का कोई वास्तविक मूल नहीं है और इसलिए वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर इसका कोई उचित रैखिक गुणनखंड नहीं है।

(C) माना कि आयताकार भूखंड की चौड़ाई $x \, m$ है। तब,आयताकार भूखंड की लंबाई $(x + 8) \, m$ होगी।
दिया गया है कि भूखंड का क्षेत्रफल $308 \, m^{2}$ है,इसलिए:
क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई
$x(x + 8) = 308$
$x^{2} + 8x - 308 = 0$
इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए,हम इसका गुणनखंड करते हैं:
$x^{2} + 22x - 14x - 308 = 0$
$x(x + 22) - 14(x + 22) = 0$
$(x + 22)(x - 14) = 0$
इससे हमें $x = -22$ या $x = 14$ प्राप्त होता है।
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 14 \, m$ लेते हैं।
अतः,आयताकार भूखंड की लंबाई $x + 8 = 14 + 8 = 22 \, m$ है।

(D) माना $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^{2}+kx+12=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\alpha+\beta = -k$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = 12$ है।
हमें दिया गया है कि $\alpha-\beta = 1$ है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $(\alpha-\beta)^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 4\alpha\beta$ होती है।
इस सर्वसमिका में ज्ञात मान रखने पर:
$(1)^{2} = (-k)^{2} - 4(12)$
$1 = k^{2} - 48$
$k^{2} = 49$
$k = \pm 7$.

(C) माना $y = x - \frac{1}{x}$.
तब,$y^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$,इसलिए $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.
हम जानते हैं कि $(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,$(x + \frac{1}{x})^2 = (y^2 + 2) + 2 = y^2 + 4$.
दिया गया समीकरण $(x + \frac{1}{x})^2 - \frac{3}{2}(x - \frac{1}{x}) = 4$ है।
$y$ का मान रखने पर,$(y^2 + 4) - \frac{3}{2}y = 4$.
$y^2 - \frac{3}{2}y = 0$.
$y(y - \frac{3}{2}) = 0$.
अतः,$y = 0$ या $y = \frac{3}{2}$.
स्थिति $1$: $x - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
स्थिति $2$: $x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2x^2 - 2 = 3x \Rightarrow 2x^2 - 3x - 2 = 0$.
$(2x + 1)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$ या $x = 2$.
$x$ के संभावित मान $1, -1, 2, -\frac{1}{2}$ हैं। दिए गए विकल्पों में से,$-1$ एक सही समाधान है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-8x+k=0$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण के मूल हैं,मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
मूलों का योग $\alpha+\beta = -(-8)/1 = 8$.
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = k/1 = k$.
हमें शर्त $\alpha^{2}+\beta^{2}=40$ दी गई है।
सर्वसमिका $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$ का उपयोग करने पर:
$40 = (8)^{2} - 2k$.
$40 = 64 - 2k$.
$2k = 64 - 40$.
$2k = 24$.
$k = 12$.

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3 x^{2}+(2 k+1) x-(k+5)=0$ है।
इसे मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें गुणांक $a=3$,$b=2 k+1$,और $c=-(k+5)$ प्राप्त होते हैं।
मूलों का योगफल $\frac{-b}{a} = \frac{-(2 k+1)}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{-(k+5)}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,मूलों का योगफल उनके गुणनफल के बराबर है:
$\frac{-(2 k+1)}{3} = \frac{-(k+5)}{3}$.
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें $-(2 k+1) = -(k+5)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2 k+1 = k+5$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $k$ घटाने पर,$k+1 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 4$।

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,यदि विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac = 0$ हो,तो मूल समान होते हैं।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर:
$(A)$ $3x^{2}-6x+2=0$: $D = (-6)^{2}-4(3)(2) = 36-24 = 12 \neq 0$.
$(B)$ $3x^{2}-6x+3=0$: $D = (-6)^{2}-4(3)(3) = 36-36 = 0$. यहाँ $D=0$ है,अतः इस समीकरण के मूल समान हैं।
$(C)$ $x^{2}-8x+8=0$: $D = (-8)^{2}-4(1)(8) = 64-32 = 32 \neq 0$.
$(D)$ $8x^{2}-8x+2=0$: $D = (-8)^{2}-4(8)(2) = 64-64 = 0$. यहाँ भी $D=0$ है।

(A) द्विघात समीकरण का मानक सूत्र है: $x^{2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$.
दिया गया है कि मूलों का योग $1$ है और मूलों का गुणनफल $-20$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x^{2} - (1)x + (-20) = 0$
$x^{2} - x - 20 = 0$.

(D) दिया गया है: $a(x+y) = 2ab$ और $b(x-y) = 2ab$.
$a(x+y) = 2ab$ से,हमें प्राप्त होता है $x+y = 2b$ $(i)$.
$b(x-y) = 2ab$ से,हमें प्राप्त होता है $x-y = 2a$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(x+y) + (x-y) = 2b + 2a$
$2x = 2(a+b) \implies x = a+b$.
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$(x+y) - (x-y) = 2b - 2a$
$2y = 2(b-a) \implies y = b-a$.
अब,$2(x^2 + y^2)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2((a+b)^2 + (b-a)^2)$
$= 2(a^2 + b^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab)$
$= 2(2a^2 + 2b^2)$
$= 4(a^2 + b^2)$.

(C) दिया गया समीकरण: $(x-2)(x-p) = x^{2}-ax+6$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^{2} - px - 2x + 2p = x^{2} - ax + 6$
$x^{2} - (p+2)x + 2p = x^{2} - ax + 6$
दोनों पक्षों के $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
अचर पद के लिए: $2p = 6 \implies p = 3$
$x$ के गुणांक के लिए: $-(p+2) = -a \implies a = p+2$
$a$ के व्यंजक में $p=3$ रखने पर: $a = 3+2 = 5$
अब,$(a-p)$ का मान ज्ञात करते हैं: $a-p = 5-3 = 2$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$a^{2}=by+cz$ ... $(1)$
$b^{2}=cz+ax$ ... $(2)$
$c^{2}=ax+by$ ... $(3)$
समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों में $ax$ जोड़ने पर:
$a^{2}+ax = ax+by+cz$
$a(a+x) = ax+by+cz$
अतः,$\frac{x}{a+x} = \frac{ax}{a(a+x)} = \frac{ax}{ax+by+cz}$.
इसी प्रकार,
$\frac{y}{b+y} = \frac{by}{ax+by+cz}$.
$\frac{z}{c+z} = \frac{cz}{ax+by+cz}$.
इन तीनों पदों को जोड़ने पर:
$\frac{x}{a+x} + \frac{y}{b+y} + \frac{z}{c+z} = \frac{ax+by+cz}{ax+by+cz} = 1$.

(A) $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$ के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}]$
दिया गया है: $x=332, y=333, z=335$।
सबसे पहले,योग ज्ञात करें: $x+y+z = 332+333+335 = 1000$।
इसके बाद,अंतर ज्ञात करें:
$(x-y) = 332-333 = -1 \implies (x-y)^{2} = 1$
$(y-z) = 333-335 = -2 \implies (y-z)^{2} = 4$
$(z-x) = 335-332 = 3 \implies (z-x)^{2} = 9$
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1}{2} \times 1000 \times (1 + 4 + 9)$
$= 500 \times 14$
$= 7000$

(D) दिया गया है: $m = -4$ और $n = -2$.
हमें व्यंजक $m^{3} - 3m^{2} + 3m + 3n + 3n^{2} + n^{3}$ का मान ज्ञात करना है।
सरल बनाने के लिए,हम पदों को पूर्ण घन के रूप में व्यवस्थित कर सकते हैं:
$(m^{3} - 3m^{2} + 3m - 1) + (n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1) = 0$
ध्यान दें कि हमने व्यंजक की समानता बनाए रखने के लिए $1$ घटाया और $1$ जोड़ा है।
यह सरल होकर $(m - 1)^{3} + (n + 1)^{3}$ बन जाता है।
अब,$m$ और $n$ के मान रखने पर:
$(-4 - 1)^{3} + (-2 + 1)^{3}$
$= (-5)^{3} + (-1)^{3}$
$= -125 - 1$
$= -126$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{m-a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{m-b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{m-c^{2}}{a^{2}+b^{2}}=3$
बाईं ओर के प्रत्येक पद से $1$ घटाने पर:
$(\frac{m-a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-1)+(\frac{m-b^{2}}{c^{2}+a^{2}}-1)+(\frac{m-c^{2}}{a^{2}+b^{2}}-1)=3-3$
$\frac{m-a^{2}-b^{2}-c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{m-b^{2}-c^{2}-a^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{m-c^{2}-a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=0$
मान लीजिए $K = m-(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ है। तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$K(\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}})=0$
चूंकि भिन्नों का योग सामान्यतः शून्य नहीं होता है,इसलिए $K=0$ होना चाहिए।
अतः,$m-(a^{2}+b^{2}+c^{2})=0$,जिसका अर्थ है कि $m=a^{2}+b^{2}+c^{2}$।

(A) दिया गया है $x = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{\sqrt{13} - \sqrt{11}}$ और $y = \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{13} - \sqrt{11}}{\sqrt{13} + \sqrt{11}}$.
सबसे पहले,$x + y$ की गणना करें:
$x + y = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{\sqrt{13} - \sqrt{11}} + \frac{\sqrt{13} - \sqrt{11}}{\sqrt{13} + \sqrt{11}}$
$= \frac{(\sqrt{13} + \sqrt{11})^2 + (\sqrt{13} - \sqrt{11})^2}{(\sqrt{13} - \sqrt{11})(\sqrt{13} + \sqrt{11})}$
$= \frac{(13 + 11 + 2\sqrt{143}) + (13 + 11 - 2\sqrt{143})}{13 - 11}$
$= \frac{24 + 24}{2} = \frac{48}{2} = 24$.
इसके बाद,$xy$ की गणना करें:
$xy = x \cdot \frac{1}{x} = 1$.
अब,$3x^2 - 5xy + 3y^2$ का मान ज्ञात करें:
$3x^2 - 5xy + 3y^2 = 3(x^2 + y^2) - 5xy$
$= 3((x + y)^2 - 2xy) - 5xy$
$= 3(x + y)^2 - 6xy - 5xy$
$= 3(x + y)^2 - 11xy$
$= 3(24)^2 - 11(1)$
$= 3(576) - 11$
$= 1728 - 11 = 1717$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=0$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz-2zx=0$.
इसे $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $x-y=0$,$y-z=0$,और $z-x=0$.
इसका अर्थ है कि $x=y=z$.
मान लीजिए $x=y=z=k$ (जहाँ $k \neq 0$).
व्यंजक में $x=y=z=k$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3k^{4}+7k^{4}+5k^{4}}{5k^{4}+7k^{4}+3k^{4}} = \frac{15k^{4}}{15k^{4}} = 1$.