QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(B) दिए गए समीकरण $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ और $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ हैं।
सबसे पहले,$(x - y)$ की गणना करें:
$x - y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$.
इसके बाद,$(xy)$ की गणना करें:
$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.
हमें $(x^3 - 20\sqrt{2}) - (y^3 + 2\sqrt{2}) = x^3 - y^3 - 22\sqrt{2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x - y)$ का उपयोग करने पर:
$x^3 - y^3 = (2\sqrt{2})^3 + 3(1)(2\sqrt{2})$
$x^3 - y^3 = 16\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 22\sqrt{2}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$22\sqrt{2} - 22\sqrt{2} = 0$.

(C) दिया गया समीकरण: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a+b+c)^{2}$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0$
$2$ से भाग देने पर: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=0$
$2$ से गुणा करने पर: $2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$(a-b)^{2}=0 \Rightarrow a=b$
$(b-c)^{2}=0 \Rightarrow b=c$
$(c-a)^{2}=0 \Rightarrow c=a$
अतः,$a=b=c$.

(B) दिया गया है $\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=\frac{5}{1}$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}{x^{2}+xy+y^{2}}=5$,जो सरल होकर $x-y=5$ (समीकरण $1$) हो जाता है।
दिया गया है $\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}=\frac{7}{1}$.
सर्वसमिका $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=7$,जो सरल होकर $x+y=7$ (समीकरण $2$) हो जाता है।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(x-y)+(x+y)=5+7 \Rightarrow 2x=12 \Rightarrow x=6$.
समीकरण $2$ में $x=6$ रखने पर: $6+y=7 \Rightarrow y=1$.
अतः,अनुपात $\frac{2x}{3y} = \frac{2 \times 6}{3 \times 1} = \frac{12}{3} = \frac{4}{1}$।

(C) दिया गया है: $x = a^{1/2} + a^{-1/2}$ और $y = a^{1/2} - a^{-1/2}$।
सबसे पहले,$x^2$ और $y^2$ की गणना करें:
$x^2 = (a^{1/2} + a^{-1/2})^2 = a + a^{-1} + 2(a^{1/2})(a^{-1/2}) = a + a^{-1} + 2$
$y^2 = (a^{1/2} - a^{-1/2})^2 = a + a^{-1} - 2(a^{1/2})(a^{-1/2}) = a + a^{-1} - 2$
अब,$x^2 - y^2$ की गणना करें:
$x^2 - y^2 = (a + a^{-1} + 2) - (a + a^{-1} - 2) = 4$
व्यंजक है: $(x^4 - x^2 y^2 - 1) + (y^4 - x^2 y^2 + 1) = x^4 + y^4 - 2x^2 y^2$।
इसे $(x^2 - y^2)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x^2 - y^2 = 4$ का मान रखने पर:
$(x^2 - y^2)^2 = 4^2 = 16$।

(C) दिया गया है $a+b=1$।
हमें $E = a^{3}+b^{3}-ab-(a^{2}-b^{2})^{2}$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ और $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करने पर:
$E = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) - ab - [(a+b)(a-b)]^{2}$।
चूंकि $a+b=1$,$(a+b)$ के स्थान पर $1$ रखने पर:
$E = 1 \cdot (a^{2}-ab+b^{2}) - ab - (1)^{2}(a-b)^{2}$।
$E = a^{2}-ab+b^{2} - ab - (a^{2}-2ab+b^{2})$।
$E = a^{2}-2ab+b^{2} - a^{2}+2ab-b^{2}$।
$E = 0$।

(D) दिया गया समीकरण: $a - \frac{1}{a - 3} = 5$
दोनों पक्षों में से $3$ घटाने पर:
$(a - 3) - \frac{1}{a - 3} = 5 - 3$
$(a - 3) - \frac{1}{a - 3} = 2$
माना कि $x = (a - 3)$। तो समीकरण $x - \frac{1}{x} = 2$ हो जाता है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = (x - \frac{1}{x})^{3} + 3(x - \frac{1}{x})$.
इस सर्वसमिका में $x - \frac{1}{x} = 2$ रखने पर:
$x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = (2)^{3} + 3(2)$
$x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = 8 + 6 = 14$.
अतः,$(a - 3)^{3} - \frac{1}{(a - 3)^{3}}$ का मान $14$ है।

(D) सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करें।
पहले पद के लिए: $\frac{p^{-1} q^{2}}{p^{3} q^{-2}} = p^{-1-3} q^{2-(-2)} = p^{-4} q^{4}$।
इसका $\frac{1}{3}$ घात लेने पर,हमें $(p^{-4} q^{4})^{\frac{1}{3}} = p^{-\frac{4}{3}} q^{\frac{4}{3}}$ प्राप्त होता है।
दूसरे पद के लिए: $\frac{p^{5} q^{-3}}{p^{-2} q^{3}} = p^{5-(-2)} q^{-3-3} = p^{7} q^{-6}$।
इसका $\frac{1}{3}$ घात लेने पर,हमें $(p^{7} q^{-6})^{\frac{1}{3}} = p^{\frac{7}{3}} q^{-2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण के अनुसार,यदि इन पदों का योग $p^a q^b$ के रूप में है,तो सरल करने पर $a+b=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अनुपात: $\frac{3x - 2y}{2x + 3y} = \frac{5}{6}$
तिर्यक गुणा करने पर: $6(3x - 2y) = 5(2x + 3y)$
$18x - 12y = 10x + 15y$
$18x - 10x = 15y + 12y$
$8x = 27y$
$\frac{x}{y} = \frac{27}{8}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर: $\frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} = \frac{3 + 2}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}\right)^{2} = 5^{2} = 25$

(B) हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$ का उपयोग करेंगे।
दिए गए व्यंजक $(m - 5n)^3$ के लिए,$x = m$ और $y = 5n$ रखने पर:
$(m - 5n)^3 = m^3 - (5n)^3 - 3(m)(5n)(m - 5n)$
$(m - 5n)^3 = m^3 - 125n^3 - 15mn(m - 5n)$
अब,दिए गए मान $m - 5n = 2$ को समीकरण में रखने पर:
$(2)^3 = m^3 - 125n^3 - 15mn(2)$
$8 = m^3 - 125n^3 - 30mn$
अतः,$(m^3 - 125n^3 - 30mn)$ का मान $8$ है।

(A) हमें $x^{3}+y^{3}=72$ और $xy=8$ दिया गया है (संशोधित)।
सर्वसमिका $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)$ का उपयोग करने पर:
$(x+y)^{3} = 72 + 3(8)(x+y)$
$(x+y)^{3} - 24(x+y) - 72 = 0$.
माना $S = x+y$,तो $S^{3} - 24S - 72 = 0$.
$S=6$ रखने पर,$216 - 144 - 72 = 0$,जो सत्य है।
अब,$(x-y)^{2} = (x+y)^{2} - 4xy$
$(x-y)^{2} = 6^{2} - 4(8) = 36 - 32 = 4$.
चूँकि $x>y$,इसलिए $x-y = \sqrt{4} = 2$.

(C) दिया गया समीकरण $x+\frac{1}{x}=2$ है।
यदि हम $x=1$ रखते हैं,तो हमें $1+\frac{1}{1}=1+1=2$ प्राप्त होता है,जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।
अब,$x=1$ को व्यंजक $x^{12}-\frac{1}{x^{12}}$ में रखने पर:
$x^{12}-\frac{1}{x^{12}} = (1)^{12} - \frac{1}{(1)^{12}}$
$= 1 - \frac{1}{1}$
$= 1 - 1 = 0$
अतः,व्यंजक का मान $0$ है।

(C) दिया गया है $x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ और $y = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.
सबसे पहले,$xy = \left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\right) \left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\right) = 1$ प्राप्त करें।
इसके बाद,$x+y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(5+3-2\sqrt{15}) + (5+3+2\sqrt{15})}{5-3} = \frac{16}{2} = 8$.
अब,$x-y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{(8-2\sqrt{15}) - (8+2\sqrt{15})}{2} = \frac{-4\sqrt{15}}{2} = -2\sqrt{15}$.
हमें $\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}$ का मान ज्ञात करना है,जिसे $\frac{(x+y)^2 - xy}{(x-y)^2 + xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर: $\frac{8^2 - 1}{(-2\sqrt{15})^2 + 1} = \frac{64-1}{60+1} = \frac{63}{61}$.

(D) माना $a = x+3$ है। हमें $a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$ का मान ज्ञात करना है।
दिया गया है $x^{2} + x = 5$,जिसे हम $x^{2} = 5 - x$ लिख सकते हैं।
अब,$a = x+3$ लें। अतः $x = a - 3$ होगा।
$x = a - 3$ को दिए गए समीकरण $x^{2} + x = 5$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a - 3)^{2} + (a - 3) = 5$
$(a^{2} - 6a + 9) + a - 3 = 5$
$a^{2} - 5a + 6 = 5$
$a^{2} - 5a + 1 = 0$
पूरे समीकरण को $a$ से विभाजित करने पर (क्योंकि $a \neq 0$):
$a - 5 + \frac{1}{a} = 0$
$a + \frac{1}{a} = 5$
हम जानते हैं कि $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = (a + \frac{1}{a})^{3} - 3(a + \frac{1}{a})$ होता है।
$a + \frac{1}{a} = 5$ का मान रखने पर:
$a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 5^{3} - 3(5) = 125 - 15 = 110$।

(B) दिया गया समीकरण: $4a - \frac{4}{a} + 3 = 0$.
पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर: $a - \frac{1}{a} + \frac{3}{4} = 0$,जिसका अर्थ है $a - \frac{1}{a} = -\frac{3}{4}$.
हम सर्वसमिका $x^{3} - y^{3} = (x - y)^{3} + 3xy(x - y)$ जानते हैं।
मान लीजिए $x = a$ और $y = \frac{1}{a}$। तब $a^{3} - \frac{1}{a^{3}} = (a - \frac{1}{a})^{3} + 3(a)(\frac{1}{a})(a - \frac{1}{a})$.
$a - \frac{1}{a} = -\frac{3}{4}$ रखने पर:
$a^{3} - \frac{1}{a^{3}} = (-\frac{3}{4})^{3} + 3(-\frac{3}{4}) = -\frac{27}{64} - \frac{9}{4}$.
घटाने के लिए,समान हर लेने पर: $-\frac{27}{64} - \frac{144}{64} = -\frac{171}{64}$.
अब,$a^{3} - \frac{1}{a^{3}} + 3 = -\frac{171}{64} + 3 = \frac{-171 + 192}{64} = \frac{21}{64}$.

(D) इस व्यंजक के लिए बीजीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}]$
यहाँ $x=225$,$y=226$,और $z=225$ दिया गया है:
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1}{2}(225+226+225)[(225-226)^{2}+(226-225)^{2}+(225-225)^{2}]$
$= \frac{1}{2}(676)[(-1)^{2}+(1)^{2}+(0)^{2}]$
$= \frac{1}{2} \times 676 \times [1 + 1 + 0]$
$= \frac{1}{2} \times 676 \times 2$
$= 676$

(D) दिया गया समीकरण: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x+z-1)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2x+2z-2$.
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}-2z+2=0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(x^{2}-2x+1) + y^{2} + (z^{2}-2z+1) = 0$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $(x-1)^{2} + y^{2} + (z-1)^{2} = 0$.
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो,इसलिए:
$x-1=0 \Rightarrow x=1$
$y=0$
$z-1=0 \Rightarrow z=1$
अब,$x^{3}+y^{3}+z^{3} = (1)^{3} + (0)^{3} + (1)^{3} = 1 + 0 + 1 = 2$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$5x + 9y = 5$ --- (1)
$125x^3 + 729y^3 = 120$ --- (2)
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका:
$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$
माना $a = 5x$ और $b = 9y$।
तब $a^3 = 125x^3$ और $b^3 = 729y^3$।
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(5x + 9y)^3 = 5^3$
$(5x)^3 + (9y)^3 + 3(5x)(9y)(5x + 9y) = 125$
$125x^3 + 729y^3 + 135xy(5x + 9y) = 125$
समीकरण (1) और (2) से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$120 + 135xy(5) = 125$
$120 + 675xy = 125$
$675xy = 125 - 120$
$675xy = 5$
$xy = \frac{5}{675}$
$xy = \frac{1}{135}$

(A) दी गई व्यंजक: $a^{2}+4 b^{2}+4 b-4 a b-2 a-8$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^{2}+4 b^{2}-4 a b-2 a+4 b-8$
पूर्ण वर्ग को पहचानने पर: $(a-2 b)^{2}-2(a-2 b)-8$
माना $x = (a-2 b)$.
$x$ का मान व्यंजक में रखने पर: $x^{2}-2 x-8$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x^{2}-4 x+2 x-8 = x(x-4)+2(x-4) = (x-4)(x+2)$
अब $x = (a-2 b)$ वापस रखने पर: $(a-2 b-4)(a-2 b+2)$

(C) समीकरण $I$ के लिए: $6x^2 + 41x + 63 = 0$
$6x^2 + 27x + 14x + 63 = 0$
$3x(2x + 9) + 7(2x + 9) = 0$
$(3x + 7)(2x + 9) = 0$
$x = -7/3 \approx -2.33$ या $x = -9/2 = -4.5$
समीकरण $II$ के लिए: $4y^2 + 8y + 3 = 0$
$4y^2 + 6y + 2y + 3 = 0$
$2y(2y + 3) + 1(2y + 3) = 0$
$(2y + 1)(2y + 3) = 0$
$y = -1/2 = -0.5$ या $y = -3/2 = -1.5$
मानों की तुलना करने पर:
$x = -2.33, -4.5$
$y = -0.5, -1.5$
चूंकि $x$ के सभी मान $y$ के सभी मानों से छोटे हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x < y$.

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}+10 x+24=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}+6 x+4 x+24=0$
$x(x+6)+4(x+6)=0$
$(x+4)(x+6)=0$
अतः,$x = -4$ या $x = -6$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $4 y^{2}-17 y+18=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $4 y^{2}-8 y-9 y+18=0$
$4 y(y-2)-9(y-2)=0$
$(4 y-9)(y-2)=0$
अतः,$y = \frac{9}{4} = 2.25$ या $y = 2$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान $\{-4, -6\}$ हैं और $y$ के मान $\{2.25, 2\}$ हैं।
चूंकि $x$ के दोनों मान ऋणात्मक हैं और $y$ के दोनों मान धनात्मक हैं,इसलिए यह स्पष्ट है कि $x < y$ है।

(C) समीकरण $I: 24x^2 + 38x + 15 = 0$ के लिए
$24x^2 + 20x + 18x + 15 = 0$
$4x(6x + 5) + 3(6x + 5) = 0$
$(4x + 3)(6x + 5) = 0$
$x = -\frac{3}{4} = -0.75$ और $x = -\frac{5}{6} \approx -0.833$
समीकरण $II: 12y^2 + 28y + 15 = 0$ के लिए
$12y^2 + 18y + 10y + 15 = 0$
$6y(2y + 3) + 5(2y + 3) = 0$
$(6y + 5)(2y + 3) = 0$
$y = -\frac{5}{6} \approx -0.833$ और $y = -\frac{3}{2} = -1.5$
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -0.75, x_2 = -0.833$
$y_1 = -0.833, y_2 = -1.5$
चूंकि $-0.75 > -0.833$,$-0.75 > -1.5$,$-0.833 = -0.833$,और $-0.833 > -1.5$,अतः हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $x \geq y$.

(D) समीकरण $I: 3x^2 - 20x - 32 = 0$ के लिए
$3x^2 - 24x + 4x - 32 = 0$
$3x(x - 8) + 4(x - 8) = 0$
$(3x + 4)(x - 8) = 0$
अतः,$x = -4/3$ या $x = 8$.
समीकरण $II: 2y^2 - 3y - 20 = 0$ के लिए
$2y^2 - 8y + 5y - 20 = 0$
$2y(y - 4) + 5(y - 4) = 0$
$(2y + 5)(y - 4) = 0$
अतः,$y = -5/2$ या $y = 4$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 8$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $y$ का मान $4$ या $-2.5$ है)।
यदि $x = -1.33$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $y = 4$) लेकिन $x < y$ (क्योंकि $y = -2.5$ है)।
अतः,$x$ और $y$ के बीच कोई निश्चित संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-20 x+91=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}-13 x-7 x+91=0$
$x(x-13)-7(x-13)=0$
$(x-7)(x-13)=0$
अतः,$x = 7$ या $x = 13$ प्राप्त होता है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-32 y+247=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2}-19 y-13 y+247=0$
$y(y-19)-13(y-19)=0$
$(y-13)(y-19)=0$
अतः,$y = 13$ या $y = 19$ प्राप्त होता है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x=7$ है,तो $x < y$ (क्योंकि $y$ का मान $13$ या $19$ है)।
यदि $x=13$ है,तो $x \leq y$ (क्योंकि $y$ का मान $13$ या $19$ है)।
दोनों स्थितियों में,$x \leq y$ सिद्ध होता है।

(A) दिया गया है कि $x+\frac{1}{x}=5$ है।
सबसे पहले,दोनों पक्षों का घन (cube) करके $x^3+\frac{1}{x^3}$ ज्ञात करें:
$(x+\frac{1}{x})^3 = 5^3$
$x^3+\frac{1}{x^3}+3(x)(\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x}) = 125$
$x^3+\frac{1}{x^3}+3(5) = 125$
$x^3+\frac{1}{x^3} = 125-15 = 110$.
अब,$x^6+\frac{1}{x^6}$ ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग (square) करें:
$(x^3+\frac{1}{x^3})^2 = 110^2$
$x^6+\frac{1}{x^6}+2(x^3)(\frac{1}{x^3}) = 12100$
$x^6+\frac{1}{x^6}+2 = 12100$
$x^6+\frac{1}{x^6} = 12100-2 = 12098$.

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2}-3x+1=0$.
$x$ से भाग देने पर,हमें $x-3+\frac{1}{x}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x+\frac{1}{x}=3$.
हमें $\frac{x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}{x^{3}}$ का मान ज्ञात करना है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{x^{6}}{x^{3}}+\frac{x^{4}}{x^{3}}+\frac{x^{2}}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}} = x^{3}+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}$.
पदों को समूहित करने पर: $(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}) + (x+\frac{1}{x})$.
सर्वसमिका $a^{3}+b^{3} = (a+b)^{3}-3ab(a+b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=x$ और $b=\frac{1}{x}$:
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}} = (x+\frac{1}{x})^{3}-3(x)(\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x}) = (3)^{3}-3(3) = 27-9 = 18$.
मान रखने पर: $(18) + (3) = 21$.

(C) दिया गया है कि $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=119$.
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर,हमें $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=119+2=121$ प्राप्त होता है।
इसे $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=11^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वर्गमूल लेने पर,$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=11$ (चूंकि $x>1$,इसलिए $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ धनात्मक होना चाहिए)।
अब,दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2=11-2=9$.
यह $(x-\frac{1}{x})^{2}=3^{2}$ में सरल हो जाता है,अतः $x-\frac{1}{x}=3$.
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका $(x-\frac{1}{x})^{3} = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(x-\frac{1}{x})$ का उपयोग करते हैं।
$x-\frac{1}{x}=3$ का मान रखने पर,हमें $3^{3} = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(3)$ प्राप्त होता है।
$27 = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-9$.
अतः,$x^{3}-\frac{1}{x^{3}} = 27+9 = 36$।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{(x+1)^{3}-(x-1)^{3}}{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}=2$
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं $(a+b)^3 - (a-b)^3 = 2b^3 + 6a^2b$ और $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ का उपयोग करने पर:
अंश: $(x+1)^3 - (x-1)^3 = 2(1)^3 + 6(x)^2(1) = 2 + 6x^2$
हर: $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4(x)(1) = 4x$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{6x^2 + 2}{4x} = 2$
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3x^2 + 1}{2x} = 2$
दोनों पक्षों को $2x$ से गुणा करने पर:
$3x^2 + 1 = 4x$
द्विघात समीकरण के मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 - 4x + 1 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(3x - 1)(x - 1) = 0$
अतः $x$ के दो संभावित मान हैं: $x = 1/3$ या $x = 1$.
यदि $x = 1/3$ है,तो अंश और हर का योग $1 + 3 = 4$ है।
यदि $x = 1$ है,तो अंश और हर का योग $1 + 1 = 2$ है (जो विकल्पों में नहीं है)।
अतः,सही उत्तर $4$ है।

(C) दिया गया है $x = \sqrt{5} + 2$.
सबसे पहले,$x^2 = (\sqrt{5} + 2)^2 = 5 + 4 + 4\sqrt{5} = 9 + 4\sqrt{5}$ की गणना करें।
अंश में $x$ और $x^2$ का मान रखने पर: $2(9 + 4\sqrt{5}) - 3(\sqrt{5} + 2) - 2 = 18 + 8\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 6 - 2 = 10 + 5\sqrt{5}$।
हर में $x$ और $x^2$ का मान रखने पर: $3(9 + 4\sqrt{5}) - 4(\sqrt{5} + 2) - 3 = 27 + 12\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 8 - 3 = 16 + 8\sqrt{5}$।
अब,व्यंजक $\frac{10 + 5\sqrt{5}}{16 + 8\sqrt{5}}$ है।
उभयनिष्ठ गुणनखंड लेने पर: $\frac{5(2 + \sqrt{5})}{8(2 + \sqrt{5})} = \frac{5}{8}$।
दशमलव मान की गणना करने पर: $\frac{5}{8} = 0.625$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^{2}+y^{2}+1=2x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x^{2}-2x+1+y^{2}=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(x-1)^{2}+y^{2}=0$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $(x-1)^{2} \geq 0$ और $y^{2} \geq 0$ है।
दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं का योग शून्य होने के लिए,प्रत्येक पद का व्यक्तिगत रूप से शून्य होना आवश्यक है:
$(x-1)^{2}=0 \implies x=1$
$y^{2}=0 \implies y=0$
अब $x^{3}+y^{5}$ व्यंजक में इन मानों को रखने पर:
$x^{3}+y^{5} = (1)^{3} + (0)^{5} = 1 + 0 = 1$

(A) दिया गया है $x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = 119$.
हम जानते हैं कि $(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2} = x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 2$.
अतः,$(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2} = 119 + 2 = 121$.
वर्गमूल लेने पर,$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 11$ (धनात्मक मान लेने पर)।
अब,$(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 = 11 - 2 = 9$.
इस प्रकार,$x - \frac{1}{x} = \pm 3$.
स्थिति $1$: यदि $x - \frac{1}{x} = 3$ है,तो $x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = (x - \frac{1}{x})^{3} + 3(x - \frac{1}{x}) = 3^{3} + 3(3) = 27 + 9 = 36$.
स्थिति $2$: यदि $x - \frac{1}{x} = -3$ है,तो $x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = (-3)^{3} + 3(-3) = -27 - 9 = -36$.
अतः,सही उत्तर $\pm 36$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\left(\frac{1}{2}(a-b)\right)^{2}+a b=p(a+b)^{2}$
बाईं ओर का विस्तार करने पर: $\frac{1}{4}(a-b)^{2}+a b=p(a+b)^{2}$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर: $(a-b)^{2}+4 a b=4 p(a+b)^{2}$
$(a-b)^{2}$ का विस्तार $a^{2}+b^{2}-2 a b$ के रूप में करने पर: $(a^{2}+b^{2}-2 a b)+4 a b=4 p(a+b)^{2}$
व्यंजक को सरल करने पर: $a^{2}+b^{2}+2 a b=4 p(a+b)^{2}$
हम जानते हैं कि $a^{2}+b^{2}+2 a b = (a+b)^{2}$ होता है: $(a+b)^{2}=4 p(a+b)^{2}$
चूंकि $a \neq -b$ है,इसलिए $(a+b)^{2} \neq 0$ होगा। दोनों पक्षों को $(a+b)^{2}$ से विभाजित करने पर: $1=4 p$
अतः,$p = \frac{1}{4}$.

(C) $x + \frac{1}{x}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक को सरल करेंगे।
$x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}$
किसी भिन्न $\frac{a}{b}$ का व्युत्क्रम $\frac{b}{a}$ होता है।
अतः,$\frac{x^2 + 1}{x}$ का व्युत्क्रम $\frac{x}{x^2 + 1}$ होगा।

(C) दिया गया समीकरण: $x(x-3) = -1$
$x^2 - 3x = -1$
$x^2 - 3x + 1 = 0$
हम जानते हैं कि $(x^2 - 3x + 1) = 0$,इसलिए $x^2 + 1 = 3x$। $x$ से विभाजित करने पर,हमें $x + \frac{1}{x} = 3$ प्राप्त होता है।
हमें $x^3(x^3 - 18) = x^6 - 18x^3$ का मान ज्ञात करना है।
$x + \frac{1}{x} = 3$ से,दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(x + \frac{1}{x})^3 = 3^3$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) = 27$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(3) = 27$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 - 9 = 18$
$x^6 + 1 = 18x^3$
$x^6 - 18x^3 = -1$
अतः,$x^3(x^3 - 18)$ का मान $-1$ है।

(D) दिया गया है $a(2+\sqrt{3})=1 \implies a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$.
दिया गया है $b(2-\sqrt{3})=1 \implies b = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$.
अब,$a^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 4+3-4\sqrt{3} = 7-4\sqrt{3}$.
और $b^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 4+3+4\sqrt{3} = 7+4\sqrt{3}$.
हमें $\frac{1}{a^2+1} + \frac{1}{b^2+1}$ का मान ज्ञात करना है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{7-4\sqrt{3}+1} + \frac{1}{7+4\sqrt{3}+1} = \frac{1}{8-4\sqrt{3}} + \frac{1}{8+4\sqrt{3}}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(8+4\sqrt{3}) + (8-4\sqrt{3})}{(8-4\sqrt{3})(8+4\sqrt{3})}$.
$= \frac{16}{64 - (16 \times 3)} = \frac{16}{64-48} = \frac{16}{16} = 1$.

(C) माना कि $x = \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\cdots}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} = 30 + \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\cdots}}}$
चूंकि वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $x$ के समान है,हम लिख सकते हैं:
$x^{2} = 30 + x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$x^{2} - x - 30 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^{2} - 6x + 5x - 30 = 0$
$x(x - 6) + 5(x - 6) = 0$
$(x - 6)(x + 5) = 0$
इससे $x = 6$ या $x = -5$ प्राप्त होता है।
चूंकि वर्गमूल का मान धनात्मक होना चाहिए,इसलिए हम $x = -5$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$x = 6$।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-24x+144=0$
इसे $(x-12)^{2}=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$x=12$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-26y+169=0$
इसे $(y-13)^{2}=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$y=13$ है।
मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $12 < 13$,जिसका अर्थ है कि $x < y$।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $2x^2 + 3x - 20 = 0$
$2x^2 + 8x - 5x - 20 = 0$
$2x(x + 4) - 5(x + 4) = 0$
$(2x - 5)(x + 4) = 0$
अतः,$x = 2.5$ या $x = -4$.
समीकरण $II$ के लिए: $2y^2 + 19y + 44 = 0$
$2y^2 + 8y + 11y + 44 = 0$
$2y(y + 4) + 11(y + 4) = 0$
$(2y + 11)(y + 4) = 0$
अतः,$y = -5.5$ या $y = -4$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 2.5$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $2.5 > -4$ और $2.5 > -5.5$ है)।
यदि $x = -4$ है,तो $x = y$ (जब $y = -4$) और $x > y$ (जब $y = -5.5$) है।
इस प्रकार,$x \geq y$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $6x^2 + 77x + 121 = 0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $6x^2 + 66x + 11x + 121 = 0$
$6x(x + 11) + 11(x + 11) = 0$
$(6x + 11)(x + 11) = 0$
अतः,$x = -\frac{11}{6} \approx -1.83$ और $x = -11$.
समीकरण $II$ के लिए: $y^2 + 9y - 22 = 0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $y^2 + 11y - 2y - 22 = 0$
$y(y + 11) - 2(y + 11) = 0$
$(y - 2)(y + 11) = 0$
अतः,$y = 2$ और $y = -11$.
मानों की तुलना करने पर:
जब $x = -1.83$,तब $x > y$ (क्योंकि $y = -11$) और $x < y$ (क्योंकि $y = 2$) है।
जब $x = -11$,तब $x = y$ (क्योंकि $y = -11$) और $x < y$ (क्योंकि $y = 2$) है।
चूंकि चुने गए मानों के आधार पर संबंध बदल रहा है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच कोई निश्चित संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(B) चरण $1$: पहले समीकरण $x^{2}-6x=7$ को हल करें।
$x^{2}-6x-7=0$
$x^{2}-7x+x-7=0$
$x(x-7)+1(x-7)=0$
$(x+1)(x-7)=0$
अतः,$x = -1$ या $x = 7$ है।
चरण $2$: दूसरे समीकरण $2y^{2}+13y+15=0$ को हल करें।
$2y^{2}+10y+3y+15=0$
$2y(y+5)+3(y+5)=0$
$(2y+3)(y+5)=0$
अतः,$y = -1.5$ या $y = -5$ है।
चरण $3$: मानों की तुलना करें।
$x$ के संभावित मान $\{-1, 7\}$ हैं।
$y$ के संभावित मान $\{-1.5, -5\}$ हैं।
मानों की तुलना करने पर:
चूंकि $-1 > -1.5$,$-1 > -5$,$7 > -1.5$,और $7 > -5$,इसलिए यह स्पष्ट है कि सभी मामलों में $x > y$ है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $10 x^{2}-7 x+1=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $10 x^{2}-5 x-2 x+1=0$
$5 x(2 x-1)-1(2 x-1)=0$
$(5 x-1)(2 x-1)=0$
अतः,$x = \frac{1}{5} = 0.2$ और $x = \frac{1}{2} = 0.5$.
समीकरण $II$ के लिए: $35 y^{2}-12 y+1=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $35 y^{2}-7 y-5 y+1=0$
$7 y(5 y-1)-1(5 y-1)=0$
$(7 y-1)(5 y-1)=0$
अतः,$y = \frac{1}{7} \approx 0.143$ और $y = \frac{1}{5} = 0.2$.
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान ${0.2, 0.5}$ हैं और $y$ के मान ${0.143, 0.2}$ हैं।
चूंकि $0.2 \geq 0.143$,$0.2 = 0.2$,$0.5 > 0.143$,और $0.5 > 0.2$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \geq y$.

(D) माना कि $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}$
चूंकि वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $x$ के समान है,हम $x$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$x^{2} = 6 + x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$x^{2} - x - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^{2} - 3x + 2x - 6 = 0$
$x(x - 3) + 2(x - 3) = 0$
$(x + 2)(x - 3) = 0$
इससे $x = 3$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि धनात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $x$ का मान $-2$ नहीं हो सकता।
अतः,$x = 3$।

(D) माना कि दो क्रमागत विषम प्राकृतिक संख्याएँ $n$ और $(n+2)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,
$n^{2} + (n+2)^{2} = 394$
$n^{2} + n^{2} + 4 + 4n = 394$
$2n^{2} + 4n - 390 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$n^{2} + 2n - 195 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$n^{2} + 15n - 13n - 195 = 0$
$n(n+15) - 13(n+15) = 0$
$(n-13)(n+15) = 0$
चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए,इसलिए $n = 13$ है।
अतः दो संख्याएँ $13$ और $15$ हैं।
संख्याओं का योग $= 13 + 15 = 28$.

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-19x+84=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $x^{2}-7x-12x+84=0$
$(x-7)(x-12)=0$
अतः,$x = 7$ या $x = 12$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-25y+156=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $y^{2}-13y-12y+156=0$
$(y-13)(y-12)=0$
अतः,$y = 13$ या $y = 12$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x=7$ है,तो $x < y$ (क्योंकि $y$ का मान $12$ या $13$ है)।
यदि $x=12$ है,तो $x \leq y$ (क्योंकि $y$ का मान $12$ या $13$ है)।
इस प्रकार,$x \leq y$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: $x$ के लिए समीकरण $I$ को हल करें।
$x^{3} - 468 = 1729$
$x^{3} = 1729 + 468$
$x^{3} = 2197$
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$
चरण $2$: $y$ के लिए समीकरण $II$ को हल करें।
$y^{2} - 1733 + 1564 = 0$
$y^{2} - 169 = 0$
$y^{2} = 169$
$y = \pm 13$
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें।
$x = 13$
$y = 13$ या $y = -13$
इनकी तुलना करने पर,हमें $x = 13$ और $y = 13$ (अतः $x = y$) या $x = 13$ और $y = -13$ (अतः $x > y$) प्राप्त होता है।
इन परिणामों को मिलाने पर,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \geq y$।

(D) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$\frac{9}{\sqrt{x}} + \frac{19}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{9 + 19}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{28}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$28 = \sqrt{x} \times \sqrt{x}$
$x = 28$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$y^{5} - \frac{(28)^{1/2}}{\sqrt{y}} = 0$
$y^{5} = \frac{(28)^{1/2}}{y^{1/2}}$
$y^{5} \times y^{1/2} = (28)^{1/2}$
$y^{11/2} = (28)^{1/2}$
चूंकि घातांक समान हैं,इसलिए आधार समान होने चाहिए।
$y = 28$
निष्कर्ष:
चूंकि $x = 28$ और $y = 28$,इसलिए $x = y$ है।

(A) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$\sqrt{784} x + 1234 = 1486$
$28x = 1486 - 1234$
$28x = 252$
$x = \frac{252}{28} = 9$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$\sqrt{1089} y + 2081 = 2345$
$33y = 2345 - 2081$
$33y = 264$
$y = \frac{264}{33} = 8$
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
चूंकि $x = 9$ और $y = 8$ है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $x > y$।

(C) समीकरण $I$ के लिए:
$\frac{12 - 23}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x}$
$\frac{-11}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x}$
$-11 = 5x$
$x = -2.2$
समीकरण $II$ के लिए:
$\frac{\sqrt{y} - 5\sqrt{y}}{12} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
$\frac{-4\sqrt{y}}{12} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
$-\frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
$-\sqrt{y} = 3$
वास्तविक संख्याओं के लिए $\sqrt{y}$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,लेकिन यदि हम इसे बीजगणितीय रूप से हल करें:
$\sqrt{y} = -3$
$y = 9$
$x = -2.2$ और $y = 9$ की तुलना करने पर,हमें $x < y$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$4x + 7y = 209$ --- $(1)$
$12x - 14y = -38$ --- $(2)$
$y$ को विलोपित करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करें:
$8x + 14y = 418$ --- $(3)$
अब,समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(12x - 14y) + (8x + 14y) = -38 + 418$
$20x = 380$
$x = 380 / 20 = 19$
$x = 19$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$4(19) + 7y = 209$
$76 + 7y = 209$
$7y = 209 - 76$
$7y = 133$
$y = 133 / 7 = 19$
चूंकि $x = 19$ और $y = 19$ है,इसलिए $x = y$ है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $17 x^{2}+48 x-9=0$
$17 x^{2}+51 x-3 x-9=0$
$17 x(x+3)-3(x+3)=0$
$(17 x-3)(x+3)=0$
$x = -3$ या $x = \frac{3}{17} \approx 0.176$
समीकरण $II$ के लिए: $13 y^{2}-32 y+12=0$
$13 y^{2}-26 y-6 y+12=0$
$13 y(y-2)-6(y-2)=0$
$(13 y-6)(y-2)=0$
$y = \frac{6}{13} \approx 0.461$ या $y = 2$
मानों की तुलना करने पर:
चूंकि $x$ के सभी मान ($-3$ और $0.176$),$y$ के सभी मानों ($0.461$ और $2$) से छोटे हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x < y$.

(B) $I.$ $16x^2 + 20x + 6 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $8x^2 + 10x + 3 = 0$
$8x^2 + 6x + 4x + 3 = 0$
$2x(4x + 3) + 1(4x + 3) = 0$
$(2x + 1)(4x + 3) = 0$
$x = -0.5, -0.75$
$II.$ $10y^2 + 38y + 24 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $5y^2 + 19y + 12 = 0$
$5y^2 + 15y + 4y + 12 = 0$
$5y(y + 3) + 4(y + 3) = 0$
$(5y + 4)(y + 3) = 0$
$y = -0.8, -3$
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -0.5, x_2 = -0.75$
$y_1 = -0.8, y_2 = -3$
चूंकि $-0.5 > -0.8$,$-0.5 > -3$,$-0.75 > -0.8$,और $-0.75 > -3$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x > y$।