QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(B) $Quantity \, 1$: मान लीजिए धारा की गति $x \, m/min$ है।
धारा के विपरीत लिया गया समय $T_1 = \frac{200}{48-x}$ और धारा की दिशा में लिया गया समय $T_2 = \frac{200}{48+x}$ है।
दिया गया है कि $T_1 - T_2 = 10$,इसलिए $\frac{200}{48-x} - \frac{200}{48+x} = 10$.
$10$ से विभाजित करने पर: $\frac{20}{48-x} - \frac{20}{48+x} = 1$.
$20(48+x) - 20(48-x) = (48-x)(48+x) \Rightarrow 960 + 20x - 960 + 20x = 2304 - x^2$.
$x^2 + 40x - 2304 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(x+72)(x-32) = 0$. चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 32 \, m/min$.
$Quantity \, 2$: वृत्ताकार पथ के $3$ चक्करों में तय की गई दूरी $3 \times (2 \pi r) = 3 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 49 = 3 \times 2 \times 22 \times 7 = 924 \, m$ है।
गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{924}{14} = 66 \, m/min$.
दोनों की तुलना करने पर,$32 < 66$,इसलिए Quantity $I < $ Quantity $II$.

(C) मान लीजिए $m$,$w$,और $b$ क्रमशः पुरुष,महिला और लड़के की कार्यक्षमता है।
दिया गया है: $(10m + 15w) \times 8 = (12m + 8w) \times 10$
$80m + 120w = 120m + 80w$
$40w = 40m \implies m = w$.
चूंकि लड़का पुरुष से $50\%$ कम कुशल है,$b = 0.5m$,जिसका अर्थ है $m = 2b$.
कुल कार्य = $(10m + 15m) \times 8 = 25m \times 8 = 200m$ इकाइयाँ।
Quantity $I$: $2m + 4w + 18b = 2m + 4m + 9m = 15m$. समय = $200m / 15m = 40/3$ दिन।
Quantity $II$: $9m + 3w + 6b = 9m + 3m + 3m = 15m$. समय = $200m / 15m = 40/3$ दिन।
अतः,Quantity $I =$ Quantity $II$.

(C) मान लीजिए बाबू की सामान्य गति $v \, km/h$ है और ऑफिस पहुँचने में लगने वाला समय $T$ है। उसके घर से ऑफिस की दूरी $D = v \times T$ है।
बाबू अपनी गर्लफ्रेंड से रास्ते में एक बिंदु $P$ पर मिलता है। मान लीजिए गर्लफ्रेंड को $3:00 \, PM$ से मीटिंग पॉइंट तक चलने में लगा समय $t_g$ है और तय की गई दूरी $d_g = 40 \times t_g$ है।
बाबू अपने घर से बिंदु $P$ तक $t_b$ समय में यात्रा करता है। चूँकि वे बिंदु $P$ पर मिलते हैं,घर से $P$ तक की दूरी $v \times t_b$ है।
सामान्यतः,बाबू $5:00 \, PM$ बजे ऑफिस पहुँचता है। यदि वह $t_0$ समय पर निकलता है,तो $T = 5 - t_0$.
जिस स्थिति में वे मिलते हैं,वे सामान्य समय से $40 \, min$ $(2/3 \, hr)$ पहले घर पहुँचते हैं। इसका मतलब है कि कुल बचाया गया समय $40 \, min$ है।
बाबू उस समय को बचाता है जो वह बिंदु $P$ से ऑफिस और वापस बिंदु $P$ तक यात्रा करने में बिताता। गर्लफ्रेंड ने $2$ घंटे ($3:00 \, PM$ से $5:00 \, PM$ के बराबर) तक पैदल यात्रा की। सापेक्ष गति के समीकरणों को हल करने पर,हमें $v = 120 \, km/h$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,मात्रा $I = 120 \, km/h$ और मात्रा $II = 120 \, km/h$ है।
अतः,मात्रा $I$ और मात्रा $II$ बराबर हैं।

(B) माना अंकित मूल्य $(MP)$ $= 700x$ है।
दिया गया है कि क्रय मूल्य $(CP)$ $MP$ का $79 \frac{2}{7} \%$ है,इसलिए $CP = \frac{555}{700} \times 700x = 555x$.
छूट $Rs. \,68$ है,इसलिए विक्रय मूल्य $(SP)$ $= 700x - 68$ होगा।
चूंकि $20 \%$ का लाभ होता है,$SP = CP \times (1 + \frac{20}{100}) = 555x \times 1.2 = 666x$.
$SP$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $666x = 700x - 68$.
$34x = 68$,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,मात्रा $I$ $(CP)$ $= 555 \times 2 = 1110$.
मात्रा $II = 1200$.
चूंकि $1110 < 1200$,इसलिए मात्रा $I < $ मात्रा $II$ है।

(B) माना मनोज और शुभम को साथ मिलकर काम पूरा करने में $x \, \text{hrs}$ लगते हैं।
प्रश्न के अनुसार:
मनोज द्वारा अकेले लिया गया समय = $(x + 4.8) \, \text{hrs}$.
शुभम द्वारा अकेले लिया गया समय = $(x + 10.8) \, \text{hrs}$.
कार्य-समय सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{x + 4.8} + \frac{1}{x + 10.8}$
ऐसे प्रश्नों के लिए,शॉर्टकट सूत्र $x = \sqrt{a \times b}$ है,जहाँ $a$ और $b$ संयुक्त समय की तुलना में लिया गया अतिरिक्त समय है।
$x = \sqrt{4.8 \times 10.8}$
$x = \sqrt{\frac{48}{10} \times \frac{108}{10}}$
$x = \sqrt{\frac{5184}{100}}$
$x = \frac{72}{10} = 7.2 \, \text{hrs}$.
Quantity $1 = 7.2 \, \text{hrs}$.
Quantity $2 = 7.4 \, \text{hrs}$.
चूंकि $7.2 < 7.4$,इसलिए Quantity $1 < $ Quantity $2$.

(B) $Quantity \, 1:$
मान लीजिए प्रति इकाई वास्तविक लागत मूल्य $1$ है। खरीदते समय,वह $100$ इकाइयों की कीमत पर $110$ इकाइयाँ प्राप्त करता है। अतः,प्रति इकाई प्रभावी लागत मूल्य $= \frac{100}{110}$ है।
बेचते समय,वह प्रत्येक $100$ इकाइयों के वादे के बदले $90$ इकाइयाँ देता है। वह विक्रय मूल्य पर $10 \%$ की छूट भी देता है। मान लीजिए अंकित मूल्य $1$ प्रति इकाई है। विक्रय मूल्य $= 0.9$ प्रति इकाई है।
प्रभावी लाभ गणना: वह $100$ में $110$ इकाइयाँ खरीदता है और $0.9 \times 90 = 81$ में $90$ इकाइयाँ बेचता है।
लाभ प्रतिशत $= \frac{81 - 100/110}{100/110} \times 100 = 10 \%$.
$Quantity \, 2:$
लागत मूल्य $= CP$. अंकित मूल्य $= 1.25 CP$. विक्रय मूल्य $= 1.25 CP \times 0.9 = 1.125 CP$.
विक्रय मूल्य पर लाभ $= \frac{SP - CP}{SP} \times 100 = \frac{1.125 CP - CP}{1.125 CP} \times 100 = \frac{0.125}{1.125} \times 100 = 11.11 \%$.
चूँकि $10 \% < 11.11 \%$,इसलिए Quantity $I < $ Quantity $II$.

(A) $Quantity \, 1:$
माना मूल अवधि $t$ घंटे है और मूल गति $s$ किमी/घंटा है।
दिया है,$s \times t = 3000 \implies s = \frac{3000}{t}$.
प्रश्न के अनुसार,$(s - 100)(t + 1) = 3000$.
समीकरण में $s = \frac{3000}{t}$ रखने पर:
$(\frac{3000}{t} - 100)(t + 1) = 3000$
$3000 + \frac{3000}{t} - 100t - 100 = 3000$
$\frac{3000}{t} - 100t - 100 = 0$
$100$ से भाग देने पर: $\frac{30}{t} - t - 1 = 0$
$30 - t^2 - t = 0 \implies t^2 + t - 30 = 0$
$(t + 6)(t - 5) = 0$. चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 5 \, hours$.
$Quantity \, 2:$
माना सामान्य गति $v$ है और सामान्य समय $T$ है।
नई गति $= \frac{3}{4}v$. चूंकि दूरी स्थिर है,समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
नया समय $= \frac{4}{3}T$.
दिया है,$\frac{4}{3}T - T = 20 \, minutes$.
$\frac{1}{3}T = 20 \, minutes \implies T = 60 \, minutes = 1 \, hour$.
$Quantity \, 1$ $(5 \, hours)$ और $Quantity \, 2$ $(1 \, hour)$ की तुलना करने पर,$Quantity \, I > Quantity \, II$ प्राप्त होता है।

(D) छोटे पहिये की परिधि $C_1 = \pi d_1 = 7\pi \,cm$ है।
बड़े पहिये की परिधि $C_2 = \pi d_2 = 14\pi \,cm$ है।
मान लीजिए कि दोनों पहिये प्रति सेकंड $n$ चक्कर लगाते हैं।
छोटे पहिये की गति $v_1 = 7\pi n \,cm/s$ और बड़े पहिये की गति $v_2 = 14\pi n \,cm/s$ है।
चूंकि वे एक-दूसरे की ओर बढ़ते हैं,उनकी सापेक्ष गति $v_1 + v_2 = (7\pi n + 14\pi n) = 21\pi n \,cm/s$ है।
वे $10 \,s$ बाद $1990.50 \,cm$ की दूरी तय करके मिलते हैं।
इसलिए,$(21\pi n) \times 10 = 1990.50$.
$210\pi n = 1990.50$.
$n = \frac{1990.50}{210\pi} \approx 3$ चक्कर प्रति सेकंड।
छोटे पहिये की गति $= 7\pi \times 3 = 21\pi \,cm/s$.
अतः,मात्रा $1 = 21\pi \,cm/s$,जो मात्रा $2$ के बराबर है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,यदि मूल समान हैं तो विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac = 0$ होता है।
दिया गया समीकरण: $2 k x^{2}+5 k x+2=0$ है।
यहाँ,$a=2k$,$b=5k$,और $c=2$ है।
विविक्तकर के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$(5k)^{2} - 4(2k)(2) = 0$
$25k^{2} - 16k = 0$
$k$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$k(25k - 16) = 0$
इससे $k$ के दो संभावित मान मिलते हैं: $k=0$ या $25k-16=0$ है।
यदि $k=0$ है,तो समीकरण $2=0$ हो जाता है,जो कि एक द्विघात समीकरण नहीं है। इसलिए,$k \neq 0$ है।
अतः,$25k = 16$,जिसका अर्थ है कि $k = \frac{16}{25}$।

(B) माना आयत की चौड़ाई $b \text{ cm}$ है।
तब,आयत की लंबाई $l = b + 3 \text{ cm}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = l \times b = (b + 3)b = b^2 + 3b$ है।
$r = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{11}} \text{ cm}$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times \left(\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{11}}\right)^2$ है।
$A = \frac{22}{7} \times \frac{35}{11} = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}^2$.
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $b^2 + 3b = 10$.
$b^2 + 3b - 10 = 0$.
$(b + 5)(b - 2) = 0$.
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $b = 2 \text{ cm}$.
अतः,लंबाई $l = 2 + 3 = 5 \text{ cm}$ है।
इस प्रकार,आयत की विमाएँ $5 \text{ cm} \times 2 \text{ cm}$ हैं।

(C) माना पाइप की त्रिज्या $r$ और लंबाई $l$ है।
दिया गया है कि पाइप का पृष्ठीय क्षेत्रफल (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) $2 \pi r l = 628 \, m^2$ है।
$\pi \approx 3.14$ लेने पर,$2 \times 3.14 \times r \times l = 628$,जो सरल होकर $r \times l = 100$ हो जाता है।
दिया गया है कि लंबाई और त्रिज्या के बीच का अंतर $15 \, m$ है,इसलिए $l - r = 15$,यानी $l = r + 15$ है।
समीकरण $r \times l = 100$ में $l$ का मान रखने पर,हमें $r(r + 15) = 100$ प्राप्त होता है,जो $r^2 + 15r - 100 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(r + 20)(r - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि त्रिज्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $r = 5 \, m$ है।
अतः,$l = 5 + 15 = 20 \, m$ है।
यदि पाइप एक सिरे पर बंद है,तो यह एक बेलन की तरह कार्य करता है जिसका आयतन $V = \pi r^2 l$ है।
$V = 3.14 \times (5)^2 \times 20 = 3.14 \times 25 \times 20 = 3.14 \times 500 = 1570 \, m^3$.

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,मूल समान होते हैं यदि विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $2 k x^{2} + 5 k x + 2 = 0$ में,$a = 2k$,$b = 5k$,और $c = 2$ है।
विविक्तकर के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$(5k)^{2} - 4(2k)(2) = 0$
$25k^{2} - 16k = 0$
$k$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$k(25k - 16) = 0$
इससे दो संभावनाएं मिलती हैं: $k = 0$ या $25k - 16 = 0$।
यदि $k = 0$ है,तो समीकरण $2 = 0$ बन जाता है,जो संभव नहीं है। अतः,$k \neq 0$।
इसलिए,$25k - 16 = 0$,जिसका अर्थ है कि $k = \frac{16}{25}$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $2\alpha$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार:
मूलों का योग $= \alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{3a} \quad (1)$
मूलों का गुणनफल $= \alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^{2} = \frac{c}{a} \implies \alpha^{2} = \frac{c}{2a} \quad (2)$
समीकरण $(1)$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$\left(-\frac{b}{3a}\right)^{2} = \frac{c}{2a}$
$\frac{b^{2}}{9a^{2}} = \frac{c}{2a}$
$2b^{2} = 9a^{2} \cdot \frac{c}{a}$
$2b^{2} = 9ac$

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x+a} + \frac{1}{x+b} = \frac{1}{c}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{(x+b) + (x+a)}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{c}$
$\frac{2x + a + b}{x^2 + x(a+b) + ab} = \frac{1}{c}$
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर:
$c(2x + a + b) = x^2 + x(a+b) + ab$
$2cx + c(a+b) = x^2 + x(a+b) + ab$
मानक द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 + x(a+b-2c) + (ab - c(a+b)) = 0$
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूलों का योग $-B/A$ होता है। दिया गया है कि मूलों का योग $0$ है:
$-(a+b-2c) = 0 \Rightarrow a+b = 2c$
मूलों का गुणनफल $C/A = ab - c(a+b)$ होता है।
$c = \frac{a+b}{2}$ का मान रखने पर:
गुणनफल $= ab - \left(\frac{a+b}{2}\right)(a+b) = ab - \frac{(a+b)^2}{2}$
$= \frac{2ab - (a^2 + 2ab + b^2)}{2} = \frac{2ab - a^2 - 2ab - b^2}{2} = \frac{-(a^2 + b^2)}{2} = -\frac{1}{2}(a^2 + b^2)$

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3y+1} = \sqrt{y-1}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3y + 1 = y - 1$
$y$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3y - y = -1 - 1$
$2y = -2$
$y = -1$
अब,मूल समीकरण में $y = -1$ रखकर मूल की वैधता की जाँच करने पर:
बायां पक्ष: $\sqrt{3(-1) + 1} = \sqrt{-3 + 1} = \sqrt{-2}$
चूंकि $\sqrt{-2}$ एक वास्तविक संख्या नहीं है,इसलिए $y = -1$ एक अप्रासंगिक (extraneous) मूल है।
अतः,दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+3ax+c=0$ है।
मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\alpha+\beta = -3a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = c$ है।
हमें $\alpha^{2}+\beta^{2}=5$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$.
इस सर्वसमिका में ज्ञात मान रखने पर: $5 = (-3a)^{2} - 2(c)$.
$5 = 9a^{2} - 2c$.
$9a^{2} = 5 + 2c$.
$a^{2} = \frac{5+2c}{9}$.
अतः,$a = \pm \sqrt{\frac{5+2c}{9}}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $\sqrt{\frac{5+2c}{9}}$ है।

(D) द्विघात समीकरण $x^{2}+3ax+2a^{2}=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -\frac{b}{a_{coeff}} = -3a$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a_{coeff}} = 2a^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$.
दिया गया है कि $\alpha^{2}+\beta^{2} = 5$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$5 = (-3a)^{2} - 2(2a^{2})$
$5 = 9a^{2} - 4a^{2}$
$5 = 5a^{2}$
$a^{2} = 1$
$a = \pm 1$.

(B) दिया गया है कि $x+\frac{1}{x}=2.$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} = 2^{2}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$ का उपयोग करने पर,
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) = 4$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 = 4$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 4 - 2$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$

(D) दिया गया है $x+\frac{1}{x}=3.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=3^{2} \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=9 \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7.$
अब,पुनः वर्ग करने पर,$\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}=7^{2} \Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=49 \Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=47.$
अंत में,एक बार और वर्ग करने पर,$\left(x^{4}+\frac{1}{x^{4}}\right)^{2}=47^{2} \Rightarrow x^{8}+\frac{1}{x^{8}}+2=2209 \Rightarrow x^{8}+\frac{1}{x^{8}}=2207.$

(D) दिया गया है: $x+y=3$ और $xy=2$।
हम जानते हैं कि $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$।
मान रखने पर: $(x-y)^2 = 3^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1$।
अतः,$x-y = 1$ (मान लीजिए $x > y$)।
अब,हम सर्वसमिका $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+y^2+xy)$ का उपयोग करते हैं।
इसे हम इस प्रकार भी लिख सकते हैं: $x^3-y^3 = (x-y)((x+y)^2 - xy)$।
ज्ञात मान रखने पर: $x^3-y^3 = 1 \times (3^2 - 2) = 1 \times (9 - 2) = 7$।

(C) दिया गया है: $x-\frac{1}{x}=\sqrt{21}$.
हम जानते हैं कि $(x+\frac{1}{x})^2 = (x-\frac{1}{x})^2 + 4$.
मान रखने पर: $(x+\frac{1}{x})^2 = (\sqrt{21})^2 + 4 = 21 + 4 = 25$.
इसलिए,$x+\frac{1}{x} = \sqrt{25} = 5$.
अब,$x^2+\frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})^2 + 2 = (\sqrt{21})^2 + 2 = 21 + 2 = 23$.
अंततः,$(x^2+\frac{1}{x^2})(x+\frac{1}{x}) = 23 \times 5 = 115$.

(B) दिया गया है कि $a+b+c=0$.
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$.
चूंकि $a+b+c=0$ है,इसलिए समीकरण का दायां पक्ष शून्य हो जाएगा:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 0 \times (a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) = 0$.
अतः,$a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$.

(C) दिया गया है: $x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ और $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
$x$ का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.
$y$ का परिमेयकरण करने पर:
$y = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$.
अब,$x^{2}+y^{2}$ की गणना करते हैं:
$x^{2}+y^{2} = (2+\sqrt{3})^{2} + (2-\sqrt{3})^{2}$.
सर्वसमिका $(a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2(a^{2}+b^{2})$ का उपयोग करने पर:
$x^{2}+y^{2} = 2(2^{2} + (\sqrt{3})^{2}) = 2(4+3) = 2(7) = 14$.

(D) दी गई व्यंजक: $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b)$
चरण $1$: सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करें।
अतः,$(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$।
चरण $2$: इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})$
चरण $3$: सर्वसमिका $(x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}$ का उपयोग करें,जहाँ $x=a^{2}$ और $y=b^{2}$ है:
$(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2}) = (a^{2})^{2}-(b^{2})^{2} = a^{4}-b^{4}$।
चरण $4$: अब शेष पदों का गुणा करें:
$(a^{4}+b^{4})(a^{4}-b^{4})$
चरण $5$: पुनः सर्वसमिका $(x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}$ का उपयोग करें,जहाँ $x=a^{4}$ और $y=b^{4}$ है:
$(a^{4})^{2}-(b^{4})^{2} = a^{8}-b^{8}$।

(C) दिया गया है कि $x-\frac{1}{x}=a$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(x-y)^{3}=x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)$ जानते हैं।
इस सर्वसमिका में $y = \frac{1}{x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{3}=x^{3}-\left(\frac{1}{x}\right)^{3}-3(x)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{3}=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3\left(x-\frac{1}{x}\right)$.
अब,दिए गए मान $x-\frac{1}{x}=a$ को समीकरण में रखने पर:
$a^{3}=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(a)$.
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=a^{3}+3a$.

(C) दिया गया है $x = 2^{1/3} - 2^{-1/3}$।
हमें $2x^3 + 6x$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,समीकरण $x = 2^{1/3} - 2^{-1/3}$ के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$x^3 = (2^{1/3} - 2^{-1/3})^3$
सर्वसमिका $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर:
$x^3 = (2^{1/3})^3 - (2^{-1/3})^3 - 3(2^{1/3})(2^{-1/3})(2^{1/3} - 2^{-1/3})$
$x^3 = 2 - 2^{-1} - 3(1)(x)$
$x^3 = 2 - 1/2 - 3x$
$x^3 = 3/2 - 3x$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2x^3 = 3 - 6x$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2x^3 + 6x = 3$.

(D) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \frac{(a-b)^{2}}{(b-c)(c-a)} + \frac{(b-c)^{2}}{(a-b)(c-a)} + \frac{(a-c)^{2}}{(a-b)(b-c)}$ है।
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए,हम उभयनिष्ठ हर $(a-b)(b-c)(c-a)$ लेते हैं।
ध्यान दें कि $(c-a) = -(a-c)$,इसलिए $(a-c)^2 = (c-a)^2$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: यदि $x+y+z = 0$ है,तो $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$ होता है।
यहाँ,$x = (a-b)$,$y = (b-c)$,और $z = (c-a)$ लेने पर।
तब $x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0$ होता है।
इसलिए,$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$ होगा।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 3$।

(A) दिया गया है कि $a+b+c=0.$
हमें $\frac{1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $a+b+c=0,$ इसलिए $a+b=-c.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a+b)^{2}=(-c)^{2},$ जिससे $a^{2}+b^{2}+2ab=c^{2}$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$b^{2}+c^{2}-a^{2} = b^{2}+(a^{2}+2ab+b^{2})-a^{2} = 2b^{2}+2ab = 2b(a+b).$
चूंकि $a+b=-c,$ इसलिए $b^{2}+c^{2}-a^{2} = 2b(-c) = -2bc$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$c^{2}+a^{2}-b^{2} = -2ac$ और $a^{2}+b^{2}-c^{2} = -2ab$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{-2bc} + \frac{1}{-2ac} + \frac{1}{-2ab} = \frac{-a-b-c}{2abc}.$
चूंकि $a+b+c=0,$ इसलिए अंश $0$ है।
अतः,व्यंजक का मान $0$ है।

(C) दिया गया है कि $x+y+z=0.$
इससे,हम निम्नलिखित संबंध प्राप्त कर सकते हैं:
$x+y = -z$
$y+z = -x$
$z+x = -y$
अब,इन मानों को व्यंजक $\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x y z}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{(-z)(-x)(-y)}{x y z}$
$= \frac{-(x y z)}{x y z}$
$= -1$

(C) दिया गया है $a+b+c=0.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a+b+c)^2 = 0^2.$
$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca).$
पुनः वर्ग करने पर,$(a^2+b^2+c^2)^2 = [-2(ab+bc+ca)]^2.$
$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)).$
चूंकि $a+b+c=0,$ इसलिए पद $2abc(a+b+c) = 0$ होगा.
अतः,$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).$
$a^4+b^4+c^4 = 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) - 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).$
इसलिए,$\frac{a^4+b^4+c^4}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} = 2.$

(B) दिया गया समीकरण $x+y=2z$ है।
हम इसे $y-z = z-x$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,इस मान को व्यंजक $\frac{x}{x-z} + \frac{z}{y-z}$ में प्रतिस्थापित करें।
$\frac{x}{x-z} + \frac{z}{z-x} = \frac{x}{x-z} - \frac{z}{x-z}$.
$= \frac{x-z}{x-z} = 1$.

(B) दिए गए समीकरण $x+\frac{1}{y}=1$ और $y+\frac{1}{z}=1$ हैं।
पहले समीकरण से,$x=1-\frac{1}{y} = \frac{y-1}{y}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{1}{x} = \frac{y}{y-1}$ होगा।
दूसरे समीकरण से,$\frac{1}{z} = 1-y$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$z = \frac{1}{1-y}$ होगा।
अब,इन मानों को $z+\frac{1}{x}$ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$z+\frac{1}{x} = \frac{1}{1-y} + \frac{y}{y-1}$.
चूंकि $y-1 = -(1-y)$,हम लिख सकते हैं:
$z+\frac{1}{x} = \frac{1}{1-y} - \frac{y}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} = 1$.

(C) दिया गया है कि $a=b=c.$
व्यंजक $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ में $b=a$ और $c=a$ प्रतिस्थापित करने पर.
अंश $(a+a+a)^{2} = (3a)^{2} = 9a^{2}$ हो जाता है।
हर $a^{2}+a^{2}+a^{2} = 3a^{2}$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{9a^{2}}{3a^{2}} = 3$ है।

(D) दी गई व्यंजक $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2ac-2bc$ है।
इसे $(a-b+c)^{2}$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
दिया गया है $a=x+y$,$b=x-y$ और $c=2x-1$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a-b+c)^{2} = [(x+y) - (x-y) + (2x-1)]^{2}$
$= [x+y-x+y+2x-1]^{2}$
$= [2x+2y-1]^{2}$
ध्यान दें कि $[2x+2y-1]^{2} = [-(1-2x-2y)]^{2} = (1-2x-2y)^{2}$।

(B) हम जानते हैं कि सर्वसमिका: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$ है।
सबसे पहले,हम $(x+y+z)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)$ सर्वसमिका का उपयोग करके $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ का मान ज्ञात करेंगे।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $16^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2} + 2(78)$।
$256 = x^{2}+y^{2}+z^{2} + 156$।
$x^{2}+y^{2}+z^{2} = 256 - 156 = 100$।
अब,इन मानों को मूल सर्वसमिका में रखने पर:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (16)(100 - 78)$।
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = 16(22) = 352$।

(B) हम मानक बीजीय सर्वसमिका जानते हैं:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
दाहिनी ओर को $2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca)$
इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)\{(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})\}$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\}$
अतः,दिया गया व्यंजक $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ के बराबर है।

(C) इस व्यंजक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z) \{(x-y)^{2} + (y-z)^{2} + (z-x)^{2}\}$
दिए गए मान $x=89, y=87, z=84$ हैं।
चरण $1$: योग $(x+y+z)$ की गणना करें:
$x+y+z = 89+87+84 = 260$
चरण $2$: अंतर की गणना करें:
$(x-y) = 89-87 = 2$
$(y-z) = 87-84 = 3$
$(z-x) = 84-89 = -5$
चरण $3$: इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें:
$= \frac{1}{2} \times 260 \times \{2^{2} + 3^{2} + (-5)^{2}\}$
$= 130 \times \{4 + 9 + 25\}$
$= 130 \times 38$
$= 4940$

(A) दिया गया है: $x=a(b-c), y=b(c-a), z=c(a-b)$.
क्रमशः $a, b, c$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{a} = b-c, \frac{y}{b} = c-a, \frac{z}{c} = a-b$.
मान लीजिए $p = \frac{x}{a}, q = \frac{y}{b}, r = \frac{z}{c}$.
अतः $p+q+r = (b-c) + (c-a) + (a-b) = 0$.
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: यदि $p+q+r=0$ है,तो $p^3+q^3+r^3 = 3pqr$.
मान वापस रखने पर:
$\left(\frac{x}{a}\right)^3 + \left(\frac{y}{b}\right)^3 + \left(\frac{z}{c}\right)^3 = 3 \left(\frac{x}{a}\right) \left(\frac{y}{b}\right) \left(\frac{z}{c}\right) = \frac{3xyz}{abc}$.

(D) दिया गया है कि $x+\frac{1}{x}=3$ है।
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} = 3^{2}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) = 9$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 = 9$
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 9 - 2 = 7$
अतः,मान $7$ है।

(D) दिए गए मान $a=17, b=15, c=13$ हैं।
हमें व्यंजक $E = a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ca$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक में सीधे मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (17)^{2} + (15)^{2} + (13)^{2} - 2(17)(15) - 2(15)(13) - 2(13)(17)$
$E = 289 + 225 + 169 - 510 - 390 - 442$
$E = 683 - 1342$
$E = -659$.

(B) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$ होती है।
हर (denominator) को $(ab + bc + ca - a^{2} - b^{2} - c^{2})$ के रूप में दिया गया है,जिसे $-(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)}{-(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)} = -(a + b + c)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $a = -5, b = -6, c = 10$:
$-(a + b + c) = -(-5 - 6 + 10) = -(-1) = 1$।

(C) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$ होती है।
इस सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = a^3 + b^3 + c^3$।
दिया गया है $a=5, b=3, c=2$।
इन मानों को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^3 + b^3 + c^3 = 5^3 + 3^3 + 2^3$।
$= 125 + 27 + 8$।
$= 160$।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $Px^2 + 4x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $Ax^2 + Bx + C = 0$ से तुलना करने पर,हमें $A = P$,$B = 4$,और $C = 1$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान शून्य या शून्य से अधिक होना चाहिए $(D \geq 0)$।
$D = B^2 - 4AC \geq 0$.
मान रखने पर,$4^2 - 4(P)(1) \geq 0$.
$16 - 4P \geq 0$.
$16 \geq 4P$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $P \leq 4$ प्राप्त होता है।
इसके अतिरिक्त,समीकरण को द्विघात बने रहने के लिए $x^2$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $P \neq 0$। अतः,$P$ के मानों का समुच्चय $P \leq 4$ और $P \neq 0$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2} + Px + 4 = 0$ है।
चूंकि $2$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 2$ रखने पर:
$2(2)^{2} + P(2) + 4 = 0$
$2(4) + 2P + 4 = 0$
$8 + 2P + 4 = 0$
$2P + 12 = 0$
$2P = -12$
$P = -6$.
अब,$P = -6$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$2x^{2} - 6x + 4 = 0$.
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} - 3x + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^{2} - 2x - x + 2 = 0$
$x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$.
अतः,मूल $x = 1$ और $x = 2$ हैं।
चूंकि एक मूल $2$ दिया गया है,इसलिए दूसरा मूल $1$ है।
अतः,दूसरा मूल $1$ है और $P$ का मान $-6$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-5x+6=0$ है।
मूल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2}-2x-3x+6=0$
$x(x-2)-3(x-2)=0$
$(x-2)(x-3)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x-2=0$ या $x-3=0$
$x=2$ या $x=3$.
चूंकि एक मूल $3$ दिया गया है,इसलिए दूसरा मूल $2$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{7} x^{2}-6 x-13 \sqrt{7}=0$
मध्य पद को विभाजित करके हल करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $(\sqrt{7}) \times (-13 \sqrt{7}) = -91$ हो और जिनका योग $-6$ हो।
ये संख्याएँ $-13$ और $7$ हैं।
$\sqrt{7} x^{2}-13 x+7 x-13 \sqrt{7}=0$
उभयनिष्ठ पद लेने पर:
$x(\sqrt{7} x-13)+\sqrt{7}(\sqrt{7} x-13)=0$
$(x+\sqrt{7})(\sqrt{7} x-13)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x+\sqrt{7}=0 \Rightarrow x=-\sqrt{7}$
$\sqrt{7} x-13=0 \Rightarrow x=\frac{13}{\sqrt{7}} = \frac{13 \sqrt{7}}{7}$
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के मूल $-\sqrt{7}$ और $\frac{13 \sqrt{7}}{7}$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3 a^{2} x^{2}-a b x-2 b^{2}=0$ है।
हम मध्य पद $-abx$ को $-3abx + 2abx$ के रूप में लिख सकते हैं:
$3 a^{2} x^{2}-3 a b x+2 a b x-2 b^{2}=0$
पदों में से उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$3 a x(a x-b)+2 b(a x-b)=0$
$(a x-b)(3 a x+2 b)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$a x-b=0 \Rightarrow x=b/a$
$3 a x+2 b=0 \Rightarrow x=-2b/3a$
अतः,मूल $b/a$ और $-2b/3a$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $a^{2} x^{2}-3 a b x+2 b^{2}=0$ है।
हम मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड कर सकते हैं:
$a^{2} x^{2}-2 a b x-a b x+2 b^{2}=0$
पदों को समूहित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a x(a x-2 b)-b(a x-2 b)=0$
$(a x-2 b)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$(a x-2 b)(a x-b)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$a x-2 b=0 \Rightarrow x=\frac{2 b}{a}$
$a x-b=0 \Rightarrow x=\frac{b}{a}$
अतः,समीकरण के मूल $\frac{2 b}{a}$ और $\frac{b}{a}$ हैं।

(A) द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $x^{2} - (\text{मूलों का योगफल})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ होता है।
दिए गए मूल $\alpha = \sqrt{2}$ और $\beta = 2\sqrt{2}$ हैं।
मूलों का योगफल $= \alpha + \beta = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
मूलों का गुणनफल $= \alpha \cdot \beta = (\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = 2 \cdot 2 = 4$.
इन मानों को सामान्य रूप में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} - (3\sqrt{2})x + 4 = 0$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^{2} + (4a^{2} - 3b)x - 12ab = 0$ है।
मध्य पद का विस्तार करने पर,हमें $ax^{2} + 4a^{2}x - 3bx - 12ab = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को समूहित करने पर,$ax(x + 4a) - 3b(x + 4a) = 0$ प्राप्त होता है।
$(x + 4a)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$(ax - 3b)(x + 4a) = 0$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,$ax - 3b = 0$ या $x + 4a = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{3b}{a}$ या $x = -4a$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण के मूल $-4a$ और $\frac{3b}{a}$ हैं।