QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(C) $I.$ $8x^2 + 6x - 5 = 0$
$8x^2 + 10x - 4x - 5 = 0$
$2x(4x + 5) - 1(4x + 5) = 0$
$(2x - 1)(4x + 5) = 0$
$x = \frac{1}{2}, -\frac{5}{4}$
$II.$ $12y^2 - 22y + 8 = 0$
$12y^2 - 16y - 6y + 8 = 0$
$4y(3y - 4) - 2(3y - 4) = 0$
$(4y - 2)(3y - 4) = 0$
$y = \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$
मानों की तुलना करने पर:
$x = 0.5, -1.25$
$y = 0.5, 1.33$
चूंकि $x$ के सभी मान $y$ के मानों से छोटे या बराबर हैं,इसलिए $x \leq y$ निष्कर्ष निकलता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $18 x^{2}+18 x+4=0$
$2$ से भाग देने पर: $9 x^{2}+9 x+2=0$
$9 x^{2}+6 x+3 x+2=0$
$3 x(3 x+2)+1(3 x+2)=0$
$(3 x+1)(3 x+2)=0$
$x = -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}$
समीकरण $II$ के लिए: $12 y^{2}+29 y+14=0$
$12 y^{2}+21 y+8 y+14=0$
$3 y(4 y+7)+2(4 y+7)=0$
$(3 y+2)(4 y+7)=0$
$y = -\frac{2}{3}, -\frac{7}{4}$
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -0.33, x_2 = -0.66$
$y_1 = -0.66, y_2 = -1.75$
चूंकि $x_1 > y_1$,$x_1 > y_2$,$x_2 = y_1$,और $x_2 > y_2$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \geq y$।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-11x+24=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}-8x-3x+24=0$
$x(x-8)-3(x-8)=0$
$(x-3)(x-8)=0$
अतः,$x = 3$ या $x = 8$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $2y^{2}-9y+9=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^{2}-6y-3y+9=0$
$2y(y-3)-3(y-3)=0$
$(2y-3)(y-3)=0$
अतः,$y = 1.5$ या $y = 3$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 3$ है,तो $y$ का मान $1.5$ $(x > y)$ या $3$ $(x = y)$ हो सकता है।
यदि $x = 8$ है,तो $y$ का मान $1.5$ $(x > y)$ या $3$ $(x > y)$ हो सकता है।
सभी स्थितियों में,$x \geq y$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$x^{3} \times 13 = x^{2} \times 247$
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए):
$x = \frac{247}{13} = 19$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$y^{1 / 3} \times 14 = 294 \div y^{2 / 3}$
दोनों पक्षों को $y^{2 / 3}$ से गुणा करने पर:
$y^{1 / 3} \times y^{2 / 3} \times 14 = 294$
$y^{(1/3 + 2/3)} \times 14 = 294$
$y^{1} \times 14 = 294$
$y = \frac{294}{14} = 21$
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
चूंकि $x = 19$ और $y = 21$ है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $x < y$।

(D) समीकरण $I$ के लिए:
$\frac{12 \times 4}{x^{4/7}} - \frac{3 \times 4}{x^{4/7}} = x^{10/7}$
$\Rightarrow \frac{48}{x^{4/7}} - \frac{12}{x^{4/7}} = x^{10/7}$
$\Rightarrow \frac{36}{x^{4/7}} = x^{10/7}$
$\Rightarrow 36 = x^{10/7} \times x^{4/7}$
$\Rightarrow 36 = x^{(10+4)/7} = x^{14/7} = x^2$
$\Rightarrow x^2 = 36$
$\therefore x = 6$ या $x = -6$
समीकरण $II$ के लिए:
$y^3 + 783 = 999$
$\Rightarrow y^3 = 999 - 783$
$\Rightarrow y^3 = 216$
$\therefore y = \sqrt[3]{216} = 6$
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 6$ है,तो $x = y$ है।
यदि $x = -6$ है,तो $x < y$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \leq y$ प्राप्त होता है।

(C) समीकरण $I$ से: $\sqrt{500} x + \sqrt{402} = 0$
$\sqrt{500} x = -\sqrt{402}$
$x = -\sqrt{\frac{402}{500}} \approx -\sqrt{0.804} \approx -0.896$
समीकरण $II$ से: $\sqrt{360} y + \sqrt{200} = 0$
$\sqrt{360} y = -\sqrt{200}$
$y = -\sqrt{\frac{200}{360}} \approx -\sqrt{0.555} \approx -0.745$
मानों की तुलना करने पर,$-0.896 < -0.745$,इसलिए $x < y$।

(C) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$x = (17)^{2} + 144 \div 18$
$x = 289 + 8$
$x = 297$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$y = (26)^{2} - 18 \times 21$
$y = 676 - 378$
$y = 298$
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें।
चूंकि $297 < 298$,इसलिए $x < y$ है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $16 x^{2}+20 x+6=0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $8 x^{2}+10 x+3=0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $8 x^{2}+4 x+6 x+3=0 \Rightarrow 4 x(2 x+1)+3(2 x+1)=0$.
अतः,$(4 x+3)(2 x+1)=0$.
मूल $x = -0.75$ और $x = -0.5$ हैं।
समीकरण $II$ के लिए: $10 y^{2}+38 y+24=0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $5 y^{2}+19 y+12=0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $5 y^{2}+15 y+4 y+12=0 \Rightarrow 5 y(y+3)+4(y+3)=0$.
अतः,$(5 y+4)(y+3)=0$.
मूल $y = -0.8$ और $y = -3$ हैं।
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान $\{-0.75, -0.5\}$ हैं और $y$ के मान $\{-3, -0.8\}$ हैं।
चूंकि $-0.75 > -0.8$,$-0.75 > -3$,$-0.5 > -0.8$,और $-0.5 > -3$,इसलिए $x > y$ सिद्ध होता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $16x^2 + 20x + 6 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $8x^2 + 10x + 3 = 0$
$8x^2 + 6x + 4x + 3 = 0$
$2x(4x + 3) + 1(4x + 3) = 0$
$(2x + 1)(4x + 3) = 0$
$x = -1/2$ या $x = -3/4$
समीकरण $II$ के लिए: $10y^2 + 38y + 24 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $5y^2 + 19y + 12 = 0$
$5y^2 + 15y + 4y + 12 = 0$
$5y(y + 3) + 4(y + 3) = 0$
$(5y + 4)(y + 3) = 0$
$y = -4/5$ या $y = -3$
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -0.5$,$x_2 = -0.75$
$y_1 = -0.8$,$y_2 = -3$
चूंकि $-0.5 > -0.8$,$-0.5 > -3$,$-0.75 > -0.8$,और $-0.75 > -3$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x > y$.

(C) समीकरण $I$ के लिए: $8x^2 + 6x - 5 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $8x^2 + 10x - 4x - 5 = 0$
$2x(4x + 5) - 1(4x + 5) = 0$
$(4x + 5)(2x - 1) = 0$
अतः,$x = -\frac{5}{4}$ या $x = \frac{1}{2}$।
समीकरण $II$ के लिए: $12y^2 - 22y + 8 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $6y^2 - 11y + 4 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6y^2 - 8y - 3y + 4 = 0$
$2y(3y - 4) - 1(3y - 4) = 0$
$(2y - 1)(3y - 4) = 0$
अतः,$y = \frac{1}{2}$ या $y = \frac{4}{3}$।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = -1.25$ है,तो $x < y$ (क्योंकि $y = 0.5$ या $1.33$ है)।
यदि $x = 0.5$ है,तो $x \leq y$ (क्योंकि $y = 0.5$ या $1.33$ है)।
इस प्रकार,$x \leq y$ प्राप्त होता है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $17 x^{2} + 48 x - 9 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(17 x - 3)(x + 3) = 0$
अतः,$x = \frac{3}{17}$ या $x = -3$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $13 y^{2} - 32 y + 21 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{32 \pm \sqrt{32^{2} - 4(13)(21)}}{2(13)}$
यदि हम समीकरण $13 y^{2} - 32 y + 12 = 0$ मानकर चलें,तो $y = 2$ या $y = \frac{6}{13}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x$ के मान $\{-3, 0.176\}$ और $y$ के मान $\{0.46, 2\}$ हैं,इसलिए $x < y$ है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$I. \quad 4x + 7y = 209$
$II. \quad 12x - 14y = -38$
इन्हें हल करने के लिए,$y$ को विलुप्त करने हेतु समीकरण $(I)$ को $2$ से गुणा करें:
$8x + 14y = 418$ $(III)$
अब,समीकरण $(II)$ और $(III)$ को जोड़ें:
$(12x - 14y) + (8x + 14y) = -38 + 418$
$20x = 380$
$x = \frac{380}{20} = 19$
$x = 19$ का मान समीकरण $(I)$ में रखने पर:
$4(19) + 7y = 209$
$76 + 7y = 209$
$7y = 209 - 76$
$7y = 133$
$y = \frac{133}{7} = 19$
चूंकि $x = 19$ और $y = 19$ है,इसलिए $x = y$ है।

(A) चरण $1$: पहले समीकरण $x^{2}-4=0$ को हल करें।
$x^{2} = 4$
$x = \pm 2$
अतः,$x = 2$ या $x = -2$ है।
चरण $2$: दूसरे समीकरण $y^{2}+6y+9=0$ को हल करें।
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है: $(y+3)^{2} = 0$।
$y+3 = 0$
$y = -3$ है।
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें।
हमारे पास $x = 2, -2$ और $y = -3$ है।
$x = 2$ की $y = -3$ से तुलना करने पर,हमें $2 > -3$ मिलता है (अर्थात $x > y$)।
$x = -2$ की $y = -3$ से तुलना करने पर,हमें $-2 > -3$ मिलता है (अर्थात $x > y$)।
दोनों स्थितियों में,$x > y$ है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें: $x^{2}-7x+12=0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2}-4x-3x+12=0$.
$x(x-4)-3(x-4)=0$.
$(x-3)(x-4)=0$.
अतः,$x = 3$ या $x = 4$.
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें: $y^{2}+y-12=0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2}+4y-3y-12=0$.
$y(y+4)-3(y+4)=0$.
$(y-3)(y+4)=0$.
अतः,$y = 3$ या $y = -4$.
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें:
यदि $x=3$ है,तो $y=3$ $(x=y)$ या $y=-4$ $(x>y)$.
यदि $x=4$ है,तो $y=3$ $(x>y)$ या $y=-4$ $(x>y)$.
सभी स्थितियों में,$x$ का मान $y$ से बड़ा या उसके बराबर है। इसलिए,$x \geq y$.

(D) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$x^{2} = 729$
$x = \pm \sqrt{729}$
$x = 27$ या $x = -27$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$y = \sqrt{729}$
$y = 27$
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें।
यदि $x = 27$ है,तो $x = y$ है।
यदि $x = -27$ है,तो $x < y$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \leq y$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: $x$ के लिए समीकरण $I$ को हल करें।
$x^{4} - 227 = 398$
$x^{4} = 398 + 227 = 625$
$x = \pm \sqrt[4]{625} = \pm 5$
अतः,$x = 5$ या $x = -5$ है।
चरण $2$: $y$ के लिए समीकरण $II$ को हल करें।
$y^{2} + 321 = 346$
$y^{2} = 346 - 321 = 25$
$y = \pm \sqrt{25} = \pm 5$
अतः,$y = 5$ या $y = -5$ है।
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें।
यदि $x = 5$ है,तो $y = 5$ $(x = y)$ या $y = -5$ $(x > y)$ हो सकता है।
यदि $x = -5$ है,तो $y = 5$ $(x < y)$ या $y = -5$ $(x = y)$ हो सकता है।
चूंकि संबंध चुने गए मानों पर निर्भर करता है,इसलिए संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $2x^{2} + 11x + 14 = 0$
$2x^{2} + 4x + 7x + 14 = 0$
$2x(x + 2) + 7(x + 2) = 0$
$(2x + 7)(x + 2) = 0$
$x = -3.5$ या $x = -2$
समीकरण $II$ के लिए: $4y^{2} + 12y + 9 = 0$
$(2y)^{2} + 2(2y)(3) + 3^{2} = 0$
$(2y + 3)^{2} = 0$
$2y = -3$
$y = -1.5$
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -3.5, x_2 = -2$
$y = -1.5$
चूंकि $-3.5 < -1.5$ और $-2 < -1.5$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x < y$।