QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(D) माना $t_1 = \frac{x}{x+7}$। तो समीकरण $I$ बन जाता है $t_1 + \frac{1}{t_1} = 12$,जिसका अर्थ है $t_1^2 - 12t_1 + 1 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करके $t_1$ के लिए हल करने पर,$t_1 = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2} = 6 \pm \sqrt{35}$।
चूंकि $t_1 = \frac{x}{x+7}$,हमें मिलता है $x = t_1(x+7) \Rightarrow x(1-t_1) = 7t_1 \Rightarrow x = \frac{7t_1}{1-t_1}$।
$t_1 = 6 + \sqrt{35} \approx 11.916$ के लिए,$x = \frac{7(11.916)}{1-11.916} \approx -7.63$।
$t_1 = 6 - \sqrt{35} \approx 0.084$ के लिए,$x = \frac{7(0.084)}{1-0.084} \approx 0.64$।
इसी तरह समीकरण $II$ के लिए,माना $t_2 = \frac{y}{y+8}$। तो $t_2 + \frac{1}{t_2} = 16$,जिसका अर्थ है $t_2^2 - 16t_2 + 1 = 0$। $t_2$ के लिए हल करने पर,$t_2 = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4}}{2} = 8 \pm \sqrt{63} \approx 8 \pm 7.937$।
$t_2 \approx 15.937$ या $t_2 \approx 0.063$।
$y = \frac{8t_2}{1-t_2}$ का उपयोग करके:
$t_2 \approx 15.937$ के लिए,$y = \frac{8(15.937)}{1-15.937} \approx -8.53$।
$t_2 \approx 0.063$ के लिए,$y = \frac{8(0.063)}{1-0.063} \approx 0.54$।
$x \in \{-7.63, 0.64\}$ और $y \in \{-8.53, 0.54\}$ के मानों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि चुने गए मूलों के आधार पर $x$,$y$ से बड़ा,छोटा या बराबर हो सकता है। अतः,संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: मान लीजिए $t = \frac{x}{x-11}$। तब $t + \frac{1}{t} = 7 \Rightarrow t^2 - 7t + 1 = 0$। $t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{7 \pm \sqrt{49-4}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$।
चूंकि $t = \frac{x}{x-11}$,हमारे पास $x = t(x-11) = tx - 11t \Rightarrow x(1-t) = -11t \Rightarrow x = \frac{11t}{t-1}$ है।
$t_1 = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \approx 6.85$ और $t_2 = \frac{7-3\sqrt{5}}{2} \approx 0.146$ रखने पर,हमें $x$ के दो मान प्राप्त होते हैं।
समीकरण $II$ के लिए: मान लीजिए $u = \frac{4y}{4y-13}$। तब $u + \frac{1}{u} = 9 \Rightarrow u^2 - 9u + 1 = 0$। $u$ के लिए हल करने पर,$u = \frac{9 \pm \sqrt{81-4}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{77}}{2}$।
चूंकि $u = \frac{4y}{4y-13}$,हमारे पास $4y = u(4y-13) = 4uy - 13u \Rightarrow 4y(1-u) = -13u \Rightarrow y = \frac{13u}{4(u-1)}$ है।
चूंकि दोनों समीकरण दो वास्तविक मूल (एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) देते हैं,और गुणांक $x$ और $y$ के लिए ओवरलैपिंग रेंज बनाते हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(A) $I.$ $99 x^{2} + 149 x + 56 = 0$
$99 x^{2} + 77 x + 72 x + 56 = 0$
$11 x(9 x + 7) + 8(9 x + 7) = 0$
$(9 x + 7)(11 x + 8) = 0$
$x = -\frac{7}{9} \approx -0.777$
$x = -\frac{8}{11} \approx -0.727$
$II.$ $156 y^{2} + 287 y + 132 = 0$
$156 y^{2} + 143 y + 144 y + 132 = 0$
$13 y(12 y + 11) + 12(12 y + 11) = 0$
$(12 y + 11)(13 y + 12) = 0$
$y = -\frac{11}{12} \approx -0.916$
$y = -\frac{12}{13} \approx -0.923$
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान लगभग $-0.777$ और $-0.727$ हैं।
$y$ के मान लगभग $-0.916$ और $-0.923$ हैं।
चूंकि $x$ के सभी मान $y$ के सभी मानों से बड़े हैं,इसलिए $x > y$ प्राप्त होता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $77 x^{2}+58 x+8=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $77 x^{2}+44 x+14 x+8=0$
$11 x(7 x+4)+2(7 x+4)=0$
$(11 x+2)(7 x+4)=0$
अतः,$x = -\frac{2}{11}$ या $x = -\frac{4}{7}$।
समीकरण $II$ के लिए: $42 y^{2}+59 y+20=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $42 y^{2}+35 y+24 y+20=0$
$7 y(6 y+5)+4(6 y+5)=0$
$(7 y+4)(6 y+5)=0$
अतः,$y = -\frac{4}{7}$ या $y = -\frac{5}{6}$।
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -0.1818$,$x_2 = -0.5714$
$y_1 = -0.5714$,$y_2 = -0.8333$
चूंकि $x_1 > y_1$,$x_1 > y_2$,$x_2 = y_1$,और $x_2 > y_2$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \ge y$।

(A) $I.$ समीकरण $63x^2 + 172x + 117 = 0$ के लिए:
हमें $63 \times 117 = 7371$ के ऐसे दो गुणनखंड करने होंगे जिनका योग $172$ हो। वे $91$ और $81$ हैं।
$63x^2 + 91x + 81x + 117 = 0$
$7x(9x + 13) + 9(9x + 13) = 0$
$(7x + 9)(9x + 13) = 0$
अतः,$x = -9/7 \approx -1.28$ और $x = -13/9 \approx -1.44$ है।
$II.$ समीकरण $30y^2 + 162y + 216 = 0$ के लिए:
$6$ से भाग देने पर: $5y^2 + 27y + 36 = 0$ प्राप्त होता है।
हमें $5 \times 36 = 180$ के ऐसे दो गुणनखंड करने होंगे जिनका योग $27$ हो। वे $15$ और $12$ हैं।
$5y^2 + 15y + 12y + 36 = 0$
$5y(y + 3) + 12(y + 3) = 0$
$(5y + 12)(y + 3) = 0$
अतः,$y = -12/5 = -2.4$ और $y = -3$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान $\approx -1.28, -1.44$ हैं।
$y$ के मान $-2.4, -3$ हैं।
चूंकि $x$ के दोनों मान $y$ के दोनों मानों से बड़े हैं,इसलिए $x > y$ है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $36 x^{4}+369 x^{2}+900=0$.
माना $x^{2} = p$. तब $36 p^{2} + 369 p + 900 = 0$.
$9$ से भाग देने पर,हमें $4 p^{2} + 41 p + 100 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$p = \frac{-41 \pm \sqrt{41^{2} - 4(4)(100)}}{2(4)} = \frac{-41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{8} = \frac{-41 \pm 9}{8}$.
$p = \frac{-32}{8} = -4$ या $p = \frac{-50}{8} = -6.25$.
चूंकि $x^{2} = -4$ या $x^{2} = -6.25$,इसलिए $x$ के मूल काल्पनिक हैं।
समीकरण $II$ के लिए: $144 y^{4}+337 y^{2}+144=0$.
माना $y^{2} = q$. तब $144 q^{2} + 337 q + 144 = 0$.
चूंकि सभी गुणांक धनात्मक हैं,समीकरण को संतुष्ट करने के लिए $q$ को ऋणात्मक होना चाहिए,जो $y$ के लिए काल्पनिक मूल देता है।
चूंकि दोनों समीकरण $x$ और $y$ के लिए काल्पनिक मूल देते हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $18x^2 - 13\sqrt{7}x + 14 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $18x^2 - 9\sqrt{7}x - 4\sqrt{7}x + 14 = 0$.
$9x(2x - \sqrt{7}) - 2\sqrt{7}(2x - \sqrt{7}) = 0$.
$(9x - 2\sqrt{7})(2x - \sqrt{7}) = 0$.
अतः,$x = \frac{2\sqrt{7}}{9} \approx 0.588$ और $x = \frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1.323$.
समीकरण $II$ के लिए: $32y^2 - 19\sqrt{6}y + 9 = 0$.
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{19\sqrt{6} \pm \sqrt{(19\sqrt{6})^2 - 4(32)(9)}}{64} = \frac{19\sqrt{6} \pm \sqrt{1014}}{64}$.
$y_1 \approx 1.22$ और $y_2 \approx 0.23$.
$x$ और $y$ के मानों की तुलना करने पर,संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-82x+781=0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $781$ और योग $82$ हो। ये संख्याएँ $71$ और $11$ हैं।
अतः,$x^{2}-71x-11x+781=0$
$x(x-71)-11(x-71)=0$
$(x-71)(x-11)=0$
इसलिए,$x = 71$ या $x = 11$.
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-5041=0$
$y^{2} = 5041$
$y = \pm \sqrt{5041}$
$y = 71$ या $y = -71$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 71$ है,तो $x = y$ (जब $y=71$) और $x > y$ (जब $y=-71$)।
यदि $x = 11$ है,तो $x < y$ (जब $y=71$) और $x > y$ (जब $y=-71$)।
चूंकि संबंध चुने गए मानों पर निर्भर करता है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $36 x^{2}+47 \sqrt{7} x+105=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $36 x^{2}+27 \sqrt{7} x+20 \sqrt{7} x+105=0$
$9 x(4 x+3 \sqrt{7})+5 \sqrt{7}(4 x+3 \sqrt{7})=0$
$(9 x+5 \sqrt{7})(4 x+3 \sqrt{7})=0$
$x = -\frac{5 \sqrt{7}}{9} \approx -1.47$ और $x = -\frac{3 \sqrt{7}}{4} \approx -1.98$
समीकरण $II$ के लिए: $35 y^{2}+20 \sqrt{3} y+63 \sqrt{2} y+36 \sqrt{6}=0$
$5 y(7 y+4 \sqrt{3})+9 \sqrt{2}(7 y+4 \sqrt{3})=0$
$(5 y+9 \sqrt{2})(7 y+4 \sqrt{3})=0$
$y = -\frac{9 \sqrt{2}}{5} \approx -2.54$ और $y = -\frac{4 \sqrt{3}}{7} \approx -0.99$
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -1.47, x_2 = -1.98$
$y_1 = -2.54, y_2 = -0.99$
चूंकि $x_1 > y_1$ और $x_1 < y_2$ है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $91x^2 + 298x + 187 = 0$
द्विघात सूत्र या गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $91x^2 + 77x + 221x + 187 = 0$
$7x(13x + 11) + 17(13x + 11) = 0$
$(7x + 17)(13x + 11) = 0$
$x = -17/7 \approx -2.428$ या $x = -11/13 \approx -0.846$
समीकरण $II$ के लिए: $247y^2 + 216y - 391 = 0$
द्विघात सूत्र या गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर: $247y^2 + 437y - 221y - 391 = 0$
$19y(13y + 23) - 17(13y + 23) = 0$
$(19y - 17)(13y + 23) = 0$
$y = 17/19 \approx 0.895$ या $y = -23/13 \approx -1.769$
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -2.428, x_2 = -0.846$
$y_1 = 0.895, y_2 = -1.769$
चूंकि $x_1 < y_2$ और $x_2 > y_2$ लेकिन $x_2 < y_1$,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $81x^2 - 9x - 2 = 0$
$81x^2 - 18x + 9x - 2 = 0$
$9x(9x - 2) + 1(9x - 2) = 0$
$(9x + 1)(9x - 2) = 0$
$x = -1/9, 2/9$
समीकरण $II$ के लिए: $56y^2 - 13y - 3 = 0$
$56y^2 - 21y + 8y - 3 = 0$
$7y(8y - 3) + 1(8y - 3) = 0$
$(7y + 1)(8y - 3) = 0$
$y = -1/7, 3/8$
मानों की तुलना करने पर:
$x = -0.11, 0.22$
$y = -0.14, 0.375$
चूंकि $0.22 < 0.375$ और $-0.11 > -0.14$ है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) $I.$ $391 x^{2} + 1344 x + 1073 = 0$ के लिए:
गुणनखंड विधि का उपयोग करने पर:
$391 = 17 \times 23$ और $1073 = 29 \times 37$.
मध्य पद का विभाजन: $493 + 851 = 1344$.
$(17x + 37)(23x + 29) = 0$
अतः,$x = -\frac{37}{17} \approx -2.176$ और $x = -\frac{29}{23} \approx -1.261$.
$II.$ $437 y^{2} + 1074 y + 589 = 0$ के लिए:
$437 = 19 \times 23$ और $589 = 19 \times 31$.
मध्य पद का विभाजन: $361 + 713 = 1074$.
$(19y + 31)(23y + 19) = 0$
अतः,$y = -\frac{31}{19} \approx -1.631$ और $y = -\frac{19}{23} \approx -0.826$.
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = -2.176, x_2 = -1.261$
$y_1 = -1.631, y_2 = -0.826$
यहाँ $x_1 < y_1$ और $x_2 < y_2$ है,लेकिन $x_2 > y_1$ है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $3216 x^{2} + 3859 x + 481 = 0$.
चूंकि सभी गुणांक धनात्मक हैं,इसलिए इस द्विघात समीकरण के मूल ऋणात्मक होंगे।
समीकरण $II$ के लिए: $8132 y^{2} - 4839 y + 978 = 0$.
यहाँ गुणांकों के चिह्न $(+, -, +)$ हैं। द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के चिह्न नियम के अनुसार,यदि चिह्न $(+, -, +)$ हैं,तो दोनों मूल धनात्मक होते हैं।
चूंकि $x$ के सभी मान ऋणात्मक हैं और $y$ के सभी मान धनात्मक हैं,इसलिए $y > x$ या $x < y$ सही है।

(D) चरण $1$: $x$ का मान ज्ञात करें।
$x = \sqrt[3]{357911} = 71$.
चरण $2$: $y$ का मान ज्ञात करें।
$y = \sqrt{5041} = 71$.
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
चूंकि $x = 71$ और $y = 71$,इसलिए $x = y$ है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $3x^2 + 15x + 18 = 0$
$3$ से भाग देने पर: $x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 3)(x + 2) = 0$
अतः,$x_1 = -3$ और $x_2 = -2$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $2y^2 + 15y + 27 = 0$
$2y^2 + 6y + 9y + 27 = 0$
$2y(y + 3) + 9(y + 3) = 0$
$(2y + 9)(y + 3) = 0$
अतः,$y_1 = -4.5$ और $y_2 = -3$ है।
मूलों की तुलना करने पर:
$x = \{-3, -2\}$
$y = \{-4.5, -3\}$
चूंकि $-3 \ge -4.5$,$-3 \ge -3$,$-2 \ge -4.5$,और $-2 \ge -3$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \ge y$।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $2x^2 - 4x - \sqrt{13}x + 2\sqrt{13} = 0$
$2x(x - 2) - \sqrt{13}(x - 2) = 0$
$(x - 2)(2x - \sqrt{13}) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = \frac{\sqrt{13}}{2} \approx 1.8025$।
समीकरण $II$ के लिए: $10y^2 - 18y - 5\sqrt{13}y + 9\sqrt{13} = 0$
$2y(5y - 9) - \sqrt{13}(5y - 9) = 0$
$(2y - \sqrt{13})(5y - 9) = 0$
अतः,$y = \frac{\sqrt{13}}{2} \approx 1.8025$ या $y = \frac{9}{5} = 1.8$।
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = 2, x_2 \approx 1.8025$
$y_1 \approx 1.8025, y_2 = 1.8$
चूंकि $2 > 1.8025$ और $2 > 1.8$,तथा $1.8025 \ge 1.8025$ और $1.8025 > 1.8$,हम पाते हैं कि $x \ge y$।

(D) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें:
$821 x^{2} - 757 x^{2} = 256$
$64 x^{2} = 256$
$x^{2} = \frac{256}{64} = 4$
$x = \pm 2$,अतः $x = 2$ या $x = -2$ है।
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें:
$\sqrt{196} y^{3} - 12 y^{3} = 16$
$14 y^{3} - 12 y^{3} = 16$
$2 y^{3} = 16$
$y^{3} = 8$
$y = 2$ है।
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें:
यदि $x = 2$ है,तो $x = y$ है।
यदि $x = -2$ है,तो $x < y$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \le y$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: $x$ के लिए समीकरण $I$ को हल करें।
$13x - 21 = 200 - 4x$
$13x + 4x = 200 + 21$
$17x = 221$
$x = 221 / 17 = 13$
चरण $2$: $y$ के लिए समीकरण $II$ को हल करें।
$y = \sqrt[3]{2197}$
चूंकि $13^3 = 2197$,इसलिए $y = 13$ है।
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
चूंकि $x = 13$ और $y = 13$ है,इसलिए $x = y$ है।

(C) समीकरण $II$ से:
$y + 2513 = 2569$
$y = 2569 - 2513 = 56$
$y = 56$ का मान समीकरण $I$ में रखने पर:
$(x + 56)^{2} = 3136$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + 56 = \pm \sqrt{3136}$
$x + 56 = \pm 56$
स्थिति $1$: $x + 56 = 56 \Rightarrow x = 0$
स्थिति $2$: $x + 56 = -56 \Rightarrow x = -112$
$x$ और $y$ की तुलना करने पर:
यदि $x = 0$ और $y = 56$ है,तो $x < y$ है।
यदि $x = -112$ और $y = 56$ है,तो $x < y$ है।
दोनों स्थितियों में,$x < y$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें:
$x^{2} = 49 \Rightarrow x = \pm 7$,अतः $x = 7$ या $x = -7$ है।
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें:
$y^{2} + 15y + 56 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2} + 8y + 7y + 56 = 0$
$y(y + 8) + 7(y + 8) = 0$
$(y + 7)(y + 8) = 0$
अतः,$y = -7$ या $y = -8$ है।
चरण $3$: $x$ और $y$ के मानों की तुलना करें:
यदि $x = 7$ है,तो $7 > -7$ और $7 > -8$ है।
यदि $x = -7$ है,तो $-7 = -7$ और $-7 > -8$ है।
सभी स्थितियों में,$x \ge y$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $7x^{2} + 16x - 15 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $7x^{2} + 21x - 5x - 15 = 0$
$7x(x + 3) - 5(x + 3) = 0$
$(7x - 5)(x + 3) = 0$
अतः,$x = 5/7 \approx 0.71$ या $x = -3$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2} - 6y - 7 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2} - 7y + y - 7 = 0$
$y(y - 7) + 1(y - 7) = 0$
$(y + 1)(y - 7) = 0$
अतः,$y = -1$ या $y = 7$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 0.71$ है,तो $x > y$ ($y = -1$ के लिए) और $x < y$ ($y = 7$ के लिए)।
यदि $x = -3$ है,तो $x < y$ ($y = -1$ और $y = 7$ दोनों के लिए)।
चूंकि चुनी गई मानों के आधार पर संबंध बदल रहा है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच कोई निश्चित संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए:
$\frac{15}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$
$\frac{6}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$
$6 = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$
$x = 6$
समीकरण $II$ के लिए:
$y^{10} - (36)^{5} = 0$
$y^{10} = (6^2)^5$
$y^{10} = 6^{10}$
चूंकि घात सम है,इसलिए $y = 6$ या $y = -6$ होगा।
$x$ और $y$ की तुलना करने पर:
यदि $x = 6$ और $y = 6$ है,तो $x = y$ होगा।
यदि $x = 6$ और $y = -6$ है,तो $x > y$ होगा।
चूंकि दोनों स्थितियां संभव हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए:
$(441)^{\frac{1}{2}} x^{2} - 111 = (15)^{2}$
$21 x^{2} - 111 = 225$
$21 x^{2} = 336$
$x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$
समीकरण $II$ के लिए:
$\sqrt{121} y^{2} + (6)^{3} = 260$
$11 y^{2} + 216 = 260$
$11 y^{2} = 44$
$y^{2} = 4 \Rightarrow y = \pm 2$
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 4$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $y = 2$ या $-2$ है)।
यदि $x = -4$ है,तो $x < y$ (क्योंकि $y = 2$ या $-2$ है)।
चूंकि हमें $x$ और $y$ के विभिन्न मानों के लिए अलग-अलग परिणाम मिलते हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(C) चरण $1$: $x$ का मान ज्ञात करें।
$x = \sqrt[3]{2744}$। चूंकि $14 \times 14 \times 14 = 2744$,इसलिए $x = 14$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $y$ का मान ज्ञात करें।
$y = \sqrt{487}$। हम जानते हैं कि $22^2 = 484$ और $23^2 = 529$ होता है। अतः,$y$ का मान लगभग $22.068$ है।
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
चूंकि $14 < 22.068$,इसलिए $x < y$ सही है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $15 x^{2}-41 x+14=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $15 x^{2}-35 x-6 x+14=0$
$5 x(3 x-7)-2(3 x-7)=0$
$(5 x-2)(3 x-7)=0$
अतः,$x = \frac{2}{5} = 0.4$ या $x = \frac{7}{3} \approx 2.33$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $2 y^{2}-13 y+20=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2 y^{2}-8 y-5 y+20=0$
$2 y(y-4)-5(y-4)=0$
$(2 y-5)(y-4)=0$
अतः,$y = \frac{5}{2} = 2.5$ या $y = 4$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = 0.4, x_2 = 2.33$
$y_1 = 2.5, y_2 = 4$
चूंकि $x$ के दोनों मान $y$ के दोनों मानों से छोटे हैं $(0.4 < 2.5, 0.4 < 4, 2.33 < 2.5, 2.33 < 4)$,इसलिए निष्कर्ष निकलता है कि $x < y$।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-8 \sqrt{3} x+45=0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $45$ और योग $8 \sqrt{3}$ हो।
ये संख्याएँ $5 \sqrt{3}$ और $3 \sqrt{3}$ हैं।
$x^{2}-5 \sqrt{3} x-3 \sqrt{3} x+45=0$
$x(x-5 \sqrt{3})-3 \sqrt{3}(x-5 \sqrt{3})=0$
$(x-5 \sqrt{3})(x-3 \sqrt{3})=0$
अतः,$x = 5 \sqrt{3} \approx 8.66$ और $x = 3 \sqrt{3} \approx 5.196$.
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-\sqrt{2} y-24=0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-24$ और योग $-\sqrt{2}$ हो।
ये संख्याएँ $-4 \sqrt{2}$ और $3 \sqrt{2}$ हैं।
$y^{2}-4 \sqrt{2} y+3 \sqrt{2} y-24=0$
$y(y-4 \sqrt{2})+3 \sqrt{2}(y-4 \sqrt{2})=0$
$(y-4 \sqrt{2})(y+3 \sqrt{2})=0$
अतः,$y = 4 \sqrt{2} \approx 5.656$ और $y = -3 \sqrt{2} \approx -4.242$.
मानों की तुलना करने पर:
$x_1 = 8.66, x_2 = 5.196$
$y_1 = 5.656, y_2 = -4.242$
यहाँ $x_1 > y_1$ है लेकिन $x_2 < y_1$ है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $x - 7\sqrt{x} + 12 = 0$. मान लीजिए $\sqrt{x} = u$,तो $u^2 - 7u + 12 = 0$.
$(u - 3)(u - 4) = 0$,इसलिए $u = 3$ या $u = 4$.
अतः,$\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$ और $\sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16$.
समीकरण $II$ के लिए: $y - 5\sqrt{y} + 6 = 0$. मान लीजिए $\sqrt{y} = v$,तो $v^2 - 5v + 6 = 0$.
$(v - 2)(v - 3) = 0$,इसलिए $v = 2$ या $v = 3$.
अतः,$\sqrt{y} = 2 \Rightarrow y = 4$ और $\sqrt{y} = 3 \Rightarrow y = 9$.
मानों की तुलना करने पर: $x \in \{9, 16\}$ और $y \in \{4, 9\}$.
चूंकि $x$ के सभी मान $y$ के मानों से बड़े या बराबर हैं $(9 \ge 4, 9 \ge 9, 16 \ge 4, 16 \ge 9)$,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $x \ge y$.

(B) समीकरण $I$ के लिए: $63x - 94\sqrt{x} + 35 = 0$
माना $\sqrt{x} = u$. तब $63u^2 - 94u + 35 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $63u^2 - 45u - 49u + 35 = 0$.
$9u(7u - 5) - 7(7u - 5) = 0 \Rightarrow (9u - 7)(7u - 5) = 0$.
अतः,$u = 7/9$ या $u = 5/7$.
इस प्रकार,$\sqrt{x} = 7/9 \Rightarrow x = 49/81 \approx 0.6049$ और $\sqrt{x} = 5/7 \Rightarrow x = 25/49 \approx 0.5102$.
समीकरण $II$ के लिए: $32y - 52\sqrt{y} + 21 = 0$
माना $\sqrt{y} = v$. तब $32v^2 - 52v + 21 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $32v^2 - 24v - 28v + 21 = 0$.
$8v(4v - 3) - 7(4v - 3) = 0 \Rightarrow (8v - 7)(4v - 3) = 0$.
अतः,$v = 7/8$ या $v = 3/4$.
इस प्रकार,$\sqrt{y} = 7/8 \Rightarrow y = 49/64 \approx 0.7656$ और $\sqrt{y} = 3/4 \Rightarrow y = 9/16 = 0.5625$.
मानों की तुलना करने पर:
$x \in \{0.5102, 0.6049\}$ और $y \in \{0.5625, 0.7656\}$.
चूंकि $0.5102 < 0.5625$ और $0.6049 < 0.7656$,हम देखते हैं कि सभी मामलों में $x < y$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-7 \sqrt{3} x-5 \sqrt{5} x+35 \sqrt{15}=0$
$x(x-7 \sqrt{3})-5 \sqrt{5}(x-7 \sqrt{3})=0$
$(x-5 \sqrt{5})(x-7 \sqrt{3})=0$
अतः,$x = 5 \sqrt{5}$ या $x = 7 \sqrt{3}$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-5 \sqrt{5} y+30=0$
$y^{2}-3 \sqrt{5} y -2 \sqrt{5} y +30=0$
$y(y-3 \sqrt{5})-2 \sqrt{5}(y-3 \sqrt{5})=0$
$(y-2 \sqrt{5})(y-3 \sqrt{5})=0$
अतः,$y = 2 \sqrt{5}$ या $y = 3 \sqrt{5}$ है।
मानों की तुलना करने पर:
$5 \sqrt{5} \approx 11.18$
$7 \sqrt{3} \approx 12.124$
$2 \sqrt{5} \approx 4.472$
$3 \sqrt{5} \approx 6.708$
चूंकि $x$ के सभी मान $y$ के सभी मानों से बड़े हैं,इसलिए $x > y$ निष्कर्ष निकलता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$5x + 4y = 41$ ... $(i)$
$4x + 5y = 40$ ... (ii)
हल करने के लिए,समीकरण $(i)$ को $5$ से और समीकरण (ii) को $4$ से गुणा करें:
$25x + 20y = 205$ ... (iii)
$16x + 20y = 160$ ... (iv)
समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर:
$(25x - 16x) + (20y - 20y) = 205 - 160$
$9x = 45$
$x = 5$
$x = 5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$5(5) + 4y = 41$
$25 + 4y = 41$
$4y = 16$
$y = 4$
चूंकि $x = 5$ और $y = 4$ है,इसलिए $x > y$ है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $\sqrt{x} = \frac{(18)^{15/2}}{x^2}$
दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^{1/2} \cdot x^2 = (18)^{15/2}$
$x^{5/2} = (18)^{15/2}$
दोनों पक्षों की घात $2/5$ करने पर,$x = (18)^{(15/2) \cdot (2/5)} = 18^3 = 5832$.
समीकरण $II$ के लिए: $\sqrt{y} = \frac{(19)^{9/2}}{y}$
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $y^{1/2} \cdot y = (19)^{9/2}$
$y^{3/2} = (19)^{9/2}$
दोनों पक्षों की घात $2/3$ करने पर,$y = (19)^{(9/2) \cdot (2/3)} = 19^3 = 6859$.
मानों की तुलना करने पर,$x = 5832$ और $y = 6859$.
चूँकि $5832 < 6859$,इसलिए $x < y$ है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $63x - 194\sqrt{x} + 143 = 0$. मान लीजिए $\sqrt{x} = u$. तो $63u^2 - 194u + 143 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $63 \times 143 = 9009$. $9009$ के ऐसे गुणनखंड जिनका योग $194$ हो,वे $117$ और $77$ हैं।
$63u^2 - 117u - 77u + 143 = 0 \Rightarrow 9u(7u - 13) - 11(7u - 13) = 0$.
$(9u - 11)(7u - 13) = 0$. अतः,$u = 11/9$ या $u = 13/7$.
$x_1 = (13/7)^2 = 169/49 \approx 3.45$ और $x_2 = (11/9)^2 = 121/81 \approx 1.49$.
समीकरण $II$ के लिए: $99y - 255\sqrt{y} + 150 = 0$. मान लीजिए $\sqrt{y} = v$. तो $99v^2 - 255v + 150 = 0$. $3$ से भाग देने पर: $33v^2 - 85v + 50 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $33 \times 50 = 1650$. गुणनखंड $55$ और $30$ हैं।
$33v^2 - 55v - 30v + 50 = 0 \Rightarrow 11v(3v - 5) - 10(3v - 5) = 0$.
$(11v - 10)(3v - 5) = 0$. अतः,$v = 10/11$ या $v = 5/3$.
$y_1 = (10/11)^2 = 100/121 \approx 0.83$ और $y_2 = (5/3)^2 = 25/9 \approx 2.78$.
मानों की तुलना करने पर: $x_1 \approx 3.45, x_2 \approx 1.49$ और $y_1 \approx 0.83, y_2 \approx 2.78$.
चूंकि $x_1 > y_2$ है लेकिन $x_2 < y_2$ है,इसलिए संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(C) समीकरण $I$ के लिए: $x - 7\sqrt{3x} + 36 = 0$
माना $\sqrt{x} = u$. तो $u^2 - 7\sqrt{3}u + 36 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $u^2 - 4\sqrt{3}u - 3\sqrt{3}u + 36 = 0$
$u(u - 4\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}(u - 4\sqrt{3}) = 0$
$(u - 3\sqrt{3})(u - 4\sqrt{3}) = 0$
अतः,$u = 3\sqrt{3} = \sqrt{27}$ या $u = 4\sqrt{3} = \sqrt{48}$.
इस प्रकार,$x = 27$ या $x = 48$.
समीकरण $II$ के लिए: $y - 12\sqrt{2y} + 70 = 0$
माना $\sqrt{y} = v$. तो $v^2 - 12\sqrt{2}v + 70 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $v^2 - 7\sqrt{2}v - 5\sqrt{2}v + 70 = 0$
$v(v - 7\sqrt{2}) - 5\sqrt{2}(v - 7\sqrt{2}) = 0$
$(v - 5\sqrt{2})(v - 7\sqrt{2}) = 0$
अतः,$v = 5\sqrt{2} = \sqrt{50}$ या $v = 7\sqrt{2} = \sqrt{98}$.
इस प्रकार,$y = 50$ या $y = 98$.
मानों की तुलना करने पर: $x \in \{27, 48\}$ और $y \in \{50, 98\}$.
सभी स्थितियों में,$x < y$ है।

(A) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-7 \sqrt{7} x+84=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $x^{2}-4 \sqrt{7} x-3 \sqrt{7} x+84=0$
$x(x-4 \sqrt{7})-3 \sqrt{7}(x-4 \sqrt{7})=0$
$(x-4 \sqrt{7})(x-3 \sqrt{7})=0$
अतः,$x = 4 \sqrt{7}$ या $x = 3 \sqrt{7}$.
चूंकि $\sqrt{7} \approx 2.646$,इसलिए $x \approx 10.58$ या $x \approx 7.94$.
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-5 \sqrt{5} y+30=0$
मध्य पद को विभाजित करने पर: $y^{2}-3 \sqrt{5} y-2 \sqrt{5} y+30=0$
$y(y-3 \sqrt{5})-2 \sqrt{5}(y-3 \sqrt{5})=0$
$(y-3 \sqrt{5})(y-2 \sqrt{5})=0$
अतः,$y = 3 \sqrt{5}$ या $y = 2 \sqrt{5}$.
चूंकि $\sqrt{5} \approx 2.236$,इसलिए $y \approx 6.71$ या $y \approx 4.47$.
मानों की तुलना करने पर: $x$ के सभी मान $y$ के सभी मानों से बड़े हैं।
इसलिए,$x > y$.

(D) समीकरण $I: x^{2}-2x-15=0$ के लिए
हम द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं: $x^{2}-5x+3x-15=0$
$x(x-5)+3(x-5)=0$
$(x-5)(x+3)=0$
अतः,मूल $x = 5$ और $x = -3$ हैं।
समीकरण $II: y^{2}+5y+6=0$ के लिए
हम द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं: $y^{2}+3y+2y+6=0$
$y(y+3)+2(y+3)=0$
$(y+3)(y+2)=0$
अतः,मूल $y = -3$ और $y = -2$ हैं।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 5$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $5 > -3$ और $5 > -2$)।
यदि $x = -3$ है,तो $x = y$ (जब $y = -3$) और $x < y$ (क्योंकि $-3 < -2$)।
चूंकि चुने गए मूलों के आधार पर संबंध बदलता है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(B) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें।
$x - \sqrt{169} = 0$
$x - 13 = 0$
$x = 13$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें।
$y^2 - 169 = 0$
$y^2 = 169$
$y = \pm \sqrt{169}$
$y = 13$ या $y = -13$
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें।
यदि $x = 13$ और $y = 13$ है,तो $x = y$ होता है।
यदि $x = 13$ और $y = -13$ है,तो $x > y$ होता है।
इन परिणामों को मिलाने पर,हमें $x \ge y$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2} - 25 = 0 \Rightarrow x^{2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$.
अतः,$x = 5$ या $x = -5$.
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2} - 9y + 20 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^{2} - 5y - 4y + 20 = 0 \Rightarrow y(y - 5) - 4(y - 5) = 0 \Rightarrow (y - 5)(y - 4) = 0$.
अतः,$y = 5$ या $y = 4$.
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x = 5$ है,तो $x = y$ (जब $y = 5$) और $x > y$ (जब $y = 4$)।
यदि $x = -5$ है,तो $x < y$ (क्योंकि $-5 < 4$ और $-5 < 5$)।
चूंकि हमें चुने गए मानों के आधार पर अलग-अलग परिणाम ($x = y$,$x > y$,और $x < y$) प्राप्त होते हैं,इसलिए $x$ और $y$ के बीच कोई निश्चित संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$I. 7x + 3y = 77$
$II. 2x + 5y = \sqrt{2601} = 51$
समीकरण को हल करने के लिए,समीकरण $I$ को $2$ से और समीकरण $II$ को $7$ से गुणा करें:
$14x + 6y = 154$
$14x + 35y = 357$
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(14x + 35y) - (14x + 6y) = 357 - 154$
$29y = 203$
$y = 203 / 29 = 7$
$y = 7$ का मान समीकरण $II$ में रखने पर:
$2x + 5(7) = 51$
$2x + 35 = 51$
$2x = 16$
$x = 8$
मानों की तुलना करने पर,$x = 8$ और $y = 7$,अतः $x > y$.

(A) समीकरण $I$ के लिए:
$(289)^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{324} = 203$
$17x - 18 = 203$
$17x = 203 + 18$
$17x = 221$
$x = \frac{221}{17} = 13$
समीकरण $II$ के लिए:
$(484)^{\frac{1}{2}} y - \sqrt{225} = 183$
$22y - 15 = 183$
$22y = 183 + 15$
$22y = 198$
$y = \frac{198}{22} = 9$
मानों की तुलना करने पर,$x = 13$ और $y = 9$ प्राप्त होता है। अतः,$x > y$.

(B) चरण $1$: समीकरण $I$ को हल करें:
$679 x^{2} - 168 x^{2} = 3066$
$511 x^{2} = 3066$
$x^{2} = \frac{3066}{511} = 6$
$x = \pm \sqrt{6} \approx \pm 2.45$
चरण $2$: समीकरण $II$ को हल करें:
$\sqrt{144} y^{3} - 9 y^{3} = 1536$
$12 y^{3} - 9 y^{3} = 1536$
$3 y^{3} = 1536$
$y^{3} = \frac{1536}{3} = 512$
$y = \sqrt[3]{512} = 8$
चरण $3$: $x$ और $y$ की तुलना करें:
चूंकि $x = \pm 2.45$ और $y = 8$ है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $x < y$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$I. \quad 3x + 4y = \sqrt{1681} = 41$
$II. \quad 3x + 2y = \sqrt{961} = 31$
समीकरण $I$ में से समीकरण $II$ को घटाने पर:
$(3x + 4y) - (3x + 2y) = 41 - 31$
$2y = 10 \Rightarrow y = 5$
अब $y = 5$ का मान समीकरण $II$ में रखने पर:
$3x + 2(5) = 31$
$3x + 10 = 31$
$3x = 21 \Rightarrow x = 7$
मानों की तुलना करने पर,$x = 7$ और $y = 5$,अतः $x > y$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $I$ के लिए: $3x^2 - 6x - \sqrt{17}x + 2\sqrt{17} = 0$
$3x(x - 2) - \sqrt{17}(x - 2) = 0$
$(x - 2)(3x - \sqrt{17}) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = \frac{\sqrt{17}}{3} \approx 1.37$.
समीकरण $II$ के लिए: $5y^2 - 15y + \sqrt{17}y - 3\sqrt{17} = 0$
$5y(y - 3) + \sqrt{17}(y - 3) = 0$
$(y - 3)(5y + \sqrt{17}) = 0$
अतः,$y = 3$ या $y = -\frac{\sqrt{17}}{5} \approx -0.82$.
मानों की तुलना करने पर:
$x$ के मान ${2, 1.37}$ हैं और $y$ के मान ${3, -0.82}$ हैं।
यहाँ $x=2, y=3$ के लिए $x < y$ है और $x=1.37, y=-0.82$ के लिए $x > y$ है,इसलिए $x$ और $y$ के बीच संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है।

(B) समीकरण $I$ के लिए: $x^{2}-16x+63=0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $63$ और योग $16$ हो। वे $9$ और $7$ हैं।
$x^{2}-9x-7x+63=0$
$x(x-9)-7(x-9)=0$
$(x-9)(x-7)=0$
अतः,$x = 9$ या $x = 7$ है।
समीकरण $II$ के लिए: $y^{2}-2y-35=0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-35$ और योग $-2$ हो। वे $-7$ और $5$ हैं।
$y^{2}-7y+5y-35=0$
$y(y-7)+5(y-7)=0$
$(y-7)(y+5)=0$
अतः,$y = 7$ या $y = -5$ है।
मानों की तुलना करने पर:
यदि $x=9$ है,तो $x > y$ (क्योंकि $y$ का मान $7$ या $-5$ है)।
यदि $x=7$ है,तो $x \ge y$ (क्योंकि $y$ का मान $7$ या $-5$ है)।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $x \ge y$ प्राप्त होता है।

(B) मात्रा $I$: मान लीजिए प्रत्येक शर्ट का क्रय मूल्य $(CP)$ $Rs. 100$ है।
कुल $CP = 100 + 100 = Rs. 200$.
$20 \%$ लाभ पर पहली शर्ट का विक्रय मूल्य $(SP)$ $= 100 \times 1.20 = Rs. 120$.
$10 \%$ हानि पर दूसरी शर्ट का विक्रय मूल्य $(SP)$ $= 100 \times 0.90 = Rs. 90$.
कुल $SP = 120 + 90 = Rs. 210$.
कुल लाभ प्रतिशत $= \frac{210 - 200}{200} \times 100 = \frac{10}{200} \times 100 = 5 \%$.
मात्रा $II$: मान लीजिए $1 \, m$ कपड़े का $CP = Rs. x$ है।
$20 \, m$ कपड़े पर लाभ $= 5 \, m$ कपड़े का $CP = 5x$.
लाभ प्रतिशत $= \frac{\text{लाभ}}{\text{कुल } CP} \times 100 = \frac{5x}{20x} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25 \%$.
दोनों मात्राओं की तुलना करने पर: $5 \% < 25 \%$,अतः मात्रा $I < $ मात्रा $II$.

(B) घन का किनारा $a = 7 \, cm$ है।
$Quantity \, I$: बचे हुए घन का आयतन।
घन का आयतन $= a^3 = 7^3 = 343 \, cm^3$।
सबसे बड़े बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \pi (3.5)^2 (7) = \frac{22}{7} \times 12.25 \times 7 = 269.5 \, cm^3$।
बचा हुआ आयतन $= 343 - 269.5 = 73.5 \, cm^3$।
$Quantity \, II$: बचे हुए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल।
मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6a^2 = 6(49) = 294 \, cm^2$।
जब बेलन काटा जाता है,तो ऊपर और नीचे की सतहों से दो वृत्ताकार भाग हटा दिए जाते हैं,लेकिन बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जुड़ जाता है।
शेष पृष्ठीय क्षेत्रफल $= (6a^2 - 2 \pi r^2) + 2 \pi r h = 294 - 2(\frac{22}{7})(3.5)^2 + 2(\frac{22}{7})(3.5)(7) = 294 - 77 + 154 = 371 \, cm^2$।
परिमाणों की तुलना करने पर: $73.5 < 371$,अतः $Quantity \, I < Quantity \, II$।

(D) प्रारंभिक मिश्रण: पानी $= 2.5 \, \text{L}$,दूध $= 10 \, \text{L}$। कुल $= 12.5 \, \text{L}$।
$20 \%$ $(1/5)$ निकालने के बाद: शेष पानी $= 2.5 - (0.2 \times 2.5) = 2 \, \text{L}$। शेष दूध $= 10 - (0.2 \times 10) = 8 \, \text{L}$।
प्रारंभिक अनुपात (पानी:दूध) $= 2:8 = 1:4$।
अनुपात को $4:1$ करने के लिए $x$ लीटर पानी मिलाने पर: $\frac{2+x}{8} = \frac{4}{1} \Rightarrow 2+x = 32 \Rightarrow x = 30 \, \text{L}$।
अब,मिश्रण में पानी $= 32 \, \text{L}$,दूध $= 8 \, \text{L}$ है।
अनुपात को वापस $1:4$ करने के लिए $y$ लीटर दूध मिलाने पर: $\frac{32}{8+y} = \frac{1}{4} \Rightarrow 128 = 8+y \Rightarrow y = 120 \, \text{L}$।
चूंकि $y = 120$ और $Quantity \, 2 = 120$,इसलिए $Quantity \, I = Quantity \, II$ है।

(B) माना कुल कार्य $16$ और $32$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $32$ इकाई है।
$P$ की कार्यक्षमता $= 32 / 16 = 2$ इकाई/दिन।
$Q$ की कार्यक्षमता $= 32 / 32 = 1$ इकाई/दिन।
मात्रा $I$ ($P$ पहले शुरू करता है):
दिन $1$: $P$ $2$ इकाई करता है। दिन $2$: $Q$ $1$ इकाई करता है। $2$ दिनों में कुल $3$ इकाई।
$20$ दिनों में ($10$ चक्र),$30$ इकाई पूरी हो जाती हैं।
$21$वें दिन,$P$ $2$ इकाई करता है। कुल $32$ इकाई कार्य $21$ दिनों में पूरा हो जाता है।
मात्रा $II$ ($Q$ पहले शुरू करता है):
दिन $1$: $Q$ $1$ इकाई करता है। दिन $2$: $P$ $2$ इकाई करता है। $2$ दिनों में कुल $3$ इकाई।
$20$ दिनों में ($10$ चक्र),$30$ इकाई पूरी हो जाती हैं।
$21$वें दिन,$Q$ $1$ इकाई करता है। शेष कार्य $32 - 31 = 1$ इकाई।
$P$ शेष $1$ इकाई को $1/2$ दिन में पूरा करता है।
कुल समय $= 21.5$ दिन।
चूंकि $21 < 21.5$,इसलिए मात्रा $I < $ मात्रा $II$।

(B) $1$. चूंकि $AD$ व्यास है,$\angle ABD = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
$2$. $\triangle PBD$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle P + \angle PBD + \angle BDP = 180^{\circ}$। $\angle PBD = 90^{\circ}$ होने के कारण,$20^{\circ} + 90^{\circ} + \angle BDP = 180^{\circ}$,अर्थात $\angle BDP = 70^{\circ}$।
$3$. $\triangle ABD$ में,$\angle ADB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 90^{\circ} = 50^{\circ}$। यह मात्रा $II$ है।
$4$. $\angle BCD = \angle DAB = 40^{\circ}$ (समान चाप द्वारा बने कोण)।
$5$. $\triangle BCD$ में,$\angle DBC = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 110^{\circ} = 30^{\circ}$। यह मात्रा $I$ है।
$6$. अतः,मात्रा $I < $ मात्रा $II$।

(A) $Quantity$ $1$ के लिए: माना त्रिज्या $r = 7x$ और ऊंचाई $h = 10x$ है।
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = 12320 \, cm^3$.
$\frac{22}{7} \times (7x)^2 \times (10x) = 12320$.
$\frac{22}{7} \times 49x^2 \times 10x = 12320$.
$22 \times 7x^3 \times 10 = 12320$.
$1540x^3 = 12320$.
$x^3 = \frac{12320}{1540} = 8$.
$x = 2$.
ऊंचाई $h = 10x = 10 \times 2 = 20 \, cm$.
$Quantity$ $2$ के लिए: शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (2)^2 \times 3 = 4\pi \, cm^3$.
इसे $2 \, cm$ त्रिज्या वाले बेलन में ढाला जाता है। माना ऊंचाई $H$ है।
बेलन का आयतन $= \pi R^2 H = \pi \times (2)^2 \times H = 4\pi H$.
आयतन की तुलना करने पर: $4\pi H = 4\pi$.
$H = 1 \, cm$.
$Quantity$ $1$ $(20 \, cm)$ और $Quantity$ $2$ $(1 \, cm)$ की तुलना करने पर: $Quantity$ $I > Quantity$ $II$.

(C) Quantity $1: p^{2}-18 p+77=0$
$\Rightarrow p^{2}-11 p-7 p+77=0$
$\Rightarrow (p-11)(p-7)=0$
$\Rightarrow p = 11, 7$
Quantity $2: 3 q^{2}-25 q+28=0$
$\Rightarrow 3 q^{2}-21 q-4 q+28=0$
$\Rightarrow 3 q(q-7)-4(q-7)=0$
$\Rightarrow (3 q-4)(q-7)=0$
$\Rightarrow q = 7, \frac{4}{3} \approx 1.33$
मानों की तुलना करने पर: $p$ के मानों का समुच्चय ${7, 11}$ है और $q$ के लिए ${1.33, 7}$ है।
चूंकि $p$ के सभी मान $q$ के मानों से बड़े या बराबर हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि Quantity $1 \geq$ Quantity $2$.