QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(A) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ જેના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય તે $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 6$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = -16$ છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x^{2} - (6)x + (-16) = 0$
$x^{2} - 6x - 16 = 0$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2}-5x+P=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3$,$b=-5$ અને $c=P$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $(D)$ શૂન્ય થાય છે.
$D = b^{2}-4ac = 0$.
કિંમતો મૂકતા,$(-5)^{2}-4(3)(P) = 0$.
$25-12P = 0$.
$12P = 25$.
તેથી,$P = \frac{25}{12}$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^{2}+b x+c=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \frac{c}{a}$
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2 \alpha \beta$
કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = \left(-\frac{b}{a}\right)^{2} - 2\left(\frac{c}{a}\right)$
$= \frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2c}{a}$
$= \frac{b^{2} - 2ac}{a^{2}}$

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $\alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$
કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^{3} + \beta^{3} = (-\frac{b}{a})^{3} - 3(\frac{c}{a})(-\frac{b}{a})$
$= -\frac{b^{3}}{a^{3}} + \frac{3bc}{a^{2}}$
$a^{3}$ ને સામાન્ય છેદ લેતા:
$= \frac{-b^{3} + 3abc}{a^{3}}$
$= \frac{b(3ac - b^{2})}{a^{3}}$

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
હવે,આપણે $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લસાઅ લેતા,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^{2} + \beta^{2}}{\alpha\beta}$ મળે.
નિત્યસમ $\alpha^{2} + \beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^{2} + \beta^{2}}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta}{\alpha\beta} = \frac{(-\frac{b}{a})^{2} - 2(\frac{c}{a})}{\frac{c}{a}}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2c}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{\frac{b^{2} - 2ac}{a^{2}}}{\frac{c}{a}} = \frac{b^{2} - 2ac}{a^{2}} \times \frac{a}{c} = \frac{b^{2} - 2ac}{ac}$.

(C) આપેલ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણના સહગુણકો સંમેય છે અને એક બીજ $\sqrt{5}$ છે.
સંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણના અસંમેય બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે,તેથી બીજું બીજ $-\sqrt{5}$ હોવું જોઈએ.
બીજનો સરવાળો $= \sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0$.
બીજનો ગુણાકાર $= (\sqrt{5}) \times (-\sqrt{5}) = -5$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - (0)x + (-5) = 0$ મળે છે.
તેથી,માંગેલ સમીકરણ $x^{2} - 5 = 0$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2}+Bx+C=0$ માટે,જો વિવેચક $D = B^{2}-4AC \geq 0$ હોય તો બીજ વાસ્તવિક હોય છે.
સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટે,વિવેચક શૂન્ય કરતા ઓછો હોવો જોઈએ,એટલે કે $D < 0$.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}-px+q=0$ માટે,$A=1$,$B=-p$,અને $C=q$ છે.
આ કિંમતોને $B^{2}-4AC < 0$ શરતમાં મૂકતા:
$(-p)^{2}-4(1)(q) < 0$
$p^{2}-4q < 0$
$p^{2} < 4q$.
આમ,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટેની શરત $p^{2} < 4q$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+5px+16=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=5p$ અને $c=16$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^{2}-4ac < 0$.
કિંમતો મૂકતા,$(5p)^{2}-4(1)(16) < 0$.
$25p^{2}-64 < 0$.
$25p^{2} < 64$.
$p^{2} < \frac{64}{25}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|p| < \frac{8}{5}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-\frac{8}{5} < p < \frac{8}{5}$.

(B) દ્વિઘાત બહુપદી $az^{2} + bz + c$ ના વાસ્તવિક સુરેખ અવયવો ત્યારે જ પાડી શકાય જો તેનો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ એ $0$ અથવા $0$ થી મોટો હોય.
આપેલ બહુપદી $3z^{2} + 5z + k$ માટે,$a = 3$,$b = 5$,અને $c = k$ છે.
વિવેચક $D = (5)^{2} - 4(3)(k) = 25 - 12k$ થાય.
બહુપદીના વાસ્તવિક સુરેખ અવયવો મેળવવા માટે,$D \geq 0$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,$25 - 12k \geq 0$.
$25 \geq 12k$.
$k \leq \frac{25}{12}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} + (k-1)x + 9 = 0$ છે.
કારણ કે $x=3$ એ ઉકેલ છે,તેથી આપણે સમીકરણમાં $x=3$ મૂકીએ:
$3(3)^{2} + (k-1)(3) + 9 = 0$
$3(9) + 3(k-1) + 9 = 0$
$27 + 3k - 3 + 9 = 0$
$3k + 33 = 0$
$3k = -33$
$k = -11$

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 10x + 3 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -10$,અને $c = 3$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા મળે છે.
બીજનો સરવાળો $= -\frac{-10}{3} = \frac{10}{3}$.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણને $\alpha = \frac{1}{3}$ આપેલ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{10}{3}$ હોવાથી,$\frac{1}{3} + \beta = \frac{10}{3}$ થાય.
આમ,$\beta = \frac{10}{3} - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
તેથી,બીજું બીજ $3$ છે.

(C) પદાવલિ $x^{4}+7 x^{2}+16$ ના અવયવો પાડવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,પદાવલિમાં $x^{2}$ ઉમેરીને અને બાદ કરીને તેને ફરીથી લખો:
$x^{4}+7 x^{2}+16 = (x^{4}+8 x^{2}+16) - x^{2}$
નોંધો કે $(x^{4}+8 x^{2}+16)$ એ પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે:
$(x^{4}+8 x^{2}+16) = (x^{2}+4)^{2}$
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો:
$(x^{2}+4)^{2} - x^{2}$
તફાવતના વર્ગના સૂત્ર $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરો,જ્યાં $a = (x^{2}+4)$ અને $b = x$ છે:
$(x^{2}+4+x)(x^{2}+4-x)$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(x^{2}+x+4)(x^{2}-x+4)$

(A) પ્રથમ સમીકરણ માટે: $x^{2}-7x+10=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-5)(x-2)=0$
તેથી,બીજ $x=5$ અને $x=2$ મળે છે.
બીજા સમીકરણ માટે: $x^{2}-10x+16=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-8)(x-2)=0$
તેથી,બીજ $x=8$ અને $x=2$ મળે છે.
બંને ગણ ${5, 2}$ અને ${8, 2}$ માં સામાન્ય બીજ $2$ છે.

(B) $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની કિંમત $0$ હોય તો તેના બીજ સમાન હોય છે.
અહીં,$a=1$,$b=p$,અને $c=q$ છે.
આ કિંમતોને $b^{2}-4ac=0$ શરતમાં મૂકતા:
$p^{2}-4(1)(q)=0$
$p^{2}-4q=0$
$p^{2}=4q$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-6x+5=0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(x-5)(x-1)=0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઉકેલો $x=5$ અને $x=1$ છે.
હવે,સમીકરણ $|x-3|=2$ ને ધ્યાનમાં લો.
માનાંકની વ્યાખ્યા મુજબ,આ બે કિસ્સાઓમાં વિભાજિત થાય છે:
કિસ્સો $1$: $x-3=2 \implies x=5$.
કિસ્સો $2$: $x-3=-2 \implies x=1$.
બંને સમીકરણોનો ઉકેલ ગણ $\{1, 5\}$ સમાન હોવાથી,તેઓ એકબીજાને સમાન (equivalent) છે.

(A) ધારો કે નાનો ભાગ $x$ છે. તો મોટો ભાગ $(16 - x)$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,મોટા ભાગના વર્ગના બમણા એ નાના ભાગના વર્ગ કરતાં $164$ વધારે છે:
$2(16 - x)^2 - x^2 = 164$
$2(256 + x^2 - 32x) - x^2 = 164$
$512 + 2x^2 - 64x - x^2 = 164$
$x^2 - 64x + 348 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 6x - 58x + 348 = 0$
$x(x - 6) - 58(x - 6) = 0$
$(x - 6)(x - 58) = 0$
તેથી,$x = 6$ અથવા $x = 58$.
બે ભાગનો સરવાળો $16$ હોવાથી,$x$ ની કિંમત $58$ શક્ય નથી.
તેથી,નાનો ભાગ $6$ છે અને મોટો ભાગ $16 - 6 = 10$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-x-2=0$ છે.
બીજ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણના અવયવ પાડીએ:
$x^{2}-2x+x-2=0$
$x(x-2)+1(x-2)=0$
$(x-2)(x+1)=0$
આમ,બીજ $x=2$ અને $x=-1$ મળે છે.
કારણ કે $2$ અને $-1$ બંને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 - x = \frac{x - 2}{x}$ છે.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા (જ્યાં $x \neq 0$):
$x(2 - x) = x - 2$
$2x - x^2 = x - 2$
પદોને ફરીથી ગોઠવીને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા:
$x^2 - x - 2x - 2 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 2)(x + 1) = 0$
આમ,ઉકેલ $x = 2$ અને $x = -1$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _{10}(x^{2}-6x+45)=2$
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\log _{b}(a)=c$ નો અર્થ $a=b^{c}$ થાય છે.
તેથી,$x^{2}-6x+45=10^{2}$.
$x^{2}-6x+45=100$.
બંને બાજુથી $100$ બાદ કરતાં,આપણને $x^{2}-6x-55=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-11)(x+5)=0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,$x-11=0$ અથવા $x+5=0$ મળે છે.
આમ,$x$ ની કિંમતો $x=11$ અથવા $x=-5$ છે.

(C) સમીકરણ $x^{2}-5x+6=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-5, c=6$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -b/a = 5/1 = 5$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c/a = 6/1 = 6$ છે.
આપણે એક એવું દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવાનું છે જેના બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ હોય.
જરૂરી સમીકરણ $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવા બીજનો સરવાળો = $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{5}{6}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર = $\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{6}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $x^{2} - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} = 0$.
આખા સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા,આપણને $6x^{2}-5x+1=0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x+4}{x-4}$. તો સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3}$ બને છે.
$3y$ વડે ગુણતા,આપણને $3y^2 + 3 = 10y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3y^2 - 10y + 3 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3y^2 - 9y - y + 3 = 0 \Rightarrow 3y(y-3) - 1(y-3) = 0 \Rightarrow (3y-1)(y-3) = 0$.
આમ,$y = 3$ અથવા $y = \frac{1}{3}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{x+4}{x-4} = 3 \Rightarrow x+4 = 3x-12 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x+4}{x-4} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x+12 = x-4 \Rightarrow 2x = -16 \Rightarrow x = -8$.
તેથી,બીજ $x = 8, -8$ અથવા $\pm 8$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
જો બીજ પરસ્પર વ્યસ્ત હોય,તો $\beta = \frac{1}{\alpha}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \cdot \beta = 1$.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\frac{c}{a} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $c = a$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો $6$ છે.
એક બીજ $3-\sqrt{5}$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી $\alpha = 3-\sqrt{5}$ અને $\alpha + \beta = 6$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $(3-\sqrt{5}) + \beta = 6$.
તેથી,$\beta = 6 - (3-\sqrt{5}) = 3+\sqrt{5}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = (3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})$ છે.
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 6x + 4 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-6x+k=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -(-6)/1 = 6$ થાય.
આપણને સંબંધ $3\alpha+2\beta=20$ આપેલ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\beta = 6-\alpha$. આ કિંમતને બીજા સંબંધમાં મૂકતા:
$3\alpha + 2(6-\alpha) = 20$
$3\alpha + 12 - 2\alpha = 20$
$\alpha = 8$.
તેથી,$\beta = 6 - 8 = -2$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = k$ થાય.
તેથી,$k = (8)(-2) = -16$.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન એકી પૂર્ણાંકો $x$ અને $x+2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x^2 + (x+2)^2 = 290$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 290$
$2x^2 + 4x - 286 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 + 2x - 143 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 13x - 11x - 143 = 0$
$x(x+13) - 11(x+13) = 0$
$(x-11)(x+13) = 0$
તેથી,$x = 11$ અથવા $x = -13$.
પૂર્ણાંકો ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = 11$ લઈશું.
બે પૂર્ણાંકો $11$ અને $11+2 = 13$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $-\frac{q}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $\alpha + (-\alpha) = 0$ થાય છે.
તેથી,$-\frac{q}{p} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $q = 0$.
બીજ વાસ્તવિક અને શૂન્યતર હોય તે માટે,વિવેચક $D = q^2 - 4pr$ એ $0$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
$q = 0$ મૂકતા,આપણને $D = 0^2 - 4pr = -4pr$ મળે છે.
$D > 0$ માટે,$-4pr > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $pr < 0$.
આમ,સાચી શરત $q = 0$ અને $pr < 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-2(1+3k)x+7(3+2k)=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=1, b=-2(1+3k), c=7(3+2k)$
સમાન બીજ માટે,વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = b^{2}-4ac = 0$.
કિંમતો મૂકતા:
$[-2(1+3k)]^{2} - 4(1)(7(3+2k)) = 0$
$4(1+3k)^{2} - 28(3+2k) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$(1+3k)^{2} - 7(3+2k) = 0$
$1 + 9k^{2} + 6k - 21 - 14k = 0$
$9k^{2} - 8k - 20 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^{2} - 4(9)(-20)}}{2(9)}$
$k = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 720}}{18} = \frac{8 \pm \sqrt{784}}{18}$
$k = \frac{8 \pm 28}{18}$
$k = \frac{36}{18} = 2$ અથવા $k = \frac{-20}{18} = \frac{-10}{9}$.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ આપેલ સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^{2}+2\alpha-3=0$ અને $\alpha^{2}+3\alpha-k=0$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(\alpha^{2}+3\alpha-k) - (\alpha^{2}+2\alpha-3) = 0$
$\alpha - k + 3 = 0$
$\alpha = k - 3$
$\alpha = k - 3$ ને પ્રથમ સમીકરણ $\alpha^{2}+2\alpha-3=0$ માં મૂકતા:
$(k-3)^{2} + 2(k-3) - 3 = 0$
$k^{2} - 6k + 9 + 2k - 6 - 3 = 0$
$k^{2} - 4k = 0$
$k(k-4) = 0$
અહીં $k$ શૂન્યતર હોવાથી,$k = 4$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 32 = 0$
અહીં $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ અને $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$ હોવાથી,સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$(2^x)^2 - 3 \cdot (4 \cdot 2^x) + 32 = 0$
$(2^x)^2 - 12 \cdot 2^x + 32 = 0$
ધારો કે $2^x = y$. તેથી સમીકરણ $y^2 - 12y + 32 = 0$ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y - 8)(y - 4) = 0$.
તેથી,$y = 8$ અથવા $y = 4$.
હવે $y = 2^x$ મૂકતા:
$2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3$
$2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$
આમ,સમીકરણના બીજ $2$ અને $3$ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $12x^2 + mx + 5 = 0$ ના બીજ $3\alpha$ અને $2\alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $3\alpha + 2\alpha = -\frac{m}{12} \Rightarrow 5\alpha = -\frac{m}{12} \Rightarrow \alpha = -\frac{m}{60}$.
બીજનો ગુણાકાર: $(3\alpha)(2\alpha) = \frac{5}{12} \Rightarrow 6\alpha^2 = \frac{5}{12} \Rightarrow \alpha^2 = \frac{5}{72}$.
$\alpha$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-\frac{m}{60})^2 = \frac{5}{72} \Rightarrow \frac{m^2}{3600} = \frac{5}{72}$.
$m^2 = \frac{3600 \times 5}{72} = 50 \times 5 = 250$.
$m = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$ (કારણ કે $m$ ધન હોવું જોઈએ).

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $2x^{2} - 3x + 1 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-3)/2 = 3/2$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = 1/2$ થાય.
આપણે એવું દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવાનું છે જેના બીજ $\frac{\alpha}{\beta}$ અને $\frac{\beta}{\alpha}$ હોય.
ધારો કે $S$ એ નવા બીજનો સરવાળો છે:
$S = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^{2} + \beta^{2}}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{(3/2)^{2} - 2(1/2)}{1/2} = \frac{9/4 - 1}{1/2} = \frac{5/4}{1/2} = 5/2$.
ધારો કે $P$ એ નવા બીજનો ગુણાકાર છે:
$P = \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - Sx + P = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S$ અને $P$ ની કિંમતો મૂકતા: $x^{2} - (5/2)x + 1 = 0$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x^{2} - 5x + 2 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2}-20x+17=0$ છે.
જો સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,તો જે સમીકરણના બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ હોય તે મેળવવા માટે $x$ ની જગ્યાએ $\frac{1}{x}$ મૂકવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણમાં $x = \frac{1}{x}$ મૂકતા:
$3(\frac{1}{x})^{2}-20(\frac{1}{x})+17=0$
$\frac{3}{x^{2}}-\frac{20}{x}+17=0$
આખા સમીકરણને $x^{2}$ વડે ગુણતા:
$3-20x+17x^{2}=0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$17x^{2}-20x+3=0$.

(A) કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^{2}-3 \lambda x+\lambda^{2}=0$ ના બીજ છે,તેથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = 3 \lambda$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \lambda^{2}$
આપેલ છે કે $\alpha^{2}+\beta^{2} = \frac{7}{4}$.
નિત્યસમ $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$(3 \lambda)^{2}-2 \lambda^{2} = \frac{7}{4}$
$9 \lambda^{2}-2 \lambda^{2} = \frac{7}{4}$
$7 \lambda^{2} = \frac{7}{4}$
$\lambda^{2} = \frac{1}{4}$
$\lambda = \pm \frac{1}{2}$

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^{2}+b x+b=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{b}{a}$ છે.
હવે,આપણે પદાવલિ $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ બે પદોનું સાદુંરૂપ આપતા: $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} = \frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} = \frac{(\sqrt{\alpha})^2 + (\sqrt{\beta})^2}{\sqrt{\alpha \beta}} = \frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha \beta}}$.
$\alpha+\beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{-\frac{b}{a}}{\sqrt{\frac{b}{a}}} + \sqrt{\frac{b}{a}}$.
કારણ કે $\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$,તેથી આપણને મળે છે:
$= -\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = 0$.

(C) $x^2-x+1$ ને સામાન્ય દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2+bx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-1$,અને $c=1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ ની ગણતરી $D = b^2 - 4ac$ મુજબ કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત પદાવલિના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી અને તેથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ પર તેનો કોઈ યોગ્ય સુરેખ અવયવ નથી.

(C) ધારો કે લંબચોરસ પ્લોટની પહોળાઈ $x \, m$ છે. તો લંબચોરસ પ્લોટની લંબાઈ $(x + 8) \, m$ થાય.
આપેલ છે કે પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ $308 \, m^{2}$ છે,તેથી:
ક્ષેત્રફળ $=$ લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ
$x(x + 8) = 308$
$x^{2} + 8x - 308 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે તેના અવયવો પાડીએ:
$x^{2} + 22x - 14x - 308 = 0$
$x(x + 22) - 14(x + 22) = 0$
$(x + 22)(x - 14) = 0$
આથી $x = -22$ અથવા $x = 14$ મળે.
પહોળાઈ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે $x = 14 \, m$ લઈશું.
તેથી,લંબચોરસ પ્લોટની લંબાઈ $x + 8 = 14 + 8 = 22 \, m$ થાય.

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+kx+12=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -k$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = 12$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $\alpha-\beta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $(\alpha-\beta)^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 4\alpha\beta$ થાય.
આ નિત્યસમમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$(1)^{2} = (-k)^{2} - 4(12)$
$1 = k^{2} - 48$
$k^{2} = 49$
$k = \pm 7$.

(C) ધારો કે $y = x - \frac{1}{x}$.
તેથી,$y^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$,એટલે કે $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$.
કિંમત મૂકતા,$(x + \frac{1}{x})^2 = (y^2 + 2) + 2 = y^2 + 4$.
આપેલ સમીકરણ $(x + \frac{1}{x})^2 - \frac{3}{2}(x - \frac{1}{x}) = 4$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,$(y^2 + 4) - \frac{3}{2}y = 4$.
$y^2 - \frac{3}{2}y = 0$.
$y(y - \frac{3}{2}) = 0$.
તેથી,$y = 0$ અથવા $y = \frac{3}{2}$.
કિસ્સો $1$: $x - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
કિસ્સો $2$: $x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2x^2 - 2 = 3x \Rightarrow 2x^2 - 3x - 2 = 0$.
$(2x + 1)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$ અથવા $x = 2$.
$x$ ની શક્ય કિંમતો $1, -1, 2, -\frac{1}{2}$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$-1$ એક સાચો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-8x+k=0$ છે.
અહીં $\alpha$ અને $\beta$ સમીકરણના બીજ હોવાથી,બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -(-8)/1 = 8$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = k/1 = k$.
આપણને શરત $\alpha^{2}+\beta^{2}=40$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$40 = (8)^{2} - 2k$.
$40 = 64 - 2k$.
$2k = 64 - 40$.
$2k = 24$.
$k = 12$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3 x^{2}+(2 k+1) x-(k+5)=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને સહગુણકો $a=3$,$b=2 k+1$,અને $c=-(k+5)$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો $\frac{-b}{a} = \frac{-(2 k+1)}{3}$ દ્વારા મળે છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{-(k+5)}{3}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજનો સરવાળો એ બીજના ગુણાકાર જેટલો છે:
$\frac{-(2 k+1)}{3} = \frac{-(k+5)}{3}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને $-(2 k+1) = -(k+5)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 k+1 = k+5$ થાય છે.
બંને બાજુથી $k$ બાદ કરતા,$k+1 = 5$ મળે છે.
તેથી,$k = 4$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2}-4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન હોય છે.
દરેક વિકલ્પ તપાસતા:
$(A)$ $3x^{2}-6x+2=0$: $D = (-6)^{2}-4(3)(2) = 36-24 = 12 \neq 0$.
$(B)$ $3x^{2}-6x+3=0$: $D = (-6)^{2}-4(3)(3) = 36-36 = 0$. અહીં $D=0$ હોવાથી,આ સમીકરણના બીજ સમાન છે.
$(C)$ $x^{2}-8x+8=0$: $D = (-8)^{2}-4(1)(8) = 64-32 = 32 \neq 0$.
$(D)$ $8x^{2}-8x+2=0$: $D = (-8)^{2}-4(8)(2) = 64-64 = 0$. અહીં પણ $D=0$ થાય છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$.
અહીં આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો $1$ છે અને બીજનો ગુણાકાર $-20$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x^{2} - (1)x + (-20) = 0$
$x^{2} - x - 20 = 0$.

(D) આપેલ છે: $a(x+y) = 2ab$ અને $b(x-y) = 2ab$.
$a(x+y) = 2ab$ પરથી,આપણને મળે છે $x+y = 2b$ $(i)$.
$b(x-y) = 2ab$ પરથી,આપણને મળે છે $x-y = 2a$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x+y) + (x-y) = 2b + 2a$
$2x = 2(a+b) \implies x = a+b$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(x+y) - (x-y) = 2b - 2a$
$2y = 2(b-a) \implies y = b-a$.
હવે,$2(x^2 + y^2)$ ની ગણતરી કરતા:
$2((a+b)^2 + (b-a)^2)$
$= 2(a^2 + b^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab)$
$= 2(2a^2 + 2b^2)$
$= 4(a^2 + b^2)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x-2)(x-p) = x^{2}-ax+6$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2} - px - 2x + 2p = x^{2} - ax + 6$
$x^{2} - (p+2)x + 2p = x^{2} - ax + 6$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
અચળ પદ માટે: $2p = 6 \implies p = 3$
$x$ ના સહગુણક માટે: $-(p+2) = -a \implies a = p+2$
$a$ ના સમીકરણમાં $p=3$ મૂકતા: $a = 3+2 = 5$
હવે,$(a-p)$ ની કિંમત શોધીએ: $a-p = 5-3 = 2$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$a^{2}=by+cz$ ... $(1)$
$b^{2}=cz+ax$ ... $(2)$
$c^{2}=ax+by$ ... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માં બંને બાજુ $ax$ ઉમેરતા:
$a^{2}+ax = ax+by+cz$
$a(a+x) = ax+by+cz$
તેથી,$\frac{x}{a+x} = \frac{ax}{a(a+x)} = \frac{ax}{ax+by+cz}$.
તે જ રીતે,
$\frac{y}{b+y} = \frac{by}{ax+by+cz}$.
$\frac{z}{c+z} = \frac{cz}{ax+by+cz}$.
આ ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{x}{a+x} + \frac{y}{b+y} + \frac{z}{c+z} = \frac{ax+by+cz}{ax+by+cz} = 1$.

(A) $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$ માટેનું બીજગણિતીય નિત્યસમ નીચે મુજબ છે:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}]$
આપેલ છે કે $x=332, y=333, z=335$.
પ્રથમ,સરવાળો શોધો: $x+y+z = 332+333+335 = 1000$.
ત્યારબાદ,તફાવત શોધો:
$(x-y) = 332-333 = -1 \implies (x-y)^{2} = 1$
$(y-z) = 333-335 = -2 \implies (y-z)^{2} = 4$
$(z-x) = 335-332 = 3 \implies (z-x)^{2} = 9$
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= \frac{1}{2} \times 1000 \times (1 + 4 + 9)$
$= 500 \times 14$
$= 7000$

(D) આપેલ છે: $m = -4$ અને $n = -2$.
આપણે પદાવલિ $m^{3} - 3m^{2} + 3m + 3n + 3n^{2} + n^{3}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરળ બનાવવા માટે,આપણે પદોને પૂર્ણ ઘન સ્વરૂપમાં ગોઠવી શકીએ:
$(m^{3} - 3m^{2} + 3m - 1) + (n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1) = 0$
નોંધો કે આપણે પદાવલિની સમાનતા જાળવી રાખવા માટે $1$ બાદ કર્યો અને $1$ ઉમેર્યો છે.
આનું સાદું રૂપ: $(m - 1)^{3} + (n + 1)^{3}$ થાય.
હવે,$m$ અને $n$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(-4 - 1)^{3} + (-2 + 1)^{3}$
$= (-5)^{3} + (-1)^{3}$
$= -125 - 1$
$= -126$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{m-a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{m-b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{m-c^{2}}{a^{2}+b^{2}}=3$
ડાબી બાજુના દરેક પદમાંથી $1$ બાદ કરતા:
$(\frac{m-a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-1)+(\frac{m-b^{2}}{c^{2}+a^{2}}-1)+(\frac{m-c^{2}}{a^{2}+b^{2}}-1)=3-3$
$\frac{m-a^{2}-b^{2}-c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{m-b^{2}-c^{2}-a^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{m-c^{2}-a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=0$
ધારો કે $K = m-(a^{2}+b^{2}+c^{2})$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$K(\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}})=0$
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો સામાન્ય રીતે શૂન્ય ન હોવાથી,$K=0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$m-(a^{2}+b^{2}+c^{2})=0$,જેનો અર્થ છે કે $m=a^{2}+b^{2}+c^{2}$.

(A) આપેલ છે કે $x = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{\sqrt{13} - \sqrt{11}}$ અને $y = \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{13} - \sqrt{11}}{\sqrt{13} + \sqrt{11}}$.
પ્રથમ,$x + y$ ની ગણતરી કરો:
$x + y = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{11}}{\sqrt{13} - \sqrt{11}} + \frac{\sqrt{13} - \sqrt{11}}{\sqrt{13} + \sqrt{11}}$
$= \frac{(\sqrt{13} + \sqrt{11})^2 + (\sqrt{13} - \sqrt{11})^2}{(\sqrt{13} - \sqrt{11})(\sqrt{13} + \sqrt{11})}$
$= \frac{(13 + 11 + 2\sqrt{143}) + (13 + 11 - 2\sqrt{143})}{13 - 11}$
$= \frac{24 + 24}{2} = \frac{48}{2} = 24$.
ત્યારબાદ,$xy$ ની ગણતરી કરો:
$xy = x \cdot \frac{1}{x} = 1$.
હવે,$3x^2 - 5xy + 3y^2$ ની કિંમત શોધો:
$3x^2 - 5xy + 3y^2 = 3(x^2 + y^2) - 5xy$
$= 3((x + y)^2 - 2xy) - 5xy$
$= 3(x + y)^2 - 6xy - 5xy$
$= 3(x + y)^2 - 11xy$
$= 3(24)^2 - 11(1)$
$= 3(576) - 11$
$= 1728 - 11 = 1717$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx=0$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz-2zx=0$.
આને $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $x-y=0$,$y-z=0$,અને $z-x=0$.
આનો અર્થ એ છે કે $x=y=z$.
ધારો કે $x=y=z=k$ (જ્યાં $k \neq 0$).
$x=y=z=k$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3k^{4}+7k^{4}+5k^{4}}{5k^{4}+7k^{4}+3k^{4}} = \frac{15k^{4}}{15k^{4}} = 1$.