QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(C) $I.$ $8x^2 + 6x - 5 = 0$
$8x^2 + 10x - 4x - 5 = 0$
$2x(4x + 5) - 1(4x + 5) = 0$
$(2x - 1)(4x + 5) = 0$
$x = \frac{1}{2}, -\frac{5}{4}$
$II.$ $12y^2 - 22y + 8 = 0$
$12y^2 - 16y - 6y + 8 = 0$
$4y(3y - 4) - 2(3y - 4) = 0$
$(4y - 2)(3y - 4) = 0$
$y = \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = 0.5, -1.25$
$y = 0.5, 1.33$
અહીં $x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની કિંમતો કરતા નાની અથવા તેના જેટલી છે,તેથી $x \leq y$ થાય.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $18 x^{2}+18 x+4=0$
$2$ વડે ભાગતા: $9 x^{2}+9 x+2=0$
$9 x^{2}+6 x+3 x+2=0$
$3 x(3 x+2)+1(3 x+2)=0$
$(3 x+1)(3 x+2)=0$
$x = -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}$
સમીકરણ $II$ માટે: $12 y^{2}+29 y+14=0$
$12 y^{2}+21 y+8 y+14=0$
$3 y(4 y+7)+2(4 y+7)=0$
$(3 y+2)(4 y+7)=0$
$y = -\frac{2}{3}, -\frac{7}{4}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -0.33, x_2 = -0.66$
$y_1 = -0.66, y_2 = -1.75$
અહીં $x_1 > y_1$,$x_1 > y_2$,$x_2 = y_1$,અને $x_2 > y_2$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x \geq y$.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-11x+24=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2}-8x-3x+24=0$
$x(x-8)-3(x-8)=0$
$(x-3)(x-8)=0$
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = 8$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^{2}-9y+9=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2y^{2}-6y-3y+9=0$
$2y(y-3)-3(y-3)=0$
$(2y-3)(y-3)=0$
તેથી,$y = 1.5$ અથવા $y = 3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 3$ હોય,તો $y$ ની કિંમત $1.5$ $(x > y)$ અથવા $3$ $(x = y)$ હોઈ શકે.
જો $x = 8$ હોય,તો $y$ ની કિંમત $1.5$ $(x > y)$ અથવા $3$ $(x > y)$ હોઈ શકે.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x \geq y$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$x^{3} \times 13 = x^{2} \times 247$
બંને બાજુને $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$x = \frac{247}{13} = 19$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^{1 / 3} \times 14 = 294 \div y^{2 / 3}$
બંને બાજુને $y^{2 / 3}$ વડે ગુણતા:
$y^{1 / 3} \times y^{2 / 3} \times 14 = 294$
$y^{(1/3 + 2/3)} \times 14 = 294$
$y^{1} \times 14 = 294$
$y = \frac{294}{14} = 21$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x = 19$ અને $y = 21$ હોવાથી,સ્પષ્ટ છે કે $x < y$.

(D) સમીકરણ $I$ માટે:
$\frac{12 \times 4}{x^{4/7}} - \frac{3 \times 4}{x^{4/7}} = x^{10/7}$
$\Rightarrow \frac{48}{x^{4/7}} - \frac{12}{x^{4/7}} = x^{10/7}$
$\Rightarrow \frac{36}{x^{4/7}} = x^{10/7}$
$\Rightarrow 36 = x^{10/7} \times x^{4/7}$
$\Rightarrow 36 = x^{(10+4)/7} = x^{14/7} = x^2$
$\Rightarrow x^2 = 36$
$\therefore x = 6$ અથવા $x = -6$
સમીકરણ $II$ માટે:
$y^3 + 783 = 999$
$\Rightarrow y^3 = 999 - 783$
$\Rightarrow y^3 = 216$
$\therefore y = \sqrt[3]{216} = 6$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 6$ હોય,તો $x = y$.
જો $x = -6$ હોય,તો $x < y$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \leq y$ મળે છે.

(C) સમીકરણ $I$ પરથી: $\sqrt{500} x + \sqrt{402} = 0$
$\sqrt{500} x = -\sqrt{402}$
$x = -\sqrt{\frac{402}{500}} \approx -\sqrt{0.804} \approx -0.896$
સમીકરણ $II$ પરથી: $\sqrt{360} y + \sqrt{200} = 0$
$\sqrt{360} y = -\sqrt{200}$
$y = -\sqrt{\frac{200}{360}} \approx -\sqrt{0.555} \approx -0.745$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$-0.896 < -0.745$,તેથી $x < y$.

(C) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$x = (17)^{2} + 144 \div 18$
$x = 289 + 8$
$x = 297$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y = (26)^{2} - 18 \times 21$
$y = 676 - 378$
$y = 298$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો.
$297 < 298$ હોવાથી,$x < y$ થાય છે.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $16 x^{2}+20 x+6=0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $8 x^{2}+10 x+3=0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા: $8 x^{2}+4 x+6 x+3=0 \Rightarrow 4 x(2 x+1)+3(2 x+1)=0$.
તેથી,$(4 x+3)(2 x+1)=0$.
ઉકેલ $x = -0.75$ અને $x = -0.5$ છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $10 y^{2}+38 y+24=0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $5 y^{2}+19 y+12=0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા: $5 y^{2}+15 y+4 y+12=0 \Rightarrow 5 y(y+3)+4(y+3)=0$.
તેથી,$(5 y+4)(y+3)=0$.
ઉકેલ $y = -0.8$ અને $y = -3$ છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો $\{-0.75, -0.5\}$ છે અને $y$ ની કિંમતો $\{-3, -0.8\}$ છે.
અહીં $-0.75 > -0.8$,$-0.75 > -3$,$-0.5 > -0.8$,અને $-0.5 > -3$ હોવાથી,$x > y$ સાબિત થાય છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $16x^2 + 20x + 6 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $8x^2 + 10x + 3 = 0$
$8x^2 + 6x + 4x + 3 = 0$
$2x(4x + 3) + 1(4x + 3) = 0$
$(2x + 1)(4x + 3) = 0$
$x = -1/2$ અથવા $x = -3/4$
સમીકરણ $II$ માટે: $10y^2 + 38y + 24 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $5y^2 + 19y + 12 = 0$
$5y^2 + 15y + 4y + 12 = 0$
$5y(y + 3) + 4(y + 3) = 0$
$(5y + 4)(y + 3) = 0$
$y = -4/5$ અથવા $y = -3$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -0.5$,$x_2 = -0.75$
$y_1 = -0.8$,$y_2 = -3$
અહીં $-0.5 > -0.8$,$-0.5 > -3$,$-0.75 > -0.8$,અને $-0.75 > -3$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x > y$.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $8x^2 + 6x - 5 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $8x^2 + 10x - 4x - 5 = 0$
$2x(4x + 5) - 1(4x + 5) = 0$
$(4x + 5)(2x - 1) = 0$
તેથી,$x = -\frac{5}{4}$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
સમીકરણ $II$ માટે: $12y^2 - 22y + 8 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $6y^2 - 11y + 4 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6y^2 - 8y - 3y + 4 = 0$
$2y(3y - 4) - 1(3y - 4) = 0$
$(2y - 1)(3y - 4) = 0$
તેથી,$y = \frac{1}{2}$ અથવા $y = \frac{4}{3}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = -1.25$ હોય,તો $x < y$ (કારણ કે $y = 0.5$ અથવા $1.33$ છે).
જો $x = 0.5$ હોય,તો $x \leq y$ (કારણ કે $y = 0.5$ અથવા $1.33$ છે).
આમ,$x \leq y$ મળે છે.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $17 x^{2} + 48 x - 9 = 0$
અવયવીકરણ કરતા: $(17 x - 3)(x + 3) = 0$
તેથી,$x = \frac{3}{17}$ અથવા $x = -3$.
સમીકરણ $II$ માટે: $13 y^{2} - 32 y + 21 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{32 \pm \sqrt{32^{2} - 4(13)(21)}}{2(13)}$
જો આપણે સમીકરણ $13 y^{2} - 32 y + 12 = 0$ લઈએ,તો $y = 2$ અથવા $y = \frac{6}{13}$ મળે.
આમ,$x$ ની કિંમતો $\{-3, 0.176\}$ અને $y$ ની કિંમતો $\{0.46, 2\}$ છે,તેથી $x < y$ થાય છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$I. \quad 4x + 7y = 209$
$II. \quad 12x - 14y = -38$
આને ઉકેલવા માટે,$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(I)$ ને $2$ વડે ગુણો:
$8x + 14y = 418$ $(III)$
હવે,સમીકરણ $(II)$ અને $(III)$ નો સરવાળો કરો:
$(12x - 14y) + (8x + 14y) = -38 + 418$
$20x = 380$
$x = \frac{380}{20} = 19$
$x = 19$ ની કિંમત સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા:
$4(19) + 7y = 209$
$76 + 7y = 209$
$7y = 209 - 76$
$7y = 133$
$y = \frac{133}{7} = 19$
આમ,$x = 19$ અને $y = 19$ હોવાથી,$x = y$ થાય છે.

(A) પગલું $1$: પ્રથમ સમીકરણ $x^{2}-4=0$ ઉકેલો.
$x^{2} = 4$
$x = \pm 2$
તેથી,$x = 2$ અથવા $x = -2$.
પગલું $2$: બીજું સમીકરણ $y^{2}+6y+9=0$ ઉકેલો.
આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે: $(y+3)^{2} = 0$.
$y+3 = 0$
$y = -3$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો.
આપણી પાસે $x = 2, -2$ અને $y = -3$ છે.
$x = 2$ ની $y = -3$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $2 > -3$ મળે છે (એટલે કે $x > y$).
$x = -2$ ની $y = -3$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $-2 > -3$ મળે છે (એટલે કે $x > y$).
બંને કિસ્સાઓમાં,$x > y$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો: $x^{2}-7x+12=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2}-4x-3x+12=0$.
$x(x-4)-3(x-4)=0$.
$(x-3)(x-4)=0$.
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = 4$.
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો: $y^{2}+y-12=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2}+4y-3y-12=0$.
$y(y+4)-3(y+4)=0$.
$(y-3)(y+4)=0$.
તેથી,$y = 3$ અથવા $y = -4$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો:
જો $x=3$ હોય,તો $y=3$ $(x=y)$ અથવા $y=-4$ $(x>y)$.
જો $x=4$ હોય,તો $y=3$ $(x>y)$ અથવા $y=-4$ $(x>y)$.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x$ એ $y$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો છે. તેથી,$x \geq y$.

(D) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$x^{2} = 729$
$x = \pm \sqrt{729}$
$x = 27$ અથવા $x = -27$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y = \sqrt{729}$
$y = 27$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો.
જો $x = 27$ હોય,તો $x = y$ થાય.
જો $x = -27$ હોય,તો $x < y$ થાય.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \leq y$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: $x$ માટે સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$x^{4} - 227 = 398$
$x^{4} = 398 + 227 = 625$
$x = \pm \sqrt[4]{625} = \pm 5$
તેથી,$x = 5$ અથવા $x = -5$.
પગલું $2$: $y$ માટે સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^{2} + 321 = 346$
$y^{2} = 346 - 321 = 25$
$y = \pm \sqrt{25} = \pm 5$
તેથી,$y = 5$ અથવા $y = -5$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો.
જો $x = 5$ હોય,તો $y = 5$ $(x = y)$ અથવા $y = -5$ $(x > y)$ હોઈ શકે.
જો $x = -5$ હોય,તો $y = 5$ $(x < y)$ અથવા $y = -5$ $(x = y)$ હોઈ શકે.
આમ,સંબંધ પસંદ કરેલી કિંમતો પર આધારિત હોવાથી,સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^{2} + 11x + 14 = 0$
$2x^{2} + 4x + 7x + 14 = 0$
$2x(x + 2) + 7(x + 2) = 0$
$(2x + 7)(x + 2) = 0$
$x = -3.5$ અથવા $x = -2$
સમીકરણ $II$ માટે: $4y^{2} + 12y + 9 = 0$
$(2y)^{2} + 2(2y)(3) + 3^{2} = 0$
$(2y + 3)^{2} = 0$
$2y = -3$
$y = -1.5$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -3.5, x_2 = -2$
$y = -1.5$
અહીં $-3.5 < -1.5$ અને $-2 < -1.5$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x < y$.