QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $t_1 = \frac{x}{x+7}$. તો સમીકરણ $I$ એ $t_1 + \frac{1}{t_1} = 12$ બને છે,જેનો અર્થ છે $t_1^2 - 12t_1 + 1 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $t_1$ માટે ઉકેલતા,$t_1 = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2} = 6 \pm \sqrt{35}$.
કારણ કે $t_1 = \frac{x}{x+7}$,આપણને મળે છે $x = t_1(x+7) \Rightarrow x(1-t_1) = 7t_1 \Rightarrow x = \frac{7t_1}{1-t_1}$.
$t_1 = 6 + \sqrt{35} \approx 11.916$ માટે,$x = \frac{7(11.916)}{1-11.916} \approx -7.63$.
$t_1 = 6 - \sqrt{35} \approx 0.084$ માટે,$x = \frac{7(0.084)}{1-0.084} \approx 0.64$.
તે જ રીતે સમીકરણ $II$ માટે,ધારો કે $t_2 = \frac{y}{y+8}$. તો $t_2 + \frac{1}{t_2} = 16$,જેનો અર્થ છે $t_2^2 - 16t_2 + 1 = 0$. $t_2$ માટે ઉકેલતા,$t_2 = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4}}{2} = 8 \pm \sqrt{63} \approx 8 \pm 7.937$.
$t_2 \approx 15.937$ અથવા $t_2 \approx 0.063$.
$y = \frac{8t_2}{1-t_2}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$t_2 \approx 15.937$ માટે,$y = \frac{8(15.937)}{1-15.937} \approx -8.53$.
$t_2 \approx 0.063$ માટે,$y = \frac{8(0.063)}{1-0.063} \approx 0.54$.
$x \in \{-7.63, 0.64\}$ અને $y \in \{-8.53, 0.54\}$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પસંદ કરેલા બીજ મુજબ $x$ એ $y$ કરતા મોટો,નાનો અથવા સમાન હોઈ શકે છે. આમ,સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: ધારો કે $t = \frac{x}{x-11}$. તેથી $t + \frac{1}{t} = 7 \Rightarrow t^2 - 7t + 1 = 0$. $t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{7 \pm \sqrt{49-4}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.
$t = \frac{x}{x-11}$ હોવાથી,$x = t(x-11) = tx - 11t \Rightarrow x(1-t) = -11t \Rightarrow x = \frac{11t}{t-1}$.
$t_1 = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \approx 6.85$ અને $t_2 = \frac{7-3\sqrt{5}}{2} \approx 0.146$ મૂકતા,આપણને $x$ ની બે કિંમતો મળે છે.
સમીકરણ $II$ માટે: ધારો કે $u = \frac{4y}{4y-13}$. તેથી $u + \frac{1}{u} = 9 \Rightarrow u^2 - 9u + 1 = 0$. $u$ માટે ઉકેલતા,$u = \frac{9 \pm \sqrt{81-4}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{77}}{2}$.
$u = \frac{4y}{4y-13}$ હોવાથી,$4y = u(4y-13) = 4uy - 13u \Rightarrow 4y(1-u) = -13u \Rightarrow y = \frac{13u}{4(u-1)}$.
બંને સમીકરણો બે વાસ્તવિક ઉકેલો (એક ધન અને એક ઋણ) આપે છે,અને સહગુણકો $x$ અને $y$ માટે ઓવરલેપિંગ રેન્જ બનાવે છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(A) $I.$ $99 x^{2} + 149 x + 56 = 0$
$99 x^{2} + 77 x + 72 x + 56 = 0$
$11 x(9 x + 7) + 8(9 x + 7) = 0$
$(9 x + 7)(11 x + 8) = 0$
$x = -\frac{7}{9} \approx -0.777$
$x = -\frac{8}{11} \approx -0.727$
$II.$ $156 y^{2} + 287 y + 132 = 0$
$156 y^{2} + 143 y + 144 y + 132 = 0$
$13 y(12 y + 11) + 12(12 y + 11) = 0$
$(12 y + 11)(13 y + 12) = 0$
$y = -\frac{11}{12} \approx -0.916$
$y = -\frac{12}{13} \approx -0.923$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો આશરે $-0.777$ અને $-0.727$ છે.
$y$ ની કિંમતો આશરે $-0.916$ અને $-0.923$ છે.
તેથી,$x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની તમામ કિંમતો કરતા મોટી હોવાથી,$x > y$ મળે છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $77 x^{2}+58 x+8=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $77 x^{2}+44 x+14 x+8=0$
$11 x(7 x+4)+2(7 x+4)=0$
$(11 x+2)(7 x+4)=0$
તેથી,$x = -\frac{2}{11}$ અથવા $x = -\frac{4}{7}$.
સમીકરણ $II$ માટે: $42 y^{2}+59 y+20=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $42 y^{2}+35 y+24 y+20=0$
$7 y(6 y+5)+4(6 y+5)=0$
$(7 y+4)(6 y+5)=0$
તેથી,$y = -\frac{4}{7}$ અથવા $y = -\frac{5}{6}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -0.1818$,$x_2 = -0.5714$
$y_1 = -0.5714$,$y_2 = -0.8333$
અહીં $x_1 > y_1$,$x_1 > y_2$,$x_2 = y_1$,અને $x_2 > y_2$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x \ge y$.

(A) $I.$ સમીકરણ $63x^2 + 172x + 117 = 0$ માટે:
આપણે $63 \times 117 = 7371$ ના એવા બે અવયવો પાડવા પડે જેનો સરવાળો $172$ થાય. તે $91$ અને $81$ છે.
$63x^2 + 91x + 81x + 117 = 0$
$7x(9x + 13) + 9(9x + 13) = 0$
$(7x + 9)(9x + 13) = 0$
તેથી,$x = -9/7 \approx -1.28$ અને $x = -13/9 \approx -1.44$.
$II.$ સમીકરણ $30y^2 + 162y + 216 = 0$ માટે:
$6$ વડે ભાગતા: $5y^2 + 27y + 36 = 0$.
આપણે $5 \times 36 = 180$ ના એવા બે અવયવો પાડવા પડે જેનો સરવાળો $27$ થાય. તે $15$ અને $12$ છે.
$5y^2 + 15y + 12y + 36 = 0$
$5y(y + 3) + 12(y + 3) = 0$
$(5y + 12)(y + 3) = 0$
તેથી,$y = -12/5 = -2.4$ અને $y = -3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો $\approx -1.28, -1.44$ છે.
$y$ ની કિંમતો $-2.4, -3$ છે.
$x$ ની બંને કિંમતો $y$ ની બંને કિંમતો કરતા મોટી હોવાથી,$x > y$ થાય.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $36 x^{4}+369 x^{2}+900=0$.
ધારો કે $x^{2} = p$. તેથી $36 p^{2} + 369 p + 900 = 0$.
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $4 p^{2} + 41 p + 100 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$p = \frac{-41 \pm \sqrt{41^{2} - 4(4)(100)}}{2(4)} = \frac{-41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{8} = \frac{-41 \pm 9}{8}$.
$p = \frac{-32}{8} = -4$ અથવા $p = \frac{-50}{8} = -6.25$.
કારણ કે $x^{2} = -4$ અથવા $x^{2} = -6.25$,તેથી $x$ ના ઉકેલો કાલ્પનિક છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $144 y^{4}+337 y^{2}+144=0$.
ધારો કે $y^{2} = q$. તેથી $144 q^{2} + 337 q + 144 = 0$.
બધા સહગુણકો ધન હોવાથી,સમીકરણ સંતોષવા માટે $q$ ઋણ હોવું જોઈએ,જે $y$ માટે કાલ્પનિક ઉકેલો આપે છે.
બંને સમીકરણો $x$ અને $y$ માટે કાલ્પનિક ઉકેલો આપતા હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $18x^2 - 13\sqrt{7}x + 14 = 0$.
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરતા: $18x^2 - 9\sqrt{7}x - 4\sqrt{7}x + 14 = 0$.
$9x(2x - \sqrt{7}) - 2\sqrt{7}(2x - \sqrt{7}) = 0$.
$(9x - 2\sqrt{7})(2x - \sqrt{7}) = 0$.
તેથી,$x = \frac{2\sqrt{7}}{9} \approx 0.588$ અને $x = \frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1.323$.
સમીકરણ $II$ માટે: $32y^2 - 19\sqrt{6}y + 9 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{19\sqrt{6} \pm \sqrt{(19\sqrt{6})^2 - 4(32)(9)}}{64} = \frac{19\sqrt{6} \pm \sqrt{1014}}{64}$.
$y_1 \approx 1.22$ અને $y_2 \approx 0.23$.
$x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-82x+781=0$
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છીએ જેનો ગુણાકાર $781$ અને સરવાળો $82$ થાય. આ સંખ્યાઓ $71$ અને $11$ છે.
તેથી,$x^{2}-71x-11x+781=0$
$x(x-71)-11(x-71)=0$
$(x-71)(x-11)=0$
તેથી,$x = 71$ અથવા $x = 11$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-5041=0$
$y^{2} = 5041$
$y = \pm \sqrt{5041}$
$y = 71$ અથવા $y = -71$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 71$ હોય,તો $x = y$ (જ્યારે $y=71$) અને $x > y$ (જ્યારે $y=-71$).
જો $x = 11$ હોય,તો $x < y$ (જ્યારે $y=71$) અને $x > y$ (જ્યારે $y=-71$).
આમ,સંબંધ પસંદ કરેલી કિંમતો પર આધાર રાખે છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $36 x^{2}+47 \sqrt{7} x+105=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $36 x^{2}+27 \sqrt{7} x+20 \sqrt{7} x+105=0$
$9 x(4 x+3 \sqrt{7})+5 \sqrt{7}(4 x+3 \sqrt{7})=0$
$(9 x+5 \sqrt{7})(4 x+3 \sqrt{7})=0$
$x = -\frac{5 \sqrt{7}}{9} \approx -1.47$ અને $x = -\frac{3 \sqrt{7}}{4} \approx -1.98$
સમીકરણ $II$ માટે: $35 y^{2}+20 \sqrt{3} y+63 \sqrt{2} y+36 \sqrt{6}=0$
$5 y(7 y+4 \sqrt{3})+9 \sqrt{2}(7 y+4 \sqrt{3})=0$
$(5 y+9 \sqrt{2})(7 y+4 \sqrt{3})=0$
$y = -\frac{9 \sqrt{2}}{5} \approx -2.54$ અને $y = -\frac{4 \sqrt{3}}{7} \approx -0.99$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -1.47, x_2 = -1.98$
$y_1 = -2.54, y_2 = -0.99$
અહીં $x_1 > y_1$ અને $x_1 < y_2$ હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $91x^2 + 298x + 187 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર અથવા અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $91x^2 + 77x + 221x + 187 = 0$
$7x(13x + 11) + 17(13x + 11) = 0$
$(7x + 17)(13x + 11) = 0$
$x = -17/7 \approx -2.428$ અથવા $x = -11/13 \approx -0.846$
સમીકરણ $II$ માટે: $247y^2 + 216y - 391 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર અથવા અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $247y^2 + 437y - 221y - 391 = 0$
$19y(13y + 23) - 17(13y + 23) = 0$
$(19y - 17)(13y + 23) = 0$
$y = 17/19 \approx 0.895$ અથવા $y = -23/13 \approx -1.769$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -2.428, x_2 = -0.846$
$y_1 = 0.895, y_2 = -1.769$
અહીં $x_1 < y_2$ અને $x_2 > y_2$ પરંતુ $x_2 < y_1$ હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $81x^2 - 9x - 2 = 0$
$81x^2 - 18x + 9x - 2 = 0$
$9x(9x - 2) + 1(9x - 2) = 0$
$(9x + 1)(9x - 2) = 0$
$x = -1/9, 2/9$
સમીકરણ $II$ માટે: $56y^2 - 13y - 3 = 0$
$56y^2 - 21y + 8y - 3 = 0$
$7y(8y - 3) + 1(8y - 3) = 0$
$(7y + 1)(8y - 3) = 0$
$y = -1/7, 3/8$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = -0.11, 0.22$
$y = -0.14, 0.375$
અહીં $0.22 < 0.375$ અને $-0.11 > -0.14$ હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) $I.$ $391 x^{2} + 1344 x + 1073 = 0$ માટે:
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$391 = 17 \times 23$ અને $1073 = 29 \times 37$.
મધ્યમ પદનું વિભાજન: $493 + 851 = 1344$.
$(17x + 37)(23x + 29) = 0$
તેથી,$x = -\frac{37}{17} \approx -2.176$ અને $x = -\frac{29}{23} \approx -1.261$.
$II.$ $437 y^{2} + 1074 y + 589 = 0$ માટે:
$437 = 19 \times 23$ અને $589 = 19 \times 31$.
મધ્યમ પદનું વિભાજન: $361 + 713 = 1074$.
$(19y + 31)(23y + 19) = 0$
તેથી,$y = -\frac{31}{19} \approx -1.631$ અને $y = -\frac{19}{23} \approx -0.826$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -2.176, x_2 = -1.261$
$y_1 = -1.631, y_2 = -0.826$
અહીં $x_1 < y_1$ અને $x_2 < y_2$ છે,પરંતુ $x_2 > y_1$ હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $3216 x^{2} + 3859 x + 481 = 0$.
અહીં બધા સહગુણકો ધન હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ ઋણ હશે.
સમીકરણ $II$ માટે: $8132 y^{2} - 4839 y + 978 = 0$.
અહીં સહગુણકોની નિશાનીઓ $(+, -, +)$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટેના ચિહ્ન નિયમ મુજબ,જો નિશાનીઓ $(+, -, +)$ હોય,તો બંને બીજ ધન મળે છે.
આમ,$x$ ની તમામ કિંમતો ઋણ છે અને $y$ ની તમામ કિંમતો ધન છે,તેથી $y > x$ અથવા $x < y$ સાચું છે.

(D) પગલું $1$: $x$ ની કિંમત શોધો.
$x = \sqrt[3]{357911} = 71$.
પગલું $2$: $y$ ની કિંમત શોધો.
$y = \sqrt{5041} = 71$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
અહીં $x = 71$ અને $y = 71$ હોવાથી,$x = y$ થાય છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $3x^2 + 15x + 18 = 0$
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 3)(x + 2) = 0$
તેથી,$x_1 = -3$ અને $x_2 = -2$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^2 + 15y + 27 = 0$
$2y^2 + 6y + 9y + 27 = 0$
$2y(y + 3) + 9(y + 3) = 0$
$(2y + 9)(y + 3) = 0$
તેથી,$y_1 = -4.5$ અને $y_2 = -3$.
ઉકેલોની સરખામણી કરતા:
$x = \{-3, -2\}$
$y = \{-4.5, -3\}$
અહીં $-3 \ge -4.5$,$-3 \ge -3$,$-2 \ge -4.5$,અને $-2 \ge -3$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x \ge y$.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^2 - 4x - \sqrt{13}x + 2\sqrt{13} = 0$
$2x(x - 2) - \sqrt{13}(x - 2) = 0$
$(x - 2)(2x - \sqrt{13}) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = \frac{\sqrt{13}}{2} \approx 1.8025$.
સમીકરણ $II$ માટે: $10y^2 - 18y - 5\sqrt{13}y + 9\sqrt{13} = 0$
$2y(5y - 9) - \sqrt{13}(5y - 9) = 0$
$(2y - \sqrt{13})(5y - 9) = 0$
આમ,$y = \frac{\sqrt{13}}{2} \approx 1.8025$ અથવા $y = \frac{9}{5} = 1.8$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = 2, x_2 \approx 1.8025$
$y_1 \approx 1.8025, y_2 = 1.8$
અહીં $2 > 1.8025$ અને $2 > 1.8$,તેમજ $1.8025 \ge 1.8025$ અને $1.8025 > 1.8$ હોવાથી,$x \ge y$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો:
$821 x^{2} - 757 x^{2} = 256$
$64 x^{2} = 256$
$x^{2} = \frac{256}{64} = 4$
$x = \pm 2$,તેથી $x = 2$ અથવા $x = -2$.
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો:
$\sqrt{196} y^{3} - 12 y^{3} = 16$
$14 y^{3} - 12 y^{3} = 16$
$2 y^{3} = 16$
$y^{3} = 8$
$y = 2$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો:
જો $x = 2$ હોય,તો $x = y$.
જો $x = -2$ હોય,તો $x < y$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \le y$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: $x$ માટે સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$13x - 21 = 200 - 4x$
$13x + 4x = 200 + 21$
$17x = 221$
$x = 221 / 17 = 13$
પગલું $2$: $y$ માટે સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y = \sqrt[3]{2197}$
કારણ કે $13^3 = 2197$,તેથી $y = 13$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x = 13$ અને $y = 13$ હોવાથી,$x = y$ થાય છે.

(C) સમીકરણ $II$ પરથી:
$y + 2513 = 2569$
$y = 2569 - 2513 = 56$
$y = 56$ ની કિંમત સમીકરણ $I$ માં મૂકતા:
$(x + 56)^{2} = 3136$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x + 56 = \pm \sqrt{3136}$
$x + 56 = \pm 56$
કિસ્સો $1$: $x + 56 = 56 \Rightarrow x = 0$
કિસ્સો $2$: $x + 56 = -56 \Rightarrow x = -112$
$x$ અને $y$ ની સરખામણી કરતા:
જો $x = 0$ અને $y = 56$ હોય,તો $x < y$.
જો $x = -112$ અને $y = 56$ હોય,તો $x < y$.
બંને કિસ્સાઓમાં,$x < y$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો:
$x^{2} = 49 \Rightarrow x = \pm 7$,તેથી $x = 7$ અથવા $x = -7$.
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો:
$y^{2} + 15y + 56 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2} + 8y + 7y + 56 = 0$
$y(y + 8) + 7(y + 8) = 0$
$(y + 7)(y + 8) = 0$
તેથી,$y = -7$ અથવા $y = -8$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો:
જો $x = 7$ હોય,તો $7 > -7$ અને $7 > -8$.
જો $x = -7$ હોય,તો $-7 = -7$ અને $-7 > -8$.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x \ge y$ થાય છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $7x^{2} + 16x - 15 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $7x^{2} + 21x - 5x - 15 = 0$
$7x(x + 3) - 5(x + 3) = 0$
$(7x - 5)(x + 3) = 0$
તેથી,$x = 5/7 \approx 0.71$ અથવા $x = -3$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2} - 6y - 7 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2} - 7y + y - 7 = 0$
$y(y - 7) + 1(y - 7) = 0$
$(y + 1)(y - 7) = 0$
તેથી,$y = -1$ અથવા $y = 7$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 0.71$ હોય,તો $x > y$ ($y = -1$ માટે) અને $x < y$ ($y = 7$ માટે).
જો $x = -3$ હોય,તો $x < y$ ($y = -1$ અને $y = 7$ બંને માટે).
આમ,પસંદ કરેલી કિંમતોના આધારે સંબંધ બદલાતો હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે:
$\frac{15}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$
$\frac{6}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$
$6 = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$
$x = 6$
સમીકરણ $II$ માટે:
$y^{10} - (36)^{5} = 0$
$y^{10} = (6^2)^5$
$y^{10} = 6^{10}$
ઘાત બેકી હોવાથી,$y = 6$ અથવા $y = -6$ મળે.
$x$ અને $y$ ની સરખામણી કરતા:
જો $x = 6$ અને $y = 6$ હોય,તો $x = y$ થાય.
જો $x = 6$ અને $y = -6$ હોય,તો $x > y$ થાય.
બંને પરિસ્થિતિઓ શક્ય હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે:
$(441)^{\frac{1}{2}} x^{2} - 111 = (15)^{2}$
$21 x^{2} - 111 = 225$
$21 x^{2} = 336$
$x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4$
સમીકરણ $II$ માટે:
$\sqrt{121} y^{2} + (6)^{3} = 260$
$11 y^{2} + 216 = 260$
$11 y^{2} = 44$
$y^{2} = 4 \Rightarrow y = \pm 2$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 4$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $y = 2$ અથવા $-2$ છે).
જો $x = -4$ હોય,તો $x < y$ (કારણ કે $y = 2$ અથવા $-2$ છે).
આમ,$x$ અને $y$ ની વિવિધ કિંમતો માટે અલગ-અલગ પરિણામો મળતા હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(C) પગલું $1$: $x$ માટે ઉકેલો.
$x = \sqrt[3]{2744}$. કારણ કે $14 \times 14 \times 14 = 2744$,તેથી $x = 14$ મળે છે.
પગલું $2$: $y$ માટે ઉકેલો.
$y = \sqrt{487}$. આપણે જાણીએ છીએ કે $22^2 = 484$ અને $23^2 = 529$ થાય છે. તેથી,$y$ ની કિંમત આશરે $22.068$ છે.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$14 < 22.068$ હોવાથી,$x < y$ સાબિત થાય છે.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $15 x^{2}-41 x+14=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $15 x^{2}-35 x-6 x+14=0$
$5 x(3 x-7)-2(3 x-7)=0$
$(5 x-2)(3 x-7)=0$
તેથી,$x = \frac{2}{5} = 0.4$ અથવા $x = \frac{7}{3} \approx 2.33$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2 y^{2}-13 y+20=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2 y^{2}-8 y-5 y+20=0$
$2 y(y-4)-5(y-4)=0$
$(2 y-5)(y-4)=0$
તેથી,$y = \frac{5}{2} = 2.5$ અથવા $y = 4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = 0.4, x_2 = 2.33$
$y_1 = 2.5, y_2 = 4$
અહીં $x$ ની બંને કિંમતો $y$ ની બંને કિંમતો કરતા નાની છે $(0.4 < 2.5, 0.4 < 4, 2.33 < 2.5, 2.33 < 4)$,તેથી સાબિત થાય છે કે $x < y$.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-8 \sqrt{3} x+45=0$
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો ગુણાકાર $45$ અને સરવાળો $8 \sqrt{3}$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $5 \sqrt{3}$ અને $3 \sqrt{3}$ છે.
$x^{2}-5 \sqrt{3} x-3 \sqrt{3} x+45=0$
$x(x-5 \sqrt{3})-3 \sqrt{3}(x-5 \sqrt{3})=0$
$(x-5 \sqrt{3})(x-3 \sqrt{3})=0$
તેથી,$x = 5 \sqrt{3} \approx 8.66$ અને $x = 3 \sqrt{3} \approx 5.196$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-\sqrt{2} y-24=0$
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો ગુણાકાર $-24$ અને સરવાળો $-\sqrt{2}$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $-4 \sqrt{2}$ અને $3 \sqrt{2}$ છે.
$y^{2}-4 \sqrt{2} y+3 \sqrt{2} y-24=0$
$y(y-4 \sqrt{2})+3 \sqrt{2}(y-4 \sqrt{2})=0$
$(y-4 \sqrt{2})(y+3 \sqrt{2})=0$
તેથી,$y = 4 \sqrt{2} \approx 5.656$ અને $y = -3 \sqrt{2} \approx -4.242$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = 8.66, x_2 = 5.196$
$y_1 = 5.656, y_2 = -4.242$
અહીં $x_1 > y_1$ છે પરંતુ $x_2 < y_1$ છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $x - 7\sqrt{x} + 12 = 0$. ધારો કે $\sqrt{x} = u$,તો $u^2 - 7u + 12 = 0$.
$(u - 3)(u - 4) = 0$,તેથી $u = 3$ અથવા $u = 4$.
આમ,$\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$ અને $\sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y - 5\sqrt{y} + 6 = 0$. ધારો કે $\sqrt{y} = v$,તો $v^2 - 5v + 6 = 0$.
$(v - 2)(v - 3) = 0$,તેથી $v = 2$ અથવા $v = 3$.
આમ,$\sqrt{y} = 2 \Rightarrow y = 4$ અને $\sqrt{y} = 3 \Rightarrow y = 9$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x \in \{9, 16\}$ અને $y \in \{4, 9\}$.
$x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની કિંમતો કરતા મોટી અથવા સમાન હોવાથી $(9 \ge 4, 9 \ge 9, 16 \ge 4, 16 \ge 9)$,આપણે કહી શકીએ કે $x \ge y$.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $63x - 94\sqrt{x} + 35 = 0$
ધારો કે $\sqrt{x} = u$. તો $63u^2 - 94u + 35 = 0$.
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરતા: $63u^2 - 45u - 49u + 35 = 0$.
$9u(7u - 5) - 7(7u - 5) = 0 \Rightarrow (9u - 7)(7u - 5) = 0$.
તેથી,$u = 7/9$ અથવા $u = 5/7$.
આમ,$\sqrt{x} = 7/9 \Rightarrow x = 49/81 \approx 0.6049$ અને $\sqrt{x} = 5/7 \Rightarrow x = 25/49 \approx 0.5102$.
સમીકરણ $II$ માટે: $32y - 52\sqrt{y} + 21 = 0$
ધારો કે $\sqrt{y} = v$. તો $32v^2 - 52v + 21 = 0$.
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરતા: $32v^2 - 24v - 28v + 21 = 0$.
$8v(4v - 3) - 7(4v - 3) = 0 \Rightarrow (8v - 7)(4v - 3) = 0$.
તેથી,$v = 7/8$ અથવા $v = 3/4$.
આમ,$\sqrt{y} = 7/8 \Rightarrow y = 49/64 \approx 0.7656$ અને $\sqrt{y} = 3/4 \Rightarrow y = 9/16 = 0.5625$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x \in \{0.5102, 0.6049\}$ અને $y \in \{0.5625, 0.7656\}$.
અહીં $0.5102 < 0.5625$ અને $0.6049 < 0.7656$ હોવાથી,તમામ કિસ્સાઓમાં $x < y$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-7 \sqrt{3} x-5 \sqrt{5} x+35 \sqrt{15}=0$
$x(x-7 \sqrt{3})-5 \sqrt{5}(x-7 \sqrt{3})=0$
$(x-5 \sqrt{5})(x-7 \sqrt{3})=0$
તેથી,$x = 5 \sqrt{5}$ અથવા $x = 7 \sqrt{3}$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-5 \sqrt{5} y+30=0$
$y^{2}-3 \sqrt{5} y -2 \sqrt{5} y +30=0$
$y(y-3 \sqrt{5})-2 \sqrt{5}(y-3 \sqrt{5})=0$
$(y-2 \sqrt{5})(y-3 \sqrt{5})=0$
તેથી,$y = 2 \sqrt{5}$ અથવા $y = 3 \sqrt{5}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$5 \sqrt{5} \approx 11.18$
$7 \sqrt{3} \approx 12.124$
$2 \sqrt{5} \approx 4.472$
$3 \sqrt{5} \approx 6.708$
અહીં $x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની તમામ કિંમતો કરતા મોટી હોવાથી,$x > y$ મળે છે.

(A) આપેલા સમીકરણો:
$5x + 4y = 41$ ... $(i)$
$4x + 5y = 40$ ... (ii)
ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ (ii) ને $4$ વડે ગુણો:
$25x + 20y = 205$ ... (iii)
$16x + 20y = 160$ ... (iv)
સમીકરણ (iii) માંથી સમીકરણ (iv) બાદ કરતા:
$(25x - 16x) + (20y - 20y) = 205 - 160$
$9x = 45$
$x = 5$
$x = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$5(5) + 4y = 41$
$25 + 4y = 41$
$4y = 16$
$y = 4$
અહીં $x = 5$ અને $y = 4$ હોવાથી,$x > y$ મળે છે.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $\sqrt{x} = \frac{(18)^{15/2}}{x^2}$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $x^{1/2} \cdot x^2 = (18)^{15/2}$
$x^{5/2} = (18)^{15/2}$
બંને બાજુ $2/5$ ઘાત લેતા,$x = (18)^{(15/2) \cdot (2/5)} = 18^3 = 5832$.
સમીકરણ $II$ માટે: $\sqrt{y} = \frac{(19)^{9/2}}{y}$
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $y^{1/2} \cdot y = (19)^{9/2}$
$y^{3/2} = (19)^{9/2}$
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા,$y = (19)^{(9/2) \cdot (2/3)} = 19^3 = 6859$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 5832$ અને $y = 6859$.
તેથી,$5832 < 6859$ હોવાથી,$x < y$ થાય છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $63x - 194\sqrt{x} + 143 = 0$. ધારો કે $\sqrt{x} = u$. તો $63u^2 - 194u + 143 = 0$.
મધ્યમ પદના ભાગ પાડતા: $63 \times 143 = 9009$. $9009$ ના એવા અવયવો જેનો સરવાળો $194$ થાય તે $117$ અને $77$ છે.
$63u^2 - 117u - 77u + 143 = 0 \Rightarrow 9u(7u - 13) - 11(7u - 13) = 0$.
$(9u - 11)(7u - 13) = 0$. તેથી,$u = 11/9$ અથવા $u = 13/7$.
$x_1 = (13/7)^2 = 169/49 \approx 3.45$ અને $x_2 = (11/9)^2 = 121/81 \approx 1.49$.
સમીકરણ $II$ માટે: $99y - 255\sqrt{y} + 150 = 0$. ધારો કે $\sqrt{y} = v$. તો $99v^2 - 255v + 150 = 0$. $3$ વડે ભાગતા: $33v^2 - 85v + 50 = 0$.
મધ્યમ પદના ભાગ પાડતા: $33 \times 50 = 1650$. અવયવો $55$ અને $30$ છે.
$33v^2 - 55v - 30v + 50 = 0 \Rightarrow 11v(3v - 5) - 10(3v - 5) = 0$.
$(11v - 10)(3v - 5) = 0$. તેથી,$v = 10/11$ અથવા $v = 5/3$.
$y_1 = (10/11)^2 = 100/121 \approx 0.83$ અને $y_2 = (5/3)^2 = 25/9 \approx 2.78$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x_1 \approx 3.45, x_2 \approx 1.49$ અને $y_1 \approx 0.83, y_2 \approx 2.78$.
$x_1 > y_2$ છે પરંતુ $x_2 < y_2$ હોવાથી,સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $x - 7\sqrt{3x} + 36 = 0$
ધારો કે $\sqrt{x} = u$. તો $u^2 - 7\sqrt{3}u + 36 = 0$.
અવયવ પાડતા: $u^2 - 4\sqrt{3}u - 3\sqrt{3}u + 36 = 0$
$u(u - 4\sqrt{3}) - 3\sqrt{3}(u - 4\sqrt{3}) = 0$
$(u - 3\sqrt{3})(u - 4\sqrt{3}) = 0$
તેથી,$u = 3\sqrt{3} = \sqrt{27}$ અથવા $u = 4\sqrt{3} = \sqrt{48}$.
આમ,$x = 27$ અથવા $x = 48$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y - 12\sqrt{2y} + 70 = 0$
ધારો કે $\sqrt{y} = v$. તો $v^2 - 12\sqrt{2}v + 70 = 0$.
અવયવ પાડતા: $v^2 - 7\sqrt{2}v - 5\sqrt{2}v + 70 = 0$
$v(v - 7\sqrt{2}) - 5\sqrt{2}(v - 7\sqrt{2}) = 0$
$(v - 5\sqrt{2})(v - 7\sqrt{2}) = 0$
તેથી,$v = 5\sqrt{2} = \sqrt{50}$ અથવા $v = 7\sqrt{2} = \sqrt{98}$.
આમ,$y = 50$ અથવા $y = 98$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x \in \{27, 48\}$ અને $y \in \{50, 98\}$.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x < y$ થાય છે.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-7 \sqrt{7} x+84=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $x^{2}-4 \sqrt{7} x-3 \sqrt{7} x+84=0$
$x(x-4 \sqrt{7})-3 \sqrt{7}(x-4 \sqrt{7})=0$
$(x-4 \sqrt{7})(x-3 \sqrt{7})=0$
તેથી,$x = 4 \sqrt{7}$ અથવા $x = 3 \sqrt{7}$.
અહીં $\sqrt{7} \approx 2.646$ હોવાથી,$x \approx 10.58$ અથવા $x \approx 7.94$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-5 \sqrt{5} y+30=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $y^{2}-3 \sqrt{5} y-2 \sqrt{5} y+30=0$
$y(y-3 \sqrt{5})-2 \sqrt{5}(y-3 \sqrt{5})=0$
$(y-3 \sqrt{5})(y-2 \sqrt{5})=0$
તેથી,$y = 3 \sqrt{5}$ અથવા $y = 2 \sqrt{5}$.
અહીં $\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$y \approx 6.71$ અથવા $y \approx 4.47$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની તમામ કિંમતો કરતા મોટી છે.
તેથી,$x > y$.

(D) સમીકરણ $I: x^{2}-2x-15=0$ માટે
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડીએ: $x^{2}-5x+3x-15=0$
$x(x-5)+3(x-5)=0$
$(x-5)(x+3)=0$
આમ,ઉકેલ $x = 5$ અને $x = -3$ મળે છે.
સમીકરણ $II: y^{2}+5y+6=0$ માટે
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડીએ: $y^{2}+3y+2y+6=0$
$y(y+3)+2(y+3)=0$
$(y+3)(y+2)=0$
આમ,ઉકેલ $y = -3$ અને $y = -2$ મળે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 5$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $5 > -3$ અને $5 > -2$).
જો $x = -3$ હોય,તો $x = y$ (જ્યારે $y = -3$) અને $x < y$ (કારણ કે $-3 < -2$).
આમ,પસંદ કરેલા ઉકેલોના આધારે સંબંધ બદલાતો હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(B) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$x - \sqrt{169} = 0$
$x - 13 = 0$
$x = 13$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^2 - 169 = 0$
$y^2 = 169$
$y = \pm \sqrt{169}$
$y = 13$ અથવા $y = -13$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
જો $x = 13$ અને $y = 13$ હોય,તો $x = y$ થાય.
જો $x = 13$ અને $y = -13$ હોય,તો $x > y$ થાય.
આ પરિણામોને જોડતા,આપણને $x \ge y$ મળે છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2} - 25 = 0 \Rightarrow x^{2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5$.
તેથી,$x = 5$ અથવા $x = -5$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2} - 9y + 20 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2} - 5y - 4y + 20 = 0 \Rightarrow y(y - 5) - 4(y - 5) = 0 \Rightarrow (y - 5)(y - 4) = 0$.
તેથી,$y = 5$ અથવા $y = 4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 5$ હોય,તો $x = y$ (જ્યારે $y = 5$) અને $x > y$ (જ્યારે $y = 4$).
જો $x = -5$ હોય,તો $x < y$ (કારણ કે $-5 < 4$ અને $-5 < 5$).
આમ,પસંદ કરેલી કિંમતોને આધારે આપણને અલગ-અલગ પરિણામો ($x = y$,$x > y$,અને $x < y$) મળે છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(A) આપેલા સમીકરણો:
$I. 7x + 3y = 77$
$II. 2x + 5y = \sqrt{2601} = 51$
સમીકરણ ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $I$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $II$ ને $7$ વડે ગુણો:
$14x + 6y = 154$
$14x + 35y = 357$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(14x + 35y) - (14x + 6y) = 357 - 154$
$29y = 203$
$y = 203 / 29 = 7$
$y = 7$ ની કિંમત સમીકરણ $II$ માં મૂકતા:
$2x + 5(7) = 51$
$2x + 35 = 51$
$2x = 16$
$x = 8$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 8$ અને $y = 7$,તેથી $x > y$.

(A) સમીકરણ $I$ માટે:
$(289)^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{324} = 203$
$17x - 18 = 203$
$17x = 203 + 18$
$17x = 221$
$x = \frac{221}{17} = 13$
સમીકરણ $II$ માટે:
$(484)^{\frac{1}{2}} y - \sqrt{225} = 183$
$22y - 15 = 183$
$22y = 183 + 15$
$22y = 198$
$y = \frac{198}{22} = 9$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 13$ અને $y = 9$ મળે છે. તેથી,$x > y$.

(B) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો:
$679 x^{2} - 168 x^{2} = 3066$
$511 x^{2} = 3066$
$x^{2} = \frac{3066}{511} = 6$
$x = \pm \sqrt{6} \approx \pm 2.45$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો:
$\sqrt{144} y^{3} - 9 y^{3} = 1536$
$12 y^{3} - 9 y^{3} = 1536$
$3 y^{3} = 1536$
$y^{3} = \frac{1536}{3} = 512$
$y = \sqrt[3]{512} = 8$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો:
$x = \pm 2.45$ અને $y = 8$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $x < y$.

(A) આપેલા સમીકરણો:
$I. \quad 3x + 4y = \sqrt{1681} = 41$
$II. \quad 3x + 2y = \sqrt{961} = 31$
સમીકરણ $I$ માંથી સમીકરણ $II$ બાદ કરતા:
$(3x + 4y) - (3x + 2y) = 41 - 31$
$2y = 10 \Rightarrow y = 5$
હવે $y = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $II$ માં મૂકતા:
$3x + 2(5) = 31$
$3x + 10 = 31$
$3x = 21 \Rightarrow x = 7$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 7$ અને $y = 5$,તેથી $x > y$ મળે છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $3x^2 - 6x - \sqrt{17}x + 2\sqrt{17} = 0$
$3x(x - 2) - \sqrt{17}(x - 2) = 0$
$(x - 2)(3x - \sqrt{17}) = 0$
તેથી,$x = 2$ અથવા $x = \frac{\sqrt{17}}{3} \approx 1.37$.
સમીકરણ $II$ માટે: $5y^2 - 15y + \sqrt{17}y - 3\sqrt{17} = 0$
$5y(y - 3) + \sqrt{17}(y - 3) = 0$
$(y - 3)(5y + \sqrt{17}) = 0$
તેથી,$y = 3$ અથવા $y = -\frac{\sqrt{17}}{5} \approx -0.82$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો ${2, 1.37}$ છે અને $y$ ની કિંમતો ${3, -0.82}$ છે.
અહીં $x=2, y=3$ માટે $x < y$ થાય છે અને $x=1.37, y=-0.82$ માટે $x > y$ થાય છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-16x+63=0$
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $63$ અને સરવાળો $16$ થાય. તે $9$ અને $7$ છે.
$x^{2}-9x-7x+63=0$
$x(x-9)-7(x-9)=0$
$(x-9)(x-7)=0$
તેથી,$x = 9$ અથવા $x = 7$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-2y-35=0$
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $-35$ અને સરવાળો $-2$ થાય. તે $-7$ અને $5$ છે.
$y^{2}-7y+5y-35=0$
$y(y-7)+5(y-7)=0$
$(y-7)(y+5)=0$
તેથી,$y = 7$ અથવા $y = -5$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x=9$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $y$ એ $7$ અથવા $-5$ છે).
જો $x=7$ હોય,તો $x \ge y$ (કારણ કે $y$ એ $7$ અથવા $-5$ છે).
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \ge y$ મળે છે.

(B) જથ્થો $I$: ધારો કે દરેક શર્ટની મૂળ કિંમત $(CP)$ $Rs. 100$ છે.
કુલ $CP = 100 + 100 = Rs. 200$.
$20 \%$ નફા પર પ્રથમ શર્ટની વેચાણ કિંમત $(SP)$ $= 100 \times 1.20 = Rs. 120$.
$10 \%$ નુકસાન પર બીજા શર્ટની વેચાણ કિંમત $(SP)$ $= 100 \times 0.90 = Rs. 90$.
કુલ $SP = 120 + 90 = Rs. 210$.
કુલ નફાની ટકાવારી $= \frac{210 - 200}{200} \times 100 = \frac{10}{200} \times 100 = 5 \%$.
જથ્થો $II$: ધારો કે $1 \, m$ કાપડની $CP = Rs. x$ છે.
$20 \, m$ કાપડ પરનો નફો $= 5 \, m$ કાપડની $CP = 5x$.
નફાની ટકાવારી $= \frac{\text{નફો}}{\text{કુલ } CP} \times 100 = \frac{5x}{20x} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25 \%$.
બંને જથ્થાની સરખામણી કરતા: $5 \% < 25 \%$,તેથી જથ્થો $I < $ જથ્થો $II$.

(B) સમઘનની ધાર $a = 7 \, cm$.
$Quantity \, I$: બાકી રહેલા સમઘનનું ઘનફળ.
સમઘનનું ઘનફળ $= a^3 = 7^3 = 343 \, cm^3$.
સૌથી મોટા નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi (3.5)^2 (7) = \frac{22}{7} \times 12.25 \times 7 = 269.5 \, cm^3$.
બાકી રહેલું ઘનફળ $= 343 - 269.5 = 73.5 \, cm^3$.
$Quantity \, II$: બાકી રહેલા સમઘનનું પૃષ્ઠફળ.
મૂળ પૃષ્ઠફળ $= 6a^2 = 6(49) = 294 \, cm^2$.
જ્યારે નળાકાર કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ઉપર અને નીચેની સપાટીમાંથી બે વર્તુળાકાર ભાગ દૂર થાય છે,પરંતુ નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઉમેરાય છે.
બાકી રહેલું પૃષ્ઠફળ $= (6a^2 - 2 \pi r^2) + 2 \pi r h = 294 - 2(\frac{22}{7})(3.5)^2 + 2(\frac{22}{7})(3.5)(7) = 294 - 77 + 154 = 371 \, cm^2$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $73.5 < 371$,તેથી $Quantity \, I < Quantity \, II$.

(D) શરૂઆતનું મિશ્રણ: પાણી $= 2.5 \, \text{L}$,દૂધ $= 10 \, \text{L}$. કુલ $= 12.5 \, \text{L}$.
$20 \%$ $(1/5)$ દૂર કર્યા પછી: બાકી રહેલું પાણી $= 2.5 - (0.2 \times 2.5) = 2 \, \text{L}$. બાકી રહેલું દૂધ $= 10 - (0.2 \times 10) = 8 \, \text{L}$.
શરૂઆતનો ગુણોત્તર (પાણી:દૂધ) $= 2:8 = 1:4$.
ગુણોત્તર $4:1$ કરવા માટે $x$ લીટર પાણી ઉમેરતા: $\frac{2+x}{8} = \frac{4}{1} \Rightarrow 2+x = 32 \Rightarrow x = 30 \, \text{L}$.
હવે,મિશ્રણમાં પાણી $= 32 \, \text{L}$,દૂધ $= 8 \, \text{L}$ છે.
ગુણોત્તર ફરીથી $1:4$ કરવા માટે $y$ લીટર દૂધ ઉમેરતા: $\frac{32}{8+y} = \frac{1}{4} \Rightarrow 128 = 8+y \Rightarrow y = 120 \, \text{L}$.
આમ,$y = 120$ અને $Quantity \, 2 = 120$ હોવાથી,$Quantity \, I = Quantity \, II$ થાય છે.

(B) ધારો કે કુલ કામ $16$ અને $32$ નો લસાઅ $32$ એકમ છે.
$P$ ની કાર્યક્ષમતા $= 32 / 16 = 2$ એકમ/દિવસ.
$Q$ ની કાર્યક્ષમતા $= 32 / 32 = 1$ એકમ/દિવસ.
જથ્થો $I$ ($P$ પ્રથમ શરૂ કરે છે):
દિવસ $1$: $P$ $2$ એકમ કરે છે. દિવસ $2$: $Q$ $1$ એકમ કરે છે. $2$ દિવસમાં કુલ $3$ એકમ.
$20$ દિવસમાં ($10$ ચક્ર),$30$ એકમ પૂર્ણ થાય છે.
$21$મા દિવસે,$P$ $2$ એકમ કરે છે. કુલ $32$ એકમ કામ $21$ દિવસમાં પૂર્ણ થાય છે.
જથ્થો $II$ ($Q$ પ્રથમ શરૂ કરે છે):
દિવસ $1$: $Q$ $1$ એકમ કરે છે. દિવસ $2$: $P$ $2$ એકમ કરે છે. $2$ દિવસમાં કુલ $3$ એકમ.
$20$ દિવસમાં ($10$ ચક્ર),$30$ એકમ પૂર્ણ થાય છે.
$21$મા દિવસે,$Q$ $1$ એકમ કરે છે. બાકી રહેલું કામ $32 - 31 = 1$ એકમ.
$P$ બાકીનું $1$ એકમ $1/2$ દિવસમાં પૂર્ણ કરે છે.
કુલ સમય $= 21.5$ દિવસ.
આમ,$21 < 21.5$,તેથી જથ્થો $I < $ જથ્થો $II$.

(B) $1$. $AD$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle ABD = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળનો ખૂણો).
$2$. $\triangle PBD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle P + \angle PBD + \angle BDP = 180^{\circ}$. $\angle PBD = 90^{\circ}$ હોવાથી,$20^{\circ} + 90^{\circ} + \angle BDP = 180^{\circ}$,એટલે કે $\angle BDP = 70^{\circ}$.
$3$. $\triangle ABD$ માં,$\angle ADB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 90^{\circ} = 50^{\circ}$. આ જથ્થો $II$ છે.
$4$. $\angle BCD = \angle DAB = 40^{\circ}$ (સમાન ચાપ દ્વારા બનતા ખૂણા).
$5$. $\triangle BCD$ માં,$\angle DBC = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 110^{\circ} = 30^{\circ}$. આ જથ્થો $I$ છે.
$6$. આમ,જથ્થો $I < $ જથ્થો $II$.

(A) $Quantity$ $1$ માટે: ધારો કે ત્રિજ્યા $r = 7x$ અને ઊંચાઈ $h = 10x$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = 12320 \, cm^3$.
$\frac{22}{7} \times (7x)^2 \times (10x) = 12320$.
$\frac{22}{7} \times 49x^2 \times 10x = 12320$.
$22 \times 7x^3 \times 10 = 12320$.
$1540x^3 = 12320$.
$x^3 = \frac{12320}{1540} = 8$.
$x = 2$.
ઊંચાઈ $h = 10x = 10 \times 2 = 20 \, cm$.
$Quantity$ $2$ માટે: શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (2)^2 \times 3 = 4\pi \, cm^3$.
આને $2 \, cm$ ત્રિજ્યાવાળા નળાકારમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. ધારો કે ઊંચાઈ $H$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi R^2 H = \pi \times (2)^2 \times H = 4\pi H$.
ઘનફળને સરખાવતા: $4\pi H = 4\pi$.
$H = 1 \, cm$.
$Quantity$ $1$ $(20 \, cm)$ અને $Quantity$ $2$ $(1 \, cm)$ ની સરખામણી કરતા: $Quantity$ $I > Quantity$ $II$.

(C) Quantity $1: p^{2}-18 p+77=0$
$\Rightarrow p^{2}-11 p-7 p+77=0$
$\Rightarrow (p-11)(p-7)=0$
$\Rightarrow p = 11, 7$
Quantity $2: 3 q^{2}-25 q+28=0$
$\Rightarrow 3 q^{2}-21 q-4 q+28=0$
$\Rightarrow 3 q(q-7)-4(q-7)=0$
$\Rightarrow (3 q-4)(q-7)=0$
$\Rightarrow q = 7, \frac{4}{3} \approx 1.33$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $p$ માટેની કિંમતોનો સમૂહ ${7, 11}$ છે અને $q$ માટે ${1.33, 7}$ છે.
$p$ ની તમામ કિંમતો $q$ ની કિંમતો કરતા મોટી અથવા સમાન હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે Quantity $1 \geq$ Quantity $2$.