QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(B) $Quantity \, 1$: ધારો કે પ્રવાહની ઝડપ $x \, m/min$ છે.
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતો સમય $T_1 = \frac{200}{48-x}$ અને પ્રવાહની દિશામાં લાગતો સમય $T_2 = \frac{200}{48+x}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 - T_2 = 10$,તેથી $\frac{200}{48-x} - \frac{200}{48+x} = 10$.
$10$ વડે ભાગતા: $\frac{20}{48-x} - \frac{20}{48+x} = 1$.
$20(48+x) - 20(48-x) = (48-x)(48+x) \Rightarrow 960 + 20x - 960 + 20x = 2304 - x^2$.
$x^2 + 40x - 2304 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(x+72)(x-32) = 0$. ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 32 \, m/min$.
$Quantity \, 2$: વર્તુળાકાર માર્ગના $3$ ચક્કરમાં કાપેલું અંતર $3 \times (2 \pi r) = 3 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 49 = 3 \times 2 \times 22 \times 7 = 924 \, m$ છે.
ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{924}{14} = 66 \, m/min$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$32 < 66$,તેથી Quantity $I < $ Quantity $II$.

(C) ધારો કે $m$,$w$,અને $b$ એ અનુક્રમે પુરુષ,સ્ત્રી અને છોકરાની કાર્યક્ષમતા છે.
આપેલ છે: $(10m + 15w) \times 8 = (12m + 8w) \times 10$
$80m + 120w = 120m + 80w$
$40w = 40m \implies m = w$.
છોકરો પુરુષ કરતા $50\%$ ઓછો કાર્યક્ષમ હોવાથી,$b = 0.5m$,એટલે કે $m = 2b$.
કુલ કામ = $(10m + 15m) \times 8 = 25m \times 8 = 200m$ એકમો.
Quantity $I$: $2m + 4w + 18b = 2m + 4m + 9m = 15m$. સમય = $200m / 15m = 40/3$ દિવસ.
Quantity $II$: $9m + 3w + 6b = 9m + 3m + 3m = 15m$. સમય = $200m / 15m = 40/3$ દિવસ.
તેથી,Quantity $I =$ Quantity $II$.

(C) ધારો કે બાબુની સામાન્ય ઝડપ $v \, km/h$ છે અને ઓફિસ પહોંચવા માટેનો સમય $T$ છે. તેના ઘરથી ઓફિસનું અંતર $D = v \times T$ છે.
બાબુ તેની ગર્લફ્રેન્ડને રસ્તામાં એક બિંદુ $P$ પર મળે છે. ધારો કે ગર્લફ્રેન્ડને $3:00 \, PM$ થી મીટિંગ પોઈન્ટ સુધી ચાલવામાં લાગતો સમય $t_g$ છે અને કાપેલું અંતર $d_g = 40 \times t_g$ છે.
બાબુ તેના ઘરેથી બિંદુ $P$ સુધી $t_b$ સમયમાં મુસાફરી કરે છે. તેઓ બિંદુ $P$ પર મળે છે,તેથી ઘરથી $P$ સુધીનું અંતર $v \times t_b$ છે.
સામાન્ય રીતે,બાબુ $5:00 \, PM$ વાગ્યે ઓફિસ પહોંચે છે. જો તે $t_0$ સમયે નીકળે,તો $T = 5 - t_0$.
જે પરિસ્થિતિમાં તેઓ મળે છે,તેઓ સામાન્ય સમય કરતા $40 \, min$ $(2/3 \, hr)$ વહેલા ઘરે પહોંચે છે. આનો અર્થ એ છે કે કુલ બચાવેલ સમય $40 \, min$ છે.
બાબુ બિંદુ $P$ થી ઓફિસ અને પાછા બિંદુ $P$ સુધી મુસાફરી કરવામાં જે સમય વિતાવત તે બચાવે છે. ગર્લફ્રેન્ડે $2$ કલાક ($3:00 \, PM$ થી $5:00 \, PM$ સમકક્ષ) ચાલ્યા. સાપેક્ષ ગતિના સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $v = 120 \, km/h$ મળે છે.
આમ,જથ્થો $I = 120 \, km/h$ અને જથ્થો $II = 120 \, km/h$.
તેથી,જથ્થો $I$ અને જથ્થો $II$ સમાન છે.

(B) ધારો કે છાપેલી કિંમત $(MP)$ $= 700x$ છે.
આપેલ છે કે મૂળ કિંમત $(CP)$ એ $MP$ ના $79 \frac{2}{7} \%$ છે,તેથી $CP = \frac{555}{700} \times 700x = 555x$.
વળતર $Rs. \,68$ છે,તેથી વેચાણ કિંમત $(SP)$ $= 700x - 68$ થાય.
$20 \%$ નફો થતો હોવાથી,$SP = CP \times (1 + \frac{20}{100}) = 555x \times 1.2 = 666x$.
$SP$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $666x = 700x - 68$.
$34x = 68$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
તેથી,જથ્થો $I$ $(CP)$ $= 555 \times 2 = 1110$.
જથ્થો $II = 1200$.
આમ,$1110 < 1200$ હોવાથી,જથ્થો $I < $ જથ્થો $II$ છે.

(B) ધારો કે મનોજ અને શુભમને સાથે મળીને કામ પૂરું કરવા માટે $x \, \text{hrs}$ લાગે છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
મનોજને એકલાને લાગતો સમય = $(x + 4.8) \, \text{hrs}$.
શુભમને એકલાને લાગતો સમય = $(x + 10.8) \, \text{hrs}$.
કામ-સમયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{x + 4.8} + \frac{1}{x + 10.8}$
આવા પ્રશ્નો માટે,ટૂંકી રીતનું સૂત્ર $x = \sqrt{a \times b}$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ એ વ્યક્તિગત રીતે લાગતો વધારાનો સમય છે.
$x = \sqrt{4.8 \times 10.8}$
$x = \sqrt{\frac{48}{10} \times \frac{108}{10}}$
$x = \sqrt{\frac{5184}{100}}$
$x = \frac{72}{10} = 7.2 \, \text{hrs}$.
Quantity $1 = 7.2 \, \text{hrs}$.
Quantity $2 = 7.4 \, \text{hrs}$.
તેથી $7.2 < 7.4$,એટલે કે Quantity $1 < $ Quantity $2$.

(B) $Quantity \, 1:$
ધારો કે એકમ દીઠ વાસ્તવિક ખરીદ કિંમત $1$ છે. ખરીદતી વખતે,તે $100$ એકમની કિંમતે $110$ એકમ મેળવે છે. તેથી,એકમ દીઠ અસરકારક ખરીદ કિંમત $= \frac{100}{110}$.
વેચાણ કરતી વખતે,તે દરેક $100$ એકમના વાયદા સામે $90$ એકમ આપે છે. તે વેચાણ કિંમત પર $10 \%$ ડિસ્કાઉન્ટ પણ આપે છે. ધારો કે છાપેલી કિંમત $1$ પ્રતિ એકમ છે. વેચાણ કિંમત $= 0.9$ પ્રતિ એકમ.
અસરકારક નફાની ગણતરી: તે $100$ માં $110$ એકમ ખરીદે છે અને $0.9 \times 90 = 81$ માં $90$ એકમ વેચે છે.
નફાની ટકાવારી $= \frac{81 - 100/110}{100/110} \times 100 = 10 \%$.
$Quantity \, 2:$
ખરીદ કિંમત $= CP$. છાપેલી કિંમત $= 1.25 CP$. વેચાણ કિંમત $= 1.25 CP \times 0.9 = 1.125 CP$.
વેચાણ કિંમત પર નફો $= \frac{SP - CP}{SP} \times 100 = \frac{1.125 CP - CP}{1.125 CP} \times 100 = \frac{0.125}{1.125} \times 100 = 11.11 \%$.
$10 \% < 11.11 \%$ હોવાથી,Quantity $I < $ Quantity $II$.

(A) $Quantity \, 1:$
ધારો કે મૂળ સમયગાળો $t$ કલાક છે અને મૂળ ઝડપ $s$ કિમી/કલાક છે.
આપેલ છે,$s \times t = 3000 \implies s = \frac{3000}{t}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$(s - 100)(t + 1) = 3000$.
સમીકરણમાં $s = \frac{3000}{t}$ મૂકતા:
$(\frac{3000}{t} - 100)(t + 1) = 3000$
$3000 + \frac{3000}{t} - 100t - 100 = 3000$
$\frac{3000}{t} - 100t - 100 = 0$
$100$ વડે ભાગતા: $\frac{30}{t} - t - 1 = 0$
$30 - t^2 - t = 0 \implies t^2 + t - 30 = 0$
$(t + 6)(t - 5) = 0$. સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 5 \, hours$.
$Quantity \, 2:$
ધારો કે સામાન્ય ઝડપ $v$ છે અને સામાન્ય સમય $T$ છે.
નવી ઝડપ $= \frac{3}{4}v$. અંતર સમાન હોવાથી,સમય ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
નવો સમય $= \frac{4}{3}T$.
આપેલ છે,$\frac{4}{3}T - T = 20 \, minutes$.
$\frac{1}{3}T = 20 \, minutes \implies T = 60 \, minutes = 1 \, hour$.
$Quantity \, 1$ $(5 \, hours)$ અને $Quantity \, 2$ $(1 \, hour)$ ની સરખામણી કરતા,$Quantity \, I > Quantity \, II$ મળે છે.

(D) નાના પૈડાનો પરિઘ $C_1 = \pi d_1 = 7\pi \,cm$ છે.
મોટા પૈડાનો પરિઘ $C_2 = \pi d_2 = 14\pi \,cm$ છે.
ધારો કે બંને પૈડાં પ્રતિ સેકન્ડ $n$ પરિભ્રમણ કરે છે.
નાના પૈડાની ઝડપ $v_1 = 7\pi n \,cm/s$ અને મોટા પૈડાની ઝડપ $v_2 = 14\pi n \,cm/s$ છે.
તેઓ એકબીજાની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $v_1 + v_2 = (7\pi n + 14\pi n) = 21\pi n \,cm/s$ થાય.
તેઓ $10 \,s$ પછી $1990.50 \,cm$ અંતર કાપીને મળે છે.
તેથી,$(21\pi n) \times 10 = 1990.50$.
$210\pi n = 1990.50$.
$n = \frac{1990.50}{210\pi} \approx 3$ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ.
નાના પૈડાની ઝડપ $= 7\pi \times 3 = 21\pi \,cm/s$.
આમ,જથ્થો $1 = 21\pi \,cm/s$,જે જથ્થા $2$ ની બરાબર છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,જો તેના બીજ સમાન હોય તો વિવેચક $D = b^{2}-4ac = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: $2 k x^{2}+5 k x+2=0$.
અહીં,$a=2k$,$b=5k$,અને $c=2$ છે.
વિવેચકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(5k)^{2} - 4(2k)(2) = 0$
$25k^{2} - 16k = 0$
$k$ સામાન્ય લેતા:
$k(25k - 16) = 0$
આનાથી $k$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $k=0$ અથવા $25k-16=0$.
જો $k=0$ હોય,તો સમીકરણ $2=0$ બની જાય છે,જે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી. તેથી,$k \neq 0$.
આમ,$25k = 16$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{16}{25}$.

(B) ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $b \text{ cm}$ છે.
તેથી,લંબચોરસની લંબાઈ $l = b + 3 \text{ cm}$ થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = (b + 3)b = b^2 + 3b$ થાય.
$r = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{11}} \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times \left(\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{11}}\right)^2$ થાય.
$A = \frac{22}{7} \times \frac{35}{11} = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}^2$.
બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા: $b^2 + 3b = 10$.
$b^2 + 3b - 10 = 0$.
$(b + 5)(b - 2) = 0$.
પહોળાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $b = 2 \text{ cm}$.
તેથી,લંબાઈ $l = 2 + 3 = 5 \text{ cm}$ થાય.
આમ,લંબચોરસના પરિમાણો $5 \text{ cm} \times 2 \text{ cm}$ છે.

(C) ધારો કે પાઇપની ત્રિજ્યા $r$ અને લંબાઈ $l$ છે.
આપેલ છે કે પાઇપની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) $2 \pi r l = 628 \, m^2$ છે.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$2 \times 3.14 \times r \times l = 628$,જેનું સાદું રૂપ $r \times l = 100$ થાય છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ અને ત્રિજ્યા વચ્ચેનો તફાવત $15 \, m$ છે,તેથી $l - r = 15$,એટલે કે $l = r + 15$.
$r \times l = 100$ સમીકરણમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $r(r + 15) = 100$ મળે છે,જે $r^2 + 15r - 100 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(r + 20)(r - 5) = 0$.
ત્રિજ્યા ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $r = 5 \, m$.
તેથી,$l = 5 + 15 = 20 \, m$.
જો પાઇપ એક છેડેથી બંધ હોય,તો તે નળાકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જેનું ઘનફળ $V = \pi r^2 l$ છે.
$V = 3.14 \times (5)^2 \times 20 = 3.14 \times 25 \times 20 = 3.14 \times 500 = 1570 \, m^3$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = 0$ હોય,તો તેના બીજ સમાન હોય છે.
આપેલ સમીકરણ $2 k x^{2} + 5 k x + 2 = 0$ માં,$a = 2k$,$b = 5k$,અને $c = 2$ છે.
વિવેચકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(5k)^{2} - 4(2k)(2) = 0$
$25k^{2} - 16k = 0$
$k$ સામાન્ય લેતા:
$k(25k - 16) = 0$
આથી બે શક્યતાઓ મળે છે: $k = 0$ અથવા $25k - 16 = 0$.
જો $k = 0$ હોય,તો સમીકરણ $2 = 0$ બને છે,જે શક્ય નથી. તેથી,$k \neq 0$.
આમ,$25k - 16 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{16}{25}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $2\alpha$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
બીજનો સરવાળો $= \alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{3a} \quad (1)$
બીજનો ગુણાકાર $= \alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^{2} = \frac{c}{a} \implies \alpha^{2} = \frac{c}{2a} \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{b}{3a}\right)^{2} = \frac{c}{2a}$
$\frac{b^{2}}{9a^{2}} = \frac{c}{2a}$
$2b^{2} = 9a^{2} \cdot \frac{c}{a}$
$2b^{2} = 9ac$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x+a} + \frac{1}{x+b} = \frac{1}{c}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા:
$\frac{(x+b) + (x+a)}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{c}$
$\frac{2x + a + b}{x^2 + x(a+b) + ab} = \frac{1}{c}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$c(2x + a + b) = x^2 + x(a+b) + ab$
$2cx + c(a+b) = x^2 + x(a+b) + ab$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x^2 + x(a+b-2c) + (ab - c(a+b)) = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-B/A$ થાય છે. આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો $0$ છે:
$-(a+b-2c) = 0 \Rightarrow a+b = 2c$
બીજનો ગુણાકાર $C/A = ab - c(a+b)$ થાય છે.
$c = \frac{a+b}{2}$ કિંમત મૂકતા:
ગુણાકાર $= ab - \left(\frac{a+b}{2}\right)(a+b) = ab - \frac{(a+b)^2}{2}$
$= \frac{2ab - (a^2 + 2ab + b^2)}{2} = \frac{2ab - a^2 - 2ab - b^2}{2} = \frac{-(a^2 + b^2)}{2} = -\frac{1}{2}(a^2 + b^2)$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3y+1} = \sqrt{y-1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$3y + 1 = y - 1$
$y$ માટે ઉકેલવા પદોને ગોઠવતા:
$3y - y = -1 - 1$
$2y = -2$
$y = -1$
હવે,મૂળ સમીકરણમાં $y = -1$ મૂકીને બીજની ચકાસણી કરતા:
ડાબી બાજુ: $\sqrt{3(-1) + 1} = \sqrt{-3 + 1} = \sqrt{-2}$
કારણ કે $\sqrt{-2}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી,તેથી $y = -1$ એ અવાસ્તવિક બીજ છે.
આમ,આપેલ સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+3ax+c=0$ છે.
ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -3a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c$ થાય.
આપણને $\alpha^{2}+\beta^{2}=5$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$.
આ નિત્યસમમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $5 = (-3a)^{2} - 2(c)$.
$5 = 9a^{2} - 2c$.
$9a^{2} = 5 + 2c$.
$a^{2} = \frac{5+2c}{9}$.
તેથી,$a = \pm \sqrt{\frac{5+2c}{9}}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી કિંમત $\sqrt{\frac{5+2c}{9}}$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+3ax+2a^{2}=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -\frac{b}{a_{coeff}} = -3a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a_{coeff}} = 2a^{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$.
આપેલ છે કે $\alpha^{2}+\beta^{2} = 5$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$5 = (-3a)^{2} - 2(2a^{2})$
$5 = 9a^{2} - 4a^{2}$
$5 = 5a^{2}$
$a^{2} = 1$
$a = \pm 1$.

(B) આપેલ છે કે $x+\frac{1}{x}=2.$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલ સમીકરણની બંને બાજુઓનો વર્ગ કરીએ:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} = 2^{2}$
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) = 4$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 = 4$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 4 - 2$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$

(D) આપેલ છે કે $x+\frac{1}{x}=3.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=3^{2} \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=9 \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7.$
હવે,ફરીથી વર્ગ કરતા,$\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}=7^{2} \Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=49 \Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=47.$
અંતે,ફરી એકવાર વર્ગ કરતા,$\left(x^{4}+\frac{1}{x^{4}}\right)^{2}=47^{2} \Rightarrow x^{8}+\frac{1}{x^{8}}+2=2209 \Rightarrow x^{8}+\frac{1}{x^{8}}=2207.$

(D) આપેલ છે: $x+y=3$ અને $xy=2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$.
કિંમતો મૂકતા: $(x-y)^2 = 3^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1$.
તેથી,$x-y = 1$ (ધારો કે $x > y$).
હવે,આપણે નિત્યસમ $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+y^2+xy)$ નો ઉપયોગ કરીએ.
આને આ રીતે પણ લખી શકાય: $x^3-y^3 = (x-y)((x+y)^2 - xy)$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $x^3-y^3 = 1 \times (3^2 - 2) = 1 \times (9 - 2) = 7$.

(C) આપેલ છે: $x-\frac{1}{x}=\sqrt{21}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x+\frac{1}{x})^2 = (x-\frac{1}{x})^2 + 4$.
કિંમત મૂકતા: $(x+\frac{1}{x})^2 = (\sqrt{21})^2 + 4 = 21 + 4 = 25$.
તેથી,$x+\frac{1}{x} = \sqrt{25} = 5$.
હવે,$x^2+\frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})^2 + 2 = (\sqrt{21})^2 + 2 = 21 + 2 = 23$.
અંતે,$(x^2+\frac{1}{x^2})(x+\frac{1}{x}) = 23 \times 5 = 115$.

(B) આપેલ છે કે $a+b+c=0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$.
અહીં $a+b+c=0$ હોવાથી,સમીકરણની જમણી બાજુ શૂન્ય થઈ જશે:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 0 \times (a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) = 0$.
તેથી,$a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$.

(C) આપેલ છે: $x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ અને $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
$x$ નું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.
$y$ નું સંમેયીકરણ કરતા:
$y = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$.
હવે,$x^{2}+y^{2}$ ની ગણતરી કરતા:
$x^{2}+y^{2} = (2+\sqrt{3})^{2} + (2-\sqrt{3})^{2}$.
નિત્યસમ $(a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2(a^{2}+b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^{2}+y^{2} = 2(2^{2} + (\sqrt{3})^{2}) = 2(4+3) = 2(7) = 14$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b)$
પગલું $1$: નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ નો ઉપયોગ કરો.
તેથી,$(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$.
પગલું $2$: આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})$
પગલું $3$: નિત્યસમ $(x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}$ નો ઉપયોગ કરો,જ્યાં $x=a^{2}$ અને $y=b^{2}$ છે:
$(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2}) = (a^{2})^{2}-(b^{2})^{2} = a^{4}-b^{4}$.
પગલું $4$: હવે બાકીના પદોનો ગુણાકાર કરો:
$(a^{4}+b^{4})(a^{4}-b^{4})$
પગલું $5$: ફરીથી નિત્યસમ $(x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}$ નો ઉપયોગ કરો,જ્યાં $x=a^{4}$ અને $y=b^{4}$ છે:
$(a^{4})^{2}-(b^{4})^{2} = a^{8}-b^{8}$.

(C) આપેલ છે કે $x-\frac{1}{x}=a$.
આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x-y)^{3}=x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)$ જાણીએ છીએ.
આ નિત્યસમમાં $y = \frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{3}=x^{3}-\left(\frac{1}{x}\right)^{3}-3(x)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{3}=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3\left(x-\frac{1}{x}\right)$.
હવે,આપેલ કિંમત $x-\frac{1}{x}=a$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^{3}=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(a)$.
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=a^{3}+3a$.

(C) આપેલ છે કે $x = 2^{1/3} - 2^{-1/3}$.
આપણે $2x^3 + 6x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૌ પ્રથમ,સમીકરણ $x = 2^{1/3} - 2^{-1/3}$ ની બંને બાજુ ઘન કરતા:
$x^3 = (2^{1/3} - 2^{-1/3})^3$
નિત્યસમ $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^3 = (2^{1/3})^3 - (2^{-1/3})^3 - 3(2^{1/3})(2^{-1/3})(2^{1/3} - 2^{-1/3})$
$x^3 = 2 - 2^{-1} - 3(1)(x)$
$x^3 = 2 - 1/2 - 3x$
$x^3 = 3/2 - 3x$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2x^3 = 3 - 6x$
પદોને ગોઠવતા:
$2x^3 + 6x = 3$.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \frac{(a-b)^{2}}{(b-c)(c-a)} + \frac{(b-c)^{2}}{(a-b)(c-a)} + \frac{(a-c)^{2}}{(a-b)(b-c)}$ છે.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે સામાન્ય છેદ $(a-b)(b-c)(c-a)$ લઈએ છીએ.
નોંધો કે $(c-a) = -(a-c)$,તેથી $(a-c)^2 = (c-a)^2$.
બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: જો $x+y+z = 0$ હોય,તો $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$ થાય.
અહીં,$x = (a-b)$,$y = (b-c)$,અને $z = (c-a)$ લેતા.
તો $x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0$ થાય છે.
તેથી,$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 3$.

(A) આપેલ છે કે $a+b+c=0.$
આપણે $\frac{1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a+b+c=0$ હોવાથી,$a+b=-c$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a+b)^{2}=(-c)^{2},$ જે $a^{2}+b^{2}+2ab=c^{2}$ આપે છે.
પદ ગોઠવતા,$b^{2}+c^{2}-a^{2} = b^{2}+(a^{2}+2ab+b^{2})-a^{2} = 2b^{2}+2ab = 2b(a+b).$
$a+b=-c$ હોવાથી,$b^{2}+c^{2}-a^{2} = 2b(-c) = -2bc$ મળે.
તે જ રીતે,$c^{2}+a^{2}-b^{2} = -2ac$ અને $a^{2}+b^{2}-c^{2} = -2ab$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{-2bc} + \frac{1}{-2ac} + \frac{1}{-2ab} = \frac{-a-b-c}{2abc}.$
$a+b+c=0$ હોવાથી,અંશ $0$ થાય છે.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x+y+z=0.$
આના પરથી,આપણે નીચેના સંબંધો મેળવી શકીએ છીએ:
$x+y = -z$
$y+z = -x$
$z+x = -y$
હવે,આ કિંમતોને $\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{x y z}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{(-z)(-x)(-y)}{x y z}$
$= \frac{-(x y z)}{x y z}$
$= -1$

(C) આપેલ છે કે $a+b+c=0.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a+b+c)^2 = 0^2.$
$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca).$
ફરીથી વર્ગ કરતા,$(a^2+b^2+c^2)^2 = [-2(ab+bc+ca)]^2.$
$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)).$
કારણ કે $a+b+c=0,$ તેથી પદ $2abc(a+b+c) = 0$ થશે.
તેથી,$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).$
$a^4+b^4+c^4 = 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) - 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).$
તેથી,$\frac{a^4+b^4+c^4}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} = 2.$

(B) આપેલ સમીકરણ $x+y=2z$ છે.
આપણે તેને $y-z = z-x$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિ $\frac{x}{x-z} + \frac{z}{y-z}$ માં મૂકો.
$\frac{x}{x-z} + \frac{z}{z-x} = \frac{x}{x-z} - \frac{z}{x-z}$.
$= \frac{x-z}{x-z} = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણો $x+\frac{1}{y}=1$ અને $y+\frac{1}{z}=1$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$x=1-\frac{1}{y} = \frac{y-1}{y}$.
તેથી,$\frac{1}{x} = \frac{y}{y-1}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{1}{z} = 1-y$.
તેથી,$z = \frac{1}{1-y}$.
હવે,આ કિંમતોને $z+\frac{1}{x}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$z+\frac{1}{x} = \frac{1}{1-y} + \frac{y}{y-1}$.
કારણ કે $y-1 = -(1-y)$,આપણે લખી શકીએ:
$z+\frac{1}{x} = \frac{1}{1-y} - \frac{y}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} = 1$.

(C) આપેલ છે કે $a=b=c.$
$\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ પદમાં $b=a$ અને $c=a$ મૂકતા.
અંશ $(a+a+a)^{2} = (3a)^{2} = 9a^{2}$ થશે.
છેદ $a^{2}+a^{2}+a^{2} = 3a^{2}$ થશે.
તેથી,પદની કિંમત $\frac{9a^{2}}{3a^{2}} = 3$ થશે.

(D) આપેલ પદાવલિ $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2ac-2bc$ છે.
આને $(a-b+c)^{2}$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
આપેલ છે કે $a=x+y$,$b=x-y$ અને $c=2x-1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(a-b+c)^{2} = [(x+y) - (x-y) + (2x-1)]^{2}$
$= [x+y-x+y+2x-1]^{2}$
$= [2x+2y-1]^{2}$
નોંધો કે $[2x+2y-1]^{2} = [-(1-2x-2y)]^{2} = (1-2x-2y)^{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$.
પ્રથમ,આપણે $(x+y+z)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ની કિંમત શોધીશું.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $16^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2} + 2(78)$.
$256 = x^{2}+y^{2}+z^{2} + 156$.
$x^{2}+y^{2}+z^{2} = 256 - 156 = 100$.
હવે,આ કિંમતોને મૂળ નિત્યસમમાં મૂકતા:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (16)(100 - 78)$.
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = 16(22) = 352$.

(B) આપણે પ્રમાણિત બીજગણિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
જમણી બાજુને $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca)$
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)\{(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2ca+a^{2})\}$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\}$
તેથી,આપેલી પદાવલિ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ ને સમાન છે.

(C) આ પદાવલિ માટેનું બીજગણિતીય નિત્યસમ નીચે મુજબ છે:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z) \{(x-y)^{2} + (y-z)^{2} + (z-x)^{2}\}$
આપેલ કિંમતો $x=89, y=87, z=84$ છે.
પગલું $1$: સરવાળો $(x+y+z)$ શોધો:
$x+y+z = 89+87+84 = 260$
પગલું $2$: તફાવત શોધો:
$(x-y) = 89-87 = 2$
$(y-z) = 87-84 = 3$
$(z-x) = 84-89 = -5$
પગલું $3$: આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= \frac{1}{2} \times 260 \times \{2^{2} + 3^{2} + (-5)^{2}\}$
$= 130 \times \{4 + 9 + 25\}$
$= 130 \times 38$
$= 4940$

(A) આપેલ છે: $x=a(b-c), y=b(c-a), z=c(a-b)$.
અનુક્રમે $a, b, c$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{a} = b-c, \frac{y}{b} = c-a, \frac{z}{c} = a-b$.
ધારો કે $p = \frac{x}{a}, q = \frac{y}{b}, r = \frac{z}{c}$.
તેથી $p+q+r = (b-c) + (c-a) + (a-b) = 0$.
આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: જો $p+q+r=0$ હોય,તો $p^3+q^3+r^3 = 3pqr$.
કિંમતો પાછી મૂકતા:
$\left(\frac{x}{a}\right)^3 + \left(\frac{y}{b}\right)^3 + \left(\frac{z}{c}\right)^3 = 3 \left(\frac{x}{a}\right) \left(\frac{y}{b}\right) \left(\frac{z}{c}\right) = \frac{3xyz}{abc}$.

(D) આપેલ છે કે $x+\frac{1}{x}=3$.
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલ સમીકરણની બંને બાજુએ વર્ગ કરીએ:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} = 3^{2}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) = 9$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 = 9$
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 9 - 2 = 7$
તેથી,કિંમત $7$ છે.

(D) આપેલ કિંમતો $a=17, b=15, c=13$ છે.
આપણે પદાવલિ $E = a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ca$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિમાં સીધી કિંમતો મૂકતા:
$E = (17)^{2} + (15)^{2} + (13)^{2} - 2(17)(15) - 2(15)(13) - 2(13)(17)$
$E = 289 + 225 + 169 - 510 - 390 - 442$
$E = 683 - 1342$
$E = -659$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$.
છેદને $(ab + bc + ca - a^{2} - b^{2} - c^{2})$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે,જેને $-(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)}{-(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)} = -(a + b + c)$.
આપેલ છે કે $a = -5, b = -6, c = 10$:
$-(a + b + c) = -(-5 - 6 + 10) = -(-1) = 1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$.
આ નિત્યસમને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = a^3 + b^3 + c^3$.
આપેલ છે કે $a=5, b=3, c=2$.
આ કિંમતોને સાદું રૂપ આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$a^3 + b^3 + c^3 = 5^3 + 3^3 + 2^3$.
$= 125 + 27 + 8$.
$= 160$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $Px^2 + 4x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^2 + Bx + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = P$,$B = 4$,અને $C = 1$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D$ ની કિંમત શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટી હોવી જોઈએ $(D \geq 0)$.
$D = B^2 - 4AC \geq 0$.
કિંમતો મૂકતા,$4^2 - 4(P)(1) \geq 0$.
$16 - 4P \geq 0$.
$16 \geq 4P$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $P \leq 4$ મળે છે.
વધુમાં,સમીકરણ દ્વિઘાત રહે તે માટે $x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $P \neq 0$. આમ,$P$ ની કિંમતોનો સમૂહ $P \leq 4$ અને $P \neq 0$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + Px + 4 = 0$ છે.
કારણ કે $2$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા:
$2(2)^{2} + P(2) + 4 = 0$
$2(4) + 2P + 4 = 0$
$8 + 2P + 4 = 0$
$2P + 12 = 0$
$2P = -12$
$P = -6$.
હવે,$P = -6$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x^{2} - 6x + 4 = 0$.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - 3x + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^{2} - 2x - x + 2 = 0$
$x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
$(x - 1)(x - 2) = 0$.
તેથી,બીજ $x = 1$ અને $x = 2$ મળે છે.
આપેલ બીજ $2$ હોવાથી,બીજું બીજ $1$ છે.
આમ,બીજું બીજ $1$ છે અને $P$ ની કિંમત $-6$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-5x+6=0$ છે.
બીજ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$x^{2}-2x-3x+6=0$
$x(x-2)-3(x-2)=0$
$(x-2)(x-3)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x-2=0$ અથવા $x-3=0$
$x=2$ અથવા $x=3$.
આપેલ એક બીજ $3$ હોવાથી,બીજું બીજ $2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{7} x^{2}-6 x-13 \sqrt{7}=0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને ઉકેલવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $(\sqrt{7}) \times (-13 \sqrt{7}) = -91$ થાય અને જેનો સરવાળો $-6$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $-13$ અને $7$ છે.
$\sqrt{7} x^{2}-13 x+7 x-13 \sqrt{7}=0$
સામાન્ય પદો લેતા:
$x(\sqrt{7} x-13)+\sqrt{7}(\sqrt{7} x-13)=0$
$(x+\sqrt{7})(\sqrt{7} x-13)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x+\sqrt{7}=0 \Rightarrow x=-\sqrt{7}$
$\sqrt{7} x-13=0 \Rightarrow x=\frac{13}{\sqrt{7}} = \frac{13 \sqrt{7}}{7}$
આમ,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $-\sqrt{7}$ અને $\frac{13 \sqrt{7}}{7}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3 a^{2} x^{2}-a b x-2 b^{2}=0$ છે.
આપણે મધ્યમ પદ $-abx$ ને $-3abx + 2abx$ તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$3 a^{2} x^{2}-3 a b x+2 a b x-2 b^{2}=0$
પદોમાંથી સામાન્ય અવયવ લેતા:
$3 a x(a x-b)+2 b(a x-b)=0$
$(a x-b)(3 a x+2 b)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$a x-b=0 \Rightarrow x=b/a$
$3 a x+2 b=0 \Rightarrow x=-2b/3a$
આમ,બીજ $b/a$ અને $-2b/3a$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a^{2} x^{2}-3 a b x+2 b^{2}=0$ છે.
આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$a^{2} x^{2}-2 a b x-a b x+2 b^{2}=0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a x(a x-2 b)-b(a x-2 b)=0$
$(a x-2 b)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$(a x-2 b)(a x-b)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$a x-2 b=0 \Rightarrow x=\frac{2 b}{a}$
$a x-b=0 \Rightarrow x=\frac{b}{a}$
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{2 b}{a}$ અને $\frac{b}{a}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
આપેલ બીજ $\alpha = \sqrt{2}$ અને $\beta = 2\sqrt{2}$ છે.
બીજનો સરવાળો $= \alpha + \beta = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
બીજનો ગુણાકાર $= \alpha \cdot \beta = (\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = 2 \cdot 2 = 4$.
આ કિંમતોને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x^{2} - (3\sqrt{2})x + 4 = 0$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + (4a^{2} - 3b)x - 12ab = 0$ છે.
મધ્યમ પદનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $ax^{2} + 4a^{2}x - 3bx - 12ab = 0$ મળે છે.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા,$ax(x + 4a) - 3b(x + 4a) = 0$ મળે છે.
$(x + 4a)$ ને સામાન્ય લેતા,$(ax - 3b)(x + 4a) = 0$ મળે છે.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,$ax - 3b = 0$ અથવા $x + 4a = 0$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{3b}{a}$ અથવા $x = -4a$ મળે છે.
આમ,સમીકરણના બીજ $-4a$ અને $\frac{3b}{a}$ છે.