QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણો $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ અને $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ છે.
પ્રથમ,$(x - y)$ ની ગણતરી કરો:
$x - y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$.
ત્યારબાદ,$(xy)$ ની ગણતરી કરો:
$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.
આપણે $(x^3 - 20\sqrt{2}) - (y^3 + 2\sqrt{2}) = x^3 - y^3 - 22\sqrt{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x - y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^3 - y^3 = (2\sqrt{2})^3 + 3(1)(2\sqrt{2})$
$x^3 - y^3 = 16\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 22\sqrt{2}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$22\sqrt{2} - 22\sqrt{2} = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a+b+c)^{2}$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$
પદોને ગોઠવતા: $2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=0$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$
કારણ કે વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય છે,તેથી દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$(a-b)^{2}=0 \Rightarrow a=b$
$(b-c)^{2}=0 \Rightarrow b=c$
$(c-a)^{2}=0 \Rightarrow c=a$
તેથી,$a=b=c$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}=\frac{5}{1}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}{x^{2}+xy+y^{2}}=5$,જેનું સાદું રૂપ $x-y=5$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
આપેલ છે કે $\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}=\frac{7}{1}$.
નિત્યસમ $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=7$,જેનું સાદું રૂપ $x+y=7$ (સમીકરણ $2$) થાય છે.
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(x-y)+(x+y)=5+7 \Rightarrow 2x=12 \Rightarrow x=6$.
સમીકરણ $2$ માં $x=6$ મુકતા: $6+y=7 \Rightarrow y=1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{2x}{3y} = \frac{2 \times 6}{3 \times 1} = \frac{12}{3} = \frac{4}{1}$.

(C) આપેલ છે: $x = a^{1/2} + a^{-1/2}$ અને $y = a^{1/2} - a^{-1/2}$.
પ્રથમ,$x^2$ અને $y^2$ ની ગણતરી કરો:
$x^2 = (a^{1/2} + a^{-1/2})^2 = a + a^{-1} + 2(a^{1/2})(a^{-1/2}) = a + a^{-1} + 2$
$y^2 = (a^{1/2} - a^{-1/2})^2 = a + a^{-1} - 2(a^{1/2})(a^{-1/2}) = a + a^{-1} - 2$
હવે,$x^2 - y^2$ ની ગણતરી કરો:
$x^2 - y^2 = (a + a^{-1} + 2) - (a + a^{-1} - 2) = 4$
આપેલ પદાવલિ: $(x^4 - x^2 y^2 - 1) + (y^4 - x^2 y^2 + 1) = x^4 + y^4 - 2x^2 y^2$.
આ પદાવલિ $(x^2 - y^2)^2$ તરીકે લખી શકાય છે.
$x^2 - y^2 = 4$ કિંમત મૂકતા:
$(x^2 - y^2)^2 = 4^2 = 16$.

(C) આપેલ છે કે $a+b=1$.
આપણે $E = a^{3}+b^{3}-ab-(a^{2}-b^{2})^{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ અને $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) - ab - [(a+b)(a-b)]^{2}$.
$a+b=1$ હોવાથી,$(a+b)$ ની જગ્યાએ $1$ મૂકતા:
$E = 1 \cdot (a^{2}-ab+b^{2}) - ab - (1)^{2}(a-b)^{2}$.
$E = a^{2}-ab+b^{2} - ab - (a^{2}-2ab+b^{2})$.
$E = a^{2}-2ab+b^{2} - a^{2}+2ab-b^{2}$.
$E = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $a - \frac{1}{a - 3} = 5$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$(a - 3) - \frac{1}{a - 3} = 5 - 3$
$(a - 3) - \frac{1}{a - 3} = 2$
ધારો કે $x = (a - 3)$. તો સમીકરણ $x - \frac{1}{x} = 2$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = (x - \frac{1}{x})^{3} + 3(x - \frac{1}{x})$.
આ નિત્યસમમાં $x - \frac{1}{x} = 2$ મૂકતા:
$x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = (2)^{3} + 3(2)$
$x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = 8 + 6 = 14$.
તેથી,$(a - 3)^{3} - \frac{1}{(a - 3)^{3}}$ ની કિંમત $14$ છે.

(D) પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપો.
પ્રથમ પદ માટે: $\frac{p^{-1} q^{2}}{p^{3} q^{-2}} = p^{-1-3} q^{2-(-2)} = p^{-4} q^{4}$.
તેનો $\frac{1}{3}$ ઘાત લેતા,આપણને $(p^{-4} q^{4})^{\frac{1}{3}} = p^{-\frac{4}{3}} q^{\frac{4}{3}}$ મળે છે.
બીજા પદ માટે: $\frac{p^{5} q^{-3}}{p^{-2} q^{3}} = p^{5-(-2)} q^{-3-3} = p^{7} q^{-6}$.
તેનો $\frac{1}{3}$ ઘાત લેતા,આપણને $(p^{7} q^{-6})^{\frac{1}{3}} = p^{\frac{7}{3}} q^{-2}$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ મુજબ,જો આ પદોનો સરવાળો $p^a q^b$ સ્વરૂપમાં હોય,તો સાદું રૂપ આપતા $a+b=0$ મળે છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{3x - 2y}{2x + 3y} = \frac{5}{6}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $6(3x - 2y) = 5(2x + 3y)$
$18x - 12y = 10x + 15y$
$18x - 10x = 15y + 12y$
$8x = 27y$
$\frac{x}{y} = \frac{27}{8}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{y}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}} = \frac{3 + 2}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y}}\right)^{2} = 5^{2} = 25$

(B) આપણે બીજગણિતના નિત્યસમ $(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદ $(m - 5n)^3$ માટે,$x = m$ અને $y = 5n$ લેતા:
$(m - 5n)^3 = m^3 - (5n)^3 - 3(m)(5n)(m - 5n)$
$(m - 5n)^3 = m^3 - 125n^3 - 15mn(m - 5n)$
હવે,આપેલ કિંમત $m - 5n = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2)^3 = m^3 - 125n^3 - 15mn(2)$
$8 = m^3 - 125n^3 - 30mn$
આમ,$(m^3 - 125n^3 - 30mn)$ ની કિંમત $8$ છે.

(A) આપણને $x^{3}+y^{3}=72$ અને $xy=8$ આપેલ છે (સુધારેલ).
નિત્યસમ $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x+y)^{3} = 72 + 3(8)(x+y)$
$(x+y)^{3} - 24(x+y) - 72 = 0$.
ધારો કે $S = x+y$,તો $S^{3} - 24S - 72 = 0$.
$S=6$ લેતા,$216 - 144 - 72 = 0$,જે સાચું છે.
હવે,$(x-y)^{2} = (x+y)^{2} - 4xy$
$(x-y)^{2} = 6^{2} - 4(8) = 36 - 32 = 4$.
$x>y$ હોવાથી,$x-y = \sqrt{4} = 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x+\frac{1}{x}=2$ છે.
જો આપણે $x=1$ લઈએ,તો આપણને $1+\frac{1}{1}=1+1=2$ મળે છે,જે આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
હવે,$x=1$ ને $x^{12}-\frac{1}{x^{12}}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$x^{12}-\frac{1}{x^{12}} = (1)^{12} - \frac{1}{(1)^{12}}$
$= 1 - \frac{1}{1}$
$= 1 - 1 = 0$
તેથી,પદાવલિની કિંમત $0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ અને $y = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.
પ્રથમ,$xy = \left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\right) \left(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\right) = 1$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$x+y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(5+3-2\sqrt{15}) + (5+3+2\sqrt{15})}{5-3} = \frac{16}{2} = 8$.
હવે,$x-y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{(8-2\sqrt{15}) - (8+2\sqrt{15})}{2} = \frac{-4\sqrt{15}}{2} = -2\sqrt{15}$.
આપણે $\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}$ શોધવાનું છે,જેને $\frac{(x+y)^2 - xy}{(x-y)^2 + xy}$ તરીકે લખી શકાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8^2 - 1}{(-2\sqrt{15})^2 + 1} = \frac{64-1}{60+1} = \frac{63}{61}$.

(D) ધારો કે $a = x+3$. આપણે $a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આપેલ છે કે $x^{2} + x = 5$,તેથી $x^{2} = 5 - x$ લખી શકાય.
હવે,$a = x+3$ લો. તેથી $x = a - 3$.
$x = a - 3$ ને આપેલ સમીકરણ $x^{2} + x = 5$ માં મૂકતા:
$(a - 3)^{2} + (a - 3) = 5$
$(a^{2} - 6a + 9) + a - 3 = 5$
$a^{2} - 5a + 6 = 5$
$a^{2} - 5a + 1 = 0$
આખા સમીકરણને $a$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a \neq 0$):
$a - 5 + \frac{1}{a} = 0$
$a + \frac{1}{a} = 5$
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = (a + \frac{1}{a})^{3} - 3(a + \frac{1}{a})$.
$a + \frac{1}{a} = 5$ ની કિંમત મૂકતા:
$a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 5^{3} - 3(5) = 125 - 15 = 110$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4a - \frac{4}{a} + 3 = 0$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા: $a - \frac{1}{a} + \frac{3}{4} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a - \frac{1}{a} = -\frac{3}{4}$.
આપણે નિત્યસમ $x^{3} - y^{3} = (x - y)^{3} + 3xy(x - y)$ જાણીએ છીએ.
ધારો કે $x = a$ અને $y = \frac{1}{a}$. તેથી $a^{3} - \frac{1}{a^{3}} = (a - \frac{1}{a})^{3} + 3(a)(\frac{1}{a})(a - \frac{1}{a})$.
$a - \frac{1}{a} = -\frac{3}{4}$ મૂકતા:
$a^{3} - \frac{1}{a^{3}} = (-\frac{3}{4})^{3} + 3(-\frac{3}{4}) = -\frac{27}{64} - \frac{9}{4}$.
બાદબાકી કરવા માટે,સામાન્ય છેદ લેતા: $-\frac{27}{64} - \frac{144}{64} = -\frac{171}{64}$.
હવે,$a^{3} - \frac{1}{a^{3}} + 3 = -\frac{171}{64} + 3 = \frac{-171 + 192}{64} = \frac{21}{64}$.

(D) આ પદાવલિ માટેનું બીજગણિતીય નિત્યસમ નીચે મુજબ છે:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}]$
અહીં $x=225$,$y=226$,અને $z=225$ આપેલ છે:
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= \frac{1}{2}(225+226+225)[(225-226)^{2}+(226-225)^{2}+(225-225)^{2}]$
$= \frac{1}{2}(676)[(-1)^{2}+(1)^{2}+(0)^{2}]$
$= \frac{1}{2} \times 676 \times [1 + 1 + 0]$
$= \frac{1}{2} \times 676 \times 2$
$= 676$

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x+z-1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2x+2z-2$.
પદોને એક બાજુ લાવતા: $x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}-2z+2=0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(x^{2}-2x+1) + y^{2} + (z^{2}-2z+1) = 0$.
જેનું સાદું રૂપ: $(x-1)^{2} + y^{2} + (z-1)^{2} = 0$.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય,તેથી:
$x-1=0 \Rightarrow x=1$
$y=0$
$z-1=0 \Rightarrow z=1$
હવે,$x^{3}+y^{3}+z^{3} = (1)^{3} + (0)^{3} + (1)^{3} = 1 + 0 + 1 = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$5x + 9y = 5$ ---$(1)$
$125x^3 + 729y^3 = 120$ ---$(2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$.
ધારો કે $a = 5x$ અને $b = 9y$. તેથી $a^3 = 125x^3$ અને $b^3 = 729y^3$.
સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુએ ઘન લેતા:
$(5x + 9y)^3 = 5^3$
$(5x)^3 + (9y)^3 + 3(5x)(9y)(5x + 9y) = 125$
$125x^3 + 729y^3 + 135xy(5x + 9y) = 125$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$120 + 135xy(5) = 125$
$120 + 675xy = 125$
$675xy = 125 - 120$
$675xy = 5$
$xy = \frac{5}{675}$
$xy = \frac{1}{135}$

(A) આપેલ પદાવલિ: $a^{2}+4 b^{2}+4 b-4 a b-2 a-8$
પદોને ગોઠવતા: $a^{2}+4 b^{2}-4 a b-2 a+4 b-8$
પૂર્ણવર્ગને ઓળખતા: $(a-2 b)^{2}-2(a-2 b)-8$
ધારો કે $x = (a-2 b)$.
$x$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $x^{2}-2 x-8$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $x^{2}-4 x+2 x-8 = x(x-4)+2(x-4) = (x-4)(x+2)$
હવે $x = (a-2 b)$ પાછા મૂકતા: $(a-2 b-4)(a-2 b+2)$

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $6x^2 + 41x + 63 = 0$
$6x^2 + 27x + 14x + 63 = 0$
$3x(2x + 9) + 7(2x + 9) = 0$
$(3x + 7)(2x + 9) = 0$
$x = -7/3 \approx -2.33$ અથવા $x = -9/2 = -4.5$
સમીકરણ $II$ માટે: $4y^2 + 8y + 3 = 0$
$4y^2 + 6y + 2y + 3 = 0$
$2y(2y + 3) + 1(2y + 3) = 0$
$(2y + 1)(2y + 3) = 0$
$y = -1/2 = -0.5$ અથવા $y = -3/2 = -1.5$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = -2.33, -4.5$
$y = -0.5, -1.5$
અહીં $x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની તમામ કિંમતો કરતા નાની હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x < y$.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}+10 x+24=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2}+6 x+4 x+24=0$
$x(x+6)+4(x+6)=0$
$(x+4)(x+6)=0$
આમ,$x = -4$ અથવા $x = -6$.
સમીકરણ $II$ માટે: $4 y^{2}-17 y+18=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $4 y^{2}-8 y-9 y+18=0$
$4 y(y-2)-9(y-2)=0$
$(4 y-9)(y-2)=0$
આમ,$y = \frac{9}{4} = 2.25$ અથવા $y = 2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો $\{-4, -6\}$ છે અને $y$ ની કિંમતો $\{2.25, 2\}$ છે.
$x$ ની બંને કિંમતો ઋણ છે અને $y$ ની બંને કિંમતો ધન છે,તેથી સ્પષ્ટ છે કે $x < y$.

(C) સમીકરણ $I: 24x^2 + 38x + 15 = 0$ માટે
$24x^2 + 20x + 18x + 15 = 0$
$4x(6x + 5) + 3(6x + 5) = 0$
$(4x + 3)(6x + 5) = 0$
$x = -\frac{3}{4} = -0.75$ અને $x = -\frac{5}{6} \approx -0.833$
સમીકરણ $II: 12y^2 + 28y + 15 = 0$ માટે
$12y^2 + 18y + 10y + 15 = 0$
$6y(2y + 3) + 5(2y + 3) = 0$
$(6y + 5)(2y + 3) = 0$
$y = -\frac{5}{6} \approx -0.833$ અને $y = -\frac{3}{2} = -1.5$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -0.75, x_2 = -0.833$
$y_1 = -0.833, y_2 = -1.5$
અહીં $-0.75 > -0.833$,$-0.75 > -1.5$,$-0.833 = -0.833$,અને $-0.833 > -1.5$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x \geq y$.

(D) સમીકરણ $I: 3x^2 - 20x - 32 = 0$ માટે
$3x^2 - 24x + 4x - 32 = 0$
$3x(x - 8) + 4(x - 8) = 0$
$(3x + 4)(x - 8) = 0$
તેથી,$x = -4/3$ અથવા $x = 8$.
સમીકરણ $II: 2y^2 - 3y - 20 = 0$ માટે
$2y^2 - 8y + 5y - 20 = 0$
$2y(y - 4) + 5(y - 4) = 0$
$(2y + 5)(y - 4) = 0$
તેથી,$y = -5/2$ અથવા $y = 4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 8$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $y$ એ $4$ અથવા $-2.5$ છે).
જો $x = -1.33$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $y = 4$) પરંતુ $x < y$ (કારણ કે $y = -2.5$).
આમ,સંબંધ નક્કી કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-20 x+91=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2}-13 x-7 x+91=0$
$x(x-13)-7(x-13)=0$
$(x-7)(x-13)=0$
આમ,$x = 7$ અથવા $x = 13$ મળે છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-32 y+247=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2}-19 y-13 y+247=0$
$y(y-19)-13(y-19)=0$
$(y-13)(y-19)=0$
આમ,$y = 13$ અથવા $y = 19$ મળે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x=7$ હોય,તો $x < y$ (કારણ કે $y$ ની કિંમત $13$ અથવા $19$ છે).
જો $x=13$ હોય,તો $x \leq y$ (કારણ કે $y$ ની કિંમત $13$ અથવા $19$ છે).
બંને કિસ્સાઓમાં,$x \leq y$ સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $x+\frac{1}{x}=5$.
પ્રથમ,બંને બાજુ ઘન (cube) લેતા $x^3+\frac{1}{x^3}$ શોધો:
$(x+\frac{1}{x})^3 = 5^3$
$x^3+\frac{1}{x^3}+3(x)(\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x}) = 125$
$x^3+\frac{1}{x^3}+3(5) = 125$
$x^3+\frac{1}{x^3} = 125-15 = 110$.
હવે,$x^6+\frac{1}{x^6}$ શોધવા માટે બંને બાજુ વર્ગ (square) કરતા:
$(x^3+\frac{1}{x^3})^2 = 110^2$
$x^6+\frac{1}{x^6}+2(x^3)(\frac{1}{x^3}) = 12100$
$x^6+\frac{1}{x^6}+2 = 12100$
$x^6+\frac{1}{x^6} = 12100-2 = 12098$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-3x+1=0$.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $x-3+\frac{1}{x}=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x+\frac{1}{x}=3$.
આપણે $\frac{x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}{x^{3}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{x^{6}}{x^{3}}+\frac{x^{4}}{x^{3}}+\frac{x^{2}}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}} = x^{3}+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}$.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}) + (x+\frac{1}{x})$.
નિત્યસમ $a^{3}+b^{3} = (a+b)^{3}-3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=x$ અને $b=\frac{1}{x}$:
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}} = (x+\frac{1}{x})^{3}-3(x)(\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x}) = (3)^{3}-3(3) = 27-9 = 18$.
કિંમતો મૂકતા: $(18) + (3) = 21$.

(C) આપેલ છે કે $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=119$.
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા,આપણને $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=119+2=121$ મળે છે.
આને $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=11^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
વર્ગમૂળ લેતા,$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=11$ (કારણ કે $x>1$,તેથી $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ધન હોવું જોઈએ).
હવે,બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2=11-2=9$.
આનું સાદું રૂપ $(x-\frac{1}{x})^{2}=3^{2}$ થાય છે,તેથી $x-\frac{1}{x}=3$.
$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x-\frac{1}{x})^{3} = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(x-\frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x-\frac{1}{x}=3$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $3^{3} = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3(3)$ મળે છે.
$27 = x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-9$.
તેથી,$x^{3}-\frac{1}{x^{3}} = 27+9 = 36$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{(x+1)^{3}-(x-1)^{3}}{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}=2$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^3 - (a-b)^3 = 2b^3 + 6a^2b$ અને $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $(x+1)^3 - (x-1)^3 = 2(1)^3 + 6(x)^2(1) = 2 + 6x^2$
છેદ: $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4(x)(1) = 4x$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{6x^2 + 2}{4x} = 2$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{3x^2 + 1}{2x} = 2$
બંને બાજુ $2x$ વડે ગુણતા:
$3x^2 + 1 = 4x$
દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$3x^2 - 4x + 1 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(3x - 1)(x - 1) = 0$
તેથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $x = 1/3$ અથવા $x = 1$.
જો $x = 1/3$ હોય,તો અંશ અને છેદનો સરવાળો $1 + 3 = 4$ થાય.
જો $x = 1$ હોય,તો અંશ અને છેદનો સરવાળો $1 + 1 = 2$ થાય (જે વિકલ્પોમાં નથી).
આમ,સાચો જવાબ $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x = \sqrt{5} + 2$.
પ્રથમ,$x^2 = (\sqrt{5} + 2)^2 = 5 + 4 + 4\sqrt{5} = 9 + 4\sqrt{5}$ શોધો.
અંશમાં $x$ અને $x^2$ ની કિંમત મૂકતા: $2(9 + 4\sqrt{5}) - 3(\sqrt{5} + 2) - 2 = 18 + 8\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 6 - 2 = 10 + 5\sqrt{5}$.
છેદમાં $x$ અને $x^2$ ની કિંમત મૂકતા: $3(9 + 4\sqrt{5}) - 4(\sqrt{5} + 2) - 3 = 27 + 12\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 8 - 3 = 16 + 8\sqrt{5}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{10 + 5\sqrt{5}}{16 + 8\sqrt{5}}$ બને છે.
સામાન્ય અવયવ લેતા: $\frac{5(2 + \sqrt{5})}{8(2 + \sqrt{5})} = \frac{5}{8}$.
દશાંશ કિંમત ગણતા: $\frac{5}{8} = 0.625$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}+1=2x$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $x^{2}-2x+1+y^{2}=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(x-1)^{2}+y^{2}=0$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અઋણ હોય છે,તેથી $(x-1)^{2} \geq 0$ અને $y^{2} \geq 0$.
બે અઋણ સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય થવા માટે,દરેક પદ વ્યક્તિગત રીતે શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$(x-1)^{2}=0 \implies x=1$
$y^{2}=0 \implies y=0$
હવે $x^{3}+y^{5}$ પદાવલિમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$x^{3}+y^{5} = (1)^{3} + (0)^{5} = 1 + 0 = 1$

(A) આપેલ છે કે $x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = 119$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2} = x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 2$.
તેથી,$(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2} = 119 + 2 = 121$.
વર્ગમૂળ લેતા,$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 11$ (ધન કિંમત લેતા).
હવે,$(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 = 11 - 2 = 9$.
આમ,$x - \frac{1}{x} = \pm 3$.
કિસ્સો $1$: જો $x - \frac{1}{x} = 3$ હોય,તો $x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = (x - \frac{1}{x})^{3} + 3(x - \frac{1}{x}) = 3^{3} + 3(3) = 27 + 9 = 36$.
કિસ્સો $2$: જો $x - \frac{1}{x} = -3$ હોય,તો $x^{3} - \frac{1}{x^{3}} = (-3)^{3} + 3(-3) = -27 - 9 = -36$.
તેથી,સાચો જવાબ $\pm 36$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\left(\frac{1}{2}(a-b)\right)^{2}+a b=p(a+b)^{2}$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{1}{4}(a-b)^{2}+a b=p(a+b)^{2}$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા: $(a-b)^{2}+4 a b=4 p(a+b)^{2}$
$(a-b)^{2}$ નું વિસ્તરણ $a^{2}+b^{2}-2 a b$ તરીકે કરતા: $(a^{2}+b^{2}-2 a b)+4 a b=4 p(a+b)^{2}$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $a^{2}+b^{2}+2 a b=4 p(a+b)^{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^{2}+b^{2}+2 a b = (a+b)^{2}$ થાય: $(a+b)^{2}=4 p(a+b)^{2}$
અહીં $a \neq -b$ હોવાથી,$(a+b)^{2} \neq 0$ થાય. બંને બાજુને $(a+b)^{2}$ વડે ભાગતા: $1=4 p$
તેથી,$p = \frac{1}{4}$.

(C) $x + \frac{1}{x}$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે પહેલા પદનું સાદું રૂપ આપીશું.
$x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}$
કોઈપણ અપૂર્ણાંક $\frac{a}{b}$ નો વ્યસ્ત $\frac{b}{a}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{x^2 + 1}{x}$ નો વ્યસ્ત $\frac{x}{x^2 + 1}$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x(x-3) = -1$
$x^2 - 3x = -1$
$x^2 - 3x + 1 = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x^2 - 3x + 1) = 0$,તેથી $x^2 + 1 = 3x$. $x$ વડે ભાગતા,આપણને $x + \frac{1}{x} = 3$ મળે છે.
આપણે $x^3(x^3 - 18) = x^6 - 18x^3$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x + \frac{1}{x} = 3$ પરથી,બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(x + \frac{1}{x})^3 = 3^3$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x}) = 27$
$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(3) = 27$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 - 9 = 18$
$x^6 + 1 = 18x^3$
$x^6 - 18x^3 = -1$
આમ,$x^3(x^3 - 18)$ ની કિંમત $-1$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a(2+\sqrt{3})=1 \implies a = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$.
આપેલ છે કે $b(2-\sqrt{3})=1 \implies b = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$.
હવે,$a^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 4+3-4\sqrt{3} = 7-4\sqrt{3}$.
અને $b^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 4+3+4\sqrt{3} = 7+4\sqrt{3}$.
આપણે $\frac{1}{a^2+1} + \frac{1}{b^2+1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{7-4\sqrt{3}+1} + \frac{1}{7+4\sqrt{3}+1} = \frac{1}{8-4\sqrt{3}} + \frac{1}{8+4\sqrt{3}}$.
લસાઅ લેતા: $\frac{(8+4\sqrt{3}) + (8-4\sqrt{3})}{(8-4\sqrt{3})(8+4\sqrt{3})}$.
$= \frac{16}{64 - (16 \times 3)} = \frac{16}{64-48} = \frac{16}{16} = 1$.

(C) ધારો કે $x = \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\cdots}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x^{2} = 30 + \sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+\cdots}}}$
વર્ગમૂળની અંદરનું પદ $x$ સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$x^{2} = 30 + x$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા:
$x^{2} - x - 30 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^{2} - 6x + 5x - 30 = 0$
$x(x - 6) + 5(x - 6) = 0$
$(x - 6)(x + 5) = 0$
આથી $x = 6$ અથવા $x = -5$ મળે છે.
વર્ગમૂળની કિંમત હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી આપણે $x = -5$ ને અવગણીએ છીએ.
તેથી,$x = 6$.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-24x+144=0$
આને $(x-12)^{2}=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$x=12$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-26y+169=0$
આને $(y-13)^{2}=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$y=13$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $12 < 13$,જેનો અર્થ છે કે $x < y$.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^2 + 3x - 20 = 0$
$2x^2 + 8x - 5x - 20 = 0$
$2x(x + 4) - 5(x + 4) = 0$
$(2x - 5)(x + 4) = 0$
તેથી,$x = 2.5$ અથવા $x = -4$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^2 + 19y + 44 = 0$
$2y^2 + 8y + 11y + 44 = 0$
$2y(y + 4) + 11(y + 4) = 0$
$(2y + 11)(y + 4) = 0$
તેથી,$y = -5.5$ અથવા $y = -4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 2.5$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $2.5 > -4$ અને $2.5 > -5.5$).
જો $x = -4$ હોય,તો $x = y$ (જ્યારે $y = -4$) અને $x > y$ (જ્યારે $y = -5.5$).
આમ,$x \geq y$ મળે છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $6x^2 + 77x + 121 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $6x^2 + 66x + 11x + 121 = 0$
$6x(x + 11) + 11(x + 11) = 0$
$(6x + 11)(x + 11) = 0$
તેથી,$x = -\frac{11}{6} \approx -1.83$ અને $x = -11$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^2 + 9y - 22 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $y^2 + 11y - 2y - 22 = 0$
$y(y + 11) - 2(y + 11) = 0$
$(y - 2)(y + 11) = 0$
તેથી,$y = 2$ અને $y = -11$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જ્યારે $x = -1.83$,ત્યારે $x > y$ (કારણ કે $y = -11$) અને $x < y$ (કારણ કે $y = 2$).
જ્યારે $x = -11$,ત્યારે $x = y$ (કારણ કે $y = -11$) અને $x < y$ (કારણ કે $y = 2$).
આમ,પસંદ કરેલી કિંમતોના આધારે સંબંધ બદલાતો હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(B) પગલું $1$: પ્રથમ સમીકરણ $x^{2}-6x=7$ ઉકેલો.
$x^{2}-6x-7=0$
$x^{2}-7x+x-7=0$
$x(x-7)+1(x-7)=0$
$(x+1)(x-7)=0$
તેથી,$x = -1$ અથવા $x = 7$.
પગલું $2$: બીજું સમીકરણ $2y^{2}+13y+15=0$ ઉકેલો.
$2y^{2}+10y+3y+15=0$
$2y(y+5)+3(y+5)=0$
$(2y+3)(y+5)=0$
તેથી,$y = -1.5$ અથવા $y = -5$.
પગલું $3$: કિંમતોની સરખામણી કરો.
$x$ માટેની શક્ય કિંમતો $\{-1, 7\}$ છે.
$y$ માટેની શક્ય કિંમતો $\{-1.5, -5\}$ છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
કારણ કે $-1 > -1.5$,$-1 > -5$,$7 > -1.5$,અને $7 > -5$,તેથી સ્પષ્ટ છે કે તમામ કિસ્સાઓમાં $x > y$ છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $10 x^{2}-7 x+1=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $10 x^{2}-5 x-2 x+1=0$
$5 x(2 x-1)-1(2 x-1)=0$
$(5 x-1)(2 x-1)=0$
તેથી,$x = \frac{1}{5} = 0.2$ અને $x = \frac{1}{2} = 0.5$.
સમીકરણ $II$ માટે: $35 y^{2}-12 y+1=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $35 y^{2}-7 y-5 y+1=0$
$7 y(5 y-1)-1(5 y-1)=0$
$(7 y-1)(5 y-1)=0$
તેથી,$y = \frac{1}{7} \approx 0.143$ અને $y = \frac{1}{5} = 0.2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો ${0.2, 0.5}$ છે અને $y$ ની કિંમતો ${0.143, 0.2}$ છે.
અહીં $0.2 \geq 0.143$,$0.2 = 0.2$,$0.5 > 0.143$,અને $0.5 > 0.2$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x \geq y$.

(D) ધારો કે $x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$x^{2} = 6 + \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}$
અહીં વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ $x$ જેવી જ હોવાથી,આપણે $x$ મૂકી શકીએ:
$x^{2} = 6 + x$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા:
$x^{2} - x - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^{2} - 3x + 2x - 6 = 0$
$x(x - 3) + 2(x - 3) = 0$
$(x + 2)(x - 3) = 0$
આથી $x = 3$ અથવા $x = -2$ મળે.
ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા ધન હોવાથી,$x$ ની કિંમત $-2$ ન હોઈ શકે.
તેથી,$x = 3$.

(D) ધારો કે બે ક્રમિક એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ અને $(n+2)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,
$n^{2} + (n+2)^{2} = 394$
$n^{2} + n^{2} + 4 + 4n = 394$
$2n^{2} + 4n - 390 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$n^{2} + 2n - 195 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^{2} + 15n - 13n - 195 = 0$
$n(n+15) - 13(n+15) = 0$
$(n-13)(n+15) = 0$
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$n = 13$.
તેથી બે સંખ્યાઓ $13$ અને $15$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 13 + 15 = 28$.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-19x+84=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $x^{2}-7x-12x+84=0$
$(x-7)(x-12)=0$
તેથી,$x = 7$ અથવા $x = 12$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-25y+156=0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $y^{2}-13y-12y+156=0$
$(y-13)(y-12)=0$
તેથી,$y = 13$ અથવા $y = 12$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x=7$ હોય,તો $x < y$ (કારણ કે $y$ ની કિંમત $12$ અથવા $13$ છે).
જો $x=12$ હોય,તો $x \leq y$ (કારણ કે $y$ ની કિંમત $12$ અથવા $13$ છે).
આમ,$x \leq y$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: $x$ માટે સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$x^{3} - 468 = 1729$
$x^{3} = 1729 + 468$
$x^{3} = 2197$
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$
પગલું $2$: $y$ માટે સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^{2} - 1733 + 1564 = 0$
$y^{2} - 169 = 0$
$y^{2} = 169$
$y = \pm 13$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો.
$x = 13$
$y = 13$ અથવા $y = -13$
આની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 13$ અને $y = 13$ (તેથી $x = y$) અથવા $x = 13$ અને $y = -13$ (તેથી $x > y$) મળે છે.
આ પરિણામોને જોડતા,આપણે કહી શકીએ કે $x \geq y$.

(D) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$\frac{9}{\sqrt{x}} + \frac{19}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{9 + 19}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{28}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$28 = \sqrt{x} \times \sqrt{x}$
$x = 28$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^{5} - \frac{(28)^{1/2}}{\sqrt{y}} = 0$
$y^{5} = \frac{(28)^{1/2}}{y^{1/2}}$
$y^{5} \times y^{1/2} = (28)^{1/2}$
$y^{11/2} = (28)^{1/2}$
ઘાતાંક સમાન હોવાથી,આધાર સમાન હોવા જોઈએ.
$y = 28$
નિષ્કર્ષ:
$x = 28$ અને $y = 28$ હોવાથી,$x = y$ થાય છે.

(A) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$\sqrt{784} x + 1234 = 1486$
$28x = 1486 - 1234$
$28x = 252$
$x = \frac{252}{28} = 9$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$\sqrt{1089} y + 2081 = 2345$
$33y = 2345 - 2081$
$33y = 264$
$y = \frac{264}{33} = 8$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
કારણ કે $x = 9$ અને $y = 8$ છે,તેથી સ્પષ્ટ છે કે $x > y$.

(C) સમીકરણ $I$ માટે:
$\frac{12 - 23}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x}$
$\frac{-11}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x}$
$-11 = 5x$
$x = -2.2$
સમીકરણ $II$ માટે:
$\frac{\sqrt{y} - 5\sqrt{y}}{12} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
$\frac{-4\sqrt{y}}{12} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
$-\frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
$-\sqrt{y} = 3$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે $\sqrt{y}$ ઋણ ન હોઈ શકે,પરંતુ જો આપણે તેને બીજગણિતીય રીતે ઉકેલીએ:
$\sqrt{y} = -3$
$y = 9$
$x = -2.2$ અને $y = 9$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $x < y$ મળે છે.

(D) આપેલા સમીકરણો:
$4x + 7y = 209$ --- $(1)$
$12x - 14y = -38$ --- $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$8x + 14y = 418$ --- $(3)$
હવે,સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(12x - 14y) + (8x + 14y) = -38 + 418$
$20x = 380$
$x = 380 / 20 = 19$
$x = 19$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$4(19) + 7y = 209$
$76 + 7y = 209$
$7y = 209 - 76$
$7y = 133$
$y = 133 / 7 = 19$
આમ,$x = 19$ અને $y = 19$ હોવાથી,$x = y$ થાય છે.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $17 x^{2}+48 x-9=0$
$17 x^{2}+51 x-3 x-9=0$
$17 x(x+3)-3(x+3)=0$
$(17 x-3)(x+3)=0$
$x = -3$ અથવા $x = \frac{3}{17} \approx 0.176$
સમીકરણ $II$ માટે: $13 y^{2}-32 y+12=0$
$13 y^{2}-26 y-6 y+12=0$
$13 y(y-2)-6(y-2)=0$
$(13 y-6)(y-2)=0$
$y = \frac{6}{13} \approx 0.461$ અથવા $y = 2$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની તમામ કિંમતો ($-3$ અને $0.176$) એ $y$ ની તમામ કિંમતો ($0.461$ અને $2$) કરતા નાની હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x < y$.

(B) $I.$ $16x^2 + 20x + 6 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $8x^2 + 10x + 3 = 0$
$8x^2 + 6x + 4x + 3 = 0$
$2x(4x + 3) + 1(4x + 3) = 0$
$(2x + 1)(4x + 3) = 0$
$x = -0.5, -0.75$
$II.$ $10y^2 + 38y + 24 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $5y^2 + 19y + 12 = 0$
$5y^2 + 15y + 4y + 12 = 0$
$5y(y + 3) + 4(y + 3) = 0$
$(5y + 4)(y + 3) = 0$
$y = -0.8, -3$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -0.5, x_2 = -0.75$
$y_1 = -0.8, y_2 = -3$
અહીં $-0.5 > -0.8$,$-0.5 > -3$,$-0.75 > -0.8$,અને $-0.75 > -3$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x > y$.