QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-5x+6=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2}-3x-2x+6=0$
$x(x-3)-2(x-3)=0$
$(x-3)(x-2)=0$
આમ,ઉકેલ $x = 3$ અને $x = 2$ મળે છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^{2}-15y+27=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2y^{2}-6y-9y+27=0$
$2y(y-3)-9(y-3)=0$
$(2y-9)(y-3)=0$
આમ,ઉકેલ $y = \frac{9}{2} = 4.5$ અને $y = 3$ મળે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જ્યારે $x = 3$ હોય,ત્યારે $y$ ની કિંમત $4.5$ અથવા $3$ હોઈ શકે છે. અહીં $x \le y$ છે.
જ્યારે $x = 2$ હોય,ત્યારે $y$ ની કિંમત $4.5$ અથવા $3$ હોઈ શકે છે. અહીં $x < y$ છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \le y$ મળે છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^{2} + x - 1 = 0$
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $2x^{2} + 2x - x - 1 = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) - 1(x + 1) = 0 \Rightarrow (2x - 1)(x + 1) = 0$.
આમ,ઉકેલ $x = \frac{1}{2}$ અને $x = -1$ મળે છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^{2} - 3y + 1 = 0$
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $2y^{2} - 2y - y + 1 = 0 \Rightarrow 2y(y - 1) - 1(y - 1) = 0 \Rightarrow (2y - 1)(y - 1) = 0$.
આમ,ઉકેલ $y = \frac{1}{2}$ અને $y = 1$ મળે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = \frac{1}{2}$ હોય,તો $y$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ (સમાન) અથવા $1$ $(x < y)$ હોઈ શકે છે.
જો $x = -1$ હોય,તો $y$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ અથવા $1$ $(x < y)$ હોઈ શકે છે.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x \le y$ સાબિત થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$8x + 7y = 135$ ---$(1)$
$5x + 6y = 99$ ---$(2)$
ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $8$ વડે ગુણો:
$40x + 35y = 675$ ---$(3)$
$40x + 48y = 792$ ---$(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(40x + 48y) - (40x + 35y) = 792 - 675$
$13y = 117$
$y = 9$
$y = 9$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$8x + 7(9) = 135$
$8x + 63 = 135$
$8x = 72$
$x = 9$
આમ,$x = 9$ અને $y = 9$ હોવાથી,$x = y$ થાય છે.

(D) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ માંથી $x$ માટે ઉકેલો.
$x^{2} = 64 \Rightarrow x = \pm 8$.
તેથી,$x = 8$ અથવા $x = -8$.
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ માંથી $y$ માટે ઉકેલો.
$2y^{2} + 25y + 72 = 0$.
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડીએ: $2y^{2} + 16y + 9y + 72 = 0$.
$2y(y + 8) + 9(y + 8) = 0$.
$(2y + 9)(y + 8) = 0$.
તેથી,$y = -8$ અથવા $y = -4.5$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો.
જો $x = 8$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $8 > -8$ અને $8 > -4.5$).
જો $x = -8$ હોય,તો $x = y$ (જ્યારે $y = -8$) અને $x < y$ (જ્યારે $y = -4.5$).
આમ,પસંદ કરેલી કિંમતોના આધારે સંબંધ બદલાતો હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(A) આપેલા સમીકરણો:
$7x + 3y = 26$ --- $(1)$
$2x + 17y = -41$ --- $(2)$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $7$ વડે ગુણતા:
$(7x + 3y = 26) \times 2 \Rightarrow 14x + 6y = 52$ --- $(3)$
$(2x + 17y = -41) \times 7 \Rightarrow 14x + 119y = -287$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(4)$ બાદ કરતા:
$(14x + 6y) - (14x + 119y) = 52 - (-287)$
$-113y = 339$
$y = -3$
$y = -3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$7x + 3(-3) = 26$
$7x - 9 = 26$
$7x = 35$
$x = 5$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 5$ અને $y = -3$ મળે છે. તેથી $5 > -3$ હોવાથી,$x > y$ થાય છે.

(C) પગલું $1$: $x$ માટે ઉકેલો.
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$.
પગલું $2$: $y$ માટે ઉકેલો.
$y^2 = 169 \Rightarrow y = \pm 13$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
કારણ કે $x = 13$ અને $y$ ની કિંમત $13$ અથવા $-13$ હોઈ શકે છે,તેથી $x = 13$ અને $y = 13$ (એટલે કે $x = y$) અથવા $x = 13$ અને $y = -13$ (એટલે કે $x > y$).
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \ge y$ મળે છે.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $x = \sqrt{1764} = 42$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^2 = 1764$,જેનો અર્થ છે કે $y = \pm \sqrt{1764} = \pm 42$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $y = 42$ હોય,તો $x = y$ થાય.
જો $y = -42$ હોય,તો $x > y$ થાય.
આ પરિણામોને જોડતા,આપણને $x \ge y$ મળે છે.

(B) સમીકરણ $I: 3x^2 + 5x - 2 = 0$ માટે
અવયવ પાડતા: $3x^2 + 6x - x - 2 = 0$
$3x(x + 2) - 1(x + 2) = 0$
$(3x - 1)(x + 2) = 0$
તેથી,$x = 1/3$ અથવા $x = -2$.
સમીકરણ $II: 2y^2 - 7y + 5 = 0$ માટે
અવયવ પાડતા: $2y^2 - 2y - 5y + 5 = 0$
$2y(y - 1) - 5(y - 1) = 0$
$(2y - 5)(y - 1) = 0$
તેથી,$y = 5/2 = 2.5$ અથવા $y = 1$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = 0.33, x_2 = -2$
$y_1 = 2.5, y_2 = 1$
બધા કિસ્સાઓમાં,$x < y$ થાય છે.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $5x^{2} + 2x - 3 = 0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $5x^{2} + 5x - 3x - 3 = 0$
$5x(x + 1) - 3(x + 1) = 0$
$(5x - 3)(x + 1) = 0$
તેથી,$x = 0.6$ અથવા $x = -1$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^{2} + 7y + 6 = 0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $2y^{2} + 4y + 3y + 6 = 0$
$2y(y + 2) + 3(y + 2) = 0$
$(2y + 3)(y + 2) = 0$
તેથી,$y = -1.5$ અથવા $y = -2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 0.6$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $0.6 > -1.5$ અને $0.6 > -2$).
જો $x = -1$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $-1 > -1.5$ અને $-1 > -2$).
બધા કિસ્સાઓમાં,$x > y$ મળે છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી ઉકેલવા માટે:
$7x + 4y = 3$ --- $(1)$
$5x + 3y = 3$ --- $(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$21x + 12y = 9$ --- $(3)$
$20x + 12y = 12$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(4)$ બાદ કરતા:
$(21x - 20x) + (12y - 12y) = 9 - 12$
$x = -3$
$x = -3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$7(-3) + 4y = 3$
$-21 + 4y = 3$
$4y = 24$
$y = 6$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = -3$ અને $y = 6$ મળે છે.
તેથી,$-3 < 6$ હોવાથી $x < y$ સાચો જવાબ છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}+5x-6=0$
અવયવ પાડતા: $x^{2}+6x-x-6=0$
$x(x+6)-1(x+6)=0$
$(x-1)(x+6)=0$
તેથી,$x = 1$ અથવા $x = -6$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^{2}-11y+15=0$
અવયવ પાડતા: $2y^{2}-6y-5y+15=0$
$2y(y-3)-5(y-3)=0$
$(2y-5)(y-3)=0$
તેથી,$y = 2.5$ અથવા $y = 3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x=1$ માટે: $1 < 2.5$ અને $1 < 3$ (એટલે કે $x < y$).
$x=-6$ માટે: $-6 < 2.5$ અને $-6 < 3$ (એટલે કે $x < y$).
બધા કિસ્સાઓમાં,$x < y$ મળે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સમીકરણ $II$ નો ઉપયોગ કરીને $y$ ની કિંમત શોધો:
$y = \sqrt[3]{17576} = \sqrt[3]{26^3} = 26$
ત્યારબાદ,$x$ ની કિંમત શોધવા માટે $y$ ની કિંમતને સમીકરણ $I$ માં મૂકો:
$7x = 4(26) + 85$
$7x = 104 + 85$
$7x = 189$
$x = 189 / 7 = 27$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 27$ અને $y = 26$ મળે છે.
તેથી,$27 > 26$ હોવાથી,$x > y$ સાચો જવાબ છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-25=0 \Rightarrow x^{2}=25 \Rightarrow x = 5, -5$.
સમીકરણ $II$ માટે: $4y^{2}-24y+35=0$.
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $4y^{2}-14y-10y+35=0$.
$2y(2y-7)-5(2y-7)=0 \Rightarrow (2y-5)(2y-7)=0$.
તેથી,$y = 2.5$ અથવા $y = 3.5$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 5$ હોય,તો $x > 2.5$ અને $x > 3.5$ $(x > y)$.
જો $x = -5$ હોય,તો $x < 2.5$ અને $x < 3.5$ $(x < y)$.
આમ,આપણને અલગ-અલગ સંબંધો ($x > y$ અને $x < y$) મળે છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $4x^2 - 43x + 105 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $4x^2 - 28x - 15x + 105 = 0$
$4x(x - 7) - 15(x - 7) = 0$
$(4x - 15)(x - 7) = 0$
તેથી,$x_1 = \frac{15}{4} = 3.75$ અને $x_2 = 7$.
સમીકરણ $II$ માટે: $7y^2 - 29y + 30 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $7y^2 - 14y - 15y + 30 = 0$
$7y(y - 2) - 15(y - 2) = 0$
$(7y - 15)(y - 2) = 0$
તેથી,$y_1 = \frac{15}{7} \approx 2.14$ અને $y_2 = 2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = 3.75$ અને $x_2 = 7$
$y_1 \approx 2.14$ અને $y_2 = 2$
અહીં $x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની તમામ કિંમતો કરતા મોટી છે $(3.75 > 2.14, 3.75 > 2, 7 > 2.14, 7 > 2)$,તેથી સાચો જવાબ $x > y$ છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}+13x+40=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2}+8x+5x+40=0$
$x(x+8)+5(x+8)=0$
$(x+5)(x+8)=0$
તેથી,ઉકેલ $x = -5$ અને $x = -8$ મળે છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}+7y+10=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2}+5y+2y+10=0$
$y(y+5)+2(y+5)=0$
$(y+2)(y+5)=0$
તેથી,ઉકેલ $y = -2$ અને $y = -5$ મળે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જ્યારે $x = -5$ હોય,ત્યારે $y$ ની કિંમત $-2$ અથવા $-5$ હોઈ શકે. અહીં $x \le y$ થાય છે.
જ્યારે $x = -8$ હોય,ત્યારે $y$ ની કિંમત $-2$ અથવા $-5$ હોઈ શકે. અહીં $x < y$ થાય છે.
આમ,બંને કિસ્સાઓને જોડતા આપણને $x \le y$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: $x$ માટે ઉકેલો.
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$.
પગલું $2$: $y$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલો.
$2y^2 - 54y + 364 = 0$.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$y^2 - 27y + 182 = 0$.
આપણને એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $182$ થાય અને સરવાળો $-27$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-13$ અને $-14$ છે.
$(y - 13)(y - 14) = 0$.
તેથી,$y = 13$ અથવા $y = 14$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x = 13$.
$y = 13$ અથવા $14$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 13$ અને $y = 13$ અથવા $14$. બંને કિસ્સામાં,$x \le y$ શરત સંતોષાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$13x - 8y = -81$ ---$(1)$
$15x - 5y = -65$ ---$(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $8$ વડે ગુણો:
$(13x - 8y) \times 5 = -81 \times 5 \Rightarrow 65x - 40y = -405$
$(15x - 5y) \times 8 = -65 \times 8 \Rightarrow 120x - 40y = -520$
બીજા પરિણામમાંથી પ્રથમ પરિણામ બાદ કરતા:
$(120x - 40y) - (65x - 40y) = -520 - (-405)$
$55x = -115$
$x = -115 / 55 \approx -2.09$
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$15(-2.09) - 5y = -65$
$-31.35 - 5y = -65$
$-5y = -65 + 31.35$
$-5y = -33.65$
$y = 6.73$
$x$ અને $y$ ની સરખામણી કરતા:
$x \approx -2.09$ અને $y \approx 6.73$
તેથી,$-2.09 < 6.73$,એટલે કે $x < y$.

(B) પગલું $1$: $x$ માટે ઉકેલો.
$x = \sqrt{172}$. કારણ કે $13^2 = 169$ અને $14^2 = 196$ છે,તેથી $x$ ની કિંમત આશરે $13.11$ છે.
પગલું $2$: $y$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલો.
$y^{2} - 29y + 210 = 0$.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $210$ થાય અને સરવાળો $29$ થાય. આ સંખ્યાઓ $14$ અને $15$ છે ($14 \times 15 = 210$ અને $14 + 15 = 29$).
તેથી,$(y - 14)(y - 15) = 0$.
આનાથી $y = 14$ અથવા $y = 15$ મળે છે.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x \approx 13.11$ હોવાથી અને $y$ ની કિંમત $14$ અથવા $15$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે બંને કિસ્સામાં $x < y$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $676 x^{2} - 1 = 0$
$676 x^{2} = 1$
$x^{2} = \frac{1}{676}$
$x = \pm \frac{1}{26}$
તેથી,$x = \frac{1}{26} \approx 0.0384$ અથવા $x = -\frac{1}{26} \approx -0.0384$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y = \frac{1}{\sqrt[3]{13824}}$
કારણ કે $24^{3} = 13824$,તેથી $\sqrt[3]{13824} = 24$.
આમ,$y = \frac{1}{24} \approx 0.0416$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = 0.0384$ અથવા $-0.0384$ અને $y = 0.0416$.
બંને કિસ્સામાં,$x < y$ થાય છે.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}+12x+36=0$
આને $(x+6)^{2}=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$x = -6, -6$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}+15y+56=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2}+8y+7y+56=0$
$y(y+8)+7(y+8)=0$
$(y+7)(y+8)=0$
તેથી,$y = -7, -8$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
કારણ કે $x = -6$ અને $y$ ની કિંમતો $-7$ અને $-8$ છે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $-6 > -7$ અને $-6 > -8$.
આમ,$x > y$.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}+12x+36=0$
આને $(x+6)^{2}=0$ તરીકે લખી શકાય,તેથી $x = -6, -6$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}+15y+56=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2}+7y+8y+56=0$
$y(y+7)+8(y+7)=0$
$(y+7)(y+8)=0$,તેથી $y = -7, -8$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = -6$
$y = -7$ અથવા $-8$
કારણ કે $-6 > -7$ અને $-6 > -8$,તેથી $x > y$ સાબિત થાય છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^2 - 3x - 35 = 0$
અવયવીકરણ કરતા: $2x^2 - 10x + 7x - 35 = 0$
$2x(x - 5) + 7(x - 5) = 0$
$(2x + 7)(x - 5) = 0$
તેથી,$x = 5$ અથવા $x = -3.5$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^2 - 7y + 6 = 0$
અવયવીકરણ કરતા: $y^2 - 6y - y + 6 = 0$
$y(y - 6) - 1(y - 6) = 0$
$(y - 1)(y - 6) = 0$
તેથી,$y = 1$ અથવા $y = 6$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 5$ હોય,તો $x > y$ (જ્યારે $y = 1$) અને $x < y$ (જ્યારે $y = 6$) થાય છે.
આમ,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $12x^2 - 47x + 40 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $12x^2 - 32x - 15x + 40 = 0$
$4x(3x - 8) - 5(3x - 8) = 0$
$(4x - 5)(3x - 8) = 0$
તેથી,$x = \frac{5}{4} = 1.25$ અને $x = \frac{8}{3} \approx 2.67$.
સમીકરણ $II$ માટે: $4y^2 + 3y - 10 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $4y^2 + 8y - 5y - 10 = 0$
$4y(y + 2) - 5(y + 2) = 0$
$(4y - 5)(y + 2) = 0$
તેથી,$y = \frac{5}{4} = 1.25$ અને $y = -2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = 1.25, x_2 = 2.67$
$y_1 = 1.25, y_2 = -2$
અહીં $x_1 = y_1$,$x_2 > y_1$,અને $x_1, x_2 > y_2$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x \ge y$.

(C) પગલું $1$: $x$ માટે ઉકેલો.
$x = \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{576}} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \approx 0.666$.
પગલું $2$: દ્વિઘાત સમીકરણ $3y^2 + y - 2 = 0$ ઉકેલો.
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $3y^2 + 3y - 2y - 2 = 0$.
$3y(y + 1) - 2(y + 1) = 0$.
$(3y - 2)(y + 1) = 0$.
તેથી,$y = \frac{2}{3}$ અથવા $y = -1$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x = \frac{2}{3}$.
$y$ ની કિંમતો $\frac{2}{3}$ અને $-1$ છે.
આમ,$x = \frac{2}{3}$ અને $y$ ની કિંમતો $\frac{2}{3}$ અથવા $-1$ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x \ge y$ (કારણ કે $x$ એ $y$ ની એક કિંમત જેટલું છે અને બીજી કિંમત કરતા મોટું છે).

(C) આપેલા સમીકરણો $8x^2 - 49x + 45 = 0$ અને $8y^2 - y - 9 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $8x^2 - 40x - 9x + 45 = 0$
$8x(x - 5) - 9(x - 5) = 0$
$(8x - 9)(x - 5) = 0$
તેથી,$x_1 = 5$ અને $x_2 = 1.125$.
બીજા સમીકરણ માટે: $8y^2 - 9y + 8y - 9 = 0$
$y(8y - 9) + 1(8y - 9) = 0$
$(y + 1)(8y - 9) = 0$
તેથી,$y_1 = 1.125$ અને $y_2 = -1$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x = \{5, 1.125\}$ અને $y = \{1.125, -1\}$.
અહીં $x_1 > y_1$,$x_1 > y_2$,$x_2 = y_1$,અને $x_2 > y_2$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x \ge y$.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$I. 42x - 17y = -67$
$II. 7x - 12y = -26$
$x$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(II)$ ને $6$ વડે ગુણો:
$6 \times (7x - 12y) = 6 \times (-26)$
$42x - 72y = -156$ $(III)$
સમીકરણ $(I)$ માંથી સમીકરણ $(III)$ બાદ કરતા:
$(42x - 17y) - (42x - 72y) = -67 - (-156)$
$42x - 17y - 42x + 72y = -67 + 156$
$55y = 89$
$y = \frac{89}{55} \approx 1.618$
$y = \frac{89}{55}$ ની કિંમત સમીકરણ $(II)$ માં મૂકતા:
$7x - 12(\frac{89}{55}) = -26$
$7x - \frac{1068}{55} = -26$
$7x = \frac{1068}{55} - 26$
$7x = \frac{1068 - 1430}{55}$
$7x = -\frac{362}{55}$
$x = -\frac{362}{385} \approx -0.94$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x \approx -0.94$ અને $y \approx 1.618$ મળે છે.
તેથી,$-0.94 < 1.618$,એટલે કે $x < y$.

(A) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ને $x$ માટે ઉકેલો.
$2.3x - 20.01 = 0$
$2.3x = 20.01$
$x = \frac{20.01}{2.3} = 8.7$
પગલું $2$: $x$ ની કિંમતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $II$ ને $y$ માટે ઉકેલો.
$2.9y - x = 0$
$2.9y = x$
$2.9y = 8.7$
$y = \frac{8.7}{2.9} = 3$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો.
$x = 8.7$ અને $y = 3$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $x > y$.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-26x+168=0$
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો સરવાળો $26$ અને ગુણાકાર $168$ થાય. આ સંખ્યાઓ $12$ અને $14$ છે.
$x^{2}-12x-14x+168=0$
$x(x-12)-14(x-12)=0$
$(x-12)(x-14)=0$
તેથી,$x = 12$ અથવા $x = 14$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-25y+156=0$
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો સરવાળો $25$ અને ગુણાકાર $156$ થાય. આ સંખ્યાઓ $12$ અને $13$ છે.
$y^{2}-12y-13y+156=0$
$y(y-12)-13(y-12)=0$
$(y-12)(y-13)=0$
તેથી,$y = 12$ અથવા $y = 13$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x=12$ અને $y=12$ હોય,તો $x=y$.
જો $x=12$ અને $y=13$ હોય,તો $xજો $x=14$ અને $y=12$ હોય,તો $x>y$.
આમ,આપણને અલગ-અલગ પરિણામો મળે છે ($x=y$,$xy$),તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^2 + 13x - 7 = 0$
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $2x^2 + 14x - x - 7 = 0$
$2x(x + 7) - 1(x + 7) = 0$
$(2x - 1)(x + 7) = 0$
તેથી,$x = 0.5$ અથવા $x = -7$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^2 - 5y + 3 = 0$
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $2y^2 - 2y - 3y + 3 = 0$
$2y(y - 1) - 3(y - 1) = 0$
$(2y - 3)(y - 1) = 0$
તેથી,$y = 1.5$ અથવા $y = 1$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જ્યારે $x = 0.5$ હોય,ત્યારે $x < y$ (કારણ કે $0.5 < 1$ અને $0.5 < 1.5$).
જ્યારે $x = -7$ હોય,ત્યારે $x < y$ (કારણ કે $-7 < 1$ અને $-7 < 1.5$).
આમ,તમામ કિસ્સાઓમાં $x < y$ મળે છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2} + 12x + 32 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2} + 8x + 4x + 32 = 0$
$x(x + 8) + 4(x + 8) = 0$
$(x + 4)(x + 8) = 0$
આમ,$x = -4$ અથવા $x = -8$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^{2} + 15y + 27 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2y^{2} + 6y + 9y + 27 = 0$
$2y(y + 3) + 9(y + 3) = 0$
$(2y + 9)(y + 3) = 0$
આમ,$y = -4.5$ અથવા $y = -3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જ્યારે $x = -4$ હોય,ત્યારે $x > y$ (કારણ કે $-4 > -4.5$) અને $x < y$ (કારણ કે $-4 < -3$).
જ્યારે $x = -8$ હોય,ત્યારે $x < y$ (કારણ કે $-8 < -4.5$ અને $-8 < -3$).
આમ,પસંદ કરેલી કિંમતોના આધારે સંબંધ બદલાતો હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-82x+781=0$.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $781$ અને સરવાળો $82$ થાય. આ સંખ્યાઓ $71$ અને $11$ છે.
તેથી,$(x-71)(x-11)=0$,જે $x = 71$ અથવા $x = 11$ આપે છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}=5041$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$y = \pm \sqrt{5041} = \pm 71$.
તેથી,$y = 71$ અથવા $y = -71$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 71$ અને $y = 71$ હોય,તો $x = y$.
જો $x = 71$ અને $y = -71$ હોય,તો $x > y$.
જો $x = 11$ અને $y = 71$ હોય,તો $x < y$.
આમ,પસંદ કરેલી કિંમતોના આધારે આપણને અલગ-અલગ સંબંધો ($x = y$,$x > y$,અને $x < y$) મળે છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $3x^2 - 7x - 20 = 0$
મધ્યમ પદના ભાગ પાડવાની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $3x^2 - 12x + 5x - 20 = 0$
$3x(x - 4) + 5(x - 4) = 0$
$(3x + 5)(x - 4) = 0$
તેથી,$x = 4$ અથવા $x = -5/3 \approx -1.67$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^2 - 8y + 16 = 0$
આ પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(y - 4)^2 = 0$
તેથી,$y = 4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જ્યારે $x = 4$,ત્યારે $x = y$.
જ્યારે $x = -1.67$,ત્યારે $x < y$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \le y$ મળે છે.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $9x^{2} - 114x + 361 = 0$.
આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે: $(3x - 19)^{2} = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $3x = 19$,તેથી $x = \frac{19}{3} \approx 6.33$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2} = 36$.
વર્ગમૂળ લેતા: $y = \pm 6$,તેથી $y = 6$ અથવા $y = -6$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $y = 6$ હોય,તો $x = 6.33 > 6$.
જો $y = -6$ હોય,તો $x = 6.33 > -6$.
બંને કિસ્સાઓમાં,$x > y$ મળે છે.

(C) આપેલા સમીકરણો $9x^2 - 29x + 22 = 0$ અને $y^2 - 7y + 12 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $9x^2 - 29x + 22 = 0$
$9x^2 - 18x - 11x + 22 = 0$
$9x(x - 2) - 11(x - 2) = 0$
$(9x - 11)(x - 2) = 0$
તેથી,$x = 2$ અથવા $x = 11/9 \approx 1.22$.
બીજા સમીકરણ માટે: $y^2 - 7y + 12 = 0$
$y^2 - 4y - 3y + 12 = 0$
$y(y - 4) - 3(y - 4) = 0$
$(y - 3)(y - 4) = 0$
તેથી,$y = 3$ અથવા $y = 4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો ${1.22, 2}$ છે અને $y$ ની કિંમતો ${3, 4}$ છે.
$x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની તમામ કિંમતો કરતા નાની હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x < y$.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $3x^2 - 4x - 32 = 0$
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $3x^2 - 12x + 8x - 32 = 0$
$3x(x - 4) + 8(x - 4) = 0$
$(3x + 8)(x - 4) = 0$
તેથી,$x = 4$ અથવા $x = -8/3 \approx -2.67$.
સમીકરણ $II$ માટે: $2y^2 - 17y + 36 = 0$
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $2y^2 - 9y - 8y + 36 = 0$
$y(2y - 9) - 4(2y - 9) = 0$
$(y - 4)(2y - 9) = 0$
તેથી,$y = 4$ અથવા $y = 9/2 = 4.5$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = \{4, -2.67\}$
$y = \{4, 4.5\}$
અહીં $4 \le 4$,$4 \le 4.5$,$-2.67 \le 4$,અને $-2.67 \le 4.5$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x \le y$.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}+14x+49=0$
આને $(x+7)^{2}=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$x = -7$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}+9y=0$
$y$ સામાન્ય લેતા,આપણને $y(y+9)=0$ મળે છે.
તેથી,$y = 0$ અથવા $y = -9$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = -7$ અને $y = 0$ હોય,તો $x < y$.
જો $x = -7$ અને $y = -9$ હોય,તો $x > y$.
જેમ કે સંબંધ $y$ ની કિંમત પર આધાર રાખે છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $35x^{2} - 53x + 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $35x^{2} - 28x - 25x + 20 = 0$
$7x(5x - 4) - 5(5x - 4) = 0$
$(7x - 5)(5x - 4) = 0$
તેથી,$x = \frac{5}{7} \approx 0.714$ અથવા $x = \frac{4}{5} = 0.8$.
સમીકરણ $II$ માટે: $56y^{2} - 97y + 42 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $56y^{2} - 49y - 48y + 42 = 0$
$7y(8y - 7) - 6(8y - 7) = 0$
$(7y - 6)(8y - 7) = 0$
તેથી,$y = \frac{6}{7} \approx 0.857$ અથવા $y = \frac{7}{8} = 0.875$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો ${0.714, 0.8}$ છે અને $y$ ની કિંમતો ${0.857, 0.875}$ છે.
આમ,$x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની તમામ કિંમતો કરતા નાની હોવાથી,$x < y$ સાચો જવાબ છે.

(A) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ માં $x$ માટે ઉકેલો.
$x = \sqrt[3]{4913} = 17$.
પગલું $2$: $y$ શોધવા માટે $x$ ની કિંમત સમીકરણ $II$ માં મૂકો.
$13y + 3(17) = 246$
$13y + 51 = 246$
$13y = 246 - 51$
$13y = 195$
$y = \frac{195}{13} = 15$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરો.
અહીં $x = 17$ અને $y = 15$ હોવાથી,સ્પષ્ટ છે કે $x > y$.

(D) સમીકરણ $I$ પરથી: $x^{2} = 3481 \Rightarrow x = \pm 59$.
સમીકરણ $II$ પરથી: $3y^{2} = \sqrt[3]{216000}$.
કારણ કે $60^{3} = 216000$,તેથી $3y^{2} = 60 \Rightarrow y^{2} = 20 \Rightarrow y = \pm \sqrt{20} \approx \pm 4.47$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 59$ હોય,તો $x > y$ ($59 > 4.47$ અને $59 > -4.47$ હોવાથી).
જો $x = -59$ હોય,તો $x < y$ ($-59 < 4.47$ અને $-59 < -4.47$ હોવાથી).
આમ,$x$ ની અલગ-અલગ કિંમતો માટે અલગ પરિણામો મળતા હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $20 x^{2}-67 x+56=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $20 x^{2}-35 x-32 x+56=0$
$5 x(4 x-7)-8(4 x-7)=0$
$(5 x-8)(4 x-7)=0$
તેથી,$x = \frac{8}{5} = 1.6$ અથવા $x = \frac{7}{4} = 1.75$
સમીકરણ $II$ માટે: $56 y^{2}-67 y+20=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $56 y^{2}-32 y-35 y+20=0$
$8 y(7 y-4)-5(7 y-4)=0$
$(8 y-5)(7 y-4)=0$
તેથી,$y = \frac{5}{8} = 0.625$ અથવા $y = \frac{4}{7} \approx 0.57$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x_1 = 1.6, x_2 = 1.75$ અને $y_1 = 0.625, y_2 = 0.57$
આમ,$x$ ની બંને કિંમતો $y$ ની બંને કિંમતો કરતા મોટી હોવાથી,$x > y$ મળે છે.

(D) સમીકરણ $I$ પરથી,$x^{2} = 14641$,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \sqrt{14641} = \pm 121$.
તેથી,$x$ ની કિંમત $121$ અથવા $-121$ હોઈ શકે છે.
સમીકરણ $II$ પરથી,$y = \sqrt{14641} = 121$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 121$ હોય,તો $x = y$.
જો $x = -121$ હોય,તો $x < y$.
આ બંને કિસ્સાઓને જોડતા,આપણને $x \le y$ મળે છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2} - 13x + 42 = 0$.
મધ્યમ પદના ભાગ પાડતા: $x^{2} - 7x - 6x + 42 = 0$.
$x(x - 7) - 6(x - 7) = 0$.
$(x - 6)(x - 7) = 0$.
આમ,$x = 6$ અથવા $x = 7$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y = \sqrt[4]{1296}$.
કારણ કે $6^{4} = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$,તેથી $y = 6$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જ્યારે $x = 6$,ત્યારે $x = y$.
જ્યારે $x = 7$,ત્યારે $x > y$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \ge y$ મળે છે.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $15x^2 - 46x + 35 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $15x^2 - 25x - 21x + 35 = 0$
$5x(3x - 5) - 7(3x - 5) = 0$
$(5x - 7)(3x - 5) = 0$
તેથી,$x = 7/5 = 1.4$ અથવા $x = 5/3 \approx 1.67$.
સમીકરણ $II$ માટે: $4y^2 - 15y + 14 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $4y^2 - 8y - 7y + 14 = 0$
$4y(y - 2) - 7(y - 2) = 0$
$(4y - 7)(y - 2) = 0$
તેથી,$y = 7/4 = 1.75$ અથવા $y = 2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = 1.4, 1.67$
$y = 1.75, 2$
બધા કિસ્સાઓમાં,$x < y$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(i) 7x + 6y + 4z = 122$
$(ii) 4x + 5y + 3z = 88$
$(iii) 9x + 2y + z = 78$
પગલું $1$: સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો ઉપયોગ કરીને $z$ નો લોપ કરો.
સમીકરણ $(iii)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $27x + 6y + 3z = 234$
તેમાંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(27x + 6y + 3z) - (4x + 5y + 3z) = 234 - 88$
$23x + y = 146 \dots (iv)$
પગલું $2$: સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો ઉપયોગ કરીને $z$ નો લોપ કરો.
સમીકરણ $(iii)$ ને $4$ વડે ગુણતા: $36x + 8y + 4z = 312$
તેમાંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(36x + 8y + 4z) - (7x + 6y + 4z) = 312 - 122$
$29x + 2y = 190 \dots (v)$
પગલું $3$: $(iv)$ અને $(v)$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ અને $y$ શોધો.
સમીકરણ $(iv)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $46x + 2y = 292$
તેમાંથી $(v)$ બાદ કરતા: $(46x + 2y) - (29x + 2y) = 292 - 190$
$17x = 102 \Rightarrow x = 6$
$x = 6$ ને $(iv)$ માં મૂકતા: $23(6) + y = 146 \Rightarrow 138 + y = 146 \Rightarrow y = 8$
પગલું $4$: $(iii)$ નો ઉપયોગ કરીને $z$ શોધો.
$9(6) + 2(8) + z = 78 \Rightarrow 54 + 16 + z = 78 \Rightarrow 70 + z = 78 \Rightarrow z = 8$
આમ,$x = 6, y = 8, z = 8$. તેથી,$x < y = z$.

(C) સમીકરણ $(II)$ ને $2$ વડે ગુણીને તેમાંથી સમીકરણ $(I)$ બાદ કરતા:
$2 \times (4x + 3y = 59) \Rightarrow 8x + 6y = 118$
$(8x + 6y = 118) - (7x + 6y = 110) \Rightarrow x = 8$
$x = 8$ ની કિંમત સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા:
$7(8) + 6y = 110$
$56 + 6y = 110$
$6y = 110 - 56 = 54$
$y = 9$
$x = 8$ ની કિંમત સમીકરણ $(III)$ માં મૂકતા:
$8 + z = 15$
$z = 7$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x = 8, y = 9, z = 7$. આમ,$x < y$ અને $y > z$,જેનો અર્થ છે કે $x < y > z$.

(D) પગલું $1$: $x$ માટે ઉકેલો.
$x = \sqrt{(36)^{1/2} \times (1296)^{1/4}} = \sqrt{6 \times 6} = \sqrt{36} = 6$.
પગલું $2$: $y$ માટે સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો.
આપેલ સમીકરણો:
$(ii) \quad 2y + 3z = 33$
$(iii) \quad 6y + 5z = 71$
સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6y + 9z = 99$
આ પરિણામમાંથી સમીકરણ $(iii)$ બાદ કરતા:
$(6y + 9z) - (6y + 5z) = 99 - 71$
$4z = 28 \Rightarrow z = 7$.
$z = 7$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$2y + 3(7) = 33$
$2y + 21 = 33$
$2y = 12 \Rightarrow y = 6$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x = 6$ અને $y = 6$ હોવાથી,$x = y$ થાય છે.

(D) સમીકરણ $(I)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(II)$ ને $8$ વડે ગુણતા:
$40x + 35y = 675$
$40x + 48y = 792$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(40x + 48y) - (40x + 35y) = 792 - 675$
$13y = 117 \Rightarrow y = 9$
$y = 9$ ની કિંમત સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા:
$8x + 7(9) = 135 \Rightarrow 8x + 63 = 135 \Rightarrow 8x = 72 \Rightarrow x = 9$
$y = 9$ ની કિંમત સમીકરણ $(III)$ માં મૂકતા:
$9(9) + 8z = 121 \Rightarrow 81 + 8z = 121 \Rightarrow 8z = 40 \Rightarrow z = 5$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x = 9, y = 9, z = 5$.
તેથી,$x = y > z$.

(D) સમીકરણ $I$ પરથી: $(x+y)^{3} = 1331 \implies x+y = \sqrt[3]{1331} = 11$.
તેથી,$y = 11-x$.
આ કિંમતને સમીકરણ $III$ માં મૂકતા: $x(11-x) = 28 \implies 11x - x^{2} = 28$.
પુનઃગોઠવણ કરતા દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $x^{2} - 11x + 28 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2} - 7x - 4x + 28 = 0 \implies x(x-7) - 4(x-7) = 0 \implies (x-7)(x-4) = 0$.
આમ,$x = 7$ અથવા $x = 4$.
જો $x = 7$ હોય,તો $y = 11-7 = 4$.
જો $x = 4$ હોય,તો $y = 11-4 = 7$.
હવે,સમીકરણ $II$ નો ઉપયોગ કરતા: $x-y+z = 0 \implies z = y-x$.
કિસ્સો $1$: જો $x = 7, y = 4$ હોય,તો $z = 4-7 = -3$.
કિસ્સો $2$: જો $x = 4, y = 7$ હોય,તો $z = 7-4 = 3$.
આમ,$x$ એ $y$ કરતા મોટો હોઈ શકે અથવા $y$ કરતા નાનો હોઈ શકે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચે કોઈ નિશ્ચિત સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$I. x + 3y + 4z = 96$
$II. 2x + 8z = 80$
$III. 2x + 6y = 120$
સમીકરણ $(III)$ પરથી,$2x = 120 - 6y$,તેથી $x = 60 - 3y$.
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(II)$ માં મૂકતા:
$2(60 - 3y) + 8z = 80$
$120 - 6y + 8z = 80$
$8z - 6y = -40 \Rightarrow 4z - 3y = -20 \Rightarrow 3y = 4z + 20 \Rightarrow y = \frac{4z + 20}{3}$.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા:
$(60 - 3y) + 3y + 4z = 96$
$60 + 4z = 96$
$4z = 36 \Rightarrow z = 9$.
હવે,$y$ શોધો:
$y = \frac{4(9) + 20}{3} = \frac{36 + 20}{3} = \frac{56}{3} \approx 18.67$.
હવે,$x$ શોધો:
$x = 60 - 3(18.67) = 60 - 56 = 4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x = 4, y = 18.67, z = 9$.
આમ,$x < z < y$,જેનો અર્થ છે કે $x < y$ અને $y > z$. તેથી,$x < y > z$.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: ધારો કે $k = \frac{3x}{3x+7}$. તેથી $k - \frac{1}{k} = 14 \implies k^2 - 14k - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $k = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 4}}{2} = 7 \pm 5\sqrt{2}$.
$k = \frac{3x}{3x+7}$ હોવાથી,$x$ માટે ઉકેલતા,$x$ ના બંને બીજ ઋણ મળશે કારણ કે પરિણામી દ્વિઘાત સમીકરણ $126x^2 + 336x + 49 = 0$ માં અચળ પદ અને મધ્યમ પદ બંને ધન છે.
સમીકરણ $II$ માટે: ધારો કે $m = \frac{y}{18y-5}$. તેથી $m - \frac{1}{m} = 2 \implies m^2 - 2m - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
$y$ માટે ઉકેલતા,$y$ ના બીજ ધન મળે છે કારણ કે પરિણામી દ્વિઘાત સમીકરણ $359y^2 - 190y + 25 = 0$ માં અચળ પદ ધન અને મધ્યમ પદ ઋણ છે.
આમ,$x$ ની તમામ કિંમતો ઋણ છે અને $y$ ની તમામ કિંમતો ધન છે,તેથી $x < y$ થાય.