Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(7) બહુપદીની ઘાત શોધવા માટે,પહેલા પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો:
$y^{3}(1-y^{4}) = y^{3} - y^{3+4} = y^{3} - y^{7}$.
બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
$y^{3} - y^{7}$ પદાવલિમાં,$y$ ની ઘાત $3$ અને $7$ છે.
સૌથી મોટી ઘાત $7$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $7$ છે.

(N/A) $(i)$ બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત. આપેલી બહુપદી $\frac{1}{5}x^{3} + \frac{2}{5}x + \frac{1}{5} - \frac{7}{2}x^{2} - x^{6}$ માં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $6$ છે. તેથી,બહુપદીની ઘાત $6$ છે.
$(ii)$ $x^{3}$ વાળું પદ $\frac{x^{3}}{5}$ છે,જેને $\frac{1}{5}x^{3}$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$x^{3}$ નો સહગુણક $\frac{1}{5}$ છે.
$(iii)$ $x^{6}$ વાળું પદ $-x^{6}$ છે,જે $-1 \cdot x^{6}$ છે. તેથી,$x^{6}$ નો સહગુણક $-1$ છે.
$(iv)$ અચળ પદ એટલે $x$ થી સ્વતંત્ર પદ. વિસ્તૃત સ્વરૂપ $\frac{1}{5}x^{3} - \frac{7}{2}x^{2} + \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}$ માં,અચળ પદ $\frac{1}{5}$ છે.

(N/A) $(i)$ આપેલ બહુપદી $\frac{\pi}{6} x + 1 \cdot x^{2} - 1$ છે. આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ મળે છે.
$(ii)$ આપેલ બહુપદી $3x - 5$ ને $0 \cdot x^{2} + 3x - 5$ તરીકે લખી શકાય છે. તેથી,આ બહુપદીમાં $x^{2}$ નો સહગુણક $0$ છે.

(N/A) $(i)$ આપેલ બહુપદીનું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરી શકાય:
$(x-1)(3 x-4) = 3 x^{2} - 4 x - 3 x + 4$
$= 3 x^{2} - 7 x + 4$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c$ સાથે સરખાવતા,$x^{2}$ નો સહગુણક $3$ મળે છે.
$(ii)$ આપેલ બહુપદીનું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરી શકાય:
$(2 x-5)(2 x^{2}-3 x+1) = 2 x(2 x^{2}-3 x+1) - 5(2 x^{2}-3 x+1)$
$= 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x - 10 x^{2} + 15 x - 5$
$= 4 x^{3} - 16 x^{2} + 17 x - 5$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$x^{2}$ નો સહગુણક $-16$ મળે છે.

(D) $n$ ઘાતવાળી બહુપદીને પદાવલિમાં રહેલા ચલના સૌથી મોટા ઘાતાંકના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 2 - x^{2} + x^{3}$ માટે,ચલ $x$ નો સૌથી મોટો ઘાતાંક $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$2 - x^{2} + x^{3}$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(D) $3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
બહુપદી $3x^3$ ની ઘાત $3$ હોવાથી,તે એક ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(B) $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$5t - \sqrt{7}$ પદાવલિમાં,ચલ $t$ ની ઘાત $1$ છે.
ચલની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,$5t - \sqrt{7}$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(C) $1$ ઘાતવાળી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$2$ ઘાતવાળી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$3$ ઘાતવાળી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
પદાવલિ $4-5 y^{2}$ માં,ચલ $y$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
આથી,આ બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(A) પદાવલિ $3$ એ અચળ બહુપદી છે.
આનું કારણ એ છે કે $3$ ને $3x^0$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ છે.
$0$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને અચળ બહુપદી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(B) $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = 2+x$ છે.
આ પદાવલિમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
તેથી,$2+x$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(D) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેની ઘાતને આધારે કરવામાં આવે છે,જે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત છે.
આપેલ બહુપદી $p(y) = y^{3}-y$ માટે,ચલ $y$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$y^{3}-y$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(C) $1$ ઘાતવાળી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી,$2$ ઘાતવાળી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી અને $3$ ઘાતવાળી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $1+x+x^{2}$ માં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તેને દ્વિઘાત બહુપદી તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(QUADRATIC) $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
બહુપદી $t^{2}$ ની ઘાત $2$ હોવાથી,તે એક દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(B) $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $\sqrt{2} x - 1$ છે.
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,બહુપદીની ઘાત $1$ છે.
તેથી,$\sqrt{2} x - 1$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(N/A) જે બહુપદીમાં માત્ર એક જ પદ હોય તેને એકપદી કહેવાય,જે બહુપદીમાં માત્ર બે પદ હોય તેને દ્વિપદી કહેવાય અને જે બહુપદીમાં માત્ર ત્રણ પદ હોય તેને ત્રિપદી કહેવાય.
$(i)$ $3x$ એ $1$ ઘાતવાળી એકપદી છે.
$(ii)$ $x^{20} - 7$ એ $20$ ઘાતવાળી દ્વિપદી છે.
$(iii)$ $5x^2 + 3x - 1$ એ $2$ ઘાતવાળી ત્રિપદી છે.

(B) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 5$ છે.
$x = 3$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $3$ મૂકીશું:
$p(3) = 3(3)^{3} - 4(3)^{2} + 7(3) - 5$
ઘાતની ગણતરી કરતા:
$p(3) = 3(27) - 4(9) + 21 - 5$
ગુણાકાર કરતા:
$p(3) = 81 - 36 + 21 - 5$
સરવાળા અને બાદબાકી કરતા:
$p(3) = 45 + 21 - 5 = 66 - 5 = 61$.
આમ,$x = 3$ આગળ બહુપદીની કિંમત $61$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 5$ છે.
$x = -3$ આગળ કિંમત શોધવા માટે,આપણે બહુપદીમાં $x$ ની જગ્યાએ $-3$ મૂકીશું:
$p(-3) = 3(-3)^{3} - 4(-3)^{2} + 7(-3) - 5$
ઘાતની ગણતરી કરતા:
$p(-3) = 3(-27) - 4(9) - 21 - 5$
ગુણાકાર કરતા:
$p(-3) = -81 - 36 - 21 - 5$
ઋણ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરતા:
$p(-3) = -143$.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^2 - 4x + 3$ છે.
પ્રથમ,$p(2)$ ની ગણતરી કરો:
$p(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
ત્યારબાદ,$p(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$p(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$.
પછી,$p\left(\frac{1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરો:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
અંતે,$p(2) - p(-1) + p\left(\frac{1}{2}\right)$ પદાવલિની કિંમત શોધો:
$= -1 - 8 + \frac{5}{4} = -9 + \frac{5}{4} = \frac{-36 + 5}{4} = \frac{-31}{4}$.

આપેલ બહુપદી $p(x) = 10x - 4x^{2} - 3$ છે.
$(i)$ $p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 0$ મૂકતા:
$p(0) = 10(0) - 4(0)^{2} - 3 = 0 - 0 - 3 = -3$.
$(ii)$ $p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = 10(1) - 4(1)^{2} - 3 = 10 - 4 - 3 = 3$.
$(iii)$ $p(-2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = 10(-2) - 4(-2)^{2} - 3 = -20 - 4(4) - 3 = -20 - 16 - 3 = -39$.

(N/A) આપેલ બહુપદી $p(y) = (y+2)(y-2)$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને $p(y) = y^2 - 4$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
પગલું $1$: $p(0)$ શોધો.
$p(0) = (0)^2 - 4 = 0 - 4 = -4$.
પગલું $2$: $p(1)$ શોધો.
$p(1) = (1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
પગલું $3$: $p(-2)$ શોધો.
$p(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

(B) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય એ એવી સંખ્યા $c$ છે કે જેના માટે $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(x) = x - 3$.
$-3$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(-3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-3) = -3 - 3 = -6$.
અહીં $p(-3) = -6 \neq 0$ હોવાથી,$-3$ એ બહુપદી $x - 3$ નું શૂન્ય નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય એ એવી સંખ્યા $c$ છે કે જેના માટે $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(x) = 3x + 1$.
ચકાસણી કરવા માટે,$x = -\frac{1}{3}$ ને બહુપદીમાં મૂકો:
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + 1 = 0$.
અહીં $p\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$ મળે છે,તેથી તે સાબિત થાય છે કે $-\frac{1}{3}$ એ $3x + 1$ બહુપદીનું શૂન્ય છે. તેથી,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(FALSE) બહુપદી $p(y)$ નું શૂન્ય એ એવી કિંમત $c$ છે કે જેના માટે $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(y) = 4 - 5y$.
બહુપદીમાં $y = -\frac{4}{5}$ મૂકતા:
$p\left(-\frac{4}{5}\right) = 4 - 5\left(-\frac{4}{5}\right)$
$p\left(-\frac{4}{5}\right) = 4 + 4 = 8$.
અહીં $p\left(-\frac{4}{5}\right) \neq 0$ હોવાથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
તેથી,$-\frac{4}{5}$ એ $4 - 5y$ નું શૂન્ય નથી.

(TRUE) બહુપદી $p(t)$ નું શૂન્ય એ એવી સંખ્યા $c$ છે કે જેથી $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(t) = t^{2} - 2t$.
$t = 0$ માટે:
$p(0) = (0)^{2} - 2(0) = 0 - 0 = 0$.
$t = 2$ માટે:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) = 4 - 4 = 0$.
અહીં $p(0) = 0$ અને $p(2) = 0$ હોવાથી,આપેલ વિધાન સાચું છે. આમ,$0$ અને $2$ એ બહુપદી $t^{2} - 2t$ ના શૂન્યો છે.

(TRUE) બહુપદી $p(y)$ નું શૂન્ય એ એવી સંખ્યા $c$ છે કે જેના માટે $p(c) = 0$ થાય.
ધારો કે $p(y) = y^{2} + y - 6$.
બહુપદીમાં $y = -3$ મૂકતા:
$p(-3) = (-3)^{2} + (-3) - 6$
$p(-3) = 9 - 3 - 6$
$p(-3) = 0$.
અહીં $p(-3) = 0$ હોવાથી,$-3$ એ બહુપદી $y^{2} + y - 6$ નું શૂન્ય છે,તે વિધાન સત્ય છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = x - 4$.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 4 = 0$
સમીકરણની બંને બાજુએ $4$ ઉમેરતા:
$x = 4$
તેથી,બહુપદી $p(x) = x - 4$ નું શૂન્ય $4$ છે.

(A) બહુપદી $g(x) = 3 - 6x$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $g(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3 - 6x = 0$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$-6x = -3$
બંને બાજુને $-6$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{-3}{-6}$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{1}{2}$
તેથી,બહુપદી $g(x) = 3 - 6x$ નું શૂન્ય $\frac{1}{2}$ છે.

(B) બહુપદી $q(x) = 2x - 7$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$q(x) = 0$
$2x - 7 = 0$
બંને બાજુ $7$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$2x = 7$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{7}{2}$
તેથી,બહુપદી $q(x) = 2x - 7$ નું શૂન્ય $\frac{7}{2}$ છે.

(C) બહુપદી $h(y) = 2y$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને શૂન્યની બરાબર લઈએ છીએ.
$h(y) = 0$
$2y = 0$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$y = 0$
તેથી,$0$ એ બહુપદી $h(y) = 2y$ નું શૂન્ય છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = (x-2)^{2} - (x+2)^{2}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = (x-2)$ અને $b = (x+2)$ છે:
$p(x) = [(x-2) - (x+2)] \cdot [(x-2) + (x+2)] = 0$
$p(x) = (x - 2 - x - 2) \cdot (x - 2 + x + 2) = 0$
$p(x) = (-4) \cdot (2x) = 0$
$-8x = 0$
$x = 0$
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $0$ છે.

(N/A) $x^{4}+1$ ને $x+1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે લાંબી ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
ભાજક $x+1$ છે અને ભાજ્ય $x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+1$ છે.
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^{3}$ મળે છે.
$2$. $x^{3}(x+1) = x^{4}+x^{3}$ નો ગુણાકાર કરો અને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(x^{4}+0x^{3}) - (x^{4}+x^{3}) = -x^{3}$.
$3$. આગળનું પદ $(0x^{2})$ નીચે ઉતારતા $-x^{3}+0x^{2}$ મળે છે.
$4$. $-x^{3}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-x^{2}$ મળે છે. $-x^{2}(x+1) = -x^{3}-x^{2}$ નો ગુણાકાર કરો અને બાદબાકી કરો: $(-x^{3}+0x^{2}) - (-x^{3}-x^{2}) = x^{2}$.
$5$. $0x$ ને નીચે ઉતારતા $x^{2}+0x$ મળે છે. $x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $x$ મળે છે. $x(x+1) = x^{2}+x$ નો ગુણાકાર કરો અને બાદબાકી કરો: $(x^{2}+0x) - (x^{2}+x) = -x$.
$6$. $1$ ને નીચે ઉતારતા $-x+1$ મળે છે. $-x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-1$ મળે છે. $-1(x+1) = -x-1$ નો ગુણાકાર કરો અને બાદબાકી કરો: $(-x+1) - (-x-1) = 2$.
આમ,ભાગફળ $x^{3}-x^{2}+x-1$ છે અને શેષ $2$ છે.

(B) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં $g(x) = x + 1$ આપેલ છે,તેથી $x$ ની કિંમત શોધવા માટે $g(x) = 0$ લેતા:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
હવે,$p(x)$ માં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - 2(-1)^{2} - 4(-1) - 1$
$p(-1) = -1 - 2(1) + 4 - 1$
$p(-1) = -1 - 2 + 4 - 1$
$p(-1) = -4 + 4 = 0$.
આમ,શેષ $0$ છે.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં $g(x) = x - 3$ આપેલ છે,તેથી $x$ ની કિંમત શોધવા માટે $g(x) = 0$ લેતા:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
હવે,$p(x)$ માં $x = 3$ મૂકતા:
$p(3) = (3)^{3} - 3(3)^{2} + 4(3) + 50$
$p(3) = 27 - 3(9) + 12 + 50$
$p(3) = 27 - 27 + 12 + 50$
$p(3) = 0 + 62 = 62$.
આમ,મળતી શેષ $62$ છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(ax - b)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p\left(\frac{b}{a}\right)$ મળે છે.
અહીં $g(x) = 2x - 1$ આપેલ છે,તેથી $g(x) = 0$ લેતા:
$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
હવે,$p(x)$ માં $x = \frac{1}{2}$ મુકતા:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 12\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 14\left(\frac{1}{2}\right) - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{8}\right) - 12\left(\frac{1}{4}\right) + 7 - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - 3 + 7 - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
આમ,શેષ $\frac{3}{2}$ છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $g(x) = ax + b$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(-b/a)$ મળે છે.
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે $g(x) = 0$ લો:
$1 - \frac{3}{2}x = 0$
$\frac{3}{2}x = 1$
$x = \frac{2}{3}$
હવે,$p(x)$ માં $x = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - 6\left(\frac{2}{3}\right)^{2} + 2\left(\frac{2}{3}\right) - 4$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - 6\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{4}{3} - 4$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{24}{9} + \frac{4}{3} - 4$
સરવાળો કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $27$ લો:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{72}{27} + \frac{36}{27} - \frac{108}{27}$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8 - 72 + 36 - 108}{27}$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{-136}{27}$

(N/A) બહુપદી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી ત્યારે જ કહેવાય જો $g(x)$ એ $p(x)$ ને નિઃશેષ ભાગે,એટલે કે શેષ $0$ મળે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો $g(x) = x - 2$ હોય,તો $x - 2 = 0$ લેતા $x = 2$ મળે.
હવે,$p(2)$ ની કિંમત શોધીને શેષ મેળવીએ:
$p(2) = (2)^{3} - 5(2)^{2} + 4(2) - 3$
$p(2) = 8 - 5(4) + 8 - 3$
$p(2) = 8 - 20 + 8 - 3$
$p(2) = -7$
અહીં શેષ $-7$ મળે છે,જે $0$ નથી,તેથી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી નથી.

(B) બહુપદી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી ત્યારે જ કહેવાય જો $g(x)$ એ $p(x)$ ને સંપૂર્ણપણે ભાગે,જેનો અર્થ છે કે શેષ $0$ હોવી જોઈએ.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો આપણે $p(x)$ ને $g(x) = 2x + 1$ વડે ભાગીએ,તો $x$ ની કિંમત શોધવા માટે $g(x) = 0$ લઈએ:
$2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.
હવે,$p(-\frac{1}{2})$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 - 11(-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{1}{2}) + 5$
$= 2(-\frac{1}{8}) - 11(\frac{1}{4}) + 2 + 5$
$= -\frac{1}{4} - \frac{11}{4} + 7$
$= \frac{-1 - 11 + 28}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
અહીં શેષ $4$ મળે છે,જે $0$ નથી,તેથી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી નથી.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 69 + 11x - x^2 + x^3$ અને $g(x) = x + 3$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $g(a) = 0$ હોય ત્યારે $p(a) = 0$ થાય,તો $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$g(x) = x + 3 = 0$ લેતા,આપણને $x = -3$ મળે છે.
હવે,$p(-3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-3) = 69 + 11(-3) - (-3)^2 + (-3)^3$
$p(-3) = 69 - 33 - 9 - 27$
$p(-3) = 69 - 69 = 0$.
અહીં $p(-3) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $x + 3$ એ $69 + 11x - x^2 + x^3$ નો અવયવ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 2x^3 - 9x^2 + x + 12$ અને $g(x) = 2x - 3$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $g(x)$ નું શૂન્ય $x = a$ હોય અને $p(a) = 0$ થાય,તો $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$g(x) = 0$ લેતા,$2x - 3 = 0$,તેથી $x = \frac{3}{2}$ મળે.
હવે,$p\left(\frac{3}{2}\right)$ ની કિંમત શોધતા:
$p\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right) + 12$
$= 2\left(\frac{27}{8}\right) - 9\left(\frac{9}{4}\right) + \frac{3}{2} + 12$
$= \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + \frac{6}{4} + \frac{48}{4}$
$= \frac{27 - 81 + 6 + 48}{4} = \frac{81 - 81}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
અહીં $p\left(\frac{3}{2}\right) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $2x - 3$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
$(i)$ ધારો કે $p(x) = 3x^2 + 6x - 24$.
જો $(x-2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(2)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
$p(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 24 = 3(4) + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$.
અહીં $p(2) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x-2)$ એ $3x^2 + 6x - 24$ નો અવયવ છે.
$(ii)$ ધારો કે $p(x) = 4x^2 + x - 2$.
જો $(x-2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(2)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
$p(2) = 4(2)^2 + 2 - 2 = 4(4) + 0 = 16$.
અહીં $p(2)
eq 0$ હોવાથી,$(x-2)$ એ $4x^2 + x - 2$ નો અવયવ નથી.

(N/A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-a)$ એ બહુપદી $f(x)$ નો અવયવ હોય,તો $f(a) = 0$ થાય.
બહુપદી $f(p) = p^{10}-1$ માટે,આપણે $p=1$ મૂકીને અવયવ $(p-1)$ ની ચકાસણી કરીએ:
$f(1) = (1)^{10} - 1 = 1 - 1 = 0$.
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$(p-1)$ એ $p^{10}-1$ નો અવયવ છે.
બહુપદી $g(p) = p^{11}-1$ માટે,આપણે $p=1$ મૂકીને અવયવ $(p-1)$ ની ચકાસણી કરીએ:
$g(1) = (1)^{11} - 1 = 1 - 1 = 0$.
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$(p-1)$ એ $p^{11}-1$ નો અવયવ છે.
આમ,સાબિત થાય છે કે $(p-1)$ એ $p^{10}-1$ અને $p^{11}-1$ બંનેનો અવયવ છે.

(A) જો $x^{3}-2 m x^{2}+16$ એ $x+2$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ,$x+2$ એ $p(x) = x^{3}-2 m x^{2}+16$ નો એક અવયવ છે.
$x+2$ અવયવ હોવા માટે,$p(-2) = 0$ થવું જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = (-2)^{3} - 2m(-2)^{2} + 16$
$p(-2) = -8 - 2m(4) + 16$
$p(-2) = -8 - 8m + 16$
$p(-2) = 8 - 8m$
$p(-2) = 0$ લેતા:
$8 - 8m = 0$
$8m = 8$
$m = 1$
આમ,$m = 1$ માટે,બહુપદી $x+2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{5}-4a^{2}x^{3}+2x+2a+3$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+2a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-2a) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -2a$ મૂકતા:
$p(-2a) = (-2a)^{5} - 4a^{2}(-2a)^{3} + 2(-2a) + 2a + 3$
$p(-2a) = -32a^{5} - 4a^{2}(-8a^{3}) - 4a + 2a + 3$
$p(-2a) = -32a^{5} + 32a^{5} - 2a + 3$
$p(-2a) = -2a + 3$
કારણ કે $p(-2a) = 0$,તેથી:
$-2a + 3 = 0$
$2a = 3$
$a = \frac{3}{2}$

(B) ધારો કે $p(x) = 8x^4 + 4x^3 - 16x^2 + 10x + m$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(2x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(\frac{1}{2}) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$8(\frac{1}{2})^4 + 4(\frac{1}{2})^3 - 16(\frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2}) + m = 0$
$8(\frac{1}{16}) + 4(\frac{1}{8}) - 16(\frac{1}{4}) + 5 + m = 0$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 4 + 5 + m = 0$
$1 - 4 + 5 + m = 0$
$2 + m = 0$
તેથી,$m = -2$ મળે છે.

(C) ધારો કે $p(x) = ax^3 + x^2 - 2x + 4a - 9$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$a(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 4a - 9 = 0$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$-a + 1 + 2 + 4a - 9 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$3a - 6 = 0$
$a$ માટે ઉકેલતા:
$3a = 6$
$a = 2$

(A) દ્વિઘાત પદાવલી $x^{2}+9x+18$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધવી પડશે કે જેથી તેમનો સરવાળો $p+q = 9$ અને તેમનો ગુણાકાર $pq = 18$ થાય.
$18$ ના અવયવો જોતા,આપણને મળે છે કે $6+3 = 9$ અને $6 \times 3 = 18$.
હવે,આપણે મધ્યમ પદ $9x$ ને $6x + 3x$ તરીકે વિભાજિત કરીએ છીએ:
$x^{2}+9x+18 = x^{2}+6x+3x+18$
આગળ,આપણે પદોના જૂથ બનાવીએ અને સામાન્ય પદો બહાર કાઢીએ:
$= x(x+6) + 3(x+6)$
અંતે,$(x+6)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$= (x+6)(x+3)$

(N/A) દ્વિઘાત પદાવલિ $6x^{2} + 7x - 3$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $p + q = 7$ ($x$ નો સહગુણક) અને $p \times q = 6 \times (-3) = -18$ ($x^{2}$ નો સહગુણક અને અચળ પદનો ગુણાકાર) થાય.
સ્પષ્ટ છે કે,$9 + (-2) = 7$ અને $9 \times (-2) = -18$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $7x$ ને $9x - 2x$ તરીકે લખતા:
$6x^{2} + 9x - 2x - 3$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવા માટે પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$= 3x(2x + 3) - 1(2x + 3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2x + 3)$ ને સામાન્ય લેતા:
$= (2x + 3)(3x - 1)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $2 x^{2}-7 x-15$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધીએ છીએ જેનો સરવાળો $x$ નો સહગુણક એટલે કે $-7$ થાય અને જેનો ગુણાકાર $x^{2}$ ના સહગુણક અને અચળ પદનો ગુણાકાર એટલે કે $2 \times (-15) = -30$ થાય.
આપણે $p+q = -7$ અને $p q = -30$ જોઈએ છે.
$-30$ ના અવયવો તપાસતા,આપણને મળે છે કે $-10$ અને $3$ આ શરતોનું પાલન કરે છે: $(-10) + 3 = -7$ અને $(-10) \times 3 = -30$.
હવે,મધ્યમ પદ $-7 x$ ને $-10 x + 3 x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$2 x^{2}-7 x-15 = 2 x^{2}-10 x+3 x-15$
સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડો:
$= 2 x(x-5) + 3(x-5)$
$(x-5)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$= (x-5)(2 x+3)$

(B) $84 - 2r - 2r^2$ ના અવયવ પાડવા માટે,પહેલા પદોને $r$ ની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$-2r^2 - 2r + 84$
સામાન્ય પદ $-2$ ને બહાર કાઢો:
$-2(r^2 + r - 42)$
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $r^2 + r - 42$ ના અવયવ પાડો. આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $-42$ થાય અને સરવાળો $1$ થાય:
આ સંખ્યાઓ $7$ અને $-6$ છે.
તેથી,$r^2 + 7r - 6r - 42 = r(r + 7) - 6(r + 7) = (r - 6)(r + 7)$.
આમ,અંતિમ અવયવ સ્વરૂપ છે:
$-2(r - 6)(r + 7)$

(D) ધારો કે $f(x) = 2x^{3}-3x^{2}-17x+30$ એ આપેલ બહુપદી છે.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે $f(2) = 2(8) - 3(4) - 17(2) + 30 = 16 - 12 - 34 + 30 = 0$. તેથી,$(x-2)$ એક અવયવ છે.
$f(-3) = 2(-27) - 3(9) - 17(-3) + 30 = -54 - 27 + 51 + 30 = 0$ ચકાસતા. તેથી,$(x+3)$ એક અવયવ છે.
જેহেতু $(x-2)$ અને $(x+3)$ અવયવો છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $(x-2)(x+3) = x^{2}+x-6$ પણ એક અવયવ છે.
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30$ ને $(x^{2}+x-6)$ વડે ભાગતા:
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30 = (x^{2}+x-6)(2x-5)$.
$(x^{2}+x-6)$ ના અવયવ $(x-2)(x+3)$ પાડતા,આપણને મળે છે:
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30 = (x-2)(x+3)(2x-5)$.