Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(D) સીમિત સીધા તારને કારણે લંબ અંતર $d$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $d = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ છે,જ્યાં $a = 4 \sqrt{3} \,cm = 4 \sqrt{3} \times 10^{-2} \,m$.
તેથી,$d = \frac{4 \sqrt{3} \times 10^{-2}}{2 \sqrt{3}} = 2 \times 10^{-2} \,m$.
દરેક બાજુના અંતિમ બિંદુઓ દ્વારા મધ્યકેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi d} \sin 60^{\circ}$ છે.
ત્રણ બાજુઓને કારણે મધ્યકેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{\mu_0 i}{2 \pi d} \sin 60^{\circ}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = 3 \times \frac{2 \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 10^{-2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \times 2 \times 10^{-5} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \times 10^{-5} \,T$.

(C) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે।
$N$ આંટા અને $R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળા માટે, પરિઘ $2\pi R_1 = L/N$ થાય, તેથી $R_1 = L/(2\pi N)$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 N I}{2 R_1} = \frac{\mu_0 N I}{2 (L / 2\pi N)} = \frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}$ મળે.
તે જ રીતે, $n$ આંટા અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૂંચળા માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 n^2 \pi I}{L}$ મળે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $B_1 / B_2 = (\frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}) / (\frac{\mu_0 \pi n^2 I}{L}) = N^2 / n^2$ થાય.

(C) બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે સીધા તારના ટુકડાઓ અને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
$1$. અર્ધ-અનંત સીધા તાર માટે,$r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ છે. બે આવા ટુકડાઓ માટે,કુલ ક્ષેત્ર $B_1 = 2 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ થાય.
$2$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{1}{2} \times \frac{\mu_0 i}{2 r} = \frac{\mu_0 i}{4 r}$ છે.
$3$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_P = B_1 + B_{arc} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 i}{4 r}$ છે.
$4$. $\frac{\mu_0 i}{2 r}$ સામાન્ય લેતા,$B_P = \frac{\mu_0 i}{2 r} \left( \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} \right)$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $\theta = \pi$ રેડિયન છે.
વાહકના સીધા ભાગો કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી કારણ કે બિંદુ $O$ આ સીધા તારની અક્ષ પર આવેલું છે.
આમ,કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે છે:
$B = \frac{\mu_0 I \pi}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{4 R}$.
અહીં $I = 3 \, A$,$R = \frac{\pi}{10} \, m$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ આપેલ છે:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{4 \times (\frac{\pi}{10})} = \frac{12 \pi \times 10^{-7}}{\frac{4 \pi}{10}} = \frac{12 \pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \pi} = 3 \times 10^{-6} \, T$.
કારણ કે $1 \, \mu T = 10^{-6} \, T$,તેથી $B = 3 \, \mu T$ મળે છે.

(D) $N$ આંટા,$R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$
આપેલ કિંમતો:
$N = 1000$
$I = 1\,A$
$R = 62.8\,cm = 0.628\,m = 62.8 \times 10^{-2}\,m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 1000 \times 1}{2 \times 62.8 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-4}}{125.6 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-4}}{1.256}$
$B = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3}\,T$
આમ,ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $10^{-3}\,T$ છે.

(B) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જ્યારે અનંત લંબાઈના સીધા વાહકમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે,ત્યારે તે તેની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની આસપાસ કેન્દ્રિત વર્તુળો બનાવે છે,જે વાહકની લંબાઈને લંબ હોય છે.

(A) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
આપેલ છે: $R = 100\,cm = 1\,m$,$x = 1\,m$,$I = \sqrt{2}\,A$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2} \times (1)^2}{2(1^2 + 1^2)^{3/2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2}}{2(2)^{3/2}}$
અહીં $(2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$ હોવાથી:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2}}{2 \times 2\sqrt{2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{4} = \pi \times 10^{-7}\,T$
$B = 3.14 \times 10^{-7}\,T$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r = 20\,cm = 0.2\,m$ અને $i = \sqrt{2}\,A$ છે.
બે કોઈલ સમાન હોવાથી અને પરસ્પર લંબ સમતલોમાં મૂકવામાં આવી હોવાથી,દરેક કોઈલ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન મૂલ્ય $B_C$ ધરાવશે પરંતુ તે પરસ્પર લંબ અક્ષો (દા.ત.,$x$ અને $y$ અક્ષ) પર હશે.
$B_C = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2}}{2 \times 0.2} = \pi \times \sqrt{2} \times 10^{-6}\,T$.
કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ એ બે ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$B_{net} = \sqrt{B_C^2 + B_C^2} = B_C \sqrt{2}$.
$B_C$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_{net} = (\pi \times \sqrt{2} \times 10^{-6}) \times \sqrt{2} = 2\pi \times 10^{-6}\,T$.
$B_{net} = 2 \times 3.14 \times 10^{-6}\,T = 6.28 \times 10^{-6}\,T$.
$B_{net} = 628 \times 10^{-8}\,T$.
આમ,જવાબ $628$ છે.

(A) કોઈલના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલની અક્ષ પર $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + d^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $d = r$ આપેલ છે,તેથી $B_2$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2^{3/2} r^3)} = \frac{\mu_0 I}{2(2\sqrt{2})r} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I}{2r} \times \frac{4\sqrt{2}r}{\mu_0 I} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{8}$.
આને $\sqrt{x}: 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{x} = \sqrt{8}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 8$.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{4R}$
આપેલ છે:
$I = 14\,A$
$R = 2.2\,cm = 2.2 \times 10^{-2}\,m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 14}{4 \times 2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{\pi \times 10^{-7} \times 14}{2.2 \times 10^{-2}}$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$B = \frac{(22/7) \times 14 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{22 \times 2 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{44 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}} = 20 \times 10^{-5}\,T = 2 \times 10^{-4}\,T$
આમ,જવાબ $2$ છે.

(D) વર્તુળાકાર લૂપમાં વહેતા પ્રવાહ $I$ ને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ફરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
આપેલ કિંમતો: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$v = 6.76 \times 10^6 \, m/s$,$r = 0.52 \times 10^{-10} \, m$,અને $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$.
$B = 10^{-7} \times \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 6.76 \times 10^6}{(0.52 \times 10^{-10})^2}$.
$B = 10^{-7} \times \frac{10.816 \times 10^{-13}}{0.2704 \times 10^{-20}} = 10^{-7} \times 40 \times 10^7 = 40 \, T$.

(D) બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
$1$. $R$ અંતરે દરેક અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બંને તાર પાનાની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$2$. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 i}{4 R}$ છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ છે.
$3$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_{arc} - 2 \times B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 R} - 2 \left( \frac{\mu_0 i}{4 \pi R} \right) = \frac{\mu_0 i}{4 R} \left( 1 - \frac{2}{\pi} \right)$ છે.
કારણ કે $1 > \frac{2}{\pi}$,તેથી ચોખ્ખું ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ (પાનાથી દૂર) હશે.

(D) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 10 \ A$ છે અને બિંદુ $P$ નું દરેક તારથી અંતર $r = \frac{5.0 \ cm}{2} = 2.5 \ cm = 2.5 \times 10^{-2} \ m$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ બિંદુ $P$ પર બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હશે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = 2 \times \left(\frac{\mu_0 i}{2\pi r}\right) = \frac{\mu_0 i}{\pi r}$.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{\pi \times 2.5 \times 10^{-2}} = \frac{40 \times 10^{-7}}{2.5 \times 10^{-2}} = 16 \times 10^{-5} \ T$.
$\mu T$ માં રૂપાંતર કરતા: $16 \times 10^{-5} \ T = 160 \times 10^{-6} \ T = 160 \ \mu T$.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (અંદરની તરફ,લૂપના સમતલને લંબ) છે.
$B_{total} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_1} + \frac{\mu_0 I}{4R_2} = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$.
આપેલ છે કે $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$,$I = 4 \text{ A}$,$R_1 = 2\pi \text{ m}$,અને $R_2 = 4\pi \text{ m}$.
$B_{total} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4} \left( \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{4\pi} \right) = 4\pi \times 10^{-7} \left( \frac{2+1}{4\pi} \right) = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{3}{4\pi} = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$.
આને $\alpha \times 10^{-7} \text{ T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$ મળે છે.

(C) '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતા અને '$I$' વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે લૂપ $A$ અને $B$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ પર તેમના દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ પરસ્પર લંબ હશે.
ધારો કે $B_A$ એ લૂપ $A$ ને કારણે અને $B_B$ એ લૂપ $B$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. તેથી $B_A = B_B = \frac{\mu_0 I}{2 a}$.
કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ એ $B_A$ અને $B_B$ નો સદિશ સરવાળો છે:
$B_{net} = \sqrt{B_A^2 + B_B^2} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 a}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 I}{2 a}\right)^2}$
$B_{net} = \sqrt{2 \left(\frac{\mu_0 I}{2 a}\right)^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\mu_0 I}{2 a} = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} a}$.

(B) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $d$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 1 \ m$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું અંતર $d = a/2 = 0.5 \ m$ છે.
ખૂણાઓ $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ છે,તેથી $\sin 45^\circ = 1/\sqrt{2}$.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{2 \pi a}$ છે.
ચોરસ લૂપ માટે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times B_1 = \frac{2 \mu_0 i \sqrt{2}}{\pi a}$ છે.
આપેલ છે કે $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,$i = 5 \ A$,અને $a = 1 \ m$:
$B = \frac{2 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 5 \times \sqrt{2}}{\pi \times 1} = 40 \sqrt{2} \times 10^{-7} \ T$.
આને $X \sqrt{2} \times 10^{-7} \ T$ સાથે સરખાવતા,આપણને $X = 40$ મળે છે.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ છે.
આપેલ છે: $N = 100$,$r = \pi \text{ cm} = \pi \times 10^{-2} \text{ m}$.
ગૂંચળા $P$ માટે $I_1 = 1 \text{ A}$:
$B_P = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1}{2 \times \pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{2 \pi \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-3} \text{ T} = 2 \text{ mT}$.
ગૂંચળા $Q$ માટે $I_2 = 2 \text{ A}$:
$B_Q = \frac{\mu_0 \times 100 \times 2}{2 \times \pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200}{2 \pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-3} \text{ T} = 4 \text{ mT}$.
ગૂંચળાના સમતલો એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_P$ અને $B_Q$ એકબીજાને લંબ હશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = \sqrt{B_P^2 + B_Q^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \text{ mT}$.
$\sqrt{x} \text{ mT}$ સાથે સરખાવતા,$x = 20$ મળે છે.

(A) નિયમિત ષટ્કોણની પરિમિતિ $L = 4 \pi \text{ m}$ છે. દરેક બાજુની લંબાઈ $a = \frac{L}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \text{ m}$ છે.
કેન્દ્રથી બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{2 \tan(30^{\circ})} = \frac{a}{2 \times (1/\sqrt{3})} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ છે.
$a = \frac{2 \pi}{3}$ મૂકતા,આપણને $r = \frac{(2 \pi / 3) \sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \text{ m}$ મળે છે.
એક બાજુને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (1)$ છે.
$6$ બાજુઓ માટે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
અહીં $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$,$I = 4 \pi \sqrt{3} \text{ A}$,અને $r = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \text{ m}$ આપેલ છે.
$B = 6 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4 \pi \sqrt{3}}{4 \pi \times (\pi / \sqrt{3})} = 6 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4 \pi \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4 \pi \times \pi} = 6 \times 4 \times 3 \times 10^{-7} = 72 \times 10^{-7} \text{ T}$.
આમ,$x = 72$.

(A) લાંબા સીધા તાર દ્વારા $d$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ માટે ($I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $1$ થી $r$ અંતરે અને $2I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $2$ થી $3r$ અંતરે):
$B_A = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 (2I)}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{3 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I + 2 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{5 \mu_0 I}{6 \pi r}$.
બિંદુ $C$ માટે ($I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $1$ થી $3r$ અંતરે અને $2I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર $2$ થી $r$ અંતરે):
$B_C = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} + \frac{\mu_0 (2I)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r} + \frac{2 \mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I + 6 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{7 \mu_0 I}{6 \pi r}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_A}{B_C} = \frac{5 \mu_0 I / 6 \pi r}{7 \mu_0 I / 6 \pi r} = \frac{5}{7}$.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{x}{7}$ છે,તેથી $x = 5$ મળે છે.

(A) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ, વિદ્યુતપ્રવાહ ઘટક $I d\vec{l}$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબ છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
આપેલ છે:
$I = 10 \,A$
$d\vec{l} = \Delta x \hat{i} = 1 \,cm \cdot \hat{i} = 0.01 \,m \cdot \hat{i}$
સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 0.5 \,m \cdot \hat{j}$
અંતર $r = 0.5 \,m$
કિંમતો મૂકતા:
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{10 \times (0.01 \hat{i} \times 0.5 \hat{j})}{(0.5)^3}$
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.005 \hat{k}}{0.125}$
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{0.05}{0.125} \hat{k} = 10^{-7} \times 0.4 \hat{k} = 4 \times 10^{-8} \,T \hat{k}$
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $4 \times 10^{-8} \,T$ છે.

(C) તારની અંદર $r < a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$r = \frac{a}{2}$ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I (a/2)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ થાય।
તારની બહાર $r > a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$r = 2a$ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (2a)} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ થાય।
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi a}{\mu_0 I / 4 \pi a} = 1: 1$ મળે છે।

(C) વિધાન $(I)$ સાચું છે. ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં,જ્યારે પ્રવાહ સમય સાથે બદલાય છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્રો બદલાય છે અને વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર પોતે વેગમાન ધરાવે છે. ન્યૂટનનો ત્રીજો નિયમ,તેના સરળ સ્વરૂપમાં,કણોને લાગુ પડે છે,પરંતુ સમગ્ર સિસ્ટમ માટે,કુલ વેગમાનના સંરક્ષણ માટે ક્ષેત્રના વેગમાનને ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે.
વિધાન $(II)$ ખોટું છે. એમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ બાયો-સાવર્ટના નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે. તે મૂળભૂત રીતે પ્રવાહ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના સંબંધનું સંકલિત સ્વરૂપ છે,જે મૂળભૂત રીતે બાયો-સાવર્ટના નિયમમાં રહેલું છે.

(B) $N$ આંટાવાળા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B_c = \frac{\mu_0 i N}{2 R}$
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 100$
ત્રિજ્યા $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$
વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 7 \,A$
શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
કિંમતો મૂકતા:
$B_c = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 7 \times 100}{2 \times 0.1}$
$B_c = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 700}{0.2}$
$B_c = \frac{8796.46 \times 10^{-7}}{0.2} \approx 4.398 \times 10^{-3} \,T$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા:
$B_c = 4.4 \times 10^{-3} \,T = 4.4 \,mT$

(A) તારો $12$ સમાન સીધા તારના ટુકડાઓનો બનેલો છે. દરેક ટુકડો કેન્દ્ર પર $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રથી દરેક ટુકડાનું લંબ અંતર $d = a \cos(30^{\circ}) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
એક ટુકડાને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$ છે.
આમ,$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a \sqrt{3} / 2)} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \frac{2}{\sqrt{3}} (1) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$12$ ટુકડાઓ માટે સરવાળો કરતા: $B = 12 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (2 \sin 30^{\circ}) = 12 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a \sqrt{3} / 2)} (1) = \frac{12 \mu_0 I}{2 \pi a \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3} \mu_0 I}{4 \pi a}$.

(A) $x=R$ પરના તારને કારણે ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi R} (\hat{k})$ અને $x=-R$ પરના તારને કારણે $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi R} (-\hat{k})$ છે.
$(A)$ જો $I_1=I_2$ હોય, તો ઉગમબિંદુ પર તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_{wires} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = 0$ થાય. જોકે, વર્તુળાકાર લૂપ ઉગમબિંદુ પર શૂન્ય ન હોય તેવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_{net} \neq 0$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ જો $I_1 > 0$ અને $I_2 < 0$ હોય, તો ઉગમબિંદુ પર તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_{wires} = \frac{\mu_0}{2 \pi R} (I_1 - I_2) \hat{k}$ છે. $I_1 > 0$ અને $I_2 < 0$ હોવાથી, $(I_1 - I_2) > 0$, તેથી $\vec{B}_{wires}$ એ $+\hat{k}$ દિશામાં છે. લૂપને કારણે ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $-\hat{k}$ દિશામાં છે. બંને ક્ષેત્રો $z$-અક્ષ પર હોવાથી, તેઓ એકબીજાને નાબૂદ કરી શકે છે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ જો $I_1 < 0$ અને $I_2 > 0$ હોય, તો $\vec{B}_{wires}$ એ $-\hat{k}$ દિશામાં છે. લૂપને કારણે ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ $-\hat{k}$ દિશામાં છે. તેઓ એકબીજાને નાબૂદ કરી શકતા નથી. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
$(D)$ લૂપના કેન્દ્ર $(0, 0, \sqrt{3}R)$ પર તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સંપૂર્ણપણે $x$-અક્ષ પર છે. કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $z$-ઘટક માત્ર લૂપને કારણે છે, જે $\left(-\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)$ છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(D) સેગમેન્ટ $PQ$ અને $PR$ ને કારણે $P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે $P$ બિંદુ આ વાહકોની રેખા પર આવેલું છે.
$P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર માત્ર સેગમેન્ટ $QR$ ને કારણે છે.
ધારો કે $PD$ એ $P$ થી $QR$ બાજુ પરનું લંબ અંતર છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PQ \times PR = \frac{1}{2} \times QR \times PD$
$\frac{1}{2} \times 3x \times 4x = \frac{1}{2} \times 5x \times PD$
$12x^2 = 5x \times PD \implies PD = \frac{12x}{5}$.
લંબ અંતર $d$ પર રહેલા મર્યાદિત વાયર સેગમેન્ટને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\triangle PQR$ માં, $\sin \phi_1 = \frac{PQ}{QR} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ અને $\sin \phi_2 = \frac{PR}{QR} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (12x/5)} \left( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{48 \pi x} \left( \frac{7}{5} \right)$
$B = \frac{7 \mu_0 I}{48 \pi x}$.
આને $k \left( \frac{\mu_0 I}{48 \pi x} \right)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $k = 7$ મળે છે.

(A) ધારો કે આપણે $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈની એક પ્રાથમિક રીંગ વિચારીએ જેમાં $I$ પ્રવાહ વહે છે.
આ પ્રાથમિક રીંગમાં આંટાઓની સંખ્યા $dN = \frac{N}{b-a} dr$ છે.
આ રીંગને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0 I dN}{2r}$ છે.
$dN$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dB = \frac{\mu_0 I N dr}{2(b-a)r}$ મળે છે.
સર્પાકારના કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \int_a^b \frac{\mu_0 I N dr}{2(b-a)r}$ છે.
તેથી,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} \int_a^b \frac{dr}{r}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} [\ln r]_a^b$.
આમ,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા તારથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોય.
$X_1$ અને $(X_0 - X_1)$ અંતરે રહેલા બે તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$:
$B_1 = \left| \frac{\mu_0 I}{2 \pi X_1} - \frac{\mu_0 I}{2 \pi (X_0 - X_1)} \right| = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left| \frac{X_0 - 2X_1}{X_1(X_0 - X_1)} \right|$.
આપેલ છે કે $\frac{X_0}{X_1} = 3$, તેથી $X_0 = 3X_1$. આ કિંમત મૂકતા:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left| \frac{3X_1 - 2X_1}{X_1(3X_1 - X_1)} \right| = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left( \frac{X_1}{2X_1^2} \right) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi X_1}$.
કિસ્સો $2$: પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.
બંને તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હોય છે. પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi X_1} + \frac{\mu_0 I}{2 \pi (X_0 - X_1)} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left( \frac{X_0 - X_1 + X_1}{X_1(X_0 - X_1)} \right) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left( \frac{X_0}{X_1(X_0 - X_1)} \right)$.
$X_0 = 3X_1$ મૂકતા:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left( \frac{3X_1}{X_1(2X_1)} \right) = \frac{3 \mu_0 I}{4 \pi X_1}$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = \frac{mu}{qB}$ છે, તેથી $R \propto \frac{1}{B}$.
તેથી, $\frac{R_1}{R_2} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{3 \mu_0 I / 4 \pi X_1}{\mu_0 I / 4 \pi X_1} = 3$.

(B) પગલું $1$: ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાનું વિશ્લેષણ કરો. બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3}$. કારણ કે પ્રવાહના ઘટકો $d\vec{\ell}$ એ $xy$-સમતલમાં છે અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પણ $xy$-સમતલમાં છે,તેથી ક્રોસ પ્રોડક્ટ $d\vec{\ell} \times \vec{r}$ હંમેશા $xy$-સમતલને લંબ (એટલે કે $z$-અક્ષની દિશામાં) હોય છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પગલું $2$: યામ પર નિર્ભરતાનું વિશ્લેષણ કરો. લૂપ્સની વર્તુળાકાર સમપ્રમાણતાને કારણે,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય માત્ર ઉગમબિંદુથી ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ પર આધાર રાખે છે. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
પગલું $3$: વિવિધ બિંદુઓ પર મૂલ્યનું વિશ્લેષણ કરો. કેન્દ્ર પર $(r=0)$,નાની લૂપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ (બહારની તરફ) છે અને મોટી લૂપને કારણે $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{4R}$ (અંદરની તરફ) છે. કારણ કે $I_2 > 2I_1$,તેથી $B_2 > B_1$,એટલે કે કુલ ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે. જેમ આપણે નાની લૂપ તરફ જઈએ છીએ,$B_1$ વધે છે અને $r=R$ પર અનંત સુધી પહોંચે છે. કારણ કે $B_1$ અને $B_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી કોઈ એવું બિંદુ હોવું જોઈએ જ્યાં કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
પગલું $4$: લૂપ્સ વચ્ચેની દિશાનું વિશ્લેષણ કરો. લૂપ્સની વચ્ચે,અંદરની લૂપનું ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે અને બહારની લૂપનું ક્ષેત્ર પણ અંદરની તરફ છે. આમ,કુલ ક્ષેત્ર અંદરની તરફ નિર્દેશ કરે છે,બહારની તરફ નહીં. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ છે.

(A) $O$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ચાર ભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$1$. $L/2$ અંતરે $L$ લંબાઈનો સીધો વાયર: $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\sin 90^{\circ} + \sin 0^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi L} (-\hat{k})$.
$2$. $L/2$ ત્રિજ્યાનો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ: $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\pi) = \frac{\mu_0 I}{2 L} (-\hat{k})$.
$3$. $L/4$ ત્રિજ્યાનો ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર ચાપ: $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/4)} (\pi/2) = \frac{\mu_0 I}{2 L} (-\hat{k})$.
$4$. $L/4$ અંતરે $3L/4$ લંબાઈનો સીધો વાયર: $B_4 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/4)} (\sin 90^{\circ} + 0) = \frac{\mu_0 I}{\pi L} (-\hat{k})$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા: $\vec{B} = -\frac{\mu_0 I}{L} [\frac{1}{2\pi} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}] \hat{k} = -\frac{\mu_0 I}{L} [1 + \frac{3}{2\pi}] \hat{k}$.
આકૃતિ પરથી ભૂમિતિનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા,સાચો સરવાળો વિકલ્પ $A$ તરફ દોરી જાય છે.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા અનંત લાંબા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથના તત્વ $d\vec{l}$ માટે,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = B dl = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (r d\theta) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} d\theta$.
બિંદુ $(-\sqrt{3} a, a, 0)$ માટે,$\tan\theta_1 = \frac{|-\sqrt{3} a|}{a} = \sqrt{3} \implies \theta_1 = \frac{\pi}{3}$.
બિંદુ $(a, a, 0)$ માટે,$\tan\theta_2 = \frac{a}{a} = 1 \implies \theta_2 = \frac{\pi}{4}$.
રેખીય સંકલન $\int \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_{-\theta_1}^{\theta_2} \frac{\mu_0 I}{2 \pi} d\theta = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} (\theta_2 + \theta_1) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} (\frac{7\pi}{12}) = \frac{7 \mu_0 I}{24}$.

(A) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $X$ $(I_X = 5 \text{ A})$ માટે,બિંદુ $P$ નું અંતર $r_X = 6 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_X$ કાગળની અંદરની દિશામાં છે.
$B_X = \frac{\mu_0 \times 5}{2\pi \times 0.1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{0.1} = 100 \times 10^{-7} \text{ T} = 10^{-5} \text{ T}$.
તાર $Y$ $(I_Y = 4 \text{ A})$ માટે,બિંદુ $P$ નું અંતર $r_Y = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_Y$ કાગળની અંદરની દિશામાં છે.
$B_Y = \frac{\mu_0 \times 4}{2\pi \times 0.04} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4}{0.04} = 200 \times 10^{-7} \text{ T} = 2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (કાગળની અંદર) હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_X + B_Y = 1 \times 10^{-5} + 2 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$ થશે.
આને $x \times 10^{-5} \text{ T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(D) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે તેના કેન્દ્રથી $d$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = \frac{1}{\sqrt{2}} \; m$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $d = \frac{a}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \; m$ છે.
કેન્દ્ર પર બાજુના છેડાઓ દ્વારા બનતા ખૂણાઓ $\theta_1 = 45^\circ$ અને $\theta_2 = 45^\circ$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{\text{side}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5}{4 \pi \times (\frac{1}{2\sqrt{2}})} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ)$.
$B_{\text{side}} = \frac{10^{-7} \times 5}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 10^{-7} \times 5 \times 2\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 20 \times 10^{-7} = 2 \times 10^{-6} \; T$.
બધી $4$ બાજુઓને કારણે કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = 4 \times B_{\text{side}} = 4 \times 2 \times 10^{-6} = 8 \times 10^{-6} \; T$ છે.
આને $p \times 10^{-6} \; T$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 8$ મળે છે.

(C) ભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ ભ્રમણનો આવર્તકાળ છે. આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
લૂપ $A$ માટે,તે એક વિદ્યુતભાર $q$ ને આવરે છે. તેથી,પ્રવાહ $I_A = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
લૂપ $B$ માટે,તે તમામ $N$ વિદ્યુતભારોને આવરે છે. એક આવર્તકાળ $T$ માં લૂપ $B$ માંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $Nq$ છે. તેથી,પ્રવાહ $I_B = \frac{Nq}{T} = \frac{Nq\omega}{2\pi}$.
જો આપણે લૂપ $B$ ને આખા વર્તુળને આવરતું ગણીએ,તો કુલ પ્રવાહ $I_B = \frac{Nq\omega}{2\pi}$ થાય. લૂપ $A$ માટે $I_A = \frac{q\omega}{2\pi}$ થાય. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $C$ છે.

(C) તાર ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને $270^\circ$ ($3\pi/2$ રેડિયન) નો વર્તુળાકાર ચાપ.
ધારો કે સીધા તાર $(1)$ ને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ છે. $O$ એ તારની રેખા પર હોવાથી, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$.
ધારો કે વર્તુળાકાર ચાપ $(2)$ ને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ છે. ખૂણો $\theta = 3\pi/2$ છે. તેથી, $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \theta = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left(\frac{3 \pi}{2}\right)$.
ધારો કે સીધા તાર $(3)$ ને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_3$ છે. $O$ એ તારની રેખા પર હોવાથી, $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$.
ત્રણેય ક્ષેત્રો પાનાની અંદરની દિશામાં $(\otimes)$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left(\frac{3 \pi}{2}\right) + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left[1 + \frac{3 \pi}{2} + 1\right] = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left[\frac{3 \pi}{2} + 2\right]$.

(B) લાંબા સીધા તાર માટે મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\max}$ તેની સપાટી પર $(r = a)$ મળે છે:
$B_{\max} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$.
આપણે તે અંતરો શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર આ મૂલ્ય કરતાં અડધું હોય,એટલે કે $B = \frac{B_{\max}}{2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$.
તારની અંદર $(r < a)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ લેતા,આપણને $\frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ મળે છે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $r = \frac{a}{2}$ મળે છે.
તારની બહાર $(r > a)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ લેતા,આપણને $\frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ મળે છે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $r = 2a$ મળે છે.
આમ,અંતરો $r = \frac{a}{2}$ (અંદર) અને $r = 2a$ (બહાર) છે.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ જેટલા અક્ષીય અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $B_2$ ને $B_1$ ના પદમાં ખૂણા $\theta$ નો ઉપયોગ કરીને દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $\sin \theta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}}$.
આમ,$B_2 = B_1 \sin^3 \theta$.
આપેલ છે કે $x : R = 3 : 4$,તેથી $x = 3k$ અને $R = 4k$ લઈએ. $x$ અને $R$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનો કર્ણ $\sqrt{R^2 + x^2} = \sqrt{(4k)^2 + (3k)^2} = 5k$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{B_2}{B_1} = \sin^3 \theta = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}$.

(D) સીધા વિભાગો $AB$ અને $CD$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે આ વિભાગોની કાર્યરેખા કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4R_1}$ છે (સમતલની અંદરની તરફ).
$R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અંદરના અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_2}$ છે (સમતલની બહારની તરફ).
$O$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = |B_2 - B_1| = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $I = 12 \ A$,$R_1 = 6 \pi \ m$,$R_2 = 4 \pi \ m$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ Tm \ A^{-1}$.
$B_0 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 12}{4} \left( \frac{1}{4 \pi} - \frac{1}{6 \pi} \right)$
$B_0 = 12 \pi \times 10^{-7} \left( \frac{3 - 2}{12 \pi} \right)$
$B_0 = 12 \pi \times 10^{-7} \left( \frac{1}{12 \pi} \right) = 1 \times 10^{-7} \ T$.
આને $k \times 10^{-7} \ T$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(C) કુલ પ્રવાહ $I$ એ બે સમાંતર માર્ગો $\text{ABC}$ અને $\text{ADC}$ માં વહેંચાય છે.
$\text{ABC}$ નો અવરોધ $r$ અને $\text{ADC}$ નો અવરોધ $2r$ હોવાથી,પ્રવાહ $i_1$ અને $i_2$ અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હશે:
$i_1 = I \cdot \frac{2r}{r + 2r} = \frac{2I}{3}$ ($\text{ABC}$ માંથી)
$i_2 = I \cdot \frac{r}{r + 2r} = \frac{I}{3}$ ($\text{ADC}$ માંથી)
$d = a/2$ અંતરે રહેલા $a$ લંબાઈના તારને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ છે. ચોરસ માટે,$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$,તેથી $B = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$.
$\text{ABC}$ ને કારણે ક્ષેત્ર ($2I/3$ પ્રવાહ) $B_1 = 2 \times \frac{\mu_0 (2I/3)}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a}$ (પાનાની અંદરની તરફ).
$\text{ADC}$ ને કારણે ક્ષેત્ર ($I/3$ પ્રવાહ) $B_2 = 2 \times \frac{\mu_0 (I/3)}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a}$ (પાનાની બહારની તરફ).
પરિણામી ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a} - \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a}$.

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ છે.
અહીં બંને કોઈલ માટે પ્રવાહ $I$ અને ત્રિજ્યા $R$ સમાન હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ આંટાઓની સંખ્યા $N$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $B \propto N$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_{x}}{B_{y}} = \frac{N_{x}}{N_{y}}$ થશે.
આપેલ છે કે $N_{x} = 200$ અને $N_{y} = 400$,તેથી $\frac{B_{x}}{B_{y}} = \frac{200}{400} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં $x = 3R$ લેતા,ગુણોત્તર $\frac{B_{\text{axis}}}{B_{\text{center}}} = \left(\frac{R^2}{R^2 + x^2}\right)^{3/2}$ થાય.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતા,આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $B$ મળે છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યાના નળાકાર વાહક માટે, અંદરના ભાગમાં $r < R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{in} = \frac{\mu_0 i r}{2 \pi R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બિંદુ સપાટીથી અંદરની તરફ $R/4$ અંતરે છે, તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r = R - R/4 = 3R/4$ થાય.
આમ, $B_{in} = \frac{\mu_0 i (3R/4)}{2 \pi R^2} = \frac{3 \mu_0 i}{8 \pi R} = 10 \ T$.
આના પરથી, $\frac{\mu_0 i}{2 \pi R} = \frac{10 \times 4}{3} = \frac{40}{3} \ T$ મળે છે.
સપાટીથી બહારની તરફ $4R$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે, કેન્દ્રથી અંતર $r' = R + 4R = 5R$ થાય.
બહારના ભાગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r'} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (5R)} = \frac{1}{5} \left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi R} \right)$.
કિંમત મૂકતા, $B_{out} = \frac{1}{5} \times \frac{40}{3} = \frac{8}{3} \ T$ મળે છે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભાગ $abc$ માટે,લંબાઈ $L_{abc} = \frac{3}{4}(2 \pi R) = \frac{3 \pi R}{2}$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે. તેથી,$R_{abc} = \frac{\rho (3 \pi R / 2)}{A} = \frac{3 \pi \rho R}{2A}$.
ભાગ $adc$ માટે,લંબાઈ $L_{adc} = \frac{1}{4}(2 \pi R) = \frac{\pi R}{2}$ અને ક્ષેત્રફળ $A/3$ છે. તેથી,$R_{adc} = \frac{\rho (\pi R / 2)}{A/3} = \frac{3 \pi \rho R}{2A}$.
$R_{abc} = R_{adc}$ હોવાથી,પ્રવાહ $I$ બંને ભાગોમાં સમાન રીતે $I/2$ તરીકે વહેંચાય છે.
વર્તુળાકાર ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ છે.
ભાગ $abc$ માટે,$\theta = 3 \pi / 2$,તેથી $B_{abc} = \frac{\mu_0 (I/2) (3 \pi / 2)}{4 \pi R} = \frac{3 \mu_0 I}{16 R}$ (પાનાની અંદરની તરફ,$\otimes$).
ભાગ $adc$ માટે,$\theta = \pi / 2$,તેથી $B_{adc} = \frac{\mu_0 (I/2) (\pi / 2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{16 R}$ (પાનાની બહારની તરફ,$\odot$).
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_{abc} - B_{adc} = \frac{3 \mu_0 I}{16 R} - \frac{\mu_0 I}{16 R} = \frac{2 \mu_0 I}{16 R} = \frac{\mu_0 I}{8 R}$ (પાનાની અંદરની તરફ,$\otimes$).

(C) સીમિત સીધા તારને કારણે લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $P$ થી તારનું લંબ અંતર $r = a \cos 30^\circ = a \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
બિંદુ $P$ પર તારના છેડાઓ દ્વારા બનતા ખૂણા $\theta_1 = 30^\circ$ અને $\theta_2 = 60^\circ$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a \frac{\sqrt{3}}{2})} (\sin 60^\circ - \sin 30^\circ)$
નોંધ: તારનો ભાગ લંબની એક જ બાજુ હોવાથી,આપણે ખૂણાઓની બાદબાકી કરીએ છીએ.
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a \sqrt{3}} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a \sqrt{3}} (\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi a} (1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$.
આપેલ વિકલ્પોને જોતા,સાચો જવાબ $C$ છે.

(D) $n$ બાજુઓ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા બહુકોણના કેન્દ્ર પર $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{n \mu_0 I}{2 \pi L} \tan(\frac{\pi}{n}) \sin(\frac{\pi}{n})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$n = 3$ અને કેન્દ્રથી બાજુનું અંતર $a = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ છે.
એક બાજુને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin 60^\circ + \sin 60^\circ) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L / 2 \sqrt{3})} (2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \mu_0 I}{2 \pi L}$ થાય.
ત્રણ બાજુઓ માટે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 \times B_1 = \frac{9 \mu_0 I}{2 \pi L}$ થશે.
અહીં $I = 10 \ A$ અને $L = 1 \ m$ આપેલ હોવાથી,$B = \frac{9 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{2 \pi \times 1} = 18 \times 10^{-6} \ T = 18 \ \mu T$ મળે.

(B) વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, પ્રવાહ $I$ એ ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે છે: $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2 \pi r / v} = \frac{ev}{2 \pi r}$.
$I$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = \frac{\mu_{0}}{2r} \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^{2}}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે, જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{L}{mr}$.
$v$ ની કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $B = \frac{\mu_{0} e}{4 \pi r^{2}} \left( \frac{L}{mr} \right) = \frac{\mu_{0} eL}{4 \pi m r^{3}}$.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\theta}{2\pi} \right)$ છે.
અહીં,કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{16}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\pi/16}{2\pi} \right)$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{\pi/16}{2\pi} = \frac{\pi}{16 \times 2\pi} = \frac{1}{32}$.
હવે,આ કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \times \frac{1}{32} = \frac{\mu_0 I}{64r}$.

(A) કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ત્રણ ભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે: સીધો તાર $PQ$, વક્ર ભાગ $QRS$, અને સીધો તાર $ST$.
$1$. સીધા તાર $PQ$ માટે: બિંદુ $O$ એ તારની અક્ષ પર આવેલું છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{PQ} = 0$.
$2$. વક્ર ભાગ $QRS$ માટે: કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} \text{ રેડિયન}$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{QRS} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2}\right)$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, દિશા પેજની અંદરની તરફ $(-\widehat{k})$ છે.
$3$. સીધા તાર $ST$ માટે: બિંદુ $O$ એ તારથી $r$ લંબ અંતરે છે. તાર $S$ થી અનંત સુધી વિસ્તરેલો છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{ST} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\sin 90^\circ + \sin 0^\circ) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, દિશા પેજની અંદરની તરફ $(-\widehat{k})$ છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{PQ} + B_{QRS} + B_{ST} = 0 + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2}\right) + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2} + 1\right) (-\widehat{k})$.

(C) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ઘટક $I d\vec{\ell}$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબ છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{\ell} \times \vec{r})}{r^3}$
અહીં,$I = 10 \ A$,$d\vec{\ell} = \Delta x \hat{i} = 10^{-2} \hat{i} \ m$,અને સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 0.5 \hat{j} \ m$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(d\vec{\ell} \times \vec{r}) = (10^{-2} \hat{i}) \times (0.5 \hat{j}) = 0.5 \times 10^{-2} (\hat{i} \times \hat{j}) = 0.005 \hat{k} \ m^2$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$|d\vec{B}| = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I |d\vec{\ell} \times \vec{r}|}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.005}{(0.5)^3}$
$|d\vec{B}| = 10^{-7} \times \frac{0.05}{0.125} = 10^{-7} \times 0.4 = 4 \times 10^{-8} \ T$.