Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણો આંતરતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi r}$ છે.
અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ માટે,કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $\theta = \pi$ રેડિયન છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi r} = \frac{\mu_{0} I}{4 r}$.
આમ,બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{\mu_{0} I}{4 r}$ છે.

(B) $I$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારને કારણે $d$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તારની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ $P$ પર,દરેક તારથી અંતર $d$ છે.
પ્રથમ તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ પાનાની અંદરની દિશામાં).
બીજા તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ પાનાની બહારની દિશામાં).
વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી,મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન અને દિશાઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ છે.
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થશે.

(D) પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,મધ્યબિંદુ પર તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હશે.
બંને તાર મધ્યબિંદુથી $r = 1.5 \,m$ ના અંતરે છે.
પ્રથમ તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi r} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{3}{1.5} = \frac{2 \mu_{0}}{2 \pi}$ છે.
બીજા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi r} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{4.5}{1.5} = \frac{3 \mu_{0}}{2 \pi}$ છે.
ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{1} + B_{2} = \frac{2 \mu_{0}}{2 \pi} + \frac{3 \mu_{0}}{2 \pi} = \frac{5 \mu_{0}}{2 \pi}$ થશે.

(D) ધારો કે તાર $z$-અક્ષ પર છે. બિંદુ $P$ થી તાર સુધીની રેખાઓ લંબ હોવાથી અને $P$ સમાન અંતરે હોવાથી,દરેક તારથી $P$ નું અંતર $r = d / \sqrt{2} = 5 / \sqrt{2} \ cm = 0.05 / \sqrt{2} \ m$ છે.
લાંબા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 I / (2 \pi r)$ છે.
$B_1 = (4 \pi \times 10^{-7} \times 4) / (2 \pi \times (0.05 / \sqrt{2})) = 1.6 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.
$B_2 = (4 \pi \times 10^{-7} \times 3) / (2 \pi \times (0.05 / \sqrt{2})) = 1.2 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી અને રેખાઓ લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(1.6 \sqrt{2} \times 10^{-5})^2 + (1.2 \sqrt{2} \times 10^{-5})^2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.

(D) વિદ્યુતભાર $q = 1000e = 1000 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-16} \ C$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = 1 \ Hz$.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = qf = 1.6 \times 10^{-16} \times 1 = 1.6 \times 10^{-16} \ A$.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
આપેલ છે કે $B = x \mu_0$,જ્યાં $x = 2 \times 10^{-16}$.
તેથી,$x \mu_0 = \frac{\mu_0 I}{2r} \implies x = \frac{I}{2r}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{-16} = \frac{1.6 \times 10^{-16}}{2r}$.
$2 = \frac{0.8}{r} \implies r = \frac{0.8}{2} = 0.4 \ m$.

(C) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. એક આંટા માટે,ત્રિજ્યા $R$ એ $L = 2 \pi R$ દ્વારા મળે છે,તેથી $R = L / (2 \pi)$. કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{2(L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r_1$ એ $L = n(2 \pi r_1)$ દ્વારા મળે છે,તેથી $r_1 = L / (2 \pi n) = R / n$.
$n$ આંટા માટે કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = n \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ છે.
$r_1 = R / n$ મૂકતા,આપણને $B' = n \frac{\mu_0 I}{2 (R / n)} = n^2 \frac{\mu_0 I}{2 R} = n^2 B$ મળે છે.

(A) તાર ત્રણ વિભાગોનો બનેલો છે: $(i)$ એક સીધો અર્ધ-અનંત તાર,(ii) $R$ ત્રિજ્યાનો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ,અને (iii) બીજો એક સીધો અર્ધ-અનંત તાર.
વિભાગ $(i)$ માટે,બિંદુ '$O$' તારની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 0$ થાય.
વિભાગ (iii) માટે,બિંદુ '$O$' પણ તારની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_3 = 0$ થાય.
વિભાગ (ii) માટે,અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,'$O$' પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 + B_3 = 0 + \frac{\mu_0 I}{4 R} + 0 = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ થાય.

(C) ધારો કે તાર વચ્ચેનું અંતર $2d$ છે. લાંબા તારને કારણે $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોય,ત્યારે મધ્યબિંદુએ ક્ષેત્રો એકબીજાની વિરુદ્ધ હોય છે: $B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1 - I_2) = 8 \times 10^{-6} \ T$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે $I_2$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે ક્ષેત્રોનો સરવાળો થાય છે: $B_1 + B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1 + I_2) = 3.2 \times 10^{-5} \ T$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા: $\frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2} = \frac{8 \times 10^{-6}}{32 \times 10^{-6}} = \frac{1}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $4I_1 - 4I_2 = I_1 + I_2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $3I_1 = 5I_2$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \frac{3}{5}$ છે.

(A) ધારો કે બે તાર $W_1$ અને $W_2$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે. બિંદુ $P$ એ $W_2$ થી $r$ અંતરે અને $W_1$ થી $3r$ અંતરે છે।
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $W_1$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ પાનાની અંદરની તરફ (ક્રોસ) છે અને તેનું મૂલ્ય $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ છે।
$W_2$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ પાનાની બહારની તરફ (ડોટ) છે અને તેનું મૂલ્ય $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે।
જો આપણે બંને ક્ષેત્રોનો સરવાળો કરીએ (જેમ કે વિકલ્પ $A$ માં સૂચવેલ છે), તો $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I + 3 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{4 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{2}{3} \frac{\mu_0 I}{\pi r}$.

(A) ધારો કે બે તાર વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. મધ્યબિંદુનું દરેક તારથી અંતર $r = d/2$ છે.
લાંબા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
મધ્યબિંદુ માટે,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (d/2)} = \frac{\mu_0 I}{\pi d}$ થાય.
કિસ્સો $1$: પ્રવાહ સમાન દિશામાં છે. મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં છે. પરિણામી ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{\pi d} (I_1 - I_2) = 6 \times 10^{-6} \ T$ છે.
કિસ્સો $2$: $I_2$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે. હવે ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં છે. પરિણામી ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{\pi d} (I_1 + I_2) = 3 \times 10^{-5} \ T$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{I_1 + I_2}{I_1 - I_2} = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-6}} = \frac{30}{6} = 5$.
$I_1 + I_2 = 5 I_1 - 5 I_2 \implies 4 I_1 = 6 I_2 \implies \frac{I_1}{I_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
આમ,$I_1 : I_2$ નો ગુણોત્તર $3 : 2$ છે.

(A) $N$ આંટા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર $I$ વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ છે.
ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. પ્રથમ કોઈલ માટે,$L = N_1 (2\pi R_1)$,જ્યાં $N_1 = 9$. તેથી,$R_1 = \frac{L}{18\pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 N_1 I}{2R_1} = \frac{\mu_0 (9) I}{2(L/18\pi)} = \frac{81 \mu_0 I \pi}{L}$ થાય.
બીજી કોઈલ માટે,$N_2 = 3$. તેથી,$R_2 = \frac{L}{2\pi N_2} = \frac{L}{6\pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2R_2} = \frac{\mu_0 (3) I}{2(L/6\pi)} = \frac{9 \mu_0 I \pi}{L}$ થાય.
$B_1$ અને $B_2$ ની સરખામણી કરતા,$\frac{B_2}{B_1} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$ મળે.
તેથી,$B_2 = \frac{B_1}{9}$.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર તારના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ ત્રિજ્યાના મોટા અર્ધવર્તુળ માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4R_1}$ છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ,બહારની તરફ).
$R_2$ ત્રિજ્યાના નાના અર્ધવર્તુળ માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_2}$ છે (જમણા હાથના નિયમ મુજબ,અંદરની તરફ).
સીધા વિભાગો $PQ$ અને $SR$ કેન્દ્ર $O$ પર કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતા નથી કારણ કે બિંદુ $O$ તેમની અક્ષ પર આવેલું છે.
તેથી,$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_1} - \frac{\mu_0 I}{4R_2} = \frac{\mu_0 I}{4} \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ થાય.

(C) $n$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 n I}{2R}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$B = 3.14 \times 10^{-4} \ T$
$I = 0.4 \ A$
$R = 8 \ cm = 0.08 \ m$
$\mu_0 = 12.56 \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$3.14 \times 10^{-4} = \frac{(12.56 \times 10^{-7}) \times n \times 0.4}{2 \times 0.08}$
$3.14 \times 10^{-4} = \frac{12.56 \times 10^{-7} \times n \times 0.4}{0.16}$
$3.14 \times 10^{-4} = (78.5 \times 10^{-7}) \times 0.4 \times n$
$3.14 \times 10^{-4} = 31.4 \times 10^{-7} \times n$
$n = \frac{3.14 \times 10^{-4}}{31.4 \times 10^{-7}} = 100$.

(B) $N$ આંટા,$R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બંને ગૂંચળાઓ સમાન છે અને પરસ્પર લંબ સમતલોમાં (એક $xy$-સમતલમાં અને બીજું $yz$-સમતલમાં) રાખવામાં આવ્યા છે.
ધારો કે $B_1$ એ ગૂંચળા $1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $B_2$ એ ગૂંચળા $2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. બંનેનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ છે.
ગૂંચળાઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,સામાન્ય કેન્દ્ર $O$ પર તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો પણ એકબીજાને લંબ હશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ એ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2B^2} = B\sqrt{2}$.
$B$ ની કિંમત મૂકતા:
$B_{net} = \left( \frac{\mu_0 NI}{2R} \right) \sqrt{2} = \frac{\mu_0 NI}{\sqrt{2}R}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા લાંબા સીધા તાર માટે જેમાં પ્રવાહ $I$ સમાન રીતે વહેંચાયેલો છે:
$1$. તારની અંદર $(x < r)$,અક્ષથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I x}{2 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. $x = \frac{r}{2}$ અંતરે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I (r/2)}{2 \pi r^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ થાય.
$3$. તારની બહાર $(x > r)$,અક્ષથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. $x = 3r$ અંતરે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ થાય.
$5$. ગુણોત્તર $\frac{B}{B^1} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi r}{\mu_0 I / 6 \pi r} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ છે.

(C) $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલમાંથી $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો હોય,તો તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$
અહીં $x = 2\sqrt{2}r$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + (2\sqrt{2}r)^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + 8r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(9r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(3r)^3}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(27r^3)}$
$B = \frac{\mu_0 n I}{54r}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારના ત્રણ ભાગોને કારણે છે: બે સીધા અર્ધ-અનંત વિભાગો અને એક ચતુર્થાંશ-વર્તુળાકાર ચાપ.
$1$. સીધા તારના વિભાગ $1$ (અર્ધ-અનંત) માટે,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
$2$. સીધા તારના વિભાગ $3$ (અર્ધ-અનંત) માટે,$P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
$3$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચતુર્થાંશ-વર્તુળાકાર ચાપ $2$ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{1}{4} \left( \frac{\mu_0 I}{2 r} \right) = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,આ પ્રકારના પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોના આધારે સૌથી યોગ્ય જવાબ $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 r}$ છે.

(C) વાહક ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને એક વર્તુળાકાર ચાપ.
$1$. બે અર્ધ-અનંત સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર: દરેક તાર કેન્દ્ર '$o$' પર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ જેટલું ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. બે તાર માટે કુલ ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ થશે.
$2$. વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર: જો આપણે આકૃતિને સંપૂર્ણ વર્તુળ તરીકે ગણીએ,તો કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ થશે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{straight} + B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}(\pi + 1)$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા અક્ષીય બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $B_1 = \frac{B_2}{8}$,તેથી:
$\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R}$.
$8R^3 = (R^2 + x^2)^{3/2}$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા:
$(8R^3)^{2/3} = R^2 + x^2$.
$4R^2 = R^2 + x^2$.
$x^2 = 3R^2$.
$x = R \sqrt{3}$.

(D) ધારો કે બે વાહકો વચ્ચેનું અંતર $2d$ છે. $I$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $d$ અંતરે મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહો સમાન દિશામાં હોય,ત્યારે મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી,કુલ ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1 - I_2) = 20 \mu T$ થાય.
જ્યારે $I_2$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે મધ્યબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હોય છે. તેથી,કુલ ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1 + I_2) = 50 \mu T$ થાય.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{I_1 + I_2}{I_1 - I_2} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(I_1 + I_2) = 5(I_1 - I_2) \implies 2I_1 + 2I_2 = 5I_1 - 5I_2$.
પદોને ગોઠવતા: $7I_2 = 3I_1$,જે આપે છે $\frac{I_2}{I_1} = \frac{3}{7}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B_{axis} = \frac{1}{27} B_{centre}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27R}$.
આથી,$\frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{R}{(R^2 + x^2)^{1/2}} = \frac{1}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{R^2}{R^2 + x^2} = \frac{1}{9}$.
$9R^2 = R^2 + x^2$,જે દર્શાવે છે કે $x^2 = 8R^2$.
તેથી,$x = \sqrt{8}R = 2\sqrt{2}R$.

(A) $I$ પ્રવાહ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કોઈલ સમાન હોવાથી અને તેમના સમતલ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ ના મૂલ્યો સમાન હશે: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
સમતલ લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ હશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે: $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$.
$B_1 = B_2 = B$ મૂકતા,$B_{net} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2} B$.
$B$ ની કિંમત મૂકતા: $B_{net} = \sqrt{2} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} R}$.
આપેલ છે કે $I = \sqrt{2} \text{ A}$ અને $R = 1 \text{ m}$,તેથી $B_{net} = \frac{\mu_0 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times 1} = \mu_0$.

(D) એક પાતળી સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ફરતી રીંગ એ પ્રવાહધારિત લૂપ જેવું કાર્ય કરે છે.
પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ $(i)$
$N$ આવૃત્તિ (સેકન્ડ દીઠ પરિભ્રમણ) સાથે ફરતા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I$ છે:
$I = q \times N$
સમીકરણ $(i)$ માં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 (qN)}{2 R}$
વિદ્યુતભાર $q$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$q = \frac{2 RB}{\mu_0 N}$

(B) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતો વીજભારિત કણ પ્રવાહધારિત લૂપ જેવું વર્તે છે.
ધારો કે વીજભાર $q = 100e$ અને પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = 1 \ Hz$ છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = q \times f = 100e \times 1 = 100e$ થાય.
અહીં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ અને ત્રિજ્યા $r = 0.8 \ m$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8}$
$B = \frac{\mu_0 \times 160 \times 10^{-19}}{1.6}$
$B = \mu_0 \times 100 \times 10^{-19} = 10^{-17} \mu_0$.

(A) $I_c$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{loop} = \frac{\mu_0 I_c}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_w$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{wire} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપના કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય તે માટે,આ બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ અને તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ:
$B_{loop} = B_{wire}$
$\frac{\mu_0 I_c}{2 R} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$
બંને બાજુથી $\mu_0$ અને $2$ ને દૂર કરતા:
$\frac{I_c}{R} = \frac{I_w}{\pi d}$
$d$ માટે ઉકેલતા:
$d = \frac{R I_w}{\pi I_c}$

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર આંતરેલા $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$
અહીં આપેલ ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{8}$ રેડિયન છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \frac{\pi}{8}$
$B = \frac{\mu_0 I}{32 r}$
આમ,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય પ્રેરણ $\frac{\mu_0 I}{32 r}$ મળે છે.

(C) બિંદુ '$O$' પાસેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને એક ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
$1$. '$r$' અંતરે રહેલા અર્ધ-અનંત સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{wire} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે. અહીં બે આવા તાર ($AB$ અને $CD$) હોવાથી,તેમનું સંયુક્ત યોગદાન $B_{wires} = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ થશે.
$2$. '$r$' ત્રિજ્યા ધરાવતા ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \theta$ છે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે. તેથી,$B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ થશે.
$3$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = B_{wires} + B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{8 r}$.
$\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$B_{total} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left(\frac{4 \pi}{2 \pi} + \frac{4 \pi}{8}\right) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$.

(A) $I_C$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C = \frac{\mu_0 I_C}{2R}$ છે.
$I_w$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_w = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$ છે.
લૂપના કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,લૂપ અને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન અને દિશા વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
તેથી,$B_C = B_w$.
$\frac{\mu_0 I_C}{2R} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$.
બંને બાજુથી $\mu_0$ અને $2$ દૂર કરતા,આપણને $\frac{I_C}{R} = \frac{I_w}{\pi d}$ મળે છે.
$d$ માટે ઉકેલતા,આપણને $d = \frac{R I_w}{\pi I_C}$ મળે છે.

(D) કેન્દ્ર $C$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સીધા ભાગ અને વર્તુળાકાર ભાગને કારણે હોય છે.
અનંત લંબાઈના સીધા તાર માટે,$r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
અર્ધ-વર્તુળાકાર ભાગ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 r}$ છે.
સીધા ભાગ અને વર્તુળાકાર ભાગ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = |B_2 - B_1| = |\frac{\mu_0 I}{4 r} - \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}|$
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\pi - 2)$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $r_1 = x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = B$ છે.
ધારો કે $r_2 = \frac{x}{3}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $B_1 r_1 = B_2 r_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B \cdot x = B_2 \cdot \frac{x}{3}$.
$B_2$ માટે ઉકેલતા:
$B_2 = B \cdot \frac{x}{x/3} = 3B$.
તેથી,$\frac{x}{3}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $3B$ થશે.

(C) આપેલ માહિતી: $R_A = 0.20 \ m$,$I_A = 0.5 \ A$,$R_B = 0.10 \ m$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
ગૂંચળા $A$ માટે: $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2 R_A}$.
ગૂંચળા $B$ માટે: $B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને ગૂંચળાઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ અને તેમની દિશા વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
ગૂંચળા $A$ માં પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં હોવાથી,ગૂંચળા $B$ માં પ્રવાહ સમઘડી દિશામાં હોવો જોઈએ.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{\mu_0 I_A}{2 R_A} = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$.
તેથી,$I_B = I_A \times \frac{R_B}{R_A} = 0.5 \times \frac{0.10}{0.20} = 0.25 \ A$.
આમ,ગૂંચળા $B$ માં વહેતો પ્રવાહ $0.25 \ A$ સમઘડી દિશામાં છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ પ્રવાહ ધરાવતા ગૂંચળા $P$ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B_P} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
$\sqrt{8} I$ પ્રવાહ ધરાવતા ગૂંચળા $Q$ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B_Q} = \frac{\mu_0 \sqrt{8} I}{2 R}$ છે.
ગૂંચળા પરસ્પર લંબ સમતલોમાં હોવાથી,તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રો $\vec{B_P}$ અને $\vec{B_Q}$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_{\text{net}} = \sqrt{B_P^2 + B_Q^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{\text{net}} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 \sqrt{8} I}{2 R}\right)^2}$.
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1^2 + (\sqrt{8})^2} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1 + 8} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{9} = \frac{3 \mu_0 I}{2 R}$.

(D) કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતા વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\theta}{2 \pi} \times \frac{\mu_0 I}{2 R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ચાપ એ પરિઘનો $\frac{3}{4}$ ભાગ છે,તેથી આંતરેલો ખૂણો $\theta = \frac{3}{4} \times 2 \pi = \frac{3 \pi}{2} \text{ રેડિયન}$ થાય.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{3 \pi / 2}{2 \pi} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{3}{4} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{3 \mu_0 I}{8 R}$.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં વહેતો હોવાથી,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉપરની દિશામાં હશે.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{\theta}{2 \pi} \right)$.
અહીં,કેન્દ્ર પર આંતરાતો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{\pi / 2}{2 \pi} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{1}{4} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I}{8 R}$.

(D) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી $R$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$R = \frac{\mu_0 I}{2\pi B}$
આપેલ કિંમતો:
$I = 12 \ A$
$B = 3 \times 10^{-5} \ Wb/m^2$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ Wb/Am$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 12}{2\pi \times 3 \times 10^{-5}}$
$R = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{3 \times 10^{-5}}$
$R = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-5}}$
$R = 8 \times 10^{-2} \ m$
મીટરને મિલીમીટરમાં $(mm)$ ફેરવવા માટે $1000$ વડે ગુણતા:
$R = 8 \times 10^{-2} \times 10^3 \ mm = 80 \ mm$

(A) લાંબા સીધા તાર વડે $X$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi X}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ થી દરેક તારનું અંતર $X$ છે। બિંદુ $P$ ને તાર સાથે જોડતી રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોવાથી,બે તાર અને બિંદુ $P$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેનો કર્ણ $7 \,cm$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $X^2 + X^2 = 7^2 \implies 2X^2 = 49 \implies X = \frac{7}{\sqrt{2}} \,cm = \frac{7}{1.4} \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-2} \,m$.
બે તારને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi X}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi X}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહની દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,$P$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો એકબીજાને લંબ છે। તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi X} \sqrt{I_1^2 + I_2^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{\text{net}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi \times 5 \times 10^{-2}} \sqrt{15^2 + 8^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-2}} \sqrt{225 + 64} = \frac{2 \times 10^{-5}}{5} \sqrt{289} = 0.4 \times 10^{-5} \times 17 = 6.8 \times 10^{-5} \,T = 68 \times 10^{-6} \,T$.

(D) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
પ્રથમ કોઈલ માટે: $B_1 = \frac{\mu_0 \times 2}{2R} = \frac{\mu_0}{R}$.
બીજી કોઈલ માટે: $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2(3R)} = \frac{2\mu_0}{3R}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 / R}{2\mu_0 / 3R} = \frac{\mu_0}{R} \times \frac{3R}{2\mu_0} = \frac{3}{2}$.
આમ,$B_1: B_2$ નો ગુણોત્તર $3: 2$ છે.

(D) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર વચ્ચેનું અંતર $d = 3 \ m$ આપેલું છે,તેથી મધ્યબિંદુ દરેક તારથી $r = 1.5 \ m$ ના અંતરે છે.
પ્રથમ તાર માટે,$I_1 = 3 \ A$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \pi \times 1.5} = \frac{2 \mu_0}{2 \pi}$ છે.
બીજા તાર માટે,$I_2 = 4.5 \ A$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4.5}{2 \pi \times 1.5} = \frac{3 \mu_0}{2 \pi}$ છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,મધ્યબિંદુ પર બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હશે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} + \frac{3 \mu_0}{2 \pi} = \frac{5 \mu_0}{2 \pi}$ થાય.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ગૂંચળા માટે જેમાં $I$ પ્રવાહ વહે છે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ છે.
બીજા ગૂંચળા માટે જેમાં $2I$ પ્રવાહ વહે છે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 (2I)}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{R}$ છે.
બે ગૂંચળાના સમતલ એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 I}{R}\right)^2}$
$B = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{2 \mu_0 I}{2 R}\right)^2}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1^2 + 2^2}$
$B = \frac{\sqrt{5} \mu_0 I}{2 R}$.

(A) વર્તુળમાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $T$ એ સમયગાળો છે.
આપેલ છે કે $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ અને $T = 1 \ s$,તેથી $I = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{1} = 1.6 \times 10^{-19} \ A$.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8}$.
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 4 \pi \times 10^{-26} \ T$.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ગૂંચળાઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો તફાવત હશે: $B_{\text{net}} = |B_1 - B_2|$.
આપેલ છે: $n_1 = n_2 = 10$, $r_1 = 0.2 \, m$, $r_2 = 0.4 \, m$, $I_1 = 0.2 \, A$, $I_2 = 0.3 \, A$.
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 10 \times 0.2}{2 \times 0.2} = \frac{10 \mu_0}{2} = 5 \mu_0$.
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 10 \times 0.3}{2 \times 0.4} = \frac{3 \mu_0}{0.8} = 3.75 \mu_0$.
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 - 3.75 \mu_0 = 1.25 \mu_0$.
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ મૂકતા:
$B_{\text{net}} = 1.25 \times 4 \pi \times 10^{-7} = 5 \pi \times 10^{-7} \, T$.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,ગૂંચળા $A$ અને $B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
ગૂંચળા $A$ માં પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં હોવાથી,તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની બહારની તરફ હશે. તેથી,ગૂંચળા $B$ એ સમતલની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ,જેના માટે સમઘડી દિશામાં પ્રવાહની જરૂર પડે.
ધારો કે $I_A = 0.5 \text{ A}$,$R_A = 0.2 \text{ m}$,$R_B = 0.1 \text{ m}$,અને $I_B$ એ ગૂંચળા $B$ માંનો પ્રવાહ છે.
બંનેના મૂલ્યો સમાન લેતા: $\frac{\mu_0 I_A}{2 R_A} = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.5}{0.2} = \frac{I_B}{0.1}$.
$I_B = \frac{0.5 \times 0.1}{0.2} = 0.25 \text{ A}$.
આમ,ગૂંચળા $B$ માં $0.25 \text{ A}$ પ્રવાહ સમઘડી દિશામાં હોવો જોઈએ.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર $h$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B_{a} = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$
કોઈલના કેન્દ્ર પર $(h=0)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B_{c} = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
$B_c$ અને $B_a$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\mu_0 n I / 2r}{\mu_0 n I r^2 / 2(r^2 + h^2)^{3/2}}$
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{(r^2 + h^2)^{3/2}}{r^3} = \left(\frac{r^2 + h^2}{r^2}\right)^{3/2} = \left(1 + \frac{h^2}{r^2}\right)^{3/2}$
તેથી,$B_c = B_a \left(1 + \frac{h^2}{r^2}\right)^{3/2}$.

(B) વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય પ્રેરણ $B_{C} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અક્ષ પર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય પ્રેરણ $B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + r^{2})^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $r = \sqrt{3} R$,તેથી $B_{A}$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + (\sqrt{3} R)^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + 3 R^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(4 R^{2})^{3/2}}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $(4 R^{2})^{3/2} = (2^{2} R^{2})^{3/2} = (2 R)^{3} = 8 R^{3}$.
તેથી,$B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(8 R^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{16 R}$.
હવે,ગુણોત્તર $B_{A} : B_{C}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{B_{A}}{B_{C}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{16 R}}{\frac{\mu_{0} I}{2 R}} = \frac{2 R}{16 R} = \frac{1}{8}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 8$ છે.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન છે,તેથી $\frac{\mu_0 I_1}{2 r_1} = \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{r_1}{r_2}$. કારણ કે $r_1 = 2r_2$,આપણને $\frac{I_1}{I_2} = 2$ મળે છે (સમીકરણ $i$).
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગૂંચળા એક જ તારમાંથી બનેલા હોવાથી,$\rho$ અને $A$ અચળ છે,તેથી $R \propto l$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે તારની લંબાઈ $l = 2\pi r$ છે,તેથી $R \propto r$.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_1}{r_2} = 2$ (સમીકરણ $ii$).
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = IR$ છે. વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{I_1 R_1}{I_2 R_2}$ છે.
(સમીકરણ $i$) અને (સમીકરણ $ii$) માંથી ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$ મળે છે.

(C) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$N_1 = 1$,ત્રિજ્યા $r_1$ છે,તેથી $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r_1}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$N_2 = n$,ત્રિજ્યા $r_2$ છે,તેથી $B_2 = \frac{\mu_0 nI}{2r_2}$.
તારની કુલ લંબાઈ $L$ અચળ રહે છે. તેથી,$L = 2\pi r_1 = n(2\pi r_2)$.
આનો અર્થ એ છે કે $r_1 = n r_2$,અથવા $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{n}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 2r_1}{\mu_0 nI / 2r_2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:n^2$ છે.

(A) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બંને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ કેન્દ્ર '$O$' ની સાપેક્ષમાં એક જ દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) છે.
તેથી,બંને ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર '$O$' પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં (કાગળના સમતલની અંદરની તરફ) હશે.
કેન્દ્ર '$O$' પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$B_{\text{net}} = B_1 + B_2$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{4R_1} + \frac{\mu_0 I}{4R_2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
ખ્યાલ: કોઈ વાયર પર કોઈ બળ ન લાગે તે માટે, અન્ય બે વાયરને કારણે તેના સ્થાન પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા વાયરને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે વાયર $A$ થી વાયર $C$ નું અંતર $x$ છે. વાયર $B$ થી વાયર $C$ નું અંતર $(15 - x) \,cm$ છે.
$C$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે, વાયર $A$ અને વાયર $B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
$\frac{\mu_0 I_A}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 I_B}{2 \pi (15 - x)}$
$\frac{I_A}{x} = \frac{I_B}{15 - x}$
અહીં $I_A = 15 \,A$ અને $I_B = 10 \,A$ આપેલ છે:
$\frac{15}{x} = \frac{10}{15 - x}$
$15(15 - x) = 10x$
$225 - 15x = 10x$
$25x = 225$
$x = 9 \,cm$.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,સીધા વિભાગો $AO$,$OC$,$DE$ અને $FG$ ને કારણે બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
પૂર્ણ વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતી વર્તુળાકાર ચાપ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R}$ છે.
અહીં,બંને ચાપ $CD$ અને $EF$ બિંદુ $O$ પર $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે છે.
$R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ચાપ $CD$ માટે:
$B_{CD} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi R_1} = \frac{\mu_0 I}{8 R_1}$ (કાગળના સમતલની અંદરની દિશામાં).
$R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ચાપ $EF$ માટે:
$B_{EF} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi R_2} = \frac{\mu_0 I}{8 R_2}$ (કાગળના સમતલની અંદરની દિશામાં).
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = B_{CD} + B_{EF} = \frac{\mu_0 I}{8 R_1} + \frac{\mu_0 I}{8 R_2} = \frac{\mu_0 I}{8} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{\mu_0 I}{8} \left( \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} \right)$.

(D) ધારો કે તાર વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે. દરેક તારથી મધ્યબિંદુનું અંતર $r$ છે. લાંબા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોય,ત્યારે મધ્યબિંદુએ ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. કુલ ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi r} (I_1 - I_2) = 6 \times 10^{-6} \ T$ છે.
જ્યારે $I_2$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે મધ્યબિંદુએ ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હોય છે. કુલ ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi r} (I_1 + I_2) = 3 \times 10^{-5} \ T$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2} = \frac{6 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
$5(I_1 - I_2) = I_1 + I_2 \implies 5I_1 - 5I_2 = I_1 + I_2 \implies 4I_1 = 6I_2$.
તેથી,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.