Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(N/A) કાગળના સમતલને લંબ સદિશોને દર્શાવવા માટે નીચે મુજબની સંજ્ઞાનો ઉપયોગ થાય છે:
$1$. કાગળના સમતલમાંથી બહાર આવતા ક્ષેત્ર અથવા પ્રવાહને ટપકાં $(\odot)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. કાગળના સમતલમાં અંદર જતા ક્ષેત્ર અથવા પ્રવાહને ચોકડી $(\otimes)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
નોંધ: આ સંજ્ઞા તીરના દ્રશ્ય પર આધારિત છે. ટપકું $(\odot)$ એ અવલોકનકાર તરફ આવતા તીરની અણી દર્શાવે છે,જ્યારે ચોકડી $(\otimes)$ એ અવલોકનકારથી દૂર જતા તીરની પાછળની પીંછાવાળી પૂંછડી દર્શાવે છે.

(N/A) જ્યારે એક સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કાર્ડબોર્ડમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે અને તેના પર લોખંડના રજકણો છાંટવામાં આવે છે,ત્યારે રજકણો તારની આસપાસ સમકેન્દ્રી વર્તુળોમાં ગોઠવાઈ જાય છે.
આ ઘટના એટલા માટે બને છે કારણ કે તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ તેની આસપાસના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સ્વભાવે વર્તુળાકાર હોય છે,જેનું કેન્દ્ર તાર હોય છે.
લોખંડના રજકણો નાના ચુંબક તરીકે વર્તે છે અને આ ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં ટોર્ક અનુભવે છે,જેના કારણે તેઓ ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં ગોઠવાય છે અને આમ વર્તુળાકાર ચુંબકીય ક્ષેત્રની ભાત દર્શાવે છે.

(A) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં, કાગળના સમતલ અથવા સપાટીને લંબ હોય તેવા સદિશો (જેમ કે પ્રવાહ અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર) ને દર્શાવવા માટે ચોક્કસ સંજ્ઞાઓનો ઉપયોગ થાય છે.
$1$. ટપકું $(\cdot)$ એ સપાટીમાંથી અવલોકનકાર તરફ બહાર આવતા સદિશને દર્શાવે છે.
$2$. ચોકડી $(\times)$ એ સપાટીની અંદર જતાં સદિશને દર્શાવે છે.
તેથી, સપાટીમાંથી બહાર આવતા ક્ષેત્રો અથવા પ્રવાહો માટે ટપકા (Dot) સંજ્ઞાનો ઉપયોગ થાય છે.

(A) ટેલિફોન કેબલમાં આડા તારની સંખ્યા,$n = 4$.
દરેક તારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 1.0 \; A$.
સ્થળ પર પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$H = 0.39 \; G = 0.39 \times 10^{-4} \; T$.
સ્થળ પર ડીપનો ખૂણો,$\delta = 35^{\circ}$.
ડેક્લિનેશનનો ખૂણો,$\theta \approx 0^{\circ}$.
કેબલની નીચે $4 \; cm$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે:
અંતર,$r = 4 \; cm = 0.04 \; m$.
ચાર તારમાં વહેતા પ્રવાહને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} = 4 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1}{2 \pi \times 0.04} = 0.2 \times 10^{-4} \; T = 0.2 \; G$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $H_{h} = H \cos \delta - B = 0.39 \cos 35^{\circ} - 0.2 = 0.39 \times 0.819 - 0.2 \approx 0.12 \; G$.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $H_{v} = H \sin \delta = 0.39 \sin 35^{\circ} \approx 0.22 \; G$.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_{1} = \sqrt{H_{v}^{2} + H_{h}^{2}} = \sqrt{(0.22)^{2} + (0.12)^{2}} \approx 0.25 \; G$.
કેબલની ઉપર $4 \; cm$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે:
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $H_{h} = H \cos \delta + B = 0.39 \cos 35^{\circ} + 0.2 = 0.319 + 0.2 = 0.52 \; G$.
શિરોલંબ ઘટક $H_{v} = 0.22 \; G$ રહેશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $H_{2} = \sqrt{H_{v}^{2} + H_{h}^{2}} = \sqrt{(0.22)^{2} + (0.52)^{2}} \approx 0.56 \; G$.

(N/A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ ચુંબકની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે. આ વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓથી અલગ છે,જે ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થઈને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે અથવા અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
$(ii)$ કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખા પર દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ ચોખ્ખા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ની દિશા દર્શાવે છે.
$(iii)$ ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સૂચવે છે. એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પસાર થતી ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા જેટલી વધારે,તેટલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ નું મૂલ્ય વધારે મજબૂત હોય છે.
$(iv)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી. જો તેઓ છેદે,તો છેદબિંદુ પર દોરેલા સ્પર્શકો એક જ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બે અલગ-અલગ દિશાઓ દર્શાવે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(A) $1820$ માં,ડેનિશ ભૌતિકશાસ્ત્રી હાનસ ક્રિશ્ચિયન ઓર્સ્ટેડે અવલોકન કર્યું કે જ્યારે ચુંબકીય હોકાયંત્રની સોયને વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારની નજીક રાખવામાં આવે છે ત્યારે તે વિચલિત થાય છે. આ શોધે પ્રથમ પ્રાયોગિક પુરાવો આપ્યો કે વિદ્યુત અને ચુંબકત્વ એકબીજા સાથે સંબંધિત છે,જે વિદ્યુતચુંબકત્વનો પાયો નાખે છે.

(N/A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
$1$. વિદ્યુતક્ષેત્ર: દરેક વિદ્યુતભાર,પછી તે સ્થિર હોય કે ગતિમાં,તેની આસપાસના અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,જે કુલંબના નિયમ દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર: જ્યારે વિદ્યુતભાર ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વિદ્યુત પ્રવાહ રચે છે. બાયો-સાવરના નિયમ અથવા એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,ગતિમાન વિદ્યુતભાર (અથવા પ્રવાહ) તેની આસપાસના અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભારથી $r$ સ્થાન સદિશ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(v \times r)}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમ અને એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ અનુસાર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગતિશીલ વિદ્યુતભારો અથવા વિદ્યુત પ્રવાહો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
સ્થિર વિદ્યુતભારો માત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યારે ગતિશીલ વિદ્યુતભારો (પ્રવાહો) વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) $SI$ પદ્ધતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે.
$CGS$ પદ્ધતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો એકમ ગૌસ $(G)$ છે.
ટેસ્લા અને ગૌસ વચ્ચેનો સંબંધ $1 \ T = 10^4 \ G$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(N/A) બાયો-સાવરનો નિયમ: વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડ $I d \vec{l}$ થી $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુએ ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d \vec{B}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d \vec{l} \times \vec{r})}{r^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I d l \sin \theta}{r^2} \hat{r}$
બાયો-સાવરના નિયમ અનુસાર,ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $d B$:
$(1)$ વાહકમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ના સમપ્રમાણમાં છે: $d B \propto I$
$(2)$ વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડની લંબાઈ $|d \vec{l}|$ ના સમપ્રમાણમાં છે: $d B \propto d l$
$(3)$ $\sin \theta$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જ્યાં $\theta$ એ $d \vec{l}$ અને $\vec{r}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે: $d B \propto \sin \theta$
$(4)$ બિંદુ $P$ ના વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડથી અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $d B \propto \frac{1}{r^2}$
આ બધા પરિબળોને જોડતા,$d B \propto \frac{I d l \sin \theta}{r^2}$,અથવા $d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d \vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$.
દિશા: $d \vec{B}$ ની દિશા $d \vec{l}$ અને $\vec{r}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે,જે જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે.
એકમ: ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $SI$ એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે. $1 \text{ Tesla} = 1 \text{ Weber/meter}^2$.

(A) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$dB = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^{2}}$
ચુંબકીય ક્ષેત્રના એકમ માટે ગોઠવતા:
$B = \frac{F}{I l} = \frac{\text{ન્યૂટન}}{\text{એમ્પિયર} \cdot \text{મીટર}} = \text{ટેસ્લા} (T)$
બાયો-સાવર્ટના નિયમ પરથી,$\frac{\mu_{0}}{4 \pi}$ નો એકમ $\frac{T \cdot m}{A}$ છે.
સૂત્રમાં એકમો મૂકતા:
$dB = \left(\frac{T \cdot m}{A}\right) \left(\frac{A \cdot m}{m^{2}}\right) = T \text{ (ટેસ્લા)}$
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $SI$ એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે.

(N/A) $(1)$ જો $\theta = 0^{\circ}$ હોય,તો $\sin 0^{\circ} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $dB = 0$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ ખંડની અક્ષ પર આવેલા બિંદુઓ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
$(2)$ જો $\theta = 90^{\circ}$ હોય,તો $\sin 90^{\circ} = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $dB$ મહત્તમ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ ખંડને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તે ખંડમાંથી પસાર થતા અને તેની અક્ષને લંબ સમતલમાં મહત્તમ હોય છે.

(N/A) બાયો-સાવરના નિયમ અને કુલંબના નિયમ વચ્ચેની સમાનતાઓ અને તફાવતો નીચે મુજબ છે:
સમાનતાઓ:
$(1)$ બંને અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(1/r^2)$.
$(2)$ બંને લાંબા અંતરના ક્ષેત્રો છે.
$(3)$ બંને ક્ષેત્રો માટે સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે.
સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે, $E = \frac{kQ}{r^2}$, તેથી $E \propto Q$.
તે જ રીતે, બાયો-સાવરના નિયમ માટે, $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \times \hat{r}}{r^2}$, તેથી $B \propto Idl$.
તફાવતો:
$(1)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ સ્ત્રોત $(Id\vec{l})$ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે, જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર અદિશ સ્ત્રોત $(dq)$ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
$(2)$ સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્ત્રોત અને ક્ષેત્ર બિંદુને જોડતા સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}$ ની દિશામાં હોય છે. તેનાથી વિપરીત, ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ પ્રવાહ ખંડ $Id\vec{l}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
$(3)$ બાયો-સાવરનો નિયમ પ્રવાહ ખંડ અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે $(\sin \theta)$. જ્યારે $\theta = 0^{\circ}$ હોય, ત્યારે પ્રવાહ ખંડની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. જ્યારે કુલંબનો નિયમ કોઈ ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખતો નથી.

(A) $Biot-Savart$ નો નિયમ સ્થિર વિદ્યુત પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનું વર્ણન કરે છે. તે કોઈ બિંદુ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ ને પ્રવાહ $I$,લંબાઈના ખંડ $dl$ અને પ્રવાહ ખંડથી અંતર $r$ સાથે જોડે છે. ગાણિતિક રીતે,તે $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin\theta}{r^2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી,$Biot-Savart$ નો નિયમ એ પ્રવાહ ધારિત વાહક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રને નક્કી કરવા માટે વપરાતો મૂળભૂત નિયમ છે.

(N/A) બાયો-સાવર્ટનો નિયમ જણાવે છે કે નાના પ્રવાહ ખંડ $Idl$ ને કારણે કોઈ બિંદુએ ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (dl \times r)}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin\theta}{r^2}$
જ્યાં:
- $dB$ એ સૂક્ષ્મ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
- $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે.
- $I$ એ વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુત પ્રવાહ છે.
- $dl$ એ પ્રવાહ ખંડની લંબાઈ છે.
- $r$ એ ખંડથી બિંદુ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે.
- $\theta$ એ પ્રવાહ ખંડ $dl$ અને સ્થાન સદિશ $r$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.

(A) બાયોટ-સાવર્ટનો નિયમ સદિશ સ્વરૂપમાં આ મુજબ છે: $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$.
આ સમીકરણમાં,પદ $(d\vec{l} \times \vec{r})$ એ પ્રવાહ ખંડ સદિશ $d\vec{l}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નો સદિશ ગુણાકાર દર્શાવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ ની દિશા આ સદિશ ગુણાકારની દિશા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકાર માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથની આંગળીઓને $d\vec{l}$ ની દિશામાંથી $\vec{r}$ ની દિશા તરફ વાળો,તો તમારો અંગૂઠો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ ની દિશા દર્શાવે છે.

(N/A) બાયો-સાવર્ટનો નિયમ $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ નિયમમાં સપ્રમાણતા અચળાંક $\frac{\mu_0}{4\pi}$ છે.
આ અચળાંકનું મૂલ્ય $10^{-7} \ T \cdot m/A$ (અથવા $10^{-7} \ Wb/(A \cdot m)$) છે.
આ અચળાંકનો $SI$ એકમ $T \cdot m/A$ અથવા $N/A^2$ છે.

(C) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$Idl$ પ્રવાહ ખંડને કારણે $r$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(dl \times r)}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારની અક્ષ પર,પ્રવાહ ખંડ $dl$ અને સ્થાન સદિશ $r$ એકરેખસ્થ હોય છે (એટલે કે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ હોય છે).
કારણ કે સદિશ ગુણાકાર $dl \times r = |dl||r| \sin(\theta)$ થાય છે,અને $\sin(0^\circ) = 0$ અથવા $\sin(180^\circ) = 0$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,તારની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

(N/A) પ્રવાહ ખંડ $Idl$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ માટે બાયો-સાવરનો નિયમ $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $dq$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE$ માટે કુલંબનો નિયમ $dE = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાનતાઓ:
$1$. બંને નિયમો લાંબા અંતરના નિયમો છે,કારણ કે બંને સ્ત્રોતથી અંતરના વ્યસ્ત વર્ગ $(1/r^2)$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. બંને નિયમો સંપાતપણાના સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છે.
$3$. બંને નિયમો તેમના સ્ત્રોતો (ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે પ્રવાહ ખંડ $Idl$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે વિદ્યુતભાર $dq$) ના સંદર્ભમાં રેખીય છે.

(N/A) બાયોટ-સાવર્ટના નિયમ અને કુલંબના નિયમ વચ્ચેના તફાવત નીચે મુજબ છે:
$1$. બાયોટ-સાવર્ટનો નિયમ પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{l}$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત છે, જ્યારે કુલંબનો નિયમ બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત છે.
$2$. બાયોટ-સાવર્ટનો નિયમ સદિશ નિયમ છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ પ્રવાહ ખંડ $d\vec{l}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ બંનેને લંબ હોય છે. કુલંબનો નિયમ અદિશ નિયમ છે કારણ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ વિદ્યુતભાર અને બિંદુને જોડતા સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ની દિશામાં હોય છે.
$3$. બાયોટ-સાવર્ટનો નિયમ પ્રવાહ ખંડ અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેના ખૂણા $(\sin \theta)$ પર આધાર રાખે છે, જ્યારે કુલંબનો નિયમ કોઈ પણ ખૂણાથી સ્વતંત્ર છે.
$4$. ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત સદિશ સ્ત્રોત $(I d\vec{l})$ છે, જ્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત અદિશ સ્ત્રોત (વિદ્યુતભાર $q$) છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પ્રવાહધારિત લૂપ ધ્યાનમાં લો.
લૂપનું કેન્દ્ર $O$ છે અને લૂપ $YZ$-સમતલમાં છે,તેની અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે.
આપણે કેન્દ્ર $O$ થી $x$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માંગીએ છીએ.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહખંડ $I \overrightarrow{dl}$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d \overrightarrow{B}$ નીચે મુજબ છે:
$d \overrightarrow{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \overrightarrow{dl} \times \vec{r}}{r^{3}}$
તેનું મૂલ્ય $|d \overrightarrow{B}| = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I dl r \sin \theta'}{r^{3}}$ છે,જ્યાં $\theta'$ એ $\overrightarrow{dl}$ અને $\vec{r}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. $\overrightarrow{dl} \perp \vec{r}$ હોવાથી,$\sin \theta' = 1$.
તેથી,$|d \overrightarrow{B}| = \frac{\mu_{0} I dl}{4 \pi r^{2}}$.
ભૂમિતિ પરથી,$r^{2} = x^{2} + R^{2}$,તેથી $|d \overrightarrow{B}| = \frac{\mu_{0} I dl}{4 \pi (x^{2} + R^{2})}$.
સદિશ $d \overrightarrow{B}$ એ $\overrightarrow{dl}$ અને $\vec{r}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે. તેને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. અક્ષીય ઘટક $d B_{x} = d B \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{R}{r} = \frac{R}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$.
$2$. લંબ ઘટક $d B_{\perp} = d B \sin \theta$,જે સમગ્ર લૂપ માટે સંમિતિને કારણે નાબૂદ થાય છે.
સમગ્ર લૂપ (કુલ લંબાઈ $2 \pi R$) પર અક્ષીય ઘટકનું સંકલન કરતા:
$B = \int d B_{x} = \int d B \cos \theta = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (x^{2} + R^{2})} \cdot \frac{R}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}} \int dl$
$B = \frac{\mu_{0} I R}{4 \pi (x^{2} + R^{2})^{3/2}} \cdot (2 \pi R) = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2 (x^{2} + R^{2})^{3/2}}$

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે રહેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(x^{2} + R^{2})^{3/2}}$
કિસ્સો $1$: જ્યારે લૂપમાં $N$ આંટા હોય,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2(x^{2} + R^{2})^{3/2}}$
કિસ્સો $2$: લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(x = 0)$:
$B = \frac{\mu_{0} N I}{2R}$
કિસ્સો $3$: જ્યારે બિંદુ લૂપથી ખૂબ દૂર હોય $(x >> R)$:
$B = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2x^{3}}$
કિસ્સો $4$: કેન્દ્રથી $x = R$ અંતરે:
$B = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2(R^{2} + R^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2(2R^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} N I}{2^{5/2} R}$

(N/A) વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા,$I$ પ્રવાહ અને કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે એક આંટાવાળા લૂપનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
$N$ આંટા ધરાવતી કોઈલ માટે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દરેક આંટા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
તેથી,સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
જ્યાં:
$B$ એ ટેસ્લા $(T)$ માં ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,
$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A)$ છે,
$I$ એ એમ્પીયર $(A)$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ છે,
$R$ એ મીટર $(m)$ માં લૂપની ત્રિજ્યા છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$
$x >> R$ શરત મુજબ,છેદમાં $x^2$ ની સાપેક્ષમાં $R^2$ ને અવગણતા:
$B \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2)^{3/2}}$
$B \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2x^3}$
અંશ અને છેદને $\pi$ વડે ગુણતા:
$B \approx \frac{\mu_0 I (\pi R^2)}{2\pi x^3}$
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m = I A = I(\pi R^2)$ હોવાથી,સૂત્ર આ મુજબ બને છે:
$B \approx \frac{\mu_0 m}{2\pi x^3}$

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
અહીં આપેલ છે કે કેન્દ્રથી અંતર ત્રિજ્યા જેટલું છે, એટલે કે $x = R$.
સૂત્રમાં $x = R$ મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2^{3/2} R^3)}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \cdot 2^{3/2} R}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2^{5/2} R}$ અથવા $B = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2} R}$.

(N/A) $1$. જ્યારે કોઈ વર્તુળાકાર લૂપમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ વહે છે,ત્યારે તેની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે.
$2$. લૂપના તારની નજીક,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ લગભગ વર્તુળાકાર અને સમકેન્દ્રી હોય છે,જેમના કેન્દ્રો તાર પર આવેલા હોય છે.
$3$. જેમ આપણે લૂપના કેન્દ્ર તરફ જઈએ છીએ,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વધુ સીધી અને સમાંતર બનતી જાય છે.
$4$. લૂપના બરાબર કેન્દ્ર પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ લૂપના સમતલને લંબ હોય છે.
$5$. ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે: જો તમે તમારા જમણા હાથની આંગળીઓને પ્રવાહની દિશામાં વાળો,તો તમારો અંગૂઠો ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશા દર્શાવે છે.

(N/A) વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $Right-Hand$ $Thumb$ $Rule$ (જેને $Maxwell's$ $Right-Hand$ $Grip$ $Rule$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
આ નિયમ મુજબ: જો તમે તમારા જમણા હાથની આંગળીઓને વર્તુળાકાર લૂપની આસપાસ એવી રીતે વાળો કે જેથી તમારી આંગળીઓ વિદ્યુત પ્રવાહની દિશામાં રહે,તો તમારો વિસ્તૃત અંગૂઠો લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશા દર્શાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સપાટ વર્તુળાકાર લૂપ માટે,$Right-Hand$ $Face$ $Rule$ નો ઉપયોગ કરી શકાય છે: જો લૂપની એક સપાટી પરથી જોતા પ્રવાહ $clockwise$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) વહેતો હોય,તો તે સપાટી $South$ $Pole$ $(S)$ તરીકે કાર્ય કરે છે. જો પ્રવાહ $anticlockwise$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) વહેતો હોય,તો તે સપાટી $North$ $Pole$ $(N)$ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(N/A) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા સીમિત તાર માટે,તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો તાર અવલોકન બિંદુ પર લંબ રેખાની સાપેક્ષમાં $\theta_1$ અને $\theta_2$ ખૂણા બનાવતો હોય,તો સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
જ્યાં:
- $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે.
- $I$ એ તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
- $r$ એ તારથી બિંદુ સુધીનું લંબ અંતર છે.
- $\theta_1$ અને $\theta_2$ એ તારના છેડાઓ દ્વારા બિંદુ પર બનતા ખૂણા છે.

(N/A) ધારો કે બે અનંત લંબાઈના,સીધા,સમાંતર તાર $d$ જેટલા અંતરે રહેલા છે,જેમાં અનુક્રમે $I_a$ અને $I_b$ જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે.
તાર $a$ દ્વારા તાર $b$ ના સ્થાન પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_a$ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ: $B_a = \frac{\mu_0 I_a}{2 \pi d}$ છે.
આ ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે તાર $b$ ની $L$ લંબાઈ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = I_b L B_a \sin(90^\circ) = I_b L \left( \frac{\mu_0 I_a}{2 \pi d} \right)$ છે.
આમ,એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = \frac{F}{L}$ નું સૂત્ર: $f = \frac{\mu_0 I_a I_b}{2 \pi d}$ મળે છે.
એક એમ્પિયર $(A)$ ની વ્યાખ્યા: એક એમ્પિયર એટલે તે અચળ વિદ્યુતપ્રવાહ,જે શૂન્યાવકાશમાં $1 \ m$ અંતરે રહેલા બે અનંત લંબાઈના,સીધા,સમાંતર અને નહિવત આડછેદ ધરાવતા વાહકોમાં વહેતો હોય,ત્યારે તે દરેક વાહક પર પ્રતિ મીટર લંબાઈ દીઠ $2 \times 10^{-7} \ N$ જેટલું બળ ઉત્પન્ન કરે છે.

(N/A) $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે લાંબા,સીધા,સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f$ નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$
જ્યાં:
- $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $(4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A)$ છે,
- $I_1$ અને $I_2$ એ બે તારમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે,
- $d$ એ બે તાર વચ્ચેનું લંબ અંતર છે,
- જો વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન દિશામાં હોય તો બળ આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે અને જો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તો બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું હોય છે.

(N/A) પ્રવાહધારિત કોઈલ નીચે મુજબના ગુણધર્મો ધરાવે છે:
$(1)$ તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને મોટા અંતરે ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે.
$(2)$ જ્યારે તેને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય સોયની જેમ ટોર્ક અનુભવે છે.
- આ અવલોકનોના આધારે,એમ્પીયરે સૂચવ્યું હતું કે તમામ ચુંબકત્વ પરિભ્રમણ કરતા પ્રવાહોને કારણે છે.
- આ પૂર્વધારણા આંશિક રીતે સાચી છે,કારણ કે અત્યાર સુધી કોઈ ચુંબકીય મોનોપોલ જોવા મળ્યા નથી.
- જો કે,ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન જેવા પ્રાથમિક કણો આંતરિક ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવે છે જેને માત્ર પરિભ્રમણ કરતા પ્રવાહો દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી.

(B) પ્રવાહ ધારિત લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આ નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથની આંગળીઓને લૂપમાં વહેતા પ્રવાહની દિશામાં વાળો,તો તમારો વિસ્તૃત અંગૂઠો લૂપના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશા દર્શાવે છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર લૂપ માટે:
$(i)$ કેન્દ્રથી $z$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}}$ છે.
$(ii)$ લૂપના સમતલમાં કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી સામાન્ય રીતે લંબગોળ સંકલન (elliptic integrals) દ્વારા કરવામાં આવે છે,કારણ કે લૂપની અંદર કે બહારના કોઈપણ બિંદુ $x$ માટે કોઈ સરળ બીજગણિતીય સૂત્ર ઉપલબ્ધ નથી. જોકે,$x \ll R$ માટે,ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને તેનું અંદાજિત મૂલ્ય મેળવી શકાય છે,પરંતુ તે અક્ષીય કિસ્સા જેવું કોઈ પ્રમાણિત પ્રાથમિક સૂત્ર નથી.

(B) ના,બે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી.
જો તેઓ કોઈ બિંદુએ છેદે,તો તે છેદબિંદુ પર બે સ્પર્શકો દોરી શકાય.
આનો અર્થ એ થાય કે તે બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશની એકસાથે બે અલગ-અલગ દિશાઓ હોય.
કોઈપણ આપેલ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અનન્ય હોવાથી,આવી છેદન શક્ય નથી.

(N/A) કોઈ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા એટલે તે બિંદુએ મૂકવામાં આવેલા એકમ ઉત્તર ધ્રુવ પર લાગતું બળ.
ગાણિતિક રીતે,તે $\vec{B} = \frac{\vec{F}}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{F}$ એ $m$ ધ્રુવમાન ધરાવતા ચુંબકીય ધ્રુવ પર લાગતું ચુંબકીય બળ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાનો $SI$ એકમ ટેસ્લા $(T)$ અથવા વેબર પ્રતિ ચોરસ મીટર $(Wb/m^2)$ છે.

(N/A) જ્યારે સોલેનોઇડ (કોઇલ) માંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે,ત્યારે તે ગજિયા ચુંબક જેવું વર્તે છે. કોઇલનો એક છેડો ઉત્તર $(N)$ ધ્રુવ તરીકે અને તેની વિરુદ્ધનો છેડો દક્ષિણ $(S)$ ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.
કોઇલના છેડાઓની ધ્રુવીયતા નીચે મુજબના નિયમ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે:
$(1)$ જો કોઇલના એક છેડાથી જોતા,વિદ્યુતપ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) વહેતો દેખાય,તો તે છેડો દક્ષિણ $(S)$ ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.
$(2)$ જો કોઇલના એક છેડાથી જોતા,વિદ્યુતપ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) વહેતો દેખાય,તો તે છેડો ઉત્તર $(N)$ ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.
આ બાબત આપેલી આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે,જ્યાં ઘડિયાળના કાંટાની દિશાનો પ્રવાહ દક્ષિણ ધ્રુવ અને વિરુદ્ધ દિશાનો પ્રવાહ ઉત્તર ધ્રુવ દર્શાવે છે.

(N/A) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ખંડ $I\overrightarrow{dl}$ દ્વારા સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\overrightarrow{dl} \times \vec{r}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. ખંડ $2$ ને કારણે ખંડ $1$ ના સ્થાન પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
ખંડ $2$ એ $(0, R, 0)$ પર છે જ્યાં $\overrightarrow{dl_2} = dl\hat{j}$ છે. ખંડ $2$ ની સાપેક્ષમાં ખંડ $1$ (ઉગમબિંદુ પર) નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{12} = -R\hat{j}$ છે.
કારણ કે $\overrightarrow{dl_2} \times \vec{r}_{12} = (dl\hat{j}) \times (-R\hat{j}) = 0$,તેથી ઉગમબિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_2 = 0$ છે. આમ,બળ $\vec{F}_{12} = I\overrightarrow{dl_1} \times \vec{B}_2 = 0$.
$2$. ખંડ $1$ ને કારણે ખંડ $2$ ના સ્થાન પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
ખંડ $1$ એ $(0, 0, 0)$ પર છે જ્યાં $\overrightarrow{dl_1} = dl\hat{i}$ છે. ખંડ $1$ ની સાપેક્ષમાં ખંડ $2$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{21} = R\hat{j}$ છે.
$(0, R, 0)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(dl\hat{i}) \times (R\hat{j})}{R^3} = \frac{\mu_0 I dl}{4\pi R^2} \hat{k}$ છે.
ખંડ $2$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_{21} = I\overrightarrow{dl_2} \times \vec{B}_1 = I(dl\hat{j}) \times (B_1\hat{k}) = I dl B_1 \hat{i}$ છે.
આમ,$\vec{F}_{12} = 0$ છે પરંતુ $\vec{F}_{21} \neq 0$ હોવાથી,પ્રવાહ ખંડો વચ્ચેના ચુંબકીય બળો ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરતા નથી.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,પાંચેય તાર $A, B, C, D, E$ કાગળના સમતલને લંબ છે અને સમાન દિશામાં (બહારની તરફ) પ્રવાહ વહે છે.
નિયમિત પંચકોણની સમપ્રમાણતાને કારણે,દરેક તારને લીધે કેન્દ્ર $O$ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો સમાન મૂલ્ય $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$ ધરાવે છે અને તેમની દિશા એવી છે કે તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$O$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $0$ છે.
$(b)$ ધારો કે બિંદુ $O$ પર તાર $A, B, C, D, E$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રો અનુક્રમે $\vec{B}_{A}, \vec{B}_{B}, \vec{B}_{C}, \vec{B}_{D}, \vec{B}_{E}$ છે.
ભાગ $(a)$ પરથી,$\vec{B}_{A} + \vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E} = 0$.
જો તાર $A$ માં પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે,તો $\vec{B}_{A} = 0$.
પરિણામી ક્ષેત્ર $\vec{B}_{net} = \vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E} = -\vec{B}_{A}$ થશે.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{B}_{net}| = |\vec{B}_{A}| = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$ છે.
તેની દિશા $\vec{B}_{A}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ છે,જે $OA$ ને લંબ છે.
$(c)$ જો તાર $A$ માં પ્રવાહ ઉલટાવવામાં આવે,તો તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $-\vec{B}_{A}$ બને છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર $\vec{B}_{R} = -\vec{B}_{A} + \vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E}$ છે.
કારણ કે $\vec{B}_{A} + \vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E} = 0$,તેથી $\vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E} = -\vec{B}_{A}$.
આ કિંમત $\vec{B}_{R}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{B}_{R} = -\vec{B}_{A} + (-\vec{B}_{A}) = -2\vec{B}_{A}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{B}_{R}| = 2 |\vec{B}_{A}| = 2 \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R} \right) = \frac{\mu_{0} I}{\pi R}$ છે.

(C) લંબાઈના એક સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ષટ્કોણાકાર કોઈલ માટે, કેન્દ્રથી બાજુનું અંતર $r = a \cos 30^{\circ} = a \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
બાજુના છેડાઓ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણાઓ $\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$ છે.
એક બાજુ માટે, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a \sqrt{3} / 2)} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a \sqrt{3}} (1) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a \sqrt{3}}$.
$N=50$ આંટાવાળા ષટ્કોણ માટે, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 6 \times N \times B_1 = 6 \times 50 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi a \sqrt{3}} = \frac{150 \mu_0 I}{\pi a \sqrt{3}}$.
અહીં $a = 10 \, cm = 0.1 \, m$ આપેલ છે, તેથી $B = \frac{150 \mu_0 I}{\pi (0.1) \sqrt{3}} = \frac{1500}{\sqrt{3}} \frac{\mu_0 I}{\pi} = 500 \sqrt{3} \frac{\mu_0 I}{\pi}$.

(C) વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્ર પર ચાપ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો રેડિયનમાં છે.
તાર $A$ માટે: $I_A = 2 \, A$, $R_A = 2 \, cm$, અને આંતરેલો ખૂણો $\theta_A = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ = \frac{3 \pi}{2} \, \text{રેડિયન}$.
તેથી, $B_A = \frac{\mu_0 (2) (3 \pi / 2)}{4 \pi (2)} = \frac{3 \mu_0}{8}$.
તાર $B$ માટે: $I_B = 3 \, A$, $R_B = 4 \, cm$, અને આંતરેલો ખૂણો $\theta_B = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ = \frac{5 \pi}{3} \, \text{રેડિયન}$.
તેથી, $B_B = \frac{\mu_0 (3) (5 \pi / 3)}{4 \pi (4)} = \frac{5 \mu_0}{16}$.
ગુણોત્તર $\frac{B_A}{B_B} = \frac{3 \mu_0 / 8}{5 \mu_0 / 16} = \frac{3}{8} \times \frac{16}{5} = \frac{6}{5}$ થાય છે.

(A) સીમિત તારના ટુકડાને કારણે લંબ અંતર $d$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi d}(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$ છે.
આ કિસ્સામાં,તારને $45^{\circ}$ પર વાળવામાં આવ્યો છે. બિંદુ $P$ એ શિરોબિંદુથી $R$ અંતરે ખૂણાના દ્વિભાજક પર આવેલું છે.
દરેક વિભાગ માટે $P$ થી લંબ અંતર $d = R \sin(22.5^{\circ})$ થાય છે.
ભૂમિતિ મુજબ,દરેક વિભાગ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજામાં ઉમેરાય છે.
ગણતરી કરતા,બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} (\sqrt{2}-1)$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: પ્રવાહ ખંડ $dl = dx \hat{i} = 10^{-2} \, m \hat{i}$,પ્રવાહ $i = 10 \, A$,અને સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 0.5 \, m \hat{j}$.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નીચે મુજબ મળે છે:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
કિંમતો મૂકતા:
$dB = 10^{-7} \times \frac{10 \times (10^{-2} \hat{i} \times 0.5 \hat{j})}{(0.5)^3}$
$dB = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.5 \times 10^{-2} \hat{k}}{0.125}$
$dB = 10^{-7} \times \frac{0.05 \times 10^{-2}}{0.125} \hat{k}$
$dB = 10^{-7} \times \frac{5 \times 10^{-4}}{12.5 \times 10^{-2}} \hat{k} = 10^{-7} \times 0.4 \times 10^{-2} \hat{k}$
$dB = 4 \times 10^{-9} \times 10 = 4 \times 10^{-8} \hat{k} \, T$.

(A) અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} i}{4 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા ચાપના સમતલને લંબ હોય છે (જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ વહન કરતો સીધો તાર વ્યાસ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. વ્યાસના કેન્દ્ર પરનો નાનો ઘટક $P$ આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ વહન કરતા $dl$ લંબાઈના નાના ઘટક પર લાગતું ચુંબકીય બળ $dF = i(dl \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ તારને લંબ હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ બળનું મૂલ્ય $f = \frac{dF}{dl} = iB$ થાય છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = i \left(\frac{\mu_{0} i}{4 r}\right) = \frac{\mu_{0} i^{2}}{4 r}$ મળે છે.

(A) કેન્દ્ર $B$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા તારના ભાગો અને વર્તુળાકાર લૂપને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
અનંત લંબાઈના સીધા તાર માટે,$r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપ માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r}$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સીધા ભાગો અને લૂપને કારણે કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં (પાનાની અંદરની તરફ) છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = B_{wire} + B_{loop} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2 r} = \frac{\mu_0 I}{2 r} \left[ \frac{1}{\pi} + 1 \right]$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \; T \cdot m/A$,$I = 2.5 \; A$,$r = 5 \times 10^{-2} \; m$.
$B_{total} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 2.5}{2 \times 5 \times 10^{-2}} \left[ \frac{1}{\pi} + 1 \right] = \frac{10 \pi \times 10^{-7}}{10 \times 10^{-2}} \left[ \frac{1}{\pi} + 1 \right] = \pi \times 10^{-5} \left[ \frac{1}{\pi} + 1 \right] \; T$.

(C) અનંત લંબાઈના સીધા તાર વડે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તાર $1$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{1} = 10 \ A$ છે અને તાર $2$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{2} = I$ છે.
બિંદુ $A$ નું તાર $1$ થી અંતર $r_{1} = 9 \ cm$ છે.
બિંદુ $A$ નું તાર $2$ થી અંતર $r_{2} = 18 \ cm + 9 \ cm = 27 \ cm$ છે.
બિંદુ $A$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
$B_{1} = B_{2}$
$\frac{\mu_{0} i_{1}}{2 \pi r_{1}} = \frac{\mu_{0} i_{2}}{2 \pi r_{2}}$
$\frac{i_{1}}{r_{1}} = \frac{i_{2}}{r_{2}}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{9} = \frac{I}{27}$
$I = \frac{10 \times 27}{9} = 30 \ A$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$ છે.
$v$ વેગથી ગતિ કરતા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q v \sin \theta}{r^{2}}$ છે.
મૂલ્યોના ગુણોત્તર માટે, આપણે એવો કિસ્સો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં વેગ સ્થાન સદિશને લંબ હોય $(\sin \theta = 1)$.
ગુણોત્તર $\frac{E}{B}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{E}{B} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}}{\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q v}{r^{2}}} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0} v}$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ હોવાથી, $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા, આપણને $\frac{E}{B} = \frac{c^{2}}{v}$ મળે છે.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ અને $v = 4.5 \times 10^{5} \; m/s$ આપેલ છે:
$\frac{E}{B} = \frac{(3 \times 10^{8})^{2}}{4.5 \times 10^{5}} = \frac{9 \times 10^{16}}{4.5 \times 10^{5}} = 2 \times 10^{11} \; m/s$.

(A) બાજુ ધરાવતા અને $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતા ચોરસ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = 4 \times \left( \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2) \right)$
ચોરસ લૂપ માટે,કેન્દ્રથી બાજુનું અંતર $d = a/2 = 0.1 \, m$ છે.
કેન્દ્ર પર અડધી બાજુ દ્વારા બનતા ખૂણા $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ છે.
તેથી,$B = 4 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ)$
$B = \frac{2 \mu_0 i}{\pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2 \mu_0 i}{\pi a} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi a}$
અહીં $i = 3 \, A$,$a = 0.2 \, m$,અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ આપેલ છે:
$B = \frac{2 \sqrt{2} \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 3}{\pi \times 0.2}$
$B = \frac{2 \sqrt{2} \times 4 \times 10^{-7} \times 3}{0.2} = \frac{24 \sqrt{2} \times 10^{-7}}{0.2} = 120 \sqrt{2} \times 10^{-7} \, T = 12 \sqrt{2} \times 10^{-6} \, T$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R = 10 \, cm = 0.1 \, m$,$I = \frac{7}{2} \, A$,અને બિંદુ $P$ મધ્યબિંદુ પર હોવાથી,દરેક કોઈલથી $x = 5 \, cm = 0.05 \, m$ થાય.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં વહેતો હોવાથી,બિંદુ $P$ પર બંને કોઈલના ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_{1}$ અને $B_{2}$ એક જ દિશામાં હશે.
$B_{net} = B_{1} + B_{2} = 2 \times \left( \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}} \right) = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$B_{net} = \frac{\mu_{0} \times (7/2) \times (0.1)^{2}}{((0.1)^{2} + (0.05)^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} \times 3.5 \times 0.01}{(0.01 + 0.0025)^{3/2}} = \frac{0.035 \mu_{0}}{(0.0125)^{3/2}}$.
ગણતરી કરતા,$B_{net} = \frac{56 \mu_{0}}{\sqrt{5}} \, T$ મળે છે.

(A) લાંબા સીધા તારમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
અંતર $r$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$r = \frac{\mu_0 I}{2 \pi B}$
આપેલ કિંમતો:
$I = 12 \, A$
$B = 3 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{(4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A) \times (12 \, A)}{2 \pi \times (3 \times 10^{-5} \, Wb/m^2)}$
$r = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{3 \times 10^{-5}} \, m$
$r = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-5}} \, m$
$r = 8 \times 10^{-2} \, m$