Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(A) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે.
એક આંટા માટે $(N_1 = 1)$,પરિઘ $2 \pi r_1 = L$ છે,તેથી $r_1 = \frac{L}{2 \pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ છે.
ત્રણ આંટા માટે $(N_2 = 3)$,કુલ લંબાઈ $3(2 \pi r_2) = L$ છે,તેથી $r_2 = \frac{L}{6 \pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 (3) I}{2 (L / 6 \pi)} = \frac{9 \mu_0 I \pi}{L}$ છે.
ચુંબકીય પ્રેરણનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I \pi / L}{9 \mu_0 I \pi / L} = \frac{1}{9}$ છે.

(C) લાંબા સીધા પ્રવાહધારિત તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રવાહ $I_1$ અને $I_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,ત્યારે જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,મધ્યબિંદુએ બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હશે.
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ક્ષેત્રોનો સરવાળો થશે: $B_{net} = B_1 + B_2$.
દરેક તારથી મધ્યબિંદુનું અંતર $r = \frac{d}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi(d/2)} + \frac{\mu_0 I_2}{2\pi(d/2)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $B_{net} = \frac{\mu_0 I_1}{\pi d} + \frac{\mu_0 I_2}{\pi d} = \frac{\mu_0(I_1+I_2)}{\pi d}$.

(D) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{N \mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,એક આંટા $(N=1)$ અને $r$ ત્રિજ્યા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
જ્યારે $L = 2 \pi r$ લંબાઈના તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r^{\prime}$ એ $L = n(2 \pi r^{\prime})$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^{\prime} = \frac{r}{n}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^{\prime} = \frac{n \mu_0 I}{2r^{\prime}}$ છે.
$B^{\prime}$ ના સમીકરણમાં $r^{\prime} = \frac{r}{n}$ મૂકતા:
$B^{\prime} = \frac{n \mu_0 I}{2(r/n)} = n^2 \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right) = n^2 B$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર $(x = 0)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,બિંદુ $P$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેન્દ્રના ક્ષેત્ર કરતા $\frac{1}{8}$ ગણું છે: $B_P = \frac{1}{8} B_0$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right)$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R} \Rightarrow \frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{R}{(R^2 + x^2)^{1/2}} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{R^2}{R^2 + x^2} = \frac{1}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4R^2 = R^2 + x^2 \Rightarrow x^2 = 3R^2 \Rightarrow x = \sqrt{3}R$.

(A) વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
અહીં,પ્રવાહ $I$ એ એકમ સમય દીઠ વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$I = \frac{e}{T}$.
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2 \pi r}{V}$ છે.
$T$ ની કિંમત પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $I = \frac{e}{(2 \pi r / V)} = \frac{eV}{2 \pi r}$ મળે છે.
હવે,$I$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{eV}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_0 eV}{4 \pi r^2}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $i$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે લૂપ્સ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$ છે.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2$ થાય (ધારો કે $B_1 > B_2$).
આપેલ છે કે $B = \frac{B_1}{2}$,તેથી:
$\frac{B_1}{2} = B_1 - B_2$
$B_2 = \frac{B_1}{2}$
$B_1$ અને $B_2$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{\mu_0 i_2}{2r_2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 i_1}{2r_1} \right)$
$\frac{i_2}{r_2} = \frac{i_1}{2r_1}$
$r_2 = 2r_1$ આપેલ હોવાથી,તેને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{i_2}{2r_1} = \frac{i_1}{2r_1}$
$\frac{i_2}{i_1} = 1$.

(D) જ્યારે બેટરીને ચોરસ ફ્રેમના વિકર્ણ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ બે સમાન માર્ગોમાં વહેંચાઈ જાય છે.
દરેક માર્ગ ચોરસની બે બાજુઓનો બનેલો હોય છે.
પરિપથની સમપ્રમાણતાને કારણે,દરેક બાજુમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ ચોરસના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
ચોરસની કોઈપણ બાજુ માટે,કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેનાથી વિરુદ્ધ બાજુ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રના મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
આ વિરુદ્ધ બાજુઓમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન હોવાથી અને તેમની ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસરો કેન્દ્ર પર એકબીજાને નાબૂદ કરતી હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.

(A) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતભાર $q = 100e$ એ $f = 1 \ r.p.s$ ની આવૃત્તિથી ભ્રમણ કરે છે.
તેથી,સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = qf = 100e \times 1 = 100e \ A$ થાય.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 0.8 \ m$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 \times 100e}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6}$.
$B = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 100 \times 10^{-19} \mu_0 = 10^{-17} \mu_0 \ T$.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતી $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$.
અહીં રીંગ પર $q$ વિદ્યુતભાર છે જે $f$ આવૃત્તિ (પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ) સાથે ફરે છે, તેથી સમતુલ્ય વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ એકમ સમયમાં પસાર થતા વિદ્યુતભાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે。
આમ, $I = q \times f$.
$I$ ની આ કિંમતને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 (qf)}{2 R}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + r^{2})^{3/2}}$
શરત $r \gg R$ આપેલ હોવાથી,છેદમાં $r^{2}$ ની સાપેક્ષમાં $R^{2}$ ને અવગણી શકાય છે:
$B \approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(r^{2})^{3/2}}$
$B \approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2r^{3}}$
અહીં $\mu_{0}$,$I$ અને $R$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$B \propto \frac{1}{r^{3}}$

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
ગૂંચળાની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B_{axis} = \frac{1}{8} B_{centre}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R}$.
આથી $(R^2 + x^2)^{3/2} = 8R^3$ મળે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $(R^2 + x^2)^{1/2} = 2R$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $R^2 + x^2 = 4R^2$.
તેથી,$x^2 = 3R^2$,જેનો અર્થ છે કે $x = R \sqrt{3}$.

(C) $I_{1}$ પ્રવાહને કારણે વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R}$
$d$ અંતરે રહેલા $I_{2}$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારને કારણે ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d}$
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,આ ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન અને દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ:
$B_{1} = B_{2}$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d}$
$d$ માટે ઉકેલતા:
$d = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi} \times \frac{2 R}{\mu_{0} I_{1}}$
$d = \frac{I_{2} R}{\pi I_{1}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) '$n$' આંટા અને '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર '$I$' પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} n I}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સમકેન્દ્રીય ગૂંચળાઓ માટે,કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_{1}$ અને $B_{2}$ છે:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} n I_{1}}{2 a_{1}}$ અને $B_{2} = \frac{\mu_{0} n I_{2}}{2 a_{2}}$.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ બંને ક્ષેત્રોનો તફાવત છે:
$B = B_{1} - B_{2} = \frac{\mu_{0} n I_{1}}{2 a_{1}} - \frac{\mu_{0} n I_{2}}{2 a_{2}}$.
$\frac{\mu_{0} n}{2}$ ને સામાન્ય લેતા:
$B = \frac{\mu_{0} n}{2} \left[ \frac{I_{1}}{a_{1}} - \frac{I_{2}}{a_{2}} \right]$.
છેદમાં $a_{1} a_{2}$ લેતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_{0} n}{2} \left[ \frac{I_{1} a_{2} - I_{2} a_{1}}{a_{1} a_{2}} \right]$.

(A) કેબલમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{\text{net}}$ એ વ્યક્તિગત તારમાં રહેલા પ્રવાહનો બેઝિક સરવાળો છે:
$I_{\text{net}} = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 + I_6$
$I_{\text{net}} = 10 - 13 + 10 + 7 - 12 + 18 = 20 \text{ A}$
લાંબા સીધા તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I_{\text{net}}}{2\pi r}$
અહીં $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ છે:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 20}{2\pi \times 0.1}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20}{0.1}$
$B = 400 \times 10^{-7} \text{ T} = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$
$B = 40 \mu\text{T}$

(C) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા,$n = 100$,કોઈલની ત્રિજ્યા,$r = 9 \ cm = 9 \times 10^{-2} \ m$,અને કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ,$I = 0.4 \ A$.
$n$ આંટા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(12.56 \times 10^{-7}) \times 100 \times 0.4}{2 \times 9 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-7} \times 40}{18 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{502.4 \times 10^{-7}}{18 \times 10^{-2}}$
$B \approx 27.91 \times 10^{-5} \ T = 2.79 \times 10^{-4} \ T$.

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_x = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $B_x = \frac{B}{8}$. $B$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{B}{8} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8R} = \frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8R^3} = \frac{1}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{1}{2R} = \frac{1}{(R^2 + x^2)^{1/2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{R^2 + x^2}$
$R^2 + x^2 = 4R^2$
$x^2 = 3R^2$
$x = R\sqrt{3}$.

(D) કેન્દ્ર $O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા ભાગો અને વર્તુળાકાર ચાપ $PQR$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. સીધા ભાગો $AP$ અને $RB$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
$2$. વર્તુળાકાર ચાપ $PQR$ (જે અર્ધવર્તુળ છે) ને કારણે તેના કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{arc} = \frac{\mu_{0} i}{4R}$ (કાગળના સમતલની અંદરની તરફ).
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) $N$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$N_1 = 2$ અને $B_1 = B = \frac{\mu_0 (2) I}{2r_1} = \frac{\mu_0 I}{r_1}$.
જ્યારે કોઈલને ફરીથી વીંટાળીને $N_2 = 4$ આંટા કરવામાં આવે છે,ત્યારે તારની કુલ લંબાઈ સમાન રહે છે. લંબાઈ $L = N(2\pi r)$ હોવાથી,$N_1 r_1 = N_2 r_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $2 r_1 = 4 r_2$,જે દર્શાવે છે કે $r_2 = r_1 / 2$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2r_2} = \frac{\mu_0 (4) I}{2(r_1 / 2)} = \frac{4 \mu_0 I}{r_1}$.
$B_2$ ની $B_1$ સાથે સરખામણી કરતા: $B_2 = 4 \times (\frac{\mu_0 I}{r_1}) = 4 B_1 = 4 B$.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $B_{P} = B_{Q}$,તેથી $\frac{\mu_{0} I_{P}}{2 r_{P}} = \frac{\mu_{0} I_{Q}}{2 r_{Q}}$.
$r_{Q} = 2 r_{P}$ હોવાથી,આપણને $\frac{I_{P}}{r_{P}} = \frac{I_{Q}}{2 r_{P}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I_{Q} = 2 I_{P}$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{2 \pi r}{A}$ છે. તાર સમાન હોવાથી,$\rho$ અને $A$ અચળ છે,તેથી $R \propto r$.
તેથી,$R_{Q} = 2 R_{P}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = IR$ છે. આમ,$\frac{V_{Q}}{V_{P}} = \frac{I_{Q} R_{Q}}{I_{P} R_{P}} = \left(\frac{2 I_{P}}{I_{P}}\right) \times \left(\frac{2 R_{P}}{R_{P}}\right) = 2 \times 2 = 4$.
આમ,$V_{Q} = 4 V_{P}$.

(B) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. $r$ ત્રિજ્યાવાળા એક આંટાના લૂપ માટે,પરિઘ $2 \pi r = L$ થાય,તેથી $r = \frac{L}{2 \pi}$.
એક આંટાવાળા લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r} = \frac{\mu_{0} I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_{0} I \pi}{L}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r'$ એ $n (2 \pi r') = L$ નું પાલન કરે છે,તેથી $r' = \frac{L}{2 \pi n} = \frac{r}{n}$ થાય.
$n$ આંટાવાળા લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{n} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 r'} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 (r / n)} = n^{2} \times \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ છે.
કારણ કે $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$,તેથી $B_{n} = n^{2} B$ મળે છે.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા $e$ વીજભાર સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $I = \frac{e}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
ઇલેક્ટ્રોન $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,તેથી સમયગાળો $T = \frac{2 \pi r}{v}$ થાય છે.
પ્રવાહના સૂત્રમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{ev}{2 \pi r}$ મળે છે.
ગુણોત્તર $\frac{r}{v}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{r}{v} = \frac{e}{2 \pi I}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) વર્તુળાકાર પથ પર ફરતા વીજભાર દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વીજભાર $q$ એ $f$ આવૃત્તિ સાથે ફરે છે, તેથી સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = qf$ થાય.
આપેલ છે: $q = 50e = 50 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 80 \times 10^{-19} \ C$, $r = 0.4 \ m$, અને $f = 1 \ r.p.s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 \times (80 \times 10^{-19}) \times 1}{2 \times 0.4}$
$B = \frac{80 \times 10^{-19} \mu_0}{0.8}$
$B = 100 \times 10^{-19} \mu_0$
$B = 10^{-17} \mu_0$.

(C) ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $e$ દ્વારા $v$ વેગથી $r$ અંતરે વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{e(v \times r)}{r^3}$
વર્તુળાકાર કક્ષામાં વેગ સદિશ $v$ અને ત્રિજ્યા સદિશ $r$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{ev \sin(90^{\circ})}{r^2} = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^2}$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$r^2 = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi B}$
$r = \left(\frac{\mu_{0} ev}{4 \pi B}\right)^{1 / 2}$

(B) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળનું સૂત્ર: $F/L = \frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi d}$ છે.
$\mu_{0}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\mu_{0} = \frac{(F/L) \cdot 2 \pi d}{I_{1} I_{2}}$.
બળ $(F)$ નો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$,લંબાઈ $(L)$ નો મીટર $(m)$,અંતર $(d)$ નો મીટર $(m)$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ નો એમ્પિયર $(A)$ છે.
એકમો મૂકતા: $\mu_{0} \text{ નો એકમ} = \frac{(N/m) \cdot m}{A \cdot A} = \frac{N}{A^{2}}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$1 \text{ ટેસ્લા} = 1 \text{ N}/(A \cdot m)$ હોવાથી,આ એકમને $T \cdot m/A$ અથવા $Wb/(A \cdot m)$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $\phi = B \times A$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નો એકમ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ: $B = \frac{\phi}{A}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નો એકમ વેબર $(Wb)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નો એકમ $\frac{Wb}{m^2}$ થાય છે.

(B) મુક્ત અવકાશની ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $\mu_0$ નો એકમ સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $\mu_0 = \frac{B \cdot 2\pi r}{I}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નો એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે,જે $\frac{V \cdot s}{m^2}$ ને સમાન છે.
આ કિંમતને $\mu_0$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,એકમ $\frac{(V \cdot s / m^2) \cdot m}{A} = \frac{V \cdot s}{A \cdot m}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{V \cdot s}{A \cdot m}$ એ $\mu_0$ (મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી) નો એકમ છે.

(A) આપેલ છે:
તારની ત્રિજ્યા,$R = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$
વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 10 \ A$
વક્ર સપાટીથી અંતર = $2 \ cm$
તેથી,તારની અક્ષથી અંતર,$r = R - 2 \ cm = 5 \ cm - 2 \ cm = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$
લાંબા નળાકાર તારની અંદર અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times (3 \times 10^{-2})}{2 \pi \times (5 \times 10^{-2})^2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 10 \times 3 \times 10^{-2}}{25 \times 10^{-4}}$
$B = \frac{60 \times 10^{-9}}{25 \times 10^{-4}}$
$B = 2.4 \times 10^{-5} \ T$
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $2.4 \times 10^{-5} \ T$ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત પ્રવાહ ખંડ (current element) છે,જે $I \vec{dl}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત સદિશ રાશિ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત વિદ્યુતભાર છે,જે એક અદિશ રાશિ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારને કારણે $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ માટે,તાર $1$ થી અંતર $r$ છે. તેથી,તાર $1$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ (કાગળની અંદરની દિશામાં) છે.
તાર $2$ થી અંતર $2r + r = 3r$ છે. તેથી,તાર $2$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ (કાગળની અંદરની દિશામાં) છે.
બંને ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net}$:
$B_{net} = B_1 + B_2$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (1 + \frac{1}{3}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (\frac{4}{3}) = \frac{2 \mu_0 I}{3 \pi r}$.

(D) $N$ આંટા અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલ કે જેમાં $I$ પ્રવાહ વહે છે તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બે રીંગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો તફાવત છે: $B = |B_1 - B_2|$.
આપેલ છે: $N = 25$,$I_1 = 0.1 \text{ A}$,$a_1 = 0.5 \text{ m}$,$I_2 = 0.2 \text{ A}$,$a_2 = 2.0 \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 N}{2} \left| \frac{I_1}{a_1} - \frac{I_2}{a_2} \right|$
$B = \frac{\mu_0 \times 25}{2} \left| \frac{0.1}{0.5} - \frac{0.2}{2.0} \right|$
$B = \frac{25 \mu_0}{2} \left| 0.2 - 0.1 \right|$
$B = \frac{25 \mu_0}{2} \times 0.1 = \frac{2.5 \mu_0}{2} = \frac{5}{4} \mu_0 \text{ T}$.

(B) વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + x^2)^{3/2}}$
લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2a}$
બંને ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \frac{\mu_0 I}{2a} \times \frac{2(a^2 + x^2)^{3/2}}{\mu_0 I a^2} = \frac{(a^2 + x^2)^{3/2}}{a^3}$
અહીં $a = 6 \ cm$ અને $x = 8 \ cm$ આપેલ છે:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \frac{(6^2 + 8^2)^{3/2}}{6^3} = \frac{(36 + 64)^{3/2}}{216} = \frac{(100)^{3/2}}{216} = \frac{1000}{216}$
$B_{\text{axis}} = 216 \ \mu T$ આપેલ હોવાથી:
$B_{\text{centre}} = 216 \times \frac{1000}{216} = 1000 \ \mu T$.

(D) લૂપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વર્તુળાકાર લૂપને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સરવાળો છે.
$R$ અંતરે રહેલા સીધા તારને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{\text{wire}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi R}$ (અંદરની તરફ).
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{\text{loop}} = \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \times \frac{2 \pi}{2 \pi} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 \pi I}{R}$ (અંદરની તરફ).
બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = B_{\text{wire}} + B_{\text{loop}}$
$B = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi R} + \frac{2 \mu_0 I \pi}{4 \pi R}$
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I}{R} (\pi + 1)$ (અંદરની તરફ).
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગૂંચળાં સમાન હોવાથી અને સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા હોવાથી,દરેક ગૂંચળાને કારણે સામાન્ય કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હશે,એટલે કે $B_1 = B_2 = B$.
ગૂંચળાના સમતલો એકબીજાને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો $B_1$ અને $B_2$ પરસ્પર લંબ છે.
કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}}$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$
$B_1 = B_2 = B$ મૂકતા:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2B^2} = \sqrt{2}B$
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્ય અને કોઈ એક ગૂંચળાને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_{\text{net}}}{B} = \frac{\sqrt{2}B}{B} = \frac{\sqrt{2}}{1}$
તેથી,ગુણોત્તર $\sqrt{2}: 1$ છે.

(B) તારની અંદરના બિંદુ માટે $(r < a)$:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, $B_{in} \propto r$, જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તારની બહારના બિંદુ માટે $(r > a)$:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, $B_{out} \propto \frac{1}{r}$, જે લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
સપાટી પર $(r = a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે: $B_{max} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$.
તેથી, આલેખ $r = a$ સુધી રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ $r > a$ માટે અતિવલય ઘટાડો દર્શાવે છે.

(A) જ્યારે બેટરીને વ્યાસાંત બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગ બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ $ACB$ અને $ADB$ માં વિભાજિત થાય છે.
બંને ચાપ સમાંતર હોવાથી,બંને વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન $(12 \text{ V})$ રહે છે.
ધારો કે $R_1$ અને $R_2$ એ બે અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોના અવરોધ છે. સમાન લંબાઈ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળને કારણે,$R_1 = R_2 = R_{arc}$ થાય.
ઓમના નિયમ મુજબ,ચાપ $ACB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ અને ચાપ $ADB$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ સમાન હશે કારણ કે અવરોધ સમાન છે $(I_1 = I_2 = I/2)$.
$I'$ પ્રવાહ ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I'}{4R}$ છે.
ચાપ $ACB$ ને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_1)$ એ $\frac{\mu_0 (I/2)}{4R}$ છે જે સમતલની અંદરની તરફ છે (જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને).
ચાપ $ADB$ ને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_2)$ એ $\frac{\mu_0 (I/2)}{4R}$ છે જે સમતલની બહારની તરફ છે.
તેથી,મૂલ્યો સમાન અને દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{C} = \frac{\mu_{0}I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{A} = \frac{\mu_{0}Ir^{2}}{2(x^{2} + r^{2})^{3/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $B_{C} = 5\sqrt{5} B_{A}$,તેથી:
$\frac{\mu_{0}I}{2r} = 5\sqrt{5} \left( \frac{\mu_{0}Ir^{2}}{2(x^{2} + r^{2})^{3/2}} \right)$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1}{r} = \frac{5\sqrt{5}r^{2}}{(x^{2} + r^{2})^{3/2}}$.
$(x^{2} + r^{2})^{3/2} = 5\sqrt{5}r^{3} = (5^{1/2})^{3}r^{3} = (5^{1/2}r)^{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$(x^{2} + r^{2})^{1/2} = 5^{1/2}r$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^{2} + r^{2} = 5r^{2}$.
$x^{2} = 4r^{2} \Rightarrow x = 2r$.
અહીં $r = 0.1 \ m$ આપેલ છે,તેથી $x = 2 \times 0.1 \ m = 0.2 \ m$.

(A) પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $I$ સૂત્ર $I = \frac{q}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન સમય $t$ માં $n$ પરિભ્રમણ કરે છે, ત્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $q = n \times e$ થાય છે.
તેથી, $I = \frac{n \times e}{t} = \left(\frac{n}{t}\right) \times e$.
આપેલ છે:
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ, $\frac{n}{t} = 9.4 \times 10^{18} \text{ rev/s}$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર, $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
કિંમતો મૂકતા:
$I = (9.4 \times 10^{18}) \times (1.6 \times 10^{-19})$
$I = 9.4 \times 1.6 \times 10^{-1}$
$I = 15.04 \times 0.1 = 1.504 \text{ A}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $I = 1.5 \text{ A}$ મળે છે.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $a = 2\pi \text{ cm} = 2\pi \times 10^{-2} \text{ m}$.
પ્રથમ ગૂંચળા માટે જેમાં પ્રવાહ $I_1 = 3 \text{ A}$ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3}{4\pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$.
બીજા ગૂંચળા માટે જેમાં પ્રવાહ $I_2 = 4 \text{ A}$ છે:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4\pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$.
ગૂંચળા એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 \times 10^{-10} + 16 \times 10^{-10}} = \sqrt{25 \times 10^{-10}} = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.

(C) બિંદુ $O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ત્રણ ભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: સીધો તાર $AB$,વર્તુળાકાર ચાપ $BC$,અને સીધો તાર $CD$.
$1$. સીધા તાર $AB$ માટે,બિંદુ $O$ તારની અક્ષ પર આવેલું છે. તેથી,વિભાગ $AB$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{AB} = 0$ છે.
$2$. સીધા તાર $CD$ માટે,બિંદુ $O$ તારથી $r$ લંબ અંતરે છે. તાર $C$ થી અનંત સુધી વિસ્તરેલો છે. અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
$3$. વર્તુળાકાર ચાપ $BC$ માટે,કેન્દ્ર $O$ પર બનતો ખૂણો $\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ રેડિયન છે. વર્તુળાકાર ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2r} \cdot \frac{\theta}{2\pi} = \frac{\mu_0 I}{2r} \cdot \frac{3\pi/2}{2\pi} = \frac{3\mu_0 I}{8r}$ છે.
ચાપ અને અર્ધ-અનંત તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોની દિશા સમાન (કાગળની અંદરની તરફ) હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{net} = B_{AB} + B_{arc} + B_{CD} = 0 + \frac{3\mu_0 I}{8r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{3}{8} \frac{\mu_0 I}{r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$.

(B) બાયોટ-સાવર્ટનો નિયમ પ્રવાહ ધારિત વાહક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નું વર્ણન કરે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં બાયોટ-સાવર્ટનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^{3}}$
અહીં $\vec{r}$ એ પ્રવાહ ખંડ $I d\vec{l}$ થી બિંદુ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(B) ઓર્સ્ટેડના પ્રયોગ અને બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,સીધો પ્રવાહ ધારિત વાહક ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. લાંબા સીધા પ્રવાહ ધારિત તારની આસપાસની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકને કેન્દ્રમાં રાખીને સમકેન્દ્રિત વર્તુળો બનાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે. ફ્લેમિંગનો ડાબા હાથનો નિયમ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહ ધારિત વાહક પર લાગતા બળની દિશા નક્કી કરવા માટે વપરાય છે,ક્ષેત્રની દિશા માટે નહીં. આદર્શ સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોય છે.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
આ સંબંધ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જેમાં $r$ વધતા $B$ ઘટે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલો આલેખ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) કિસ્સો-$I$: આંટાની સંખ્યા,$N_1 = 9$. કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 N_1 I}{2 R} = \frac{9 \mu_0 I}{2 R}$ છે.
કિસ્સો-$II$: આંટાની સંખ્યા,$N_2 = 3$. ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $R'$ છે. તારની કુલ લંબાઈ સમાન રહેતી હોવાથી,$N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi R')$.
કિંમતો મૂકતા: $9 (2 \pi R) = 3 (2 \pi R') \Rightarrow R' = 3 R$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2 R'} = \frac{\mu_0 \times 3 \times I}{2 \times 3 R} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ થાય.
$B_2$ અને $B_1$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 I / 2 R}{9 \mu_0 I / 2 R} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$B_2 = \frac{B_1}{9}$.

(D) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલની અક્ષ પર $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B_{\text{centre}} = 64 \times B_{\text{axis}}$.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{\mu_0 I}{2R} = 64 \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
સામાન્ય પદો દૂર કરતા,$\frac{1}{R} = \frac{64 R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
આથી $(R^2 + x^2)^{3/2} = 64 R^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$(R^2 + x^2)^{1/2} = 4R$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$R^2 + x^2 = 16R^2$.
તેથી,$x^2 = 15R^2$,જેનું મૂલ્ય $x = R\sqrt{15}$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(x^2 + r^2)^{3/2}}$
જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$r$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે અને $x$ એ કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર છે.
આપેલ છે કે $x = \sqrt{3} r$,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2((\sqrt{3} r)^2 + r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(3r^2 + r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(4r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(8r^3)}$
$B = \frac{\mu_0 n I}{16r}$

(A) બાયો-સાવરના નિયમ મુજબ,$r$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા પ્રવાહ ખંડ $i d l$ ને કારણે ઉગમબિંદુ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$dB = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{i (d l \times r)}{r^{3}}$
અહીં,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$d l$ એ લંબાઈનો સદિશ છે,$r$ એ પ્રવાહ ખંડની સાપેક્ષમાં જે બિંદુએ ક્ષેત્ર શોધવાનું છે તેનો સ્થાન સદિશ છે,અને $\mu_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{d l \times r}{r^{3}}$ છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta$ (રેડિયનમાં) હોય,તો કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ છે.
ખૂણાને રેડિયનમાં ફેરવતા: $\theta = 300^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{5\pi}{3} \text{ રેડિયન}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \times \left( \frac{5\pi}{3} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{12 R}$

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો બનાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ખૂણો $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$ છે.
$R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અંદરના ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_{0} I (\pi/3)}{4 \pi R_1} = \frac{\mu_{0} I}{12 R_1}$ (કાગળના સમતલની અંદરની તરફ).
$R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_{0} I (\pi/3)}{4 \pi R_2} = \frac{\mu_{0} I}{12 R_2}$ (કાગળના સમતલની બહારની તરફ).
સીધા વિભાગો $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફાળો આપતા નથી કારણ કે $O$ નો સ્થાન સદિશ પ્રવાહના ઘટકો સાથે એકરેખસ્થ છે.
$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_{0} I}{12} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.

(D) $I_{1}$ પ્રવાહ ધરાવતી $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર લૂપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R}$.
$I_{2}$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા વાહકથી $d = OA + AB = R + R = 2R$ જેટલા લંબ અંતરે આવેલા કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi (2R)} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{4 \pi R}$.
કેન્દ્ર $O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,લૂપ અને સીધા વાહક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $B_{1} = B_{2}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{4 \pi R}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{I_{1}}{2} = \frac{I_{2}}{4 \pi}$.
તેથી,પ્રવાહનો ગુણોત્તર: $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{2}{4 \pi} = \frac{1}{2 \pi}$.